Vzorec n čísel aritmetickej progresie. Vzorec n-tého člena aritmetickej postupnosti

Matematika má svoju krásu, rovnako ako maľba a poézia.

Ruský vedec, mechanik N.E. Žukovského

Veľmi časté úlohy v prijímacích testoch z matematiky sú úlohy súvisiace s pojmom aritmetický postup. Na úspešné vyriešenie takýchto problémov je potrebné dobre poznať vlastnosti aritmetickej progresie a mať určité zručnosti v ich aplikácii.

Najprv si pripomeňme hlavné vlastnosti aritmetickej progresie a predstavme najdôležitejšie vzorce, spojené s týmto konceptom.

Definícia. Číselná postupnosť, v ktorej sa každý nasledujúci výraz líši od predchádzajúceho rovnakým číslom, nazývaná aritmetická progresia. Zároveň aj číslosa nazýva progresívny rozdiel.

Pre aritmetickú postupnosť platia vzorce

, (1)

kde . Vzorec (1) sa nazýva vzorec spoločného člena aritmetickej postupnosti a vzorec (2) je hlavnou vlastnosťou aritmetickej postupnosti: každý člen postupnosti sa zhoduje s aritmetickým priemerom svojich susedných členov a .

Všimnite si, že práve kvôli tejto vlastnosti sa uvažovaná progresia nazýva „aritmetická“.

Vyššie uvedené vzorce (1) a (2) sú zhrnuté takto:

(3)

Na výpočet sumy najprv členov aritmetického postupuzvyčajne sa používa vzorec

(5) kde a .

Ak vezmeme do úvahy vzorec (1), potom vzorec (5) znamená

Ak určíme

kde . Keďže , potom vzorce (7) a (8) sú zovšeobecnením zodpovedajúcich vzorcov (5) a (6).

najmä zo vzorca (5) vyplýva, čo

Medzi málo známe pre väčšinu študentov patrí vlastnosť aritmetickej progresie, formulovaná pomocou nasledujúcej vety.

Veta. Ak potom

Dôkaz. Ak potom

Veta bola dokázaná.

Napríklad , pomocou vety, dá sa to ukázať

Prejdime k úvahe o typických príkladoch riešenia úloh na tému „Aritmetický postup“.

Príklad 1 Nechajte a . Nájsť .

rozhodnutie. Použitím vzorca (6) dostaneme . Od a , potom alebo .

Príklad 2 Nechajte trikrát viac a pri delení v kvociente vyjde 2 a zvyšok je 8. Určte a.

rozhodnutie. Systém rovníc vyplýva z podmienky príkladu

Keďže , , a , tak zo sústavy rovníc (10) dostaneme

Riešením tejto sústavy rovníc sú a .

Príklad 3 Zistite, či a .

rozhodnutie. Podľa vzorca (5) máme alebo . Avšak pomocou vlastnosti (9) získame .

Od a , potom z rovnosti nasleduje rovnica alebo .

Príklad 4 Nájsť ak .

rozhodnutie.Podľa vzorca (5) máme

Pomocou vety sa však dá písať

Odtiaľ a zo vzorca (11) získame .

Príklad 5. Vzhľadom na to: . Nájsť .

rozhodnutie. Odvtedy . Avšak , preto .

Príklad 6 Nechajte , a . Nájsť .

rozhodnutie. Pomocou vzorca (9) dostaneme . Preto ak , tak alebo .

Od a potom tu máme systém rovníc

Vyriešením ktorého dostaneme a .

Prirodzený koreň rovnice je .

Príklad 7 Zistite, či a .

rozhodnutie. Keďže podľa vzorca (3) máme to , potom sústava rovníc vyplýva z podmienky úlohy

Ak dosadíme výrazdo druhej rovnice systému, potom dostaneme alebo .

Korene kvadratickej rovnice sú a .

Uvažujme o dvoch prípadoch.

1. Nechajte , potom . Odvtedy a potom.

V tomto prípade podľa vzorca (6) máme

2. Ak , potom , a

Odpoveď: a.

Príklad 8 Je známe, že a Nájsť .

rozhodnutie. Berúc do úvahy vzorec (5) a podmienku príkladu, píšeme a .

To znamená systém rovníc

Ak vynásobíme prvú rovnicu sústavy 2 a potom ju pripočítame k druhej rovnici, dostaneme

Podľa vzorca (9) máme. V tejto súvislosti z (12) vyplýva alebo .

Odvtedy a potom.

Odpoveď: .

Príklad 9 Zistite, či a .

rozhodnutie. Od , a podľa podmienky , potom alebo .

Zo vzorca (5) je to známe, čo . Odvtedy .

preto tu máme systém lineárnych rovníc

Odtiaľto dostávame a . Berúc do úvahy vzorec (8), píšeme .

Príklad 10 Vyriešte rovnicu.

rozhodnutie. Z uvedenej rovnice vyplýva, že . Predpokladajme, že , , a . V tomto prípade .

Podľa vzorca (1) môžeme písať alebo .

Pretože rovnica (13) má jedinečný vhodný koreň .

Príklad 11. Nájdite maximálnu hodnotu za predpokladu, že a .

rozhodnutie. Od , potom uvažovaná aritmetická progresia klesá. V tomto ohľade výraz nadobúda maximálnu hodnotu, keď je číslom minimálneho kladného člena progresie.

Používame vzorec (1) a skutočnosť, ktorý a . Potom dostaneme, že alebo .

Pretože , potom alebo . Avšak v tejto nerovnostinajväčšie prirodzené číslo, Preto .

Ak sú hodnoty a dosadené do vzorca (6), dostaneme .

Odpoveď: .

Príklad 12. Nájdite súčet všetkých dvojciferných prirodzených čísel, ktoré po delení 6 majú zvyšok 5.

rozhodnutie. Označme množinou všetkých dvojhodnotových prirodzených čísel, t.j. . Ďalej zostrojíme podmnožinu pozostávajúcu z tých prvkov (čísel) množiny, ktoré po delení číslom 6 dávajú zvyšok 5.

Jednoduchá inštalácia, čo . samozrejme , že prvky zostavytvoria aritmetický postup, v ktorom a .

Na určenie mohutnosti (počet prvkov) množiny predpokladáme, že . Pretože a , potom vzorec (1) znamená alebo . Ak vezmeme do úvahy vzorec (5), dostaneme .

Vyššie uvedené príklady riešenia problémov si v žiadnom prípade nemôžu tvrdiť, že sú vyčerpávajúce. Tento článok je napísaný na základe analýzy moderných metód riešenia typických problémov na danú tému. Pre hlbšie štúdium metód riešenia problémov súvisiacich s aritmetickou progresiou je vhodné odkázať na zoznam odporúčanej literatúry.

1. Zbierka úloh z matematiky pre uchádzačov na technické univerzity / Ed. M.I. Scanavi. - M .: Svet a vzdelávanie, 2013. - 608 s.

2. Suprun V.P. Matematika pre stredoškolákov: doplnkové časti školského vzdelávacieho programu. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 s.

3. Medýnsky M.M. Kompletný kurz elementárnej matematiky v úlohách a cvičeniach. Kniha 2: Číselné postupnosti a postupnosti. – M.: Editus, 2015. - 208 s.

Máte nejaké otázky?

Ak chcete získať pomoc tútora - zaregistrujte sa.

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Niekto narába so slovom „progresia“ opatrne, ako s veľmi zložitým pojmom zo sekcií vyššej matematiky. Medzitým je najjednoduchším aritmetickým postupom práca počítadla taxíkov (kde stále zostávajú). A pochopiť podstatu (a v matematike nie je nič dôležitejšie ako „pochopiť podstatu“) aritmetickej postupnosti nie je také ťažké, po analýze niekoľkých základných konceptov.

Matematická postupnosť čísel

Je zvykom nazývať číselnú postupnosť radom čísel, z ktorých každé má svoje vlastné číslo.

a 1 je prvý člen sekvencie;

a 2 je druhý člen sekvencie;

a 7 je siedmy člen sekvencie;

a n je n-tý člen sekvencie;

Nás však nezaujíma žiadny ľubovoľný súbor čísel a čísel. Pozornosť zameriame na číselnú postupnosť, v ktorej hodnota n-tého člena súvisí s jeho poradovým číslom pomocou jasne matematicky formulovanej závislosti. Inými slovami: číselná hodnota n-tého čísla je nejakou funkciou n.

a - hodnota člena číselnej postupnosti;

n je jeho sériové číslo;

f(n) je funkcia, v ktorej ordinál v číselnej postupnosti n je argument.

Definícia

Aritmetická postupnosť sa zvyčajne nazýva číselná postupnosť, v ktorej je každý nasledujúci člen väčší (menší) ako predchádzajúci o rovnaké číslo. Vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti je nasledujúci:

a n - hodnota aktuálneho člena aritmetickej progresie;

a n+1 - vzorec nasledujúceho čísla;

d - rozdiel (určité číslo).

Je ľahké určiť, že ak je rozdiel kladný (d>0), potom každý nasledujúci člen uvažovaného radu bude väčší ako predchádzajúci a takáto aritmetická progresia sa bude zvyšovať.

V nižšie uvedenom grafe je ľahké vidieť, prečo sa postupnosť čísel nazýva „narastajúca“.

V prípadoch, keď je rozdiel záporný (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Hodnota zadaného člena

Niekedy je potrebné určiť hodnotu nejakého ľubovoľného člena a n aritmetickej progresie. Môžete to urobiť postupným výpočtom hodnôt všetkých členov aritmetickej progresie, od prvého po požadovaný. Tento spôsob však nie je vždy prijateľný, ak je napríklad potrebné nájsť hodnotu päťtisícového alebo osemmiliónového členu. Tradičný výpočet bude trvať dlho. Špecifický aritmetický postup však možno skúmať pomocou určitých vzorcov. Existuje aj vzorec pre n-tý člen: hodnotu ľubovoľného člena aritmetickej postupnosti možno určiť ako súčet prvého člena postupnosti s rozdielom postupnosti, vynásobený číslom požadovaného člena mínus jeden .

Vzorec je univerzálny na zvýšenie a zníženie progresie.

Príklad výpočtu hodnoty daného člena

Vyriešme nasledujúci problém hľadania hodnoty n-tého člena aritmetickej postupnosti.

Podmienka: existuje aritmetická progresia s parametrami:

Prvý člen postupnosti je 3;

Rozdiel v číselnom rade je 1,2.

Úloha: je potrebné nájsť hodnotu 214 výrazov

Riešenie: Na určenie hodnoty daného člena použijeme vzorec:

a(n) = a1 + d(n-1)

Nahradením údajov z problémového príkazu do výrazu máme:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Odpoveď: 214. člen postupnosti sa rovná 258,6.

Výhody tejto metódy výpočtu sú zrejmé - celé riešenie nezaberie viac ako 2 riadky.

Súčet daného počtu členov

Veľmi často je v danej aritmetickej sérii potrebné určiť súčet hodnôt niektorých jej segmentov. Tiež nie je potrebné počítať hodnoty každého výrazu a potom ich sčítať. Táto metóda je použiteľná, ak je počet členov, ktorých súčet treba nájsť, malý. V iných prípadoch je vhodnejšie použiť nasledujúci vzorec.

Súčet členov aritmetickej postupnosti od 1 do n sa rovná súčtu prvého a n-tého člena, vynásobený číslom člena n a delený dvomi. Ak je vo vzorci hodnota n-tého člena nahradená výrazom z predchádzajúceho odseku článku, dostaneme:

Príklad výpočtu

Vyriešme napríklad problém s nasledujúcimi podmienkami:

Prvý člen postupnosti je nula;

Rozdiel je 0,5.

V úlohe je potrebné určiť súčet členov radu od 56 do 101.

rozhodnutie. Na určenie súčtu progresie použijeme vzorec:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Najprv určíme súčet hodnôt 101 členov progresie dosadením daných podmienok nášho problému do vzorca:

s 101 = (2 ∙0 + 0,5 ∙ (101-1)) ∙101/2 = 2 525

Je zrejmé, že na zistenie súčtu členov postupu z 56. na 101. je potrebné odpočítať S 55 od S 101.

s55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Takže súčet aritmetickej progresie pre tento príklad je:

s 101 - s 55 \u003d 2 525 - 742,5 \u003d 1 782,5

Príklad praktickej aplikácie aritmetickej progresie

Na konci článku sa vráťme k príkladu aritmetickej postupnosti uvedenej v prvom odseku – taxametra (taxi car meter). Zoberme si taký príklad.

Vstup do taxíka (ktorý zahŕňa 3 km) stojí 50 rubľov. Každý nasledujúci kilometer sa platí sadzbou 22 rubľov / km. Dojazd 30 km. Vypočítajte si náklady na cestu.

1. Vynechajme prvé 3 km, ktorých cena je zahrnutá v nákladoch na pristátie.

30 - 3 = 27 km.

2. Ďalší výpočet nie je nič iné ako analýza aritmetického číselného radu.

Členské číslo je počet prejdených kilometrov (mínus prvé tri).

Hodnota člena je súčet.

Prvý termín v tomto probléme sa bude rovnať 1 = 50 rubľov.

Postupový rozdiel d = 22 p.

číslo, ktoré nás zaujíma - hodnota (27 + 1) člena aritmetického postupu - stav merača na konci 27. kilometra - 27,999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Výpočty kalendárnych údajov za ľubovoľne dlhé obdobie sú založené na vzorcoch popisujúcich určité číselné postupnosti. V astronómii je dĺžka obežnej dráhy geometricky závislá od vzdialenosti nebeského telesa od svietidla. Okrem toho sa rôzne číselné rady úspešne používajú v štatistike a iných aplikovaných odvetviach matematiky.

Iný druh číselnej postupnosti je geometrický

Geometrická progresia je charakterizovaná veľkou rýchlosťou zmeny v porovnaní s aritmetickou. Nie je náhoda, že v politike, sociológii, medicíne často, aby ukázali vysokú rýchlosť šírenia určitého javu, napríklad choroby počas epidémie, hovoria, že proces sa vyvíja exponenciálne.

N-tý člen geometrického číselného radu sa líši od predchádzajúceho tým, že je vynásobený nejakým konštantným číslom - menovateľ, napríklad prvý člen je 1, menovateľ je 2, potom:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - hodnota aktuálneho člena geometrickej progresie;

b n+1 - vzorec ďalšieho člena geometrickej postupnosti;

q je menovateľ geometrickej postupnosti (konštantné číslo).

Ak je graf aritmetickej progresie priamka, potom geometrický graf nakreslí trochu iný obrázok:

Rovnako ako v prípade aritmetiky, geometrická postupnosť má vzorec pre hodnotu ľubovoľného člena. Akýkoľvek n-tý člen geometrickej postupnosti sa rovná súčinu prvého člena a menovateľa postupnosti k mocnine n zníženému o jednotku:

Príklad. Máme geometrickú postupnosť s prvým členom rovným 3 a menovateľom postupnosti rovným 1,5. Nájdite 5. termín postupu

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15.1875

Súčet daného počtu členov sa tiež vypočíta pomocou špeciálneho vzorca. Súčet prvých n členov geometrickej postupnosti sa rovná rozdielu medzi súčinom n-tého člena postupnosti a jeho menovateľa a prvého člena postupnosti, vydelenému menovateľom zníženým o jednu:

Ak sa b n nahradí pomocou vyššie uvedeného vzorca, hodnota súčtu prvých n členov uvažovaného číselného radu bude mať tvar:

Príklad. Geometrická postupnosť začína prvým členom rovným 1. Menovateľ je nastavený na 3. Nájdite súčet prvých ôsmich členov.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Typ lekcie: učenie sa nového materiálu.

Ciele lekcie:

• rozšírenie a prehĺbenie predstáv žiakov o úlohách riešených pomocou aritmetického postupu; organizácia rešeršnej činnosti žiakov pri odvodzovaní vzorca pre súčet prvých n členov aritmetickej postupnosti;
• rozvoj schopností samostatne získavať nové poznatky, využívať už nadobudnuté poznatky na splnenie úlohy;
• rozvoj túžby a potreby zovšeobecniť získané fakty, rozvoj samostatnosti.

Úlohy:

• zovšeobecniť a systematizovať doterajšie poznatky na tému „Aritmetická progresia“;
• odvodiť vzorce na výpočet súčtu prvých n členov aritmetickej postupnosti;
• naučiť aplikovať získané vzorce pri riešení rôznych problémov;
• upozorniť žiakov na postup zisťovania hodnoty číselného výrazu.

Vybavenie:

• karty s úlohami na prácu v skupinách a dvojiciach;
• hodnotiaci papier;
• prezentácia"Aritmetický postup".

I. Aktualizácia základných poznatkov.

1. Samostatná práca vo dvojiciach.

1. možnosť:

Definujte aritmetickú progresiu. Napíšte rekurzívny vzorec, ktorý definuje aritmetickú progresiu. Uveďte príklad aritmetickej progresie a uveďte jej rozdiel.

2. možnosť:

Napíšte vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti. Nájdite 100. člen aritmetického postupu ( a n}: 2, 5, 8 …
V tomto čase si dvaja študenti na zadnej strane tabule pripravujú odpovede na rovnaké otázky.
Žiaci hodnotia prácu partnera porovnaním s tabuľou. (Odovzdávajú sa letáky s odpoveďami).

2. Herný moment.

Cvičenie 1.

učiteľ. Predstavil som si nejaký aritmetický postup. Položte mi iba dve otázky, aby ste po odpovediach rýchlo vymenovali 7. člena tohto postupu. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...)

Otázky od študentov.

1. Aký je šiesty termín postupu a aký je rozdiel?
2. Aký je ôsmy termín postupu a aký je rozdiel?

Ak neexistujú žiadne ďalšie otázky, učiteľ ich môže stimulovať - ​​„zákaz“ d (rozdiel), to znamená, že nie je dovolené pýtať sa, aký je rozdiel. Môžete klásť otázky: čo je 6. termín postupu a aký je 8. termín postupu?

Úloha 2.

Na tabuli je napísaných 20 čísel: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Učiteľ stojí chrbtom k tabuli. Žiaci povedia číslo čísla a učiteľ hneď zavolá na samotné číslo. Vysvetlite mi, ako to môžem urobiť?

Učiteľ si zapamätá vzorec n-tého termínu a n \u003d 3n - 2 a nahradením daných hodnôt n nájde zodpovedajúce hodnoty a n

II. Vyhlásenie výchovnej úlohy.

Navrhujem vyriešiť starý problém z 2. tisícročia pred Kristom, ktorý sa nachádza v egyptských papyrusoch.

Úloha:"Dovoľte si povedať: rozdeľte 10 mier jačmeňa medzi 10 ľudí, rozdiel medzi každým a jeho susedom je 1/8 miery."

• Ako tento problém súvisí s témou aritmetického postupu? (Každá ďalšia osoba dostane o 1/8 miery viac, takže rozdiel je d=1/8, 10 osôb, takže n=10.)
• Čo podľa teba znamená číslo 10? (Súčet všetkých členov postupu.)
• Čo ešte potrebujete vedieť, aby bolo ľahké a jednoduché deliť jačmeň podľa stavu problému? (Prvý termín postupu.)

Cieľ lekcie- získanie závislosti súčtu členov postupnosti od ich počtu, prvého členu a rozdielu a overenie, či bola úloha v staroveku vyriešená správne.

Pred odvodením vzorca sa pozrime, ako starí Egypťania vyriešili problém.

A vyriešili to takto:

1) 10 opatrení: 10 = 1 opatrenie - priemerný podiel;
2) 1 takt ∙ = 2 takty - zdvojené priemer zdieľam.
zdvojnásobil priemer podiel je súčtom podielov 5. a 6. osoby.
3) 2 miery - 1/8 miery = 1 7/8 miery - dvojnásobok podielu piatej osoby.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - podiel pätiny; a tak ďalej, môžete nájsť podiel každej predchádzajúcej a nasledujúcej osoby.

Dostaneme postupnosť:

III. Riešenie úlohy.

1. Pracujte v skupinách

1. skupina: Nájdite súčet 20 po sebe idúcich prirodzených čísel: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Všeobecne

Skupina II: Nájdite súčet prirodzených čísel od 1 do 100 (Legenda o malom Gaussovi).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

záver:

III skupina: Nájdite súčet prirodzených čísel od 1 do 21.

Riešenie: 1+21=2+20=3+19=4+18…

záver:

IV skupina: Nájdite súčet prirodzených čísel od 1 do 101.

záver:

Táto metóda riešenia uvažovaných problémov sa nazýva „Gaussova metóda“.

2. Každá skupina prezentuje riešenie úlohy na tabuli.

3. Zovšeobecnenie navrhovaných riešení pre ľubovoľnú aritmetickú postupnosť:

a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Túto sumu zistíme podobným argumentom:

4. Vyriešili sme úlohu?(Áno.)

IV. Primárne pochopenie a aplikácia získaných vzorcov pri riešení úloh.

1. Kontrola riešenia starej úlohy podľa vzorca.

2. Aplikácia vzorca pri riešení rôznych úloh.

3. Cvičenia na formovanie schopnosti aplikovať vzorec pri riešení úloh.

A) č. 613

Dané :( a n) - aritmetická progresia;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Nájsť: S 1500

rozhodnutie: , a 1 = 1 a 1500 = 1500,

B) Vzhľadom na: ( a n) - aritmetická progresia;
(an): 1, 2, 3, ...
Sn = 210

Nájsť: n
rozhodnutie:

V. Samostatná práca so vzájomným overovaním.

Denis išiel pracovať ako kuriér. V prvom mesiaci bol jeho plat 200 rubľov, v každom nasledujúcom mesiaci sa zvýšil o 30 rubľov. Koľko zarobil za rok?

Dané :( a n) - aritmetická progresia;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Nájsť: S 12
rozhodnutie:

Odpoveď: Denis dostal za rok 4380 rubľov.

VI. Návod na domácu úlohu.

1. str.4.3 - naučte sa odvodzovanie vzorca.
2. №№ 585, 623 .
3. Zostavte úlohu, ktorá by sa dala vyriešiť pomocou vzorca pre súčet prvých n členov aritmetickej postupnosti.

VII. Zhrnutie lekcie.

1. Výsledková listina

2. Pokračujte vo vetách

• Dnes som sa v triede naučil...
• Naučené vzorce...
• Myslím si, že …

3. Dokážete nájsť súčet čísel od 1 do 500? Akú metódu použijete na vyriešenie tohto problému?

Bibliografia.

1. Algebra, 9. ročník. Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie. Ed. G.V. Dorofeeva. Moskva: Osvietenie, 2009.

Pri štúdiu algebry na strednej škole (9. ročník) je jednou z dôležitých tém náuka o číselných postupnostiach, ktoré zahŕňajú postupnosti - geometrické a aritmetické. V tomto článku sa budeme zaoberať aritmetickým postupom a príkladmi s riešeniami.

Čo je to aritmetická progresia?

Aby sme to pochopili, je potrebné uviesť definíciu uvažovaného postupu, ako aj základné vzorce, ktoré sa budú ďalej používať pri riešení problémov.

Aritmetická alebo algebraická postupnosť je taká množina usporiadaných racionálnych čísel, ktorých každý člen sa od predchádzajúceho líši o nejakú konštantnú hodnotu. Táto hodnota sa nazýva rozdiel. To znamená, že ak poznáte ktoréhokoľvek člena zoradeného radu čísel a rozdiel, môžete obnoviť celý aritmetický postup.

Vezmime si príklad. Ďalšia postupnosť čísel bude aritmetická postupnosť: 4, 8, 12, 16, ..., pretože rozdiel v tomto prípade je 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ale množinu čísel 3, 5, 8, 12, 17 už nemožno pripísať typu uvažovanej progresie, pretože rozdiel pre ňu nie je konštantná hodnota (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Dôležité vzorce

Teraz uvádzame základné vzorce, ktoré budú potrebné na riešenie problémov pomocou aritmetickej progresie. Nech a n označuje n-tý člen postupnosti, kde n je celé číslo. Rozdiel je označený latinským písmenom d. Potom sú pravdivé nasledujúce výrazy:

1. Na určenie hodnoty n-tého členu je vhodný vzorec: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Na určenie súčtu prvých n členov: S n = (a n + a 1)*n/2.

Na pochopenie akýchkoľvek príkladov aritmetickej progresie s riešením v 9. ročníku si stačí zapamätať tieto dva vzorce, pretože všetky problémy daného typu sú postavené na ich použití. Tiež nezabudnite, že progresívny rozdiel je určený vzorcom: d = a n - a n-1 .

Príklad č. 1: Nájdenie neznámeho člena

Uvádzame jednoduchý príklad aritmetickej progresie a vzorcov, ktoré je potrebné použiť na riešenie.

Nech je daná postupnosť 10, 8, 6, 4, ..., treba v nej nájsť päť členov.

Už z podmienok problému vyplýva, že prvé 4 termíny sú známe. Piatu možno definovať dvoma spôsobmi:

1. Najprv vypočítame rozdiel. Máme: d = 8 - 10 = -2. Podobne by sa dali vziať akékoľvek dva ďalšie výrazy stojace vedľa seba. Napríklad d = 4 - 6 = -2. Pretože je známe, že d \u003d a n - a n-1, potom d \u003d a 5 - a 4, odkiaľ dostaneme: a 5 \u003d a 4 + d. Dosadíme známe hodnoty: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Druhá metóda tiež vyžaduje znalosť rozdielu príslušnej progresie, takže ju najprv musíte určiť, ako je uvedené vyššie (d = -2). Keď vieme, že prvý člen a 1 = 10, použijeme vzorec pre n číslo postupnosti. Máme: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Dosadením n = 5 do posledného výrazu dostaneme: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Ako vidíte, obe riešenia vedú k rovnakému výsledku. Všimnite si, že v tomto príklade je rozdiel d progresie záporný. Takéto postupnosti sa nazývajú klesajúce, pretože každý nasledujúci člen je menší ako predchádzajúci.

Príklad č. 2: rozdiel v postupe

Teraz si úlohu trochu skomplikujeme, uvedieme príklad ako

Je známe, že v niektorých sa 1. člen rovná 6 a 7. člen sa rovná 18. Je potrebné nájsť rozdiel a obnoviť túto postupnosť na 7. člen.

Na určenie neznámeho členu použijeme vzorec: a n = (n - 1) * d + a 1 . Dosadíme do nej známe údaje z podmienky, teda čísla a 1 a a 7, máme: 18 \u003d 6 + 6 * d. Z tohto výrazu môžete jednoducho vypočítať rozdiel: d = (18 - 6) / 6 = 2. Tým bola zodpovedaná prvá časť úlohy.

Ak chcete obnoviť postupnosť na 7. člen, mali by ste použiť definíciu algebraickej progresie, to znamená a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d atď. V dôsledku toho obnovíme celú postupnosť: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 a 6 = 14 + 2 = 16 a 7 = 18.

Príklad č. 3: Progresia

Poďme si ešte viac skomplikovať stav problému. Teraz musíte odpovedať na otázku, ako nájsť aritmetickú progresiu. Môžeme uviesť nasledujúci príklad: sú dané dve čísla, napríklad 4 a 5. Je potrebné urobiť algebraický postup tak, aby sa medzi ne umiestnili ďalšie tri členy.

Pred začatím riešenia tohto problému je potrebné pochopiť, aké miesto budú dané čísla zaujímať v budúcom postupe. Keďže medzi nimi budú ešte tri výrazy, potom 1 \u003d -4 a 5 \u003d 5. Po zistení pristúpime k úlohe, ktorá je podobná predchádzajúcej. Opäť, pre n-tý člen, použijeme vzorec, dostaneme: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Od: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Rozdiel tu nie je celočíselná hodnota, ale je to racionálne číslo, takže vzorce pre algebraickú postupnosť zostávajú rovnaké.

Teraz pripočítajme nájdený rozdiel k 1 a obnovíme chýbajúce členy progresie. Získame: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u,0 ktorá sa zhodovala so stavom problému.

Príklad č. 4: Prvý člen postupu

Pokračujeme v uvádzaní príkladov aritmetickej progresie s riešením. Vo všetkých predchádzajúcich úlohách bolo známe prvé číslo algebraickej progresie. Teraz uvažujme o úlohe iného typu: nech sú dané dve čísla, kde a 15 = 50 a a 43 = 37. Je potrebné zistiť, od ktorého čísla táto postupnosť začína.

Doteraz používané vzorce predpokladajú znalosť 1 a d. V stave problému nie je o týchto číslach nič známe. Vypíšme si však výrazy ku každému pojmu, o ktorom máme informácie: a 15 = a 1 + 14 * d a a 43 = a 1 + 42 * d. Dostali sme dve rovnice, v ktorých sú 2 neznáme veličiny (a 1 a d). To znamená, že problém je redukovaný na riešenie sústavy lineárnych rovníc.

Zadaný systém je najjednoduchšie vyriešiť, ak v každej rovnici vyjadríte 1 a potom porovnáte výsledné výrazy. Prvá rovnica: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druhá rovnica: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Porovnaním týchto výrazov dostaneme: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, odkiaľ je rozdiel d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (uvedené sú iba 3 desatinné miesta).

Ak poznáte d, môžete použiť ktorýkoľvek z 2 vyššie uvedených výrazov pre 1 . Napríklad prvý: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Ak sú o výsledku pochybnosti, môžete si ho skontrolovať, napríklad určiť 43. člen progresie, ktorý je uvedený v podmienke. Získame: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Malá chyba je spôsobená tým, že pri výpočtoch bolo použité zaokrúhľovanie na tisíciny.

Príklad č. 5: Suma

Teraz sa pozrime na niekoľko príkladov s riešeniami pre súčet aritmetickej progresie.

Nech je daný číselný postup v nasledujúcom tvare: 1, 2, 3, 4, ...,. Ako vypočítať súčet 100 z týchto čísel?

Vďaka rozvoju výpočtovej techniky je možné tento problém vyriešiť, to znamená postupne sčítať všetky čísla, čo počítač urobí hneď, ako človek stlačí kláves Enter. Problém sa však dá vyriešiť mentálne, ak si všimnete, že prezentovaný rad čísel je algebraická postupnosť a jej rozdiel je 1. Použitím vzorca pre súčet dostaneme: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Je zvláštne, že tento problém sa nazýva „gaussovský“, keďže začiatkom 18. storočia ho slávny Nemec, ešte vo veku len 10 rokov, dokázal vyriešiť v mysli za pár sekúnd. Chlapec nepoznal vzorec pre súčet algebraickej postupnosti, ale všimol si, že ak sčítate dvojice čísel na okrajoch postupnosti, vždy dostanete rovnaký výsledok, teda 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a keďže tieto súčty budú presne 50 (100 / 2), na získanie správnej odpovede stačí vynásobiť 50 číslom 101.

Príklad č. 6: súčet členov od n do m

Ďalší typický príklad súčtu aritmetickej progresie je nasledujúci: ak je daný rad čísel: 3, 7, 11, 15, ..., musíte zistiť, aký bude súčet jej členov od 8 do 14.

Problém sa rieši dvoma spôsobmi. Prvý z nich zahŕňa nájdenie neznámych výrazov od 8 do 14 a ich následné sčítanie. Keďže výrazov je málo, táto metóda nie je dostatočne prácna. Napriek tomu sa navrhuje riešiť tento problém druhou metódou, ktorá je univerzálnejšia.

Cieľom je získať vzorec pre súčet algebraickej postupnosti medzi členmi m a n, kde n > m sú celé čísla. Pre oba prípady napíšeme pre súčet dva výrazy:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Keďže n > m, je zrejmé, že súčet 2 zahŕňa aj prvý. Posledný záver znamená, že ak zoberieme rozdiel medzi týmito súčtami a pridáme k nemu člen a m (v prípade zobratia rozdielu sa odpočíta od súčtu S n), dostaneme potrebnú odpoveď na úlohu. Máme: S mn \u003d Sn - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Do tohto výrazu je potrebné dosadiť vzorce pre a n a a m. Potom dostaneme: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m/2) = a 1* (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m2 - 2) / 2.

Výsledný vzorec je trochu ťažkopádny, avšak súčet S mn závisí len od n, m, a 1 a d. V našom prípade a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Dosadením týchto čísel dostaneme: S mn = 301.

Ako vidno z vyššie uvedených riešení, všetky úlohy vychádzajú zo znalosti výrazu pre n-tý člen a vzorca pre súčet množiny prvých členov. Skôr ako začnete riešiť niektorý z týchto problémov, odporúča sa pozorne si prečítať podmienku, jasne pochopiť, čo chcete nájsť, a až potom pristúpiť k riešeniu.

Ďalším tipom je snažiť sa o jednoduchosť, to znamená, že ak dokážete odpovedať na otázku bez použitia zložitých matematických výpočtov, musíte to urobiť, pretože v tomto prípade je pravdepodobnosť, že urobíte chybu, menšia. Napríklad v príklade aritmetickej progresie s riešením č. 6 by sme sa mohli zastaviť pri vzorci S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, a rozdeľte všeobecnú úlohu na samostatné podúlohy (v tomto prípade najskôr nájdite výrazy a n a a m).

Ak existujú pochybnosti o dosiahnutom výsledku, odporúča sa ho skontrolovať, ako to bolo urobené v niektorých uvedených príkladoch. Ako nájsť aritmetickú progresiu, zistilo sa. Keď na to prídete, nie je to také ťažké.

Napríklad postupnosť \(2\); \(5\); \(osem\); \(jedenásť\); \(14\)… je aritmetický postup, pretože každý ďalší prvok sa líši od predchádzajúceho o tri (od predchádzajúceho sa dá získať pridaním troch):

V tomto postupe je rozdiel \(d\) kladný (rovná sa \(3\)), a preto je každý ďalší člen väčší ako predchádzajúci. Takéto progresie sa nazývajú zvyšujúci sa.

\(d\) však môže byť aj záporné číslo. napríklad, v aritmetickej postupnosti \(16\); \(desať\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… rozdiel postupu \(d\) sa rovná mínus šesť.

A v tomto prípade bude každý ďalší prvok menší ako predchádzajúci. Tieto progresie sa nazývajú klesajúci.

Zápis aritmetického postupu

Postup je označený malým latinským písmenom.

Čísla, ktoré tvoria progresiu, sa nazývajú členov(alebo prvky).

Označujú sa rovnakým písmenom ako aritmetická postupnosť, ale s číselným indexom rovným číslu prvku v poradí.

Napríklad aritmetická postupnosť \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) pozostáva z prvkov \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) a tak ďalej.

Inými slovami, pre postup \(a_n = \vľavo\(2; 5; 8; 11; 14…\vpravo\)\)

Riešenie problémov s aritmetickým postupom

Vyššie uvedené informácie už v zásade postačujú na vyriešenie takmer akéhokoľvek problému s aritmetickým postupom (vrátane tých, ktoré ponúka OGE).

Príklad (OGE). Aritmetický postup je daný podmienkami \(b_1=7; d=4\). Nájsť \(b_5\).
rozhodnutie:

odpoveď: \(b_5=23\)

Príklad (OGE). Sú uvedené prvé tri členy aritmetickej progresie: \(62; 49; 36…\) Nájdite hodnotu prvého záporného člena tejto progresie.
rozhodnutie:

	Dostali sme prvé prvky postupnosti a vieme, že ide o aritmetický postup. To znamená, že každý prvok sa líši od susedného o rovnaké číslo. Zistite, ktorý z nich, odčítaním predchádzajúceho od nasledujúceho prvku: \(d=49-62=-13\).
	Teraz môžeme obnoviť náš postup k požadovanému (prvému negatívnemu) prvku.
	Pripravený. Môžete napísať odpoveď.

odpoveď: \(-3\)

Príklad (OGE). Je uvedených niekoľko po sebe nasledujúcich prvkov aritmetického postupu: \(...5; x; 10; 12,5...\) Nájdite hodnotu prvku označeného písmenom \(x\).
rozhodnutie:

	Aby sme našli \(x\), potrebujeme vedieť, ako veľmi sa líši nasledujúci prvok od predchádzajúceho, inými slovami, rozdiel v postupe. Nájdite to z dvoch známych susedných prvkov: \(d=12,5-10=2,5\).
	A teraz bez problémov nájdeme to, čo hľadáme: \(x=5+2,5=7,5\).
	Pripravený. Môžete napísať odpoveď.

odpoveď: \(7,5\).

Príklad (OGE). Aritmetický postup je daný nasledujúcimi podmienkami: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Nájdite súčet prvých šiestich členov tejto postupnosti.
rozhodnutie:

	Musíme nájsť súčet prvých šiestich členov postupu. Ale ich význam nepoznáme, je nám daný len prvý prvok. Preto najprv vypočítame hodnoty postupne pomocou nám zadaných: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) A po vypočítaní šiestich prvkov, ktoré potrebujeme, nájdeme ich súčet.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Požadovaná suma bola nájdená.

odpoveď: \(S_6=9\).

Príklad (OGE). V aritmetickom postupe \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Nájdite rozdiel tohto postupu.
rozhodnutie:

odpoveď: \(d=7\).

Dôležité vzorce aritmetického postupu

Ako vidíte, mnohé problémy s aritmetickou progresiou možno vyriešiť jednoducho pochopením hlavnej veci - že aritmetická progresia je reťazec čísel a každý ďalší prvok v tomto reťazci sa získa pridaním rovnakého čísla k predchádzajúcemu (rozdiel progresie).

Niekedy však nastanú situácie, kedy je veľmi nepohodlné riešiť „na čelo“. Predstavte si napríklad, že v úplne prvom príklade potrebujeme nájsť nie piaty prvok \(b_5\), ale tristoosemdesiaty šiesty \(b_(386)\). Čo je to, musíme \ (385 \) krát pridať štyri? Alebo si predstavte, že v predposlednom príklade potrebujete nájsť súčet prvých sedemdesiatich troch prvkov. Počítanie je mätúce...

Preto v takýchto prípadoch neriešia „na čelo“, ale používajú špeciálne vzorce odvodené pre aritmetický postup. A hlavné sú vzorec pre n-tý člen postupnosti a vzorec pre súčet \(n\) prvých členov.

Vzorec pre \(n\)-tý člen: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kde \(a_1\) je prvý člen postupnosti;
\(n\) – číslo požadovaného prvku;
\(a_n\) je členom postupnosti s číslom \(n\).

Tento vzorec nám umožňuje rýchlo nájsť aspoň tristotinu, dokonca aj miliónty prvok, pričom poznáme iba prvý prvok a rozdiel postupu.

Príklad. Aritmetický postup je daný podmienkami: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Nájdite \(b_(246)\).
rozhodnutie:

odpoveď: \(b_(246)=1850\).

Vzorec pre súčet prvých n členov je: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kde

\(a_n\) je posledný sčítaný člen;

Príklad (OGE). Aritmetický postup je daný podmienkami \(a_n=3,4n-0,6\). Nájdite súčet prvých \(25\) členov tejto postupnosti.
rozhodnutie:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)		Na výpočet súčtu prvých dvadsiatich piatich prvkov potrebujeme poznať hodnotu prvého a dvadsiateho piateho člena. Naša postupnosť je daná vzorcom n-tého člena v závislosti od jeho čísla (pozri podrobnosti). Vypočítajme prvý prvok nahradením \(n\) jedným.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Teraz nájdime dvadsiaty piaty člen dosadením dvadsaťpäť namiesto \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Teraz bez problémov vypočítame požadovanú sumu.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Odpoveď je pripravená.

odpoveď: \(S_(25)=1090\).

Pre súčet \(n\) prvých výrazov môžete získať ďalší vzorec: stačí \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) namiesto \(a_n\) nahraďte vzorec \(a_n=a_1+(n-1)d\). Dostaneme:

Vzorec pre súčet prvých n členov je: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kde

\(S_n\) – požadovaný súčet \(n\) prvých prvkov;
\(a_1\) je prvý člen, ktorý sa má sčítať;
\(d\) – progresívny rozdiel;
\(n\) - počet prvkov v súčte.

Príklad. Nájdite súčet prvých \(33\)-ex členov aritmetickej postupnosti: \(17\); \(15,5\); \(štrnásť\)…
rozhodnutie:

odpoveď: \(S_(33)=-231\).

Zložitejšie problémy aritmetického postupu

Teraz máte všetky informácie, ktoré potrebujete na vyriešenie takmer akéhokoľvek problému s aritmetickým postupom. Ukončime tému úvahami o problémoch, v ktorých je potrebné nielen aplikovať vzorce, ale aj trochu premýšľať (v matematike sa to môže hodiť ☺)

Príklad (OGE). Nájdite súčet všetkých záporných členov progresie: \(-19,3\); \(-devätnásť\); \(-18,7\)…
rozhodnutie:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Úloha je veľmi podobná predchádzajúcej. Začneme riešiť rovnakým spôsobom: najprv nájdeme \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Teraz by sme do vzorca pre súčet dosadili \(d\) ... a tu sa objaví malá nuansa - nevieme \(n\). Inými slovami, nevieme, koľko výrazov bude potrebné pridať. Ako to zistiť? zamyslime sa. Pridávanie prvkov zastavíme, keď sa dostaneme k prvému pozitívnemu prvku. To znamená, že musíte zistiť číslo tohto prvku. ako? Zapíšme si vzorec na výpočet ľubovoľného prvku aritmetickej postupnosti: \(a_n=a_1+(n-1)d\) pre náš prípad.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Potrebujeme, aby \(a_n\) bolo väčšie ako nula. Poďme zistiť, čo sa \(n\) stane.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Obe strany nerovnosti vydelíme \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Prenášame mínus jedna, pričom nezabúdame na zmenu značiek
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Výpočtový...
\(n>65 333…\)		…a ukáže sa, že prvý kladný prvok bude mať číslo \(66\). Podľa toho má posledný zápor \(n=65\). Pre každý prípad, poďme sa na to pozrieť.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Preto musíme pridať prvých \(65\) prvkov.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Odpoveď je pripravená.

odpoveď: \(S_(65)=-630,5\).

Príklad (OGE). Aritmetický postup je daný podmienkami: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Nájdite súčet od \(26\)-tého do \(42\) prvku vrátane.
rozhodnutie:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	V tomto probléme musíte tiež nájsť súčet prvkov, ale nie od prvého, ale od \(26\)-ého. Nemáme na to vzorec. ako sa rozhodnúť? Jednoduché – ak chcete získať súčet od \(26\)-tej do \(42\)-tej, musíte najskôr nájsť súčet od \(1\)-tej do \(42\)-tej a potom od nej odčítať súčet z prvý až \ (25 \) tý (pozri obrázok).
	Pre náš postup \(a_1=-33\) a rozdiel \(d=4\) (napokon k predchádzajúcemu prvku pridáme štyri, aby sme našli ďalší). Keď to vieme, nájdeme súčet prvých \(42\)-uh prvkov.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Teraz súčet prvých \(25\)-tých prvkov.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	A nakoniec vypočítame odpoveď.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

odpoveď: \(S=1683\).

Pre aritmetický postup existuje niekoľko ďalších vzorcov, ktoré sme v tomto článku nezohľadnili kvôli ich nízkej praktickej užitočnosti. Môžete ich však ľahko nájsť.