Lineárne nerovnosti. Podrobná teória s príkladmi

Čo potrebujete vedieť o ikonách nerovnosti? Nerovnosti ikon viac (> ), alebo menšie (< ) sa volajú prísny. S ikonami viac alebo rovné (≥ ), menšie alebo rovnaké (≤ ) sa volajú neprísne. Ikona nerovná sa (≠ ) stojí samostatne, ale príklady s touto ikonou musíte neustále riešiť. A budeme.)

Samotná ikona nemá veľký vplyv na proces riešenia. Ale na konci riešenia, pri výbere konečnej odpovede, sa význam ikony objaví v plnej sile! Ako uvidíme nižšie, v príkladoch. Je tam pár vtipov...

Nerovnosti, rovnako ako rovnosť, sú verný a neverný. Všetko je tu jednoduché, bez trikov. Povedzme 5 > 2 je správna nerovnosť. 5 < 2 je nesprávne.

Takáto príprava funguje pri nerovnostiach akýkoľvek druh a jednoduché až hororové.) Stačí správne vykonať dve (iba dve!) základné akcie. Tieto akcie sú známe každému. Ale, čo je typické, zárubne v týchto akciách sú hlavnou chybou pri riešení nerovností, áno... Preto je potrebné tieto akcie opakovať. Tieto akcie sa nazývajú takto:

Identitné transformácie nerovností.

Identitné transformácie nerovností sú veľmi podobné identitným transformáciám rovníc. V skutočnosti je to hlavný problém. Rozdiely prešli cez hlavu a ... prišli.) Preto vyzdvihnem najmä tieto rozdiely. Takže prvá identická transformácia nerovností:

1. K obom častiam nerovnice možno pridať (odčítať) rovnaké číslo alebo výraz. Akýkoľvek. Znak nerovnosti sa nezmení.

V praxi sa toto pravidlo uplatňuje ako presun pojmov z ľavej strany nerovnice na pravú stranu (a naopak) so zmenou znamienka. So zmenou znamienka pojmu, nie nerovnosť! Pravidlo jeden na jedného je rovnaké ako pravidlo pre rovnice. Nasledujúce identické transformácie v nerovnostiach sa však výrazne líšia od tých v rovniciach. Preto ich zvýrazním červenou farbou:

2. Obe časti nerovnosti možno vynásobiť (vydeliť) rovnakopozitívnečíslo. Pre akékoľvekpozitívne nezmení sa.

3. Obe časti nerovnosti možno vynásobiť (vydeliť) rovnakonegatívnečíslo. Pre akékoľveknegatívnečíslo. Znak nerovnosti z tohosa zmení na opak.

Pamätáte si (dúfate...), že rovnica sa dá vynásobiť/rozdeliť čímkoľvek. A pre ľubovoľné číslo a pre výraz s x. Pokiaľ to nie je nula. On, rovnica, nie je z toho ani horúca, ani studená.) Nezmení sa. Ale nerovnosti sú citlivejšie na násobenie/delenie.

Dobrý príklad na dlhú pamäť. Píšeme nerovnosť, ktorá nespôsobuje pochybnosti:

5 > 2

Vynásobte obe strany +3, dostaneme:

15 > 6

Sú nejaké námietky? Neexistujú žiadne námietky.) A ak obe časti pôvodnej nerovnosti vynásobíme o -3, dostaneme:

15 > -6

A toto je jasná lož.) Úplná lož! Oblbovanie ľudí! Ale akonáhle sa znamienko nerovnosti obráti, všetko zapadne na svoje miesto:

15 < -6

O klamstvách a klamstve - nielen prisahám.) "Zabudol som zmeniť znamienko nerovnosti..."- Toto Domov chyba pri riešení nerovností. Toto malicherné a nekomplikované pravidlo ublížilo toľkým ľuďom! Kto ste zabudli...) Tak prisahám. Možno si spomeniete...)

Tí obzvlášť pozorní si všimnú, že nerovnosť nemožno vynásobiť výrazom s x. Rešpektujte pozorný!) A prečo nie? Odpoveď je jednoduchá. Znamienko tohto výrazu s x nepoznáme. Môže byť pozitívna, negatívna... Preto nevieme, aké znamienko nerovnosti dať po násobení. Zmeniť to alebo nie? Neznámy. Samozrejme, toto obmedzenie (zákaz násobenia / delenia nerovnice výrazom s x) sa dá obísť. Ak to naozaj potrebujete. Ale to je téma na iné hodiny.

To všetko sú identické transformácie nerovností. Znovu vám pripomínam, že pracujú pre akýkoľvek nerovnosti. A teraz môžete prejsť na konkrétne typy.

Lineárne nerovnosti. Riešenie, príklady.

Lineárne nerovnosti sa nazývajú nerovnice, v ktorých x je na prvom stupni a neexistuje delenie x. Typ:

x+3 > 5x-5

Ako sa riešia tieto nerovnosti? Sú veľmi ľahko riešiteľné! Totiž: s pomocou znížime najzmätenejšiu lineárnu nerovnosť rovno k odpovedi. To je celé riešenie. Vyzdvihnem hlavné body riešenia. Aby ste sa vyhli hlúpym chybám.)

Riešime túto nerovnosť:

x+3 > 5x-5

Riešime rovnakým spôsobom ako lineárnu rovnicu. S jediným rozdielom:

Venujte veľkú pozornosť znaku nerovnosti!

Prvý krok je najbežnejší. S x - doľava, bez x - doprava ... Toto je prvá identická transformácia, jednoduchá a bezproblémová.) Len nezabudnite zmeniť znamienka prenesených členov.

Znak nerovnosti sa zachová:

x-5x > -5-3

Predstavujeme podobné.

Znak nerovnosti sa zachová:

4x > -8

Zostáva použiť poslednú identickú transformáciu: vydeľte obe časti -4.

Deliť podľa negatívnečíslo.

Znamienko nerovnosti bude obrátené:

X < 2

Toto je odpoveď.

Takto sa riešia všetky lineárne nerovnosti.

Pozor! Bod 2 je nakreslený bielou farbou, t.j. nenamaľované. Vo vnútri prázdno. To znamená, že nie je zahrnutá v odpovedi! Takúto zdravú som ju nakreslil zámerne. Takýto bod (prázdny, nie zdravý!)) v matematike sa nazýva vyrazený bod.

Zostávajúce čísla na osi je možné označiť, ale nie je to potrebné. Cudzie čísla, ktoré nesúvisia s našou nerovnosťou, môžu byť mätúce, áno ... Len si treba uvedomiť, že nárast čísel ide v smere šípky, t.j. čísla 3, 4, 5 atď. sú doprava dvojky a čísla 1, 0, -1 atď. - doľava.

Nerovnosť x < 2 - prísny. X je striktne menej ako dva. V prípade pochybností je kontrola jednoduchá. Do nerovnice dosadíme pochybné číslo a pomyslíme si: "Dva je menej ako dva? Samozrejme, že nie!" presne tak. Nerovnosť 2 < 2 nesprávne. Dvojka nie je dobrá ako odpoveď.

Je single dosť dobrý? určite. Menej ... A nula je dobrá a -17 a 0,34 ... Áno, všetky čísla, ktoré sú menšie ako dve, sú dobré! A dokonca 1,9999 .... Aspoň trochu, ale menej!

Všetky tieto čísla teda označíme na číselnej osi. ako? Tu sú možnosti. Prvou možnosťou je šrafovanie. Ukážeme myšou na obrázok (alebo sa dotkneme obrázka na tablete) a vidíme, že oblasť guľôčok x, ktorá zodpovedá podmienke x, je zatienená < 2 . To je všetko.

Pozrime sa na druhú možnosť v druhom príklade:

X ≥ -0,5

Nakreslite os, označte číslo -0,5. Páči sa ti to:

Všimli ste si ten rozdiel?) No áno, je ťažké si to nevšimnúť... Táto bodka je čierna! Premaľované. To znamená, že -0,5 zahrnuté v odpovedi. Tu, mimochodom, kontrolu a zmiasť niekoho. Nahrádzame:

-0,5 ≥ -0,5

Ako to? -0,5 nie je nič viac ako -0,5! Existuje viac ikon...

Je to v poriadku. V neprísnej nerovnosti je vhodné všetko, čo sa hodí k ikone. A rovná sa fit a viac dobre. Preto je v odpovedi zahrnutých -0,5.

Takže na osi sme označili -0,5, zostáva označiť všetky čísla, ktoré sú väčšie ako -0,5. Tentokrát označujem rozsah vhodných hodnôt x spútať(od slova oblúk) skôr ako vyliahnutie. Umiestnite kurzor myši na obrázok a uvidíte tento luk.

Medzi šrafovaním a oblúkmi nie je žiadny zvláštny rozdiel. Urobte, ako hovorí učiteľ. Ak nie je učiteľ, nakreslite ruky. Pri zložitejších úlohách je šrafovanie menej zrejmé. Môžete sa zmiasť.

Takto sa na osi vykresľujú lineárne nerovnosti. Prejdeme k ďalšej singularite nerovností.

Napíšte odpoveď na nerovnosti.

V rovniciach to bolo dobré.) Našli sme x a zapísali sme odpoveď, napríklad: x \u003d 3. V nerovnostiach existujú dve formy písania odpovedí. Jeden - vo forme konečnej nerovnosti. Dobré pre jednoduché prípady. Napríklad:

X< 2.

Toto je úplná odpoveď.

Niekedy je potrebné napísať to isté, ale v inej forme, cez číselné medzery. Potom záznam začne vyzerať veľmi vedecky):

x ∈ (-∞; 2)

Pod ikonou ∈ skrývanie slova „patrí“.

Záznam znie takto: x patrí do intervalu od mínus nekonečna do dvoch nezahrňuje. Celkom logické. X môže byť ľubovoľné číslo zo všetkých možných čísel od mínus nekonečna po dve. Dvojité X nemôže byť, čo nám hovorí slovo "nezahrňuje".

Kde je v odpovedi, že "nezahrňuje"? Táto skutočnosť je uvedená v odpovedi. okrúhly zátvorka hneď za dvojkou. Ak by bola zahrnutá dvojka, zátvorka by bola námestie. Tu je: ]. Nasledujúci príklad používa takúto zátvorku.

Zapíšme si odpoveď: x ≥ -0,5 cez intervaly:

x ∈ [-0,5; +∞)

Číta: x patrí do intervalu od mínus 0,5, počítajúc do toho, až do plus nekonečna.

Infinity sa nikdy nedá zapnúť. Nie je to číslo, je to symbol. Preto v takýchto záznamoch nekonečno vždy koexistuje so zátvorkou.

Táto forma záznamu je vhodná pre zložité odpovede pozostávajúce z niekoľkých medzier. Ale - len pre konečné odpovede. V medzivýsledkoch, kde sa očakáva ďalšie riešenie, je lepšie použiť obvyklú formu vo forme jednoduchej nerovnosti. Budeme sa tomu venovať v príslušných témach.

Populárne úlohy s nerovnosťami.

Samotné lineárne nerovnosti sú jednoduché. Preto sú úlohy často ťažšie. Takže, myslieť si, že to bolo potrebné. Toto, ak je to zo zvyku, nie je veľmi príjemné.) Ale je to užitočné. Ukážem príklady takýchto úloh. Nie aby ste sa ich učili, je to zbytočné. A aby sa pri stretnutí s podobnými príkladmi nebáli. Trochu zamyslenia - a všetko je jednoduché!)

1. Nájdite ľubovoľné dve riešenia nerovnosti 3x - 3< 0

Ak nie je jasné, čo robiť, nezabudnite na hlavné pravidlo matematiky:

Ak nevieš, čo máš robiť, rob, čo môžeš!

X < 1

No a čo? Nič zvláštne. Čo sa nás pýtajú? Máme za úlohu nájsť dve konkrétne čísla, ktoré sú riešením nerovnosti. Tie. zodpovedať odpovedi. Dva akýkoľvekčísla. Vlastne je to trápne.) Pár 0 a 0,5 je vhodných. Pár -3 a -8. Áno, týchto párov je nekonečné množstvo! Aká je správna odpoveď?!

Odpoviem: všetko! Akýkoľvek pár čísel, z ktorých každé je menšie ako jedna, by bola správna odpoveď. Píšte čo chcete. Poďme ďalej.

2. Vyriešte nerovnosť:

4x - 3 ≠ 0

Takéto práce sú zriedkavé. Ale ako pomocné nerovnosti, napríklad pri hľadaní ODZ alebo pri hľadaní domény funkcie, sa s nimi stretávame neustále. Takáto lineárna nerovnosť môže byť vyriešená ako obyčajná lineárna rovnica. Iba všade, okrem znaku "=" ( rovná sa) dať znamenie " ≠ " (nerovná sa). Takže prídete k odpovedi so znakom nerovnosti:

X ≠ 0,75

V zložitejších príkladoch je lepšie robiť veci inak. Vyrovnajte nerovnosť. Páči sa ti to:

4x - 3 = 0

Pokojne to vyriešte, ako ste sa naučili, a získajte odpoveď:

x = 0,75

Hlavná vec, úplne na konci, pri zapisovaní konečnej odpovede, je nezabudnúť, že sme našli x, čo dáva rovnosť. A potrebujeme - nerovnosť. Preto toto X jednoducho nepotrebujeme.) A musíme si to zapísať so správnou ikonou:

X ≠ 0,75

Tento prístup vedie k menšiemu počtu chýb. Tí, ktorí riešia rovnice na stroji. A pre tých, ktorí neriešia rovnice, sú nerovnice v podstate zbytočné...) Ďalší príklad obľúbenej úlohy:

3. Nájdite najmenšie celočíselné riešenie nerovnosti:

3 (x - 1) < 5x + 9

Najprv jednoducho vyriešime nerovnosť. Otvárame zátvorky, prenášame, dávame podobné ... Získame:

X > - 6

Nestalo sa!? Sledovali ste znamenia? A za znakmi členov a za znakom nerovnosti ...

Opäť si predstavme. Musíme nájsť konkrétne číslo, ktoré zodpovedá odpovedi aj podmienke „najmenšie celé číslo“. Ak vám to hneď nesvitne, môžete si jednoducho vziať ľubovoľné číslo a prísť na to. Dva je väčšie ako mínus šesť? Určite! Existuje vhodné menšie číslo? Samozrejme. Napríklad nula je väčšia ako -6. A ešte menej? Potrebujeme čo najmenšie! Mínus tri je viac ako mínus šesť! Už môžete zachytiť vzorec a prestať hlúpo triediť čísla, však?)

Berieme číslo bližšie k -6. Napríklad -5. Odpoveď vykonaná, -5 > - 6. Dokážete nájsť iné číslo menšie ako -5, ale väčšie ako -6? Môžete napríklad -5,5 ... Stop! Bolo nám povedané celý rozhodnutie! Nekotúľa sa -5,5! A čo mínus šesť? Eee! Nerovnosť je prísna, mínus 6 nie je menej ako mínus 6!

Správna odpoveď je teda -5.

Dúfam, že s výberom hodnoty zo všeobecného riešenia je všetko jasné. Ďalší príklad:

4. Vyriešte nerovnosť:

7 < 3x+1 < 13

Ako! Takýto výraz sa nazýva trojitá nerovnosť. Presne povedané, ide o skrátený zápis systému nerovností. Ale aj tak treba v niektorých úlohách riešiť takéto trojité nerovnosti ... Rieši sa to bez akýchkoľvek systémov. Tými istými identickými premenami.

Je potrebné zjednodušiť, priviesť túto nerovnosť na čisté X. Ale... Čo kam preniesť!? Tu je čas zapamätať si, že radenie zľava doprava je skrátená forma prvá identická premena.

A celá forma vyzerá takto: Do oboch častí rovnice (nerovnosť) môžete pridať/odčítať ľubovoľné číslo alebo výraz.

Sú tu tri časti. Na všetky tri časti teda použijeme identické transformácie!

Zbavme sa teda tej strednej časti nerovnosti. Odčítajte jeden od celej strednej časti. Aby sa nerovnosť nezmenila, odpočítame jednu od zvyšných dvoch častí. Páči sa ti to:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Už lepšie, však?) Zostáva rozdeliť všetky tri časti na tri:

2 < X < 4

To je všetko. Toto je odpoveď. X môže byť ľubovoľné číslo od dvoch (bez) do štyroch (bez). Táto odpoveď je tiež písaná v intervaloch, takéto záznamy budú v štvorcových nerovnostiach. Tam sú to najbežnejšie.

Na konci lekcie zopakujem to najdôležitejšie. Úspech pri riešení lineárnych nerovníc závisí od schopnosti transformovať a zjednodušiť lineárne rovnice. Ak v rovnakom čase sledujte znak nerovnosti, nebudú žiadne problémy. Čo ti prajem. žiaden problém.)

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Nerovnosť je zápis, v ktorom sú čísla, premenné alebo výrazy spojené znamienkom<, >, alebo . To znamená, že nerovnosť možno nazvať porovnaním čísel, premenných alebo výrazov. Známky < , > , ⩽ a ⩾ volal znaky nerovnosti.

Typy nerovností a spôsob ich čítania:

Ako je zrejmé z príkladov, všetky nerovnosti pozostávajú z dvoch častí: ľavej a pravej, ktoré sú spojené jedným zo znakov nerovnosti. Podľa znaku spájajúceho časti nerovností sa delia na prísne a neprísne.

Prísne nerovnosti- nerovnosti, ktorých časti sú spojené znakom< или >. Neprísne nerovnosti- nerovnosti, ktorých časti sú spojené znakom alebo .

Zvážte základné pravidlá porovnávania v algebre:

• Akékoľvek kladné číslo väčšie ako nula.
• Akékoľvek záporné číslo je menšie ako nula.
• Z dvoch záporných čísel je väčšie číslo s menšou absolútnou hodnotou. Napríklad -1 > -7.
• a a b pozitívne:

  a - b > 0,

  To a viac b (a > b).

• Ak je rozdiel dvoch nerovnakých čísel a a b negatívne:

  a - b < 0,

  To a menšie b (a < b).

• Ak je číslo väčšie ako nula, potom je kladné:

  a> 0 znamená a je kladné číslo.

• Ak je číslo menšie ako nula, potom je záporné:

  a < 0, значит a- záporné číslo.

Ekvivalentné nerovnosti- nerovnosti, ktoré sú dôsledkom inej nerovnosti. Napríklad ak a menšie b, potom b viac a:

a < b a b > a- ekvivalentné nerovnosti

Vlastnosti nerovností

1. Ak sa k obom častiam nerovnosti pridá rovnaké číslo alebo sa od oboch častí odčíta rovnaké číslo, získa sa ekvivalentná nerovnosť, tj.

   ak a > b, potom a + c > b + c a a - c > b - c

   Z toho vyplýva, že je možné prenášať členy nerovnosti z jednej časti do druhej s opačným znamienkom. Napríklad pridanie na obe strany nerovnosti a - b > c - d na d, dostaneme:

   a - b > c - d

   a - b + d > c - d + d

   a - b + d > c

2. Ak sa obe časti nerovnosti vynásobia alebo vydelia rovnakým kladným číslom, získa sa ekvivalentná nerovnosť, tj.
3. Ak sa obe časti nerovnosti vynásobia alebo vydelia rovnakým záporným číslom, získa sa nerovnosť opačná k danej, to znamená, že pri vynásobení alebo delení oboch častí nerovnosti záporným číslom znamienko nerovnosti treba zmeniť na opak.

   Túto vlastnosť možno použiť na zmenu znamienka všetkých členov nerovnosti vynásobením oboch strán -1 a obrátením znamienka nerovnosti:

   -a + b > -c

   (-a + b) · -jedna< (-c) · -jedna

   a - b < c

   Nerovnosť -a + b > -c je ekvivalentná nerovnosti a - b < c

Napríklad výraz \(x>5\) je nerovnosť.

Druhy nerovností:

Ak sú \(a\) a \(b\) čísla alebo , potom sa volá nerovnosť číselné. V skutočnosti ide len o porovnanie dvoch čísel. Tieto nerovnosti sú rozdelené na verný a neverný.

Napríklad:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) je neplatná číselná nerovnosť, pretože \(17+3=20\) a \(20\) je menšie ako \(115\) (nie väčšie alebo rovné).

Ak sú \(a\) a \(b\) výrazy obsahujúce premennú, potom máme nerovnosť s premennou. Takéto nerovnosti sú rozdelené do typov v závislosti od obsahu:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Variabilné len na prvú mocninu
\(3x^2-x+5>0\)				V druhej mocnine (štvorci) je premenná, ale žiadne vyššie mocniny (tretia, štvrtá atď.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... atď.

Aké je riešenie nerovnosti?

Ak sa do nerovnosti namiesto premennej dosadí akékoľvek číslo, zmení sa na číselné.

Ak daná hodnota pre x robí pôvodnú nerovnosť skutočne numerickou, potom sa volá riešenie nerovnosti. Ak nie, potom táto hodnota nie je riešením. A do vyriešiť nerovnosť- musíte nájsť všetky jeho riešenia (alebo ukázať, že neexistujú).

Napríklad, ak sme v lineárnej nerovnosti \(x+6>10\), dosadíme namiesto x číslo \(7\), dostaneme správnu číselnú nerovnosť: \(13>10\). A ak dosadíme \(2\), vznikne nesprávna číselná nerovnosť \(8>10\). To znamená, že \(7\) je riešením pôvodnej nerovnosti, ale \(2\) nie je.

Nerovnosť \(x+6>10\) má však aj iné riešenia. Správne číselné nerovnosti skutočne získame dosadením a \(5\), a \(12\) a \(138\) ... A ako nájdeme všetky možné riešenia? Ak to chcete urobiť, použite V našom prípade máme:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

To znamená, že môžeme použiť akékoľvek číslo väčšie ako štyri. Teraz si musíme zapísať odpoveď. Riešenia nerovností sa spravidla píšu numericky, navyše sa označujú na numerickej osi šrafovaním. Pre náš prípad máme:

odpoveď: \(x\in(4;+\infty)\)

Kedy sa zmení znamienko pri nerovnosti?

V nerovnostiach je jedna veľká pasca, do ktorej študenti naozaj „radi“ padajú:

Keď násobíte (alebo delíte) nerovnosť záporným číslom, je obrátená („väčšie ako“ „menej“, „väčšie ako alebo rovné“ „menšie ako alebo rovné“ atď.)

Prečo sa to deje? Aby sme to pochopili, pozrime sa na transformácie numerickej nerovnosti \(3>1\). Je to tak, trojka je naozaj viac ako jedna. Najprv to skúsme vynásobiť ľubovoľným kladným číslom, napríklad dvoma:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Ako vidíte, po vynásobení zostáva nerovnosť pravdivá. A bez ohľadu na to, aké kladné číslo vynásobíme, vždy dostaneme správnu nerovnosť. A teraz skúsme vynásobiť záporným číslom, napríklad mínus tri:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Ukázalo sa, že ide o nesprávnu nerovnosť, pretože mínus deväť je menej ako mínus tri! To znamená, že na to, aby sa nerovnosť stala pravdivou (čo znamená, že transformácia násobenia záporom bola „legálna“), musíte otočiť znamienko porovnávania takto: \(−9<− 3\).
S delením to dopadne podobne, môžete si to overiť sami.

Vyššie napísané pravidlo platí pre všetky typy nerovností, nielen pre numerické.

Príklad: Vyriešte nerovnosť \(2(x+1)-1<7+8x\)
rozhodnutie:

\(2x+2-1<7+8x\)	Presuňme sa \(8x\) doľava a \(2\) a \(-1\) doprava, pričom nezabudnime zmeniť znamienka
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Vydeľte obe strany nerovnosti \(-6\), pričom nezabudnite zmeniť z „menej“ na „väčšiu“
	Vyznačme si na osi číselný interval. Nerovnosť, takže hodnota \(-1\) je „vyrazená“ a neberieme ju ako odpoveď
	Napíšme odpoveď ako interval

odpoveď: \(x\in(-1;\infty)\)

Nerovnosti a DHS

Nerovnice, ako aj rovnice, môžu mať obmedzenia na , teda na hodnoty x. Hodnoty, ktoré sú podľa ODZ neprijateľné, by sa preto mali z intervalu riešenia vylúčiť.

Príklad: Vyriešte nerovnosť \(\sqrt(x+1)<3\)

rozhodnutie: Je jasné, že na to, aby bola ľavá strana menšia ako \(3\), koreňový výraz musí byť menší ako \(9\) (veď z \(9\) len \(3\)). Dostaneme:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(X<8\)

všetky? Vyhovuje nám akákoľvek hodnota x menšia ako \(8\)? nie! Pretože ak vezmeme napríklad hodnotu \(-5\), ktorá sa zdá byť v súlade s požiadavkou, nebude to riešenie pôvodnej nerovnosti, pretože nás to privedie k výpočtu odmocniny záporného čísla.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Preto musíme brať do úvahy aj obmedzenia hodnôt x - nemôže byť také, aby pod koreňom bolo záporné číslo. Máme teda druhú požiadavku na x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

A aby x bolo konečným riešením, musí spĺňať obe požiadavky naraz: musí byť menšie ako \(8\) (aby bolo riešením) a väčšie ako \(-1\) (aby bolo v princípe platné). Vynesením na číselnú os máme konečnú odpoveď:

odpoveď: \(\left[-1;8\right)\)

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu konkrétnej osoby alebo jej kontaktovanie.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje, aby sme vám mohli posielať dôležité oznámenia a oznámenia.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Definícia a základné vlastnosti nerovností.

Definície:

nerovnosti sa nazývajú výrazy formy a ≤ b), a>b (a ≥ b) ,

kde a a b môžu byť čísla alebo funkcie.

Symboly<(≤ ) , >( ≥ ) volalznaky nerovnostia čítaj podľa toho:

menšie (menšie alebo rovné), väčšie než (väčšie alebo rovné).

Nerovnosti, ktoré sú zapísané pomocou znakov > a< ,называются prísny

a nerovnosti, na ktorých sa znamenia podieľajú≥ a ≤,- neprísne.

Nerovnosti formy a volaldvojité nerovnosti

a čítaj podľa toho: X viac a, ale menej b (X viac alebo rovné a ale menšie alebo rovné b ).

Existujú dva typy nerovností:číselné ( 2>0,7 ;½<6 ) anerovnosti s premennou (5 x-40>0; x²-2x<0 ) .

Vlastnosti číselných nerovností:

• Ak a>b, potom b ; ak a , potom b>a .
• Ak a a b , potom a .
• Ak a a c- teda akékoľvek číslo a+c .
• Ak a a c>0, potom ac Ak a a c<0, то ac>bc.
• Ak a a c , potom a+c .
• Ak a a c , kde a, b, c, d sú kladné čísla, potom ac .

Číselné rozpätia

Nerovnosť	Číselné medzera	názov interval	Geometrické výklad
		uzavretý interval (segment) s koncami a a b ,a
		otvorený interval (interval) s koncami a a b ,a
		polootvorené intervaly (polintervaly) s koncami a a b ,a
		nekonečné medzery (lúče)
		nekonečné medzery (otvorené trámy)
		nekonečné rozpätie (číselná os)

O základné definície a vlastnosti.

Definície :

Riešenie nerovnosti s jednou premennou sa nazýva hodnota premennej,

kat čím sa zmení na skutočnú číselnú nerovnosť.

Vyriešte nerovnosťznamená nájsť všetky jeho riešenia alebo dokázať, že riešenia neexistujú.

Nerovnice, ktoré majú rovnaké riešenia sa nazývajúekvivalent.

Nerovnosti, ktoré nemajú riešenia, sa tiež považujú za rovnocenné.

Pri riešení nerovností sa používajú: vlastnosti :

1) Ak prenesieme z jednej časti nerovnosti do

iný výraz s opačným znamienkom,

2) Ak sa obe časti nerovnosti vynásobia resp

delené rovnakým kladným číslom,

potom dostaneme ekvivalentnú nerovnosť.

3) Ak sa obe strany nerovnosti vynásobia resp

delené rovnakým záporným číslom,

zmena znamienka nerovnosti na opak,

potom dostaneme ekvivalentnú nerovnosť.

Mnohé nerovnosti v procese transformácií sú redukované na lineárne nerovnosti.

Hnerovnosti formy ah> b(Oh , kdea ab - nejaké čísla

sa volajú lineárne nerovnosti s jednou premennou.

Ak a>0 , potom nerovnosť sekera>bsa rovnánerovnosť

a veľa riešeníje tam medzera

Ak a<0 , potom nerovnosť sekera>bje ekvivalentná nerovnosti

a veľa riešeníje tam medzera

nerovnosť nadobúda formu 0∙ x>b, t.j. nemá žiadne riešenia , ak b≥0,

a pravdivé pre každého X,ak b<0 .

Analytický spôsob riešenia nerovností s jednou premennou.

Algoritmus na riešenie nerovnosti s jednou premennou

• Preveďte obe strany nerovnosti.
• Prineste podobné podmienky.
• Doveďte nerovnosti do najjednoduchšej podoby, založenej na vlastnostiach nerovností.
• Zapíšte si odpoveď.

Uveďme príklady riešenia nerovností .

Príklad 1 Rozhodnite sa byť nerovnosť 3x≤ 15.

rozhodnutie:

Obez časti nerovnosti

Rpoďme sa rozdeliť na kladné číslo 3(vlastnosť 2): x ≤ 5.

Množinou riešení nerovnice je číselný interval (-∞;5] .

odpoveď:(- ∞;5]

Príklad 2 . Rozhodnite sa nerovnosť je -10 x≥34 .

rozhodnutie:

Obez časti nerovnostiRpoďme sa rozdeliť na záporné číslo -10,

pričom znamienko nerovnosti sa mení na opak(majetok 3) : x ≤ - 3,4.

Množinou riešení nerovnice je interval (-∞;-3,4] .

odpoveď: (-∞;-3,4] .

Príklad 3 Rozhodnite sa nerovnosť 18+6x>0.

rozhodnutie:

Posunieme člen 18 s opačným znamienkom na ľavú stranu nerovnosti(vlastnosť 1): 6x>-18.

Vydeľte obe časti 6 (nehnuteľnosť 2):

x>-3.

Množinou riešení nerovnice je interval (-3;+∞ ).

odpoveď: (-3;+∞ ).

Príklad 4Rozhodnite sa nerovnosti 3 (x-2)-4 (x+2)<2(x-3)-2.

rozhodnutie:

Otvoríme zátvorky: 3x-6-4x-8<2x-6-2 .

Presunieme pojmy obsahujúce neznáme na ľavú stranu,

a výrazy neobsahujúce neznáme, na pravú stranu (nehnuteľnosť 1) :

3x-4x-2x<6+8-6-2.

Tu sú podobní členovia:-3 x<6.

Vydeľte obe časti číslom -3 (nehnuteľnosť 3) :

x>-2.

Množinou riešení nerovnice je interval (-2;+∞ ).

odpoveď: (-2;+∞ ).

Príklad 5 . Rozhodnite sa nerovnosti

rozhodnutie:

Vynásobte obe strany nerovnosti najmenším spoločným menovateľom zlomkov,

zahrnuté do nerovnosti, t.j. na 6(nehnuteľnosť 2).

Dostaneme:

,

2x-3x≤12.

Odtiaľ, - x≤12,x≥-12 .

odpoveď: [ -12;+∞ ).

Príklad 6 . Rozhodnite sa byť nerovnosť 3(2-x)-2>5-3x.

rozhodnutie:

6-3x-2>5-3x, 4-3x>5-3x, -3x+3x>5-4.

Podobné členy uvádzame na ľavej strane nerovnosti a výsledok zapíšeme ako 0∙ x>1.

Výsledná nerovnosť nemá riešenia, pretože pre akúkoľvek hodnotu x

zmení sa na číselnú nerovnosť 0< 1, не являющееся верным.

Preto ani daná nerovnosť, ktorá je jej ekvivalentná, nemá riešenia.

odpoveď:neexistujú žiadne riešenia.

Príklad 7 . Rozhodnite sa byť nerovnosť 2(x+1)+5>3-(1-2x) .

rozhodnutie:

Zjednodušte nerovnosť rozšírením zátvoriek:

2x+2+5>3-1+2x, 2x+7>2+2x,2x-2x>2-7, 0∙x>-5.

Výsledná nerovnosť platí pre akúkoľvek hodnotu x,

pretože ľavá strana sa rovná nule pre ľubovoľné x a 0>-5.

Množina riešení nerovnosti je interval (-∞;+∞ ).

odpoveď:(-∞;+∞ ).

Príklad 8 . Pre aké hodnoty x má výraz zmysel:

b)

rozhodnutie:

a) Podľa definície aritmetickej druhej odmocniny

musí platiť nasledujúca nerovnosť 5x-3 ≥0.

Riešením dostaneme 5x≥3, x≥0,6.

Takže tento výraz dáva zmysel pre všetky x z intervalu )