Nájdite maximálnu výšku trojuholníka. Výška trojuholníka

Po prvé, trojuholník je geometrický útvar, ktorý je tvorený tromi bodmi, ktoré neležia na jednej priamke, ktoré sú spojené tromi úsečkami. Ak chcete zistiť, aká je výška trojuholníka, je potrebné najprv určiť jeho typ. Trojuholníky sa líšia veľkosťou uhlov a počtom rovnakých uhlov. Podľa veľkosti uhlov môže byť trojuholník ostrý, tupo a pravouhlý. Podľa počtu rovnakých strán sa rozlišujú rovnoramenné, rovnostranné a šupinové trojuholníky. Výška je kolmica, ktorá je znížená na opačnú stranu trojuholníka od jeho vrcholu. Ako zistiť výšku trojuholníka?

Ako zistiť výšku rovnoramenného trojuholníka

Rovnoramenný trojuholník je charakterizovaný rovnosťou strán a uhlov na svojej základni, preto sú výšky rovnoramenného trojuholníka nakresleného na strany trojuholníka vždy rovnaké. Výška tohto trojuholníka je tiež stredná a stredná. Podľa toho výška rozdeľuje základňu na polovicu. Uvažujeme výsledný pravouhlý trojuholník a pomocou Pytagorovej vety nájdeme stranu, teda výšku rovnoramenného trojuholníka. Pomocou nasledujúceho vzorca vypočítame výšku: H \u003d 1/2 * √4 * a 2 - b 2, kde: a - strana tohto rovnoramenného trojuholníka, b - základňa tohto rovnoramenného trojuholníka.

Ako zistiť výšku rovnostranného trojuholníka

Trojuholník s rovnakými stranami sa nazýva rovnostranný trojuholník. Výška takéhoto trojuholníka je odvodená zo vzorca pre výšku rovnoramenného trojuholníka. Vyjde to: H = √3/2*a, kde a je strana daného rovnostranného trojuholníka.

Ako nájsť výšku scalenového trojuholníka

Skalený trojuholník je trojuholník, v ktorom žiadne dve strany nie sú rovnaké. V takomto trojuholníku budú všetky tri výšky odlišné. Výškové dĺžky môžete vypočítať pomocou vzorca: H \u003d sin60 * a \u003d a * (sgrt3) / 2, kde a je strana trojuholníka, alebo najprv vypočítajte plochu konkrétneho trojuholníka pomocou Heronov vzorec, ktorý vyzerá takto: S \u003d (p * (p-c) * (p-b)*(p-a))^1/2, kde a, b, c sú strany scalenového trojuholníka a p je jeho polovica obvodu . Každá výška = 2*plocha/strana

Ako zistiť výšku pravouhlého trojuholníka

Pravý trojuholník má jeden pravý uhol. Výška, ktorá prechádza na jednu z nôh, je zároveň druhou nohou. Preto, aby ste našli výšky ležiace na nohách, musíte použiť upravený pytagorovský vzorec: a \u003d √ (c 2 - b 2), kde a, b sú nohy (a je noha, ktorú treba nájsť), c je dĺžka prepony. Aby ste našli druhú výšku, musíte umiestniť výslednú hodnotu a na miesto b. Na nájdenie tretej výšky ležiacej vo vnútri trojuholníka sa používa nasledujúci vzorec: h \u003d 2s / a, kde h je výška pravouhlého trojuholníka, s je jeho plocha, a je dĺžka strany, na ktorú výška bude kolmá.

Trojuholník sa nazýva ostrý, ak sú všetky jeho uhly ostré. V tomto prípade sú všetky tri výšky umiestnené vo vnútri ostrého trojuholníka. Trojuholník sa nazýva tupý, ak má jeden tupý uhol. Dve výšky tupého trojuholníka sú mimo trojuholníka a pripadajú na predĺženie strán. Tretia strana je vo vnútri trojuholníka. Výška je určená pomocou rovnakej Pytagorovej vety.

Všeobecné vzorce ako výpočet výšky trojuholníka

Vzorec na zistenie výšky trojuholníka cez strany: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b), kde h je výška, ktorú treba nájsť, a, b a c sú strany daného trojuholníka, p je jeho polobvod, .
Vzorec na zistenie výšky trojuholníka z hľadiska uhla a strany: H=b sin y = c sin ß
Vzorec na zistenie výšky trojuholníka z hľadiska plochy a strany: h = 2S / a, kde a je strana trojuholníka a h je výška postavená na stranu a.
Vzorec na zistenie výšky trojuholníka z hľadiska polomeru a strán: H= bc/2R.

Na vyriešenie mnohých geometrických problémov musíte nájsť výšku danej postavy. Tieto úlohy majú praktický význam. Pri vykonávaní stavebných prác pomáha určenie výšky vypočítať požadované množstvo materiálov, ako aj určiť, ako presne sa vyrábajú svahy a otvory. Na zostavenie vzorov často potrebujete mať predstavu o vlastnostiach

Mnoho ľudí, napriek dobrým známkam v škole, pri konštrukcii obyčajných geometrických útvarov vyvstáva otázka, ako nájsť výšku trojuholníka alebo rovnobežníka. A to je najťažšie. Je to preto, že trojuholník môže byť ostrý, tupý, rovnoramenný alebo pravý. Každý z nich má svoje vlastné pravidlá pre konštrukciu a výpočet.

Ako graficky nájsť výšku trojuholníka, v ktorom sú všetky uhly ostré

Ak sú všetky uhly trojuholníka ostré (každý uhol v trojuholníku je menší ako 90 stupňov), potom na zistenie výšky postupujte takto.

Podľa daných parametrov zostrojíme trojuholník.
Predstavme si notáciu. A, B a C budú vrcholy obrázku. Uhly zodpovedajúce každému vrcholu sú α, β, γ. Strany oproti týmto rohom sú a, b, c.
Výška je kolmica od vrcholu uhla k opačnej strane trojuholníka. Na zistenie výšok trojuholníka zostrojíme kolmice: od vrcholu uhla α ku strane a, od vrcholu uhla β ku strane b atď.
Priesečník výšky a strany a bude označený H1 a samotná výška bude h1. Priesečník výšky a strany b bude H2, výška, respektíve h2. Pre stranu c bude výška h3 a priesečník H3.

Výška v trojuholníku s tupým uhlom

Teraz zvážte, ako nájsť výšku trojuholníka, ak jeden (väčší ako 90 stupňov). V tomto prípade bude výška nakreslená z tupého uhla vo vnútri trojuholníka. Zvyšné dve výšky budú mimo trojuholníka.

Nech sú uhly α a β v našom trojuholníku ostré a uhol γ nech je tupý. Potom na zostrojenie výšok vychádzajúcich z uhlov α a β je potrebné pokračovať v protiľahlých stranách trojuholníka, aby sme nakreslili kolmice.

Ako zistiť výšku rovnoramenného trojuholníka

Takáto postava má dve rovnaké strany a základňu, pričom uhly v základni sú tiež rovnaké. Táto rovnosť strán a uhlov uľahčuje konštrukciu výšok a ich výpočet.

Najprv nakreslíme samotný trojuholník. Nech sú strany b a c, ako aj uhly β, γ rovnaké.

Teraz nakreslíme výšku od vrcholu uhla α, označme ju h1. Pre túto výšku bude stred aj stred.

Pre základ je možné vyrobiť iba jednu konštrukciu. Napríklad nakreslite stred - úsečku spájajúcu vrchol rovnoramenného trojuholníka a opačnú stranu, základňu, aby ste našli výšku a stred. A na výpočet dĺžky výšky pre ďalšie dve strany môžete postaviť iba jednu výšku. Aby sme teda mohli graficky určiť, ako vypočítať výšku rovnoramenného trojuholníka, stačí nájsť dve z troch výšok.

Ako zistiť výšku pravouhlého trojuholníka

Je oveľa jednoduchšie určiť výšku pravouhlého trojuholníka ako iné. Samotné nohy totiž tvoria pravý uhol, čiže sú to výšky.

Na vytvorenie tretej výšky sa ako obvykle nakreslí kolmica spájajúca vrchol pravého uhla a opačnú stranu. Výsledkom je, že na vytvorenie trojuholníka je v tomto prípade potrebná iba jedna konštrukcia.

Pri riešení rôznych druhov úloh, či už čisto matematického alebo aplikovaného charakteru (najmä v stavebníctve), je často potrebné určiť hodnotu výšky určitého geometrického útvaru. Ako vypočítať danú hodnotu (výšku) v trojuholníku?

Ak skombinujeme 3 body do párov, ktoré sa nenachádzajú na jednej priamke, potom bude výsledný obrázok trojuholník. Nadmorská výška je časť priamky z ľubovoľného vrcholu obrazca, ktorá pri pretínaní s opačnou stranou zviera uhol 90°.

Nájdite výšku v mierkovom trojuholníku

Určme hodnotu výšky trojuholníka v prípade, keď má obrazec ľubovoľné uhly a strany.

Heronov vzorec

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, kde

p - polovica obvodu obrázku, h(a) - segment na stranu a, nakreslený v pravom uhle k nej,

p=(a+b+c)/2 – výpočet polovice obvodu.

Ak existuje plocha obrázku, na určenie jeho výšky môžete použiť pomer h(a)=2S/a.

Goniometrické funkcie

Na určenie dĺžky úsečky, ktorá zviera pravý uhol v priesečníku so stranou a, môžete použiť nasledujúce vzťahy: ak sú známe strany b a uhol γ alebo strana c a uhol β, potom h(a)=b*sinγ alebo h(a)=c *sinp.
Kde:
γ je uhol medzi stranou b a a,
β je uhol medzi stranou c a a.

Vzťah s polomerom

Ak je pôvodný trojuholník vpísaný do kruhu, môžete na určenie výšky použiť polomer takéhoto kruhu. Jeho stred sa nachádza v bode, kde sa pretínajú všetky 3 výšky (z každého vrcholu) - ortocentrum a vzdialenosť od neho k vrcholu (ľubovoľnému) je polomer.

Potom h(a)=bc/2R, kde:
b, c - 2 ďalšie strany trojuholníka,
R je polomer kružnice opisujúcej trojuholník.

Nájdite výšku v pravouhlom trojuholníku

V tejto forme geometrického útvaru tvoria 2 strany v priesečníku pravý uhol - 90 °. Preto, ak je potrebné určiť hodnotu výšky v nej, potom je potrebné vypočítať buď veľkosť jednej z nôh, alebo hodnotu segmentu, ktorý tvorí 90 ° s preponou. Pri určovaní:
a, b - nohy,
c je prepona,
h(c) je kolmica na preponu.
Potrebné výpočty môžete vykonať pomocou nasledujúcich pomerov:

Pytagorova veta:

a \u003d √ (c 2 -b 2),
b \u003d √ (c 2 -a 2),
h(c)=2S/c S=ab/2, potom h(c)=ab/c.

Goniometrické funkcie:

a=c*sinβ,
b=c* cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

Nájdite výšku v rovnoramennom trojuholníku

Táto geometrická postava sa vyznačuje prítomnosťou dvoch strán rovnakej veľkosti a tretej - základne. Na určenie výšky nakreslenej na tretiu, inú stranu, prichádza na pomoc Pytagorova veta. S označeniami
a - strana,
c - základ,
h(c) je úsečka k c pod uhlom 90°, potom h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).

Trojuholník) alebo prejsť mimo trojuholníka v tupom trojuholníku.

Encyklopedický YouTube

1 / 5

✪ VÝŠKA STREDNEJ BISECTRIY trojuholníka Stupeň 7

✪ výška osi, stred, trojuholník. Geometria 7. ročník

✪ Stupeň 7, lekcia 17, Strednice, osy a výšky trojuholníka

✪ Stredná, os, výška trojuholníka | Geometria

✪ Ako zistiť dĺžku osy, mediánu a výšky? | Chat so mnou #031 | Boris Trushin

titulky

Vlastnosti priesečníka troch výšok trojuholníka (ortocentra)

E A → ⋅ B C → + E B → ⋅ C A → + E C → ⋅ A B → = 0 (\displaystyle (\overrightarrow (EA))\cdot (\overrightarrow (BC))+(\overrightarrow (EB))\cdot (\ overrightarrow (CA))+(\overrightarrow (EC))\cdot (\overrightarrow (AB))=0)

(Na preukázanie totožnosti by ste mali použiť vzorce

A B → = E B → − E A → , B C → = E C → − E B → , C A → = E A → − E C → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (EB))-(\overrightarrow (EA )),\,(\overrightarrow (BC))=(\overrightarrow (EC))-(\overrightarrow (EB)),\,(\overrightarrow (CA))=(\overrightarrow (EA))-(\overrightarrow (EC)))

Bod E by sa mal považovať za priesečník dvoch výšok trojuholníka.)

Ortocentrum izogonálne konjugovať do stredu opísaný kruh .
Ortocentrum leží na rovnakej priamke ako ťažisko, stred opísaný kruh a stred kruhu deväť bodov (pozri Eulerovu čiaru).
Ortocentrum ostrý trojuholník je stred kruhu vpísaného do jeho pravouhlého trojuholníka.
Stred trojuholníka opísaný ortocentrom s vrcholmi v stredoch strán daného trojuholníka. Posledný trojuholník sa nazýva dodatočný trojuholník vzhľadom na prvý trojuholník.
Posledná vlastnosť môže byť formulovaná nasledovne: Stred kružnice opísanej trojuholníku slúži ortocentrum dodatočný trojuholník.
Body, symetrické ortocentrum trojuholník vzhľadom na jeho strany leží na kružnici opísanej.
Body, symetrické ortocentrum trojuholníky vzhľadom na stredy strán tiež ležia na opísanej kružnici a zhodujú sa s bodmi diametrálne opačnými k zodpovedajúcim vrcholom.
Ak O je stred kružnice opísanej ΔABC, potom O H → = O A → + O B → + O C → (\displaystyle (\overrightarrow (OH))=(\overrightarrow (OA))+(\overrightarrow (OB))+(\overrightarrow (OC)))) ,
Vzdialenosť od vrcholu trojuholníka k ortocentru je dvakrát väčšia ako vzdialenosť od stredu opísanej kružnice k opačnej strane.
Akýkoľvek segment čerpaný z ortocentrum vždy rozpolí Eulerovu kružnicu, kým nepretne kružnicu opísanú. Ortocentrum je stredom homotety týchto dvoch kruhov.
Veta Hamilton. Tri úsečky spájajúce ortocentrum s vrcholmi trojuholníka s ostrým uhlom ho rozdeľujú na tri trojuholníky, ktoré majú rovnakú Eulerovu kružnicu (kruh deviatich bodov) ako pôvodný trojuholník s ostrým uhlom.
Dôsledky Hamiltonovej vety:
- Tri úsečky spájajúce ortocentrum s vrcholmi ostrouhlého trojuholníka ho delia na tri Hamiltonov trojuholník ktoré majú rovnaké polomery opísaných kružníc.
- Polomery opísaných kružníc troch Hamiltonove trojuholníky sa rovnajú polomeru kružnice opísanej okolo pôvodného trojuholníka s ostrým uhlom.
V ostrom trojuholníku leží ortocentrum vo vnútri trojuholníka; v tupom - mimo trojuholníka; v pravouhlom - na vrchole pravého uhla.

Vlastnosti výšok rovnoramenného trojuholníka

Ak sú v trojuholníku dve výšky rovnaké, potom je trojuholník rovnoramenný (Steinerova-Lemusova veta) a tretia výška je stredom aj osou uhla, z ktorého vychádza.
Platí to aj naopak: v rovnoramennom trojuholníku sú dve výšky rovnaké a tretia výška je stred aj os.
Rovnostranný trojuholník má všetky tri rovnaké výšky.

Vlastnosti základne výšok trojuholníka

základy výšky tvoria takzvaný ortotrojuholník, ktorý má svoje vlastnosti.
Kružnica opísaná v blízkosti ortotrojuholníka je Eulerova kružnica. Na tejto kružnici ležia aj tri stredy strán trojuholníka a tri stredy troch segmentov spájajúcich ortocentrum s vrcholmi trojuholníka.
Ďalšia formulácia poslednej vlastnosti:
- Eulerova veta pre kruh deväť bodov. základy tri výškyľubovoľný trojuholník, stredy jeho troch strán ( základy jej vnútra mediány) a stredy troch segmentov spájajúcich jeho vrcholy s ortocentrom, všetky ležia na rovnakom kruhu (na deväťbodový kruh).
Veta. V ľubovoľnom trojuholníku sa úsečka spája dôvodov dva výšky trojuholník odreže trojuholník podobný danému.
Veta. V trojuholníku sa úsečka spája dôvodov dva výšky trojuholníky na dvoch stranách antiparalelné treťou osobou, s ktorou nemá spoločné body. Cez jeho dva konce, ako aj cez dva vrcholy tretej spomínanej strany je možné vždy nakresliť kružnicu.

Ďalšie vlastnosti výšok trojuholníka

Ak trojuholník všestranný (scalene), potom jeho interné os nakreslená z akéhokoľvek vrcholu leží medzi interné medián a výška nakreslená z rovnakého vrcholu.
Výška trojuholníka je izogonálne konjugovaná s priemerom (polomerom) opísaný kruh nakreslený z rovnakého vrcholu.
V trojuholníku s ostrým uhlom dve výšky odrežte z neho podobné trojuholníky.
V obdĺžnikovom trojuholníku výška, nakreslený z vrcholu pravého uhla , ho rozdelí na dva trojuholníky podobné pôvodnému.

Vlastnosti minimálnej výšky trojuholníka

Minimálna výška trojuholníka má mnoho extrémnych vlastností. Napríklad:

Minimálny kolmý priemet trojuholníka na priamky ležiace v rovine trojuholníka má dĺžku rovnú najmenšej z jeho výšok.
Minimálny rovný rez v rovine, cez ktorý možno ťahať neohybnú trojuholníkovú platňu, musí mať dĺžku rovnú najmenšej z výšok tejto platne.
Pri nepretržitom pohybe dvoch bodov po obvode trojuholníka k sebe nesmie byť maximálna vzdialenosť medzi nimi počas pohybu od prvého stretnutia k druhému menšia ako dĺžka najmenšej z výšok trojuholníka.
Minimálna výška v trojuholníku je vždy v rámci tohto trojuholníka.

Základné pomery

h a = b ⋅ sin ⁡ γ = c ⋅ sin ⁡ β , (\displaystyle h_(a)=b(\cdot )\sin \gamma =c(\cdot )\sin \beta ,)
h a = 2 ⋅ S a , (\displaystyle h_(a)=(\frac (2(\cdot )S)(a))) kde S (\displaystyle S)- oblasť trojuholníka, a (\displaystyle a)- dĺžka strany trojuholníka, na ktorej je výška znížená.
h a = b ⋅ c 2 ⋅ R , (\displaystyle h_(a)=(\frac (b(\cdot )c)(2(\cdot )R)),) kde b ⋅ c (\displaystyle b(\cdot )c)- produkt strán, R − (\displaystyle R-) polomer opísanej kružnice
h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = (b ⋅ c) : (a ⋅ c) : (a ⋅ b) . (\displaystyle h_(a):h_(b):h_(c)=(\frac (1)(a)):(\frac (1)(b)):(\frac (1)(c)) =(b(\cdot )c):(a(\cdot )c):(a(\cdot )b).)
1 h a + 1 h b + 1 h c = 1 r (\displaystyle (\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_ (c)))=(\frac (1)(r))), kde r (\displaystyle r) je polomer vpísanej kružnice.
S = 1 (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) (\displaystyle S =(\frac (1)(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c ))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\frac (1)(h_(c))) )(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(b))))(\ cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(a)))))))), kde S (\displaystyle S)- oblasť trojuholníka.
a = 2 h a ⋅ (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) (\ štýl zobrazenia a=(\frac (2)(h_(a)(\cdot )(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b))) +(\frac (1)(h_(c)))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\ frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1) )(h_(b))))(\cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_ (a))))))))), a (\displaystyle a)- strana trojuholníka, na ktorú padá výška h a (\displaystyle h_(a)).
Výška rovnoramenného trojuholníka zníženého k základni: h c = 1 2 ⋅ 4 a 2 − c 2 , (\displaystyle h_(c)=(\frac (1)(2))(\cdot )(\sqrt (4a^(2)-c^(2)) ))

kde c (\displaystyle c)- základňa, a (\displaystyle a)- strana.

Veta o výške pravouhlého trojuholníka

Ak je výška v pravouhlom trojuholníku ABC h (\displaystyle h), ťahaný z vrcholu pravého uhla, delí preponu s dĺžkou c (\displaystyle c) do segmentov m (\displaystyle m) a n (\displaystyle n) zodpovedajúce nohám b (\displaystyle b) a a (\displaystyle a), potom platia nasledujúce rovnosti.

Výška trojuholníka je kolmica spadnutá z ktoréhokoľvek vrcholu trojuholníka na opačnú stranu alebo na jeho predĺženie (strana, na ktorú kolmica dopadá, v tomto prípade sa nazýva základňa trojuholníka).

V tupom trojuholníku pripadajú dve výšky na predĺženie strán a ležia mimo trojuholníka. Tretí je vo vnútri trojuholníka.

V ostrom trojuholníku ležia všetky tri výšky vo vnútri trojuholníka.

V pravouhlom trojuholníku slúžia nohy ako výšky.

Ako zistiť výšku od základne a oblasti

Spomeňte si na vzorec na výpočet plochy trojuholníka. Plocha trojuholníka sa vypočíta podľa vzorca: A = 1/2 bh.

A je plocha trojuholníka
b je strana trojuholníka, na ktorej je výška znížená.
h je výška trojuholníka

Pozrite sa na trojuholník a zamyslite sa nad tým, aké množstvá už poznáte. Ak dostanete oblasť, označte ju písmenom „A“ alebo „S“. Mali by ste dostať aj hodnotu strany, označte ju písmenom „b“. Ak vám nie je daná oblasť a nie je vám daná strana, použite inú metódu.

Majte na pamäti, že základňa trojuholníka môže byť akákoľvek strana trojuholníka, kde je výška znížená (bez ohľadu na to, ako je trojuholník umiestnený). Aby ste tomu lepšie porozumeli, predstavte si, že môžete tento trojuholník otáčať. Otočte ho tak, aby strana, o ktorej viete, smerovala nadol.

Napríklad plocha trojuholníka je 20 a jedna z jeho strán je 4. V tomto prípade „A = 20″“, „b = 4′“.

Nahraďte hodnoty, ktoré vám boli pridelené, vo vzorci na výpočet plochy (A \u003d 1 / 2bh) a nájdite výšku. Najprv vynásobte stranu (b) 1/2 a potom vydeľte plochu (A) výslednou hodnotou. Takto zistíte výšku trojuholníka.

V našom príklade: 20 = 1/2(4)h

20 = 2 hodiny
10 = h

Pripomeňme si vlastnosti rovnostranného trojuholníka. V rovnostrannom trojuholníku sú všetky strany a všetky uhly rovnaké (každý uhol je 60˚). Ak nakreslíte výšku v takomto trojuholníku, dostanete dva rovnaké pravouhlé trojuholníky.
Uvažujme napríklad rovnostranný trojuholník so stranou 8.

Pamätajte na Pytagorovu vetu. Pytagorova veta hovorí, že v akomkoľvek pravouhlom trojuholníku s nohami „a“ a „b“ je prepona „c“: a2 + b2 \u003d c2. Táto veta sa dá použiť na nájdenie výšky rovnostranného trojuholníka!

Rozdeľte rovnostranný trojuholník na dva pravouhlé trojuholníky (na tento účel nakreslite výšku). Potom označte strany jedného z pravouhlých trojuholníkov. Bočná strana rovnostranného trojuholníka je prepona „c“ pravouhlého trojuholníka. Rameno "a" sa rovná 1/2 strany rovnostranného trojuholníka a rameno "b" je požadovaná výška rovnostranného trojuholníka.

Takže v našom príklade s rovnostranným trojuholníkom so známou stranou rovnou 8: c = 8 a a = 4.

Dosaďte tieto hodnoty do Pytagorovej vety a vypočítajte b2. Najprv uveďte štvorec „c“ a „a“ (vynásobte každú hodnotu samostatne). Potom odčítajte a2 od c2.

42 + b2 = 82
16 + b2 = 64
b2 = 48

Zoberte druhú odmocninu z b2 a zistite výšku trojuholníka. Ak to chcete urobiť, použite kalkulačku. Výsledná hodnota bude výška vášho rovnostranného trojuholníka!

b = √48 = 6,93

Ako nájsť výšku pomocou uhlov a strán

Zamyslite sa nad tým, aké hodnoty poznáte. Výšku trojuholníka zistíte, ak poznáte strany a uhly. Napríklad, ak je známy uhol medzi základňou a stranou. Alebo ak sú známe hodnoty všetkých troch strán. Označme teda strany trojuholníka: "a", "b", "c", uhly trojuholníka: "A", "B", "C" a oblasť - písmeno "S".

Ak poznáte všetky tri strany, budete potrebovať oblasť trojuholníka a Heronov vzorec.

Ak poznáte dve strany a uhol medzi nimi, môžete použiť nasledujúci vzorec na nájdenie oblasti: S=1/2ab(sinC).

Ak máte uvedené hodnoty všetkých troch strán, použite Heronov vzorec. Tento vzorec bude vyžadovať niekoľko krokov. Najprv musíte nájsť premennú „s“ (týmto písmenom budeme označovať polovicu obvodu trojuholníka). Za týmto účelom nahraďte známe hodnoty do tohto vzorca: s = (a+b+c)/2.

Pre trojuholník so stranami a = 4, b = 3, c = 5, s = (4+3+5)/2. Výsledok je: s=12/2, kde s=6.

Potom druhou akciou nájdeme oblasť (druhá časť Heronovho vzorca). Plocha = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). Namiesto slova "plocha" vložte ekvivalentný vzorec na nájdenie oblasti: 1/2bh (alebo 1/2ah, alebo 1/2ch).

Teraz nájdite ekvivalentný výraz pre výšku (h). Pre náš trojuholník bude platiť nasledujúca rovnica: 1/2(3)h = (6(6-4)(6-3)(6-5)). Kde 3/2h=√(6(2(3(1))). Ukáže sa, že 3/2h = √(36). Pomocou kalkulačky vypočítajte druhú odmocninu. V našom príklade: 3/2h = 6. Ukazuje sa, že výška (h) je 4, strana b je základňa.

Ak sú podľa stavu problému známe dve strany a uhol, môžete použiť iný vzorec. Nahraďte oblasť vo vzorci ekvivalentným výrazom: 1/2bh. Takto dostanete nasledujúci vzorec: 1/2bh = 1/2ab(sinC). Dá sa to zjednodušiť do nasledujúceho tvaru: h = a(sin C) na odstránenie jednej neznámej premennej.

Teraz zostáva vyriešiť výslednú rovnicu. Napríklad nech „a“ = 3, „C“ = 40 stupňov. Potom bude rovnica vyzerať takto: "h" = 3 (sin 40). Pomocou kalkulačky a sínusovej tabuľky vypočítajte hodnotu "h". V našom príklade h = 1,928.