Bočný povrch rovnej pyramídy je Bočný povrch rôznych pyramíd

Aký tvar nazývame pyramída? Po prvé, je to mnohosten. Po druhé, na základni tohto mnohostenu je ľubovoľný mnohouholník a strany pyramídy (bočné strany) majú nevyhnutne tvar trojuholníkov zbiehajúcich sa v jednom spoločnom vrchole. Teraz, keď sme sa zaoberali pojmom, poďme zistiť, ako nájsť povrch pyramídy.

Je zrejmé, že povrchová plocha takéhoto geometrického telesa je tvorená súčtom plôch základne a celého jej bočného povrchu.

Výpočet plochy základne pyramídy

Výber výpočtového vzorca závisí od tvaru mnohouholníka ležiaceho na základni našej pyramídy. Môže byť správny, to znamená s rovnako dlhými stranami, alebo nesprávny. Zvážme obe možnosti.

Na základni je pravidelný mnohouholník

Zo školského kurzu je známe:

plocha štvorca sa bude rovnať dĺžke jeho strany na druhú;
Plocha rovnostranného trojuholníka sa rovná štvorcu jeho strany delenej 4-krát druhou odmocninou z troch.

Existuje však aj všeobecný vzorec na výpočet plochy akéhokoľvek pravidelného mnohouholníka (Sn): musíte vynásobiť hodnotu obvodu tohto mnohouholníka (P) polomerom kruhu, ktorý je v ňom vpísaný (r), a potom výsledok vydeľte dvoma: Sn=1/2P*r .

Základňa je nepravidelný mnohouholník.

Schéma na nájdenie jeho plochy je najprv rozdeliť celý mnohouholník na trojuholníky, vypočítať plochu každého z nich pomocou vzorca: 1/2a * h (kde a je základňa trojuholníka, h je výška znížená na tento základ), spočítajte všetky výsledky.

Bočná plocha pyramídy

Teraz vypočítajme plochu bočného povrchu pyramídy, t.j. súčet plôch všetkých jeho strán. Tu sú tiež 2 možnosti.

Majme ľubovoľnú pyramídu, t.j. taký, ktorého základňa je nepravidelný mnohouholník. Potom by ste mali samostatne vypočítať oblasť každej tváre a pridať výsledky. Keďže strany pyramídy môžu byť podľa definície iba trojuholníky, výpočet je založený na vzorci uvedenom vyššie: S=1/2a*h.
Nech je naša pyramída správna, t.j. na jeho základni leží pravidelný mnohouholník a priemet vrcholu pyramídy je v jeho strede. Potom na výpočet plochy bočného povrchu (Sb) stačí nájsť polovicu súčinu obvodu základného mnohouholníka (P) a výšky (h) strany (rovnaké pre všetky plochy) : Sb \u003d 1/2 P * h. Obvod mnohouholníka sa určí sčítaním dĺžok všetkých jeho strán.

Celková plocha pravidelnej pyramídy sa zistí súčtom plochy jej základne s plochou celého bočného povrchu.

Príklady

Napríklad vypočítajme algebraicky povrchy niekoľkých pyramíd.

Povrchová plocha trojuholníkovej pyramídy

Na základni takejto pyramídy je trojuholník. Podľa vzorca So \u003d 1 / 2a * h nájdeme plochu základne. Rovnaký vzorec použijeme na nájdenie plochy každej strany pyramídy, ktorá má tiež trojuholníkový tvar, a získame 3 oblasti: S1, S2 a S3. Plocha bočného povrchu pyramídy je súčtom všetkých oblastí: Sb \u003d S1 + S2 + S3. Pridaním plôch strán a základne dostaneme celkovú plochu požadovanej pyramídy: Sp \u003d So + Sb.

Povrchová plocha štvorhrannej pyramídy

Bočný povrch je súčtom 4 výrazov: Sb \u003d S1 + S2 + S3 + S4, z ktorých každý sa vypočíta pomocou vzorca oblasti trojuholníka. A oblasť základne bude potrebné hľadať v závislosti od tvaru štvoruholníka - správneho alebo nepravidelného. Celková plocha pyramídy sa opäť získa sčítaním základnej plochy a celkovej plochy danej pyramídy.

- Toto je polyedrická postava, na ktorej základni leží mnohouholník a zvyšné plochy sú znázornené trojuholníkmi so spoločným vrcholom.

Ak je základňa štvorec, potom sa nazýva pyramída štvoruholníkový, ak je trojuholník trojuholníkový. Výška pyramídy je nakreslená z jej vrcholu kolmo na základňu. Používa sa aj na výpočet plochy apotéma je výška bočnej plochy zníženej od jej vrcholu.
Vzorec pre plochu bočného povrchu pyramídy je súčtom plôch jej bočných plôch, ktoré sú si navzájom rovné. Tento spôsob výpočtu sa však používa veľmi zriedkavo. V podstate sa plocha pyramídy počíta cez obvod základne a apotému:

Zvážte príklad výpočtu plochy bočného povrchu pyramídy.

Nech je daná pyramída so základňou ABCDE a vrcholom F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm. Apotéma a = 5 cm. Nájdite plochu bočného povrchu pyramídy.
Nájdeme obvod. Pretože všetky plochy základne sú rovnaké, obvod päťuholníka sa bude rovnať:
Teraz môžete nájsť bočnú oblasť pyramídy:

Plocha pravidelnej trojuholníkovej pyramídy

Pravidelná trojuholníková pyramída sa skladá zo základne obsahujúcej pravidelný trojuholník a tri bočné plochy, ktoré majú rovnakú plochu.
Vzorec pre bočný povrch pravidelnej trojuholníkovej pyramídy možno vypočítať mnohými spôsobmi. Môžete použiť obvyklý vzorec na výpočet cez obvod a apotém, alebo môžete nájsť oblasť svojej tváre a vynásobiť ju tromi. Pretože tvár pyramídy je trojuholník, použijeme vzorec pre oblasť trojuholníka. Bude to vyžadovať apotém a dĺžku základne. Zvážte príklad výpočtu plochy bočného povrchu pravidelnej trojuholníkovej pyramídy.

Daná pyramída s apotémou a = 4 cm a základnou plochou b = 2 cm. Nájdite plochu bočného povrchu pyramídy.
Najprv nájdite oblasť jednej z bočných plôch. V tomto prípade to bude:
Nahraďte hodnoty vo vzorci:
Pretože v bežnej pyramíde sú všetky strany rovnaké, plocha bočného povrchu pyramídy sa bude rovnať súčtu plôch troch plôch. Respektíve:

Oblasť zrezanej pyramídy

Skrátené Pyramída je mnohosten tvorený ihlanom a jeho rezom rovnobežným so základňou.
Vzorec pre bočnú plochu zrezanej pyramídy je veľmi jednoduchý. Plocha sa rovná súčinu polovice súčtu obvodov základní a apotému:

Pred štúdiom otázok o tomto geometrickom útvare a jeho vlastnostiach je potrebné pochopiť niektoré pojmy. Keď človek počuje o pyramíde, predstaví si obrovské budovy v Egypte. Takto vyzerajú tie najjednoduchšie. Ale stávajú sa odlišné typy a tvarov, čo znamená, že výpočtový vzorec pre geometrické tvary bude iný.

Typy figúrok

Pyramída - geometrický obrazec , označujúce a reprezentujúce viaceré tváre. V skutočnosti ide o ten istý mnohosten, na ktorého základni leží mnohouholník a po stranách sú trojuholníky, ktoré sa spájajú v jednom bode - vrchole. Obrázok má dva hlavné typy:

správne;
skrátený.

V prvom prípade je základňou pravidelný mnohouholník. Tu sú všetky bočné plochy rovnaké medzi sebou a postavou samotnou poteší oko perfekcionistu.

V druhom prípade sú dve základne - veľká úplne dole a malá medzi hornou časťou, ktorá opakuje tvar hlavnej. Inými slovami, zrezaný ihlan je mnohosten s časťou vytvorenou rovnobežne so základňou.

Termíny a notácia

Základné pojmy:

Pravidelný (rovnostranný) trojuholník Postava s tromi rovnakými uhlami a rovnakými stranami. V tomto prípade sú všetky uhly 60 stupňov. Postava je najjednoduchšia z pravidelných mnohostenov. Ak toto číslo leží na základni, potom sa takýto mnohosten bude nazývať bežný trojuholníkový. Ak je základňou štvorec, pyramída sa bude nazývať pravidelná štvoruholníková pyramída.
Vertex- najvyšší bod, kde sa hrany stretávajú. Výška vrcholu je tvorená priamkou vychádzajúcou z vrcholu k základni pyramídy.
hrana je jednou z rovín mnohouholníka. Môže byť vo forme trojuholníka v prípade trojuholníkovej pyramídy alebo vo forme lichobežníka pre zrezanú pyramídu.
prierez – plochá postava vyplývajúce z pitvy. Nezamieňajte s sekciou, pretože sekcia zobrazuje aj to, čo je za sekciou.
Apothem- úsečka vedená od vrcholu pyramídy k jej základni. Je to tiež výška tváre, kde je druhý výškový bod. Táto definícia platí len vo vzťahu k pravidelnému mnohostenu. Napríklad - ak to nie je zrezaná pyramída, potom bude tvár trojuholník. V tomto prípade sa výška tohto trojuholníka stane apotémou.

Plošné vzorce

Nájdite plochu bočného povrchu pyramídy akýkoľvek typ možno vykonať niekoľkými spôsobmi. Ak obrázok nie je symetrický a je to mnohouholník s rôznymi stranami, potom je v tomto prípade jednoduchšie vypočítať celkovú plochu povrchu cez súhrn všetkých plôch. Inými slovami, musíte vypočítať plochu každej tváre a spočítať ich.

V závislosti od toho, aké parametre sú známe, môžu byť potrebné vzorce na výpočet štvorca, lichobežníka, ľubovoľného štvoruholníka atď. Samotné vzorce v rôznych prípadoch bude tiež iný.

V prípade bežnej postavy je hľadanie oblasti oveľa jednoduchšie. Stačí poznať niekoľko kľúčových parametrov. Vo väčšine prípadov sa pre takéto čísla vyžadujú presné výpočty. Preto budú nižšie uvedené zodpovedajúce vzorce. V opačnom prípade by ste museli všetko maľovať na niekoľko strán, čo len zamotá a popletie.

Základný vzorec pre výpočet bočný povrch pravidelnej pyramídy bude vyzerať takto:

S \u003d ½ Pa (P je obvod základne a je apotém)

Zoberme si jeden z príkladov. Mnohosten má základňu so segmentmi A1, A2, A3, A4, A5 a všetky sú rovné 10 cm.Apotéma nech sa rovná 5 cm. Najprv musíte nájsť obvod. Keďže všetkých päť plôch základne je rovnakých, možno ich nájsť takto: P \u003d 5 * 10 \u003d 50 cm. Ďalej použijeme základný vzorec: S \u003d ½ * 50 * 5 \u003d 125 cm štvorcových .

Bočný povrch pravidelnej trojuholníkovej pyramídy najľahšie vypočítať. Vzorec vyzerá takto:

S =½* ab *3, kde a je apotém, b je fazeta základne. Faktor tri tu znamená počet plôch základne a prvá časť je plocha bočného povrchu. Zvážte príklad. Daný obrazec s apotémou 5 cm a základnou plochou 8 cm Vypočítame: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 cm na druhú.

Bočný povrch zrezanej pyramídy je to trochu náročnejšie na výpočet. Vzorec vyzerá takto: S \u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * a, kde p_01 a p_02 sú obvody základní a je to apotém. Zvážte príklad. Predpokladajme, že pre štvoruholníkovú postavu sú rozmery strán podstavcov 3 a 6 cm, apotém je 4 cm.

Tu by ste pre začiatok mali nájsť obvody podstavcov: p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm; p_02=6*4=24 cm. Zostáva nahradiť hodnoty do hlavného vzorca a získať: S = 1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm na druhú.

Takto je možné nájsť bočnú plochu pravidelnej pyramídy akejkoľvek zložitosti. Pozor, nezamieňať tieto výpočty s celkovou plochou celého mnohostenu. A ak to stále potrebujete urobiť, stačí vypočítať plochu najväčšej základne mnohostenu a pridať ju k ploche bočného povrchu mnohostenu.

Video

Toto video vám pomôže upevniť informácie o tom, ako nájsť bočný povrch rôznych pyramíd.

V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC R- stred rebra AB, S- vrchol.
To je známe SR = 6 a oblasť bočného povrchu je 36 .
Nájdite dĺžku segmentu BC.

Urobme si žart. V pravidelnej pyramíde sú bočné steny rovnoramenné trojuholníky.

Úsečka SR- stred znížený k základni, a teda výška bočnej plochy.

Bočný povrch pravidelnej trojuholníkovej pyramídy sa rovná súčtu plôch
tri rovnaké strany S strana = 3 S ABS. Odtiaľ S ABS = 36:3 = 12- oblasť tváre.

Plocha trojuholníka je polovica súčinu jeho základne krát jeho výška.
S ABS = 0,5 AB SR. Keď poznáme plochu a výšku, nájdeme stranu základne AB = BC.
12 = 0,5 AB 6
12 = 3 AB
AB = 4

Odpoveď: 4

K problému môžete pristupovať z druhého konca. Nechajte stranu základne AB = BC = a.
Potom oblasť tváre S ABS = 0,5 AB SR = 0,5 a 6 = 3a.

Plocha každej z troch tvárí je 3a, oblasť troch tvárí je 9a.
Podľa stavu problému je plocha bočného povrchu pyramídy 36.
S strana = 9a = 36.
Odtiaľ a = 4.

Definícia. Bočná tvár- je to trojuholník, v ktorom jeden uhol leží na vrchole pyramídy a jeho opačná strana sa zhoduje so stranou základne (mnohouholníka).

Definícia. Bočné rebrá sú spoločné strany bočných plôch. Pyramída má toľko hrán, koľko je rohov v polygóne.

Definícia. výška pyramídy je kolmica spadnutá z vrcholu na základňu pyramídy.

Definícia. Apothem- toto je kolmica na bočnú stranu pyramídy, spustená z vrcholu pyramídy na stranu základne.

Definícia. Diagonálny rez- je to rez pyramídy rovinou prechádzajúcou vrcholom pyramídy a uhlopriečkou podstavy.

Definícia. Správna pyramída- Toto je pyramída, ktorej základňou je pravidelný mnohouholník a výška klesá do stredu základne.

Objem a povrch pyramídy

Vzorec. objem pyramídy cez základnú plochu a výšku:

vlastnosti pyramídy

Ak sú všetky bočné hrany rovnaké, potom môže byť okolo základne pyramídy opísaný kruh a stred základne sa zhoduje so stredom kruhu. Taktiež kolmica spadnutá zhora prechádza stredom základne (kruhu).

Ak sú všetky bočné rebrá rovnaké, potom sú naklonené k základnej rovine v rovnakých uhloch.

Bočné rebrá sú rovnaké, keď zvierajú rovnaké uhly so základnou rovinou, alebo ak možno okolo základne pyramídy opísať kruh.

Ak sú bočné steny naklonené k rovine základne pod jedným uhlom, potom môže byť do základne pyramídy vpísaný kruh a vrchol pyramídy sa premieta do jej stredu.

Ak sú bočné plochy naklonené k základnej rovine pod jedným uhlom, potom sú apotémy bočných plôch rovnaké.

Vlastnosti pravidelnej pyramídy

1. Vrch pyramídy je rovnako vzdialený od všetkých rohov základne.

2. Všetky bočné okraje sú rovnaké.

3. Všetky bočné rebrá sú naklonené v rovnakých uhloch k základni.

4. Apotémy všetkých bočných plôch sú rovnaké.

5. Plochy všetkých bočných plôch sú rovnaké.

6. Všetky plochy majú rovnaké dihedrálne (ploché) uhly.

7. Okolo pyramídy možno opísať guľu. Stred opísanej gule bude priesečníkom kolmic, ktoré prechádzajú stredom hrán.

8. Guľa môže byť vpísaná do pyramídy. Stred vpísanej gule bude priesečníkom priesečníkov vychádzajúcich z uhla medzi okrajom a základňou.

9. Ak sa stred vpísanej gule zhoduje so stredom opísanej gule, potom sa súčet plochých uhlov na vrchole rovná π alebo naopak, jeden uhol sa rovná π / n, kde n je číslo uhlov na základni pyramídy.

Spojenie pyramídy s guľou

Okolo pyramídy možno opísať guľu, keď na základni pyramídy leží mnohosten, okolo ktorého možno opísať kruh (nevyhnutná a postačujúca podmienka). Stred gule bude priesečníkom rovín prechádzajúcich kolmo cez stredy bočných hrán pyramídy.

Guľa môže byť vždy opísaná okolo akejkoľvek trojuholníkovej alebo pravidelnej pyramídy.

Guľa môže byť vpísaná do pyramídy, ak sa osové roviny vnútorných dihedrálnych uhlov pyramídy pretínajú v jednom bode (nevyhnutná a postačujúca podmienka). Tento bod bude stredom gule.

Spojenie pyramídy s kužeľom

Kužeľ sa nazýva vpísaný do pyramídy, ak sa ich vrcholy zhodujú a základňa kužeľa je vpísaná do základne pyramídy.

Kužeľ môže byť vpísaný do pyramídy, ak sú apotémy pyramídy rovnaké.

Kužeľ sa nazýva opísaný okolo pyramídy, ak sa ich vrcholy zhodujú a základňa kužeľa je opísaná okolo základne pyramídy.

Kužeľ môže byť opísaný okolo pyramídy, ak sú všetky bočné hrany pyramídy rovnaké.

Spojenie pyramídy s valcom

O pyramíde sa hovorí, že je vpísaná do valca, ak vrchol pyramídy leží na jednej základni valca a základňa pyramídy je vpísaná do inej základne valca.

Valec môže byť opísaný okolo pyramídy, ak môže byť kruh opísaný okolo základne pyramídy.

Definícia. Skrátená pyramída (pyramídový hranol)- Toto je mnohosten, ktorý sa nachádza medzi základňou pyramídy a rovinou rezu rovnobežnou so základňou. Pyramída má teda veľkú základňu a menšiu základňu, ktorá je podobná tej väčšej. Bočné plochy sú lichobežníkové.

Definícia. Trojuholníková pyramída (tetrahedron)- je to pyramída, v ktorej sú tri steny a základňa ľubovoľné trojuholníky.

Štvorsten má štyri steny a štyri vrcholy a šesť hrán, pričom žiadne dve hrany nemajú spoločné vrcholy, ale nedotýkajú sa.

Každý vrchol pozostáva z troch plôch a hrán, ktoré tvoria trojstenný uhol.

Segment spájajúci vrchol štvorstenu so stredom protiľahlej plochy sa nazýva medián štvorstenu(GM).

Bimedián sa nazýva segment spájajúci stredy protiľahlých hrán, ktoré sa nedotýkajú (KL).

Všetky bimediány a mediány štvorstenu sa pretínajú v jednom bode (S). V tomto prípade sú bimediány rozdelené na polovicu a mediány v pomere 3: 1 začínajúc zhora.

Definícia. naklonená pyramída je ihlan, v ktorom jedna z hrán zviera tupý uhol (β) so základňou.

Definícia. Obdĺžniková pyramída je pyramída, v ktorej je jedna z bočných plôch kolmá na základňu.

Definícia. Akútna uhlová pyramída je pyramída, v ktorej má apotém viac ako polovicu dĺžky strany základne.

Definícia. tupá pyramída je pyramída, v ktorej má apotém menej ako polovicu dĺžky strany základne.

Definícia. pravidelný štvorstenŠtvorsten, ktorého štyri strany sú rovnostranné trojuholníky. Je to jeden z piatich pravidelných polygónov. V pravidelnom štvorstene sú všetky dihedrálne uhly (medzi plochami) a trojstenné uhly (vo vrchole) rovnaké.

Definícia. Obdĺžnikový štvorsten nazýva sa štvorsten, ktorý má vo vrchole pravý uhol medzi tromi hranami (hrany sú kolmé). Vytvárajú sa tri tváre pravouhlý trojstenný uhol a okraje sú pravouhlé trojuholníky a základňou je ľubovoľný trojuholník. Apotém akejkoľvek tváre sa rovná polovici strany základne, na ktorú padá apotém.

Definícia. Izoedrický štvorsten Nazýva sa štvorsten, v ktorom sú bočné strany rovnaké a základňa je pravidelný trojuholník. Tváre takého štvorstenu sú rovnoramenné trojuholníky.

Definícia. Ortocentrický štvorsten nazýva sa štvorsten, v ktorom sa všetky výšky (kolmice), ktoré sú znížené zhora na opačnú stranu, pretínajú v jednom bode.

Definícia. hviezdna pyramída Mnohosten, ktorého základom je hviezda, sa nazýva.

Definícia. bipyramída- mnohosten pozostávajúci z dvoch rôznych pyramíd (pyramídy môžu byť aj odrezané), ktoré majú spoločnú základňu a vrcholy ležia na opačných stranách základnej roviny.