Začnite vo vede. Geometria

Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si Google účet (účet) a prihláste sa: https://accounts.google.com

Popisy snímok:

Ukončil študent strednej školy č. 7 8 "A" triedy Yunosheva Ksenia Inštruktor: Babina Natalya Alekseevna Salsk 2011 "Peak Formula"

Ciele práce: Zistiť existenciu iného, ​​odlišného od školských osnov, vzorca na nájdenie plochy mriežkového mnohouholníka. Oblasti použitia požadovaného vzorca.

Úvod. Matematické vzdelanie získané na všeobecnovzdelávacích školách je základnou súčasťou všeobecného vzdelania a všeobecnej kultúry moderného človeka. V tomto štádiu je školský systém navrhnutý na jedenásťročné vzdelávanie. Všetci žiaci na konci jedenásteho ročníka budú musieť zložiť Jednotnú štátnu skúšku, ktorá preukáže úroveň vedomostí získaných štúdiom v škole. Školské osnovy však nie vždy poskytujú najracionálnejšie spôsoby riešenia akýchkoľvek problémov. Napríklad pri pohľade na výsledky Jednotnej štátnej skúšky v roku 2010 je zrejmé, že veľa študentov stráca body kvôli úlohe B6. Dal som si za cieľ zistiť, ako ušetriť čas a správne vyriešiť tento problém.

Úloha B6. Obrázky sú zobrazené na kockovanom papieri s bunkami s rozmermi 1 cm x 1 cm (pozri obrázok). Nájdite ich plochu v centimetroch štvorcových.

Takže, aby som túto úlohu ešte vyriešil, musím použiť vzorce na nájdenie oblasti, ktorú študujeme v 8. ročníku. Ale zaberie to veľa času a potrebujem na otázku odpovedať čo najrýchlejšie, pretože čas na skúšku je prísne obmedzený. Preto som po prieskume zistil, že existuje Pickova veta, ktorá sa v školských osnovách neuvádza, ale pomôže mi rýchlejšie sa s úlohou vyrovnať.

Odkaz na históriu. Georg Alexander Pick (10. august 1859 – 26. júl 1942) bol rakúsky matematik. Zomrel v koncentračnom tábore Terezín. Dnes je známy vďaka Pickovmu vzorcu na určenie plochy mriežky mnohouholníkov. Svoj vzorec publikoval v novinách v roku 1899 a stal sa populárnym, keď ho Hugo Steinhaus zahrnul do vydania Mathematical Pictures v roku 1969. Pick študoval na Viedenskej univerzite a doktorát ukončil v roku 1880. Po získaní doktorátu bol vymenovaný za asistenta Ernesta Macha na Scherl-Ferdinandovej univerzite v Prahe. V roku 1881 sa tam stal učiteľom. V roku 1884 si vzal na univerzite dovolenku a začal pracovať s Felixom Kleinom na univerzite v Lipsku. V Prahe zostal až do odchodu do dôchodku v roku 1927, kedy sa vrátil do Viedne. Pick predsedal výboru na (vtedy) Nemeckej univerzite v Prahe, ktorá v roku 1911 vymenovala Alberta Einsteina za profesora matematickej fyziky. Picka bol zvolený za člena českej akadémie vied a umení, ale po ovládnutí Prahy nacistami bol vylúčený. Po odchode do dôchodku v roku 1927 sa Pick vrátil do Viedne, mesta, kde sa narodil. Po anšluse, keď nacisti 12. marca 1938 vstúpili do Rakúska, sa Pieck vrátil do Prahy. V marci 1939 nacisti napadli Československo. Georga poslali do koncentračného tábora Terezín 13. júla 1942. O dva týždne zomrel.

Pickova veta. Pickova veta je klasickým výsledkom kombinatorickej geometrie a geometrie čísel. Plocha mnohouholníka s celočíselnými vrcholmi sa rovná súčtu B + D/2 - 1, kde B je počet celočíselných bodov vo vnútri mnohouholníka a D je počet celočíselných bodov na hranici mnohouholníka.

Lichotivý dôkaz Pickovej vety. Každý takýto mnohouholník možno ľahko rozdeliť na trojuholníky s vrcholmi v uzloch mriežky, ktoré neobsahujú žiadne uzly ani vo vnútri, ani na stranách. Dá sa ukázať, že plochy všetkých týchto trojuholníkov sú rovnaké a rovné 1/2, a preto sa plocha mnohouholníka rovná polovici ich čísla T. Aby sme našli toto číslo, označíme n počet strán mnohouholníka, b - počet uzlov v ňom a b - počet uzlov na stranách vrátane vrcholov. Celkový súčet uhlov všetkých trojuholníkov je πТ. Teraz nájdime túto sumu iným spôsobom. Súčet uhlov s vrcholom v ktoromkoľvek vnútornom uzle je 2 π, t. j. celkový súčet takýchto uhlov je 2 π i; celkový súčet uhlov v uzloch na stranách, ale nie vo vrcholoch, je (b - n) π a súčet uhlov vo vrcholoch mnohouholníka je (n - 2) π. Teda π T \u003d 2i π + (b - n) π + (n - 2) π, z čoho získame výraz pre oblasť S mnohouholníka, známy ako Pickov vzorec. Napríklad na obrázku b = 9, i = 24, a preto je plocha polygónu 27,5.

Aplikácia. Takže späť k úlohe B6. Teraz, keď poznáme nový vzorec, môžeme ľahko nájsť oblasť tohto štvoruholníka. Pretože B je 5; D - 14, potom 5 + 14: 2-1 \u003d 11 (cm na druhú) Plocha tohto štvoruholníka je 11 cm na druhú.

Pomocou rovnakého vzorca môžeme nájsť oblasť trojuholníka. Od B-14, G-10, potom 14+10:2-1=18 (cm štvorcový) Plocha tohto trojuholníka je 18 cm štvorcových.

Ak B-9, D-12, potom: 9+12:2-1=14 (cm na druhú) Plocha tohto štvoruholníka je 14 cm na druhú.

Rozsah vzorca. Okrem toho, že sa vzorec používa pri rôznych druhoch skúšok, úloh a podobne, sprevádza celý svet okolo nás.

Podľa Peakovho vzorca S = B + ½ G-1 1) telo B=9, G=26, S=9+½ 26-1=9+13-1= 21 2) chvost B=0, G=8, S = 0 + 1/28-1 = 3 3) S = 21 + 3 = 24

Podľa Peakovho vzorca S \u003d B + ½ G-1 B \u003d 36, G \u003d 21 S \u003d 36 + ½ 21 -1 \u003d 36 + 10,5-1 \u003d 45,5

Záver. Výsledkom bolo, že som dospel k záveru, že existuje mnoho rôznych spôsobov riešenia plošných problémov, ktoré nie sú študované v školských osnovách, a ukázal som ich na príklade Pickovho vzorca.

Adresár. Mnohouholník bez sebapriesečníkov sa nazýva mriežkový mnohouholník, ak sú všetky jeho vrcholy v bodoch s celočíselnými súradnicami (v karteziánskom súradnicovom systéme). Bod v rovine súradníc sa nazýva celé číslo, ak sú obe jeho súradnice celými číslami.

Táto téma bude zaujímať študentov v ročníkoch 10-11 v rámci prípravy na skúšku. Vzorec Peak sa môže použiť pri výpočte plochy obrázku znázorneného na kockovanom papieri (táto úloha je navrhnutá v teste USE a meraní materiálov).

Počas vyučovania

„Téma matematiky je taká vážna

čo je užitočné nepremeškať príležitosť

urobte z toho trochu zábavy"

(B. Pascal)

učiteľ: Existujú problémy, ktoré sú nezvyčajné a nevyzerajú ako problémy zo školských učebníc? Áno, sú to úlohy na kockovanom papieri. Takéto úlohy sú v kontrolných a meracích materiáloch skúšky. Aká je zvláštnosť takýchto problémov, aké metódy a techniky sa používajú na riešenie problémov na kockovanom papieri? V tejto lekcii preskúmame úlohy na kockovanom papieri týkajúce sa hľadania oblasti zobrazenej postavy a naučíme sa, ako vypočítať oblasti polygónov nakreslených na kockovanom hárku.

učiteľ: Predmetom štúdia budú úlohy na kockovanom papieri.

Predmetom našej štúdie budú problémy s výpočtom plochy polygónov na kockovanom papieri.

A cieľom štúdie bude vzorec Peak.

B - počet celočíselných bodov vo vnútri mnohouholníka

Г - počet celočíselných bodov na hranici mnohouholníka

Toto je praktický vzorec, ktorý možno použiť na výpočet plochy ľubovoľného mnohouholníka bez priesečníkov s vrcholmi v uzloch kockovaného papiera.

Kto je Peak? Peak Georg Aleksandrov (1859-1943) - rakúsky matematik. Vzorec objavil v roku 1899.

učiteľ: Sformulujme hypotézu: plocha figúry vypočítaná pomocou Pickovho vzorca sa rovná ploche figúry vypočítanej geometrickými vzorcami.

Pri riešení úloh na kockovanom papieri potrebujeme geometrickú predstavivosť a pomerne jednoduché informácie, ktoré poznáme:

Plocha obdĺžnika sa rovná súčinu priľahlých strán.

Plocha pravouhlého trojuholníka je polovica súčinu strán tvoriacich pravý uhol.

učiteľ: Uzly mriežky sú body, kde sa pretínajú čiary mriežky.

Vnútorné uzly mnohouholníka sú modré. Uzly na hraniciach polygónu sú hnedé.

Budeme brať do úvahy iba také polygóny, ktorých všetky vrcholy ležia v uzloch kockovaného papiera.

učiteľ: Urobme prieskum pre trojuholník. Najprv vypočítame plochu trojuholníka pomocou vzorca Peak.

AT + G/2 − 1 , kde AT G— počet celočíselných bodov na hranici mnohouholníka.

B = 34, G = 15,

AT + G/2 − 1 = 34 + 15 :2 − 1 = 40, 5 Odpoveď: 40.5

učiteľ: Teraz vypočítame plochu trojuholníka pomocou geometrických vzorcov. Plochu akéhokoľvek trojuholníka nakresleného na kockovanom papieri možno ľahko vypočítať tak, že ho znázorníte ako súčet alebo rozdiel plôch pravouhlých trojuholníkov a obdĺžnikov, ktorých strany idú pozdĺž čiar mriežky prechádzajúcej cez vrcholy nakresleného trojuholník. Žiaci robia výpočty vo svojich zošitoch. Potom svoje výsledky skontrolujú výpočtami na tabuli.

učiteľ: Porovnaním výsledkov štúdií urobte záver. Zistili sme, že plocha postavy vypočítaná pomocou vzorca Peak sa rovná ploche postavy vypočítanej pomocou geometrických vzorcov. Hypotéza sa teda ukázala ako správna.

Ďalej učiteľ navrhuje vypočítať plochu „jeho“ ľubovoľného mnohouholníka pomocou geometrických vzorcov a vzorca Pick a porovnať výsledky. So vzorcom Peak sa môžete „pohrať“ na stránke matematických štúdií.

Na konci článku je navrhnutý jeden z článkov na tému „Výpočet plochy ľubovoľného polygónu pomocou Pickovho vzorca“.

Viac strPríklad:

Oblasť mnohouholníka s celočíselnými vrcholmi je AT + G/2 − 1 , kde AT je počet celočíselných bodov vo vnútri mnohouholníka a G je počet celočíselných bodov na hranici mnohouholníka.

B = 10, G = 6,

AT + G/2 − 1 = 10 + 6 :2 − 1 = 12 ODPOVEĎ: 12

učiteľ: Navrhujem, aby ste vyriešili nasledujúce úlohy:

odpoveď: 12

odpoveď: 13

odpoveď: 9

odpoveď: 11.5

odpoveď: 4

Nájdite plochu trojuholníka nakresleného na kockovanom papieri s veľkosťou bunky 1 cm × 1 cm (pozri obrázok). Svoju odpoveď uveďte v centimetroch štvorcových.

Mnohouholník bez sebapriesečníkov sa nazýva mriežkový mnohouholník, ak sú všetky jeho vrcholy v bodoch s celočíselnými súradnicami (v karteziánskom súradnicovom systéme).

Pickova veta

Vzorec

Nech je daný nejaký mriežkový mnohouholník s nenulovou oblasťou.

Označme jej oblasť ; počet bodov s celočíselnými súradnicami ležiacimi presne vo vnútri polygónu; počet bodov s celočíselnými súradnicami ležiacimi po stranách polygónu.

Potom sa ozval vzťah Pickov vzorec:

Najmä, ak sú hodnoty I a B známe pre nejaký polygón, potom sa jeho plocha môže vypočítať ako , a to aj bez znalosti súradníc jeho vrcholov.

Tento vzťah objavil a dokázal rakúsky matematik Georg Alexander Pick v roku 1899.

Dôkaz

Dôkaz sa robí v niekoľkých fázach: od najjednoduchších obrázkov až po ľubovoľné polygóny:

Zovšeobecnenie do vyšších dimenzií

Bohužiaľ, tento jednoduchý a krásny Pickov vzorec sa nedá dobre zovšeobecniť do vyšších dimenzií.

To jasne ukázal Reeve, ktorý v roku 1957 navrhol zvážiť štvorsten (teraz tzv Reeve štvorsten) s nasledujúcimi vrcholmi:

kde je akékoľvek prirodzené číslo. Potom tento štvorsten neobsahuje žiadny bod s celočíselnými súradnicami a na jeho hranici sú iba štyri body , , , a žiadne ďalšie. Objem a povrch tohto štvorstenu sa teda môžu líšiť, zatiaľ čo počet bodov vo vnútri a na hranici sa nemení; preto Pickov vzorec neumožňuje zovšeobecnenia ani na trojrozmerný prípad.

Napriek tomu stále existuje nejaké podobné zovšeobecnenie na priestory vyššej dimenzie Earhartove polynómy(Ehrhartov polynóm), ale sú veľmi zložité a závisia nielen od počtu bodov vo vnútri a od hranice obrazca.

Nakreslite mnohouholník na kockovaný papier. Napríklad, ako je znázornené na obrázku 1.

Skúsme teraz vypočítať jeho plochu. Ako to spraviť? Asi najjednoduchšie je rozložiť to na pravouhlé trojuholníky a obdĺžniky, ktorých plochy sa už dajú ľahko vypočítať a výsledky sčítať. Metóda, ktorú som použil, je jednoduchá, ale veľmi ťažkopádna a okrem toho nie je vhodná pre všetky polygóny.

Uvažujme nedegenerovaný jednoduchý celočíselný mnohouholník (to znamená, že je spojený – ľubovoľné dva jeho body môžu byť spojené súvislou krivkou, ktorá je v ňom celá obsiahnutá, a všetky jeho vrcholy majú celočíselné súradnice, jeho hranica je spojená lomená čiara bez vlastné križovatky a má nenulový štvorec). Na výpočet plochy takéhoto mnohouholníka môžete použiť nasledujúcu vetu:

Pickova veta. Nech je počet celočíselných bodov vo vnútri mnohouholníka, počet celočíselných bodov na jeho hranici a nech je jeho plocha. Potom Pickov vzorec:

Príklad. Pre mnohouholník na obrázku 1 (žlté bodky), (modré bodky, nezabudnite na vrcholy!), teda štvorcové jednotky.

Dôkaz Pickovej vety. Najprv si všimnite, že Pickov vzorec platí pre jednotkový štvorec. Naozaj, v tomto prípade máme

Zvážte obdĺžnik so stranami ležiacimi na mriežkových čiarach. Nech sa dĺžky jeho strán rovnajú a. V tomto prípade a podľa vzorca Pick,

Zvážte teraz pravouhlý trojuholník s nohami ležiacimi na súradnicových osiach. Takýto trojuholník sa získa z obdĺžnika so stranami a, uvažované v predchádzajúcom prípade, jeho diagonálnym rezom. Nech celočíselné body ležia na diagonále. Potom to v tomto prípade dostaneme

Teraz zvážte ľubovoľný trojuholník. Dá sa získať odrezaním niekoľkých pravouhlých trojuholníkov a prípadne obdĺžnika z obdĺžnika (pozri obrázky 2 a 3). Keďže Pickov vzorec platí pre obdĺžnik aj pravouhlý trojuholník, dostaneme, že bude platiť aj pre ľubovoľný trojuholník.

Zostáva urobiť posledný krok: prejsť od trojuholníkov k mnohouholníkom. Akýkoľvek mnohouholník môže byť rozdelený na trojuholníky (napríklad pomocou uhlopriečok). Preto musíme len dokázať, že pri pridávaní ľubovoľného trojuholníka do ľubovoľného mnohouholníka zostáva Pickov vzorec pravdivý.

Nech mnohouholník a trojuholník majú spoločnú stranu. Predpokladajme, že Pickov vzorec platí pre a dokážeme, že bude platiť aj pre mnohouholník získaný sčítaním. Keďže a majú spoločnú stranu, všetky celočíselné body ležiace na tejto strane, okrem dvoch vrcholov, sa stanú vnútornými bodmi nového mnohouholníka. Vrcholy budú hraničnými bodmi. Označme počet spoločných bodov a získajme

Počet vnútorných celočíselných bodov nového mnohouholníka,

Počet hraničných bodov pre nový polygón.

Z týchto rovnosti dostávame

Keďže sme predpokladali, že teorém platí pre a pre oddelene, potom

Tým je dokázaný výberový vzorec.

Tento vzorec objavil rakúsky matematik Peak Georg Aleksandrov (1859 - 1943) v roku 1899. Okrem tohto vzorca, Georg Pick objavil Pick, Pick - Julia, Pick - Nevalina vety, dokázal Schwarz - Pick nerovnosť. AT Dodatok 1 môžete vidieť neštandardné úlohy, ktoré som zvažoval pri použití vzorca Vybrať.

Existuje úžasný vzorec, ktorý vám umožňuje počítať oblasť polygónu na súradnicovej sieti takmer bez chýb. Nie je to ani vzorec, je to skutočné teorém. Na prvý pohľad sa to môže zdať komplikované. Stačí však vyriešiť niekoľko úloh - a pochopíte, aká skvelá je táto funkcia. Tak do toho!

Začnime s novou definíciou:

Uzol súradnicového zásobníka je akýkoľvek bod, ktorý leží v priesečníku zvislých a vodorovných čiar tejto mriežky.

Označenie:

Na prvom obrázku nie sú uzly vôbec označené. Druhý má 4 uzly. Nakoniec na treťom obrázku je označených všetkých 16 uzlov.

Čo to má spoločné s problémom B5? Faktom je, že vrcholy polygónu v takýchto problémoch vždy ležať v uzloch mriežky. V dôsledku toho pre nich funguje nasledujúca veta:

Veta. Uvažujme mnohouholník na súradnicovej mriežke, ktorého vrcholy ležia v uzloch tejto mriežky. Potom je plocha mnohouholníka:

kde n je počet uzlov vo vnútri daného polygónu, k je počet uzlov, ktoré ležia na jeho hranici (hraničné uzly).

Ako príklad si predstavte obyčajný trojuholník na súradnicovej mriežke a skúste označiť vnútorné a hraničné uzly.

Prvý obrázok ukazuje obyčajný trojuholník. Na druhom obrázku sú vyznačené jeho vnútorné uzly, ktorých počet je n = 10. Na treťom obrázku sú vyznačené uzly ležiace na hranici, spolu je ich k = 6.

Možno mnohí čitatelia nechápu, ako počítať čísla n a k. Začnite s vnútornými uzlami. Tu je všetko zrejmé: namaľujeme trojuholník ceruzkou a vidíme, koľko uzlov je zatienených.

S hraničnými uzlami je to trochu komplikovanejšie. polygónové ohraničenie - uzavretá prerušovaná čiara, ktorý pretína súradnicovú mriežku v mnohých bodoch. Najjednoduchší spôsob je označiť nejaký „východiskový“ bod a zvyšok potom obísť.

Hraničné uzly budú len tie body na lomenej čiare, v ktorých sa súčasne pretínajú tri riadky:

1. Vlastne prerušovaná čiara;
2. Horizontálna mriežka;
3. vertikálna čiara.

Pozrime sa, ako to celé funguje v reálnych problémoch.

Úloha. Nájdite obsah trojuholníka, ak je veľkosť bunky 1 x 1 cm:

Najprv označme uzly, ktoré ležia vo vnútri trojuholníka, ako aj na jeho hranici:

Ukazuje sa, že existuje iba jeden vnútorný uzol: n = 1. Existuje šesť hraničných uzlov: tri sa zhodujú s vrcholmi trojuholníka, a tri ďalšie ležia na bokoch. Celkom k = 6.

Teraz vypočítame plochu pomocou vzorca:

To je všetko! Problém je vyriešený.

Úloha. Nájdite plochu štvoruholníka zobrazenú na kockovanom papieri s veľkosťou bunky 1 cm x 1 cm. Odpoveď uveďte v centimetroch štvorcových.

Opäť označíme vnútorné a hraničné uzly. Vnútorných uzlov je n = 2. Hraničné uzly: k = 7, z toho 4 vrcholy štvoruholníka, a 3 ďalšie ležia na bokoch.

Zostáva nahradiť čísla n a k vo vzorci oblasti:

Venujte pozornosť poslednému príkladu. Tento problém bol skutočne navrhnutý pri diagnostických prácach v roku 2012. Ak pracujete podľa štandardnej schémy, budete musieť urobiť veľa dodatočných konštrukcií. A metódou uzlov sa všetko rieši takmer ústne.

Dôležitá poznámka k oblastiam

Ale vzorec nie je všetko. Poďme trochu prepísať vzorec a uviesť výrazy na pravú stranu na spoločného menovateľa. Dostaneme:

Čísla n a k sú počet uzlov, sú to vždy celé čísla. Takže celý čitateľ je tiež celé číslo. Delíme ho 2, z čoho vyplýva dôležitý fakt:

Plocha je vždy vyjadrená celé číslo alebo zlomok. Navyše na konci zlomku je vždy „päť desatín“: 10,5; 17,5 atď.

Oblasť v úlohe B5 je teda vždy vyjadrená ako celé číslo alebo zlomok tvaru ***.5. Ak je odpoveď iná, znamená to, že sa niekde stala chyba. Majte to na pamäti, keď budete robiť skutočnú skúšku z matematiky!