Správny trojuholník. Podrobná teória s príkladmi

(ABC) a jeho vlastnosti, ktoré sú znázornené na obrázku. Pravouhlý trojuholník má preponu, pričom strana je opačná od pravého uhla.

Tip 1: Ako zistiť výšku v pravouhlom trojuholníku

Strany, ktoré tvoria pravý uhol, sa nazývajú nohy. Bočná kresba AD, DC a BD, DC- nohy a boky AC a SW- prepona.

Veta 1. V pravouhlom trojuholníku s uhlom 30° sa rameno oproti tomuto uhlu roztrhne do polovice prepony.

AB- prepona;

AD a DB

Trojuholník
Existuje veta:
systém komentovania CACKLE

Riešenie: 1) Uhlopriečky ľubovoľného obdĺžnika sú rovnaké Pravda 2) Ak má trojuholník jeden ostrý uhol, potom je tento trojuholník ostrý. Nepravda. Druhy trojuholníkov. Trojuholník sa nazýva ostrý, ak sú všetky jeho tri uhly ostré, to znamená menej ako 90° 3) Ak bod leží na.

Alebo v inom zázname,

Podľa Pytagorovej vety

Aká je výška vo vzorci pravouhlého trojuholníka

Výška pravouhlého trojuholníka

Výšku pravouhlého trojuholníka nakresleného na preponu možno nájsť tak či onak, v závislosti od údajov v probléme.

Alebo v inom zázname,

Kde BK a KC sú projekcie nôh na preponu (segmenty, na ktoré nadmorská výška delí preponu).

Nadmorskú výšku k prepone možno nájsť cez oblasť pravouhlého trojuholníka. Ak použijeme vzorec na nájdenie oblasti trojuholníka

(polovičný súčin strany a výšky nakreslenej na túto stranu) k prepone a výšky nakreslenej k prepone, dostaneme:

Odtiaľ môžeme nájsť výšku ako pomer dvojnásobku plochy trojuholníka k dĺžke prepony:

Pretože plocha pravouhlého trojuholníka je polovica súčinu nôh:

To znamená, že dĺžka výšky k prepone sa rovná pomeru súčinu nôh k prepone. Ak označíme dĺžky nôh cez a a b, dĺžku prepony cez c, vzorec môžeme prepísať ako

Keďže polomer kružnice opísanej okolo pravouhlého trojuholníka sa rovná polovici prepony, dĺžku výšky možno vyjadriť pomocou nôh a polomeru kružnice opísanej:

Keďže výška nakreslená k prepone tvorí ďalšie dva pravouhlé trojuholníky, jej dĺžku možno zistiť pomermi v pravouhlom trojuholníku.

Z pravouhlého trojuholníka ABK

Z pravouhlého trojuholníka ACK

Dĺžka výšky pravouhlého trojuholníka môže byť vyjadrená dĺžkou nôh. Ako

Podľa Pytagorovej vety

Ak odmocníme obe strany rovnice:

Môžete získať ďalší vzorec na spojenie výšky pravouhlého trojuholníka s nohami:

Aká je výška vo vzorci pravouhlého trojuholníka

Správny trojuholník. Stredná úroveň.

Chcete si otestovať svoje sily a zistiť, ako ste pripravení na Jednotnú štátnu skúšku alebo OGE?

Hlavná veta o pravouhlom trojuholníku je Pytagorova veta.

Pytagorova veta

Mimochodom, pamätáte si dobre, čo sú nohy a prepona? Ak nie, pozrite sa na obrázok - obnovte svoje vedomosti

Je možné, že ste už Pytagorovu vetu použili mnohokrát, ale napadlo vás niekedy, prečo je takáto veta pravdivá. Ako by ste to dokázali? Urobme to ako starí Gréci. Nakreslíme štvorec so stranou.

Vidíte, ako prefíkane sme rozdelili jeho strany na segmenty dĺžok a!

Teraz spojme označené body

Tu sme si však všimli niečo iné, ale vy sami sa pozrite na obrázok a zamyslite sa nad tým, prečo.

Aká je plocha väčšieho námestia? Správne, . A čo menšia plocha? Určite,. Celková plocha štyroch rohov zostáva. Predstavte si, že sme ich zobrali dve a opreli sa o seba s preponami. Čo sa stalo? Dva obdĺžniky. Oblasť „odrezkov“ je teda rovnaká.

Poďme si to teraz dať dokopy.

Navštívili sme teda Pytagora – jeho vetu sme dokázali starovekým spôsobom.

Pravý trojuholník a trigonometria

Pre pravouhlý trojuholník platia tieto vzťahy:

Sínus ostrého uhla sa rovná pomeru opačnej nohy k prepone

Kosínus ostrého uhla sa rovná pomeru priľahlej nohy k prepone.

Tangenta ostrého uhla sa rovná pomeru protiľahlého ramena k susednému ramenu.

Kotangens ostrého uhla sa rovná pomeru susednej vetvy k opačnej vetve.

A ešte raz, to všetko vo forme taniera:

Všimli ste si jednu veľmi šikovnú vec? Pozorne si prezrite tanier.

Je to veľmi pohodlné!

Znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov

II. Nohou a preponou

III. Podľa prepony a ostrého uhla

IV. Pozdĺž nohy a ostrého uhla

Pozor! Tu je veľmi dôležité, aby nohy „zodpovedali“. Napríklad, ak to dopadne takto:

TOTO TROJUHOLNÍKY NIE SÚ ROVNÉ, napriek tomu, že majú jeden rovnaký ostrý uhol.

Potrebovať V oboch trojuholníkoch bola noha priľahlá, alebo v oboch - opačná.

Všimli ste si, ako sa znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov líšia od bežných znakov rovnosti trojuholníkov? Pozrite sa na tému „Trojuholník“ a venujte pozornosť skutočnosti, že pre rovnosť „obyčajných“ trojuholníkov potrebujete rovnosť ich troch prvkov: dve strany a uhol medzi nimi, dva uhly a strana medzi nimi, alebo tri strany. Ale pre rovnosť pravouhlých trojuholníkov stačia iba dva zodpovedajúce prvky. Je to skvelé, však?

Približne rovnaká situácia so znakmi podobnosti pravouhlých trojuholníkov.

Znaky podobnosti pravouhlých trojuholníkov

III. Nohou a preponou

Medián v pravouhlom trojuholníku

Zvážte celý obdĺžnik namiesto pravouhlého trojuholníka.

Nakreslite uhlopriečku a zvážte bod, kde sa uhlopriečky pretínajú. Čo viete o uhlopriečkach obdĺžnika?

Uhlopriečka priesečník polôh Uhlopriečky sú rovnaké

A čo z toho vyplýva?

Tak sa aj stalo

Pamätajte na túto skutočnosť! Veľa pomáha!

O to prekvapujúcejšie je, že opak je pravdou.

Čo je dobré získať zo skutočnosti, že medián prepony sa rovná polovici prepony? Pozrime sa na obrázok

Pozri sa bližšie. Máme: , to znamená, že vzdialenosti od bodu k všetkým trom vrcholom trojuholníka sa ukázali ako rovnaké. Ale v trojuholníku je len jeden bod, vzdialenosti od ktorého sú približne všetky tri vrcholy trojuholníka rovnaké, a to je STRED OPISOVANÉHO OKRUHU. Takže, čo sa stalo?

Začnime teda týmto „okrem toho. ".

Ale v podobných trojuholníkoch sú všetky uhly rovnaké!

To isté možno povedať o a

Teraz to nakreslíme spolu:

Obaja majú rovnaké ostré rohy!

Aký úžitok môže byť z tejto „trojitej“ podobnosti.

No napríklad - Dva vzorce pre výšku pravouhlého trojuholníka.

Píšeme vzťahy zodpovedajúcich strán:

Aby sme našli výšku, riešime pomer a dostaneme Prvý vzorec „Výška v pravouhlom trojuholníku“:

Ako získať druhú?

A teraz aplikujeme podobnosť trojuholníkov a.

Aplikujme teda podobnosť: .

čo sa teraz stane?

Opäť riešime pomer a dostaneme druhý vzorec "Výška v pravouhlom trojuholníku":

Oba tieto vzorce si treba veľmi dobre zapamätať a ten, ktorý je pohodlnejšie aplikovať. Zapíšme si ich ešte raz.

No, teraz, aplikovaním a kombinovaním týchto vedomostí s ostatnými, vyriešite akýkoľvek problém pomocou pravouhlého trojuholníka!

Komentáre

Distribúcia materiálov bez schválenia je povolená, ak existuje odkaz dofollow na zdrojovú stránku.

Zásady ochrany osobných údajov

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné informácie sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

Výšková vlastnosť pravouhlého trojuholníka znížená na preponu

Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu. V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušného nástupcu tretej strany.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Ďakujem za správu!

Váš komentár bol prijatý, po moderovaní bude zverejnený na tejto stránke.

Chcete vedieť, čo sa skrýva pod strihom a získať exkluzívne materiály o príprave na OGE a USE? Nechajte e-mail

Vlastnosti pravouhlého trojuholníka

Predstavte si pravouhlý trojuholník (ABC) a jeho vlastnosti, ktoré sú znázornené na obrázku. Pravouhlý trojuholník má preponu, pričom strana je opačná od pravého uhla. Strany, ktoré tvoria pravý uhol, sa nazývajú nohy. Bočná kresba AD, DC a BD, DC- nohy a boky AC a SW- prepona.

Znaky rovnosti pravouhlého trojuholníka:

Veta 1. Ak sú prepona a rameno pravouhlého trojuholníka podobné prepone a ramenu iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky rovnaké.

Veta 2. Ak sa dve ramená pravouhlého trojuholníka rovnajú dvom ramenám iného trojuholníka, potom sú také trojuholníky zhodné.

Veta 3. Ak sú prepona a ostrý uhol pravouhlého trojuholníka podobné prepone a ostrému uhlu iného trojuholníka, potom sú takéto trojuholníky zhodné.

Veta 4. Ak sa rameno a priľahlý (opačný) ostrý uhol pravouhlého trojuholníka rovnajú ramenu a susednému (opačnému) ostrému uhlu iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné.

Vlastnosti nohy oproti uhlu 30 °:

Veta 1.

Výška v pravouhlom trojuholníku

V pravouhlom trojuholníku s uhlom 30° sa noha opačná k tomuto uhlu roztrhne do polovice prepony.

Veta 2. Ak sa v pravouhlom trojuholníku noha rovná polovici prepony, potom je opačný uhol 30°.

Ak je výška nakreslená od vrcholu pravého uhla k prepone, potom sa takýto trojuholník rozdelí na dva menšie, podobné vychádzajúcemu a podobné druhému. Z toho vyplývajú tieto závery:

Výška je geometrický priemer (proporcionálny priemer) dvoch segmentov prepony.
Každá vetva trojuholníka je priemer úmerný prepone a priľahlým segmentom.

V pravouhlom trojuholníku nohy fungujú ako výšky. Ortocentrum je bod, kde sa pretínajú výšky trojuholníka. Zhoduje sa s hornou časťou pravého uhla postavy.

hC- výška vychádzajúca z pravého uhla trojuholníka;

AB- prepona;

AD a DB- segmenty, ktoré vznikli pri delení prepony výškou.

Späť na prezeranie referencií o disciplíne "Geometria"

Trojuholník je geometrický útvar pozostávajúci z troch bodov (vrcholov), ktoré nie sú na rovnakej priamke, a troch segmentov spájajúcich tieto body. Pravouhlý trojuholník je trojuholník, ktorý má jeden z uhlov 90° (pravý uhol).
Existuje veta: súčet ostrých uhlov pravouhlého trojuholníka je 90°.
systém komentovania CACKLE

Kľúčové slová: trojuholník, obdĺžnik, noha, prepona, Pytagorova veta, kruh

Trojuholník tzv pravouhlý ak má pravý uhol.
Pravouhlý trojuholník má dve na seba kolmé strany tzv nohy; tretia strana je tzv hypotenzia.

Podľa vlastností kolmej a šikmej prepony je každá z nôh dlhšia (ale menšia ako ich súčet).
Súčet dvoch ostrých uhlov pravouhlého trojuholníka sa rovná pravému uhlu.
Dve výšky pravouhlého trojuholníka sa zhodujú s jeho nohami. Preto jeden zo štyroch pozoruhodných bodov pripadá na vrcholy pravého uhla trojuholníka.
Stred kružnice opísanej pravouhlého trojuholníka leží v strede prepony.
Medián pravouhlého trojuholníka vedeného od vrcholu pravého uhla k prepone je polomer kružnice opísanej tomuto trojuholníku.

Uvažujme ľubovoľný pravouhlý trojuholník ABC a z vrcholu C jeho pravého uhla nakreslite výšku CD = hc.

Rozdelí daný trojuholník na dva pravouhlé trojuholníky ACD a BCD; každý z týchto trojuholníkov má spoločný ostrý uhol s trojuholníkom ABC, a preto je podobný trojuholníku ABC.

Všetky tri trojuholníky ABC, ACD a BCD sú si navzájom podobné.

Z podobnosti trojuholníkov sa určujú tieto vzťahy:

$$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
c = ac + bc;
$$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
$$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

Pytagorova veta jedna zo základných teorém euklidovskej geometrie, ktorá stanovuje vzťah medzi stranami pravouhlého trojuholníka.

Geometrické znenie. V pravouhlom trojuholníku sa plocha štvorca postaveného na prepone rovná súčtu plôch štvorcov postavených na nohách.

Algebraická formulácia. V pravouhlom trojuholníku sa štvorec prepony rovná súčtu štvorcov nôh.
To znamená, že označuje dĺžku prepony trojuholníka cez c a dĺžky nôh cez a a b:
a2 + b2 = c2

Inverzná Pytagorova veta.

Výška pravouhlého trojuholníka

Pre ľubovoľnú trojicu kladných čísel a, b a c také, že
a2 + b2 = c2,
existuje pravouhlý trojuholník s nohami a a b a preponou c.

Znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov:

pozdĺž nohy a hypotenzie;
na dvoch nohách;
pozdĺž nohy a ostrého uhla;
hypotenzia a ostrý uhol.

Pozri tiež:
Oblasť trojuholníka, rovnoramenný trojuholník, rovnostranný trojuholník

Geometria. 8 Trieda. Test 4. Možnosť 1 .

AD : CD = CD : B.D. Preto CD2 = AD ∙ B.D. Hovoria:

AD : AC=AC : AB. Preto AC2 = AB ∙ AD. Hovoria:

BD : BC = BC : AB. Preto BC2 = AB ∙ B.D.

Riešiť problémy:

A) 70 cm; b) 55 cm; c) 65 cm; D) 45 cm; e) 53 cm

2. Výška pravouhlého trojuholníka nakresleného na preponu rozdeľuje preponu na segmenty 9 a 36.

Určte dĺžku tejto výšky.

A) 22,5; b) 19; c) 9; D) 12; e) 18.

A) 30,25; b) 24,5; c) 18,45; D) 32; e) 32,25.

A) 25; b) 24; c) 27; D) 26; e) 21.

A) 8; b) 7; c) 6; D) 5; e) 4.

8. Noha pravouhlého trojuholníka je 30.

Ako zistiť výšku v pravouhlom trojuholníku?

Nájdite vzdialenosť od vrcholu pravého uhla k prepone, ak polomer kružnice opísanej tomuto trojuholníku je 17.

A) 17; b) 16; c) 15; D) 14; e) 12.

10.

A) 15; b) 18; c) 20; D) 16; e) 12.

A) 80; b) 72; c) 64; D) 81; e) 75.

12.

A) 7,5; b) 8; c) 6,25; D) 8,5; e) 7.

Skontrolujte odpovede!

D8.04.1. Proporcionálne úsečky v pravouhlom trojuholníku

Geometria. 8 Trieda. Test 4. Možnosť 1 .

V Δ ABC ∠ACV = 90°. AC a BC nohy, AB prepona.

CD je nadmorská výška trojuholníka prikresleného k prepone.

AD projekcia AC nohy na preponu,

BD projekcia nohy BC na preponu.

Altitude CD rozdeľuje trojuholník ABC na dva jemu podobné trojuholníky (a navzájom): Δ ADC a Δ CDB.

Z proporcionality strán podobných Δ ADC a Δ CDB vyplýva:

AD : CD = CD : B.D.

Vlastnosť výšky pravouhlého trojuholníka zníženej na preponu.

Preto CD2 = AD ∙ B.D. Hovoria: výška pravouhlého trojuholníka nakresleného na preponu,je priemerná proporcionálna hodnota medzi projekciami nôh na preponu.

Z podobnosti Δ ADC a Δ ACB vyplýva:

AD : AC=AC : AB. Preto AC2 = AB ∙ AD. Hovoria: každé rameno je priemerná proporcionálna hodnota medzi celou preponou a projekciou tohto ramena na preponu.

Podobne z podobnosti Δ CDB a Δ ACB vyplýva:

BD : BC = BC : AB. Preto BC2 = AB ∙ B.D.

Riešiť problémy:

1. Nájdite výšku pravouhlého trojuholníka nakresleného k prepone, ak rozdeľuje preponu na segmenty 25 cm a 81 cm.

A) 70 cm; b) 55 cm; c) 65 cm; D) 45 cm; e) 53 cm

2. Výška pravouhlého trojuholníka nakresleného na preponu rozdeľuje preponu na segmenty 9 a 36. Určte dĺžku tejto výšky.

A) 22,5; b) 19; c) 9; D) 12; e) 18.

4. Výška pravouhlého trojuholníka nakresleného na preponu je 22, priemet jednej nohy je 16. Nájdite priemet druhej nohy.

A) 30,25; b) 24,5; c) 18,45; D) 32; e) 32,25.

5. Úsek pravouhlého trojuholníka je 18 a jeho priemet na preponu je 12. Nájdite preponu.

A) 25; b) 24; c) 27; D) 26; e) 21.

6. Prepona je 32. Nájdite nohu, ktorej priemet na preponu je 2.

A) 8; b) 7; c) 6; D) 5; e) 4.

7. Prepona pravouhlého trojuholníka je 45. Nájdite nohu, ktorej priemet na preponu je 9.

8. Rameno pravouhlého trojuholníka je 30. Nájdite vzdialenosť od vrcholu pravého uhla k prepone, ak polomer kružnice opísanej tomuto trojuholníku je 17.

A) 17; b) 16; c) 15; D) 14; e) 12.

10. Prepona pravouhlého trojuholníka je 41 a priemet jednej z ramien je 16. Nájdite dĺžku nadmorskej výšky nakreslenej od vrcholu pravého uhla k prepone.

A) 15; b) 18; c) 20; D) 16; e) 12.

A) 80; b) 72; c) 64; D) 81; e) 75.

12. Rozdiel v priemete nôh na preponu je 15 a vzdialenosť od vrcholu pravého uhla k prepone je 4. Nájdite polomer kružnice opísanej.

A) 7,5; b) 8; c) 6,25; D) 8,5; e) 7.

Nehnuteľnosť: 1. V akomkoľvek pravouhlom trojuholníku výška znížená z pravého uhla (k prepone) rozdeľuje pravouhlý trojuholník na tri podobné trojuholníky.

Nehnuteľnosť: 2. Výška pravouhlého trojuholníka zníženého k prepone sa rovná geometrickému priemeru priemetov nôh na preponu (alebo geometrickému priemeru tých segmentov, na ktoré výška delí preponu).

Nehnuteľnosť: 3. Noha sa rovná geometrickému priemeru prepony a priemetu tejto prepony na preponu.

Nehnuteľnosť: 4. Noha oproti uhlu 30 stupňov sa rovná polovici prepony.

Formula 1.

Formula 2. kde je prepona; , korčule.

Nehnuteľnosť: 5. V pravouhlom trojuholníku sa stredná prepona rovná jej polovici a rovná sa polomeru kružnice opísanej.

Vlastnosť: 6. Závislosť medzi stranami a uhlami pravouhlého trojuholníka:

44. Kosínusová veta. Dôsledky: spojenie medzi uhlopriečkami a stranami rovnobežníka; určenie typu trojuholníka; vzorec na výpočet dĺžky mediánu trojuholníka; výpočet kosínusu uhla trojuholníka.

Koniec práce -

Táto téma patrí:

Trieda. Program kolokvia Základy planimetrie

Vlastnosť susedných uhlov.. definícia dvoch uhlov sú susediace, ak jednu stranu majú spoločnú s ostatnými dvoma tvorí priamku..

Ak potrebujete ďalší materiál k tejto téme, alebo ste nenašli to, čo ste hľadali, odporúčame použiť vyhľadávanie v našej databáze prác:

Čo urobíme s prijatým materiálom:

Ak sa tento materiál ukázal byť pre vás užitočný, môžete si ho uložiť na svoju stránku v sociálnych sieťach:

V skutočnosti nie je všetko také strašidelné. Samozrejme, v článku sa treba pozrieť na „skutočnú“ definíciu sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu. Ale to naozaj nechceš, však? Môžeme sa tešiť: na vyriešenie problémov s pravouhlým trojuholníkom stačí vyplniť nasledujúce jednoduché veci:

A čo uhol? Existuje noha, ktorá je oproti rohu, teda opačná noha (pre roh)? Samozrejme, že mám! Toto je katéter!

Ale čo ten uhol? Pozri sa bližšie. Ktorá noha susedí s rohom? Samozrejme, mačka. Takže pre uhol je noha priľahlá a

A teraz, pozor! Pozrite sa, čo sme dostali:

Pozrite sa, aké je to skvelé:

Teraz prejdime k dotyčnici a kotangensu.

Ako to teraz vyjadriť slovami? Aká je noha vo vzťahu k rohu? Samozrejme, že naopak – „leží“ oproti rohu. A katéter? Susedí s rohom. Čo sme teda dostali?

Vidíte, ako sa čitateľ a menovateľ obrátia?

A teraz znova rohy a urobili výmenu:

Zhrnutie

Stručne si napíšme, čo sme sa naučili.

Pytagorova veta:

Hlavná veta o pravouhlom trojuholníku je Pytagorova veta.

Pytagorova veta

Mimochodom, pamätáte si dobre, čo sú nohy a prepona? Ak nie, pozrite sa na obrázok - obnovte svoje vedomosti

Vidíte, ako prefíkane sme rozdelili jeho strany na segmenty dĺžok a!

Teraz spojme označené body

Tu sme si však všimli niečo iné, ale vy sami sa pozrite na obrázok a zamyslite sa nad tým, prečo.

Aká je plocha väčšieho námestia?

Správne, .

A čo menšia plocha?

Určite,.

Celková plocha štyroch rohov zostáva. Predstavte si, že sme ich zobrali dve a opreli sa o seba s preponami.

Čo sa stalo? Dva obdĺžniky. Oblasť „odrezkov“ je teda rovnaká.

Poďme si to teraz dať dokopy.

Poďme sa transformovať:

Navštívili sme teda Pytagora – jeho vetu sme dokázali starovekým spôsobom.

Pravý trojuholník a trigonometria

Pre pravouhlý trojuholník platia tieto vzťahy:

Sínus ostrého uhla sa rovná pomeru opačnej nohy k prepone

Kosínus ostrého uhla sa rovná pomeru priľahlej nohy k prepone.

Tangenta ostrého uhla sa rovná pomeru protiľahlého ramena k susednému ramenu.

Kotangens ostrého uhla sa rovná pomeru susednej vetvy k opačnej vetve.

A ešte raz, to všetko vo forme taniera:

Je to veľmi pohodlné!

Znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov

I. Na dvoch nohách

II. Nohou a preponou

III. Podľa prepony a ostrého uhla

IV. Pozdĺž nohy a ostrého uhla

Pozor! Tu je veľmi dôležité, aby nohy „zodpovedali“. Napríklad, ak to dopadne takto:

TOTO TROJUHOLNÍKY NIE SÚ ROVNÉ, napriek tomu, že majú jeden rovnaký ostrý uhol.

Potrebovať v oboch trojuholníkoch bola noha priľahlá, alebo v oboch - opačná.

Všimli ste si, ako sa znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov líšia od bežných znakov rovnosti trojuholníkov?

Pozrite sa na tému „a venujte pozornosť tomu, že na rovnosť „obyčajných“ trojuholníkov potrebujete rovnosť ich troch prvkov: dvoch strán a uhla medzi nimi, dvoch uhlov a jednej strany medzi nimi alebo troch strán.

Ale pre rovnosť pravouhlých trojuholníkov stačia iba dva zodpovedajúce prvky. Je to skvelé, však?

Približne rovnaká situácia so znakmi podobnosti pravouhlých trojuholníkov.

Znaky podobnosti pravouhlých trojuholníkov

I. Akútny kútik

II. Na dvoch nohách

III. Nohou a preponou

Medián v pravouhlom trojuholníku

prečo je to tak?

Zvážte celý obdĺžnik namiesto pravouhlého trojuholníka.

Nakreslíme uhlopriečku a uvažujme bod - priesečník uhlopriečok. Čo viete o uhlopriečkach obdĺžnika?

A čo z toho vyplýva?

Tak sa aj stalo

- medián:

Pamätajte na túto skutočnosť! Veľa pomáha!

O to prekvapujúcejšie je, že opak je pravdou.

Čo je dobré získať zo skutočnosti, že medián prepony sa rovná polovici prepony? Pozrime sa na obrázok

Začnime teda týmto „okrem...“.

Pozrime sa na i.

Ale v podobných trojuholníkoch sú všetky uhly rovnaké!

To isté možno povedať o a

Teraz to nakreslíme spolu:

Aký úžitok môže byť z tejto „trojitej“ podobnosti.

No napríklad - dva vzorce pre výšku pravouhlého trojuholníka.

Píšeme vzťahy zodpovedajúcich strán:

Aby sme našli výšku, riešime pomer a dostaneme prvý vzorec "Výška v pravouhlom trojuholníku":

No, teraz, aplikovaním a kombinovaním týchto vedomostí s ostatnými, vyriešite akýkoľvek problém pomocou pravouhlého trojuholníka!

Aplikujme teda podobnosť: .

čo sa teraz stane?

Opäť riešime pomer a dostaneme druhý vzorec:

Oba tieto vzorce si treba veľmi dobre zapamätať a ten, ktorý je pohodlnejšie aplikovať.

Zapíšme si ich ešte raz.

Pytagorova veta:

V pravouhlom trojuholníku sa štvorec prepony rovná súčtu štvorcov nôh:.

Znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov:

na dvoch nohách:
pozdĺž nohy a prepony: príp
pozdĺž nohy a priľahlého ostrého uhla: alebo
pozdĺž nohy a opačný ostrý uhol: alebo
podľa prepony a ostrého uhla: príp.

Znaky podobnosti pravouhlých trojuholníkov:

jeden ostrý roh: alebo
z proporcionality dvoch nôh:
z proporcionality nohy a prepony: príp.

Sínus, kosínus, dotyčnica, kotangens v pravouhlom trojuholníku

Sínus ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer protiľahlej vetvy k prepone:
Kosínus ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer priľahlého ramena k prepone:
Tangenta ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer protiľahlej vetvy k susednej vetve:
Kotangens ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer priľahlého ramena k opačnému:.

Výška pravouhlého trojuholníka: alebo.

V pravouhlom trojuholníku sa medián vytiahnutý z vrcholu pravého uhla rovná polovici prepony: .

Plocha pravouhlého trojuholníka:

cez katétre:

Správny trojuholník je trojuholník, v ktorom je jeden z uhlov pravý, teda rovný 90 stupňom.

Strana oproti pravému uhlu sa nazýva prepona. c alebo AB)
Strana susediaca s pravým uhlom sa nazýva noha. Každý pravouhlý trojuholník má dve nohy (označené ako a a b alebo AC a BC)

Vzorce a vlastnosti pravouhlého trojuholníka

Označenie receptúry:

(pozri obrázok vyššie)

a, b- nohy pravouhlého trojuholníka

c- prepona

α, β - ostré uhly trojuholníka

S- námestie

h- výška poklesnutá od vrcholu pravého uhla k prepone

m a a z opačného rohu ( α )

m b- prostredník ťahaný do strany b z opačného rohu ( β )

mc- prostredník ťahaný do strany c z opačného rohu ( γ )

AT správny trojuholník ktorákoľvek noha je menšia ako prepona(Formula 1 a 2). Táto vlastnosť je dôsledkom Pytagorovej vety.

Kosínus ktoréhokoľvek z ostrých uhlov menej ako jeden (vzorce 3 a 4). Táto vlastnosť vyplýva z predchádzajúcej. Pretože ktorákoľvek z nôh je menšia ako prepona, pomer nohy a prepony je vždy menší ako jedna.

Druhá mocnina prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh (Pytagorova veta). (Formula 5). Táto vlastnosť sa neustále využíva pri riešení problémov.

Oblasť pravouhlého trojuholníka rovná polovici produktu nôh (vzorec 6)

Súčet štvorcových mediánov k nohám sa rovná piatim štvorcom mediánu prepony a piatim štvorcom prepony deleným štyrmi (vzorec 7). Okrem vyššie uvedeného tam 5 ďalších vzorcov, preto sa odporúča zoznámiť sa aj s lekciou „ Medián pravouhlého trojuholníka“, ktorá podrobnejšie popisuje vlastnosti mediánu.

Výška pravouhlého trojuholníka sa rovná súčinu nôh delených preponou (vzorec 8)

Štvorce nôh sú nepriamo úmerné štvorcu výšky spadnutej do prepony (vzorec 9). Táto identita je tiež jedným z dôsledkov Pytagorovej vety.

Dĺžka prepony rovný priemeru (dvom polomerom) opísanej kružnice (vzorec 10). Prepona pravouhlého trojuholníka je priemer opísanej kružnice. Táto vlastnosť sa často používa pri riešení problémov.

Zapísaný polomer v správny trojuholník kruhy možno nájsť ako polovicu výrazu, ktorý zahŕňa súčet ramien tohto trojuholníka mínus dĺžku prepony. Alebo ako súčin nôh delený súčtom všetkých strán (obvodu) daného trojuholníka. (Formula 11)
Sínus uhla opak tento roh nohy do prepony(podľa definície sínusu). (Formula 12). Táto vlastnosť sa používa pri riešení problémov. Keď poznáte rozmery strán, môžete nájsť uhol, ktorý zvierajú.

Kosínus uhla A (α, alfa) v pravouhlom trojuholníku sa bude rovnať vzťah priľahlé tento roh nohy do prepony(podľa definície sínusu). (Formula 13)

Trojuholníky.

Základné pojmy.

Trojuholník- toto je obrazec pozostávajúci z troch segmentov a troch bodov, ktoré neležia na jednej priamke.

Segmenty sú tzv strany a body vrcholy.

Súčet uhlov trojuholník sa rovná 180 °.

Výška trojuholníka.

Výška trojuholníka je kolmica vedená z vrcholu na opačnú stranu.

V trojuholníku s ostrým uhlom je výška obsiahnutá vo vnútri trojuholníka (obr. 1).

V pravouhlom trojuholníku sú nohy výškami trojuholníka (obr. 2).

V tupom trojuholníku výška prechádza mimo trojuholníka (obr. 3).

Vlastnosti výšky trojuholníka:

Sektor trojuholníka.

Sektor trojuholníka- ide o segment, ktorý rozpolí roh vrcholu a spojí vrchol s bodom na opačnej strane (obr. 5).

Vlastnosti osy:

Stred trojuholníka.

Stredný trojuholník- ide o segment spájajúci vrchol so stredom protiľahlej strany (obr. 9a).

Dĺžku mediánu možno vypočítať pomocou vzorca:

2b 2 + 2c 2 - a 2
m a 2 = ——————
4

kde m a- prostredník ťahaný do strany a.

V pravouhlom trojuholníku je stredná časť prepony polovica prepony:

c
mc = —
2

kde mc je medián k prepone c(obr. 9c)

Stredy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode (v ťažisku trojuholníka) a sú delené týmto bodom v pomere 2:1, počítajúc zhora. To znamená, že segment od vrcholu k stredu je dvojnásobkom segmentu od stredu po stranu trojuholníka (obr. 9c).

Tri stredy trojuholníka ho rozdeľujú na šesť trojuholníkov rovnakej plochy.

Stredná čiara trojuholníka.

Stredná čiara trojuholníka- ide o segment spájajúci stredy jeho dvoch strán (obr. 10).

Stredná čiara trojuholníka je rovnobežná s treťou stranou a rovná sa jej polovici.

Vonkajší roh trojuholníka.

vonkajší roh trojuholník sa rovná súčtu dvoch nesusediacich vnútorných uhlov (obr. 11).

Vonkajší uhol trojuholníka je väčší ako akýkoľvek nesusediaci uhol.

Správny trojuholník.

Správny trojuholník- ide o trojuholník, ktorý má pravý uhol (obr. 12).

Strana pravouhlého trojuholníka oproti pravému uhlu sa nazýva hypotenzia.

Ďalšie dve strany sú tzv nohy.

Proporcionálne úsečky v pravouhlom trojuholníku.

1) V pravouhlom trojuholníku tvorí výška nakreslená z pravého uhla tri podobné trojuholníky: ABC, ACH a HCB (obr. 14a). Podľa toho sa uhly, ktoré tvorí výška, rovnajú uhlom A a B.

Obr.14a

Rovnoramenný trojuholník.

Rovnoramenný trojuholník- ide o trojuholník, v ktorom sú dve strany rovnaké (obr. 13).

Tieto rovnaké strany sa nazývajú strany a tretí základ trojuholník.

V rovnoramennom trojuholníku sú uhly na základni rovnaké. (V našom trojuholníku sa uhol A rovná uhlu C).

V rovnoramennom trojuholníku je stred prikreslený k základni osou aj výškou trojuholníka.

Rovnostranný trojuholník.

Rovnostranný trojuholník je trojuholník, v ktorom sú všetky strany rovnaké (obr. 14).

Vlastnosti rovnostranného trojuholníka:

Pozoruhodné vlastnosti trojuholníkov.

Trojuholníky majú originálne vlastnosti, ktoré vám pomôžu úspešne vyriešiť problémy spojené s týmito tvarmi. Niektoré z týchto vlastností sú uvedené vyššie. Zopakujeme ich však znova a pridáme k nim niekoľko ďalších skvelých funkcií:

1) V pravouhlom trojuholníku s uhlami 90º, 30º a 60º je noha b, ležiaci oproti uhlu 30º, sa rovná polovica prepony. Nohaa viac nohyb√3 krát (obr. 15 a). Napríklad, ak je rameno b 5, potom prepona c nevyhnutne rovný 10, a noha a rovná sa 5√3.

2) V pravouhlom rovnoramennom trojuholníku s uhlami 90º, 45º a 45º je prepona √2-násobok nohy (obr. 15 b). Napríklad, ak sú nohy 5, potom prepona je 5√2.

3) Stredná čiara trojuholníka sa rovná polovici rovnobežnej strany (obr. 15 s). Napríklad, ak je strana trojuholníka 10, potom stredová čiara rovnobežná s ňou je 5.

4) V pravouhlom trojuholníku sa medián prepony rovná polovici prepony (obr. 9c): mc= c/2.

5) Strednice trojuholníka, pretínajúceho sa v jednom bode, sú delené týmto bodom v pomere 2:1. To znamená, že úsečka od vrcholu po priesečník stredníc je dvojnásobkom segmentu od priesečníka stredníc po stranu trojuholníka (obr. 9c)

6) V pravouhlom trojuholníku je stredom prepony stred kružnice opísanej (obr. 15 d).

Znaky rovnosti trojuholníkov.

Prvý znak rovnosti: Ak sa dve strany a uhol medzi nimi jedného trojuholníka rovnajú dvom stranám a uhol medzi nimi iného trojuholníka, potom sú takéto trojuholníky zhodné.

Druhý znak rovnosti: ak sa strana a uhly priľahlé k nej jedného trojuholníka rovnajú strane a k nej priľahlé uhly iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné.

Tretí znak rovnosti: Ak sa tri strany jedného trojuholníka rovnajú trom stranám iného trojuholníka, potom sú takéto trojuholníky zhodné.

Trojuholníková nerovnosť.

V každom trojuholníku je každá strana menšia ako súčet ostatných dvoch strán.

Pytagorova veta.

V pravouhlom trojuholníku sa štvorec prepony rovná súčtu štvorcov nôh:

c 2 = a 2 + b 2 .

Oblasť trojuholníka.

1) Plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu jeho strany a výške nakreslenej na túto stranu:

Ach
S = ——
2

2) Plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu akýchkoľvek dvoch jeho strán a sínusu uhla medzi nimi:

1
S = — AB · AC · hriech A
2

Trojuholník opísaný okolo kruhu.

Kruh sa nazýva vpísaný do trojuholníka, ak sa dotýka všetkých jeho strán (obr. 16 a).

Trojuholník vpísaný do kruhu.

Trojuholník sa nazýva vpísaný do kruhu, ak sa ho dotýka všetkými vrcholmi (obr. 17 a).

Sínus, kosínus, dotyčnica, kotangens ostrého uhla pravouhlého trojuholníka (obr. 18).

Sinus ostrý uhol X opak katétra do prepony.
Označené takto: hriechX.

Kosínus ostrý uhol X pravouhlý trojuholník je pomer priľahlé katétra do prepony.
Označuje sa takto: cos X.

Tangenta ostrý uhol X je pomer protiľahlej nohy k susednej nohe.
Označené takto: tgX.

Kotangens ostrý uhol X je pomer susednej nohy k opačnej nohe.
Označené takto: ctgX.

pravidlá:

Noha oproti rohu X, sa rovná súčinu prepony a hriechu X:

b=c hriech X

Noha susediaca s rohom X, sa rovná súčinu prepony a cos X:

a = c cos X

Noha oproti rohu X, sa rovná súčinu druhej vetvy a tg X:

b = a tg X

Noha susediaca s rohom X, sa rovná súčinu druhej vetvy a ctg X:

a = b ctg X.

Pre akýkoľvek ostrý uhol X:

hriech (90° - X) = cos X

cos (90° - X) = hriech X