Vzdelávacia inštitúcia „Bieloruský štát

poľnohospodárska akadémia"

Katedra vyššej matematiky

SČÍTANIE A NÁSOBENIE PRAVDEPODOBNOSTÍ. OPAKOVANÉ NEZÁVISLÉ TESTY

Prednáška pre študentov Fakulty pozemkového hospodárstva

dištančné vzdelávanie

Gorki, 2012

Sčítanie a násobenie pravdepodobností. Opakované

nezávislé testy

1. Sčítanie pravdepodobností

Súčet dvoch spoločných podujatí ALE a AT zvolal udalosť S, spočívajúce v výskyte aspoň jednej z udalostí ALE alebo AT. Podobne súčet viacerých spoločných udalostí je udalosťou, ktorá spočíva v tom, že nastane aspoň jedna z týchto udalostí.

Súčet dvoch nesúvislých udalostí ALE a AT zvolal udalosť S, spočívajúci vo výskyte alebo udalosti ALE alebo udalosti AT. Podobne súčet niekoľkých nezlučiteľných udalostí je udalosťou, ktorá pozostáva z výskytu ktorejkoľvek z týchto udalostí.

Platí veta o sčítaní pravdepodobností nezlučiteľných udalostí: pravdepodobnosť súčtu dvoch nezlučiteľných udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí , t.j. . Táto veta môže byť rozšírená na ľubovoľný konečný počet nekompatibilných udalostí.

Z tejto vety vyplýva:

súčet pravdepodobností udalostí tvoriacich ucelenú skupinu sa rovná jednej;

súčet pravdepodobností opačných udalostí sa rovná jednej, t.j.
.

Príklad 1 . Krabička obsahuje 2 biele, 3 červené a 5 modrých loptičiek. Guľôčky sa zamiešajú a náhodne sa vyžrebuje jedna. Aká je pravdepodobnosť, že loptička je sfarbená?

rozhodnutie . Označme udalosti:

A=(farebná guľa odstránená);

B=(nakreslená biela guľa);

C=(vykreslená červená guľa);

D= (modrá guľa odstránená).

Potom A= C+ D. Od udalostí C, D sú nezlučiteľné, potom použijeme vetu o sčítaní pravdepodobností nezlučiteľných udalostí: .

Príklad 2 . Urna obsahuje 4 biele loptičky a 6 čiernych loptičiek. Z urny sa náhodne vyžrebujú 3 loptičky. Aká je pravdepodobnosť, že majú všetky rovnakú farbu?

rozhodnutie . Označme udalosti:

A\u003d (vyberú sa gule rovnakej farby);

B\u003d (vyberú sa biele gule);

C= (vyberú sa čierne gule).

Ako A= B+ C a udalostiach AT a S sú nezlučiteľné, potom teorémom o sčítaní pravdepodobností nezlučiteľných udalostí
. Pravdepodobnosť udalosti AT rovná sa
, kde
4,

. Náhradník k a n do vzorca a dostať
Podobne zistíme pravdepodobnosť udalosti S:
, kde
,
, t.j.
. Potom
.

Príklad 3 . Z balíčka 36 kariet sa náhodne vytiahnu 4 karty. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi nimi budú aspoň tri esá.

rozhodnutie . Označme udalosti:

A\u003d (medzi vytiahnutými kartami sú aspoň tri esá);

B\u003d (medzi vytiahnutými kartami sú tri esá);

C= (medzi vytiahnutými kartami sú štyri esá).

Ako A= B+ C a udalosti AT a S nekonzistentne teda
. Poďme nájsť pravdepodobnosti udalostí AT a S:

,
. Pravdepodobnosť, že medzi vytiahnutými kartami sú aspoň tri esá, sa teda rovná

0.0022.

1. Násobenie pravdepodobnosti

práca dve udalosti ALE a AT zvolal udalosť S spočívajúce v spoločnom výskyte týchto udalostí:
. Táto definícia sa vzťahuje na ľubovoľný konečný počet udalostí.

Dve udalosti sa nazývajú nezávislý ak pravdepodobnosť výskytu jednej z nich nezávisí od toho, či druhá udalosť nastala alebo nie. Diania , , … , volal kolektívne nezávislý , ak pravdepodobnosť výskytu každej z nich nezávisí od toho, či nastali alebo nenastali iné udalosti.

Príklad 4 . Dva šípy strieľajú na cieľ. Označme udalosti:

A=(prvý strelec zasiahol cieľ);

B= (druhý strelec zasiahol cieľ).

Je zrejmé, že pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa prvým strelcom nezávisí od toho, či druhý strelec zasiahol alebo minul, a naopak. Preto tie udalosti ALE a AT nezávislý.

Platí veta o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí: pravdepodobnosť súčinu dvoch nezávislých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí : .

Táto veta platí aj pre n udalosti, ktoré sú v súhrne nezávislé: .

Príklad 5 . Dvaja strelci strieľajú na rovnaký cieľ. Pravdepodobnosť zásahu prvého strelca je 0,9 a druhého 0,7. Obaja strelci vypália jednu ranu súčasne. Určte pravdepodobnosť, že dôjde k dvom zásahom do cieľa.

rozhodnutie . Označme udalosti:

A

B

C= (obe šípy zasiahnu cieľ).

Ako
a udalosti ALE a AT teda nezávislá
, t.j. .

Diania ALE a AT volal závislý ak pravdepodobnosť výskytu jednej z nich závisí od toho, či druhá udalosť nastala alebo nie. Pravdepodobnosť udalosti ALE za predpokladu, že udalosť AT už je to tu, volá sa podmienená pravdepodobnosť a označené
alebo
.

Príklad 6 . Urna obsahuje 4 biele a 7 čiernych loptičiek. Loptičky sa ťahajú z urny. Označme udalosti:

A=(biela guľa odstránená) ;

B= (čierna guľa odstránená).

Než začnete kresliť gule z urny
. Z urny sa vytiahne jedna guľa a ukáže sa, že je čierna. Potom pravdepodobnosť udalosti ALE po udalosti AT bude iný, rovný . To znamená, že pravdepodobnosť udalosti ALE závislé od udalosti AT, t.j. tieto udalosti budú závislé.

Platí veta o násobení pravdepodobností závislých udalostí: pravdepodobnosť súčinu dvoch závislých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobnosti jednej z nich a podmienenej pravdepodobnosti druhej, vypočítanej za predpokladu, že prvá udalosť už nastala, t.j. alebo .

Príklad 7 . Urna obsahuje 4 biele gule a 8 červených gúľ. Náhodne sa z nej vyžrebujú dve loptičky. Nájdite pravdepodobnosť, že obe gule sú čierne.

rozhodnutie . Označme udalosti:

A=(najprv vytiahnutá čierna guľa);

B= (ako druhá sa vytiahne čierna guľa).

Diania ALE a AT závislý, pretože
, a
. Potom
.

Príklad 8 . Tri šípy strieľajú do terča nezávisle od seba. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa pre prvého strelca je 0,5, pre druhého - 0,6 a pre tretieho - 0,8. Nájdite pravdepodobnosť, že dôjde k dvom zásahom, ak každý strelec vystrelí jeden výstrel.

rozhodnutie . Označme udalosti:

A=(budú dva zásahy do cieľa);

B=(prvý strelec zasiahne cieľ);

C=(druhý strelec zasiahne cieľ);

D=(tretí strelec zasiahne cieľ);

=(prvý strelec nezasiahne cieľ);

=(druhý strelec nezasiahne cieľ);

=(tretí strelec nezasiahne cieľ).

Podľa príkladu
,
,
,

,
,
. Pretože potom pomocou vety o sčítaní pravdepodobností nekompatibilných udalostí a vety o násobení pravdepodobnosti nezávislých udalostí dostaneme:

Nechajte udalosti
tvoria kompletnú skupinu udalostí nejakého súdu a udalostí ALE môže nastať iba pri jednej z týchto udalostí. Ak sú známe pravdepodobnosti a podmienené pravdepodobnosti udalosti ALE, potom sa pravdepodobnosť udalosti A vypočíta podľa vzorca:

Alebo
. Tento vzorec sa nazýva vzorec celkovej pravdepodobnosti a udalosti
hypotéz .

Príklad 9 . Montážna linka dostane 700 dielov z prvého stroja a 300 dielov z druhej. Prvý stroj dáva 0,5% nepodarkov a druhý - 0,7%. Nájdite pravdepodobnosť, že prevzatá položka je chybná.

rozhodnutie . Označme udalosti:

A=(odobratá položka bude chybná);

= (diel je vyrobený na prvom stroji);

= (diel je vyrobený na druhom stroji).

Pravdepodobnosť, že diel bol vyrobený na prvom stroji, je
. Pre druhý stroj
. Podľa podmienky je pravdepodobnosť získania chybného dielu vyrobeného na prvom stroji rovná
. Pre druhý stroj sa táto pravdepodobnosť rovná
. Potom sa podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti vypočíta pravdepodobnosť, že odobratý diel bude chybný

Ak je známe, že udalosť nastala v dôsledku testu ALE, potom pravdepodobnosť, že táto udalosť nastala s hypotézou
, rovná sa
, kde
- celková pravdepodobnosť udalosti ALE. Tento vzorec sa nazýva Bayesov vzorec a umožňuje vám vypočítať pravdepodobnosti udalostí
potom, čo vyšlo najavo, že udalosť ALE už prišiel.

Príklad 10 . Diely rovnakého typu pre autá sa vyrábajú v dvoch továrňach a idú do obchodu. Prvý závod vyrába 80% z celkového počtu dielov a druhý - 20%. Výroba prvého závodu obsahuje 90% štandardných dielov a druhá - 95%. Kupujúci kúpil jeden diel a dopadlo to štandardne. Nájdite pravdepodobnosť, že táto časť je vyrobená v druhej továrni.

rozhodnutie . Označme udalosti:

A=(zakúpený štandardný diel);

= (diel je vyrobený v prvej továrni);

= (diel je vyrobený v druhej továrni).

Podľa príkladu
,
,
a
. Vypočítajte celkovú pravdepodobnosť udalosti ALE: 0,91. Pravdepodobnosť, že sa diel vyrobí v druhom závode, sa vypočíta pomocou Bayesovho vzorca:

.

Úlohy na samostatnú prácu

Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa pre prvého strelca je 0,8, pre druhého - 0,7 a pre tretieho - 0,9. Strelci vystrelili jednu strelu. Nájdite pravdepodobnosť, že cieľ bude mať aspoň dva zásahy.

Opravovňa dostala 15 traktorov. Je známe, že 6 z nich potrebuje vymeniť motor a zvyšok - vymeniť jednotlivé komponenty. Náhodne sa vyberú tri traktory. Nájdite pravdepodobnosť, že nie viac ako dva vybrané traktory potrebujú výmenu motora.

Betonáreň vyrába panely, z ktorých 80 % je najvyššej kvality. Nájdite pravdepodobnosť, že z troch náhodne vybraných panelov budú aspoň dva najvyššie známky.

Traja pracovníci montujú ložiská. Pravdepodobnosť, že ložisko zostavené prvým pracovníkom je najvyššej kvality, je 0,7, druhé - 0,8 a tretie - 0,6. Na kontrolu sa náhodne vybralo jedno ložisko z tých, ktoré zostavil každý pracovník. Nájdite pravdepodobnosť, že aspoň dva z nich sú najkvalitnejšie.

Pravdepodobnosť výhry na lotérii prvého vydania je 0,2, druhého - 0,3 a tretieho - 0,25. Na každé číslo je jeden lístok. Nájdite pravdepodobnosť, že vyhrajú aspoň dva lístky.

Účtovník vykonáva výpočty pomocou troch referenčných kníh. Pravdepodobnosť, že údaje, ktoré ho zaujímajú, sú v prvom adresári 0,6, v druhom - 0,7 a v treťom - 0,8. Nájdite pravdepodobnosť, že údaje, ktoré účtovníka zaujímajú, sa nenachádzajú vo viac ako dvoch adresároch.

Tri stroje vyrábajú diely. Prvý automat vyrába diel najvyššej kvality s pravdepodobnosťou 0,9, druhý s pravdepodobnosťou 0,7 a tretí s pravdepodobnosťou 0,6. Z každého stroja sa náhodne vyberie jedna položka. Nájdite pravdepodobnosť, že aspoň dva z nich sú najkvalitnejšie.

Rovnaký typ dielov sa spracováva na dvoch strojoch. Pravdepodobnosť výroby neštandardného dielu pre prvý stroj je 0,03, pre druhý - 0,02. Spracované diely sú naskladané na jednom mieste. Spomedzi nich je 67 % z prvého stroja a zvyšok z druhého. Náhodne vybratá časť sa ukázala ako štandardná. Nájdite pravdepodobnosť, že bol vyrobený na prvom stroji.

Dielňa dostala dve krabice rovnakého typu kondenzátorov. Prvá škatuľa obsahovala 20 kondenzátorov, z ktorých 2 boli chybné. V druhej krabici je 10 kondenzátorov, z toho 3 chybné. Kondenzátory boli prenesené do jednej krabice. Nájdite pravdepodobnosť, že kondenzátor vybratý náhodne z krabice je dobrý.

Na troch strojoch sa vyrába rovnaký typ dielov, ktoré sa privádzajú na spoločný dopravník. Spomedzi všetkých detailov 20 % z prvého stroja, 30 % z druhého a 505 z tretieho. Pravdepodobnosť výroby štandardnej časti na prvom stroji je 0,8, na druhom - 0,6 a na treťom - 0,7. Odobratá časť bola štandardná. Nájdite pravdepodobnosť, že táto časť je vyrobená na treťom stroji.

Vychystávač dostane 40% dielov z továrne na montáž ALE, a zvyšok - z továrne AT. Pravdepodobnosť, že diel z továrne ALE- najvyššia kvalita, rovná 0,8 a z výroby AT– 0,9. Zberač náhodne zobral jednu časť a tá nebola práve najkvalitnejšia. Nájdite pravdepodobnosť, že táto časť je z továrne AT.

Do žiackych športových súťaží bolo vybraných 10 žiakov z prvej skupiny a 8 žiakov z druhej. Pravdepodobnosť, že sa študent z prvej skupiny dostane do národného tímu akadémie, je 0,8 a z druhej - 0,7. Do národného tímu bol vybraný náhodne vybraný študent. Nájdite pravdepodobnosť, že je z prvej skupiny.

Veta.(Násobenia pravdepodobnosti) Pravdepodobnosť súčinu dvoch udalostí (spoločného výskytu týchto udalostí) sa rovná súčinu pravdepodobnosti jednej z nich a podmienenej pravdepodobnosti druhej, vypočítanej za podmienky, že prvá udalosť už nastala.

Môžete tiež napísať:

Dôkaz tejto vety vyplýva priamo z definície podmienenej pravdepodobnosti.

Ak sú udalosti nezávislé, potom a veta o násobení pravdepodobnosti má tvar:

V prípade súčinu niekoľkých závislých udalostí sa pravdepodobnosť rovná súčinu jedného z nich podmienenými pravdepodobnosťami všetkých ostatných za predpokladu, že pravdepodobnosť každej nasledujúcej udalosti sa vypočíta za predpokladu, že všetky ostatné udalosti už prebehli došlo.

Z vety o súčine pravdepodobnosti môžeme vyvodiť záver pravdepodobnosti vzhľad aspoň jedno podujatie .

Ak výsledok testu v P udalosti, ktoré sú v súhrne nezávislé, potom sa pravdepodobnosť výskytu aspoň jednej z nich rovná

Tu udalosť ALE označuje výskyt aspoň jednej z udalostí A i, a čchi je pravdepodobnosť opačných udalostí.

Príklad 1 Z plného balíčka kariet (52 ks) sa súčasne vyberú štyri karty. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi týmito štyrmi kartami bude aspoň jeden diamant alebo jedna srdcová karta.

rozhodnutie.

Označte vzhľad aspoň jednej diamantovej karty - udalosť ALE , výskyt aspoň jednej červenej karty je udalosťou AT . Preto musíme určiť pravdepodobnosť udalosti S = ALE + AT .

Okrem toho udalosti ALE a AT - kĺb, t.j. vzhľad jedného z nich nevylučuje vzhľad druhého.

Celkovo je v balíčku 13 srdcových a 13 diamantových kariet.

Nájdite pravdepodobnosť udalosti, ktorá je opačná k udalosti S (medzi vytiahnutými kartami nebudú diamanty ani srdcia):

keď je vytiahnutá prvá karta, pravdepodobnosť, že sa neobjaví ani červená, ani diamantová karta, je , pri vytiahnutí druhej karty - , tretia - , štvrtá - .

Potom je pravdepodobnosť, že medzi vytiahnutými kartami nebudú ani diamanty, ani srdcia, rovná .

Požadovaná pravdepodobnosť

Príklad 2 Aká je pravdepodobnosť, že pri hode tromi kockami sa aspoň na jednej z nich objaví 6?

rozhodnutie.

Pravdepodobnosť získania 6 bodov pri jednom hode kockou je . Pravdepodobnosť, že nezískate 6 bodov, je . Pravdepodobnosť, že pri hode tromi kockami nepadne 6, sa rovná .

Potom sa pravdepodobnosť, že padne 6 bodov aspoň raz, rovná .

Príklad 3 Bubon revolvera obsahuje 4 náboje zo šiestich v náhodnom poradí. Bubon sa roztočí a potom sa dvakrát stlačí spúšť. Nájdite pravdepodobnosti: a) aspoň jedného výstrelu, b) dvoch výstrelov, c) dvoch zlyhaní.

rozhodnutie.

Pravdepodobnosť výstrelu pri prvom stlačení spúšte (udalosť ALE ) sa rovná , pravdepodobnosť zlyhania zážihu - Pravdepodobnosť výstrelu pri druhom stlačení spúšte závisí od výsledku prvého stlačenia.

Ak teda v prvom prípade došlo k výstrelu, v bubne zostali iba 3 kazety a sú rozdelené do 5 slotov, pretože. pri druhom stlačení spúšte nemôže byť hniezdo oproti hlavni, v ktorej bola nábojnica pri prvom stlačení spúšte.

Podmienená pravdepodobnosť výstrelu na druhý pokus - ak došlo k výstrelu prvýkrát, - ak došlo k prvému zlyhaniu.

Podmienená pravdepodobnosť druhého zlyhania zážihu je , ak došlo k výstrelu prvýkrát, - ak došlo k prvému zlyhaniu.

Zvážte pravdepodobnosť, že v druhom prípade dôjde k výstrelu (udalosť AT ) alebo dôjde k zlyhaniu zapaľovania (udalosť ), ak v prvom prípade došlo k výstrelu (udalosť ALE ) alebo zlyhá (udalosť ).

Dva výstrely za sebou

Prvé zlyhanie zapaľovania, druhý výstrel

Prvý výstrel, druhý zlyhanie

Dve zlyhania zapaľovania za sebou

Tieto štyri prípady tvoria ucelenú skupinu udalostí (súčet ich pravdepodobností sa rovná jednej)

Analýzou získaných výsledkov vidíme, že pravdepodobnosť aspoň jedného výstrelu sa rovná súčtu

Príklad 4 Dvaja strelci strieľajú na cieľ. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa jedným výstrelom pre prvého strelca je 0,7 a pre druhého - 0,8. Nájdite pravdepodobnosť, že pri jednej salve zasiahne cieľ iba jeden zo strelcov.

rozhodnutie.

Označme prvého strelca, ktorý zasiahne terč - udalosť A, druhý - udalosť B, neúspech prvého strelca - udalosť , netrafenie druhého - udalosť .

Pravdepodobnosť, že prvý strelec zasiahne cieľ a druhý nie, sa rovná

Pravdepodobnosť, že druhý strelec zasiahne cieľ a prvý nie, sa rovná

Potom sa pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa iba jedným strelcom rovná

Rovnaký výsledok možno získať aj iným spôsobom – nájdeme pravdepodobnosť, že oba šípy zasiahli cieľ a oba minuli. Tieto pravdepodobnosti sa v tomto poradí rovnajú:

Potom pravdepodobnosť, že len jeden strelec zasiahne cieľ, je:

Príklad 5 Pravdepodobnosť, že náhodne vybraný diel z určitej série dielov bude chybný, je 0,2. Nájdite pravdepodobnosť, že 2 z 3 položiek budú chybné.

rozhodnutie.

Označte chybnú časť - udalosť A, nie chybnú - udalosť.

Ak je chybná iba jedna z troch častí, je to možné v jednom z troch prípadov: chybná časť bude prvá, druhá alebo tretia.

Príklad 6 Pravdepodobnosť, že sa požadovaná časť nachádza v prvom, druhom, treťom alebo štvrtom políčku, je 0,6, 0,7, 0,8, 0,9. Nájdite pravdepodobnosť, že sa táto časť nachádza: a) nie vo viac ako troch poliach; b) nie menej ako dve kolónky.

rozhodnutie.

a) Pravdepodobnosť, že položka je vo všetkých štyroch poliach, je

Pravdepodobnosť, že požadovaná časť nie je vo viac ako troch poliach, sa rovná pravdepodobnosti, že nie je vo všetkých štyroch poliach.

b) Pravdepodobnosť, že požadovaná časť je aspoň v dvoch rámčekoch, je súčtom pravdepodobností, že súčiastka je iba v dvoch rámčekoch, iba troch rámčekoch, iba štyroch rámčekoch. Samozrejme, tieto pravdepodobnosti sa dajú vypočítať a potom sčítať, je to však jednoduchšie inak. Rovnaká pravdepodobnosť sa rovná pravdepodobnosti, že súčiastka nie je len v jednej krabici a je vôbec dostupná.

Často sa stáva, že pravdepodobnosť nejakej udalosti možno zistiť poznaním pravdepodobnosti iných udalostí spojených s touto udalosťou.

Veta o sčítaní pravdepodobností.

?Veta 2.6. (Sčítací teorém). Pravdepodobnosť súčtu (kombinácie; výskytu jednej z nich, je jedno, ktorej) dvoch ľubovoľných udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí mínus pravdepodobnosť ich spoločného výskytu, t.j. P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).

Dôsledok 1. Pravdepodobnosť súčtu (kombinácie) párových nesúvislých dejov sa rovná súčtu ich pravdepodobností, t.j. P(A 1 +A 2 +...+A n) = = P(A 1) + P(A 2) + ... + P(A n).

Dôsledok 2. Nechať byť A 1 , A 2 , ... , A n- kompletná skupina párovo nekompatibilných udalostí. Potom P(A 1)+P(A 2)+ ... +P(A n) = 1.

Dôsledok 3. Súčet pravdepodobností opačných udalostí sa rovná jednej, t.j. P(A) + P(`A) = 1.

Príklad 2.10. Urna obsahuje 5 bielych, 6 čiernych a 9 červených loptičiek. Aká je pravdepodobnosť, že prvá náhodne vytiahnutá loptička je čierna alebo červená?

rozhodnutie. Existuje len 20 základných výsledkov, z ktorých 6 uprednostňuje vzhľad čiernej gule a 9 uprednostňuje vzhľad červenej gule. Preto pravdepodobnosť koexistencie A- vzhľad čiernej gule: P(A) = 6/20 a pravdepodobnosť udalosti B- vzhľad červenej gule: P(A) = 9/20. Pretože udalosti A a B sú nekompatibilné (vyberie sa iba jedna loptička), potom P(A+B) = P(A) + P(B) = 6/20 + 9/20 = 0,75. Odpoveď: 0,75.

? Podmienená pravdepodobnosť udalosti B (PA (B)) - pravdepodobnosť udalosti B, vypočítaná za predpokladu, že udalosť A už nastala. Ak A a B sú teda nezávislé udalosti P A(B) = P(B), P B(A) = P(A).

Veta o násobení pravdepodobnosti.

?Veta 2.7. (Veta o násobení pravdepodobnosti). Pravdepodobnosť súčinu (priesečníka; spoločného výskytu) dvoch ľubovoľných udalostí sa rovná súčinu pravdepodobnosti jednej z nich podmienenej pravdepodobnosti druhej, vypočítanej za podmienky, že prvá udalosť už nastala, t. P(AB) = P(A)· P A(B) = P(B)· P B(A).

Príklad 2.11. Na poličke je 11 populárno-náučných kníh a 5 kníh o umení. Aká je pravdepodobnosť, že dve náhodne vybrané knihy za sebou budú fikciou?

rozhodnutie. Zvážte dve udalosti B 1 a B 2: B 1 - pri prvom teste bola odobratá umelecká kniha, B 2 - na druhom teste sa brala umelecká kniha. Podľa vety 2.7 sa pravdepodobnosť takejto udalosti rovná P(B 1 B 2)=P(B jeden)· P B 1 (B 2). Pravdepodobnosť udalosti B 1 P(B 1) = 5/16. Po prvom teste zostane na poličke 15 kníh, z toho 4 umelecké, takže podmienená pravdepodobnosť P B 1 (B 2) = 4/15. Požadovaná pravdepodobnosť je teda: P(B 1 B 2) = . Odpoveď: 1/12.

Dôsledok 1. Pravdepodobnosť spoločného výskytu niekoľkých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobnosti jednej z nich a podmienených pravdepodobností všetkých ostatných a pravdepodobnosť každej nasledujúcej udalosti sa vypočíta za predpokladu, že všetky predchádzajúce udalosti už nastali, t.j. P(A jeden · A 2 ·...· A n) = P(A jeden)· P A 1 (A 2) P A 1A 2 (A 3). · ... · P A 1 A 2… An -1 (A n).

Príklad 2.12. Slovo „MATHEMA-TIKA“ sa skladá z desiatich kariet. Z nich si školák nau-chata postupne vyberie štyri karty a jednu priloží k druhej. Aká je pravdepodobnosť, že sa objaví slovo „TÉMA“?

rozhodnutie. Predstavme si udalosti A 1 , A 2 , A 3 , A 4, spočívajúci v tom, že prvé zvolené písmeno je T, druhé E, tretie M a štvrté A. Potrebujeme nájsť pravdepodobnosť vzniku týchto udalostí. Dôsledkom 1 z vety 2.7 máme:

P(A jeden · A 2 · A 3 · A 4) = P(A jeden)· P A 1 (A 2) P A 1A 2 (A 3) P A 1A 2A 3 (A 4) = Odpoveď: 1/420.

Dôsledok 2. Ak A 1 ,A 2 ,...,A n- nezávislé udalosti, potom sa pravdepodobnosť ich súčinu (spoločného výskytu) rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí, t.j. P(A jeden · A 2 · ... · A n) = P(A jeden)· P(A 2) · ... · P(A n).

Príklad 2.13. Dvaja strelci, nezávisle na sebe, strieľajú jednu ranu na ten istý cieľ. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa prvým strelcom je 0,7, druhým 0,8. Aká je pravdepodobnosť, že cieľ bude zasiahnutý?

rozhodnutie. Nechajte udalosť ALE je, že terč zasiahol prvý strelec a udalosť B je, že terč zasiahol druhý strelec. Podľa podmienok R(ALE) = 0,7 a R(AT) =0,8.

1. spôsob. Zvážte opačné udalosti: `A- chýba prvý strelec, `B- druhá miss. Dôsledkom 3 z vety 2.6 dostaneme R(„A) = 1-0,7 = 0,3 a R(„B) = 1-0,8 = 0,2. Produkt udalostí 'A'B znamená, že obaja strelci netrafia. Podľa zmyslu úlohy udalosti ALE a AT sú nezávislé, a teda opačné spolužitie „A a „B bude tiež nezávislý. Dôsledkom 2 z vety 2.7 získame pravdepodobnosť, že obe šípky minú: P(`A `B) = 0,3 0,2 = 0,06. Zaujíma nás pravdepodobnosť opačnej udalosti, ktorou je zasiahnutie cieľa. Požadovanú pravdepodobnosť teda nájdeme podľa Dôsledku 3 vety 2.6: 1 - 0,06 = 0,94.

2. spôsob. Požadovaná udalosť (terč zasiahne aspoň jeden strelec) je súčtom udalostí A a B. Podľa vety 2.6. P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,7 + 0,8 - 0,7 0,8 = 1,5 - 0,56 = 0,94. Odpoveď: 0,94.

Príklad 2.14. V skupine študentov je 25 ľudí. Aká je pravdepodobnosť, že aspoň dvaja ľudia budú mať rovnaké narodeniny?

rozhodnutie. Pravdepodobnosť, že narodeniny dvoch náhodne vybratých ľudí sú rovnaké, sa rovná 1/365 (predpokladáme, že výskyt narodenín v ktorýkoľvek deň v roku je rovnako pravdepodobný). Potom pravdepodobnosť, že sa narodeniny dvoch ľudí nezhodujú, t.j. pravdepodobnosť opačnej udalosti je 1-1/365 = 364/365. Pravdepodobnosť, že narodeniny tretieho sú odlišné od narodenín predchádzajúcich dvoch, bude 363/365 (363 prípadov z 365 podporuje túto udalosť). Ak budeme argumentovať podobne, zistíme, že pre 25. člena skupiny je táto pravdepodobnosť 341/365. Ďalej zistíme pravdepodobnosť, že narodeniny všetkých 25 členov skupiny sa nezhodujú. Keďže všetky tieto udalosti (nesúlad narodenín každého ďalšieho člena skupiny s narodeninami predchádzajúcich) sú nezávislé, následkom 2 z vety 2.7 dostaneme:

P(A 2 A 3 ... A 25) = · · ... · » 0,43.

Toto je pravdepodobnosť, že všetkých 25 ľudí má rôzne narodeniny. Pravdepodobnosť opačnej udalosti bude pravdepodobnosť, že aspoň dvaja ľudia majú narodeniny rovnaké, t.j. isco-moja pravdepodobnosť P» 1-0,43 = 0,57. Odpoveď: » 0,57.

Vzorec plnej pravdepodobnosti.

?Veta 2.8. Nechať byť B 1 , B 2 , …, B n je kompletná skupina párových nesúvislých podujatí. Pravdepodobnosť udalosti A, ktorá môže nastať iba vtedy, ak dôjde k niektorej z udalostí B 1 , B 2 , …, B n, sa rovná súčtu súčinov pravdepodobností každej z týchto udalostí a zodpovedajúcej podmienenej pravdepodobnosti udalosti A, t.j.

P( A) = P(B jeden)· P B 1 (A) + P(B 2) P B 2 (A) + … + P(B n)· P Bn(A).

Tento vzorec sa nazýva vzorec plnej pravdepodobnosti. Diania B 1 , B 2 , …, B n ktoré spĺňajú podmienky vety 2.8 hypotéz.

Príklad 2.15. Turista si rovnako pravdepodobne vyberie jednu z troch trás: konskú, vodnú a horskú. Pravdepodobnosť, že úspešne prekoná cestu pri výbere spôsobu prepravy ťahaným koňmi, je 0,75, pri výbere vodnej cesty - 0,8, pri výbere horskej cesty - 0,55. Nájdite pravdepodobnosť, že turista úspešne dokončí celú cestu bez ohľadu na výber trasy.

rozhodnutie. Vstúpme do udalostí: A- "Turista úspešne prekoná celú cestu akýmkoľvek výberom trasy", B 1 , B 2 , B 3 - zvolená, resp. konská, vodná a horská cesta. Keďže výber trasy je rovnako pravdepodobný, potom aj pravdepodobnosť výberu každej trasy P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3. Podľa podmienok P B 1 (A) = 0,75; P B 2 (A) = 0,8; P B 3 (A) = 0,55. Potom podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti: P(A) = P(B jeden)· P B 1 (A) + P(B 2) P B 2 (A) + P(B 3) P B 3 (A) = (1/3) 0,75 + (1/3) 0,8 + (1/3) 0,55 = 0,7.

Odpoveď: 0,7.

?Veta 2.9. Podmienená pravdepodobnosť akejkoľvek hypotézy B ja ( i = 1, 2, … ,n) sa počíta z Bayesov vzorec:

Bayesov vzorec vám umožňuje nadhodnotiť pravdepodobnosti hypotéz po tom, čo sa dozvieme výsledok testu, v dôsledku ktorého sa udalosť objavila A.

Príklad 2.16. Existujú tri sady žetónov, z ktorých prvá obsahuje 100, druhá 300 a tretia 600 žetónov. Pravdepodobnosť, že náhodne vybraný žetón z prvej sady je dobrý, je 0,9 a pre druhú a tretiu sadu je to 0,85 a 0,8. Aká je pravdepodobnosť, že: a) svojvoľne vybratý mikroobvod je v poriadku; b) dobrý mikroobvod sa vyberie z druhej sady?

rozhodnutie. a) V tomto prípade existujú tri hypotézy, ktorých pravdepodobnosti sú P(B 1) = 0,1, P(B 2) = 0,3, P(B 3) = 0,6. Pomocou vzorca celkovej pravdepodobnosti nájdeme P(A) = P(B jeden)· P B 1 (A) + P(B 2) P B 2 (A) + P(B 3) P B 3 (A) = 0,1 0,9 + 0,3 0,85 + 0,6 0,8 = 0,825.

b) Predpokladajme, že požadovaná udalosť A stalo - správny mikroobvod bol odstránený. Poďme nájsť pravdepodobnosť P A(B 2) skutočnosť, že tento mikroobvod je extrahovaný z druhej sady. Podľa Bayesovho vzorca

Odpoveď: a) 0,825; b) 17/55.

Príklad 2.17. Z 10 žiakov, ktorí prišli na skúšku z matematiky, sa traja pripravili perfektne, štyria - dobre, dvaja - uspokojivo a jeden sa nepripravil vôbec. V tiketoch je 20 otázok. Dobre pripravení študenti môžu odpovedať na všetkých 20 otázok, dobre - 16 otázok, uspokojivo - 10 a nepripravení - 5 otázok. Každý študent dostane náhodne 3 otázky z 20. Študent, ktorý bol pozvaný ako prvý, odpovedal na všetky 3 otázky. Aká je pravdepodobnosť, že je výborným študentom?

P A ( B jeden). Podľa Bayesovho vzorca P A(B 1) = » 0,58.

Ako vidíte, želaná pravdepodobnosť je relatívne malá, a preto bude musieť učiteľ študentovi ponúknuť niekoľko doplňujúcich otázok. Odpoveď: 0,58.

Súčet všetkých pravdepodobností udalostí vo vzorovom priestore je 1. Ak je experiment napríklad hod mincou s udalosťou A = „hlavy“ a udalosťou B = „chvosty“, potom A a B predstavujú celý priestor vzorky. znamená, P(A) + P(B) = 0,5 + 0,5 = 1.

Príklad. V predtým navrhovanom príklade výpočtu pravdepodobnosti vytiahnutia červeného pera z vrecka županu (toto je udalosť A), v ktorej sú dve modré a jedno červené pero, P(A) = 1/3 ≈ 0,33, pravdepodobnosť opačnej udalosti - vytiahnutie modrého pera - bude

Skôr než prejdeme k hlavným vetám, predstavíme si dva zložitejšie pojmy – súčet a súčin udalostí. Tieto pojmy sa líšia od bežných pojmov súčtu a súčinu v aritmetike. Sčítanie a násobenie v teórii pravdepodobnosti sú symbolické operácie podliehajúce určitým pravidlám a uľahčujúce logickú konštrukciu vedeckých záverov.

súčet viacerých udalostí je udalosť, ktorá spočíva v výskyte aspoň jednej z nich. To znamená, že súčet dvoch udalostí A a B sa nazýva udalosť C, ktorá spočíva v objavení sa udalosti A alebo udalosti B alebo udalostí A a B spolu.

Napríklad, ak cestujúci čaká na zastávke električky na jednu z dvoch trás, potom udalosť, ktorú potrebuje, je objavenie sa električky prvej trasy (udalosť A) alebo električky druhej trasy (udalosť B) , alebo spoločné vystúpenie električiek prvej a druhej trasy (podujatie S). V jazyku teórie pravdepodobnosti to znamená, že udalosť D, ktorú cestujúci potrebuje, je výskyt udalosti A, udalosti B alebo udalosti C, ktorú možno symbolicky zapísať ako:

D = A + B + C

Produkt dvoch udalostíALE a AT je udalosť spočívajúca v spoločnom výskyte udalostí ALE a AT. Produkt viacerých udalostí spoločný výskyt všetkých týchto udalostí sa nazýva.

Vo vyššie uvedenom príklade cestujúceho je udalosť S(spoločná podoba električiek dvoch trás) je produktom dvoch podujatí ALE a AT, ktorý je symbolicky napísaný takto:

Predpokladajme, že dvaja lekári oddelene vyšetrujú pacienta s cieľom identifikovať konkrétne ochorenie. Počas inšpekcií môžu nastať tieto udalosti:

Detekcia chorôb prvým lekárom ( ALE);

Nezistenie choroby prvým lekárom ();

Zistenie choroby druhým lekárom ( AT);

Nezistenie choroby druhým lekárom ().

Zvážte prípad, keď sa choroba zistí presne raz počas vyšetrení. Táto udalosť môže byť realizovaná dvoma spôsobmi:

Ochorenie zistí prvý lekár ( ALE) a nenájde druhú ();

Choroby nezistí prvý lekár () a zistí ich druhý ( B).

Označme uvažovanú udalosť a napíšme ju symbolicky:

Zoberme si prípad, že ochorenie je odhalené v procese vyšetrení dvakrát (prvým aj druhým lekárom). Označme túto udalosť a napíšme: .

Udalosť, ktorá spočíva v tom, že ani prvý, ani druhý lekár ochorenie nezistí, označíme a napíšeme: .

Základné vety teórie pravdepodobnosti

Pravdepodobnosť súčtu dvoch nezlučiteľných udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí.

Napíšme vetu o sčítaní symbolicky:

P(A + B) = P(A) + P(B),

kde R- pravdepodobnosť zodpovedajúcej udalosti (udalosť je uvedená v zátvorkách).

Príklad . Pacient má krvácanie do žalúdka. Tento príznak sa zaznamenáva pri erózii ulceróznej cievy (udalosť A), ruptúre kŕčových žíl pažeráka (udalosť B), rakovine žalúdka (udalosť C), polype žalúdka (udalosť D), hemoragickej diatéze (udalosť F), obštrukčnej žltačke (udalosť E) a koniec gastritídy (eventG).

Lekár na základe analýzy štatistických údajov priradí každej udalosti hodnotu pravdepodobnosti:

Celkovo mal lekár 80 pacientov so žalúdočným krvácaním (n= 80), z ktorých 12 malo ulceróznu eróziu ciev (), pri6 - prasknutie kŕčových žíl pažeráka (), 36 malo rakovinu žalúdka () atď.

Na predpísanie vyšetrenia chce lekár určiť pravdepodobnosť, že krvácanie do žalúdka je spojené s ochorením žalúdka (udalosť I):

Pravdepodobnosť, že žalúdočné krvácanie súvisí s ochorením žalúdka, je pomerne vysoká a lekár môže určiť taktiku vyšetrenia na základe predpokladu ochorenia žalúdka, zdôvodneného na kvantitatívnej úrovni pomocou teórie pravdepodobnosti.

Ak sa uvažuje o spoločných udalostiach, pravdepodobnosť súčtu dvoch udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí bez pravdepodobnosti ich spoločného výskytu.

Symbolicky je to napísané takto:

Ak si predstavíme, že udalosť ALE spočíva v zasiahnutí terča zatieneného vodorovnými pruhmi pri streľbe a event AT- pri zasiahnutí cieľa zatieneného zvislými pruhmi, potom v prípade nezlučiteľných udalostí podľa vety o sčítaní sa pravdepodobnosť súčtu rovná súčtu pravdepodobností jednotlivých udalostí. Ak sú tieto udalosti spoločné, potom existuje určitá pravdepodobnosť zodpovedajúca spoločnému výskytu udalostí ALE a AT. Ak nezavediete opravu na odpočítateľnú položku P(AB), t.j. na pravdepodobnosti spoločného výskytu udalostí, potom sa táto pravdepodobnosť bude brať do úvahy dvakrát, pretože oblasť zatienená horizontálnymi aj vertikálnymi čiarami je integrálnou súčasťou oboch cieľov a bude sa brať do úvahy tak v prvom, ako aj v druhé privolanie.

Na obr. 1 je uvedený geometrický výklad, ktorý jasne ilustruje túto okolnosť. V hornej časti obrázku sú nepretínajúce sa terče, ktoré sú analógiou nezlučiteľných udalostí, v dolnej časti - pretínajúce sa terče, ktoré sú analógom spoločných udalostí (jedna strela môže zasiahnuť cieľ A aj cieľ B naraz. ).

Predtým, ako pristúpime k vete o násobení, je potrebné zvážiť koncepty nezávislých a závislých udalostí a podmienených a nepodmienených pravdepodobností.

Nezávislý udalosť B je udalosť A, ktorej pravdepodobnosť výskytu nezávisí od výskytu alebo nenastávania udalosti B.

závislý Udalosť B je udalosť A, ktorej pravdepodobnosť výskytu závisí od toho, či udalosť B nastane alebo nenastane.

Príklad . Urna obsahuje 3 loptičky, 2 biele a 1 čiernu. Pri náhodnom výbere lopty je pravdepodobnosť výberu bielej lopty (udalosť A): P(A) = 2/3 a čiernej (udalosť B) P(B) = 1/3. Zaoberáme sa schémou prípadov a pravdepodobnosti udalostí sa počítajú striktne podľa vzorca. Keď sa experiment opakuje, pravdepodobnosti výskytu udalostí A a B ostanú nezmenené, ak sa po každej voľbe lopta vráti do urny. V tomto prípade sú udalosti A a B nezávislé. Ak sa loptička vybraná v prvom experimente nevráti do urny, potom pravdepodobnosť udalosti (A) v druhom experimente závisí od výskytu alebo neprítomnosti udalosti (B) v prvom experimente. Ak sa teda v prvom pokuse objavila udalosť B (bola zvolená čierna guľa), druhý pokus sa vykoná, ak sú v urne 2 biele gule a pravdepodobnosť výskytu udalosti A v druhom pokuse je: P (A) = 2/2 = 1.

Ak sa udalosť B neobjavila v prvom pokuse (vyberie sa biela guľa), druhý pokus sa vykoná, ak je v urne jedna biela a jedna čierna guľa a pravdepodobnosť výskytu udalosti A v druhom pokuse experiment sa rovná: P(A) = 1/2. Je zrejmé, že v tomto prípade udalosti A a B spolu úzko súvisia a pravdepodobnosti ich výskytu sú závislé.

Podmienená pravdepodobnosť udalosť A je pravdepodobnosť jej výskytu za predpokladu, že nastala udalosť B. Podmienená pravdepodobnosť je symbolicky označená P(A/B).

Ak je pravdepodobnosť výskytu udalosti ALE nezávisí od výskytu udalosti AT, potom podmienená pravdepodobnosť udalosti ALE sa rovná nepodmienenej pravdepodobnosti:

Ak pravdepodobnosť výskytu udalosti A závisí od výskytu udalosti B, potom sa podmienená pravdepodobnosť nikdy nemôže rovnať nepodmienenej pravdepodobnosti:

Odhalenie závislosti rôznych udalostí medzi sebou má veľký význam pri riešení praktických problémov. Takže napríklad chybný predpoklad o nezávislosti výskytu určitých symptómov pri diagnostike srdcových chýb pomocou pravdepodobnostnej metódy vyvinutej na Ústave kardiovaskulárnej chirurgie. A. N. Bakuleva, spôsobila asi 50 % chybných diagnóz.

Produkt dvoch udalostí a pomenovať udalosť spočívajúcu v spoločnom výskyte týchto udalostí.

Produkt viacerých udalostí pomenovať udalosť spočívajúcu v spoločnom výskyte všetkých týchto udalostí.

Napríklad vzhľad erbu v troch súčasných hodoch mincou.

Podmienená pravdepodobnosť

Podmienená pravdepodobnosť volajte pravdepodobnosť výskytu udalosti, vypočítanú za predpokladu, že udalosť už nastala:

Príklad. Urna obsahuje 3 biele a 3 čierne gule. Jedna loptička sa vyberie z urny dvakrát bez toho, aby sa vrátila späť. Nájdite pravdepodobnosť, že sa biela guľa objaví v druhom pokuse (udalosti), ak bola v prvom pokuse (udalosti) vytiahnutá čierna guľa ).

rozhodnutie. Po prvom teste ostalo v urne 5 loptičiek, z toho 3 biele.

Požadovaná podmienená pravdepodobnosť

Podmienená pravdepodobnosť udalosť, za predpokladu, že udalosť už nastala, podľa definície sa rovná

Veta o násobení pravdepodobnosti

Veta. Pravdepodobnosť spoločného výskytu dvoch udalostí sa rovná súčinu pravdepodobnosti jednej z nich a podmienenej pravdepodobnosti druhej, vypočítanej za predpokladu, že prvá udalosť už nastala:

Dôkaz. Podľa definície podmienenej pravdepodobnosti,

Komentujte. . Udalosť je ekvivalentná udalosti. teda

a (***)

Dôsledok. Pravdepodobnosť spoločného výskytu niekoľkých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobnosti jednej z nich podmienených pravdepodobností všetkých ostatných a pravdepodobnosť každej nasledujúcej udalosti sa vypočíta za predpokladu, že všetky predchádzajúce udalosti sa už vyskytli ( v prípade výskytu troch udalostí:

Poradie, v ktorom sú udalosti umiestnené, je možné zvoliť v ľubovoľnom poradí.

Príklad. Urna obsahuje 5 bielych, 4 čierne a 3 modré loptičky. Jedna loptička sa vyžrebuje náhodne bez vrátenia, potom sa vyžrebuje druhá a tretia loptička. Nájdite pravdepodobnosť, že pri prvom pokuse sa objaví biela guľa (udalosť), pri druhom - čierna (udalosť) a pri treťom - modrá (udalosť).

rozhodnutie. Pravdepodobnosť výskytu bielej gule v prvom pokuse

Pravdepodobnosť výskytu čiernej gule v druhom pokuse, vypočítaná za predpokladu, že sa v prvom pokuse objavila biela guľa (podmienená pravdepodobnosť)

Pravdepodobnosť, že sa v treťom pokuse objaví modrá guľa, vypočítaná za predpokladu, že biela guľa sa objavila v prvom pokuse a čierna v druhom (podmienená pravdepodobnosť)

Požadovaná pravdepodobnosť