Kapitola 3

Základné vety teórie pravdepodobnosti a dôsledky z nich

Sčítací teorém pre nekonzistentné pravdepodobnosti

diania

V druhej kapitole bolo ukázané, ako možno určiť pravdepodobnosť konkrétnej náhodnej udalosti za určitých podmienok. Ako viete, s náhodnými udalosťami môžete vykonávať aritmetické operácie, z ktorých hlavné sú sčítanie a násobenie udalostí. Teória pravdepodobnosti umožňuje pomocou svojich hlavných teorém nájsť pravdepodobnosť súčtu a súčinu udalostí, t.j. určiť buď pravdepodobnosť výskytu aspoň jednej z uvažovaných udalostí, alebo pravdepodobnosť súčasného výskytu týchto udalostí.

Medzi hlavné vety teórie pravdepodobnosti patria:

1. Veta o sčítaní pravdepodobností.

2. Veta o násobení pravdepodobností.

Zvážte vetu o sčítaní pravdepodobnosti pre konkrétny prípad. Predstierajme to ALE a AT nezlučiteľné udalosti a budeme predpokladať, že pravdepodobnosti týchto udalostí sú známe alebo sa dajú nájsť.

Veta 3.1. Pravdepodobnosť výskytu jednej z dvoch nezlučiteľných udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí, t.j.

Dôkaz. Nechaj n- celkový počet všetkých rovnako možných elementárnych udalostí testu, v ktorých sa udalosti môžu objaviť ALE alebo AT. Označiť podľa t A a t V počet elementárnych udalostí priaznivých pre udalosti ALE a AT resp. Od udalostí ALE a AT sú nezlučiteľné, potom súčet týchto udalostí ALE + AT priazeň t A+ t V elementárne udalosti. Preto .

Veta bola dokázaná.

Dôsledok. Pravdepodobnosť výskytu jedného z niekoľkých párovo nekompatibilných udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí, t.j.

Dôkaz Je ľahké ho vykonať pomocou metódy matematickej indukcie.

Príklad 3.1. Krabička obsahuje 8 bielych, 5 čiernych a 10 červených loptičiek. Náhodne sa vyberie jedna loptička. Aká je pravdepodobnosť, že táto lopta nie je biela?

Riešenie. Nechajte udalosť ALE- výber čiernej gule, AT– výber červenej gule. Potom udalosť OD = ALE + AT určuje výber nebielej gule (čiernej alebo červenej).

Podľa klasického vzorca . Podľa vety 3.1 nakoniec získame .■

Príklad 3.2. Vo firme sú dve voľné pracovné miesta, na ktoré sa uchádzajú traja muži a päť žien. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi prijatými ľuďmi bude aspoň jeden muž, ak je výber uchádzačov náhodný.

Riešenie. Nechajte udalosť OD spočíva v tom, že medzi najatými ľuďmi bude aspoň jeden muž. Jednoznačne udalosť OD nastane, keď nastane jedna z nasledujúcich dvoch nekompatibilných udalostí: ALE- boli prijatí dvaja muži; AT- Bola prijatá jedna žena a jeden muž. Touto cestou, OD = ALE + AT.

Poďme nájsť pravdepodobnosti udalostí ALE a AT pomocou klasického vzorca získame

a .

Vývoj ALE a AT sú nekonzistentné, preto možno použiť vetu 3.1. Dostaneme . ■

Pri riešení príkladu 3.2 jedinou možnou udalosťou, ktorá sa nezohľadňovala, bolo prijatie dvoch žien. Označme to písmenom D a nájdite jeho pravdepodobnosť. Aplikovaním klasického vzorca dostaneme

.

Je ľahké pochopiť, že udalosti ALE, AT a D vytvorte kompletnú skupinu na test: výber dvoch ľudí z ôsmich. Nájdite súčet pravdepodobností týchto udalostí: . Získaný výsledok možno prezentovať vo všeobecnej forme.

Veta 3.2. Súčet pravdepodobností udalostí, ktoré tvoria kompletnú skupinu, je 1.

Dôkaz. Nechajte udalosti ALE 1 , ALE 2 , …, A n vytvorte kompletnú skupinu na nejaký test. Potom podľa definície v dôsledku tohto testu určite dôjde k jednej z udalostí, t.j. súčet týchto udalostí je určitou udalosťou. Pravdepodobnosť určitej udalosti sa rovná 1. Rovnosť teda platí:

Pripomeňme, že podľa definície kompletnej skupiny pozostáva z nekompatibilných udalostí. Potom, ako dôsledok vety 3.1, dostaneme

Veta bola dokázaná.

Dôsledok. Súčet pravdepodobností opačných udalostí je 1.

Dôkaz vyplýva priamo z toho, že opačné udalosti tvoria ucelenú skupinu, preto podľa vety 3.2 vzorec

(3.3)

kde ALE a Ā sú opačné udalosti.

Dôsledok je dokázaný.

Pri riešení úloh sa častejšie používa transformovaný vzorec (3.3), a to

(3.4)

Príklad 3.3. Z deviatich kandidátov, ktorí majú byť vybraní na tri pozície, majú piati titul s vyznamenaním. Každý má rovnakú šancu byť vybraný na tieto pozície. Určte pravdepodobnosť, že medzi vybranými študentmi bude aspoň jeden s vyznamenaním.

Riešenie. Nechajte udalosť ALE znamená, že spomedzi vybraných kandidátov má aspoň jeden diplom s vyznamenaním. Jednoznačne udalosť Ā opak ALE bude spočívať v tom, že všetci traja vybraní ľudia nemajú diplom s vyznamenaním. Nájdite pravdepodobnosť opačnej udalosti. Aby sme to dosiahli, použijeme klasický vzorec, dostaneme

.

Pomocou vzorca (3.3) zistíme pravdepodobnosť udalosti ALE:

. ■

Roztok z príkladu 3.3 je možné získať iným, dlhším spôsobom. Je ľahké pochopiť, že udalosť ALE je súčet nasledujúcich udalostí:

ALE 1 – spomedzi vybraných len jeden uchádzač s diplomom s vyznamenaním;

ALE 2 - spomedzi vybraných dvoch uchádzačov s diplomom s vyznamenaním;

ALE 3 - spomedzi vybraných troch kandidátov s diplomom s vyznamenaním.

Podľa klasického vzorca dostaneme

Očividne udalosti ALE 1 , ALE 2 , ALE 3 sú nekonzistentné, preto možno použiť vetu 3.3. Touto cestou

Je jasné, že prvé riešenie je oveľa jednoduchšie.

Vo vyššie uvedených teorémoch a príkladoch sa predpokladala nekonzistentnosť zodpovedajúcich náhodných udalostí. Prirodzene môže nastať problém, pri ktorom je potrebné nájsť pravdepodobnosť výskytu aspoň jednej zo spoločných udalostí. Veta 3.1 sa v tomto prípade nedá použiť. Je toho viac všeobecná forma pravdepodobnostná veta o sčítaní, ktorá využíva pojem pravdepodobnosti súčinu udalostí.

Veta o násobení pravdepodobnosti udalostí

Uvažujme o nejakom teste, v ktorom je možný výskyt náhodnej udalosti ALE. Ak okrem podmienok testu neexistujú žiadne obmedzenia pre podujatie ALE neexistuje, potom pravdepodobnosť udalosti ALE volal bezpodmienečná pravdepodobnosť. Ak sú stanovené nejaké ďalšie podmienky, potom podmienená pravdepodobnosť táto udalosť. Najčastejšie sú dodatočné podmienky spojené s výskytom inej náhodnej udalosti. Takže pri analýze konkrétneho javu môže vzniknúť otázka: ovplyvňuje možnosť výskytu určitej udalosti ALE výskyt inej náhodnej udalosti AT a ak áno, ako? Napríklad útok AT vedie k povinnému výskytu udalosti ALE alebo naopak vylučuje možnosť výskytu udalosti ALE, a možno len zmení hodnotu pravdepodobnosti. Je ľahké pochopiť, že ak udalosť AT je pre podujatie priaznivé ALE, potom keď dôjde k udalosti AT udalosť ALE vždy príde, alebo ak ALE a AT- dve udalosti, ktoré sú v tomto teste nekompatibilné, potom, keď sa udalosť vyskytne AT udalosť ALE sa nikdy nestane. Ide však o takzvané extrémne prípady. Najväčší záujem vzniká pri výskyte udalosti AT nejakým spôsobom mení (zvyšuje alebo znižuje) pravdepodobnosť výskytu udalosti ALE bez toho, aby sa to v nových podmienkach zmenilo na spoľahlivú alebo nemožnú udalosť. Charakteristickým znakom takéhoto vplyvu jednej udalosti na druhú je podmienená pravdepodobnosť.

Podmienená pravdepodobnosť vývoj ALE za podmienky AT nazývaná pravdepodobnosť udalosti ALE, vypočítané za predpokladu, že udalosť AT už sa stalo.

Podobne môžeme definovať podmienenú pravdepodobnosť udalosti AT, za predpokladu, že udalosť ALE už sa stalo.

Príklad 3.4. Nech je v urne 6 bielych a 8 čiernych loptičiek. Z urny sa náhodne vytiahnu dve loptičky jedna po druhej bez toho, aby sa vrátili späť. Nájdite pravdepodobnosť, že druhá guľa je biela, ak prvá vytiahnutá guľa je tiež biela?

Riešenie . Nechajte udalosť ALE je, že druhá lopta bude biela a udalosť ATže prvá guľa je biela. Úlohou je nájsť pravdepodobnosť udalosti ALE, za predpokladu, že udalosť AT stalo, t.j. Nájsť . Ak udalosť AT sa stane, v urne zostáva 13 loptičiek, z toho 5 bielych. Pravdepodobnosť vytiahnutia bielej gule z 13, z ktorých 5 je bielych, je teda vysoká .■

Všimnime si dva body.

Najprv k udalosti ALE možno nájsť nielen jej podmienenú pravdepodobnosť, ale aj takzvanú celkovú pravdepodobnosť udalosti, t.j. pravdepodobnosť, že druhá guľa bude biela, ak sa ako prvá vyberie ktorákoľvek guľa. Nájdenie takejto pravdepodobnosti bude diskutované v časti 3.4.

Po druhé, podmienku príkladu možno zmeniť tak, že farba prvej vybranej loptičky vôbec neovplyvní pravdepodobnosť výskytu udalosti. ALE. Budeme predpokladať, že loptičky sa po zafixovaní farby vrátia späť do urny. Potom, samozrejme, pravdepodobnosť udalosti ALE nezávisí od toho, akej farby bola zvolená prvá loptička, t.j. od výskytu (alebo neexistencie) udalosti AT. V tomto prípade , t.j. pravdepodobnosť udalosti ALE sa zhoduje s podmienenou pravdepodobnosťou tejto udalosti. Samotné udalosti ALE a AT sú v tomto teste nezávislé.

Dve udalosti ALE a AT volal nezávislý ak pravdepodobnosť výskytu každého z nich nezávisí od toho, či došlo k inej udalosti alebo nie. Inak sa udalosti nazývajú závislý.

Z definície vyplýva, že pre nezávislé podujatia ALE a AT platia vzorce:

. (3.5)

Zoberme si vzorec na zistenie podmienenej pravdepodobnosti pomocou klasickej definície. Nechajte test byť n rovnako pravdepodobné elementárne udalosti. Počet udalostí v prospech udalosti ALE, rovná sa t A; udalosť AT – t V; produkt udalostí AB – t AB. Je zrejmé, že a . Od udalosti AT priazne t V výsledky, z toho len t A priazeň ALE, potom podmienená pravdepodobnosť je

. Nakoniec sme dostali

(3.6)

Je potrebné venovať pozornosť skutočnosti, že menovateľ vo vzorci (3.6) je odlišný od nuly, pretože podľa podmienky udalosť AT sa môže stať, t.j. t V nerovná sa nule.

Argumentujúc podobne, môžeme získať vzorec pre podmienenú pravdepodobnosť udalosti AT: . Ale od udalosti AB sa nelíši od udalosti VA a , potom podmienená pravdepodobnosť udalosti AT možno určiť podľa vzorca

(3.7)

V najkompletnejšom, s použitím axiomatického prístupu, kurzy teórie pravdepodobnosti, vzorce (3.6) a (3.7) sa berú ako definícia podmienenej pravdepodobnosti a vzorce (3.5) - na definíciu nezávislých udalostí.

Vzorce (3.6) a (3.7) priamo implikujú nasledujúcu vetu o násobení pravdepodobnosti.

Veta 3.2. Pravdepodobnosť súčasného výskytu dvoch náhodných udalostí sa rovná súčinu pravdepodobnosti jednej udalosti s podmienenou pravdepodobnosťou druhej, vypočítanej za predpokladu, že prvá udalosť už nastala, t.j.

(3.8)

Dôsledok. Pravdepodobnosť súčasného výskytu niekoľkých náhodných udalostí sa rovná súčinu pravdepodobnosti jednej udalosti a podmienených pravdepodobností všetkých ostatných, pričom pravdepodobnosť každej nasledujúcej udalosti sa počíta za predpokladu, že všetky predchádzajúce udalosti už nastali, t.j.

Príklad 3.5. V lotérii je 20 tiketov, z toho 5 výherných. Náhodne si vyberte 3 lístky jeden po druhom bez výmeny. Určte pravdepodobnosť, že prvý, druhý a tretí tiket vyhrá.

Riešenie. Nechajte udalosť ALE je, že ako prvý sa vyberie výherný tiket, podujatie AT- že druhý tiket bude výherný a nakoniec, OD- tretí tiket vyhráva. To je zrejmé .

Podmienená pravdepodobnosť udalosti AT za predpokladu, že udalosť ALE stalo, t.j. z lotérie bol vybraný jeden výherný tiket, rovný (celkom zostalo 19 tiketov, z toho 4 výherné).

Podmienená pravdepodobnosť udalosti OD za predpokladu, že udalosti ALE a AT stalo, t.j. boli vybrané dva výherné lístky, ktoré sa rovnajú .

V dôsledku vety 3.2 pravdepodobnosť súčinu je

Treba poznamenať, že problém 3.5 možno vyriešiť pomocou klasického vzorca a kombinatoriky:

.

Veta 3.2 platí pre všetky náhodné udalosti ALE a AT. V špeciálnom prípade, keď sa udalosti ALE a AT sú nezávislé, platí nasledujúce tvrdenie.

Veta 3.3 . Pravdepodobnosť súčasného výskytu dvoch nezlučiteľných udalostí ALE a AT sa rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí, t.j.

Dôkaz. Vývoj ALE a AT- nezávislý. Podľa vety 3.2, berúc do úvahy vzorec (3.5), dostaneme

Veta bola dokázaná.

Veta 3.3 teda hovorí, že pravdepodobnosť súčinu nezávislých udalostí sa zistí podľa vzorca (3.9). Opak je tiež pravdou.

Veta 3.4. Ak vzorec (3.9) platí pre dve udalosti, potom sú tieto udalosti nezávislé.

Bez dôkazu uvedieme niekoľko dôležité vlastnosti, platí pre nezávislé podujatia.

1. Ak udalosť AT nezávisí od ALE, potom udalosť ALE nezávisí od AT.

2. Ak udalosti ALE a AT sú nezávislé, potom sú nezávislé aj udalosti ALE a .

3. Ak sú dve udalosti nezávislé, potom sú nezávislé aj opačné udalosti.

Veta 3.3 sa dá zovšeobecniť na konečný počet udalostí. Predtým, ako to urobíte, je však potrebné podrobnejšie sa zaoberať konceptom nezávislosti troch alebo viacerých udalostí.

Pre skupinu pozostávajúcu z troch alebo viacerých udalostí existuje koncept párovej nezávislosti a nezávislosti v súhrne.

Vývoj ALE 1 , ALE 2 , …, A n volal párovo nezávislé ak sú ktorékoľvek dve z týchto udalostí nezávislé.

Vývoj ALE 1 , ALE 2 , …, A n volal kolektívne nezávislý ( alebo jednoducho nezávislý) ak sú párovo nezávislé a každá udalosť a všetky možné produkty všetkých ostatných sú nezávislé.

Napríklad tri udalosti ALE 1 , ALE 2 , ALE 3 sú navzájom nezávislé, ak sú nezávislé nasledujúce udalosti:

ALE 1 a ALE 2 , ALE 1 a ALE 3 , ALE 2 a ALE 3 ,

ALE 1 a ALE 2 ALE 3 , ALE 2 a ALE 1 ALE 3 , ALE 3 a ALE 1 ALE 2 .

Veta 3.5 . Ak udalosti ALE 1 , ALE 2 , …, A n sú v súhrne nezávislé, potom sa pravdepodobnosť ich súčasného výskytu vypočíta podľa vzorca:

Dôkaz. Ukážme, že vzorec je správny pre tri udalosti. Ak sú udalosti viac ako tri, potom platnosť vzorca dokazujeme metódou matematickej indukcie.

Tak si to ukážme. Podľa podmienky vety o udalosti ALE 1 , ALE 2 , ALE 3 sú kolektívne nezávislé. Preto sú dve udalosti nezávislé napr ALE 1 ALE 2 a ALE 3. Podľa vzorca (3.9) dostaneme . Podľa stavu udalosti ALE 1 a ALE 2 sú tiež nezávislé. Aplikovaním vzorca (3.9) na prvý faktor nakoniec dostaneme .

Veta bola dokázaná.

Treba poznamenať, že ak sú udalosti párovo nezávislé, potom z toho nevyplýva, že budú nezávislé ako celok. A naopak, ak sú udalosti v súhrne nezávislé, potom, samozrejme, budú podľa definície párovo nezávislé.

Uvažujme príklad udalostí, ktoré sú párovo nezávislé, ale súhrnne závislé.

Príklad 3.6. Predpokladajme, že v krabici sú 4 rovnaké karty s napísanými číslami:

Náhodne vyberie jednu kartu. Udalosť ALE znamená, že ste si vybrali kartu, ktorá má na sebe číslo 1, udalosť AT predpokladá, že vybraná karta má číslo 2, udalosť OD- číslo 3. Zistite, či sú udalosti ALE, AT a OD párovo nezávislé alebo kolektívne nezávislé.

Riešenie. Pravdepodobnosť každej z udalostí ALE, AT a OD možno nájsť podľa klasického vzorca (celkom sú 4 karty, dve z nich majú čísla 1, 2, 3, v uvedenom poradí): .

Ukážme, že udalosti ALE, AT a OD sú párovo nezávislé. Vyberme si ľubovoľné dve udalosti, napr. ALE a AT. Pravdepodobnosť ich produktu, pretože súčasný výskyt čísel 1 a 2 môže byť iba na jednej karte zo štyroch.

Teda rovnosť . Podľa vety 3.4 udalosti ALE a AT nezávislý. Podobne možno ukázať nezávislosť udalostí AT a OD, ako aj udalosti ALE a OD. Je dokázaná párová nezávislosť.

Ukážme, že tieto udalosti nie sú v súhrne nezávislé. Pravdepodobnosť súčasného výskytu všetkých troch udalostí, t.j. vzhľad všetkých troch čísel sa rovná , pretože iba jedna karta zo štyroch obsahuje všetky tri čísla. Súčinom pravdepodobnosti udalostí je . Touto cestou, , teda v súhrne neexistuje nezávislosť. ■

Z vety o násobení pravdepodobností a vety o sčítaní pravdepodobností nezlučiteľných udalostí priamo vyplýva aj veta o sčítaní pravdepodobností spoločných udalostí.

\(\blacktriangleright\) Ak vykonanie udalosti \(C\) vyžaduje vykonanie oboch súčasných (ktoré sa môžu vyskytnúť súčasne) udalostí \(A\) a \(B\) (\(C=\(A\ ) a \( B\)\) ), potom sa pravdepodobnosť udalosti \(C\) rovná súčinu pravdepodobnosti udalostí \(A\) a \(B\) .

Všimnite si, že ak sú udalosti nekompatibilné, pravdepodobnosť ich súčasného výskytu je \(0\) .

\(\blacktriangleright\) Každá udalosť môže byť reprezentovaná ako kruh. Potom, ak sú udalosti spoločné, potom sa kruhy musia pretínať. Pravdepodobnosť udalosti \(C\) je pravdepodobnosť, že sa dostaneme do oboch kruhov súčasne.

\(\blacktriangleright\) Napríklad pri hádzaní kockou nájdite pravdepodobnosť \(C=\) (hodenie čísla \(6\) ).
Udalosť \(C\) môže byť formulovaná ako \(A=\) (párne číslo) a \(B=\) (číslo deliteľné tromi).
Potom \(P\,(C)=P\,(A)\cdot P\,(B)=\dfrac12\cdot \dfrac13=\dfrac16\).

Úloha 1 #3092

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Obchod predáva tenisky dvoch značiek: Dike a Ananas. Pravdepodobnosť, že náhodne vybraný pár tenisiek je Dike, je \(0,6\) . Každá firma sa môže pomýliť pri písaní svojho názvu na tenisky. Pravdepodobnosť, že Dike napíše meno nesprávne, je \(0,05\) ; Pravdepodobnosť, že Ananas napíše meno nesprávne, je \(0,025\) . Nájdite pravdepodobnosť, že náhodne zakúpený pár tenisiek bude mať správny pravopis názvu spoločnosti.

Udalosť A: „pár tenisiek bude mať správny názov“ sa rovná súčtu udalostí B: „pár tenisiek bude od Dike a so správnym názvom“ a C: „pár tenisiek bude z Ananas a so správnym menom.“
Pravdepodobnosť udalosti B sa rovná súčinu pravdepodobnosti udalostí „tenisky vyrobí Dike“ a „názov spoločnosti Dike napísaný správne“: \ Podobne pre udalosť C: \ v dôsledku toho \

Odpoveď: 0,96

Úloha 2 #166

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Ak Timur hrá s bielou dámou, potom porazí Vanyu s pravdepodobnosťou 0,72. Ak Timur hrá s čiernou dámou, potom porazí Vanyu s pravdepodobnosťou 0,63. Timur a Vanya hrajú dve hry a v druhej hre zmenia farbu dám. Nájdite pravdepodobnosť, že Vanya vyhrá v oboch prípadoch.

Vanya vyhráva biely s pravdepodobnosťou \(0,37\) a čierny s pravdepodobnosťou \(0,28\) . Udalosti „z dvoch hier vyhral Vanya bielymi“\(\ \) a „z dvoch hier vyhral Vanya čiernymi“\(\ \) sú nezávislé, potom sa pravdepodobnosť ich súčasného výskytu rovná \

Odpoveď: 0,1036

Úloha 3 #172

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Vstup do múzea strážia dvaja strážcovia. Pravdepodobnosť, že najstarší z nich zabudne vysielačku, je \(0,2\) , a pravdepodobnosť, že najmladší z nich zabudne vysielačku, je \(0,1\) . Aká je pravdepodobnosť, že nebudú mať žiadne vysielačky?

Keďže uvažované udalosti sú nezávislé, pravdepodobnosť ich súčasného výskytu sa rovná súčinu ich pravdepodobností. Potom sa požadovaná pravdepodobnosť rovná \

Odpoveď: 0,02

Úloha 4 #167

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Kostya si pri skoku z výšky 1 metra zlomí nohu s pravdepodobnosťou \(0,05\) . Vanya si pri skoku z výšky 1 metra zlomí nohu s pravdepodobnosťou \(0,01\) . Anton si pri skoku z výšky 1 metra zlomí nohu s pravdepodobnosťou \(0,01\) . Kostya, Vanya a Anton súčasne skočia z výšky 1 metra. Aká je pravdepodobnosť, že si nohu zlomí iba Kosťa? Svoju odpoveď zaokrúhlite na tisíciny.

Udalosti „pri skoku z výšky 1 metra si Kosťa zlomil nohu“\(,\ \) „pri skoku z výšky 1 metra si Váňa nezlomil nohu“\(\ \) a „pri skoku z výška 1 metra, Anton si nezlomil nohu“\( \ \) sú nezávislé, preto sa pravdepodobnosť ich súčasného výskytu rovná súčinu ich pravdepodobností: \ Po zaokrúhlení nakoniec dostaneme \(0,049\) .

Odpoveď: 0,049

Úloha 5 #170

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Maxim a Vanya sa rozhodli ísť na bowling. Maxim správne odhadol, že v priemere trafí úder raz za osem hodov. Váňa správne odhadol, že v priemere raz za päť hodov knokautuje úder. Maxim a Vanya urobia každý presne jeden hod (bez ohľadu na výsledok). Aká je pravdepodobnosť, že medzi nimi nebudú štrajky?

Keďže uvažované udalosti sú nezávislé, pravdepodobnosť ich súčasného výskytu sa rovná súčinu ich pravdepodobností. V tomto prípade je pravdepodobnosť, že Maxim nezasiahne štrajk, rovná \ Pravdepodobnosť, že Vanya nezasiahne, je \(1 - 0,2 = 0,8\) . Potom sa požadovaná pravdepodobnosť rovná \[\dfrac(7)(8)\cdot 0,8 = 0,7.\]

Odpoveď: 0.7

Úloha 6 #1646

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Anton a Kosťa hrajú stolný tenis. Pravdepodobnosť, že Kostya udrie do stola svojím podpisom, je \(0,9\) . Pravdepodobnosť, že Anton vyhrá rally, v ktorej sa Kosťa pokúsil zasadiť výrazný úder, je \(0,3\) . Kosťa sa pokúsil udrieť do stola svojou charakteristickou ranou. Aká je pravdepodobnosť, že Kosťa skutočne zasiahne svoj podpis a nakoniec vyhrá túto remízu?

Keďže uvažované udalosti sú nezávislé, pravdepodobnosť ich súčasného výskytu sa rovná súčinu ich pravdepodobností. Zároveň je pravdepodobnosť, že Anton nevyhrá rally, v ktorej sa Kosťa pokúsil zasadiť svoj podpis, \(1 - 0,3 = 0,7\) . Potom sa požadovaná pravdepodobnosť rovná \

Chýbať nebudú ani úlohy na samostatné riešenie, na ktoré si môžete pozrieť odpovede.

Všeobecné vyjadrenie problému: pravdepodobnosti niektorých udalostí sú známe, ale je potrebné vypočítať pravdepodobnosti iných udalostí, ktoré sú s týmito udalosťami spojené. Pri týchto problémoch sú potrebné také operácie s pravdepodobnosťami, ako je sčítanie a násobenie pravdepodobností.

Napríklad pri love padli dva výstrely. Udalosť A- zasiahnutie kačice z prvého výstrelu, event B- zásah z druhej strely. Potom súčet udalostí A a B- zásah z prvého alebo druhého výstrelu alebo z dvoch výstrelov.

Úlohy iného typu. Uvádza sa niekoľko udalostí, napríklad trikrát sa hodí minca. Je potrebné zistiť pravdepodobnosť, že erb vypadne všetky tri razy, alebo že erb vypadne aspoň raz. Toto je problém násobenia.

Sčítanie pravdepodobností nezlučiteľných udalostí

Sčítanie pravdepodobnosti sa používa, keď je potrebné vypočítať pravdepodobnosť kombinácie alebo logického súčtu náhodných udalostí.

Súčet udalostí A a B určiť A + B alebo A ∪ B. Súčet dvoch udalostí je udalosť, ktorá nastane vtedy a len vtedy, ak nastane aspoň jedna z udalostí. Znamená to, že A + B- udalosť, ktorá nastane vtedy a len vtedy, ak sa udalosť vyskytne počas pozorovania A alebo udalosť B, alebo súčasne A a B.

Ak udalosti A a B sú vzájomne nekonzistentné a sú uvedené ich pravdepodobnosti, potom sa pravdepodobnosť, že jedna z týchto udalostí nastane ako výsledok jedného pokusu, vypočíta pomocou súčtu pravdepodobností.

Veta o sčítaní pravdepodobností. Pravdepodobnosť, že nastane jedna z dvoch vzájomne nekompatibilných udalostí, sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí:

Napríklad pri love padli dva výstrely. Udalosť ALE– zasiahnutie kačice z prvého výstrelu, event AT– zásah z druhého výstrelu, udalosť ( ALE+ AT) - zásah z prvého alebo druhého výstrelu alebo z dvoch výstrelov. Ak teda dve udalosti ALE a AT sú teda nezlučiteľné udalosti ALE+ AT- výskyt aspoň jednej z týchto udalostí alebo dvoch udalostí.

Príklad 1 Krabička obsahuje 30 guličiek rovnakej veľkosti: 10 červených, 5 modrých a 15 bielych. Vypočítajte pravdepodobnosť, že farebnú (nie bielu) loptičku zoberiete bez toho, aby ste sa pozreli.

Riešenie. Predpokladajme, že udalosť ALE– „berie sa červená guľa“ a udalosť AT- "Modrá guľa je prijatá." Potom je udalosťou „berie sa farebná (nie biela) loptička“. Nájdite pravdepodobnosť udalosti ALE:

a udalosti AT:

Vývoj ALE a AT- vzájomne nezlučiteľné, pretože ak sa berie jedna loptička, nemožno brať loptičky rôznych farieb. Preto používame sčítanie pravdepodobností:

Veta o sčítaní pravdepodobností pre niekoľko nezlučiteľných udalostí. Ak udalosti tvoria úplný súbor udalostí, potom sa súčet ich pravdepodobností rovná 1:

Súčet pravdepodobností opačných udalostí sa tiež rovná 1:

Opačné udalosti tvoria úplný súbor udalostí a pravdepodobnosť úplného súboru udalostí je 1.

Pravdepodobnosti opačných udalostí sa zvyčajne označujú malými písmenami. p a q. najmä

z ktorých vyplývajú tieto vzorce pre pravdepodobnosť opačných udalostí:

Príklad 2 Cieľ v pomlčke je rozdelený do 3 zón. Pravdepodobnosť, že určitý strelec bude strieľať na terč v prvom pásme, je 0,15, v druhom pásme - 0,23, v treťom pásme - 0,17. Nájdite pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ, a pravdepodobnosť, že strelec cieľ minie.

Riešenie: Nájdite pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ:

Nájdite pravdepodobnosť, že strelec minul cieľ:

Náročnejšie úlohy, v ktorých je potrebné uplatniť sčítanie aj násobenie pravdepodobností - na stránke "Rôzne úlohy na sčítanie a násobenie pravdepodobností" .

Sčítanie pravdepodobností vzájomne spoločných udalostí

Dve náhodné udalosti sa považujú za spoločné, ak výskyt jednej udalosti nevylučuje výskyt druhej udalosti v tom istom pozorovaní. Napríklad pri hode kockou, event ALE sa považuje výskyt čísla 4 a event AT- vypustenie párneho čísla. Keďže číslo 4 je párne číslo, tieto dve udalosti sú kompatibilné. V praxi existujú úlohy na výpočet pravdepodobnosti výskytu niektorej zo vzájomne spoločných udalostí.

Veta o sčítaní pravdepodobností pre spoločné udalosti. Pravdepodobnosť, že nastane jedna zo spoločných udalostí, sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí, od ktorých sa odpočíta pravdepodobnosť spoločného výskytu oboch udalostí, teda súčin pravdepodobností. Vzorec pre pravdepodobnosti spoločných udalostí je nasledujúci:

Pretože udalosti ALE a AT kompatibilný, event ALE+ AT nastane, ak nastane jedna z troch možných udalostí: alebo AB. Podľa vety o sčítaní nezlučiteľných udalostí vypočítame takto:

Udalosť ALE nastane, ak dôjde k jednej z dvoch nezlučiteľných udalostí: alebo AB. Pravdepodobnosť výskytu jednej udalosti z niekoľkých nezlučiteľných udalostí sa však rovná súčtu pravdepodobností všetkých týchto udalostí:

Podobne:

Nahradením výrazov (6) a (7) výrazom (5) dostaneme vzorec pravdepodobnosti pre spoločné udalosti:

Pri použití vzorca (8) treba vziať do úvahy, že udalosti ALE a AT môže byť:

• vzájomne nezávislé;
• vzájomne závislé.

Vzorec pravdepodobnosti pre vzájomne nezávislé udalosti:

Vzorec pravdepodobnosti pre vzájomne závislé udalosti:

Ak udalosti ALE a AT sú nekonzistentné, potom je ich zhoda nemožným prípadom, a teda P(AB) = 0. Štvrtý vzorec pravdepodobnosti pre nekompatibilné udalosti je nasledujúci:

Príklad 3 V automobilových pretekoch, keď jazdíte v prvom aute, pravdepodobnosť výhry, keď jazdíte v druhom aute. Nájsť:

• pravdepodobnosť, že obe autá vyhrajú;
• pravdepodobnosť, že vyhrá aspoň jedno auto;

1) Pravdepodobnosť, že prvé auto vyhrá, nezávisí od výsledku druhého auta, teda udalostí ALE(prvé auto vyhráva) a AT(vyhráva druhé auto) - nezávislé udalosti. Nájdite pravdepodobnosť, že obe autá vyhrajú:

2) Nájdite pravdepodobnosť, že jedno z dvoch áut vyhrá:

Náročnejšie úlohy, v ktorých je potrebné uplatniť sčítanie aj násobenie pravdepodobností - na stránke "Rôzne úlohy na sčítanie a násobenie pravdepodobností" .

Vyriešte problém sčítania pravdepodobností sami a potom sa pozrite na riešenie

Príklad 4 Hodia sa dve mince. Udalosť A- strata erbu na prvej minci. Udalosť B- strata erbu na druhej minci. Nájdite pravdepodobnosť udalosti C = A + B .

Násobenie pravdepodobnosti

Násobenie pravdepodobností sa používa, keď sa má vypočítať pravdepodobnosť logického súčinu udalostí.

V tomto prípade musia byť náhodné udalosti nezávislé. O dvoch udalostiach sa hovorí, že sú navzájom nezávislé, ak výskyt jednej udalosti neovplyvňuje pravdepodobnosť výskytu druhej udalosti.

Veta o násobení pravdepodobnosti pre nezávislé udalosti. Pravdepodobnosť súčasného výskytu dvoch nezávislých udalostí ALE a AT sa rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí a vypočíta sa podľa vzorca:

Príklad 5 Minca sa hodí trikrát za sebou. Nájdite pravdepodobnosť, že erb vypadne všetky tri krát.

Riešenie. Pravdepodobnosť, že erb padne pri prvom hode mincou, druhýkrát a tretíkrát. Nájdite pravdepodobnosť, že erb vypadne všetky tri krát:

Sami vyriešte problémy násobenia pravdepodobností a potom sa pozrite na riešenie

Príklad 6 Je tu krabica s deviatimi novými tenisovými loptičkami. Na hru sa odoberú tri loptičky, po hre sa vrátia späť. Pri výbere lôpt nerozlišujú odohrané a neodohrané lopty. Aká je pravdepodobnosť, že po troch hrách nebudú v krabici žiadne neodohrané loptičky?

Príklad 7 Na rozrezaných kartách abecedy je napísaných 32 písmen ruskej abecedy. Náhodne sa vytiahne päť kariet, jedna po druhej, a položí sa na stôl v poradí, v akom sa objavia. Nájdite pravdepodobnosť, že písmená vytvoria slovo „koniec“.

Príklad 8 Z plného balíčka kariet (52 listov) sa naraz vyberú štyri karty. Nájdite pravdepodobnosť, že všetky štyri tieto karty sú rovnakej farby.

Príklad 9 Rovnaký problém ako v príklade 8, ale každá karta sa po vytiahnutí vráti do balíčka.

Zložitejšie úlohy, v ktorých je potrebné aplikovať sčítanie a násobenie pravdepodobností, ako aj vypočítať súčin viacerých udalostí - na stránke "Rôzne úlohy na sčítanie a násobenie pravdepodobností" .

Pravdepodobnosť, že nastane aspoň jedna zo vzájomne nezávislých udalostí, sa dá vypočítať odčítaním súčinu pravdepodobností opačných udalostí od 1, teda podľa vzorca.

Vety o sčítaní a násobení pravdepodobností.
Závislé a nezávislé udalosti

Názov vyzerá strašidelne, no v skutočnosti je veľmi jednoduchý. V tejto lekcii sa zoznámime s teorémami sčítania a násobenia pravdepodobností udalostí, ako aj analyzujeme typické úlohy, ktoré spolu s úloha pre klasickú definíciu pravdepodobnosti určite stretnete alebo, čo je pravdepodobnejšie, ste sa už stretli na vašej ceste. Ak chcete efektívne študovať materiály tohto článku, musíte poznať a pochopiť základné pojmy teória pravdepodobnosti a vedieť vykonávať jednoduché aritmetické operácie. Ako vidíte, vyžaduje sa veľmi málo, a preto je tučné plus v majetku takmer zaručené. Ale na druhej strane opäť varujem pred povrchným postojom k praktickým príkladom – jemností je tiež dosť. Veľa štastia:

Sčítací teorém pre pravdepodobnosti nezlučiteľných udalostí: pravdepodobnosť výskytu jedného z týchto dvoch nezlučiteľné udalosti resp (nezáleží na tom čo), sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí:

Podobná skutočnosť platí aj pre väčší počet nekompatibilných udalostí, napríklad pre tri nekompatibilné udalosti a :

Snová veta =) Takýto sen však podlieha aj dokazovaniu, ktoré možno nájsť napr študijná príručka V.E. Gmurman.

Zoznámime sa s novými, doteraz nevídanými pojmami:

Závislé a nezávislé udalosti

Začnime nezávislými udalosťami. Udalosti sú nezávislý ak pravdepodobnosť výskytu hociktorý z nich nezávisí od objavenia sa/neobjavenia sa iných udalostí uvažovaného súboru (vo všetkých možných kombináciách). ... Ale načo vybrúsiť bežné frázy:

Veta o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí: pravdepodobnosť spoločného výskytu nezávislých udalostí a rovná sa súčinu pravdepodobností týchto udalostí:

Vráťme sa k najjednoduchšiemu príkladu z 1. lekcie, v ktorom sa hádžu dve mince a nasledujúce udalosti:

- hlavy padnú na 1. mincu;
- Hlavy na 2. minci.

Nájdite pravdepodobnosť udalosti (hlavy sa objavia na 1. minci a Eagle sa objaví na 2. minci - pamätajte, ako čítať produkt udalostí!) . Pravdepodobnosť získania hláv na jednej minci nezávisí od výsledku hodenia inej mince, preto sú udalosti a sú nezávislé.

Podobne:
je pravdepodobnosť, že na 1. minci pristanú hlavy a na 2. chvoste;
je pravdepodobnosť, že sa na 1. minci objavia hlavy a na 2. chvoste;
je pravdepodobnosť, že prvá minca dopadne na chvosty a na 2. orla.

Všimnite si, že udalosti sa tvoria celá skupina a súčet ich pravdepodobností sa rovná jednej: .

Veta o násobení sa samozrejme vzťahuje na väčší počet nezávislých udalostí, takže napríklad ak sú udalosti nezávislé, pravdepodobnosť ich spoločného výskytu je: . Poďme si to precvičiť na konkrétnych príkladoch:

Úloha 3

Každá z troch krabičiek obsahuje 10 dielov. V prvej krabici je 8 štandardných častí, v druhej - 7, v tretej - 9. Z každej krabice sa náhodne odoberie jedna časť. Nájdite pravdepodobnosť, že všetky časti sú štandardné.

Riešenie: pravdepodobnosť extrahovania štandardnej alebo neštandardnej časti z ľubovoľného boxu nezávisí od toho, ktoré diely budú extrahované z iných boxov, takže problém je v nezávislých udalostiach. Zvážte nasledujúce nezávislé udalosti:

– z 1. boxu sa odoberie štandardný diel;
– z 2. boxu sa odstráni štandardný diel;
– Z 3. zásuvky bol odstránený štandardný diel.

Podľa klasickej definície:
sú zodpovedajúce pravdepodobnosti.

Udalosť, ktorá nás zaujíma (Štandardná časť sa odoberie z 1. zásuvky a z 2. štandardu a od 3. štandardu) je vyjadrený produktom.

Podľa vety o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:

je pravdepodobnosť, že jeden štandardný diel bude extrahovaný z troch boxov.

Odpoveď: 0,504

Po povzbudzujúcich cvičeniach s krabicami nás čakajú nemenej zaujímavé urny:

Úloha 4

Tri urny obsahujú 6 bielych a 4 čierne gule. Z každej urny sa náhodne vyžrebuje jedna loptička. Nájdite pravdepodobnosť, že: a) všetky tri loptičky budú biele; b) všetky tri loptičky budú rovnakej farby.

Na základe získaných informácií hádajte, ako naložiť s položkou „byť“ ;-) Je navrhnutý približný vzor riešenia v akademickom štýle s podrobným popisom všetkých udalostí.

Závislé udalosti. Podujatie sa volá závislý ak je jeho pravdepodobnosť závisí z jednej alebo viacerých udalostí, ktoré sa už stali. Pre príklady nemusíte chodiť ďaleko – stačí zájsť do najbližšieho obchodu:

- Zajtra o 19.00 bude v predaji čerstvý chlieb.

Pravdepodobnosť tejto udalosti závisí od mnohých ďalších udalostí: či zajtra bude doručený čerstvý chlieb, či bude vypredaný do 19:00 alebo nie atď. V závislosti od rôznych okolností môže byť táto udalosť spoľahlivá aj nemožná. Takže udalosť je závislý.

Chlieb ... a ako to Rimania požadovali, cirkusy:

- na skúške získa študent jednoduchý lístok.

Ak nepôjdete úplne prvý, udalosť bude závisieť, pretože jej pravdepodobnosť bude závisieť od toho, ktoré lístky si už spolužiaci vylosovali.

Ako určiť závislosť/nezávislosť udalostí?

Niekedy je to priamo uvedené v stave problému, ale najčastejšie musíte vykonať nezávislú analýzu. Jednoznačný návod tu neexistuje a fakt závislosti či nezávislosti udalostí vyplýva z prirodzeného logického uvažovania.

Aby sa všetko nehádzalo na jednu kopu, úlohy pre závislé udalosti Zdôrazním nasledujúcu lekciu, ale zatiaľ zvážime najbežnejšiu skupinu teorémov v praxi:

Problémy sčítacích teorémov pre nekonzistentné pravdepodobnosti
a znásobením pravdepodobnosti nezávislých udalostí

Tento tandem podľa môjho subjektívneho hodnotenia funguje asi v 80% úloh na zvažovanú tému. Hit hitov a skutočná klasika teórie pravdepodobnosti:

Úloha 5

Dvaja strelci vystrelili po jednej rane na cieľ. Pravdepodobnosť zásahu pre prvého strelca je 0,8, pre druhého - 0,6. Nájdite pravdepodobnosť, že:

a) terč zasiahne iba jeden strelec;
b) aspoň jeden zo strelcov zasiahne terč.

Riešenie: Pravdepodobnosť zásahu/minutia jedného strelca je zjavne nezávislá od výkonu druhého strelca.

Zvážte udalosti:
– 1. strelec zasiahne cieľ;
– 2. strelec zasiahne cieľ.

Podľa podmienok: .

Nájdite pravdepodobnosť opačných udalostí - že zodpovedajúce šípky nebudú chýbať:

a) Zvážte udalosť: - terč zasiahne iba jeden strelec. Táto udalosť pozostáva z dvoch nezlučiteľných výsledkov:

Zasiahne 1. strelec a 2. chýba
alebo
1. bude chýbať a 2. zasiahne.

Na jazyku algebry udalostí túto skutočnosť možno zapísať takto:

Najprv použijeme vetu o sčítaní pravdepodobností nezlučiteľných udalostí, potom - vetu o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:

je pravdepodobnosť, že bude iba jeden zásah.

b) Zvážte udalosť: - aspoň jeden zo strelcov zasiahne terč.

V prvom rade SA ZAMYSLEME – čo znamená podmienka „Aspoň JEDEN“? V tomto prípade to znamená, že buď prvý strelec zasiahne (druhý bude netrafiť) alebo 2. (prvá chyba) alebo obe šípky naraz - spolu 3 nezlučiteľné výsledky.

Metóda jedna: vzhľadom na pripravenú pravdepodobnosť predchádzajúcej položky je vhodné znázorniť udalosť ako súčet nasledujúcich disjunktných udalostí:

jeden dostane (udalosť pozostávajúca postupne z 2 nezlučiteľných výsledkov) alebo
Ak zasiahnu obe šípky, túto udalosť označíme písmenom .

Touto cestou:

Podľa vety o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:
je pravdepodobnosť, že zasiahne 1. strelec a Zasiahne 2. strelec.

Podľa vety o sčítaní pravdepodobností nezlučiteľných udalostí:
je pravdepodobnosť aspoň jedného zásahu do cieľa.

Metóda dva: zvážte opačnú udalosť: – obaja strelci budú chýbať.

Podľa vety o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:

Ako výsledok:

Venujte zvláštnu pozornosť druhej metóde - vo všeobecnosti je racionálnejšia.

Okrem toho existuje alternatívny, tretí spôsob riešenia, založený na teoréme o sčítaní spoločných udalostí, o ktorom sa vyššie mlčalo.

! Ak čítate materiál prvýkrát, je lepšie preskočiť nasledujúci odsek, aby ste sa vyhli nejasnostiam.

Metóda tri : udalosti sú spoločné, čo znamená, že ich súčet vyjadruje udalosť „aspoň jeden strelec zasiahne cieľ“ (pozri obr. algebra udalostí). Autor: teorém o sčítaní pravdepodobností spoločných udalostí a veta o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:

Pozrime sa: udalosti a (0, 1 a 2 prístupy v tomto poradí) tvoria úplnú skupinu, takže súčet ich pravdepodobností sa musí rovnať jednej:
, ktorá mala byť overená.

Odpoveď:

Pri dôkladnom štúdiu teórie pravdepodobnosti narazíte na desiatky úloh militaristického obsahu, a čo je typické, po nich už nebudete chcieť nikoho zastreliť - úlohy sú takmer darčekové. Prečo neurobiť šablónu ešte jednoduchšou? Skrátime zápis:

Riešenie: podľa podmienky: , je pravdepodobnosť zasiahnutia príslušných strelcov. Potom ich pravdepodobnosti zmeškania sú:

a) Podľa teorémov o sčítaní pravdepodobností nezlučiteľných a násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:
je pravdepodobnosť, že len jeden strelec zasiahne cieľ.

b) Podľa vety o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:
je pravdepodobnosť, že obaja strelci netrafia.

Potom: je pravdepodobnosť, že aspoň jeden zo strelcov zasiahne cieľ.

Odpoveď:

V praxi môžete použiť akúkoľvek možnosť dizajnu. Samozrejme, oveľa častejšie idú krátkou cestou, ale netreba zabúdať na 1. spôsob – je síce dlhší, ale je zmysluplnejší – je v ňom prehľadnejší, čo, prečo a prečo sčítava a násobí. V niektorých prípadoch je vhodný hybridný štýl, keď je vhodné označiť len niektoré udalosti veľkými písmenami.

Podobné úlohy pre nezávislé riešenie:

Úloha 6

Pre požiarny poplach sú nainštalované dva nezávisle fungujúce senzory. Pravdepodobnosť, že senzor bude fungovať počas požiaru, je 0,5 a 0,7 pre prvý a druhý senzor. Nájdite pravdepodobnosť, že pri požiari:

a) oba snímače zlyhajú;
b) oba snímače budú fungovať.
c) pomocou sčítacia veta pre pravdepodobnosti udalostí tvoriacich ucelenú skupinu nájdite pravdepodobnosť, že počas požiaru bude fungovať iba jeden senzor. Výsledok skontrolujte priamym výpočtom tejto pravdepodobnosti (pomocou vety o sčítaní a násobení).

Tu je nezávislosť prevádzky zariadení priamo vyjadrená v stave, čo je mimochodom dôležité objasnenie. Vzorové riešenie je navrhnuté v akademickom štýle.

Čo ak sú v podobnom probléme uvedené rovnaké pravdepodobnosti, napríklad 0,9 a 0,9? Musíte sa rozhodnúť presne rovnako! (čo už bolo v skutočnosti demonštrované na príklade s dvoma mincami)

Úloha 7

Pravdepodobnosť zasiahnutia terča prvým strelcom jednou ranou je 0,8. Pravdepodobnosť, že terč nebude zasiahnutý po tom, čo prvý a druhý strelec vystrelí jeden výstrel, je 0,08. Aká je pravdepodobnosť, že druhý strelec zasiahne cieľ jednou ranou?

A toto je malý hlavolam, ktorý je zarámovaný krátkym spôsobom. Podmienka sa dá preformulovať stručnejšie, ale nebudem prerábať originál – v praxi sa musím hrabať v vyšperkovanejších výmysloch.

Zoznámte sa s ním - je to on, kto pre vás striehne nepremerané množstvo detailov =):

Úloha 8

Pracovník obsluhuje tri stroje. Pravdepodobnosť, že počas zmeny bude prvý stroj vyžadovať úpravu, je 0,3, druhý - 0,75, tretí - 0,4. Nájdite pravdepodobnosť, že počas zmeny:

a) všetky stroje budú vyžadovať nastavenie;
b) nastavenie bude vyžadovať iba jeden stroj;
c) aspoň jeden stroj bude vyžadovať nastavenie.

Riešenie: keďže podmienka nehovorí nič o jedinom technologickom procese, potom treba prevádzku každého stroja považovať za nezávislú od prevádzky ostatných strojov.

Analogicky k úlohe č. 5 tu môžete brať do úvahy udalosti spočívajúce v tom, že príslušné stroje budú vyžadovať úpravu počas zmeny, zapísať pravdepodobnosti, nájsť pravdepodobnosti opačných udalostí atď. Ale s tromi objektmi sa mi naozaj nechce vypracovať takúto úlohu - bude to dlhé a únavné. Preto je tu výrazne výhodnejšie použiť „rýchly“ štýl:

Podľa podmienky: - pravdepodobnosť, že počas zmeny budú príslušné stroje vyžadovať ladenie. Potom pravdepodobnosti, že nebudú vyžadovať pozornosť, sú:

Jeden z čitateľov tu našiel skvelý preklep, ani ho neopravím =)

a) Podľa vety o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:
je pravdepodobnosť, že počas zmeny budú všetky tri stroje vyžadovať nastavenie.

b) Udalosť „Počas zmeny bude vyžadovať nastavenie iba jeden stroj“ pozostáva z troch nezlučiteľných výsledkov:

1) 1. stroj bude vyžadovať pozornosť a 2. stroj nebude vyžadovať a 3. stroj nebude vyžadovať
alebo:
2) 1. stroj nebude vyžadovať pozornosť a 2. stroj bude vyžadovať a 3. stroj nebude vyžadovať
alebo:
3) 1. stroj nebude vyžadovať pozornosť a 2. stroj nebude vyžadovať a 3. stroj bude vyžadovať.

Podľa teorémov o sčítaní pravdepodobností nezlučiteľných a násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:

- pravdepodobnosť, že počas zmeny bude vyžadovať nastavenie iba jeden stroj.

Myslím, že už by vám malo byť jasné, odkiaľ ten výraz pochádza

c) Vypočítajte pravdepodobnosť, že stroje nebudú vyžadovať úpravu, a potom pravdepodobnosť opačnej udalosti:
– skutočnosť, že aspoň jeden stroj bude vyžadovať úpravu.

Odpoveď:

Položku "ve" je možné riešiť aj cez súčet , kde je pravdepodobnosť, že počas zmeny budú vyžadovať úpravu len dva stroje. Táto udalosť zase obsahuje 3 nekompatibilné výsledky, ktoré sú podpísané analogicky s položkou „byť“. Pokúste sa sami nájsť pravdepodobnosť, že skontrolujete celý problém pomocou rovnosti.

Úloha 9

Tri delá vystrelili salvu na cieľ. Pravdepodobnosť zásahu jednou ranou iba z prvej zbrane je 0,7, od druhej - 0,6, od tretej - 0,8. Nájdite pravdepodobnosť, že: 1) aspoň jeden projektil zasiahne cieľ; 2) iba dva projektily zasiahnu cieľ; 3) cieľ bude zasiahnutý aspoň dvakrát.

Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

A opäť o náhodách: v prípade, že sa podľa podmienky zhodujú dve alebo dokonca všetky hodnoty počiatočných pravdepodobností (napríklad 0,7; 0,7 a 0,7), potom by sa mal použiť presne rovnaký algoritmus riešenia.

Na záver článku budeme analyzovať ďalšiu spoločnú hádanku:

Úloha 10

Strelec pri každom výstrele zasiahne cieľ s rovnakou pravdepodobnosťou. Aká je táto pravdepodobnosť, ak pravdepodobnosť aspoň jedného zásahu z troch výstrelov je 0,973.

Riešenie: označuje - pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa pri každom výstrele.
a cez - pravdepodobnosť netrafenia pri každom výstrele.

Zapíšme si udalosti:
- pri 3 výstreloch strelec zasiahne terč aspoň raz;
- strelec 3 krát minie.

Podľa podmienky potom pravdepodobnosť opačnej udalosti:

Na druhej strane, podľa vety o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:

Touto cestou:

- pravdepodobnosť netrafenia pri každom výstrele.

Ako výsledok:
je pravdepodobnosť zasiahnutia každého výstrelu.

Odpoveď: 0,7

Jednoduché a elegantné.

V uvažovanom probléme možno vzniesť ďalšie otázky o pravdepodobnosti iba jedného zásahu, iba dvoch zásahov a pravdepodobnosti troch zásahov do cieľa. Schéma riešenia bude úplne rovnaká ako v dvoch predchádzajúcich príkladoch:

Zásadný podstatný rozdiel je však v tom, že existujú opakované nezávislé testy, ktoré sa vykonávajú postupne, nezávisle od seba a s rovnakou pravdepodobnosťou výsledkov.