Hlavná vlastnosť algebraického zlomku: formulácia, dôkaz, príklady použitia. Hlavná vlastnosť algebraického zlomku Zlomky a ich vlastnosti

Pri štúdiu obyčajných zlomkov sa stretávame s pojmami hlavnej vlastnosti zlomku. Na riešenie príkladov s obyčajnými zlomkami je potrebný zjednodušený tvar. Tento článok zahŕňa zváženie algebraických zlomkov a aplikáciu hlavnej vlastnosti na ne, ktorá bude formulovaná s príkladmi jej aplikácie.

Formulácia a zdôvodnenie

Hlavná vlastnosť zlomku má formuláciu vo forme:

Definícia 1

Pri súčasnom vynásobení alebo delení čitateľa a menovateľa rovnakým číslom zostane hodnota zlomku nezmenená.

To znamená, že dostaneme, že a · m b · m = a b a a: m b: m = a b sú ekvivalentné, pričom a b = a · m b · ma a b = a: m b: m sa považujú za platné. Hodnoty a, b, m sú nejaké prirodzené čísla.

Delenie čitateľa a menovateľa číslom môže byť vyjadrené ako a · m b · m = a b . Je to podobné ako pri riešení príkladu 8 12 = 8: 4 12: 4 = 2 3 . Pri delení sa používa rovnosť tvaru a: mb: m \u003d a b, potom 8 12 \u003d 2 4 2 4 \u003d 2 3. Môže byť tiež reprezentovaný ako a mb m \u003d a b, to znamená 8 12 \u003d 2 4 3 4 \u003d 2 3.

To znamená, že hlavnú vlastnosť zlomku a · m b · m = a b a a b = a · m b · m budeme podrobne posudzovať na rozdiel od a: mb: m = a b a a b = a: m b: m .

Ak čitateľ a menovateľ obsahujú reálne čísla, platí vlastnosť. Najprv musíme dokázať platnosť zapísanej nerovnosti pre všetky čísla. To znamená, že dokážte existenciu a · m b · m = a b pre všetky reálne a , b , m , kde b a m sú nenulové hodnoty, aby ste sa vyhli deleniu nulou.

Dôkaz 1

Nech sa zlomok tvaru a b považuje za súčasť záznamu z, inými slovami a b = z, potom je potrebné dokázať, že a · m b · m zodpovedá z, teda dokázať a · m b · m = z. Potom nám to umožní dokázať existenciu rovnosti a · m b · m = a b .

Zlomková čiara znamená deliaci znak. Aplikovaním vzťahu s násobením a delením dostaneme, že z a b = z po transformácii dostaneme a = b · z . Podľa vlastností číselných nerovností by sa obe časti nerovnosti mali vynásobiť iným číslom ako nula. Potom vynásobíme číslom m, dostaneme, že a · m = (b · z) · m . Vlastnosťou máme právo zapísať výraz v tvare a · m = (b · m) · z . Z definície teda vyplýva, že a b = z . To je celý dôkaz výrazu a · m b · m = a b .

Rovnosti tvaru a · m b · m = a b a a b = a · m b · m majú zmysel, keď namiesto a , b , m sú polynómy a namiesto b a m sú nenulové.

Hlavná vlastnosť algebraického zlomku: keď súčasne vynásobíte čitateľa a menovateľa rovnakým číslom, dostaneme rovnaký výraz ako pôvodný výraz.

Táto vlastnosť sa považuje za spravodlivú, pretože operácie s polynómami zodpovedajú operáciám s číslami.

Príklad 1

Zoberme si príklad zlomku 3 · x x 2 - x y + 4 · y 3 . Je možné previesť do tvaru 3 x (x 2 + 2 x y) (x 2 - x y + 4 y 3) (x 2 + 2 x y).

Vykonalo sa násobenie polynómom x 2 + 2 · x · y. Tak isto hlavná vlastnosť pomáha zbaviť sa x 2, ktoré je prítomné v zlomku tvaru 5 x 2 (x + 1) x 2 (x 3 + 3) daného podmienkou, na tvar 5. x + 5 x 3 + 3. Toto sa nazýva zjednodušenie.

Hlavná vlastnosť môže byť zapísaná ako výrazy a · m b · m = a b a a b = a · m b · m , keď a , b , m sú polynómy alebo obyčajné premenné a b a m musia byť nenulové.

Rozsah použitia hlavnej vlastnosti algebraického zlomku

Použitie hlavnej vlastnosti je relevantné pre redukciu na nového menovateľa alebo pri redukcii zlomku.

Definícia 2

Redukcia na spoločného menovateľa je vynásobením čitateľa a menovateľa podobným polynómom, aby sa získal nový. Výsledný zlomok sa rovná pôvodnému.

To znamená, že zlomok tvaru x + y x 2 + 1 (x + 1) x 2 + 1 po vynásobení x 2 + 1 a zredukovaný na spoločného menovateľa (x + 1) (x 2 + 1) dostane forma x 3 + x + x 2 y + y x 3 + x + x 2 + 1 .

Po vykonaní operácií s polynómami dostaneme, že algebraický zlomok sa prevedie na x 3 + x + x 2 y + y x 3 + x + x 2 + 1.

Redukcia na spoločného menovateľa sa vykonáva aj pri sčítaní alebo odčítaní zlomkov. Ak sú uvedené zlomkové koeficienty, potom je potrebné najskôr vykonať zjednodušenie, ktoré zjednoduší formu a samotné zistenie spoločného menovateľa. Napríklad 2 5 x y - 2 x + 1 2 = 10 2 5 x y - 2 10 x + 1 2 = 4 x y - 20 10 x + 5.

Aplikácia vlastnosti pri redukcii zlomkov prebieha v 2 etapách: rozklad čitateľa a menovateľa na faktory na nájdenie spoločného m, potom prechod do tvaru zlomku a b na základe rovnosti tvaru a · m b · m = a b.

Ak sa zlomok tvaru 4 x 3 - x y 16 x 4 - y 2 po rozklade prevedie na x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y, je zrejmé, že všeobecný násobiteľ je polynóm 4 · x 2 − y . Potom bude možné zlomok znížiť podľa jeho hlavnej vlastnosti. Chápeme to

x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y = x 4 x 2 + y. Zlomok je zjednodušený, potom pri dosadzovaní hodnôt bude potrebné vykonať oveľa menej úkonov ako pri dosadzovaní do pôvodného.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

V matematike je zlomok číslo pozostávajúce z jednej alebo viacerých častí (zlomkov) jednotky. Podľa formy zápisu sa zlomky delia na obyčajné (príklad \frac (5) (8)) a desiatkové (napríklad 123,45).

Definícia. Obyčajný zlomok (alebo jednoduchý zlomok)

Obyčajný (jednoduchý) zlomok je číslo v tvare \pm\frac(m)(n), kde m a n sú prirodzené čísla. Volá sa číslo m čitateľ tento zlomok a číslo n je jeho menovateľ.

Vodorovná alebo lomka označuje znamienko delenia, t.j. \frac(m)(n)=()^m/n=m:n

Obyčajné zlomky sa delia na dva typy: vlastné a nevlastné.

Definícia. Správne a nesprávne zlomky

Správne Zlomok sa nazýva, ak je modul v čitateli menší ako modul v menovateli. Napríklad \frac(9)(11) , pretože 9

nesprávne Zlomok sa nazýva, ak je modul čitateľa väčší alebo rovný modulu menovateľa. Takýto zlomok je racionálne číslo, modulo väčšie alebo rovné jednej. Príkladom môžu byť zlomky \frac(11)(2) , \frac(2)(1) , -\frac(7)(5) , \frac(1)(1)

Spolu s nesprávnym zlomkom existuje ďalší zápis čísla, ktorý sa nazýva zmiešaný zlomok (zmiešané číslo). Takýto zlomok nie je obyčajný.

Definícia. Zmiešaná frakcia (zmiešané číslo)

zmiešaná frakcia sa nazýva zlomok zapísaný ako celé číslo a vlastný zlomok a chápe sa ako súčet tohto čísla a zlomku. Napríklad 2\frac(5)(7)

(zapísané ako zmiešané číslo) 2\frac(5)(7)=2+\frac(5)(7)=\frac(14)(7)+\frac(5)(7)=\frac(19 )(7) (nepíše sa ako nesprávny zlomok)

Zlomok je len reprezentácia čísla. To isté číslo môže zodpovedať rôznym zlomkom, obyčajným aj desatinným. Utvorme znamienko rovnosti dvoch obyčajných zlomkov.

Definícia. Znak rovnosti zlomkov

Dva zlomky \frac(a)(b) a \frac(c)(d) sú rovný, ak a\cdot d=b\cdot c . Napríklad \frac(2)(3)=\frac(8)(12), pretože 2\cdot12=3\cdot8

Hlavná vlastnosť zlomku vyplýva z uvedeného znamienka.

Nehnuteľnosť. Základná vlastnosť zlomku

Ak sa čitateľ a menovateľ daného zlomku vynásobí alebo vydelí rovnakým číslom, ktoré sa nerovná nule, získa sa zlomok rovný danému zlomku.

\frac(A)(B)=\frac(A\cdot C)(B\cdot C)=\frac(A:K)(B:K);\quad C \ne 0,\quad K \ne 0

Pomocou základnej vlastnosti zlomku môžete nahradiť daný zlomok iným zlomkom, ktorý sa rovná danému, ale s menším čitateľom a menovateľom. Táto substitúcia sa nazýva redukcia frakcií. Napríklad \frac(12)(16)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4) (tu sa čitateľ a menovateľ delia najskôr 2 a potom ešte 2). Zlomok možno zmenšiť vtedy a len vtedy, ak jeho čitateľ a menovateľ nie sú prvočísla. Ak je čitateľ a menovateľ daného zlomku spoluprvý, potom zlomok nemožno zmenšiť, napríklad \frac(3)(4) je nezredukovateľný zlomok.

Pravidlá pre kladné zlomky:

Z dvoch frakcií s rovnakými menovateľmičím väčší je zlomok, ktorého čitateľ je väčší. Napríklad \frac(3)(15)

Z dvoch frakcií s rovnakými čitateľmi väčší je zlomok, ktorého menovateľ je menší. Napríklad \frac(4)(11)>\frac(4)(13) .

Ak chcete porovnať dva zlomky s rôznymi čitateľmi a menovateľmi, musíte previesť oba zlomky tak, aby sa ich menovatelia stali rovnakými. Táto transformácia sa nazýva redukcia zlomkov na spoločného menovateľa.

Táto téma je dosť dôležitá o základných vlastnostiach zlomkov, všetka ďalšia matematika a algebra sú založené. Uvažované vlastnosti zlomkov sú napriek ich dôležitosti veľmi jednoduché.

Rozumieť základné vlastnosti zlomkov zvážiť kruh.

Na kruhu je vidieť, že 4 časti alebo sú vytieňované z ôsmich možných. Napíšte výsledný zlomok \(\frac(4)(8)\)

Ďalší kruh ukazuje, že jedna z dvoch možných častí je zatienená. Napíšte výsledný zlomok \(\frac(1)(2)\)

Ak sa pozrieme pozorne, uvidíme, že v prvom prípade, že v druhom prípade je polovica kruhu zatienená, takže výsledné zlomky sa rovnajú \(\frac(4)(8) = \frac(1) (2)\), to znamená, že je to rovnaké číslo.

Ako sa to dá matematicky dokázať? Veľmi jednoducho, zapamätajte si násobilku a zapíšte prvý zlomok do faktorov.

\(\frac(4)(8) = \frac(1 \cdot \color(červená) (4))(2 \cdot \color(červená) (4)) = \frac(1)(2) \cdot \color(red) (\frac(4)(4)) =\frac(1)(2) \cdot \color(red)(1) = \frac(1)(2)\)

čo sme urobili? Rozdelili sme čitateľa a menovateľa \(\frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4))\ a potom rozdelili zlomky \(\frac(1) ) (2) \cdot \color(red) (\frac(4)(4))\). Štyri delené štyrmi je 1 a jedna vynásobená ľubovoľným číslom je samotné číslo. To, čo sme urobili vo vyššie uvedenom príklade, sa nazýva redukcia frakcií.

Pozrime sa na ďalší príklad a znížme zlomok.

\(\frac(6)(10) = \frac(3 \cdot \color(červená) (2))(5 \cdot \color(červená) (2)) = \frac(3)(5) \cdot \color(red) (\frac(2)(2)) =\frac(3)(5) \cdot \color(red)(1) = \frac(3)(5)\)

Čitateľa a menovateľa sme opäť rozdelili na faktory a tie isté čísla sme zredukovali na čitateľov a menovateľov. To znamená, že dve delené dvoma dali jednotku a jedna vynásobená ľubovoľným číslom rovnaké číslo.

Základná vlastnosť zlomku.

To naznačuje hlavnú vlastnosť zlomku:

Ak sa čitateľ aj menovateľ zlomku vynásobia rovnakým číslom (okrem nuly), hodnota zlomku sa nezmení.

\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n)\)

Čitateľ a menovateľ môžete tiež rozdeliť rovnakým číslom súčasne.
Zvážte príklad:

\(\frac(6)(8) = \frac(6 \div \color(červená) (2))(8 \div \color(červená) (2)) = \frac(3)(4)\)

Ak je čitateľ aj menovateľ zlomku vydelený rovnakým číslom (okrem nuly), hodnota zlomku sa nezmení.

\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \div n)(b \div n)\)

Zlomky, ktoré majú spoločných prvočíselných deliteľov v čitateľoch aj menovateľoch, sa nazývajú zrušiteľné zlomky.

Príklad zrušenia: \(\frac(2)(4), \frac(6)(10), \frac(9)(15), \frac(10)(5), …\)

Je tu tiež neredukovateľné frakcie.

neredukovateľná frakcia je zlomok, ktorý nemá v čitateloch a menovateloch spoločných prvočíselných deliteľov.

Príklad neredukovateľného zlomku: \(\frac(1)(2), \frac(3)(5), \frac(5)(7), \frac(13)(5), …\)

Akékoľvek číslo môže byť vyjadrené ako zlomok, pretože každé číslo je deliteľné jednou, Napríklad:

\(7 = \frac(7)(1)\)

Otázky k téme:
Myslíte si, že sa dá nejaký zlomok znížiť alebo nie?
Odpoveď: Nie, existujú redukovateľné frakcie a neredukovateľné frakcie.

Skontrolujte, či platí rovnosť: \(\frac(7)(11) = \frac(14)(22)\)?
Odpoveď: napíšte zlomok \(\frac(14)(22) = \frac(7 \cdot 2)(11 \cdot 2) = \frac(7)(11)\)áno spravodlivé.

Príklad č. 1:
a) Nájdite zlomok s menovateľom 15, ktorý sa rovná zlomku \(\frac(2)(3)\).
b) Nájdite zlomok s čitateľom 8, ktorý sa rovná zlomku \(\frac(1)(5)\).

rozhodnutie:
a) Potrebujeme, aby menovateľom bolo číslo 15. Teraz je menovateľom číslo 3. Akým číslom treba vynásobiť číslo 3, aby sme dostali 15? Spomeňte si na násobilku 3⋅5. Musíme použiť základnú vlastnosť zlomkov a vynásobiť čitateľa aj menovateľa zlomku \(\frac(2)(3)\) do 5.

\(\frac(2)(3) = \frac(2 \cdot 5)(3 \cdot 5) = \frac(10)(15)\)

b) V čitateli potrebujeme číslo 8. Teraz je v čitateli číslo 1. Akým číslom treba číslo 1 vynásobiť, aby sme dostali 8? Samozrejme, 1⋅8. Musíme použiť základnú vlastnosť zlomkov a vynásobiť čitateľa aj menovateľa zlomku \(\frac(1)(5)\) do 8. Dostaneme:

\(\frac(1)(5) = \frac(1 \cdot 8)(5 \cdot 8) = \frac(8)(40)\)

Príklad č. 2:
Nájdite neredukovateľný zlomok rovný zlomku: a) \(\frac(16)(36)\), b) \(\frac(10)(25)\).

rozhodnutie:
a) \(\frac(16)(36) = \frac(4 \cdot 4)(9 \cdot 4) = \frac(4)(9)\)

b) \(\frac(10)(25) = \frac(2 \cdot 5)(5 \cdot 5) = \frac(2)(5)\)

Príklad č. 3:
Číslo napíšte zlomkom: a) 13 b) 123

rozhodnutie:
a) \(13 = \frac(13) (1)\)

b) \(123 = \frac(123) (1)\)

Zlomok- forma znázornenia čísla v matematike. Lomka označuje operáciu delenia. čitateľ zlomky sa nazýva dividenda, a menovateľ- rozdeľovač. Napríklad v zlomku je čitateľ 5 a menovateľ 7.

Správne Zlomok sa nazýva, ak je modul v čitateli väčší ako modul v menovateli. Ak je zlomok správny, modul jeho hodnoty je vždy menší ako 1. Všetky ostatné zlomky sú nesprávne.

Zlomok sa nazýva zmiešané, ak je zapísaný ako celé číslo a zlomok. Je to rovnaké ako súčet tohto čísla a zlomku:

Základná vlastnosť zlomku

Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobia rovnakým číslom, hodnota zlomku sa nezmení, tj napr.

Privedenie zlomkov k spoločnému menovateľovi

Ak chcete priviesť dva zlomky do spoločného menovateľa, potrebujete:

Vynásobte čitateľa prvého zlomku menovateľom druhého
Vynásobte čitateľa druhého zlomku menovateľom prvého
Nahraďte menovateľov oboch zlomkov ich súčinom

Akcie so zlomkami

Doplnenie. Ak chcete pridať dva zlomky, potrebujete

Pridajte nových čitateľov oboch zlomkov, menovateľ ponechajte nezmenený.

Príklad:

Odčítanie. Ak chcete odčítať jeden zlomok od druhého,

Priveďte zlomky k spoločnému menovateľovi
Odčítajte čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a ponechajte menovateľa nezmenený

Príklad:

Násobenie. Ak chcete vynásobiť jeden zlomok druhým, vynásobte ich čitateľov a menovateľov.

Detailne rozobraté základná vlastnosť zlomku, je uvedená jeho formulácia, je uvedený dôkaz a vysvetľujúci príklad. Zvažuje sa aj uplatnenie hlavnej vlastnosti zlomku pri redukcii zlomkov a redukcii zlomkov na nový menovateľ.

Navigácia na stránke.

Hlavná vlastnosť zlomku - formulácia, dôkaz a vysvetľujúce príklady

Pozrime sa na príklad, ktorý ilustruje základnú vlastnosť zlomku. Povedzme, že máme štvorec rozdelený na 9 "veľkých" štvorcov a každý z týchto "veľkých" štvorcov je rozdelený na 4 "malé" štvorce. Môžeme teda tiež povedať, že pôvodný štvorec je rozdelený na 4·9=36 „malých“ štvorcov. Namaľujeme cez 5 "veľkých" štvorcov. V tomto prípade bude vyplnených 4 5 = 20 „malých“ štvorčekov. Uvádzame obrázok zodpovedajúci nášmu príkladu.

Vytieňovaná časť je 5/9 pôvodného štvorca, alebo, čo je to isté, 20/36 pôvodného štvorca, to znamená, že zlomky 5/9 a 20/36 sa rovnajú: alebo . Z týchto rovnosti, ako aj z rovnosti 20=5 4, 36=9 4, 20:4=5 a 36:4=9 vyplýva, že a .

Ak chcete spevniť rozobraný materiál, zvážte riešenie príkladu.

Príklad.

Čitateľ a menovateľ nejakého obyčajného zlomku sa vynásobili číslom 62, potom sa čitateľ a menovateľ výsledného zlomku vydelil číslom 2. Rovná sa výsledný zlomok pôvodnému?

rozhodnutie.

Vynásobením čitateľa a menovateľa zlomku ľubovoľným prirodzeným číslom, najmä číslom 62, dostaneme zlomok, ktorý sa vzhľadom na základnú vlastnosť zlomku rovná pôvodnému. Hlavná vlastnosť zlomku nám tiež umožňuje tvrdiť, že po vydelení čitateľa a menovateľa výsledného zlomku číslom 2 dostaneme zlomok, ktorý sa bude rovnať pôvodnému zlomku.

odpoveď:

Áno, výsledný zlomok sa rovná originálu.

Aplikácia základnej vlastnosti zlomku

Základná vlastnosť zlomku sa uplatňuje najmä v dvoch prípadoch: po prvé pri redukcii zlomkov na nového menovateľa a po druhé pri redukcii zlomkov.

Hlavná vlastnosť zlomku vám umožňuje zmenšiť zlomky a v dôsledku toho prejsť z pôvodného zlomku na zlomok, ktorý sa mu rovná, ale s menším čitateľom a menovateľom. Redukcia zlomkov spočíva v delení čitateľa a menovateľa pôvodného zlomku akýmkoľvek kladným čitateľom a menovateľom okrem jedného (ak takéto spoločné deliteľe neexistujú, pôvodný zlomok je nezredukovateľný, to znamená, že ho nemožno zmenšiť). Najmä delenie podľa prinesie pôvodný zlomok do neredukovateľnej formy.

Bibliografia.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matematika: učebnica na 5 buniek. vzdelávacie inštitúcie.
Vilenkin N.Ya. atď. Matematika. 6. ročník: učebnica pre vzdelávacie inštitúcie.

Autorské práva šikovných študentov

Všetky práva vyhradené.
Chránené autorským zákonom. Žiadna časť stránky, vrátane interných materiálov a vonkajšieho dizajnu, nesmie byť reprodukovaná v žiadnej forme ani použitá bez predchádzajúceho písomného súhlasu držiteľa autorských práv.