Применение обратных тригонометрических функций в жизни. История тригонометрии: возникновение и развитие

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ГИМНАЗИЯ №1»

«ТРИГОНОМЕТРИЯ В РЕАЛЬНОЙ ЖИЗНИ»

информационный проект

Выполнил:

Краснов Егор

ученик 9А класса

Руководитель:

Бородкина Татьяна Ивановна

Железногорск

Введение………………………………………………………..……3

Актуальность………………………………………………….3

Цель……………………………………………………………4

Задачи………………………………………………………….4

1.4 Методы………………………………………………………...4

2.Тригонометрия и история её развития…...…………………………..5

2.1.Тригонометрия и этапы формирования….………………….5

2.2.Тригонометрия как термин. Характеристика……………….7

2.3.Возникновение синуса……………………….……………….7

2.4.Возникновение косинуса…………………….……………….8

2.5.Возникновение тангенса и котангенса……...……………….9

2.6 Дальнейшее развитие тригонометрии……...………………..9

3.Тригонометрия и реальная жизнь……………………..……………...12

3.1.Навигация……………………………..…………………….....12

3.2Алгебра….……………………………..…………………….....14

3.3.Физика….……………………………..…………………….....14

3.4.Медицина, биология и биоритмы.…..…………………….....15

3.5.Музыка…………………………….…..……………………....19

3.6.Информатика..…………………….…..……………………....21

3.7.Сфера строительства и геодезия.…………………………....22

3.8 Тригонометрия в искусстве и архитектуре………………..…....22

Заключение. ……………………………..…………………………..…..25

Список литературы.………………………….…………….……………27

Приложение 1 .…....………………………….…………….……………29

Введение

В современном мире значительное внимание уделяют математике, как одной из областей научной деятельности и изучения. Как мы знаем, одной из составляющих математики, является тригонометрия. Тригонометрия - это раздел математики, изучающий тригонометрические функции. Я считаю, что данная тема во первых, актуальна с практической точки зрения. Мы заканчиваем обучение в школе, и понимаем, что для многих профессий знание тригонометрии просто необходимо, т.к. позволяет измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Принципы тригонометрии, используются и в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

Во вторых, актуальность темы «Тригонометрия в реальной жизни» заключается в том, что знания тригонометрии откроют новые способы решения различных задач во многих областях науки и упростят понимание некоторых аспектов различных наук.

Издавна установилась такая практика, при которой школьники сталкиваются с тригонометрией три раза. Таким образом, мы можем сказать, что тригонометрия состоит из трех частей. Данные части взаимосвязаны, и зависят от времени. При этом, они абсолютно различны, не имеют похожих черт как по смыслу, который закладывается при объяснении основных понятий, так и по функциям.

Первое знакомство возникает в 8 классе. Это период, когда школьники изучают: «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника». В процессе изучения тригонометрии даётся понятие косинус, синус и тангенс.

Следующим этапом является продолжение знакомства с тригонометрией в 9 классе. Уровень сложности повышается, изменяются способы и методы решения примеров. Теперь, на место косинусов и тангенсов приходит окружность и ее возможности.

Последним этапом является 10 класс, в котором тригонометрия становится более сложной, изменяются способы решения задач. Вводится понятие радианной меры угла. Вводятся графики тригонометрических функций. На данном этапе ученики начинают решать и изучать тригонометрические уравнения. Но ни как не геометрии. Для полного понимания тригонометрии необходимо познакомится с историей ее возникновения и развития. После знакомства с исторической справкой и изучения деятельности работ великих деятелей, математиков и ученых, мы можем понять, каким образом тригонометрия влияет на нашу жизнь, как помогает создавать новые объекты, делать открытия.

Целью моего проекта является изучение влияния тригонометрии в жизни человека и развитие интереса к ней. После решения данной цели мы сможем понять, какое место тригонометрия занимает в нашем мире, какие практические задачи решает.

Для решения поставленной цели, мы определили следующие задачи:

1. Познакомится с историей становления и развития тригонометрии;

2. Рассмотреть примеры практического влияния тригонометрии в разных сферах деятельности;

3. Показать на примерах, возможности тригонометрии и ее применения в жизни человека.

Методы: Поиск и сбор информации.

1.Тригонометрия и история её развития

Что такое тригонометрия? Данный термин подразумевает под собой раздел в математике, который занимается изучением зависимости между различными величинами углов, изучает длины сторон треугольника и алгебраические тождества тригонометрических функций. Трудно представить, что данная область математики встречается нам в повседневной жизни.

1.1.Тригонометрия и этапы её формирования

Давайте обратимся к истории ее развития, этапам формирования. С древних времен тригонометрия набирала свои зачатки, развивалась и показывала первые результаты. Самые первые сведения о появлении и развитии данной области мы можем увидеть в рукописях, которые находятся в древнем Египте, Вавилоне, Древнем Китае. Изучив 56-ю задачу из папируса Ринда (II тысячелетие до н. э.), можно увидеть, что она предлагает найти наклон пирамиды, чья высота является высотой в 250 локтя. Длина стороны основания пирамиды равняется 360 локтям (рис.1). Любопытно, что египтяне в решении этой задачи использовали одновременно две системы измерения - «локти» и «ладони». Сегодня при решении этой задачи мы нашли бы тангенс угла: зная половину основания и апофему (рис.1).

Следующим шагом стал этап развития науки, который связан с астрономом Аристархом Самосскогим, проживавшим в III веке до н. э. Трактат, рассматривающий величины и расстояние Солнца и Луны, ставил перед собой определенную задачу. Она выражалась в необходимости определения расстояния до каждого небесного тела. Для того, чтобы произвести такие вычисления, требовалось посчитать отношения сторон прямоугольного треугольника при известном значении одного из углов. Аристарх рассматривал прямоугольный треугольник, образованный Солнцем, Луной и Землёй во время квадратуры. Для вычисления величины гипотенузы, которая выступала за основу расстояния от Земли до Солнца, используя катет, выступающий за основу расстояния от Земли до Луны, при известном значении прилежащего угла (87°), что эквивалентно вычислению значения sin угла 3 . По оценке Аристарха, эта величина лежит в промежутке от 1/20 до 1/18. Это говорит о том, что расстояние от Солнца до Земли в двадцать раз больше, чем от луны до Земли. Однако, мы знаем, что Солнце в 400 раз дальше, чем местоположение Луны. Ошибочное суждение возникло из-за неточности в измерении угла.

Несколько десятилетий спустя Клавдий Птоломей в собственных работах «Этногеография», «Аналемма» и «Планисферий» предоставляет детальное изложение тригонометрических дополнений к картографии, астрономии и механике. Из числа прочего, изображена стереографическая проекция, изучены ряд фактических вопросов, к примеру: установить высоту и угол небесного светила согласно его склонению и часовому углу. С точки зрения тригонометрии, это означает, что необходимо отыскать сторону сферического треугольника согласно другим 2 граням и противолежащему углу (рис.2)

В совокупности, можно отметить, что тригонометрия применялась с целью:

Четкого установления времени суток;

Вычисления предстоящего местоположения небесных светил, эпизодов их восхода и захода, затмений Солнца и Луны;

Нахождения географических координат текущего места;

Подсчета дистанции между мегаполисами с известными географическими координатами.

Гномон- древний астрономический механизм, вертикальный предмет (стела, колонна, шест), который позволяет с помощью наименьшей длины его тени в полдень определить угловую высоту солнца (рис.3).

Таким образом, котангенс представлялся нам как длина тени от вертикального гномона высотой 12 (иногда 7) единиц. Отметим, что в первоначальном варианте, данные определения использовались для расчёта солнечных часов. Тангенс представлялся тенью падающей от горизонтального гномона. Косеканс и секанс понимаются в качестве гипотенуз, которые соответствуют прямоугольным треугольникам.

1.2.Тригонометрия как термин. Характеристика

Впервые, конкретный термин «тригонометрия» встречается в 1505 г. Он был опубликован и использован в книге немецкого теолога и математика Бартоломеуса Питискуса. В то время, как наука уже использовалась для решения астрономических, архитектурных проблем.

Термин тригонометрия характеризуется греческими корнями. И состоит из двух частей: «треугольник» и «мера». Изучая перевод, мы можем сказать, что перед нами наука, изучающая изменения треугольников. Появление тригонометрии сопряжено с землемерением, астрономией и строительным процессом. Хотя название появилось относительно не так давно, многие относимые в настоящее время к тригонометрии определения и данные были известны ранее 2000 года.

1.3. Возникновение синуса

Длительную историю имеет представление синуса. По сути разнообразные взаимоотношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются ранее в 3 в. до н.э. в трудах знаменитых математиков Античной Греции - Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского. В римский промежуток времени данные взаимоотношения уже довольно регулярно изучались Менелаем (I в. н. э.), хотя и не получили особого названия. Современный синус угла α, например, изучается как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной α, или как хорда удвоенной дуги.

В последующий промежуток математика длительное время наиболее стремительно формировалась индийскими и арабскими учёными. В 4-5 веках возник, в частности, ранее особый термин в трудах по астрономии знаменитого индийского учёного Ариабхаты (476-ок. 550), именем коего назван первый индусский спутник Земли. Отрезок он назвал ардхаджива (ардха-половина, джива-тетива излом, которую напоминает ось). Позже привилось более сокращенное наименование джива. Арабскими математиками в IXв. термин джива (либо джиба) было заменено на арабское слово джайб (вогнутость). При переходе арабских математических текстов в XIIв. это слово было заменено латинскимсинус (sinus-изгиб) (рис.4).

1.4. Возникновение косинуса

Определение и возникновение термина «косинус» носит более кратковременный и недалекий характер. Под косинусом понимается «дополнительный синус» (или иначе «синус дополнительной дуги»; вспомните cosα= sin(90° - a)). Интересным фактом является то, что первые способы решения треугольников, которые основаны на зависимости между сторонами и углами треугольника, найденные астрономом из Древней Греции Гиппархом во втором веке до нашей эры. Данным изучением также занимался Клавдий Птолемей. Постепенно, появлялись новые факты о зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами, начали применять новое определение - тригонометрическая функция.

Существенный вклад в формирование тригонометрии привнесли арабские эксперты Аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), который собрал таблицы синусов и тангенсов посредством 10’ с правильностью вплоть до 1/604. Теорему синусов ранее знали индийский профессор Бхаскара (р. 1114, год смерти безызвестен) и азербайджанский астролог и ученый Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Помимо этого, Насиреддин Туси в собственной работе «Труд о полном четырехстороннике» рассказал прямую и сферическую тригонометрию как независимую дисциплину (рис.4).

1.5. Возникновение тангенса и котангенса

Тангенсы возникли в взаимосвязи с заключением задачи об установлении длины тени. Тангенс (а кроме того котангенс) установлен в X веке аравийским арифметиком Абу-ль-Вафой, который составил и первоначальные таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Но данные открытия длительное время сохранились незнакомыми европейским ученым, и тангенсы были вновь открыты только в XIV веке германским арифметиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он аргументировал теорему тангенсов. Региомонтан составил также детальные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.

Обозначение «тангенс», происходившее от латинского tanger (касаться), возникло в 1583 г. Tangens переводится как «затрагивающий» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности).
Дальнейшее формирование тригонометрия получила в работах выдающихся астрологов Николая Коперника (1473-1543) , Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а кроме того в трудах математика Франсуа Виета (1540-1603), который целиком решил проблему в определении абсолютно всех компонентов плоского либо сферического треугольника по трем данным (рис.4).

1.6 Дальнейшее развитие тригонометрии

Долгое время тригонометрия носила исключительно геометрический вид, т. е. данные, которые мы в настоящее время формулируем в определениях тригонометрических функций, формулировались и аргументировались с поддержкой геометрических понятий и утверждений. Такою, она существовала ещё в средние столетия, хотя иногда в ней применялись и аналитические способы, в особенности после возникновения логарифмов. Пожалуй, максимальные стимулы к формированию тригонометрии появлялись в взаимосвязи с решением задач астрономии, что давало огромный положительный интерес (например, с целью решения вопросов установления месторасположения корабля, прогноза затемнения и т. д.). Астрологов занимали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников. А арифметики древности успешно справлялись с поставленными вопросами.

Начиная с XVII в., тригонометрические функции стали применять к решению уравнений, вопросов механики, оптики, электричества, радиотехники, с целью отображения колебательных действий, распространения волн, перемещения разных элементов, для исследования переменного гальванического тока и т. д. По этой причине тригонометрические функции всесторонне и глубоко изучались, и получили существенное значение для целой математики.

Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, механике и другим приложениям математики. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее проще,

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть гониометрией (в переводе – наука об измерении углов, от греческого gwnia - угол, metrew- измеряю). Термин гониометрия в последнее время практически не употребляется.

2. Тригонометрия и реальная жизнь

Современное общество характеризуется постоянными изменениями, открытиями, созданием высокотехнологичных изобретений, улучшающих нашу жизнь. Тригонометрия встречается и взаимодействует с физикой, биологией, математикой, медициной, геофизикой, навигацией, информатикой.

Познакомимся по порядку с взаимодействием в каждой отрасли.

2.1.Навигация

Первым пунктом, объясняющим нам применение и пользу тригонометрии, выступает ее связь с навигацией. Под навигацией мы понимаем науку, целью которой является изучение и создание наиболее удобных и полезных способов навигации. Так, ученые разрабатывают несложные навигации, представляющие собой построение маршрута из одной точки в другую, его оценка и выбор лучшего варианта из всех предложенных. Данные маршруты необходимы мореплавателям, которые в течение своего путешествия сталкиваются с множеством трудностей, преград, вопросов по курсу движения. Также навигация необходима: летчикам, которые управляют сложными высокотехничными самолетами, ориентируются, порой в очень экстремальных ситуациях; космонавтам, чья работа связана с риском для жизни, с сложным построением маршрута и его освоением. Изучим более подробно следующие понятия и задачи. В качестве задачи можно представить следующее условие: мы знаем географические координаты: широту и долготу между пунктами А и В земной поверхности. Необходимо найти наиболее короткий путь между пунктами А и В вдоль земной поверхности (радиус Земли считается известным: R = 6371 км).

Мы можем также представить решение данной проблемы, а именно: вначале мы уточняем, что широтой пункта М земной поверхности называется величина угла, образованного радиусом ОМ, где О – центр Земли, с плоскостью экватора: ≤ , причем севру от экватора широта считается положительной, а к югу – отрицательной. За долготу пункта М мы возьмем величину двугранного угла, проходящего в плоскостях СОМ и СОН. Под С мы понимаем Северный полюс Земли. В качестве Н мы понимаем точку, отвечающую гринвичской обсерватории: ≤ (к востоку от гринвичского меридиана долгота считается положительной, к западу – отрицательной). Как мы уже знаем, самым коротким расстоянием между пунктами А и В земной поверхности представляется длиной наименьшей из дуг большой окружности, которая соединяет А и В. Данный вид дуги мы можем назвать ортодромией. Переводя с греческого, данный термин понимается прямым углом. Из-за этого нашей задачей является определением длины стороны АВ сферического треугольника АВС, где под С понимается северный полис.

Интересным примером можно описать следующее. При создании маршрута мореходцами, необходимо точная и кропотливая работа. Так, для прокладки курса корабля на карте, которая была выполнена в проекции Герхарда Меркатора в 1569году, была острая необходимость определить, широту. Однако при выходе в море, в локациях до XVII века мореплавателями широта не указывалась. Впервые применил тригонометрические расчеты в навигации Эдмонд Гюнтер(1623).

С ее помощью тригонометрии, пилоты могли рассчитывать ветряные погрешности, для наиболее точного и безопасного ведения самолета. Для того, чтобы осуществить данные вычисления, мы обращаемся к треугольнику скоростей. Данным треугольником выражаются образованный воздушной скорости (V), вектор ветра(W), вектор путевой скорости (Vп). ПУ – путевой угол, УВ – угол ветра, КУВ – курсовой угол ветра (рис. 5) .

Чтобы ознакомиться с видом зависимости между элементами навигационного треугольника скоростей, необходимо взглянуть ниже:

Vп =V cos УС + W cos УВ; sin УС = * sin УВ, tg УВ

Для решения навигационного треугольника скоростей используются счетные устройства, использующие навигационную линейку и подсчеты в уме.

2.2.Алгебра

Следующей областью взаимодействия тригонометрии является алгебра. Именно благодаря тригонометрическим функциям решаются очень сложные, требующие больших вычислений уравнения и задачи.

Как мы знаем, во всех случаях, где необходимо взаимодействовать с периодическими процессами и колебаниями мы приходим к использованию тригонометрических функций. При этом не имеет значения, что это такое: акустика, оптика или качание маятника.

2.3.Физика

Кроме навигации и алгебры, тригонометрия оказывает прямое влияние и воздействие в физике. При погружении объектов в воду они никак не изменяют ни формы, ни объемов. Полный секрет - зрительный эффект который вынуждает наше зрение принимать предмет по-другому. Простые тригонометрические формулы и значения синуса угла падения и преломления полупрямой предоставляют вероятность высчитать постоянный показатель преломления при переходе светового луча из сферы в сферу. К примеру, радуга появляется из-за того, что солнечный свет испытывает преломление в капельках воды, взвешенных в воздухе по закону преломления:

sin α / sin β = n1 / n2

где: n1 является показателем преломления первой среды; n2 является показателем преломления второй среды; α-углом падения, β-углом преломления света.

Попадание в верхние слои атмосферы планет заряженных элементов солнечного ветра обусловливается взаимодействием магнитного поля земли с солнечным ветром.

Сила, действующая на перемещающуюся в магнитном область заряженную частичку, именуется силой Лоренца. Она соразмерна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости перемещения частицы.

Раскрывая практические стороны применения тригонометрии в физике, приведем пример. Данная задача должна решаться с использованием тригонометрических формул и способов решения. Условия задачи: на наклонной плоскости, угол которой 24,5о, располагается тело массой 90 кг. Необходимо найти, какой силой располагает тело, давящее на на наклонную плоскость (т.е какое давление оказывает тело на эту плоскость) (рис.6).

Обозначив оси Х и У, начнем строить проекции сил на оси, для начала воспользовавшись данной формулой:

ma = N + mg, затем смотрим на рисунок,

Х: ma = 0 + mg sin24,50

Y: 0 = N – mg cos24,50

подставляем массу, находим, что сила равна 819 Н.

Ответ: 819 Н

2.4.Медицина, биология и биоритмы

Четвертой областью, где серьезное влияние и помощь оказывает тригонометрия, являются сразу две области: медицина и биология.

Одно из фундаментальных свойств живой природы - это цикличность большинства происходящих в ней процессов. Между движением небесных тел и живыми организмами на Земле существует связь. Живые организмы не только улавливают свет и тепло Солнца и Луны, но и обладают различными механизмами, точно определяющими положение Солнца, реагирующими на ритм приливов, фазы Луны и движение нашей планеты.

Биологические ритмы, биоритмы, - это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов. Способность к таким изменениям жизнедеятельности передается по наследству и обнаружена практически у всех живых организмов. Их можно наблюдать в отдельных клетках, тканях и органах, целых организмах и популяциях. Биоритмы подразделяют на физиологические , имеющие периоды от долей секунды до нескольких минут и экологические, по длительности совпадающие с каким либо ритмом окружающей среды. К ним относят суточные, сезонные, годовые, приливные и лунные ритмы. Основной земной ритм – суточный, обусловлен вращением Земли вокруг своей оси, поэтому практически все процессы в живом организме обладают суточной периодичностью.

Множество экологических факторов на нашей планете, в первую очередь световой режим, температура, давление и влажность воздуха, атмосферное и электромагнитное поле, морские приливы и отливы, под влиянием этого вращения закономерно изменяются.

Мы на семьдесят пять процентов состоим из воды, и если в момент полнолуния воды мирового океана поднимаются на 19 метров над уровнем моря и начинается прилив, то вода, находящаяся в нашем организме так же устремляется в верхние отделы нашего тела. И у людей с повышенным давлением часто наблюдаются обострения болезни в эти периоды, а натуралисты, собирающие лекарственные травы, точно знают в какую фазу луны собирать «вершки – (плоды)», а в какую – «корешки».

Вы замечали, что в определенные периоды ваша жизнь делает необъяснимые скачки? Вдруг откуда не возьмись - бьют через край эмоции. Повышается чувствительность, которая внезапно может смениться полной апатией. Творческие и бесплодные дни, счастливые и несчастные моменты, резкие скачки настроения. Подмечено, что возможности человеческого организма меняются периодически. Эти знания лежат в основе «теории трех биоритмов».

Физический биоритм – регулирует физическую активность. В течение первой половины физического цикла человек энергичен, и достигает лучших результатов в своей деятельности (вторая половина – энергичность уступает лености).

Эмоциональный ритм – в периоды его активности повышается чувствительность, улучшается настроение. Человек становится возбудимым к различным внешним катаклизмам. Если у него хорошее настроение, он строит воздушные замки, мечтает влюбиться и влюбляется. При снижении эмоционального биоритма происходит упадок душевных сил, пропадает желание, радостное настроение.

Интеллектуальный биоритм - он распоряжается памятью, способностью к обучению, логическому мышлению. В фазе активности наблюдается подъем, а во второй фазе спад творческой активности, отсутствуют удача и успех.

Теория трех ритмов:

· Физический цикл -23 дня. Определяет энергию, силу, выносливость, координацию движения

· Эмоциональный цикл - 28 дней. Состояние нервной системы и настроение

· Интеллектуальный цикл - 33 дня. Определяет творческую способность личности

Тригонометрия встречается и в природе. Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.

При полёте птицы траектория взмаха крыльев образует синусоиду.

Тригонометрия в медицине. В результате исследования, проведенного студентом иранского университета Шираз Вахидом-Резой Аббаси, медики впервые получили возможность упорядочить информацию, относящуюся к электрической активности сердца или, другими словами, электрокардиографии.

Формула, получившая название тегеранской, была представлена широкой научной общественности на 14-й конференции географической медицины и затем - на 28-й конференции по вопросам применения компьютерной техники в кардиологии, состоявшейся в Нидерландах.

Эта формула представляет собой комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии. Как утверждают медики, эта формула в значительной степени облегчает процесс описания основных параметров деятельности сердца, ускоряя, тем самым, постановку диагноза и начало собственно лечения.

Многим людям приходится делать кардиограмму сердца, но немногие знают, что кардиограмма человеческого сердца – график синуса или косинуса.

Тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов. Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Такой вывод был сделан после серии экспериментов, участникам которых предлагалось взглянуть на окружающий мир через призмы, увеличивающие этот угол.

Такое искажение приводило к тому, что подопытные носители призм воспринимали удаленные объекты как более близкие и не могли справиться с простейшими тестами. Некоторые из участников экспериментов даже наклонялись вперед, стремясь выровнять свое тело перпендикулярно неправильно представляемой поверхности земли. Однако по происшествии 20 минут они привыкли к искаженному восприятию, и все проблемы исчезли. Это обстоятельство указывает на гибкость механизма, с помощью которого мозг приспосабливает зрительную систему к меняющимся внешним условиям. Интересно заметить, что после того, как призмы были сняты, некоторое время наблюдался обратный эффект - переоценка расстояния.

Результаты нового исследования, как можно предположить, окажутся небезынтересны инженерам, конструирующим системы навигации для роботов, а также специалистам, которые работают над созданием максимально реалистичных виртуальных моделей. Возможны и приложения в области медицины, при реабилитации пациентов с повреждениями определенных областей мозга.

2.5.Музыка

Музыкальная сфера деятельности также взаимодействует с тригонометрией.

Представляю вашему вниманию интересную информацию о неком методе,который точно обеспечивает связь между тригонометрией и музыкой.

Этот метод анализа музыкальных произведений получил название «геометрическая теория музыки». С его помощью основные музыкальные структуры и преобразования переводятся на язык современной геометрии.

Каждая нота в рамках новой теории представляется как логарифм частоты соответствующего звука (нота «до» первой октавы, к примеру, соответствует числу 60, октава – числу 12). Аккорд, таким образом, представляется как точка с заданными координатами в геометрическом пространстве. Аккорды сгруппированы в различные «семейства», которые соответствуют различным типам геометрических пространств.

При разработке нового метода авторы использовали 5 известных типов музыкальных преобразований, которые ранее не учитывались в теории музыки при классификации звуковых последовательностей – октавная перестановка (O), пермутация (P), транспозиция (T), инверсия (I) и изменение кардинальности (C). Все эти преобразования, как пишут авторы, формируют так называемые OPTIC-симметрии в n-мерном пространстве и хранят музыкальную информацию об аккорде – в какой октаве находятся его ноты, в какой последовательности они воспроизведены, сколько раз повторяются и проч. С помощью OPTIC-симметрий классифицируются подобные, но не идентичные аккорды и их последовательности.

Авторы статьи показывают, что различные комбинации этих 5-ти симметрий формируют множество различных музыкальных структур, одни из которых уже известны в теории музыки (последовательность аккордов, к примеру, будет выражаться в новых терминах как OPC), а другие являются принципиально новыми понятиями, которые, возможно, возьмут на вооружение композиторы будущего.

В качестве примера авторами приводится геометрическое представление различных типов аккордов из четырех звуков – тетраэдр. Сферы на графике представляют типы аккордов, цвета сфер соответствуют величине интервалов между звуками аккорда: синий – малые интервалы, более теплые тона – более «разреженные» звуки аккорда. Красная сфера – наиболее гармоничный аккорд с равными интервалами между нотами, который был популярен у композиторов XIX века.

«Геометрический» метод анализа музыки, по мнению авторов исследования, может привести к созданию принципиально новых музыкальных инструментов и новых способов визуализации музыки, а также внести изменения в современные методики преподавания музыки и способы изучения различных музыкальных стилей (классики, поп-музыки, рок-музыки и проч.). Новая терминология также поможет более углубленно сравнивать музыкальные произведения композиторов разных эпох и представлять результаты исследований в более удобной математической форме. Иными словами, предлагается выделить из музыкальных произведений их математическую суть.

Частоты, соответствующие одной и той же ноте в первой, второй и т.д. октавах, относятся, как 1:2:4:8… Согласно дошедшим из древности преданиям, первыми, кто попытался сделать это, были Пифагор и его ученики.

Диатоническая гамма 2:3:5 (Рис.8).

2.6.Информатика

Не обошла тригонометрия со своим влиянием и информатику. Так, ее функции применимы для точных расчётов. Благодаря данному моменту, мы можем приблизить любую (в некотором смысле "хорошую") функцию, разложив её в ряд Фурье:

a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos 2x + b2 sin 2x + a3 cos 3x + b3 sin 3x + ...

Процесс подбора числа наиболее подходящим образом числа a0, a1, b1, a2, b2, ..., можно в виде такой (бесконечной) суммы представлять почти любые функции в компьютере с требуемой точностью.

Тригонометрия оказывает серьезную роль и помощь в развитии и в процессе работы с графической информацией. Если нужно смоделировать процесс, с описанием в электронном виде, с вращение определенного объекта вокруг некоторой оси. Возникает поворот на некоторый угол. Для определения координат точек придётся умножать на синусы и косинусы.

Так, можно привести в пример Джастина Уиндела, программиста и дизайнера, работающего в Google Grafika Lab. Он опубликовал демо, которое показывает пример использования тригонометрических функций, чтобы создать динамическую анимацию.

2.7.Сфера строительства и геодезии

Интересной отраслью, взаимодействующей с тригонометрией является область строительства и геодезии. Длины сторон и величины углов произвольного треугольника на плоскости связаны между собой определенными соотношениями, важнейшие из которых называют теоремами косинусов и синусов. Формулы, содержащие в себе а, b, c, подразумевают, что буквы представляются сторонами треугольника, которые лежат соответственно против углов А, В, С. Эти формулы позволяют по трем элементам треугольника – длинам сторон и углам – восстановить остальные три элемента. Они применяются при решении практических задач, например в геодезии.

Вся "классическая" геодезия сформирована на тригонометрии. Так как фактически с древнейших времен геодезисты увлекаются тем, что "решают" треугольники.

Процесс возведения строений, путей, мостов и иных зданий наступает с изыскательских и проектных работ. Все без исключения измерения на стройке ведутся с поддержкой геодезических приборов, таких как тахеометр и тригонометрический нивелир. При тригонометрическом нивелировании устанавливают разность высот между несколькими точками земной поверхности.

2.8 Тригонометрия в искусстве и архитектуре

С того времени как человек стал существовать на земле, основой улучшения быта и других сфер жизни стала наука. Основы всего, что создано человеком – это различные направления в естественных и математических науках. Одна из них – геометрия. Архитектура не единственная сфера науки, в которой используются тригонометрические формулы. Большинство композиционных решений и построений рисунков проходило именно с помощью геометрии. Но теоретические данные мало что значат. Рассмотрим пример на построение одной скульптуры французского мастера Золотого века искусства.

Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Однако при поднятии статуи на высокий пьедестал, она смотрелась уродливой. Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности. Велось множество расчетов, чтобы фигура с большой высоты смотрелась пропорционально. В основном они были основаны на методе визирования, то есть приблизительного измерения, на глаз. Однако коэффициент разности тех или иных пропорций позволили сделать фигуру более приближенной к идеалу. Таким образом, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы, тем самым найдем точку зрения (рис.9).

На рисунке 10 ситуация меняется, так как статую поднимают на высоту АС и НС увеличиваются, можно рассчитать значения косинуса угла С, по таблице найдем угол падения взгляда. В процессе можно рассчитать АН, а также синус угла С, что позволит проверить результаты с помощью основного тригонометрического тождества cos 2 a+ sin 2 a = 1.

Сравнив измерения АН в первом и во втором случаи можно найти коэффициент пропорциональности. Впоследствии мы получим чертеж, а потом скульптуру, при поднятии которой зрительно фигура будет приближена к идеалу

Культовые здания во всем мире были спроектированы благодаря математике, которая может считаться гением архитектуры. Некоторые известные примеры таких зданий:Детская школа Гауди в Барселоне, Небоскрёб Мэри-Экс в Лондоне, Винодельня «Бодегас Исиос» в Испании,Ресторан в Лос-Манантиалесе в Аргентине. При проектировании этих зданий не обошлось без тригонометрии.

Заключение

Изучив теоретические и прикладные аспекты тригонометрии, я осознал, что данная отрасль тесно связана со многими науками. В самом начале, тригонометрия была необходима для создания и проведения измерений между углами. Однако в последствии простое измерение углов переросло в полноценную науку, изучающую тригонометрические функции. Мы можем обозначить следующие области, в которых происходит тесная связь тригонометрии и физики архитектуры, природы, медицины, биологии.

Так, благодаря тригонометрическим функциям в медицине была открыта формула сердца, представляющая собой - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, которое состоит из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включающих возможность дополнительных просчетов при возникновении аритмии. Данное открытие помогает врачам выполнять более квалифицированно и качественно медицинскую помощь.

Отметим также. что вся классическая геодезия основана на тригонометрии. Поскольку фактически с древних времён геодезисты занимаются тем, что "решают" треугольники. Процесс строительства зданий, дорог, мостов и других сооружений начинается с изыскательских и проектных работ. Все измерения на стройке проводятся с помощью геодезических инструментов, таких как теодолит и тригонометрический нивелир. При тригонометрическом нивелировании определяют разность высот между несколькими точками земной поверхности.

Знакомясь с ее влиянием в других областях, мы можем сделать вывод о том, что тригонометрия активно влияет на жизнедеятельность человека. Связь математики с окружающим миром позволяет «материализовать» знания школьников. Благодаря этому, мы можем адекватнее воспринять и усвоить знания и информацию, которую нам преподают в школе.

Цель моего проекта выполнена успешна. Мной было изучено влияние тригонометрии в жизни и развитие интереса к ней.

Для решения поставленной цели, мы выполнили следующие задачи:

1. Познакомились с историей становления и развития тригонометрии;

2. Рассмотрели примеры практического влияния тригонометрии в разных сферах деятельности;

3. Показали на примерах, возможности тригонометрии и ее применения в жизни человека.

Изучение истории возникновения данной отрасли поможет вызвать интерес у школьников, сформировать верное мировоззрение и повысить общую культуру старшеклассника.

Данная работа будет полезна для учащихся старших классов, которые ещё не увидели всю красоту тригонометрии и не знакомы с областями её применения в окружающей жизни.

Список литературы

Глейзер Г.И.

Рыбников К.А.

Список литературы

А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. "Алгебра и начала анализа" Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, М., Просвещение, 2013.

Глейзер Г.И. История математики в школе: VII-VIII кл. - М.: Просвещение, 2012.

Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-X кл. - М.: Просвещение, 2013.

Рыбников К.А. История математики: Учебник. - М.: Изд-во МГУ, 1994. Олехник Задачи по алгебре, тригонометриии и элементарным функциям / Олехник, С.Н. и. - М.: Высшая школа, 2016. - 134 c.

Олехник, С.Н. Задачи по алгебре, тригонометрии и элементарным функциям / С.Н. Олехник. - М.: Высшая школа, 2013. - 645 c.

Потапов, М.К. Алгебра, тригонометрия и элементарные функции / М.К. Потапов. - М.: Высшая школа, 2014. - 586 c.

Потапов, М.К. Алгебра. Тригонометрия и элементарные функции / М.К. Потапов, В.В. Александров, П.И. Пасиченко. - М.: [не указано], 2015. - 762 c.

Приложение 1

Рис.1 Изображение пирамиды. Вычисление наклона b / h .

Угломер Секед

В общем виде египетская формула вычисления секеда пирамиды выглядит

так:.

Древнеегипетский термин «секед » обозначал угол наклона. Он находился через высоту, разделенную на половину основания.

"Длина пирамиды с восточной стороны составляет 360 (локтей), высота - 250 (локтей). Вычислить нужно наклон восточной стороны. Для этого возьмите половину от 360, т.е. 180. Разделите 180 на 250. Вы получите: 1 / 2 , 1 / 5 , 1 / 50 локтя. Учтите, что один локоть равен 7 ширинам ладоней. Умножьте теперь полученные числа на 7 следующим образом: "

Рис.2 Гномон

Рис.3 Определение угловой высоты солнца

Рис.4 Основные формулы тригонометрии

Рис.5 Навигация в тригонометрии

Рис.6 Физика в тригонометрии

Рис.7 Теория трех ритмов

(Физический цикл -23 дня. Определяет энергию, силу, выносливость, координацию движения; Эмоциональный цикл - 28 дней. Состояние нервной системы и настроение; Интеллектуальный цикл - 33 дня. Определяет творческую способность личности)

Рис. 8 Тригонометрия в музыке

Рис.9, 10 Тригонометрия в архитектуре

МБОУ Целинная СОШ

Доклад Тригонометрия в реальной жизни

Подготовила и провела

учитель математики

квалификационной категории

Ильина В. П.

п. Целинный март 2014г.

Оглавление.

1.Введение .

2.История создания тригонометрии:

Ранние века.

Древняя Греция.

Средневековье.

Новое время.

Из истории развития сферической геометрии.

3.Тригонометрия и реальная жизнь:

Применение тригонометрии в навигации.

Тригонометрия в алгебре.

Тригонометрия в физике.

Тригонометрия в медицине и биологии.

Тригонометрия в музыке.

Тригонометрия в информатике

Тригонометрия в строительстве и геодезии.

4. Заключение .

5. Список литературы.

Введение

Издавна в математике установилась такая практика, что при систематическом изучении математики нам – ученикам приходится встречаться с тригонометрией трижды. Соответственно её содержание представляется состоящим из трёх частей. Эти части при обучении отделены друг от друга по времени и не похожи друг на друга как по смыслу, вкладываемому в объяснения основных понятий, так и по развиваемому аппарату и по служебным функциям (приложениям).

И в самом деле, впервые тригонометрический материал мы встретили в 8 классе при изучении темы «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника». Так мы узнали, что такое синус, косинус и тангенс, научились решать плоские треугольники.

Однако прошло некоторое время и в 9-м классе мы снова вернулись к тригонометрии. Но эта тригонометрия не похожа на ту, что изучали ранее. Её соотношения определяются теперь с помощью окружности (единичной полуокружности), а не прямоугольного треугольника. Хотя они по-прежнему определяются как функции углов, но эти углы уже произвольно велики.

Перейдя же в 10 класс, мы снова столкнулись с тригонометрией и увидели, что она стала ещё сложнее, ввелось понятие радианная мера угла, иначе выглядят и тригонометрические тождества, и постановка задач, и трактовка их решений. Вводятся графики тригонометрических функций. Наконец, появляются тригонометрические уравнения. И весь этот материал предстал перед нами уже как часть алгебры, а не как геометрия. И нам стало очень интересно изучить историю тригонометрии, её применение в повседневной жизни, потому что использование учителем математики исторических сведений не является обязательным при изложении материала урока. Однако, как указывает К. А. Малыгин «...экскурсы в историческое прошлое оживляют урок, дают разрядку умственному напряжению, поднимают интерес к изучаемому материалу и способствуют прочному его усвоению» . Тем более что материал по истории математики весьма обширен и интересен, так как развитие математики тесным образом связано с решением насущных задач, возникавших во все периоды существования цивилизации.

Узнав об исторических причинах возникновения тригонометрии, и изучив, как плоды деятельности великих ученых оказали влияние на развитие этой области математики и на решение конкретных задач, у нас, у школьников, повышается интерес к изучаемому предмету, и мы увидим его практическое значение.

Цель проекта - развитие интереса к изучению темы «Тригонометрия» в курсе алгебры и начала анализа через призму прикладного значения изучаемого материала; расширение графических представлений, содержащих тригонометрические функции; применение тригонометрии в таких науках, как физика, биология и т.п.

Связь тригонометрии с окружающим миром, значение тригонометрии в решении многих практических задач, графические возможности тригонометрических функций позволяют «материализовать» знания школьников. Это позволяет лучше понять жизненную необходимость знаний, приобретаемых при изучении тригонометрии, повышает интерес к изучению данной темы.

Задачи исследования:

1.Рассмотреть историю возникновения и развития тригонометрии.

2.Показать на конкретных примерах практические приложения тригонометрии в различных науках.

3.Раскрыть на конкретных примерах возможности использования тригонометрических функций, позволяющие «мало интересные» функции превращать в функции, графики которых имеют весьма оригинальный вид.

« Одно осталось ясно, что мир устроен грозно и прекрасно».

Н. Рубцов

Тригонометрия - это раздел математики, в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон треугольников, а также алгебраические тождества тригонометрических функций. Сложно представить, но с этой наукой мы сталкиваемся не только на уроках математики, но и в нашей повседневной жизни. Мы могли не подозревать об этом, но тригонометрия встречается в таких науках, как физика, биология, не последнюю роль она играет и в медицине, и, что самое интересное, без нее не обошлось даже в музыке и архитектуре. Значительную роль в развитии навыков применения на практике теоретических знаний, полученных при изучении математики, играют задачи с практическим содержанием. Каждого изучающего математику, интересует, как и где применяются полученные знания. Ответ на этот вопрос и дает данная работа.

История создания тригонометрии

Ранние века

От вавилонской математики ведёт начало привычное нам измерение углов градусами, минутами и секундами (введение этих единиц в древнегреческую математику обычно приписывают , II век до н. э.).

Главным достижением этого периода стало соотношение катетов и гипотенузы в прямоугольном треугольнике, позже получившее имя .

Древняя Греция

Общее и логически связное изложение тригонометрических соотношений появилось в древнегреческой геометрии. Греческие математики ещё не выделяли тригонометрию как отдельную науку, для них она была частью астрономии.
Основным достижением античной тригонометрической теории стало решение в общем виде задачи «решения треугольников», то есть нахождения неизвестных элементов треугольника, исходя из трёх заданных его элементов (из которых хотя бы один является стороной).

Средневековье

В IV веке, после гибели античной науки, центр развития математики переместился в Индию. Они изменили некоторые концепции тригонометрии, приблизив их к современным: к примеру, они первыми ввели в использование косинус.
Первым специализированным трактатом по тригонометрии было сочинение среднеазиатского учёного (X-XI век) «Книга ключей науки астрономии» (995-996 годы). Целый курс тригонометрии содержал главный труд Аль-Бируни - «Канон Мас‘уда» (книга III). В дополнение к таблицам синусов (с шагом 15") Аль-Бируни дал таблицы тангенсов (с шагом 1°).

После того как арабские трактаты были в XII-XIII веках переведены на латынь, многие идеи индийских и персидских математиков стали достоянием европейской науки. По всей видимости, первое знакомство европейцев с тригонометрией состоялось благодаря зиджу , два перевода которого были выполнены в XII веке.

Первым европейским сочинением, целиком посвященным тригонометрии, часто называют «Четыре трактата о прямых и обращенных хордах» английского астронома (около 1320 г.). Тригонометрические таблицы, чаще переводные с арабского, но иногда и оригинальные, содержатся в сочинениях ряда других авторов XIV-XV веков. Тогда же тригонометрия заняла место среди университетских курсов.

Новое время

Слово «тригонометрия» впервые встречается (1505 г) в заглавии книги немецкого теолога и математика Питискуса.Происхождение этого слова греческое: треугольник, мера. Иными словами, тригонометрия-наука об измерении треугольников. Хотя название возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны уже две тысячи лет назад.

Длительную историю имеет понятие синуса. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности(а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в ӀӀӀ в. до н. э в работах великих математиков Древней Греции-Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского. В римский период эти отношения уже достаточно систематично исследовались Менелаем(Ӏ в. до н. э), хотя и не приобрели специального названия. Современный минус угла, например изучался как произведение полухорд, на которую опирается центральный угол величиной, или как хорда удвоенной дуги.

В последующий период математика долгое время наиболее активно развивалась индийскими и арабскими учеными. В Ӏ V - V вв. появился, в частности, уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского ученого Ариабхаты(476-ок. 550), именем которого назван первый индийский спутник Земли.

Позднее привилось более краткое название джива. Арабскими математиками в Ι X в. слово джива(или джиба) было заменено на арабское слово джайб(выпуклость). При переводе арабских математических текстов в XΙΙ в. это слово было заменено латинским синус(sinus -изгиб, кривизна)

Слово косинус намного моложе. Косинус-это сокращение латинского выражения complement sinus , т.е «дополнительный синус» (или иначе «синус дополнительной дуги»; вспомните cos a = sin (90°- a )).

Имея дело с тригонометрическими функциями, мы существенно выходим за рамки задачи «измерения треугольников». По этому известный математик Ф. Клейн (1849-1925) предлагал учение о «тригонометрических» функциях называть иначе- гониометрией(угол). Однако это название не привилось.

Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс(а также котангенс, секанс и косеканс) введен в X в. арабским математиком Абу-л-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты в XΙV в. сначала английским ученым Т. Бравердином, а позднее немецким математиком, астрономом Региомонтаном (1467 г). Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (вспомните: линия тангенсов - это касательная к единичной окружности)

Современные обозначения arcsin и arctg появляются в 1772 г в работах венского математика Шерфера и известного французского ученого Ж.Л.Лагранжа, хотя несколько ранее их уже рассматривал Я.Бернулли, который употреблял иную символику. Но общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVΙΙΙ столетия. Приставка «арк» происходит от латинского arcus x , например -,это угол (а можно сказать, и дуга),синус которого равен x .

Длительное время тригонометрия развивалась как часть геометрии, т.е. факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Пожалуй,наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес(например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказаний затмений и т,д)

Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников, составленных из больших кругов, лежащих на сфере. И надо заметить, что математики древности удачно справлялись с задачами, существенно более трудными, нежели задачи на решении плоских треугольников.

Во всяком случае в геометрической форме многие известные нам формулы тригонометрии открывались и переоткрывались древнегреческими, индийскими, арабскими математиками(правда, формулы разности тригонометрических функций стали известны только в XVΙ Ӏ в.- их вывел английский математик Непер для упрощения вычислений с тригонометрическими функциями. А первый рисунок синусоиды появился в 1634 г.)

Принципиальное значение имело составление К.Птолемеем первой таблицы синусов (долгое время она называлась таблицей хорд): появилось практическое средство решения ряда прикладных задач, и в первую очередь задач астрономии.

Имея дело с готовыми таблицами, или пользуясь калькулятором, мы часто не задумываемся о том, что было время, когда таблицы еще не были изобретены. Для того чтобы составить их, требовалось выполнить не только большой объем вычислений, но и придумать способ составления таблиц. Таблицы Птолемея точны до пяти десятичных знаков включительно.

Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик XV ΙӀΙ столетия Л.Эйлер(1707-1783), швейцарец по происхождению, долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской Академии наук. Именно Эйлер первый ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. Все это малая доля того, что за долгую жизнь успел сделать Эйлер в математике: он оставил свыше 800 работ,доказал многие ставшие классическими теоремы, относящиеся к самым разным областям математики. Но если вы пытаетесь оперировать с тригонометрическими функциями в геометрической форме, т.е так, как это делали многие поколения математиков до Эйлера, то сумеете оценить заслуги Эйлера в систематизации тригонометрии. После Эйлера тригонометрия приобрела новую форму исчисления: различные факты стали доказывать путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее, проще.

Из истории развития сферической геометрии .

Широко известно, что евклидова геометрия является одной из наиболее древних наук.: уже в III веке до н.э. появился классический труд Евклида – «Начала». Менее известно, что сферическая геометрия лишь немного моложе. Её первая систематическая изложение относится к I - II векам. В книге «Сферика», написанной греческим математиком Менелаем (I в.), изучались свойства сферических треугольников; доказывалась, в частности, что сумма углов сферического треугольника больше 180 градусов. Большой шаг вперед сделал другой греческий математик Клавдий Птолемей (II в.). По существу он первый составил таблицы тригонометрических функций, ввел стереографическую проекцию.

Так же как и геометрия Евклида, сферическая геометрия возникла при решении задач практического характера, и в первую очередь задач астрономии. Эти задачи были необходимы, например, путешественникам и мореплавателям, которые ориентировались по звездам. А поскольку при астрономических наблюдениях удобно считать, что и Солнце и Луна, и звезды движутся по изображаемой «небесной сфере», то естественно, что для изучения их движения потребовались знания о геометрии сферы. Не случайно поэтому, что самая известная работа Птолемея называлась « Великое математическое построение астрономии в 13 книгах».

Важнейший период истории сферической тригонометрии связан с деятельностью ученых Ближнего Востока. Индийские ученые успешно решали задачи сферической тригонометрии. Однако метод, описанный Птолемеем и основанный на теореме Менелая полного четырехугольника, у них не применялся. И в сферической тригонометрии они пользовались проективными методами, которые соответствовали методам из «Аналеммы» Птолемея. В результате ими был получен набор определенных вычислительных правил, позволявших решить практически любую задачу сферической астрономии. С их помощью такая задача сводилась в конечном счете к сравнению между собой подобных плоских прямоугольных треугольников. При решений нередко применялись теория квадратных уравнений и метод последовательных приближений. Примером астрономической задачи, которую решали индийские ученые с помощью разработанных им правил, служит задачам, рассматриваемая в сочинении «Панга сиддхантика» Варахамихиры (V - VI ). Она состоит нахождении высоты Солнца, если известно широта места, склонения Солнца и его часовой угол. В результате решения этой задачи после ряда построений устанавливается соотношение, которое равносильно современной теореме косинусов для сферического треугольника. Однако и это соотношение, и другое,эквивалентное теореме синусов, не были обобщены как правила, применимые к любому сферическому треугольнику.

Среди первых восточных ученных, которые обратились к обсуждению теореме Менелая, нужно назвать братьев Бану Мусса –Мухаммеда, Хасана и Ахмада, сыновей Муссы ибн Шакира, работавшего в Багдаде и занимавшегося математикой, астрономией и механикой. Но наиболее ранним из сохранившихся сочинений о теоремы Менелая является «Трактат о фигуре секущих» их ученика Сабита ибн Корры (836-901)

Трактат Сабита ибн Корры дошел до нас в арабском оригинале,. И в латинском переводе XII в. Этот перевод Герандо Кремонским (1114-1187), получил широкое распространение в Средневековой Европе.

История тригонометрии, как науки о соотношениях между углами и сторонами треугольника и других геометрических фигур, охватывает более двух тысячелетий. Большинство таких соотношений нельзя выразить с помощью обычных алгебраических операций, и поэтому понадобилось ввести особые тригонометрические функции, первоначально оформлявшиеся в виде числовых таблиц.
Историки полагают, что тригонометрию создали древние астрономы, немного позднее её стали использовать в архитектуре. Со временем область применения тригонометрии постоянно расширялась, в наши дни она включает практически все естественные науки, технику и ряд других областей деятельности.

Прикладные тригонометрические задачи отличаются большим разнообразием - например, могут быть заданы измеримые на практике результаты действий над перечисленными величинами (к примеру, сумма углов или отношение длин сторон).

Параллельно с развитием тригонометрии плоскости греки, под влиянием астрономии, далеко продвинули сферическую тригонометрию. В «Началах» Евклида на эту тему имеется только теорема об отношении объёмов шаров разного диаметра, но потребности астрономии и картографии вызвали быстрое развитие сферической тригонометрии и смежных с ней областей - системы небесных координат, теории картографических проекций, технологии астрономических приборов.

курсов.

Тригонометрия и реальная жизнь

Тригонометрические функции нашли применение в математическом анализе, физике, информатике, геодезии, медицине, музыке, геофизике, навигации.

Применение тригонометрии в навигации

Навигация (это слово происходит от латинского navigatio – плыву на судне) – одна из наиболее древних наук. Простейшие задачи навигации, такие, например, как определение кратчайшего маршрута, выбор направления движения, встали перед самыми первыми мореплавателями. В настоящее время эти же и другие задачи приходится решать не только морякам, но и лётчикам, и космонавтам. Некоторые понятия и задачи навигации рассмотрим поподробнее.

Задача. Известны географические координаты – широта и долгота пунктов А и В земной поверхности: , и, . Требуется найти кратчайшее расстояние между пунктами А и В вдоль земной поверхности (радиус Земли считается известным: R = 6371 км)

Решение. Напомним сначала, что широтой пункта М земной поверхности называется величина угла, образованного радиусом ОМ, где О – центр Земли, с плоскостью экватора: ≤ , причем севру от экватора широта считается положительной, а к югу – отрицательной (рисунок 1)

Долгота пункта М есть величина двугранного угла между плоскостями СОМ и СОН, где С – Северный полюс Земли, а Н – точка, отвечающая гринвичской обсерватории: ≤ (к востоку от гринвичского меридиана долгота считается положительной, к западу – отрицательной).

Как уже известно, кратчайшее расстояние между пунктами А и В земной поверхности- это длина меньшей из дуг большой окружности, соединяющая А и В (такую дугу называют ортодромией – в переводе с греческого означает «прямой бег»). Поэтому наша задача сводится к определению длины стороны АВ сферического треугольника АВС (С – северный полюс).

Применяя стандартное обозначение для элементов треугольника АВС и соответствующего трехгранного угла ОАВС, из условия задачи находим: α = = - , β = (рис.2).

Угол С также не трудно выразить через координаты точек А и В. По определению ≤ , поэтому либо угол С = , если ≤ , либо - , если. Зная = с помощью теоремы косинусов: = + (-). Зная и, следовательно угол, находим искомое расстояние: =.

Тригонометрия в навигации 2.

Для прокладки курса корабля на карте, выполненной в проекции Герхарда Меркатора (1569г.), необходимо было определять широту. При плавании по Средиземному морю в лоциях до XVII в. широта не указывалась. Впервые применил тригонометрические расчеты в навигации Эдмонд Гюнтер(1623).

Тригонометрия помогает рассчитывать влияние ветра на полет самолета. Треугольник скоростей – это треугольник, образованный вектором воздушной скорости (V ), вектором ветра(W ), вектором путевой скорости (V п ). ПУ – путевой угол, УВ – угол ветра, КУВ – курсовой угол ветра.

Зависимость между элементами навигационного треугольника скоростей имеет вид:

V п = V cos УС + W cos УВ; sin УС = * sin УВ, tg УВ =

Навигационный треугольник скоростей решается с помощью счетных устройств, на навигационной линейке и приближенно в уме.

Тригонометрия в алгебре.

Вот пример решения сложного уравнения с помощью тригонометрической подстановки.

Дано уравнение

Пусть , получим

;

откуда: или

с учётом ограничений получим:

Тригонометрия в физике

Везде, где приходится иметь дело с периодическими процессами и колебаниями – будь то акустика, оптика или качание маятника, мы имеем дело с тригонометрическими функциями. Формулы колебаний:

где A – амплитуда колебания, - угловая частота колебания, -начальная фаза колебания

Фаза колебания.

При погружении предметов в воду они не меняют ни формы, ни размеров. Весь секрет - оптический эффект который заставляет наше зрение воспринимать объект по-иному. Простейшие тригонометрические формулы и значения синуса угла падения и преломления луча дают возможность высчитать постоянный коэффициент преломления при переходе светового луча из среды в среду. Например, радуга возникает из-за того, что солнечный свет испытывает преломление в капельках воды, взвешенных в воздухе по закону преломления:

sin α / sin β = n 1 / n 2

где:

n 1 - показатель преломления первой среды
n 2 - показатель преломления второй среды

α -угол падения, β -угол преломления света.

Проникновение в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром.

Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу, называется силой Лоренца. Она пропорциональна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости движения частицы.

В качестве практического примера рассмотрим физическую задачу, которая решается с применением тригонометрии.

Задача. На наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 24,5 о , находится тело массой 90 кг. Найдите, с какой силой это тело давит на наклонную плоскость (т.е какое давление оказывает тело на эту плоскость).

Решение:

Обозначив оси Х и У, начнем строить проекции сил на оси, для начала воспользовавшись данной формулой:

ma = N + mg , затем смотрим на рисунок,

Х : ma = 0 + mg sin24,5 0

Y: 0 = N – mg cos24,5 0

N = mg cos 24,5 0

подставляем массу, находим, что сила равна 819 Н.

Ответ: 819 Н

Тригонометрия в медицине и биологии

Одно из фундаментальных свойств живой природы - это цикличность большинства происходящих в ней процессов.

Биологические ритмы, биоритмы – это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов.

Основной земной ритм – суточный.

Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций.

Для построения модели биоритмов необходимо ввести дату рождения человека, дату отсчета (день, месяц, год) и длительность прогноза (количество дней).

Даже некоторые участки головного мозга называются синусами.

Стенки синусов образованы твёрдой мозговой оболочкой, выстланной эндотелием. Просвет синусов зияет, клапаны и мышечная оболочка, в отличие от других вен, отсутствуют. В полости синусов располагаются покрытые эндотелием волокнистые перегородки. Из синусов кровь поступает во внутренние ярёмные вены, помимо этого существует связь синусов с венами наружной поверхности черепа посредством резервных венозных выпускников.

Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения.

При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график

функции y = tgx .

Тригонометрия в музыке

Мы слушаем музыку в формате mp3.

Звуковой сигнал – это волна, вот её «график».

Как можно увидеть – это хотя и очень сложная, но синусоида, подчиняющаяся законам тригонометрии.

Во МХАТе весной 2003 года состоялась презентация альбома «Тригонометрия» группы «Ночные снайперы», солистка Диана Арбенина. Содержание альбома раскрывает первоначальное значение слова «тригонометрия» - измерение Земли.

Тригонометрия в информатике

Тригонометрические функции можно использовать для точных расчётов.

С помощью тригонометрических функций можно приблизить любую

(в некотором смысле "хорошую") функцию, разложив её в ряд Фурье:

a 0 + a 1 cos x + b 1 sin x + a 2 cos 2x + b 2 sin 2x + a 3 cos 3x + b 3 sin 3x + ...

Подбирая подходящим образом числа a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ..., можно в виде такой (бесконечной) суммы представлять почти любые функции в компьютере с требуемой точностью.

Тригонометрические функции оказываются полезными при работе с графической информацией. Необходимо промоделировать (описать в компьютере) вращение некоторого объекта вокруг некоторой оси. Возникает поворот на некоторый угол. Чтобы определить при этом координаты точек придётся умножать на синусы и косинусы.

Джастин Уиндел, программист и дизайнер из Google Grafika Lab , опубликовал демо, показывающее примеры использования тригонометрических функций для создания динамической анимации.

Тригонометрия в строительстве и геодезии

Длины сторон и величины углов произвольного треугольника на плоскости связаны между собой определенными соотношениями, важнейшие из которых называют теоремами косинусов и синусов.

2 ab

= =

В этих формулах а, b , c – длины сторон треугольника АВС, лежащих соответственно против углов А, В, С. Эти формулы позволяют по трем элементам треугольника – длинам сторон и углам – восстановить остальные три элемента. Они применяются при решении практических задач, например в геодезии.

Вся "классическая" геодезия основана на тригонометрии. Поскольку фактически с древних времён геодезисты занимаются тем, что "решают" треугольники.

Процесс строительства зданий, дорог, мостов и других сооружений начинается с изыскательских и проектных работ. Все измерения на стройке проводятся с помощью геодезических инструментов, таких как теодолит и тригонометрический нивелир. При тригонометрическом нивелировании определяют разность высот между несколькими точками земной поверхности.

Заключение

Тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Тригонометрия тесно связана с физикой, встречается в природе, музыке, архитектуре, медицине и технике.

Тригонометрия нашла отражение в нашей жизни, и сферы, в которых она играет важную роль, будут расширяться, поэтому знание её законов необходимо каждому.

Связь математики с окружающим миром позволяет «материализовать» знания школьников. Это помогает нам лучше понять жизненную необходимость знаний, приобретаемых в школе.

Под математической задачей с практическим содержанием (задачей прикладного характера) мы понимаем задачу, фабула которой раскрывает приложения математики в смежных учебных дисциплинах, технике, в быту.

Рассказ о исторических причинах возникновения тригонометрии, ее развитии и практическом применении побуждает у нас – школьников интерес к изучаемому предмету, формирует наше мировоззрение и повышает общую культуру.

Список литературы:

Введение

Реальные процессы окружающего мира обычно связаны с большим количеством переменных и зависимостей между ними. Описать эти зависимости можно с помощью функций. Понятие «функция» сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Знание свойств функций позволяет понять суть происходящих процессов, предсказать ход их развития, управлять ими. Изучение функций является актуальным всегда.

Цель : выявить связь тригонометрических функций с явлениями окружающего мира и показать, что данные функции находит широкое применение в жизни.

задачи :

1. Изучить литературу и ресурсы удаленного доступа по теме проекта.

2. Выяснить, какие законы природы выражаются тригонометрическими функцией.

3. Найти примеры применения тригонометрических функций в окружающем мире.

4. Проанализировать и систематизировать имеющийся материал.

5. Подготовить оформленный материал в соответствии с требованиями информационного проекта.

6. Разработать в соответствии с содержанием проекта электронную презентацию.

7. Выступить на конференции с результатами проведённой работы.

На подготовительном этапе я нашел материал по данной теме и ознакомился с ним выдвинул гипотезы сформулировали цель своего проекта. Я начал поиск необходимой информации, изучал литературу по моей теме и материалы ресурсов удаленного доступа.

На основном этапе , была подобрана и накоплена информация по теме, проанализированы найденные материалы. Я выяснил основные области применения тригонометрических функций. Все данные были обобщены и систематизированы. Затем разработан целостный окончательный вариант информационного проекта, составлена презентация по теме исследования.

На заключительном этапе была проанализированапрезентация работы на конкурс. На этом этапе также предполагалась деятельность по реализации всех поставленных задач, подведение итогов, т. е. оценка своей деятельность.

Восход и заход солнца, изменение фаз луны, чередование времен года, биение сердца, циклы в жизнедеятельности организма, вращение колеса, морские приливы и отливы - модели этих многообразных процессов описываются тригонометрическими функциями.

Тригонометрия в физике.

В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими) процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения. Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют и колебательные движения.

Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f(t). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени. Примером волны такого рода могут служить волны, бегущие по натянутому резиновому жгуту или по струне.

Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник (рис.1).

Рис.1. Механические колебательные системы.

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными. Свободные колебаниясовершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными.

На рисунке 2 приведены графики координаты, скорости и ускорения тела, совершающего гармонические колебания.

Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания, которые описываются уравнением:

x = m cos (ωt + f 0).

Рисунок 2- Графики координаты x(t), скорости υ(t)

и ускорения a(t) тела, совершающего гармонические колебания.

Звуковыми волнами или просто звуком принято называть волны, воспринимаемые человеческим ухом.

Если в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды возбуждены колебания частиц, то вследствие взаимодействия атомов и молекул среды колебания начинают передаваться от одной точки к другой с конечной скоростью. Процесс распространения колебаний в среде называется волной.

Значительный интерес для практики представляют простые гармонические или синусоидальные волны. Они характеризуются амплитудой A колебания частиц, частотой f и длиной волны λ. Синусоидальные волны распространяются в однородных средах с некоторой постоянной скоростьюυ.

Если бы зрение людей обладало способностью видеть звуковые, электромагнитные и радиоволны, то мы видели бы вокруг многочисленные синусоиды всевозможных видов.

Наверняка, каждый не раз наблюдал явление, когда опущенные в воду предметы сразу же меняли свои размеры и пропорции. Интересное явление, погружаешь в воду свою руку, и она сразу же превращается в руку какого-то другого человека. Почему так происходит? Ответ на этот вопрос и подробное объяснение этого явления как всегда дает физика – наука, которая может объяснить практически все, что нас окружает в этом мире.

Итак, на самом деле, при погружении в воду предметы, конечно же, не меняют ни своих размеров, ни своих очертаний. Это просто оптический эффект, то есть мы зрительно воспринимаем этот объект по-другому. Происходит это из-за свойства светового луча. Оказывается, на скорость распространения света в огромной мере влияет, так называемая оптическая плотность среды. Чем плотнее эта оптическая среда, тем медленнее распространяется луч света.

Но и изменение скорости луча света еще не объясняет в полной мере рассматриваемого нами явления. Существует и еще один фактор. Так вот, когда световой луч проходит границу между менее плотной оптической средой, например воздухом, и более плотной оптической средой, например водой, часть светового луча не проникает внутрь новой среды, а отражается от ее поверхности. Другая же часть светового луча проникает внутрь, но, уже меняя направление.

Это явление называется преломлением света, и ученые уже давно могут не просто наблюдать, но и точно рассчитывать угол этого преломления. Оказалось, что простейшие тригонометрические формулы и знание синуса угла падения и угла преломления дают возможность узнать постоянный коэффициент преломления для перехода светового луча из одной конкретной среды в другую. Например, коэффициент преломления воздуха чрезвычайно мал и составляет 1,0002926, коэффициент преломления воды чуть больше - 1,332986, алмаз преломляет свет с коэффициентом 2,419, а кремний - 4,010.

Данное явление лежит в основе, так называемой Теории радуги. Впервые теория радуги была дана в 1637 году Рене Декартом. Он объяснил радугу, как явление, связанное с отражением и преломлением света в дождевых каплях.

Радуга возникает из-за того, что солнечный свет испытывает преломление в капельках воды, взвешенных в воздухе по закону преломления:

где n 1 =1, n 2 ≈1,33 – соответственно показатели преломления воздуха и воды, α – угол падения, а β – угол преломления света.

Применение тригонометрии в искусстве и архитектуре.

На рисунке 5 ситуация меняется, так как статую поднимают на высоту АС и НС увеличиваются, можно рассчитать значения косинуса угла С, по таблице найдем угол падения взгляда. В процессе можно рассчитать АН, а также синус угла С, что позволит проверить результаты с помощью основного тригонометрического тождества cos 2 a+ sin 2 a = 1.

Тригонометрия в биологии.

Физический биоритм – регулирует физическую активность. В течение первой половины физического цикла человек энергичен, и достигает лучших результатов в своей деятельности (вторая половина – энергичность уступает лености).

Эмоциональный ритм – в периоды его активности повышается чувствительность, улучшается настроение. Человек становится возбудимым к различным внешним катаклизмам. Если у него хорошее настроение, он строит воздушные замки, мечтает влюбиться и влюбляется. При снижении эмоционального биоритма происходит упадок душевных сил, пропадает желание, радостное настроение.

Интеллектуальный биоритм - он распоряжается памятью, способностью к обучению, логическому мышлению. В фазе активности наблюдается подъем, а во второй фазе спад творческой активности, отсутствуют удача и успех.

Теория трех ритмов.

· Физический цикл -23 дня. Определяет энергию, силу, выносливость, координацию движения

· Эмоциональный цикл - 28 дней. Состояние нервной системы и настроение

· Интеллектуальный цикл - 33 дня. Определяет творческую способность личности

Тригонометрия встречается и в природе. Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.

При полёте птицы траектория взмаха крыльев образует синусоиду.

Тригонометрия в медицине.

В результате исследования, проведенного студентом иранского университета Шираз Вахидом-Резой Аббаси, медики впервые получили возможность упорядочить информацию, относящуюся к электрической активности сердца или, другими словами, электрокардиографии.

Заключение

В настоящее время тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел, сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

Выводы:

· Мы выяснили, что тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

· Мы доказали, что тригонометрия тесно связана с физикой, биологией, встречается в природе, архитектуре и медицине.

· Мы думаем, что тригонометрия нашла отражение в нашей жизни, и сферы, в которых она играет важную роль, будут расширяться.

Литература

1. Алимов Ш.А.и др. "Алгебра и начала анализа" Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, М., Просвещение, 2010.

2. Виленкин Н.Я. Функции в природе и техники: Кн. для внеклас. чтения IX-XX кл. – 2-е изд., испр.-М: Просвещение, 1985.

3. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-X кл. - М.: Просвещение, 1983.

4. Маслова Т.Н. «Справочник школьника по математике»

5. Рыбников К.А. История математики: Учебник. - М.: Изд-во МГУ, 1994.

6. Учеба.ru

7. Math.ru «библиотека»

МКОУ «Ненецкая общеобразовательная средняя школа – интернат им. А.П.Пырерки»

Учебный проект

" "

Данилова Татьяна Владимировна

Учитель математики

2013 г.

Обоснование актуальности проекта.

Тригонометрия - это раздел математики, изучающий тригонометрические функции. Сложно представить, но с этой наукой мы сталкиваемся не только на уроках математики, но и в нашей повседневной жизни. Вы могли не подозревать об этом, но тригонометрия встречается в таких науках, как физика, биология, не последнюю роль она играет и в медицине, и, что самое интересное, без нее не обошлось даже в музыке и архитектуре.
Слово тригонометрия впервые появляется в 1505 году в заглавии книги немецкого математика Питискуса.
Тригонометрия – слово греческое, и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigonan – треугольник, metreo - измеряю).
Возникновение тригонометрии было тесно связано с землемерием, астрономией и строительным делом.…

Школьник в 14-15 лет не всегда знает, куда пойдет учиться и где будет работать.
Для некоторых профессий ее знание необходимо, т.к. позволяет измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Принципы тригонометрии, используются и в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

Определение предмета исследования

Почему знания тригонометрии необходимы для современного человека?

3. Цели проекта.

Связь тригонометрии с реальной жизнью.

Проблемный вопрос
1. Какие понятия тригонометрии чаще всего используются в реальной жизни?
2. Какую роль играет тригонометрия в астрономии, физике, биологии и медицине?
3. Как связаны архитектура, музыка и тригонометрия?

Гипотеза

Большинство физических явлений природы, физиологический процессов, закономерностей в музыке и искусстве можно описать с помощью тригонометрии и тригонометрических функций.

Проверка гипотезы

Тригонометрия (от греч. trigonon – треугольник, metro – метрия) – микрораздел математики, в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон треугольников, а также алгебраические тождества тригонометрических функций.

Зачатки тригонометрических познаний зародились в древности. На раннем этапе тригонометрия развивалась в тесной связи с астрономией и являлась ее вспомогательным разделом.

История тригонометрии:

Истоки тригонометрии берут начало в древнем Египте, Вавилонии и долине Инда более 3000 лет назад.

Слово тригонометрия впервые встречается в 1505 году в заглавии книги немецкого математика Питискуса.

Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом и Птолемеем.

Древние люди вычисляли высоту дерева, сравнивая длину его тени с длиной тени от шеста, высота которого была известна. По звездам вычисляли местонахождение корабля в море.

Следующий шаг в развитии тригонометрии был сделан индийцами в период с V по XII в.

Сам термин косинус появился значительно позднее в работах европейских ученых впервые в конце XVI в.из так называемого «синуса дополнения», т.е. синуса угла, дополняющего данный угол до 90° . «Синус дополнения» или (по латыни) sinus complementi стали сокращенно записывать как sinus co или co -sinus .

В XVII – XIX вв. тригонометрия становится одной из глав математического анализа.

Она находит большое применение в механике, физике и технике, особенно при изучении колебательных движений и других периодических процессов.

Жан Фурье доказал, что всякое периодическое движение может быть представлено (с любой степенью точности) в виде суммы простых гармонических колебаний.

Стадии развития тригонометрии:

Тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов.

Первыми шагами тригонометрии было установление связей между величиной угла и отношением специально построенных отрезков прямых. Результат - возможность решать плоские треугольники.

Необходимость табулировать значения вводимых тригонометрических функций.

Тригонометрические функции превращались в самостоятельные объекты исследований.

В XVIII в. тригонометрические функции были включены

в систему математического анализа.

Где применяется тригонометрия

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех сферах жизнедеятельности людей. Следует отметить применение в таких областях как: астрономия, физика, природа, биология, музыка, медицина и многие другие.

Тригонометрия в астрономии:

Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.

Составленные Гиппархом таблицы положений Солнца и Луны позволили предвычислять моменты наступления затмений (с ошибкой 1-2 ч). Гиппарх впервые стал использовать в астрономии методы сферической тригонометрии. Он повысил точность наблюдений, применив для наведения на светило крест нитей в угломерных инструментах - секстантах и квадрантах. Ученый составил огромный по тем временам каталог положений 850 звезд, разделив их по блеску на 6 степеней (звездных величин). Гиппарх ввел географические координаты - широту и долготу, и его можно считать основателем математической географии. (ок. 190 до н. э. - ок. 120 до н. э.)

Достижения Виета в тригонометрии
Полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольников по трем данным элементам, важные разложения sin пх и cos пх по степеням cos х и sinx. Знание формулы синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное математиком А. Рооменом; Виет показал, что решение этого уравнения сводится к разделению угла на 45 равных частей и что существуют 23 положительных корня этого уравнения. Виет решил задачу Аполлония с помощью линейки и циркуля.
Решение сферических треугольников- одна из задач астрономии Вычислять стороны и углы любого сферического треугольника по трем подходящим образом заданным сторонам или углам позволяют следующие теоремы: (теорема синусов) (теорема косинусов для углов) (теорема косинусов для сторон).

Тригонометрия в физике:

В окружающем нас мире приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Эти процессы называются колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям и описываются одинаковыми уравнениями. Существуют разные виды колебательных явлений.

Гармоническое колебание - явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

Где х - значение изменяющейся величины, t - время, А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота колебаний, - полная фаза колебаний, r - начальная фаза колебаний.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде x’’ + ω²x = 0.

Механические колебания . Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно через одинаковые промежутки времени. Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени. Примерами простых механических колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник.

Тригонометрия в природе.

Мы часто задаем вопрос «Почему мы иногда видим то, чего нет на самом деле?» . Для исследования предложены следующие вопросы: «Как возникает радуга? Северное сияние?», «Что такое оптические иллюзии?» ,«Как тригонометрия может помочь найти ответы на эти вопросы?».

Впервые теория радуги была дана в 1637 году Рене Декартом. Он объяснил радугу, как явление, связанное с отражением и преломлением света в дождевых каплях.

Северное сияние Проникновение в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром.

Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу называется силой Лоренца. Она пропорциональна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости движения частицы.

Многофункциональная тригонометрия

Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения.

К тому же в биологии используется такое понятие как синус сонный, синус каротидный и венозный или пещеристый синус.

Тригонометрия и тригонометрические функции в медицине и биологии.

Одно из фундаментальных свойств живой природы - это цикличность большинства происходящих в ней процессов.

Биологические ритмы, биоритмы – это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов.

Основной земной ритм – суточный.

Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций.

Тригонометрия в биологии

Какие биологические процессы связаны с тригонометрией?

Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.

Биологические ритмы, биоритмы связаны с тригонометрией

Связь биоритмов с тригонометрией

Модель биоритмов можно построить с помощью графиков тригонометрических функций. Для этого необходимо ввести дату рождения человека (день, месяц, год) и длительность прогноза

При полёте птицы траектория взмаха крыльев образует синусоиду.

Возникновение музыкальной гармонии

Согласно дошедшим из древности преданиям, первыми, кто попытался сделать это, были Пифагор и его ученики.

Частоты, соответствующие одной и той же ноте в первой, второй и т.д. октавах, относятся, как 1:2:4:8…

диатоническая гамма 2:3:5

Тригонометрия в архитектуре

Детская школа Гауди в Барселоне

Страховая корпорация Swiss Re в Лондоне

Феликс Кандела Ресторан в Лос-Манантиалесе

Интерпретация

Мы привели лишь малую часть того, где можно встретить тригонометрические функции.. Мы выяснили, что тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Мы доказали, что тригонометрия тесно связана с физикой, встречается в природе, медицине. Можно приводить бесконечно много примеров периодических процессов живой и неживой природы. Все периодические процессы можно описать с помощью тригонометрических функций и изобразить на графиках

Мы думаем, что тригонометрия нашла отражение в нашей жизни, и сферы,

в которых она играет важную роль, будут расширяться.

Заключение

Выяснили , что тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Доказали , что тригонометрия тесно связана с физикой, встречается в природе, музыке, астрономии и медицине.

Думаем , что тригонометрия нашла отражение в нашей жизни, и сферы, в которых она играет важную роль, будут расширяться.

7. Литература.

Маслова Т.Н. «Справочник школьника по математике»

Программа Maple6, реализующий изображение графиков

«Википедия»

Учеба.ru

Math.ru «библиотека»

История математики с Древнейших времен до начала XIX столетия в 3-х томах// под ред. А. П. Юшкевича. Москва, 1970г. – том 1-3 Э. Т. Бэлл Творцы математики.

Предшественники современной математики// под ред. С. Н. Ниро. Москва,1983г. А. Н. Тихонов, Д. П. Костомаров.

Рассказы о прикладной математике//Москва, 1979г. А. В. Волошинов. Математика и искусство// Москва, 1992г. Газета Математика. Приложение к газете от 1.09.98г.

Тригонометрия в астрономии:

Составленные Гиппархом таблицы положений Солнца и Луны позволили предвычислять моменты наступления затмений (с ошибкой 1—2 ч). Гиппарх впервые стал использовать в астрономии методы сферической тригонометрии. Он повысил точность наблюдений, применив для наведения на светило крест нитей в угломерных инструментах — секстантах и квадрантах. Ученый составил огромный по тем временам каталог положений 850 звезд, разделив их по блеску на 6 степеней (звездных величин). Гиппарх ввел географические координаты — широту и долготу, и его можно считать основателем математической географии. (ок. 190 до н. э. — ок. 120 до н. э.)

Полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольников по трем данным элементам, важные разложения sin пх и cos пх по степеням cos х и sinx. Знание формулы синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное математиком А. Рооменом; Виет показал, что решение этого уравнения сводится к разделению угла на 45 равных частей и что существуют 23 положительных корня этого уравнения. Виет решил задачу Аполлония с помощью линейки и циркуля.
Решение сферических треугольников- одна из задач астрономии Вычислять стороны и углы любого сферического треугольника по трем подходящим образом заданным сторонам или углам позволяют следующие теоремы: (теорема синусов) (теорема косинусов для углов) (теорема косинусов для сторон).

Тригонометрия в физике:

виды колебательных явлений.

Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

Где х — значение изменяющейся величины, t — время, А — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота колебаний, — полная фаза колебаний, r — начальная фаза колебаний.

Механические колебания . Механическими колебаниями

Тригонометрия в природе.

Мы часто задаем вопрос

Одно из фундаментальных свойств
- это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов.
Основной земной ритм - суточный.

Тригонометрия в биологии

Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.

диатоническая гамма 2:3:5

Тригонометрия в архитектуре

Страховая корпорация Swiss Re в Лондоне

Интерпретация

Мы привели лишь малую часть того, где можно встретить тригонометрические функции.. Мы выяснили

Мы думаем, что тригонометрия нашла отражение в нашей жизни, и сферы,

в которых она играет важную роль, будут расширяться.

Выяснили , что тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.
Доказали
Думаем

Просмотр содержимого документа
«Данилова Т.В.-сценарий»

МКОУ «Ненецкая общеобразовательная средняя школа – интернат им. А.П.Пырерки»

Учебный проект

" "

Данилова Татьяна Владимировна

Учитель математики

Обоснование актуальности проекта.

Определение предмета исследования

3. Цели проекта.

Гипотеза

Проверка гипотезы

Тригонометрия (от греч. trigonon – треугольник, metro – метрия) –

История тригонометрии:

Следующий шаг в развитии тригонометрии был сделан индийцами в период с V по XII в.

Сам термин косинус появился значительно позднее в работах европейских ученых впервые в конце XVI в.из так называемого «синуса дополнения», т.е. синуса угла, дополняющего данный угол до 90°. «Синус дополнения» или (по латыни) sinus complementi стали сокращенно записывать как sinus co или co -sinus .

В XVII – XIX вв. тригонометрия становится одной из глав математического анализа.

в систему математического анализа.

Где применяется тригонометрия

Тригонометрия в астрономии:

Тригонометрия в физике:

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде x’’ + ω²x = 0.

Тригонометрия в природе.

Одно из фундаментальных свойств живой природы - это цикличность большинства происходящих в ней процессов.

Биологические ритмы, биоритмы

Основной земной ритм – суточный.

Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций.

Тригонометрия в биологии

Какие биологические процессы связаны с тригонометрией?

Биологические ритмы, биоритмы связаны с тригонометрией

Возникновение музыкальной гармонии

Согласно дошедшим из древности преданиям, первыми, кто попытался сделать это, были Пифагор и его ученики.

Частоты, соответствующие одной и той же ноте в первой, второй и т.д. октавах, относятся, как 1:2:4:8…

диатоническая гамма 2:3:5

Тригонометрия в архитектуре

Детская школа Гауди в Барселоне

Страховая корпорация Swiss Re в Лондоне

Феликс Кандела Ресторан в Лос-Манантиалесе

Интерпретация

Мы думаем, что тригонометрия нашла отражение в нашей жизни, и сферы,

в которых она играет важную роль, будут расширяться.

Доказали , что тригонометрия тесно связана с физикой, встречается в природе, музыке, астрономии и медицине.

7. Литература.

Программа Maple6, реализующий изображение графиков

«Википедия»

Учеба.ru

Math.ru «библиотека»

Просмотр содержимого презентации
«Данилова Т.В.»

" Тригонометрия в окружающем нас мире и жизни человека "

Цели исследования:

Связь тригонометрии с реальной жизнью.

Проблемный вопрос 1. Какие понятия тригонометрии чаще всего используются в реальной жизни? 2. Какую роль играет тригонометрия в астрономии, физике, биологии и медицине? 3. Как связаны архитектура, музыка и тригонометрия?

Гипотеза

Что такое тригонометрия???

Тригонометрия (от греч. trigonon – треугольник, metro – метрия) – микрораздел математики, в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон треугольников, а также алгебраические тождества тригонометрических функций.

История тригонометрии

Истоки тригонометрии берут начало в древнем Египте, Вавилонии и долине Инда более 3000 лет назад.

Слово тригонометрия впервые встречается в 1505 году в заглавии книги немецкого математика Питискуса.

Древние люди вычисляли высоту дерева, сравнивая длину его тени с длиной тени от шеста, высота которого была известна.

По звездам вычисляли местонахождение корабля в море.

Следующий шаг в развитии тригонометрии был сделан индийцами в период с V по XII в.

В отличие от греков инд ийцы стали рассматривать и употреблять в вычислениях уже не целую хорду ММ  соответствующего центрального угла, а только ее половину МР, т. е. синуса  - половины центрального угла.

Сам термин косинус появился значительно позднее в работах европейских ученых впервые в конце XVI в.из так называемого « синуса дополнения » , т.е. синуса угла, дополняющего данный угол до 90  . « Синус дополнения » или (по латыни) sinus complementi стали сокращенно записывать как sinus co или co-sinus.

Наряду с синусом индийцы ввели в тригонометрию косинус , точнее говоря, стали употреблять в своих вычислениях линию косинуса. Им были известны также соотношения cos  =sin(90  -  ) и sin 2  +cos 2  =r 2 , а также формулы для синуса суммы и разности двух углов.

В XVII – XIX вв. тригонометрия становится

одной из глав математического анализа.

Она находит большое применение в механике,

физике и технике, особенно при изучении

колебательных движений и других

периодических процессов.

О свойствах периодичности тригонометрических функций знал еще Виет, первые математические исследования которого относились к тригонометрии.

Доказал, что всякое периодическое

движение может быть

представлено (с любой степенью

точности) в виде суммы простых

гармонических колебаний.

Основоположник аналитической

теории

тригонометрических функций .

Леонард Эйлер

Во «Введении в анализ бесконечных» (1748 г)

трактует синус, косинус и т.д. не как

тригонометрические линии, обязательно

связанные с окружностью, а как

тригонометрические функции, которые он

рассматривал как отношения сторон

прямоугольного треугольника, как числовые

величины.

Исключил из своих формул

R – целый синус, принимая

R = 1, и упростил таким

образом записи и вычисления.

Разрабатывает учение

о тригонометрических функциях

любого аргумента.

В XIX веке продолжил

развитие теории

тригонометрических

функций.

Н.И.Лобачевский

« Геометрические рассмотрения,- пишет Лобачевский,- необходимы до тех пор в начале тригонометрии, покуда они не послужат к открытию отличительного свойства тригонометрических функций… Отсюда делается тригонометрия совершенно независимой от геометрии и имеет все достоинства анализа».

Стадии развития тригонометрии:

Тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов.

Первыми шагами тригонометрии было установление связей между величиной угла и отношением специально построенных отрезков прямых. Результат - возможность решать плоские треугольники.

Необходимость табулировать значения вводимых тригонометрических функций.

Тригонометрические функции превращались в самостоятельные объекты исследований.

В XVIII в. тригонометрические функции были включены

в систему математического анализа.

Где применяется тригонометрия

Тригонометрия в астрономии

Значительных высот достигла тригонометрия и у индийских средневековых астрономов.

Главным достижением индийских астрономов стала замена хорд

синусами, что позволило вводить различные функции, связанные

со сторонами и углами прямоугольного треугольника.

Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии

как учению о тригонометрических величинах.

Гиппарх

Тригонометрия в физике

В окружающем нас мире приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Эти процессы называются колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям и описываются одинаковыми уравнениями. Существуют разные виды колебательных явлений, например:

Механические колебания

Гармонические колебания

Гармонические колебания

Гармоническое колебание - явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

или

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде x’’ + ω²x = 0.

Механические колебания

Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно через одинаковые промежутки времени. Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени.

Примерами простых механических колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник.

Математический маятник

На рисунке изображены колебания маятника, он движется по кривой, называемой косинусом.

Траектория пули и проекции векторов на оси X и Y

Из рисунка видно, что проекции векторов на оси Х и У соответственно равны

υ x = υ o cos α

υ y = υ o sin α

Тригонометрия в природе

Оптические иллюзии

естественные

искусственные

смешанные

Теория радуги

Радуга возникает из-за того, что солнечный свет испытывает преломление в капельках воды, взвешенных в воздухе по закону преломления:

sin α / sin β = n 1 / n 2

Северное сияние

Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения.

К тому же в биологии используется такое понятие как синус сонный, синус каротидный и венозный или пещеристый синус.

Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.

Одно из фундаментальных свойств живой природы - это цикличность большинства происходящих в ней процессов.

Биологические ритмы, биоритмы – это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов.

Основной земной ритм – суточный.

Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций.

Тригонометрия в биологии

Какие биологические процессы связаны с тригонометрией?

Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.
Биологические ритмы, биоритмы связаны с тригонометрией.

Модель биоритмов можно построить с помощью графиков тригонометрических функций.

Для этого необходимо ввести дату рождения человека (день, месяц, год) и длительность прогноза.

Тригонометрия в биологии

При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.

Возникновение музыкальной гармонии

Согласно дошедшим из древности преданиям, первыми, кто попытался сделать это, были Пифагор и его ученики.

Частоты, соответствующие

одной и той же ноте в первой, второй и т.д. октавах, относятся, как 1:2:4:8…

диатоническая гамма 2:3:5

У музыки есть своя геометрия

Тетраэдр из различных типов аккордов четырех звуков:

синий – малые интервалы;

более теплые тона - более «разряженные» звуки аккорда; красная сфера- наиболее гармоничный аккорд с равными интервалами между нотами.

cos 2 С + sin 2 С = 1

АС – расстояние от верха статуи до глаз человека,

АН – высота статуи,

sin С - синус угла падения взгляда.

Тригонометрия в архитектуре

Детская школа Гауди в Барселоне

Страховая корпорация Swiss Re в Лондоне

y = f (λ)cos θ

z = f (λ)sin θ

Феликс Кандела Ресторан в Лос-Манантиалесе

Выяснили , что тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Доказали , что тригонометрия тесно связана с физикой, встречается в природе, музыке, астрономии и медицине.

Думаем , что тригонометрия нашла отражение в нашей жизни, и сферы, в которых она играет важную роль, будут расширяться.

Тригонометрия прошла длинный путь развития. И теперь, мы можем с уверенностью сказать, что тригонометрия не зависит от других наук, а другие науки зависят от тригонометрии.

Маслова Т.Н. «Справочник школьника по математике»
Программа Maple6, реализующий изображение графиков
«Википедия»
Учеба.ru
Math.ru «библиотека»
История математики с Древнейших времен до начала XIX столетия в 3-х томах// под ред. А. П. Юшкевича. Москва, 1970г. – том 1-3 Э. Т. Бэлл Творцы математики.
Предшественники современной математики// под ред. С. Н. Ниро. Москва,1983г. А. Н. Тихонов, Д. П. Костомаров.
Рассказы о прикладной математике//Москва, 1979г. А. В. Волошинов. Математика и искусство// Москва, 1992г. Газета Математика. Приложение к газете от 1.09.98г.

Применение обратных тригонометрических функций в жизни. История тригонометрии: возникновение и развитие

Просмотр содержимого документа «Данилова Т.В.-сценарий»

Просмотр содержимого презентации «Данилова Т.В.»

Просмотр содержимого документа
«Данилова Т.В.-сценарий»

Просмотр содержимого презентации
«Данилова Т.В.»