Метод наименьших квадратов в экселе наклон энергетика. Метод наименьших квадратов в Excel

Метод наименьших квадратов (МНК) основан на минимизации суммы квадратов отклонений выбранной функции от исследуемых данных. В этой статье аппроксимируем имеющиеся данные с помощью линейной функции y = a x + b .

Метод наименьших квадратов (англ. Ordinary Least Squares , OLS ) является одним из базовых методов регрессионного анализа в части оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным.

Рассмотрим приближение функциями, зависящими только от одной переменной:

Линейная: y=ax+b (эта статья)
: y=a*Ln(x)+b
: y=a*x m
: y=a*EXP(b*x)+с
: y=ax 2 +bx+c

Примечание : Случаи приближения полиномом с 3-й до 6-й степени рассмотрены в этой статье. Приближение тригонометрическим полиномом рассмотрено здесь.

Линейная зависимость

Нас интересует связь 2-х переменных х и y . Имеется предположение, что y зависит от х по линейному закону y = ax + b . Чтобы определить параметры этой взаимосвязи исследователь провел наблюдения: для каждого значения х i произведено измерение y i (см. файл примера ). Соответственно, пусть имеется 20 пар значений (х i ; y i).

Примечание: Если шаг изменения по х постоянен, то для построения диаграммы рассеяния можно использовать , если нет, то необходимо использовать тип диаграммы Точечная .

Из диаграммы очевидно, что связь между переменными близка к линейной. Чтобы понять какая из множества прямых линий наиболее «правильно» описывает зависимость между переменными, необходимо определить критерий, по которому будут сравниваться линии.

В качестве такого критерия используем выражение:

где ŷ i = a * x i + b ; n – число пар значений (в нашем случае n=20)

Вышеуказанное выражение представляет собой сумму квадратов расстояний между наблюденными значениями y i и ŷ i и часто обозначается как SSE ( Sum of Squared Errors ( Residuals ), сумма квадратов ошибок (остатков) ) .

Метод наименьших квадратов заключается в подборе такой линии ŷ = ax + b , для которой вышеуказанное выражение принимает минимальное значение.

Примечание: Любая линия в двухмерном пространстве однозначно определяется значениями 2-х параметров: a (наклон) и b (сдвиг).

Считается, что чем меньше сумма квадратов расстояний, тем соответствующая линия лучше аппроксимирует имеющиеся данные и может быть в дальнейшем использована для прогнозирования значений y от переменной х. Понятно, что даже если в действительности никакой взаимосвязи между переменными нет или связь нелинейная, то МНК все равно подберет «наилучшую» линию. Таким образом, МНК ничего не говорит о наличии реальной взаимосвязи переменных, метод просто позволяет подобрать такие параметры функции a и b , для которых вышеуказанное выражение минимально.

Проделав не очень сложные математические операции (подробнее см. ), можно вычислить параметры a и b :

Как видно из формулы, параметр a представляет собой отношение ковариации и , поэтому в MS EXCEL для вычисления параметра а можно использовать следующие формулы (см. файл примера лист Линейная ):

= КОВАР(B26:B45;C26:C45)/ ДИСП.Г(B26:B45) или

= КОВАРИАЦИЯ.В(B26:B45;C26:C45)/ДИСП.В(B26:B45)

Также для вычисления параметра а можно использовать формулу = НАКЛОН(C26:C45;B26:B45) . Для параметра b используйте формулу = ОТРЕЗОК(C26:C45;B26:B45) .

И наконец, функция ЛИНЕЙН() позволяет вычислить сразу оба параметра. Для ввода формулы ЛИНЕЙН(C26:C45;B26:B45) необходимо выделить в строке 2 ячейки и нажать CTRL + SHIFT + ENTER (см. статью про ). В левой ячейке будет возвращено значение а , в правой – b .

Примечание : Чтобы не связываться с вводом формул массива потребуется дополнительно использовать функцию ИНДЕКС() . Формула = ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C26:C45;B26:B45);1) или просто = ЛИНЕЙН(C26:C45;B26:B45) вернет параметр, отвечающий за наклон линии, т.е. а . Формула = ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C26:C45;B26:B45);2) вернет параметр, отвечающий за пересечение линии с осью Y, т.е. b .

Вычислив параметры, на диаграмме рассеяния можно построить соответствующую линию.

Еще одним способом построения прямой линии по методу наименьших квадратов является инструмент диаграммы Линия тренда . Для этого выделите диаграмму, в меню выберите вкладку Макет , в группе Анализ нажмите Линия тренда , затем Линейное приближение .

Поставив в диалоговом окне галочку в поле «показывать уравнение на диаграмме» можно убедиться, что найденные выше параметры совпадают со значениями на диаграмме.

Примечание : Для того, чтобы параметры совпадали необходимо, чтобы тип у диаграммы был . Дело в том, что при построении диаграммы График значения по оси Х не могут быть заданы пользователем (пользователь может указать только подписи, которые не влияют на расположение точек). Вместо значений Х используется последовательность 1; 2; 3; … (для нумерации категорий). Поэтому, если строить линию тренда на диаграмме типа График , то вместо фактических значений Х будут использованы значения этой последовательности, что приведет к неверному результату (если, конечно, фактические значения Х не совпадают с последовательностью 1; 2; 3; …).

Ну вот, на работе перед инспекцией отчитались, статья дома для конференции написана — можно теперь и в блог писать. Пока данные свои обрабатывал, понял, что не могу не написать про очень классную и нужную надстройку в Excel, которая называется . Так что статья будет посвящена именно этой надстройке, и расскажу я о ней на примере использования метода наименьших квадратов (МНК) для поиска неизвестных коэффициентов уравнения при описании экспериментальных данных.

Как включить надстройку «поиск решения»

Для начала разберемся, как эту надстройку включить.

1. Идем в меню «Файл» и выбираем пункт «Параметры Excel»

2. В появившемся окне выбираем «Поиск решения» и нажимаем «перейти».

3. В следующем окне ставим галочку напротив пункта «поиск решения» и нажимаем «ОК».

4. Надстройка активирована — теперь ее можно найти в пункте меню «Данные».

Метод наименьших квадратов

Теперь вкратце о методе наименьших квадратов (МНК) и о том, где его можно применять.

Допустим, у нас есть набор данных после совершения нами какого-то эксперимента, где мы изучали влияния величины Х на величину Y.

Мы хотим это влияние описать математически, чтобы потом этой формулой пользоваться и знать, что, если мы поменяем величину Х на столько-то, получим величину Y такую-то...

Возьму супер-простой пример (см. рис.).

Ежу понятно, что точки расположились друг за другом как будто по прямой, а потому мы смело предполагаем, что наша зависимость описывается линейной функцией y=kx+b. При этом мы точно уверены, что при X равном нулю значение Y тоже равно нулю. Значит, функция, описывающая зависимость, будет еще проще: y=kx (вспоминаем школьную программу).

В общем, нам предстоит найти коэффициент k. Вот это мы и сделаем с помощью МНК с применением надстройки «поиск решения».

Метод заключается в том, чтобы (здесь — внимание: нужно вдуматься) сумма квадратов разностей экспериментально полученных и соответствующих расчетных значений была минимальной. То есть когда X1=1 реально измеренное значение Y1=4,6, а расчетное y1=f (x1) равно 4, квадрат разности будет (y1-Y1)^2=(4-4,6)^2=0,36. Со следующими так же: когда X2=2, реально измеренное значение Y2=8,1, а расчетное у2 равно 8, квадрат разности будет (y2-Y2)^2=(8-8,1)^2=0,01. И сумма всех этих квадратов должна быть минимально возможной.

Итак, приступим к тренировке по использованию МНК и надстройки Excel «поиск решения» .

Применение надстройки поиск решения

1. Если не включили надстройку «поиск решения», то возвращаемся к пункту Как включить надстройку «поиск решения» и включаем 🙂

2. В ячейку А1 введем значение «1». Эта единица будет первым приближением к реальному значению коэффициента (k) нашей функциональной зависимости y=kx.

3. В столбце B у нас расположились значения параметра X, в столбце C — значения параметра Y. В ячейках столбца D вводим формулу: «коэффициент k умножить на значение Х». Например, в ячейке D1 вводим «=A1*B1», в ячейке D2 вводим "=A1*B2" и т.д.

4. Мы считаем, что коэффициент к равен единице и функция f (x)=у=1*х – это первое приближение к нашему решению. Можем рассчитать сумму квадратов разностей между измеренными значениями величины Y и рассчитанными по формуле y=1*х. Можем все это сделать вручную, вбивая в формулу соответствующие ссылки на ячейки: "=(D2-C2)^2+(D3-C3)^2+(D4-C4)^2... и т.д. В конце концов ошибаемся и понимаем, что потеряли кучу времени. В Excel для расчета суммы квадратов разностей есть специальная формула, «СУММКВРАЗН», которая все за нас и сделает. Введем ее в ячейку А2 и зададим исходные данные: диапазон измеренных значений Y (столбец C) и диапазон рассчитанных значений Y (столбец D).

4. Сумму разностей квадратов рассчитали – теперь идем во вкладку «Данные» и выбираем «Поиск решения».

5. В появившемся меню в качестве изменяемой ячейки выбираем ячейку A1 (та, что с коэффициентом k).

6. В качестве целевой выбираем ячейку A2 и задаем условие «установить равной минимальному значению». Помним, что это ячейка, где у нас производится расчёт суммы квадратов разностей расчетного и измеренного значений, и сумма эта должна быть минимальной. Нажимаем «выполнить».

7. Коэффициент k подобран. Теперь можно убедиться, что рассчитанные значения теперь очень близки к измеренным.

P.S.

Вообще, конечно, для аппроксимации экспериментальных данных в Excel существуют специальные инструменты, которые позволяют осуществлять описание данных с помощью линейной, экспоненциальной, степенной и полиномиальной функцией, поэтому часто можно обойтись и без надстройки «поиск решения» . Обо всех этих способах апппроксимации я рассказывал в своем , так что если интересно, — посмотрите. А вот когда дело касается какой-нибудь экзотической функции с одним неизвестным коэффициентом или задач оптимизации, то здесь надстройка как нельзя кстати.

Надстройку «поиск решения» можно использовать и для других задач, главное — понять суть: есть ячейка, где мы подбираем значение, а есть целевая ячейка, в которой задано условие для подбора неизвестного параметра.
Вот и все! В следующей статье расскажу сказку про отпуск, так что, чтобы не проворонить выход статьи,

Он имеет множество применений, так как позволяет осуществлять приближенное представление заданной функции другими более простыми. МНК может оказаться чрезвычайно полезным при обработке наблюдений, и его активно используют для оценки одних величин по результатам измерений других, содержащих случайные ошибки. Из этой статьи вы узнаете, как реализовать вычисления по методу наименьших квадратов в Excel.

Постановка задачи на конкретном примере

Предположим, имеются два показателя X и Y. Причем Y зависит от X. Так как МНК интересует нас с точки зрения регрессионного анализа (в Excel его методы реализуются с помощью встроенных функций), то стоит сразу же перейти к рассмотрению конкретной задачи.

Итак, пусть X — торговая площадь продовольственного магазина, измеряемая в квадратных метрах, а Y — годовой товарооборот, определяемый в миллионах рублей.

Требуется сделать прогноз, какой товарооборот (Y) будет у магазина, если у него та или иная торговая площадь. Очевидно, что функция Y = f (X) возрастающая, так как гипермаркет продает больше товаров, чем ларек.

Несколько слов о корректности исходных данных, используемых для предсказания

Допустим, у нас есть таблица, построенная по данным для n магазинов.

Согласно математической статистике, результаты будут более-менее корректными, если исследуются данные по хотя бы 5-6 объектам. Кроме того, нельзя использовать «аномальные» результаты. В частности, элитный небольшой бутик может иметь товарооборот в разы больший, чем товарооборот больших торговых точек класса «масмаркет».

Суть метода

Данные таблицы можно изобразить на декартовой плоскости в виде точек M 1 (x 1 , y 1), … M n (x n , y n). Теперь решение задачи сведется к подбору аппроксимирующей функции y = f (x), имеющей график, проходящий как можно ближе к точкам M 1, M 2, .. M n .

Конечно, можно использовать многочлен высокой степени, но такой вариант не только труднореализуем, но и просто некорректен, так как не будет отражать основную тенденцию, которую и нужно обнаружить. Самым разумным решением является поиск прямой у = ax + b, которая лучше всего приближает экспериментальные данные, a точнее, коэффициентов - a и b.

Оценка точности

При любой аппроксимации особую важность приобретает оценка ее точности. Обозначим через e i разность (отклонение) между функциональными и экспериментальными значениями для точки x i , т. е. e i = y i - f (x i).

Очевидно, что для оценки точности аппроксимации можно использовать сумму отклонений, т. е. при выборе прямой для приближенного представления зависимости X от Y нужно отдавать предпочтение той, у которой наименьшее значение суммы e i во всех рассматриваемых точках. Однако, не все так просто, так как наряду с положительными отклонениями практически будут присутствовать и отрицательные.

Решить вопрос можно, используя модули отклонений или их квадраты. Последний метод получил наиболее широкое распространение. Он используется во многих областях, включая регрессионный анализ (в Excel его реализация осуществляется с помощью двух встроенных функций), и давно доказал свою эффективность.

Метод наименьших квадратов

В Excel, как известно, существует встроенная функция автосуммы, позволяющая вычислить значения всех значений, расположенных в выделенном диапазоне. Таким образом, ничто не помешает нам рассчитать значение выражения (e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 + ... e n 2).

В математической записи это имеет вид:

Так как изначально было принято решение об аппроксимировании с помощью прямой, то имеем:

Таким образом, задача нахождения прямой, которая лучше всего описывает конкретную зависимость величин X и Y, сводится к вычислению минимума функции двух переменных:

Для этого требуется приравнять к нулю частные производные по новым переменным a и b, и решить примитивную систему, состоящую из двух уравнений с 2-мя неизвестными вида:

После нехитрых преобразований, включая деление на 2 и манипуляции с суммами, получим:

Решая ее, например, методом Крамера, получаем стационарную точку с некими коэффициентами a * и b * . Это и есть минимум, т. е. для предсказания, какой товарооборот будет у магазина при определенной площади, подойдет прямая y = a * x + b * , представляющая собой регрессионную модель для примера, о котором идет речь. Конечно, она не позволит найти точный результат, но поможет получить представление о том, окупится ли покупка в кредит магазина конкретной площади.

Как реализоавать метод наименьших квадратов в Excel

В "Эксель" имеется функция для расчета значения по МНК. Она имеет следующий вид: «ТЕНДЕНЦИЯ» (известн. значения Y; известн. значения X; новые значения X; конст.). Применим формулу расчета МНК в Excel к нашей таблице.

Для этого в ячейку, в которой должен быть отображен результат расчета по методу наименьших квадратов в Excel, введем знак «=» и выберем функцию «ТЕНДЕНЦИЯ». В раскрывшемся окне заполним соответствующие поля, выделяя:

диапазон известных значений для Y (в данном случае данные для товарооборота);
диапазон x 1 , …x n , т. е. величины торговых площадей;
и известные, и неизвестные значения x, для которого нужно выяснить размер товарооборота (информацию об их расположении на рабочем листе см. далее).

Кроме того, в формуле присутствует логическая переменная «Конст». Если ввести в соответствующее ей поле 1, то это будет означать, что следует осуществить вычисления, считая, что b = 0.

Если нужно узнать прогноз для более чем одного значения x, то после ввода формулы следует нажать не на «Ввод», а нужно набрать на клавиатуре комбинацию «Shift» + «Control»+ «Enter» («Ввод»).

Некоторые особенности

Регрессионный анализ может быть доступен даже чайникам. Формула Excel для предсказания значения массива неизвестных переменных — «ТЕНДЕНЦИЯ» — может использоваться даже теми, кто никогда не слышал о методе наименьших квадратов. Достаточно просто знать некоторые особенности ее работы. В частности:

Если расположить диапазон известных значений переменной y в одной строке или столбце, то каждая строка (столбец) с известными значениями x будет восприниматься программой в качестве отдельной переменной.
Если в окне «ТЕНДЕНЦИЯ» не указан диапазон с известными x, то в случае использования функции в Excel программа будет рассматривать его как массив, состоящий из целых чисел, количество которых соответствует диапазону с заданными значениями переменной y.
Чтобы получить на выходе массив «предсказанных» значений, выражение для вычисления тенденции нужно вводить как формулу массива.
Если не указаны новые значения x, то функция «ТЕНДЕНЦИЯ» считает их равным известным. Если и они не заданы, то в качестве аргумента берется массив 1; 2; 3; 4;…, который соразмерен диапазону с уже заданными параметрами y.
Диапазон, содержащий новые значения x должен состоять из такого же или большего количества строк или столбцов, как диапазон с заданными значениями y. Иными словами он должен быть соразмерным независимым переменным.
В массиве с известными значениями x может содержаться несколько переменных. Однако если речь идет лишь об одной, то требуется, чтобы диапазоны с заданными значениями x и y были соразмерны. В случае нескольких переменных нужно, чтобы диапазон с заданными значениями y вмещался в одном столбце или в одной строке.

Функция «ПРЕДСКАЗ»

Реализуется с помощью нескольких функций. Одна из них называется «ПРЕДСКАЗ». Она аналогична «ТЕНДЕНЦИИ», т. е. выдает результат вычислений по методу наименьших квадратов. Однако только для одного X, для которого неизвестно значение Y.

Теперь вы знаете формулы в Excel для чайников, позволяющие спрогнозировать величину будущего значения того или иного показателя согласно линейному тренду.

Метод наименьших квадратов представляет собой математическую процедуру построения линейного уравнения, которое бы наиболее точно соответствовало набору двух рядов чисел. Целью применения данного способа является минимизация общей квадратичной ошибки. В программе Excel имеются инструменты, с помощью которых можно применять данный метод при вычислениях. Давайте разберемся, как это делается.

Метод наименьших квадратов (МНК) является математическим описанием зависимости одной переменной от второй. Его можно использовать при прогнозировании.

Включение надстройки «Поиск решения»

Для того, чтобы использовать МНК в Экселе, нужно включить надстройку «Поиск решения» , которая по умолчанию отключена.

Теперь функция Поиск решения в Excel активирована, а её инструменты появились на ленте.

Условия задачи

Опишем применение МНК на конкретном примере. Имеем два ряда чисел x и y , последовательность которых представлена на изображении ниже.

Наиболее точно данную зависимость может описать функция:

При этом, известно что при x=0 y тоже равно 0 . Поэтому данное уравнение можно описать зависимостью y=nx .

Нам предстоит найти минимальную сумму квадратов разности.

Решение

Перейдем к описанию непосредственного применения метода.

Как видим, применение метода наименьших квадратов довольно сложная математическая процедура. Мы показали её в действии на простейшем примере, а существуют гораздо более сложные случаи. Впрочем, инструментарий Microsoft Excel призван максимально упростить производимые вычисления.

Метод наименьших квадратов (МНК) относится к сфере регрессионного анализа. Он имеет множество применений, так как позволяет осуществлять приближенное представление заданной функции другими более простыми. МНК может оказаться чрезвычайно полезным при обработке наблюдений, и его активно используют для оценки одних величин по результатам измерений других, содержащих случайные ошибки. Из этой статьи вы узнаете, как реализовать вычисления по методу наименьших квадратов в Excel.

Постановка задачи на конкретном примере

Несколько слов о корректности исходных данных, используемых для предсказания

Допустим, у нас есть таблица, построенная по данным для n магазинов.

Суть метода

Оценка точности

Метод наименьших квадратов

В математической записи это имеет вид:

Так как изначально было принято решение об аппроксимировании с помощью прямой, то имеем:

После нехитрых преобразований, включая деление на 2 и манипуляции с суммами, получим:

Как реализоавать метод наименьших квадратов в Excel

диапазон известных значений для Y (в данном случае данные для товарооборота);
диапазон x 1 , …x n , т. е. величины торговых площадей;
и известные, и неизвестные значения x, для которого нужно выяснить размер товарооборота (информацию об их расположении на рабочем листе см. далее).

Некоторые особенности

Если расположить диапазон известных значений переменной y в одной строке или столбце, то каждая строка (столбец) с известными значениями x будет восприниматься программой в качестве отдельной переменной.
Если в окне «ТЕНДЕНЦИЯ» не указан диапазон с известными x, то в случае использования функции в Excel программа будет рассматривать его как массив, состоящий из целых чисел, количество которых соответствует диапазону с заданными значениями переменной y.
Чтобы получить на выходе массив «предсказанных» значений, выражение для вычисления тенденции нужно вводить как формулу массива.
Если не указаны новые значения x, то функция «ТЕНДЕНЦИЯ» считает их равным известным. Если и они не заданы, то в качестве аргумента берется массив 1; 2; 3; 4;…, который соразмерен диапазону с уже заданными параметрами y.
Диапазон, содержащий новые значения x должен состоять из такого же или большего количества строк или столбцов, как диапазон с заданными значениями y. Иными словами он должен быть соразмерным независимым переменным.
В массиве с известными значениями x может содержаться несколько переменных. Однако если речь идет лишь об одной, то требуется, чтобы диапазоны с заданными значениями x и y были соразмерны. В случае нескольких переменных нужно, чтобы диапазон с заданными значениями y вмещался в одном столбце или в одной строке.

Функция «ПРЕДСКАЗ»

Регрессионный анализ в Excel реализуется с помощью нескольких функций. Одна из них называется «ПРЕДСКАЗ». Она аналогична «ТЕНДЕНЦИИ», т. е. выдает результат вычислений по методу наименьших квадратов. Однако только для одного X, для которого неизвестно значение Y.