Троичная логика или разница между "Не" и "Ни". О хромой двоичной логике и правильной троичной Отрывок, характеризующий Троичная логика

Трехзначная логика - раздел логики, в котором высказывания могут иметь три истинностных значения: истина, ложь и неопределенное.

Трехзначная логика применима в ситуациях, на которые не распространяется закон исключенного третьего.

Первую систему трехзначной логики разработал в 1920 г. польский логик Ян Лукасевич. Рассмотрим ее идеи.

Вводятся три истинностных значения: 1 (истинно), 1/2 (неопределенно), 0 (ложно), и операции отрицание, импликация, дизъюнкция и конъюнкция.

Особенностью системы Лукасевича является использование бесскобочной записи высказывании.

Перейдем к определению истинностных значений формул в трехзначной логике.

Истинностное значение отрицания высказывания а определяется формулой: Na = 1-а.

Истинностное значение конъюнктивного высказывания определяется формулой: &ab = min (а, b).

Истинностное значение дизъюнктивного высказывания определяется формулой: Vab = max (а, b), Истинностное значение импликативного высказывания определяется формулой:

→ab = min (1,1 -a+b).

Получается, что, исключив строки, в которых высказывания а и b имеют истинностное значение 1/2, мы автоматически переходим к двухзначной логике.

В обычной двухзначной логике имеются тождества, позволяющие заменять высказывание с импликацией на высказывания с дизъюнкцией или с конъюнкцией, это так называемые правила устранения импликации:a→b ≡ ~avb | a→b ≡ ~(a ~b). В трехзначной логике Лукасевича им должны соответствовать тождества: Cab ≡ ANab, Cab ≡ NKaNa. Посмотрим, выполняются ли эти тождества.

Сравнивая значения формул Cab, ANab, NKaNa по строчкам, мы видим, что они совпадают. Следовательно, в трехзначной логике Лукасевича также действуют тождества, позволяющие заменять формулу с импликацией на формулы с конъюнкцией или дизъюнкцией.

В трехзначной логике Лукасевича правила де Моргана выполняются.

В Двухзначной логике формулы a→(b→a), а→а, ~(a→~a), av~a являются тавтологиями, т.е. они истинны при любых значениях а и b. Причем второй, третьей и четвертой тавтологиям соответствуют законы тождества, противоречия (непротиворечия) и исключенного третьего.

В трехзначной логике Лукасевича выполняется закон тождества. Законы противоречия (непротиворечия) и исключенного третьего не выполняются в трехзначной логике Лукасевича.

В дальнейшем Лукасевичем и другими логиками (Э. Пост, С. Яськовский, Е. Слупецкой, Д. Вебб, Дж. Россер) были созданы различные варианты многозначных, в том числе бесконечнозначных, логик, в которых истинностными значениями служат числа, входящие в интервал от 0 до 1. Эти логики используются для решения логических парадоксов, проблем теории вероятностей, при разработке теории информационно-логических машин и т.д. В то же время необходимо подчеркнуть, что многозначные логики не заменяют обычную двузначную логику, которая остается необходимой в качестве метаязыка для описания свойств самой многозначной, в том числе трехзначной, логики.

Понятие релевантной логики. Парадоксы материальной импликации и логического следования. Различные виды условной связи и понятие релевантного следования.

Релевантная логика есть раздел современной неклассической логики, в которой исследуются понятия условной связи и логического следования, свободные от парадоксов материальной импликации и классического следования.

Парадоксы материальной импликации – несоответствие нашей интуиции об истинности условного высказывания (предложения), сформулированного на естественном языке, с приведенным выше табличным определением материальной импликации.

Материальная – такая импликация, которая используется в классической логике, когда из лжи следует все, что угодно, но она является истинной. (если 2+2=4, то Москва – столица России)

Другие парадоксы материальной импликации: из логического противоречия имплицируется все, что угодно, общезначимое выражение имплицируется из чего угодно.

Материальная импликация обладает целым рядом свойств, не совпадающих с нашей интуицией, и в этом смысле она является «парадоксальной». Эта парадоксальность распространяется также и на классическое понятие логического следования, т.к. предложения о логическом следовании тесно связаны с импликативными предложениями посредством соотношения:

А => В равносильно Если А, то В.

Учитывая эту связь, в классической логике легко воспроизводятся следующие несоответствующие нашей интуиции утверждения о логическом следовании: из противоречия следует все, что угодно; тавтология логически следует из чего угодно.

Требования:

1. Релевантная импликация и релевантное следование должны выполнять все свойства классической импликации.

2. Принцип релевантности – у антицедента и консегвента релевантного следования должны быть общие дескриптивные элементы.

3. Не должны быть доказуемы парадоксы материальной импликации.

Релевантное следствие – уместное следование, только суждение, имеющее общее содержание.

Виды импликации:

Строгая импликация – необходимая материальная импликация (логическая необходимость)

Сильная (интенсиональная) импликация

Непарадоксальная импликация (соотвествует если..то)

Релевантная

Материальная

28. Паранепротиворечивые логики. Относительная и абсолютная противоречивость.(НАЙТИ!!!)

Объективными основами их появления явления стремление отразить средствами логики специфику мышления человека о переходных состояниях, которые наблюдаются в природе, обществе и познании. В природе и обществе происходят изменения, предметы и их свойства переходят в свою противоположность, поэтому нередки переходные состояния, переход от незнания или неполного знания к более полному и точному. Действие законов двухзначной логики – закона исключенного третьего и закона непротиворечия – в этих ситуациях ограничено или вообще неприменимо.

В определенном временном интервале в паранепротиворечивых логиках допускается как истинность высказывания А, так и не-А. Паранепротиворечивые логики – логические исчисления, которые могут лежать в основе противоречивых формальных теорий.

Логика должна удовлетворять следующим условиям:

1. из двух противоречащих формул А и не-А в общем случае нельзя вывести произвольную формулу В.

2. дедуктивные средства классической логики должны быть максимально сохранены, поскольку они основа всех обычных рассуждений.

Закон непротиворечия не является тождественно-истинной формулой (тавтологией).

У Н.А. Васильева..закон исключенного четвертого: мысль может быть истинной, ложной, противоречивой, а четвертого не дано.

При создании исчислений стремятся к тому, чтобы запрет на противоречия был не отменен, а только ограничен, чтобы допуск противоречия не означал возможность все, что угодно утверждать и все, что угодно, отрицать.

Непротиворечивость:

В абсолютном смысле – существуют недоказуемые формулы

В относительном смысле –недоказуемы А и не-А

Паранепротиворечивая логика:

1. Система должны быть непротиворечива в абсолютном смысле.

2. Система может быть противоречива в относительном смысле (можно доказать А и не-А)

Модальная логика.

Неклассические логики - совокупность логических систем, отличающихся от обычной, так называемой классической логики тем, что в них либо не действуют те или иные законы (например, закон исключенного третьего или закон противоречия), или вводится больше чем два (истина и ложь) истинностных значения, или по каким-то другим критериям. Среди таких систем обычно называют интуиционистскую, модальную, временную, многозначную, паранепротиворечивую логики, логику нечетких понятий и др

Модальная логика

суждение состоит из субъекта, предиката, связки и квантора, а также о том, что связка и квантор часто опускаются, но имеются в виду.

Сделаем добавление. В суждениях неявно, а иногда явно, может присутствовать еще один элемент. Он выражается словами «возможно», «необходимо», «невозможно», «известно», «уверен», «надеюсь», «запрещено», «разрешено», «истинно», «ложно» и т.д. Это - модальные операторы. Примеры:

Известно, что все мушкетеры служили королю Франции.

Запрещено переходить перекресток на красный цвет.

В дальнейшем вместо слова «суждение» будем снова употреблять «высказывание».

Раздел логики, который исследует свойства высказываний с модальными операторами, называется модальной логикой.

Модальная логика предназначена для того, чтобы различать суждения. Говорит не только об истинности суждения, но и о характере предписывающих значений.

1. Алетическая (истинная) модальность выражает характер связи между мыслимыми субъектами, т.е. между S и Р.

Модальные слова: возможно, вероятно, точно, случайно, необходимо, может быть, не исключается, "допускается" и др..

Модальность:

а) суждение о факте. S есть Р.

б) вероятность суждения или вероятность чего-либо: S, вероятно, есть Р.

в) суждение о необходимости чего-либо: S, необходимо, есть Р.

Обычно 3 модальных оператора: необходимо, возможно и случайно.

2. ЭПИСТЕМИЧЕСКАЯ МОДАЛЬНОСТЬ. Этот тип модальности - выраженная в суждении информация о характере принятия и степени обоснованности знания. Это характеристики наших знаний. Данная модальность выражается в терминах "доказано", "опровергнуто", "не доказано и не опровергнуто", "знает", "верит", "убежден", "сомневается". Название эпистемической модальности происходит от греческого "эпистема", означавшего в античной философии высший тип несомненного, достоверного знания. Мы можем принимать знания некритически, на основе веры ("Верю, что бывают синие коты" или "Отвергаю то, что марсиане прилетали на Землю"), или принимать их только на основе знания ("Доказано, что все люди смертны" и "Доказано, что все люди не являются смертными").

3. ДЕОНТИЧЕСКАЯ МОДАЛЬНОСТЬ. Данный тип модальности - выраженное в суждении побуждение людей к конкретным действиям в форме совета, пожелания, команды, правила поведения или приказа. Другими словами, это характеристики действий и поступков людей в обществе. Данная модальность выражается в терминах "обязательно", "разрешено", "запрещено", "безразлично" (аналог алетической модальности "случайно"). К деонтическим относятся высказывания типа "Запрещается переходить улицу на красный свет", "Курить в аудитории не разрешается". К деонтическим относятся различного рода нормативные высказывания, в том числе и нормы права, т. е. официально принятые общеобязательные правила поведения, регулирующие правовые отношения в социальной среде.

4. ВРЕМЕННАЯ МОДАЛЬНОСТЬ. Временная модальность суждений - это выраженная в суждении информация о последовательности наступления событий и об их постоянном или дискретном характере протяженности. Модальность выражается в терминах "всегда", "никогда", "только иногда", "раньше", "позже", "одновременно" ("Студент N всегда опрятен", "Студент N всегда неопрятен", "Студент N никогда не бывает неопрятным", "Студент N иногда бывает опрятным", "N женился раньше D", "D женился позже N").

5. АКСИОЛОГИЧЕСКАЯ МОДАЛЬНОСТЬ. Данный тип модальности - это выраженная в суждении информация о ценностной оценке поступка, факта, события. Данная модальность выражается в терминах "хорошо", "плохо", "лучше", "хуже", "безразлично", "равноценно". Набором примеров аксиологически сильных суждений (высказываний) является стихотворение В. Маяковского "Что такое хорошо и что такое плохо".

Тут ещё нужно сказать, что есть одноместные (хорошо, возможно, рано) и двухместные модальные операторы (лучше, вероятнее, раньше). Я не могу найти (Витя я), как они ещё точно называются. Завтра допишем либо, если у вас есть, допишите сами.

Согласно традиции средневековой логической мысли, заданной Абеляром, модальное высказывание должно рассматриваться в двух смыслах de dicto и de re. Высказывание, в котором модальность относится к связке, «Сократ может быть бел» - это высказывание в смысле de re, и условия его истинности иные, нежели у соединенных предложений, в которых модус относится ко всему высказыванию (диктуму), т.е. «Возможно, что Сократ бел».

Наверняка на хабре уже немало постов на эту тему. Тем не менее, я попытаюсь рассказать свою точку зрения на всё это…

Однажды я прочитал в интернете про троичную систему счисления и заинтересовался. Меня мучил вопрос, а нельзя использовать в основе компьютера симметричную троичную систему счисления (СС), и даже вдруг это увеличит производительность компьютера? Мне казалось, что это возможно, и я жаждал это проверить.

Информация:
Троичная система счисления - позиционная система счисления с целочисленным основанием, равным 3. Существует в двух вариантах: несимметричная и симметричная.
В несимметричной троичной системе счисления чаще применяются цифры {0,1,2}, а в симметричной троичной системе счисления знаки {−,0,+}, {−1,0,+1}.
У некоторых людей эта логика вызывает затруднения. Они говорят, например, приведите пример подобной логики в жизни.
Человек, немного подумавший над этой логикой поймет, что она более жизненна чем двоичная. Обычный пример троичной логики в жизни связан с постоянным током: ток движется в одну сторону, в другую сторону, его нет.

Оказалось, что симметричная троичная система счисления использовалась давным-давно для решения «задачи о гирях», использовалась в компьютере Сетунь , построенном в 50-е годы в МГУ. С 2008 года в университете « California Polytechnic State University of San Luis Obispo» функционирует цифровая компьютерная система TCA2 , основанная на троичной системе счисления.

В чем же плюсы троичной СС над двоичной? Рассмотрим эти плюсы:

Меньше разрядов

(Написано разжевано, чтобы каждый смог понять суть этого пункта)
Возьмем число 10 в десятичной СС и переведем его в двоичную СС, получим 1010, переведем в троичную симметричную СС, получим +0+, ну а если в троичную несимметричную СС, то получим 101. Из этого мы видим, что в некоторых числах в троичной симметричной и несимметричной СС-ах меньше разрядов, чем в двоичной СС.
Возьмем число 5 в десятичной СС и переведем его в двоичную СС, получим 101, переведем в троичную симметричную СС, то получим +--, ну а если в троичную несимметричную СС, то получим 12. Из этого мы видим, что в некоторых числах в троичной несимметричной СС меньше разрядов, чем в двоичной и троичной симметричной СС-ах.

Емкость

Троичная СС вмещает больший диапазон чисел, т.к. 3^n>2^n (где n-натуральное число). Например, если n=9, то 3^9=19683>2^9=512.
3.

Экономичность системы счисления

Экономичность системы счисления - запас чисел, который можно записать в данной системе с помощью определенного количества знаков. Чем больше запас тем экономичнее система. По затратам числа знаков (в трёхразрядном десятичном числе 3*10=30 знаков) наиболее экономична из позиционных показательных несимметричных систем счисления. Обозначим p основание системы счисления, n количество требуемых знаков. Тогда получим n/p разрядов требуемых для записи этого набора знаков в заданной системе счисления, а количество чисел которое при этом можно записать будет равно pn/p.

Мы рассмотрели троичную арифметику, теперь затронем логику:

В чем же проблемы двоичной логики?
1.Мощности компьютера, основанного на двоичной логике, не всегда хватает. Приведем пример. Одна из наиболее сложных систем защиты – криптосистема RSA. Вскрытие шифра RSA с длиной ключа 1024 бита (такая длина часто используется в информационных системах) займет в лучшем случае - при проведении распределенных вычислений на тысячах мощных ПК - не менее пятнадцати лет, а к тому времени данная система шифровки перестанет быть востребованной.
Докажем математически какая система счисления будет наилучшей для максимальной мощности и емкости памяти. Для этого рассмотрим функцию f(p)=p^(n/p), в которой p – основание системы счисления, а n – количество требуемых знаков. Тогда получим n/p разрядов требуемых для записи этого набора знаков в заданной системе счисления, а количество чисел, которое при этом можно записать, будет равно pn/p

F(p)=p^(n/p)
Для того, чтобы определить максимальное значение функции, найдем ее производную:
ln f = ln p^(n/p)
ln f =n/p* ln p
...(Я не буду приводить здесь всю математику)
n*p^(n/p-2) никогда не будет равно 0 => (1 - ln⁡ p)=0, ln p = 1, p = e
e = 2,71, а ближайшее целое число к нему – это три.
Значит, в этом плане лучшая система с целочисленным основанием - троичная.

Самое вкусненькое - рассмотрим троичные логические операции:

1.Отрицание

2.Конъюнкция - логическое И

3.Дизъюнкция - логическое ИЛИ

4.Операция Выбора . Эта операция существует только для троичной логики. Таблица истинности каждой из этих трёх операций содержит везде „-“, кроме единственного значения, которое ею можно выбрать.

5.Модификация . Полное название этих одноместных операций: увеличение на единицу по модулю три (INC) и уменьшение на единицу по модулю три (DEC). Увеличение на единицу по модулю три – это циклическое прибавление единицы.

Здесь видны и прежде знакомые вам логические операции из двоичной логики, но добавились и новые…

Квантовые компьютеры

Квантовый компьютер - вычислительное устройство, работающее на основе квантовой механики. Квантовый компьютер принципиально отличается от классических компьютеров, работающих на основе классической механики.
Благодаря огромной скорости разложения на простые множители, квантовый компьютер позволит расшифровывать сообщения, зашифрованные при помощи популярного асимметричного криптографического алгоритма RSA. До сих пор этот алгоритм считается сравнительно надёжным, так как эффективный способ разложения чисел на простые множители для классического компьютера в настоящее время неизвестен. Для того, например, чтобы получить доступ к кредитной карте, нужно разложить на два простых множителя число длиной в сотни цифр. Даже для самых быстрых современных компьютеров выполнение этой задачи заняло бы больше времени, чем возраст Вселенной, в сотни раз. Благодаря алгоритму Шора эта задача становится вполне осуществимой, если квантовый компьютер будет построен.
Канадская компания D-Wave заявила в феврале 2007 года о создании образца квантового компьютера, состоящего из 16 кубит. Это устройство работает на кубитах - квантовых аналогах битов.
Но можно построить компьютеры не на битах, а на кутритах - аналогах трита в квантовом компьютере.
Кутрит (квантовый трит) - квантовая ячейка, имеющая три возможных состояния.
Подлинное новаторство метода Ланьона в том, что, используя в универсальных квантовых вентилях кутриты вместо кубитов, исследователи могут существенно снизить количество необходимых вентилей.
Ланьон утверждает, что компьютер, который в обычном случае использовал бы 50 традиционных квантовых вентилей, сможет обойтись всего девятью, если будет основан на троичном представлении.
Также, согласно некоторым исследованиям, использование кутритов вместо кубитов позволит упростить реализацию квантовых алгоритмов и компьютеров.

Итог:
В конечном итоге видно, что троичная симметричная система лучше двоичной системы в некоторых показателях, но не сильно выигрывает. Но с пришествием квантовых компьютеров троичные вычисления получили новую жизнь. Универсальные квантовые логические вентили - краеугольный камень новорожденных квантовых вычислительных систем - требует сотни вентилей для завершения одной полезной операции. Квантовый компьютер канадской компании D-Wave, анонсированный в прошлом году, состоит всего из 16 квантовых битов - кубитов - минимум, необходимый для управляемого вентиля «NOT». Использование в квантовом компьютере кутритов нужно было бы намного меньше вентилей для завершения одной операции. Я думаю, если бы началось производство и тестирование таких компьютеров, то результаты были бы лучше, чем у обычных компьютеров, вскоре началось бы массовое их производство, и про двоичные компьютеры все бы забыли…

Традиционно считается что логика обладает свойствами двоичности.
То есть любое утверждение может быть истинным или ложным, а также любая функция может иметь либо положительный либо отрицательный результат.

На самом деле это не совсем так. Поэтому большинство заблуждений людей связанно с тем, что они в своих рассуждениях как раз пытаются применить эту самую двоичную логику. В некоторых ситуациях это вполне допустимо, но в большинстве случаев вызывает совершенно невероятные заблуждения.

Чтобы понять почему же истинная логика всегда троична, а не двоична возьмём для примера следуюшие три утверждения.

1) Машина красного цвета
2.) Машина не красного цвета
3.) Машина марки Форд.

Все эти утверждения касаются информации об одной и той же машине.

Каково же значение принимает информация о красноте цвета кузова машины в каждом из трёх выражений.?

С точки зрения "двоичной" логики ситуация выглядит так:

1) Увтерждение положительное то есть Красный Цвет = 1.
2) Утверждение отицательное то есть красный цвет = 0.
3) Утверждение отрицательное (информация отсутсвует) = 0.

Совершенно ясно, что последнее утверждение совершенно не обязательно является ложным только потому что информация отсутсвует. Но двоичная логика игнорирует такие тонкости ибо
у неё только ДВА результата. Положительный и Отрицательный.
Да и Нет. Никакого другого результата в двоичной логики
быть не может в принципе

Иногда это вполне допустимо, поскольку в большинстве случаев нас интересует положительный результат. А отрицательный результат и отсутсвие результата мы можем считать "одним и тем же случаем".

Но такая логика сильно искажает действительность. Иногда до неузнаваемости.

Если же мы применяем троичную логику в любых рассуждениях то картина начинает отражать в большинстве случаев значительно больше соответсвовать действительности.

Если мы к этим трём утверждениям теперь применим троичную логику то получится следующее.

Информация о красноте цвета кузова

1.) Положительная = +1
2) Отрицательная = -1
3) Отсутсвует = 0

Информация о цвете вообще

1) Положительная = +1
2) Отсутсвует (потому что утверждение "не красная" ещё не ознначает какого то конкретного цвета = 0
3) Отсутсвует

Информация о марке машины
1)= 0
2)= 0
3) +1

Таким обрзом любое утверждение с точки зрения троичной логики на самом деле становится либо истинным либо неопределённым.
Никаких "ложных" утверждений таким образом в троичной логике быть не может в принципе.

Положительным (Истина)
Отрицательным (Истина)
Нейтральным (Неопределённость)

Многих сбивает с толку двоичность логики компьютерных систем.
На самом деле двоичность логики в компьютерных системах искусственная. Связанно это с тем, что компьютерные системы значительно проще аппаратно реализовать таким образом. Кроме того
основной задачей во времена разработки компьютерных систем
отводилось вычислительным операциям. Считалось, что гораздо
эффективнее применять двоичную арифметику. Но фактически
всякие искусственные ухищрения со знаком числа во время даже арифметических вычислений уже нарушают принцип двоичности логики сами по себе. То есть когда например об отрицательном значении результата вычитания 2-х числе процесср устанавливает в определённое значение 3-е служебное число Или когда определённый разряд числа является служебным то есть фактически являтся дополнителььным третьим числом.

Если же взять абсолютно любую уже высокоуровневую логическую функцию то мы увидим, что система логики всегда троична.

Например. Система пытается считать информацию с компакт диска.
Казалось бы что на компакт диске в приципе исключительн двоичная логика по природе. Там где лазер прожёг ямку там информация равна
условно "нулю" а там где оставил нетронутым там условно "единица"
Но это только так кажется.
На самом деле далеко не вся информация на компакт диске является "нулём" или "единицей". Кучу информации оказывается безсполезными ошибками. То ли в силу ошибок записи, то ли в силу повреждения
самого диска в дальнейшем и.т.п. Для этого массу особо важной информации (такой как файловая система и.т.п.) дублируется.
В случае если считывающая програма не может определить истинность информации она пытается считать её из другого места.
Таким образом даже на компакт диске получается 3 значения.
Как "единица" так и "ноль" либо "единица" и "минус единица" являются истиой информаицей. В то время как остальные значения являются неоределёным "шумом", которые логика обязанна проигнорировать.
В итог получается что логика воспринимает 3 значения.
Из нулей и единиц программная троичная логика собирает актуальные числа, а затем преобразовывает их в "истинные" анные, А неорделённые значения игнорирует, пытаясь найти их там где они определённые и взять их оттуда. Таким образом в итоге она обрабатывает 3 значения кажого "бита", а не два.

Также само устроен обмен данных по интернету. Там любая информация тем более постоянно проверяется на истинность.
В случае получения неопределённого результата порция двоичной (истинной) информации передаётся снова до тех пор пока информация не будет соовтветсвовать истинности.
В итоге опять имеем троичную а не двоичную логику передачи информации. Ибо 2 логических значения истины плюс одно значение неопределённости равно как раз 3.

Или например возьмём ситуацию, когда производится некий поиск информации.
Например информация о наличие утренних рейсов на Нью-Йорк.
Очевидно что если полученна информация об их наличие
то это положительный результат. Если полученна информация об их
отсутсвие (только вечерние рейсы например) то это тоже результат только отрицательный. А вот если информации по каким-то причинам нет это тоже результат только неопределённый.

Таким образом любая логическая функция двух аргументов может возвращать не два а три значения:

1) Положительное а=b (машшина = красная)
2) Отрицательное a!=b (машина!= красная)
3) Неопределённое а?=b (соотношение аргументов "машина" и
"красная" не установлено)

При инверсия положительного результата может означать как отрицательный так и неопределённый результат.

Инверсия неопределённого результата может означать как положительный так и отрицательный результат

Инверсия отрицательного результата также даёт два возможных значения..

Это просто выразить. Противоположностью владению точной информацией о том что машина красная может быть две ситуации.
1) Владение точной информации что она явно не красная, и
2) Невладении никакой информацией по этому поводу
и.т.п.

Это даже лингвистически выражается в далеко не тождественности таких выражений как:
"Знаю что не красная" // "не" выступает в роли Отрицание
"Не знаю что красная." // "не" в роле неопределённости

В современном русском например иногда языке прослеживается тонкая разница между "не" и "ни" которые как раз служат для разделения отрицания с неопределённостью.

Нарпример ни тот ни другой. Никак(?=). Ниоткуда (?=). Ничем(?).
это всё неопределённость.

Никак (не) сделал. (ни хорошо ни плохо)
Не так сдалал (плохо сдеал)

Тут кстати нет никакого "двойного отрицани" тут отрицанние действия и неопределённость.

Ниоткуда пришёл. Не известно откуда ни оттуда ни отсюда.
Но "не туда идёшь". Конкретно не туда.

Ничем не занимался. (ни тем ни сем)
Не тем занимался (конкретно не тем)

Никто не пришёл (ни тот ни другой)
Не тот пришёл (конкретно не тот)

Это разновидность многозначных логик, где отрицается сфера действия закона исключенного третьего (А и. -"Л), вместо которого определено действие закона исключенного четвертого.

Закон исключенного четвертого - принцип трехзначной логики, где высказыванию приписывают три значения истинности: 1) истинно; 2) ложно (х); 3) неопределенно (72)" четвертого не дано.

Итак, трехзначная логика творится как формальная система, в пределах которой вводят третье значение истинности, кроме значений "истинно" или "неправильно".

Третье значение выражают словами "неопределенно", "абсурдно", "неизвестно" и проч.;

К трехзначной логики относятся логические системы Я. Лукасевича, Л. Брауэр - А. Гейтинга, Д. Бочвара, X. Рейхенбаха и др.

Определим особенности трехзначной логики Я. Лукасевича (про другие трехзначные логики - чит. в А. Ішмуратова, А. Конверського).

Трехзначная логика Я. Лукасевича

Была задумана им для адекватной интерпретации высказываний с определенным типом модальности (алетичної, временной и т.д.), поскольку они не могут быть интерпретированы лишь в двух значениях: "истинно" или "неправильно". Хотя трехзначная логика Я. Лукасевича, по мнению логиков, не стала адекватной теории модальных высказываний, но ее считают первой многозначной логической системой, которая положила начало развитию нового направления символической логики - многозначительного логики.

Как формально-логическая система она создана матричным и аксиоматичным способом в такой последовательности: сначала определяют множественность высказываний в системе 5; затем вводят дополнительное (третье) значение истинности, кроме "истинно" и "неправильно", следовательно, высказывания А может приобретать трех значений: 1) "истинно" (и); 2) "неправильно" (х); 3) "неопределенно" (У2).

Я. Лукасевич ввел свою символику для обозначения пропозиційних связь: N - для обозначения отрицания, С - для обозначения импликации, К - для обозначения конъюнкции, А - для обозначения дизъюнкции; х, у, г - для обозначения пропозиційних переменных, а также 1 - для обозначения истинности высказывания; 0 - для обозначения ложности высказывания; "/*- для обозначения третьего значения истинности - "неопределенно" ("нейтрально").

Однако для описания логики Я. Лукасевича используем "более привычное", т.е. знаковую, а не буквенную символику.

А, В, С - символы для обозначения пропозиційних переменных (высказываний);

И, х, х/ - символы для обозначения істиннісного значения высказываний;

--", Л, V, -> - символы для обозначения пропозиційних постоянных (логических) союзов;

Аксиоматический способ построения трехзначной логики означает построение счисления задается аксиомами. Система аксиом трехзначной логики Я. Лукасевича, содержит более десятка аксиом. Назовем несколько из них:

Закон исключенного третьего в трехзначной логике Я. Лукасевича не является аксиомой (законом).

Интерпретация трехзначных логик и других многозначных логик может быть осуществлена в таких сферах познания - наука, философия, информатика и др.; в сфере прикладных логических исследований - юридическая теория и практика, экономическая теория и практика, теория искусственного интеллекта, компьютерная логика и т.п., когда в определенном контексте высказывания не имеют точно определенных двух значений истинности, тогда им предоставляется п > 2 істиннісних значений.

Первую интерпретацию трехзначной логики Я. Лукасевича как формальной системы осуществил немецкий философ и логик X. Рейхенбах (1891-1953) с целью преодоления ряда философских и логико-методологических проблем, возникших в квантовой физике, и точного описания физического знания в области квантовой физики. Для этого X. Рейхенбах создал формальную систему, которая получила название "квантовая логика". В ее пределах высказыванием, что по смыслу выражают знания о квантовые явления, в частности о движении элементарных частиц, предоставляют следующие значения истинности: истинно; ложно; неопределенное. Пример такого высказывания: "В своем движении (рассеивании) через экран, который имеет две щели А и В, электрон, возможно, пройдет через щель А в £ ".

Квантовую логику X. Рейхенбаха, Хао Вана и безмежнозначні системы в квантовой логике рассмотрел детально ученый В. Васюков.

наиболее Адекватно трехзначная логика может быть интерпретирована в теории прогнозирования, которая разрабатывает методы прогнозирования дальнейшего развития явлений, процессов, событий в будущем или отбытия определенного события в будущем, например, прогнозирование о потеплении климата вследствие негативного влияния деятельности человека на "окружающей среды или прогнозы о "конец света".

Итак, когда выстраивают систему прогнозирования (прогнозируют), то высказывание, что по смыслу определяют измерение объекта соображений, направленный на будущее, приобретают л > 2 істиннісних значений и, соответственно, можно установить условия (факторы), при которых значения истинности высказываний будет приближаться к 1 (абсолютного значения истинности в вероятностной логике). В этом смысле многозначная логика имеет определенные общие признаки с вероятностной логикой, оперирующей модальностями "вероятно", "мало вероятно", "вероятно" и определяет условия (факторы), при которых повышается степень вероятности истинности высказывания, а также с алетичною логике, которая оперирует модальностями "необходимо", "возможно", "случайно".

В сфере юридической практики существует ситуация допроса, ситуация судебного процесса, когда субъект правонарушения (подозреваемый, обвиняемый, подсудимый) дает показания, то есть отвечает на вопросы следователя, судьи и других участников судебного процесса. С точки зрения многозначительной логики, показы субъекта правонарушения могут оказаться неточными, неопределенными по значению истинности (путаница в показаниях) и приобрести таких вариантов:

1. Показы субъекта х правдивые (истинные) - и.

2. Показы субъекта х не истинные (ложные) - х.

3. Показы субъекта х неопределенные (неопределенно: говорит истину или обманывает) - 1/2-

Трехзначная и четырехзначная логики Я. Лукасевича созданы для описания и анализа модальных высказываний, которые являются объектом исследования модальной логики.

С двумя чёткими и с одним нечётким значением помимо «истинно» и «ложно» включает также третье значение, которое нечётко и трактуется как «не определено» или «неизвестно».

Физическая реализация

При физической реализации троичным функциям в троичной логике соответствуют троичные логические элементы , в общем случае не обязательно электронные.

Схемы с 3-4-значной логикой дают возможность сократить количество используемых логических и запоминающих элементов, а также межэлементных соединений. Схемы трёхзначной логики легко реализуются на КМОП -технологии. Трёхзначная логика обладает большей выразительностью, чем двухзначная. Например, существует лишь 16 комбинаций входов-выходов двухвходового двоичного вентиля, тогда как у аналогичного троичного вентиля таких комбинаций 19683.

На основе троичных элементов - троичной ферритодиодной ячейки разработки Николая Брусенцова - в 1959 году в вычислительном центре МГУ спроектирована малая ЭВМ «Сетунь », выпущена в 46 экземплярах.

Логики

Логики Клини и Приста

Ниже показаны таблицы истинности для логических операций «Сильной логики неопределённости» (strong logic of indeterminacy) Стивена Клини и «Парадоксальной логики» (logic of paradox) Приста. Обе логики имеют три логических значения - «истина», «ложь» и «неопределённость», которые в логике Клини обозначаются буквами F (False), U (Unknown), T (True), а в логике Приста числами -1, 0 и 1.

AND(A, B)

A ∧ B		B
		F	U	T
A	F	F	F	F
	U	F	U	U
	T	F	U	T

OR(A, B)

A ∨ B		B
		F	U	T
A	F	F	U	T
	U	U	U	T
	T	T	T	T

MIN(A, B)

A ∧ B		B
		−1	0	+1
A	−1	−1	−1	−1
	0	−1	0	0
	+1	−1	0	+1

MAX(A, B)

A ∨ B		B
		−1	0	+1
A	−1	−1	0	+1
	0	0	0	+1
	+1	+1	+1	+1

Значение U присваивается выражениям, которые реально имеют значение T или F, но в данный момент это значение по каким-то причинам неизвестно, в результате чего возникает неопределённость. Тем не менее, результат логической операции с величиной U может оказаться определённым. Например, поскольку T & F = F и F & F = F, то и U & F = F. В более общем виде: если для некоторой логической операции OPER выполняется соотношение OPER(F,F)=OPER(F,T), то OPER(F,U)=OPER(F,F)=OPER(F,T). Аналогично, если OPER(T,F)=OPER(T,T), то OPER(T,U)=OPER(T,F)=OPER(T,T).

При численном обозначении логических значений (–1, 0, 1) логические операции эквивалентны следующим численным операциям:

texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \bar{X}=-X; Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X \lor Y = max(X,Y); Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X \land Y = min(X,Y).

Операция импликации в логиках Клини и Приста определяется формулой, аналогичной формуле двоичной логики:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X \rightarrow Y \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \bar{X} \lor Y .

Таблицы истинности для неё

IMP K (A, B), MAX(−A, B)

A → B		B
		+1	0	−1
A	+1	+1	0	−1
	0	+1	0	0
	−1	+1	+1	+1

Это определение отличается от определения импликации, принятого в логике Лукасевича.

См. также

Напишите отзыв о статье "Троичная логика"

Примечания

Литература

• Васильев Н. И. Воображаемая логика. - М .: Наука, 1989.
• Карпенко А. С. Многозначные логики // Логика и компьютер. Вып. №4. - М .: Наука, 1997.
• Кэррол Льюис. Символическая логика // Льюис Кэррол. История с узелками. - М .: Мир, 1973.
• Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. - М .: Иностранная литература, 1959.
• Слинин Я. А. Современная модальная логика. - Л. : Издательство Ленинградского университета, 1976.
• Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. - М .: Наука, 1967.
• Гетманова А. Д. Учебник по логике. - М .: Владос, 1995. - С. 259-268. - 303 с. - ISBN 5-87065-009-7.
• Толковый словарь по вычислительным системам / Под ред. В. Иллингуорта и др.. - М .: Машиностроение, 1990. - 560 с. - ISBN 5-217-00617-X.

Ссылки

Отрывок, характеризующий Троичная логика

– Я звала её... Но моя девочка, наверное, спит, так как не отвечает... Она устала, думаю. Я не хочу тревожить её покой. Потому, поговори со мною, Север.
Он печально-понимающе посмотрел мне в глаза и тихо спросил:
– Что ты хочешь узнать, мой друг? Спрашивай – я постараюсь ответить тебе на всё, что тебя тревожит.
– Светодар, Север... Что стало с ним? Как прожил свою жизнь на Земле сын Радомира и Магдалины?..
Север задумался... Наконец, глубоко вздохнув, будто сбрасывая наваждение прошлого, начал свой очередной захватывающий рассказ...
– После распятия и смерти Радомира, Светодара увезли в Испанию рыцари Храма, чтобы спасти его от кровавых лап «святейшей» церкви, которая, чего бы это ни стоило, пыталась найти и уничтожить его, так как мальчик являлся самым опасным живым свидетелем, а также, прямым продолжателем радомирова Дерева Жизни, которое должно было когда-нибудь изменить наш мир.
Светодар жил и познавал окружающее в семье испанского вельможи, являвшегося верным последователем учения Радомира и Магдалины. Своих детей, к их великой печали, у них не было, поэтому «новая семья» приняла мальчика очень сердечно, стараясь создать ему как можно более уютную и тёплую домашнюю обстановку. Назвали его там Амори (что означало – милый, любимый), так как своим настоящим именем называться Святодару было опасно. Оно звучало слишком необычно для чужого слуха, и рисковать из-за этого жизнью Светодара было более чем неразумно. Так Светодар для всех остальных стал мальчиком Амори, а его настоящим именем звали его лишь друзья и его семья. И то, лишь тогда, когда рядом не было чужих людей...
Очень хорошо помня гибель любимого отца, и всё ещё жестоко страдая, Светодар поклялся в своём детском сердечке «переделать» этот жестокий и неблагодарный мир. Поклялся посвятить свою будущую жизнь другим, чтобы показать, как горячо и самозабвенно любил Жизнь, и как яростно боролся за Добро и Свет и его погибший отец...
Вместе со Светодаром в Испании остался его родной дядя – Радан, не покидавший мальчика ни ночью, ни днём, и без конца волновавшийся за его хрупкую, всё ещё несформировавшуюся жизнь.
Радан души не чаял в своём чудесном племяннике! И его без конца пугало то, что однажды кто-то обязательно их выследит, и оборвёт ценную жизнь маленького Светодара, которому, уже тогда, с самых первых лет его существования, суровая судьба предназначала нести факел Света и Знания в наш безжалостный, но такой родной и знакомый, Земной мир.
Прошло восемь напряжённых лет. Светодар превратился в чудесного юношу, теперь уже намного более походившего на своего мужественного отца – Иисуса-Радомира. Он возмужал и окреп, а в его чистых голубых глазах всё чаще стал появляться знакомый стальной оттенок, так ярко вспыхивавший когда-то в глазах его отца.
Светодар жил и очень старательно учился, всей душой надеясь когда-нибудь стать похожим на Радомира. Мудрости и Знанию его обучал пришедший туда Волхв Истень. Да, да, Изидора! – заметив моё удивление, улыбнулся Сеевер. – тот же Истень, которого ты встретила в Мэтэоре. Истень, вместе с Раданом, старались всячески развивать живое мышление Светодара, пытаясь как можно шире открыть для него загадочный Мир Знаний, чтобы (в случае беды) мальчик не остался беспомощным и умел за себя постоять, встретившись лицом к лицу с врагом или потерями.
Простившись когда-то очень давно со своей чудесной сестрёнкой и Магдалиной, Светодар никогда уже больше не видел их живыми... И хотя почти каждый месяц кто-нибудь приносил ему от них свежую весточку, его одинокое сердце глубоко тосковало по матери и сестре – его единственной настоящей семье, не считая, дяди Радана. Но, несмотря на свой ранний возраст, Светодар уже тогда научился не показывать своих чувств, которые считал непростительной слабостью настоящего мужчины. Он стремился вырасти Воином, как его отец, и не желал показывать окружающим свою уязвимость. Так учил его дядя Радан... и так просила в своих посланиях его мать... далёкая и любимая Золотая Мария.
После бессмысленной и страшной гибели Магдалины, весь внутренний мир Светодара превратился в сплошную боль... Его раненная душа не желала смиряться с такой несправедливой потерей. И хотя дядя Радан готовил его к такой возможности давно – пришедшее несчастье обрушилось на юношу ураганом нестерпимой муки, от которой не было спасения... Его душа страдала, корчась в бессильном гневе, ибо ничего уже нельзя было изменить... ничего нельзя было вернуть назад. Его чудесная, нежная мать ушла в далёкий и незнакомый мир, забрав вместе с собой его милую маленькую сестрёнку...
Он оставался теперь совсем один в этой жестокой, холодной реальности, даже не успев ещё стать настоящим взрослым мужчиной, и не сумев хорошенько понять, как же во всей этой ненависти и враждебности остаться живым...
Но кровь Радомира и Магдалины, видимо, недаром текла в их единственном сыне – выстрадав свою боль и оставшись таким же стойким, Светодар удивил даже Радана, который (как никто другой!) знал, сколь глубоко ранимой может быть душа, и как тяжко иногда даётся возвращение назад, где уже нету тех, кого ты любил и по кому так искренне и глубоко тосковал...
Светодар не желал сдаваться на милость горя и боли... Чем безжалостнее «била» его жизнь, тем яростнее он старался бороться, познавая пути к Свету, к Добру, и к спасению заблудших во тьме человеческих душ... Люди шли к нему потоком, умоляя о помощи. Кто-то жаждал избавиться от болезни, кто-то жаждал вылечить своё сердце, ну, а кто-то и просто стремился к Свету, которым так щедро делился Светодар.
Тревога Радана росла. Слава о «чудесах», творимых его неосторожным племянником, перевалила за Пиренейские горы... Всё больше и больше страждущих, желали обратиться к новоявленному «чудотворцу». А он, будто не замечая назревавшей опасности, и дальше никому не отказывал, уверенно идя стопами погибшего Радомира...
Прошло ещё несколько тревожных лет. Светодар мужал, становясь всё сильнее и всё спокойнее. Вместе с Раданом они давно перебрались в Окситанию, где даже воздух, казалось, дышал учением его матери – безвременно погибшей Магдалины. Оставшиеся в живых Рыцари Храма с распростёртыми объятиями приняли её сына, поклявшись хранить его, и помогать ему, насколько у них хватит на это сил.
И вот однажды, наступил день, когда Радан почувствовал настоящую, открыто грозящую опасность... Это была восьмая годовщина смерти Золотой Марии и Весты – любимых матери и сестры Светодара...

– Смотри, Изидора... – тихо произнёс Север. – Я покажу тебе, если желаешь.
Передо мной тут же появилась яркая, но тоскливая, живая картина...
Хмурые, туманные горы щедро окроплял назойливый, моросящий дождь, оставлявший в душе ощущение неуверенности и печали... Серая, непроглядная мгла кутала ближайшие замки в коконы тумана, превращая их в одиноких стажей, охранявших в долине вечный покой... Долина Магов хмуро взирала на пасмурную, безрадостную картину, вспоминая яркие, радостные дни, освещённые лучами жаркого летнего солнца... И от этого всё кругом становилось ещё тоскливее и ещё грустней.
Высокий и стройный молодой человек стоял застывшим «изваянием» у входа знакомой пещеры, не шевелясь и не подавая никаких признаков жизни, будто горестная каменная статуя, незнакомым мастером выбитая прямо в той же холодной каменной скале... Я поняла – это наверняка и был взрослый Светодар. Он выглядел возмужавшим и сильным. Властным и в то же время – очень добрым... Гордая, высоко поднятая голова говорила о бесстрашии и чести. Очень длинные светлые волосы, повязаны на лбу красной лентою, ниспадали тяжёлыми волнами за плечи, делая его похожим на древнего короля... гордого потомка Меравинглей. Прислонившись к влажному камню, Светодар стоял, не чувствуя ни холода, ни влаги, вернее – не чувствуя ничего...
Здесь, ровно восемь лет назад, скончалась его мать – Золотая Мария, и его маленькая сестра – смелая, ласковая Веста... Они умерли, зверски и подло убитые сумасшедшим, злым человеком... посланным «отцами» святейшей церкви. Магдалина так и не дожила, чтобы обнять своего возмужавшего сына, так же смело и преданно, как она, идущего по знакомой дороге Света и Знания.... По жестокой земной дороге горечи и потерь...