Когда система имеет единственное решение. Решение систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

.

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
-

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2.

.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы - (2; -1; 1).

6. Общая система линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса.

Как мы помним, правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений , который в каждом случае приведет нас к ответу! Сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково. Если в методах Крамера и матричном необходимы знания определителей, то для применения метода Гаусса необходимо знание только арифметических действий, что делает его доступным даже для школьников начальных классов.

Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений. Система линейных уравнений может:

1) Иметь единственное решение.
2) Иметь бесконечно много решений.
3) Не иметь решений (быть несовместной ).

Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений. Как мы помним, правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. А метод последовательного исключения неизвестных в любом случае приведет нас к ответу! На данном уроке мы опять рассмотрим метод Гаусса для случая №1 (единственное решение системы), под ситуации пунктов №№2-3 отведена статья . Замечу, что сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково.

Вернемся к простейшей системе с урока Как решить систему линейных уравнений?
и решим ее методом Гаусса.

На первом этапе нужно записать расширенную матрицу системы :
. По какому принципу записаны коэффициенты, думаю, всем видно. Вертикальная черта внутри матрицы не несёт никакого математического смысла – это просто отчеркивание для удобства оформления.

Справка : рекомендую запомнить термины линейной алгебры. Матрица системы – это матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, в данном примере матрица системы: . Расширенная матрица системы – это та же матрица системы плюс столбец свободных членов, в данном случае: . Любую из матриц можно для краткости называть просто матрицей.

После того, как расширенная матрица системы записана, с ней необходимо выполнить некоторые действия, которые также называются элементарными преобразованиями .

Существуют следующие элементарные преобразования:

1) Строки матрицы можно переставлять местами. Например, в рассматриваемой матрице можно безболезненно переставить первую и вторую строки:

2) Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной. Рассмотрим, например матрицу . В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них: .

3) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить . Рисовать не буду, понятно, нулевая строка – это строка, в которой одни нули .

4) Строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля . Рассмотрим, например, матрицу . Здесь целесообразно первую строку разделить на –3, а вторую строку – умножить на 2: . Данное действие очень полезно, поскольку упрощает дальнейшие преобразования матрицы.

5) Это преобразование вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле ничего сложного тоже нет. К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число , отличное от нуля. Рассмотрим нашу матрицу из практического примера: . Сначала я распишу преобразование очень подробно. Умножаем первую строку на –2: , и ко второй строке прибавляем первую строку умноженную на –2 : . Теперь первую строку можно разделить «обратно» на –2: . Как видите, строка, которую ПРИБАВЛЯЛИ – не изменилась . Всегда меняется строка, К КОТОРОЙ ПРИБАВЛЯЮТ .

На практике так подробно, конечно, не расписывают, а пишут короче:

Еще раз: ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2 . Умножают строку обычно устно или на черновике, при этом мысленный ход расчётов примерно такой:

«Переписываю матрицу и переписываю первую строку: »

«Сначала первый столбец. Внизу мне нужно получить ноль. Поэтому единицу вверху умножаю на –2: , и ко второй строке прибавляю первую: 2 + (–2) = 0. Записываю результат во вторую строку: »

«Теперь второй столбец. Вверху –1 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: 1 + 2 = 3. Записываю результат во вторую строку: »

«И третий столбец. Вверху –5 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: –7 + 10 = 3. Записываю результат во вторую строку: »

Пожалуйста, тщательно осмыслите этот пример и разберитесь в последовательном алгоритме вычислений, если вы это поняли, то метод Гаусса практически «в кармане». Но, конечно, над этим преобразованием мы еще поработаем.

Элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений

! ВНИМАНИЕ : рассмотренные манипуляции нельзя использовать , если Вам предложено задание, где матрицы даны «сами по себе». Например, при «классических» действиях с матрицами что-то переставлять внутри матриц ни в коем случае нельзя!

Вернемся к нашей системе . Она практически разобрана по косточкам.

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду :

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. И снова: почему первую строку умножаем именно на –2? Для того чтобы внизу получить ноль, а значит, избавиться от одной переменной во второй строке.

(2) Делим вторую строку на 3.

Цель элементарных преобразований – привести матрицу к ступенчатому виду: . В оформлении задания прямо так и отчеркивают простым карандашом «лестницу», а также обводят кружочками числа, которые располагаются на «ступеньках». Сам термин «ступенчатый вид» не вполне теоретический, в научной и учебной литературе он часто называется трапециевидный вид или треугольный вид .

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система уравнений:

Теперь систему нужно «раскрутить» в обратном направлении – снизу вверх, этот процесс называется обратным ходом метода Гаусса .

В нижнем уравнении у нас уже готовый результат: .

Рассмотрим первое уравнение системы и подставим в него уже известное значение «игрек»:

Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда методом Гаусса требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пример 1

Решить методом Гаусса систему уравнений:

Запишем расширенную матрицу системы:

Сейчас я сразу нарисую результат, к которому мы придём в ходе решения:

И повторюсь, наша цель – с помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду. С чего начать действия?

Сначала смотрим на левое верхнее число:

Почти всегда здесь должна находиться единица . Вообще говоря, устроит и –1 (а иногда и другие числа), но как-то так традиционно сложилось, что туда обычно помещают единицу. Как организовать единицу? Смотрим на первый столбец – готовая единица у нас есть! Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки:

Теперь первая строка у нас останется неизменной до конца решения . Уже легче.

Единица в левом верхнем углу организована. Теперь нужно получить нули вот на этих местах:

Нули получаем как раз с помощью «трудного» преобразования. Сначала разбираемся со второй строкой (2, –1, 3, 13). Что нужно сделать, чтобы на первой позиции получить ноль? Нужно ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –2 . Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –2: (–2, –4, 2, –18). И последовательно проводим (опять же мысленно или на черновике) сложение, ко второй строке прибавляем первую строку, уже умноженную на –2 :

Результат записываем во вторую строку:

Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5, –1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3 . Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –3: (–3, –6, 3, –27). И к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –3 :

Результат записываем в третью строку:

На практике эти действия обычно выполняются устно и записываются в один шаг:

Не нужно считать всё сразу и одновременно . Порядок вычислений и «вписывания» результатов последователен и обычно такой: сначала переписываем первую строку, и пыхтим себе потихонечку – ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО иВНИМАТЕЛЬНО :


А мысленный ход самих расчётов я уже рассмотрел выше.

В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на –5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на –2, ведь чем меньше числа, тем проще решение:

На заключительном этапе элементарных преобразований нужно получить еще один ноль здесь:

Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –2 :


Попробуйте разобрать это действие самостоятельно – мысленно умножьте вторую строку на –2 и проведите сложение.

Последнее выполненное действие – причёска результата, делим третью строку на 3.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система линейных уравнений:

Круто.

Теперь в действие вступает обратный ход метода Гаусса. Уравнения «раскручиваются» снизу вверх.

В третьем уравнении у нас уже готовый результат:

Смотрим на второе уравнение: . Значение «зет» уже известно, таким образом:

И, наконец, первое уравнение: . «Игрек» и «зет» известны, дело за малым:

Ответ :

Как уже неоднократно отмечалось, для любой системы уравнений можно и нужно сделать проверку найденного решения, благо, это несложно и быстро.

Пример 2

Это пример для самостоятельного решения, образец чистового оформления и ответ в конце урока.

Следует отметить, что ваш ход решения может не совпасть с моим ходом решения, и это – особенность метода Гаусса . Но вот ответы обязательно должны получиться одинаковыми!

Пример 3

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Смотрим на левую верхнюю «ступеньку». Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами. Я поступил так:
(1) К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –1 . То есть, мысленно умножили вторую строку на –1 и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась.

Теперь слева вверху «минус один», что нас вполне устроит. Кто хочет получить +1, может выполнить дополнительное телодвижение: умножить первую строку на –1 (сменить у неё знак).

(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.

(3) Первую строку умножили на –1, в принципе, это для красоты. У третьей строки также сменили знак и переставили её на второе место, таким образом, на второй «ступеньке у нас появилась нужная единица.

(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.

(5) Третью строку разделили на 3.

Скверным признаком, который свидетельствует об ошибке в вычислениях (реже – об опечатке), является «плохая» нижняя строка. То есть, если бы у нас внизу получилось что-нибудь вроде , и, соответственно, , то с большой долей вероятности можно утверждать, что допущена ошибка в ходе элементарных преобразований.

Заряжаем обратный ход, в оформлении примеров часто не переписывают саму систему, а уравнения «берут прямо из приведенной матрицы». Обратный ход, напоминаю, работает, снизу вверх. Да тут подарок получился:

Ответ : .

Пример 4

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Это пример для самостоятельного решения, он несколько сложнее. Ничего страшного, если кто-нибудь запутается. Полное решение и образец оформления в конце урока. Ваше решение может отличаться от моего решения.

В последней части рассмотрим некоторые особенности алгоритма Гаусса.
Первая особенность состоит в том, что иногда в уравнениях системы отсутствуют некоторые переменные, например:

Как правильно записать расширенную матрицу системы? Об этом моменте я уже рассказывал на уроке Правило Крамера. Матричный метод . В расширенной матрице системы на месте отсутствующих переменных ставим нули:

Кстати, это довольно легкий пример, поскольку в первом столбце уже есть один ноль, и предстоит выполнить меньше элементарных преобразований.

Вторая особенность состоит вот в чём. Во всех рассмотренных примерах на «ступеньки» мы помещали либо –1, либо +1. Могут ли там быть другие числа? В ряде случаев могут. Рассмотрим систему: .

Здесь на левой верхней «ступеньке» у нас двойка. Но замечаем тот факт, что все числа в первом столбце делятся на 2 без остатка – и другая двойка и шестерка. И двойка слева вверху нас устроит! На первом шаге нужно выполнить следующие преобразования: ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –1; к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3. Таким образом, мы получим нужные нули в первом столбце.

Или еще такой условный пример: . Здесь тройка на второй «ступеньке» тоже нас устраивает, поскольку 12 (место, где нам нужно получить ноль) делится на 3 без остатка. Необходимо провести следующее преобразование: к третьей строке прибавить вторую строку, умноженную на –4, в результате чего и будет получен нужный нам ноль.

Метод Гаусса универсален, но есть одно своеобразие. Уверенно научиться решать системы другими методами (методом Крамера, матричным методом) можно буквально с первого раза – там очень жесткий алгоритм. Но вот чтобы уверенно себя чувствовать в методе Гаусса, следует «набить руку», и прорешать хотя бы 5-10 систем. Поэтому поначалу возможны путаница, ошибки в вычислениях, и в этом нет ничего необычного или трагического.

Дождливая осенняя погода за окном.... Поэтому для всех желающих более сложный пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Решить методом Гаусса систему четырёх линейных уравнений с четырьмя неизвестными.

Такое задание на практике встречается не так уж и редко. Думаю, даже чайнику, который обстоятельно изучил эту страницу, интуитивно понятен алгоритм решения такой системы. Принципиально всё так же – просто действий больше.

Случаи, когда система не имеет решений (несовместна) или имеет бесконечно много решений, рассмотрены на уроке Несовместные системы и системы с общим решением . Там же можно закрепить рассмотренный алгоритм метода Гаусса.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение : Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.


Выполненные элементарные преобразования:
(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –1. Внимание! Здесь может возникнуть соблазн из третьей строки вычесть первую, крайне не рекомендую вычитать – сильно повышается риск ошибки. Только складываем!
(2) У второй строки сменили знак (умножили на –1). Вторую и третью строки поменяли местами. Обратите внимание , что на «ступеньках» нас устраивает не только единица, но еще и –1, что даже удобнее.
(3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 5.
(4) У второй строки сменили знак (умножили на –1). Третью строку разделили на 14.

Обратный ход:

Ответ : .

Пример 4: Решение : Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Выполненные преобразования:
(1) К первой строке прибавили вторую. Таким образом, организована нужная единица на левой верхней «ступеньке».
(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 7. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 6.

Со второй «ступенькой» всё хуже , «кандидаты» на неё – числа 17 и 23, а нам нужна либо единичка, либо –1. Преобразования (3) и (4) будут направлены на получение нужной единицы

(3) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на –1.
(4) Ко второй строке прибавили третью, умноженную на –3.
Нужная вещь на второй ступеньке получена .
(5) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на 6.

В рамках уроков метод Гаусса и Несовместные системы/системы с общим решением мы рассматривали неоднородные системы линейных уравнений , где свободный член (который обычно находится справа) хотя бы одного из уравнений был отличен от нуля.
И сейчас, после хорошей разминки с рангом матрицы , мы продолжим шлифовать технику элементарных преобразований на однородной системе линейных уравнений .
По первым абзацам материал может показаться скучным и заурядным, однако данное впечатление обманчиво. Помимо дальнейшей отработки технических приёмов будет много новой информации, поэтому, пожалуйста, постарайтесь не пренебрегать примерами данной статьи.

Решение . A = . Найдем r(А). Так как матрица А имеет порядок 3х4, то наивысший порядок миноров равен 3. При этом все миноры третьего порядка равны нулю (проверить самостоятельно). Значит , r(А) < 3. Возьмем главный базисный минор = -5-4 = -9 ≠ 0. Следовательно r(А) =2.

Рассмотрим матрицу С = .

Минор третьего порядка ≠ 0. Значит, r(C) = 3.

Так как r(А) ≠ r(C) , то система несовместна.

Пример 2. Определить совместность системы уравнений

Решить эту систему, если она окажется совместной.

Решение .

A = , C = . Oчевидно, что r(А) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Так как detC = 0, то r(C) < 4. Рассмотрим минор третьего порядка , расположенный в левом верхнем углу матрицы А и С: = -23 ≠ 0. Значит, r(А) = r(C) = 3.

Число неизвестных в системе n=3 . Значит, система имеет единственное решение. При этом четвертое уравнение представляет сумму первых трех и его можно не принимать во внимание.

По формулам Крамера получаем x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Mатричный метод. Mетод Гаусса

Систему n линейных уравнений с n неизвестными можно решать матричным методом по формуле X = A -1 B (при Δ ≠ 0), которая получается из (2) умножением обоих частей на А -1 .

Пример 1. Решить систему уравнений

матричным методом (в параграфе 2.2 эта система была решена по формулам Крамера)

Решение . Δ = 10 ≠ 0 А = - невырожденная матрица.

= (убедитесь в этом самостоятельно, произведя необходимые вычисления).

A -1 = (1/Δ)х= .

Х = A -1 В = х= .

Ответ : .

С практической точки зрения матричный метод и формулы Крамера связаны с большим объемом вычислений, поэтому предпочтение отдается методу Гаусса , который заключается в последовательном исключении неизвестных. Для этого систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с треугольной расширенной матрицей (все элементы ниже главной диагонали равны нулю). Эти действия называют прямым ходом . Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход ).

Пример 2 . Методом Гаусса решить систему

(Выше эта система была решена по формуле Крамера и матричным методом).

Решение .

Прямой ход . Запишем расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований приведем ее к треугольному виду:

~ ~ ~ ~ .

Получим систему

Обратный ход. Из последнего уравнения находим х 3 = -6 и подставим это значение во второе уравнение:

х 2 = - 11/2 - 1/4 х 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

х 1 = 2 - х 2 + х 3 = 2+4-6 = 0.

Ответ : .

2.5. Общее решение системы линейных уравнений

Пусть дана система линейных уравнений = b i (i =). Пусть r(A) = r(C) = r, т.е. система совместна. Любой минор порядка r, отличный от нуля, является базисным минором. Не ограничивая общности, будем считать, что базисный минор располагается в первых r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) строках и столбцах матрицы А. Отбросив последние m-r уравнений системы, запишем укороченную систему:

которая эквивалентна исходной. Назовем неизвестные х 1 ,….х r базисными , а х r +1 ,…, х r свободными и перенесем слагаемые, содержащие свободные неизвестные, в правую часть уравнений укороченной системы. Получаем систему относительно базисных неизвестных:

koтоторая для каждого набора значений свободных неизвестных х r +1 = С 1 ,…, х n = С n-r имеет единственное рeшение х 1 (С 1 ,…, С n-r),…, х r (С 1 ,…, С n-r), находимое по правилу Крамера.

Соответствующее решение укороченной, а следовательно, и исходной системы имеет вид:

Х(С 1 ,…, С n-r) = - общее решение системы.

Если в общем решении свободным неизвестным придать какие-нибудь числовые значения, то получим решение линейной системы, называемое частным .

Пример . Установить совместность и найти общее решение системы

Решение . А = , С = .

Так как r(A) = r(C) = 2 (убедитесь в этом самостоятельно), то исходная система совместна и имеет бесчисленное множество решений (так как r < 4).

Решение систем линейных алгебраических уравненийявляется одной из основных задач линейной алгебры. Эта задача имеет важное прикладное значение при решении научных и технических проблем, кроме того является вспомогательной при реализации многих алгоритмов вычислительной математики, математической физики, обработки результатов экспериментальных исследований.

Системой линейных алгебраических уравнений называют систему уравнений вида: (1)

где – неизвестные; – свободные члены.

Решением системы уравнений (1) называют всякую совокупность чисел которая будучи поставлена в систему (1) на место неизвестных обращает все уравнения системы в верные числовые равенства.

Систему уравнений называют совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если не имеет решений.

Совместную систему уравнений называют определенной , если она имеет одно единственное решение, и неопределенной , если она имеет, по крайней мере, два различных решения.

Две системы уравнений называют равносильными или эквивалентными , если они имеют одно и то же множество решений.

Систему (1) называют однородной , если свободные члены равны нулю:

Однородная система всегда является совместной - она имеет решение (возможно, не единственное).

Если в системе (1) , то имеем систему n линейных уравнений с n неизвестными: где – неизвестные; – коэффициенты при неизвестных, – свободные члены.

Линейная система может иметь единственное решение, бесконечно много решений или не иметь ни одного решения.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Если то система имеет единственное решение;

если то система не имеет решений;

если то система имеет бесконечное множество решений.

Пример. Система имеет единственное решение пару чисел

Система имеет бесконечное множество решений. Например, решениями данной системы являются пары чисел и т.д.

Система не имеет решений, так как разность двух чисел не может принимать двух различных значений.

Определение. Определителем второго порядка называют выражение вида:

.

Обозначают определитель символом D.

Числа а 11, …, а 22 называют элементами определителя.

Диагональ, образованную элементами а 11 ; а 22 называют главной, диагональ, образованную элементами а 12 ; а 21 − побочной.

Таким образом, определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Заметим, что в ответе получается число.

Пример. Вычислим определители:

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: где х 1, х 2 – неизвестные; а 11 , …, а 22 – коэффициенты при неизвестных, b 1 , b 2 – свободные члены.

Если система двух уравнений с двумя неизвестными имеет единственное решение, то его можно найти с помощью определителей второго порядка.

Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называют определителем системы: D= .

В столбцах определителя D стоят коэффициенты соответственно при х 1 и при , х 2 . Введем два дополнительных определителя, которые получаются из определителя системы заменой одного из столбцов столбцом свободных членов: D 1 = D 2 = .

Теорема 14 (Крамера, для случая n=2). Если определитель D системы отличен от нуля (D¹0), то система имеет единственное решение, которое находят по формулам:

Данные формулы называют формулами Крамера.

Пример. Решим систему по правилу Крамера:

Решение. Найдем числа

Ответ.

Определение. Определителем третьего порядка называют выражение вида:

Элементы а 11; а 22 ; а 33 – образуют главную диагональ.

Числа а 13; а 22 ; а 31 – образуют побочную диагональ.

В запись с плюсом входят: произведение элементов на главной диагонали, остальные два слагаемых являются произведением элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали. Слагаемые с минусом образуют по той же схеме относительно побочной диагонали.

Пример. Вычислим определители:

где – неизвестные; – коэффициенты при неизвестных, – свободные члены.

В случае единственного решения систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными можно решить с помощью определителей 3-го порядка.

Определитель системы D имеет вид:

Введем три дополнительных определителя:

Теорема 15 (Крамера, для случая n=3). Если определитель D системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находят по формулам Крамера:

Пример. Решим систему по правилу Крамера.

Решение. Найдем числа

Воспользуемся формулами Крамера и найдем решение исходной системы:

Ответ.

Заметим, что теорема Крамера применима, когда число уравнений равно числу неизвестных и когда определитель системы D отличен от нуля.

Если определитель системы равен нулю, то в этом случае система может либо не иметь решений, либо иметь бесчисленное множество решений. Эти случаи исследуются особо.

Отметим только один случай. Если определитель системы равен нулю (D=0), а хотя бы один из дополнительных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет, то есть является несовместной.

Теорему Крамера можно обобщать для системы n линейных уравнений с n неизвестными: где – неизвестные; – коэффициенты при неизвестных, – свободные члены.

Если определитель системы линейных уравнений с неизвестными то единственное решение системы находят по формулам Крамера:

Дополнительный определитель получают из определителя D, если в нем столбец коэффициентов при неизвестном x i заменить столбцом свободных членов.

Заметим, что определители D, D 1 , … , D n имеют порядок n .

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Одним из наиболее распространенных методов решения систем линейных алгебраических уравнений является метод последовательного исключения неизвестных −метод Гаусса . Данный метод представляет собой обобщение метода подстановки и состоит в последовательном исключении неизвестных до тех пор, пока не останется одно уравнение с одним неизвестным.

Метод основан на некоторых преобразованиях системы линейных уравнений, в результате которых получается система, равносильная исходной системе. Алгоритм метода состоит из двух этапов.

Первый этап называют прямым ходом метода Гаусса. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений. Для этого на первом шаге делят первое уравнение системы на ( в противном случае осуществляют перестановку уравнений системы). Обозначают коэффициенты полученного приведенного уравнения, домножают его на коэффициент и вычитают из второго уравнения системы, исключая, тем самым, из второго уравнения (обнуляя коэффициент ).

Аналогично поступают с остальными уравнениями и получают новую систему, во всех уравнениях которой, начиная со второго коэффициенты при , содержатся только нули. Очевидно, что полученная при этом новая система, будет равносильна исходной системе.

Если новые коэффициенты, при , не все равны нулю, можнотаким же образом исключить из третьего и последующих уравнений. Продолжая эту операцию для следующих неизвестных, приводят систему к так называемому треугольному виду:

Здесь символами и обозначены изменившиеся в результате преобразований числовые коэффициенты и свободные члены.

Из последнего уравнения системы единственным образом определяют , а затем последовательной подстановкой – остальные неизвестные.

Замечание. Иногда, в результате преобразований, в каком-либо из уравнений все коэффициенты и правая часть обращаются в ноль, то есть уравнение превращается в тождество 0=0. Исключив такое уравнение из системы, уменьшают число уравнений по сравнению с числом неизвестных. Такая система не может иметь единственного решения.

Если же в процессе применения метода Гаусса какое-нибудь уравнение превратится в равенство вида 0=1 (коэффициенты при неизвестных обратились в 0, а правая часть приняла ненулевое значение), то исходная система не имеет решения, так как подобное равенство является неверным при любых значениях неизвестных.

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

(2)

где – неизвестные; – коэффициенты при неизвестных, – свободные члены.

Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.

Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.

Линейное уравнение

Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y - это неизвестные, значение которых надо найти, b, a - коэффициенты при переменных, c - свободный член уравнения.
Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.

Виды систем линейных уравнений

Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 - функции, а (x, y) - переменные функций.

Решить систему уравнений - это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.

Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.

Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.

Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака "равенство" часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.

Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.

Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.

Простые и сложные методы решения систем уравнений

Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.

Основная задача при обучении способам решения - это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода

Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.

Решение систем методом подстановки

Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе

Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:

Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.

Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.

Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:

Решение с помощью алгебраического сложения

При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.

Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.

Алгоритм действий решения:

1. Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1.
2. Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных.
3. Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.

Способ решения введением новой переменной

Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.

Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.

Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.

Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 - 4*a*c, где D - искомый дискриминант, b, a, c - множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.

Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.

Наглядный метод решения систем

Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.

Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.

Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.

Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.

В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.

Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.

Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.

Матрица и ее разновидности

Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. n*m имеет n - строк и m - столбцов.

Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей - вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.

Обратная матрица - это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.

Правила преобразования системы уравнений в матрицу

Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение - одна строка матрицы.

Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.

Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y - только во второй.

При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.

Варианты нахождения обратной матрицы

Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K -1 = 1 / |K|, где K -1 - обратная матрица, а |K| - определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.

Определитель легко вычисляется для матрицы "два на два", необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта "три на три" существует формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.

Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом

Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.

В примере a nm - коэффициенты уравнений, матрица - вектор x n - переменные, а b n - свободные члены.

Решение систем методом Гаусса

В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса - Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.

Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 - соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.

После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.

В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:

Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных x n .

Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.

Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.

Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:

Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.

Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака "стрелка" и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.

В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.

Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.

Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.

Отыскание решений линейной системы
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com

§2. Отыскание решений линейной системы

Теорема Кронекера-Капелли устанавливает необходимое и достаточное условие совместности линейной системы, но не дает способа нахождения решений этой системы.
В этом параграфе мы займемся отысканием решений линейной системы (3.1). Сначала мы рассмотрим простейший случай квадратной системы линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы, а затем перейдем к отысканию совокупности всех решений общей линейной системы вида (3.1).
1. Квадратная система линейных уравнений с определителем основной матрицы, отличным от нуля. Пусть дана квадратная система линейных уравнений

с отличным от нуля определителем Δ основной матрицы

Докажем, что такая система имеет, и притом единственное, решение, и найдем это решение. Сначала докажем, что система (3.10) может иметь только одно решение (т. е. докажем единственность решения системы (3.10) в предположении его существования).
Предположим, что существуют какие-либо n чисел х 1 , x 2 ,...,х n такие, что при подстановке этих чисел в систему (3.10) все уравнения этой системы обращаются в тождества (т. е. существует некоторое решение системы (3.10) х 1 , x 2 ,...,х n). Тогда, умножая тождества (3.10) соответственно на алгебраические дополнения A 1j , A 2j ,..., A nj элементов j-ro столбца определителя Δ матрицы (3.11) и складывая затем получающиеся при этом тождества, мы получим (для любого номера j, равного 1, 2,..., n)

Учитывая, что сумма произведений элементов i-го столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов j-ro столбца равна нулю при i ≠ j и равна определителю Δ матрицы (3.11) при i = j (cм. свойство 4° из п. 4 §2 гл. 1), мы получим из последнего равенства

x j Δ = b 1 A 1j + b 2 A 2j + ... + b n A nj . (3.12)

Обозначим символом Δ j (b i ) (или, более кратко, символом Δ j ) определитель, получающийся из определителя Δ основной матрицы (3.11) заменой его j-го столбца столбцом из свободных членов b 1 , b 2 ,...,b n (с сохранением без изменения всех остальных столбцов Δ ).
Заметим, что в правой части (3.12) стоит именно определитель Δ j (b i) (ч тобы убедиться в этом, достаточно записать разложение определителя Δ j (b i) по элементам i-го столбца ), и это равенство принимает вид

Δ x j = Δ j (3.13)

Поскольку определитель Δ матрицы (3.11) отличен от нуля, равенства (3.13) эквивалентны соотношениям

Итак, мы доказали, что если решение х 1 , x 2 ,...,х n системы (3.10) с определителем Δ основной матрицы (3.11), отличным от нуля, существует, то это решение однозначно определяется формулами (3.14) .
Формулы (3.14) называются формулами Крамера .
Еще раз подчеркнем, что формулы Крамера пока получены нами в предположении существования решения и доказывают его единственность.
Остается доказать существование решения системы (3.10). Для э того в силу теоремы Кронекера-Капелли достаточно доказать, что ранг основной матрицы (3.11) равен рангу расширенной матрицы (cуществует и другой способ доказательства существования решения системы (3.10), заключающийся в проверке того, что числа х 1 , x 2 ,...,х n , определяемые формулами Крамера (3.14), обращают в тождества все уравнения системы (3.10))

но это очевидно, ибо в силу соотношения Δ ≠ 0, ранг основной матрицы равен n, а ранг содержащей n строк расширенной матрицы (3.15) больше числа n быть не может и потому равен рангу основной матрицы.
Тем самым полностью доказано, что квадратная система линейных уравнений (3.10) с определителем основной матрицы, отличным от нуля, имеет, и притом единственное, решение, определяемое формулами Крамера (3.14).

Доказанное нами утверждение еще проще устанавливается матричным способом. Для того чтобы сделать это, заменим (как и в п. 1 § 1) систему (3.10) эквивалентным ей матричным уравнением

AX = B, (3.16)

где А - основная матрица системы (3.11), а X и В - столбцы,

первый из которых подлежит определению, а второй задан.
Так как определитель Δ матрицы А отличен от нуля, то существует обратная матрица А -1 (см. п. 7 §2 гл. 1).
Предположим, что существует решение системы (3.10), т.е. существует столбец X, обращающий в тождество матричное уравнение (3.16). Помножая указанное тождество слева на обратную матрицу А -1 будем иметь

А -1 (АХ) =А -1 В. (3.17)

Учтем теперь, что в силу сочетательного свойства произведения трех матриц (см. п. 2 § 1 гл. 1) и в силу соотношения А -1 А = Е, где Е - единичная матрица (см. п. 7 §2 гл. 1), А -1 (АХ) = (А -1 А)Х = ЕХ = X, так что мы получим из (3.17)

X = А -1 В. (3.18)

Развертывая равенство (3.18) и учитывая вид обратной матрицы (cм. формулу A.41) из п. 7 §2 гл. 1), мы и получим для элементов столбца X формулы Крамера.
Итак, мы доказали, что если решение матричного уравнения (3.16) существует, то оно однозначно определяется соотношением (3.18), эквивалентным формулам Крамера.
Легко проверить, что столбец X, определяемый соотношением (3.18), в самом деле является решением матричного уравнения (3.16),
т. е. при подстановке в это уравнение обращает его в тождество. В самом деле, если столбец X определяется равенством (3.18), то АХ = А(А -1 В) = (АА -1)В = ЕВ = В.
Итак, если определитель Δ матрицы А отличен от нуля (т. е. если эта матрица является невырожденной), то существует, и притом единственное, решение матричного уравнения (3.16), определяемое соотношением (3.18), эквивалентным формулам Крамера.
Пример. Найдем решение квадратной системы линейных уравнений

с отличным от нуля определителем основной матрицы

Поскольку

то, в силу формул Крамера, единственное решение рассматриваемой системы имеет вид х 1 = 1, х 2 = 2, x 3 = 3, х 4 = 4.
Основное значение формул Крамера состоит в том, что они дают явное выражение для решения квадратной системы линейных уравнений (с определителем, отличным от нуля) через коэффициенты уравнений и свободные члены. Практическое использование формул Крамера связано с довольно громоздкими вычислениями (для решения системы n уравнений с n неизвестными приходится вычислять (n + 1) определитель n-го порядка). К этому следует добавить, что если коэффициенты уравнений и свободные члены представляют собой лишь приближенные значения каких - либо измеряемых физических величин или округляются в процессе вычислений, то использование формул Крамера может привести к большим ошибкам и в ряде случаев является нецелесообразным.
В §4 гл.4 будет изложен метод регуляризации, принадлежащий А.Н. Тихонову и позволяющий находить решение линейной системы с точностью, соответствующей точности задания матрицы коэффициентов уравнений и столбца свободных членов, а в гл. 6 дается представление о так называемых итерационных методах решения линейных систем, позволяющих решать эти системы при помощи последовательных приближений неизвестных.
В заключении отметим, что в этом пункте мы исключили из рассмотрения случай обращения в нуль определителя Δ основной матрицы системы (3.10). Этот случай будет содержаться в общей теории систем m линейных уравнений с n неизвестными, излагаемой в следующем пункте.
2. Отыскание всех решений общей линейной системы. Рассмотрим теперь общую систему m линейных уравнений с n неизвестными (3.1). Предположим, что эта система совместна и что ранг ее основной и расширенной матриц равен числу r. Не ограничивая общности, мы можем предположить, что базисный минор основной матрицы (3.2) находится в левом верхнем углу этой матрицы (общий случай сводится к этому случаю посредством перестановки в системе (3.1) уравнений и неизвестных).
Тогда первые r строк как основной матрицы (3.2), так и расширенной матрицы (3.8) являются базисными строками этих матриц (т ак как ранги основной и расширенной матриц оба равны r, то базисный минор основной матрицы будет одновременно являться базисным минором и расширенной матрицы), и, по теореме 1.6 о базисном миноре, каждая из строк расширенной матрицы (1.8), начиная с (r + 1)-й строки, является линейной комбинацией п ервых r строк этой матрицы.
В терминах системы (3.1) это означает, что каждое из уравнений этой системы, начиная с (r + 1)-го уравнения, является линейной комбинацией (т. е. следствием) первых r уравнений этой системы (т. е. всякое решение первых г уравнений системы (3.1) обращает в тождества и все последующие уравнения этой системы ).
Таким образом, достаточно найти все решения лишь первых r уравнений системы (3.1). Рассмотрим первые r уравнений системы (3.1), записав их в виде

Если мы придадим неизвестным х r+1 ,...,х n совершенно произвольные значения c r+1 ,...,c n , то система (1.19) превратится в квадратную систему r линейных уравнений для r неизвестных х 1 , x 2 ,...,х r , причем определителем основной матрицы этой системы является отличный от нуля базисный минор матрицы (3.2). В силу результатов предыдущего пункта, эта система (3.19) имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера, т. е. для произвольно выбранных c r+1 ,...,c n существует единственная совокупность r чисел c 1 ,...,c r , обращающих в тождества все уравнения системы (3.19) и определяющихся формулами Крамера.
Чтобы записать это единственное решение, договоримся обозначать символом M j (d i) определитель, получающийся из базисного минора М матрицы (3.2) заменой его j-ro столбца столбцом из чисел d 1 , d 2 ,...,d i ,...,d r (с сохранением без изменения всех остальных столбцов М). Тогда, записывая решение системы (3.19) с помощью формул Крамера и пользуясь линейным свойством определителя, мы получим

Формулы (3.20) выражают значения неизвестных x j = c j (j = 1, 2,......, r) через коэффициенты при неизвестных, свободные члены и произвольно заданные параметры с r+1 ,...., с n .
Докажем, что формулы (3.20) содержат любое решение системы (3.1) . В самом деле, пусть c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r , c (0) r+1 , ...,c (0) n - произвольное решение указанной системы. Тогда оно является решением и системы (3.19). Но из системы (3.19) величины c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r , определяются через величины c (0) r+1 , ...,c (0) n однозначно и именно по формулам Крамера (3.20). Таким образом, при с r+1 = c (0) r+1 , ..., с n = c (0) n формулы (3.20) дают нам как раз рассматриваемое решение c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r , c (0) r+1 , ...,c (0) n .
Замечание. Если ранг r основной и расширенной матриц системы (3.1) равен числу неизвестных n, то в этом случае соотношения (3.20) переходят в формулы

определяющие единственное решение системы (3.1). Таким образом, система (3.1) имеет единственное решение (т.е. является определенной) при условии, что ранг r основной и расширенной ее матриц равен числу неизвестных n (и меньше числа уравнений m или равен ему).
Пример. Найдем все решения линейной системы

Нетрудно убедиться в том, что ранг как основной, так и расширенной матрицы этой системы равен двум (т. е. эта система совместна), причем можно считать, что базисный минор М стоит в левом верхнем углу основной матрицы, т. е. . Но тогда, отбрасывая два последних уравнения и задавая произвольно с 3 и с 4 , мы получим систему

x 1 - x 2 = 4 - c 3 + c 4 ,

x 1 + x 2 = 8 - 2c 3 - 3c 4 ,

из которой в силу формул Крамера получаем значения

x 1 = c 1 = 6 - 3/2 c 3 - c 4 , x 2 = c 2 = 2 - 1/2 c 3 - 2c 4 . (3.22)

Таким образом, четыре числа

(6 - 3/2 c 3 - c 4 ,2 - 1/2 c 3 - 2c 4 ,c 3 , c 4) (3.23)

при произвольно заданных значениях с 3 и с 4 образуют решение системы (3.21), причем строка (3.23) содержит все решения этой системы.

3. Свойства совокупности решений однородной системы. Рассмотрим теперь однородную систему m линейных уравнений с n неизвестными (3.7), предполагая, как и выше, что матрица (3.2) имеет ранг, равный r, и что базисный минор М расположен в левом верхнем углу этой матрицы. Поскольку на этот раз все b i равны нулю, вместо формул (3.20) мы получим следующие формулы:

выражающие значения неизвестных x j = c j (j = 1, 2,..., r) через коэффициенты при неизвестных и произвольно заданные значения c r+1 ,...,c n . В силу доказанного в предыдущем пункте формулы (3.24) содержат любое решение однородной системы (3.7) .
Убедимся теперь в том, что совокупность всех решений однородной системы (3.7) образует линейное пространство .
Пусть Х 1 = (x (1) 1 , x (1) 2 ,...,x (1) n) и Х 2 = (x (2) 1 , x (2) 2 ,...,x (2) n) - два произвольных решения однородной системы (3.7), а λ - любое вещественное число. В силу того, что каждое решение однородной системы (3.7) является элементом линейного пространства А n всех упорядоченных совокупностей n чисел, достаточно доказать, что каждая из двух совокупностей

Х 1 + Х 2 = (x (1) 1 + x (2) 1 ,..., x (1) n + x (2) n)

λ Х 1 = (λ x (1) 1 ,...,λ x (1) n)

также является решением однородной системы (3.7).
Рассмотрим любое уравнение системы (3.7), например i-е уравнение, и подставим в это уравнение на место неизвестных элементы указанных совокупностей. Учитывая, что Х 1 и Х 2 - решения однородной системы, будем иметь

а это и означает, что совокупности Х 1 + Х 2 и λ Х 1 являются решениями однородной системы (3.7).
Итак, совокупность всех решений однородной системы (3.7) образует линейное пространство, которое мы обозначим символом R.
Найдем размерность этого пространства R и построим в нем базис.
Докажем, что в предположении о том, что ранг матрицы однородной системы (3.7) равен r, линейное пространство R всех решений однородной системы (3.7) изоморфно линейному пространству А n-r всех упорядоченных совокупностей (n - r) чисел (п ространство А m введено в примере 3 п. 1 § 1 гл. 2).

Поставим в соответствие каждому решению (c 1 ,...,c r , c r+1 ,...,c n) однородной системы (3.7) элемент (c r+1 ,...,c n) пространства А n-r Поскольку числа c r+1 ,...,c n могут быть выбраны произвольно и при каждом выборе с помощью формул (3.24) однозначно определяют решение системы (3.7), то установленное нами соответствие является взаимно однозначным . Далее заметим, что если элементы c (1) r+1 ,...,c (1) n и c (2) r+1 ,...,c (2) n пространства А n-r отвечают элементам (c (1) 1 ,...,c (1) r , c (1) r+1 ,...,c (1) n)и (c (2) 1 ,...,c (2) r , c (2) r+1 ,...,c (2) n) пространства R, то из формул (3.24) сразу же следует, что элементу (c (1) r+1 + c (2) r+1 ,...,c (1) n +c (2) n) отвечает элемент (c (1) 1 + c (2) 1 ,...,c (1) r + c (2) r , c (1) r+1 + c (2) r+1 ,...,c (1) n +c (2) n), а элементу (λ c (1) r+1 ,...,λ c (1) n) при любом вещественном λ отвечает элемент (λ c (1) 1 ,...,λ c (1) r , λ c (1) r+1 ,...,λ c (1) n). Тем самым доказано, что установленное нами соответствие является изоморфизмом.
Итак, линейное пространство R всех решений однородной системы (3.7) с n неизвестными и рангом основной матрицы, равным r, изоморфно пространству А n-r и, стало быть, имеет размерность n - r.
Любая совокупность из (n - r) линейно независимых решений однородной системы (3.7) образует (в силу теоремы 2.5) базис в пространстве R всех решений и называется фундаментальной совокупностью решений однородной системы (3.7).
Для построения фундаментальной совокупности решений можно отправляться от любого базиса пространства А n-r . Отвечающая этому базису совокупность решений системы (3.7), в силу изоморфизма, будет линейно независимой и поэтому будет являться фундаментальной совокупностью решений.
Особо выделяют фундаментальную совокупность решений системы (3.7), отвечающую простейшему базису e 1 = (1, 0, 0,..., 0), е 2 = (1, 1, 0,..., 0), ..., е n-r = (0, 0, 0,..., 1) пространства А n-r и называемую нормальной фундаментальной совокупностью решений однородной системы (3.7).
При сделанных выше предположениях о ранге и расположении базисного минора, в силу формул (3.24), нормальная фундаментальная совокупность решений однородной системы (3.7) имеет вид:

По определению базиса любое решение X однородной системы (3.7) представимо в виде

X= C 1 X 1 + C 2 X 2 + ... + C n-r X n-r , (3.26)

где C 1 , C 2 , ...,C n-r - некоторые постоянные. Поскольку в формуле (3.26) содержится любое решение однородной системы (3.7), то эта формула дает общее решение рассматриваемой однородной системы.
Пример. Рассмотрим однородную систему уравнений:

соответствующую неоднородной системе (3.21), разобранной в примере в конце предыдущего пункта. Там мы выяснили, что ранг r матрицы этой системы равен двум, и взяли в качестве базисного минор, стоящий в левом верхнем углу указанной матрицы.
Повторяя рассуждения, проведенные в конце предыдущего пункта, мы получим вместо формул (3.22) соотношения

c 1 = - 3/2 c 3 - c 4 , c 2 = - 1/2 c 3 - 2c 4 ,

справедливые при произвольно выбранных c 3 и c 4 . С помощью этих соотношений (полагая сначала c 3 =1,c 4 =0, а затем c 3 = 0,c 4 = 1) мы получим нормальную фундаментальную совокупность двух решений системы (3.27):

X 1 = (-3/2,-1/2,1,0), X 2 = (-1,-2, 0,1). (3.28)

где С 1 и С 2 - произвольные постоянные.
В заключение этого пункта установим связь между решениями неоднородной линейной системы (3.1) и соответствующей ей однородной системы (3.7) (c теми же самыми коэффициентами при неизвестных). Докажем следующие два утверждения.
1°. Сумма любого решения неоднородной системы (3.1) с любым решением соответствующей однородной системы (3.7) представляет собой решение системы (3.1).
В самом деле, если c 1 ,...,c n - решение системы (3.1), a d 1 ,...,d n - решение соответствующей ей однородной системы (3.7), то, подставив в любое (например, в i-е) уравнение системы (3.1) на место неизвестных числа c 1 + d 1 ,...,c n + d n , получим

что и требовалось доказать.
2°. Разность двух произвольных решений неоднородной системы (3.1) является решением соответствующей однородной системы (3.7).
В самом деле, если c" 1 ,...,c" n и c" 1 ,...,c" n - два произвольных решения системы (3.1), то, подставив в любое (например, в i-е) уравнение системы (3.7) на место неизвестных числа c" 1 - c" 1 ,...,c" n - c" n получим

что и требовалось доказать.
Из доказанных утверждений вытекает, что, найдя одно решение неоднородной системы (3.1) и складывая его с каждым решением соответствующей однородной системы (3.7), мы получим все решения неоднородной системы (3.1).
Другими словами, сумма частного решения неоднородной системы (3.1) и общего решения соответствующей однородной системы (3.7) дает общее решение неоднородной системы (3.1).
В качестве частного решения неоднородной системы (3.1) естественно взять то его решение (п ри этом предполагается, как и выше, что ранги основной и расширенной матриц системы (3.1) равны r и что базисный минор находится в левом верхнем углу этих матриц)

которое получится, если в формулах (3.20) положить равными нулю все числа c r+1 ,...,c n . Складывая это частное решение с общим решением (3.26) соответствующей однородной системы, мы получим следующее выражение для общего решения неоднородной системы (3.1):

X= X 0 + C 1 X 1 + C 2 X 2 + ... + C n-r X n-r . (3.30)

В этом выражении X 0 обозначает частное решение (3.29), C 1 , C 2 , ... , C n-r - произвольные постоянные, а X 1 ,X 2 ,... ,X n-r - элементы нормальной фундаментальной совокупности решений (3.25) соответствующей однородной системы.
Так, для рассмотренной в конце предыдущего пункта неоднородной системы (3.21) частное решение вида (3.29) равно Х 0 =(6,2,0, 0).
Складывая это частное решение с общим решением (3.28) соответствующей однородной системы (3.27), мы получим следующее общее решение неоднородной системы (3.21):

X = (6,2,0, 0) + C 1 (-3/2,-1/2,1,0) + C 2 (-1,-2, 0,1). (3.31)

Здесь C 1 и C 2 - произвольные постоянные.
4. Заключительные замечания о решении линейных систем. Развитые в предыдущих пунктах методы решения линейных систем
упираются в необходимость вычисления ранга матрицы и нахождения ее базисного минора. После того, как базисный минор найден, решение сводится к технике вычисления определителей и к использованию формул Крамера.
Для вычисления ранга матрицы можно использовать следующее правило: при вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков; при этом, если уже найден отличный от нуля минор М порядка k, то требуют вычисления лишь миноры порядка (k + 1), окаймляющие (т о есть содержащие внутри себя минор М) этот минор М; в случае равенства нулю всех окаймляющих миноров порядка (k + 1) ранг матрицы равен к (в самом деле, в указанном случае все строки (столбцы) матрицы принадлежат линейной оболочке ее k строк (столбцов), на пересечении которых стоит минор М, а размерность указанной линейной оболочки равна k).
Укажем и другое правило вычисления ранга матрицы. Заметим, что со строками (столбцами) матрицы можно производить три элементарные операции , не изменяющие ранга этой матрицы: 1) перестановку двух строк (или двух столбцов), 2) умножение строки (или столбца) на любой отличный от нуля множитель, 3) прибавление к одной строке (столбцу) произвольной линейной комбинации других строк (столбцов) (э ти три операции не изменяют ранга матрицы вследствие того, что операции 1) и 2) не изменяют максимального числа линейно независимых строк (столбцов) матрицы, а операция 3) обладает тем свойством, что линейная оболочка всех строк (столбцов), имевшихся до проведения этой операции, совпадает с линейной оболочкой всех строк (столбцов), полученных после проведения этой операции).
Будем говорить, что матрица ||а ij ||, содержащая m строк и n столбцов, имеет диагональный вид, если равны нулю все ее элементы, отличные от а 11 , а 22 ,.., a rr , где r = min{m, n}. Ранг такой матрицы, очевидно, равен r.
Убедимся в том, что посредством трех элементарных операций любую матрицу

можно привести к диагональному виду (что и позволяет вычислить ее ранг).

В самом деле, если все элементы матрицы (3.31) равны нулю, то эта матрица уже приведена к диагональному виду. Если же у мат-
рицы (3.31) есть отличные от нуля элементы, то путем перестановки двух строк и двух столбцов можно добиться того, чтобы был отличен от нуля элемент а 11 . Умножая после этого первую строку матрицы на а 11 -1 , мы превратим элемент а 11 в единицу. Вычитая далее из j-ro столбца матрицы (при j = 2, 3,..., n) первый столбец, умноженный на а i1 , а затем вычитая из i-й строки (при i = 2, 3,..., n) первую строку, умноженную на а i1 , мы получим вместо (3.31) матрицу следующего вида:

Совершая уже описанные нами операции с матрицей, взятой в рамку, и продолжая действовать аналогичным способом, мы после конечного числа шагов получим матрицу диагонального вида.
Изложенные в предыдущих пунктах методы решения линейных систем, использующие, в конечном итоге, аппарат формул Крамера, могут привести к большим погрешностям в случае, когда значения коэффициентов уравнений и свободных членов заданы приближенно или когда производится округление этих значений в процессе вычислений.
В первую очередь это относится к случаю, когда матрица, отвечающая основному определителю (или базисному минору), является плохо обусловленной (т. е. когда «малым» изменениям элементов этой матрицы отвечают «большие» изменения элементов обратной матрицы). Естественно, что в этом случае решение линейной системы будет неустойчивым (т. е. «малым» изменениям значений коэффициентов уравнений и свободных членов будут отвечать «большие» изменения решения).
Отмеченные обстоятельства приводят к необходимости разработки как других (отличных от формул Крамера) теоретических алгоритмов отыскания решения, так и численных методов решения линейных систем.
В §4 гл.4 мы познакомимся с методом регуляризации А.Н. Тихонова отыскания так называемого нормального (т. е. наиболее близкого к началу координат) решения линейной системы.
В гл.6 будут изложены основные сведения о так называемых итерационных методах решения линейных систем, позволяющих решать эти системы при помощи последовательных приближений неизвестных.