Несобственные интегралы

Лк5,6(4ч)

Понятие было введено в предположении, что:

1) промежуток интегрирования конечен (отрезок [a ;b ]),

2) функция f (x ) ограничена на [a ;b ].

Такой определенный интеграл называется собственным (слово ²собственный² опускают). Если какое-либо из этих условий не выполняется, то определенный интеграл называется несобственным . Различают несобственные интегралы I и II рода.

1.Определение несобственного интеграла первого рода

Обобщим понятие определённого интеграла на бесконечный промежуток. Пусть f (x ) определена на промежутке [a ;+¥) и интегрируема в каждой конечной его части, т. е. . В этом случае существует интеграл . Ясно, что есть функция, определённая на [a ;+¥). Рассмотрим . Этот предел может существовать и не существовать, но независимо от этого он называетянесобственным интегралом первого рода и обозначается .

Определение. Если существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся , а значение этого предела есть значение несобственного интеграла. . Если не существует или равен ¥, то несобственный интеграл называется расходящимся .

Аналогично определяются ,

Пример 1. Исследовать на сходимость интеграл , .

D непрерывна на [a ;+¥) .

Если , то , а Þ интеграл сходится.

Если , то интеграл расходится.

Итак , сходится при и ;

расходится при .D

2. Свойства несобственного интеграла первого рода

Так как несобственный интеграл определяется как предел интеграла Римана, то на несобственный интеграл переносятся все свойства, которые сохраняются при предельном переходе, то есть выполняются свойства 1-8. Теорема о среднем значении не имеет смысла.

3. Формула Ньютона – Лейбница

Пусть функция f непрерывна на [a ;+¥), F - первообразная и существует . Тогда справедлива формула Ньютона – Лейбница:

В самом деле,

Пример 2. D . D

Геометрический смысл несобственного интеграла I рода

Пусть функция f неотрицательна и непрерывна на [a ;+¥) и несобственный интеграл сходится. равен площади криволинейной трапеции с основанием [a ;b ], а равен площади с основанием [a ;+¥).

4. Несобственные интегралы от неотрицательных функций

Теорема 1. Пусть f (x )³0 на [a ;+¥) и интегрируема на [a ;b ] "b >a . Для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы множество интегралов было ограничено сверху, причём .

Доказательство.

Рассмотрим функцию , a £b . Так как f (x )³0, то F не убывает Действительно, "b 1 , b 2: a £b 1 <b 2 в силу того, что , выполнено

По определению несобственный интеграл сходится тогда и только тогда, когда существует конечный . Т.к. F (b ) не убывает, то этот предел существует тогда и только тогда, когда функция F (b ) ограничена сверху, то есть $М >0: "b >a . При этом

Расходимость несобственного интеграла означает, что , то есть .

Теорема 2. Пусть функции f и g неотрицательны на [a ;+¥) и интегрируемы на [a ;b ] "b >a . Пусть на [a ;+¥) выполнено

1) из сходимости интеграла (2) следует сходимость интеграла (3);

2) из расходимости интеграла (3) следует расходимость интеграла (2).

Доказательство.

Из (1) "b >a .

1) Пусть интеграл (2) сходится. По теореме 1 множество ограничено ограничено ограничено. По теореме1 сходится.

2) Пусть расходится. Докажем, что расходится интеграл (2). От противного. Предположим, что интеграл (2) сходится, но тогда по первой части теоремы сходится интеграл (3) – противоречие с условием.

Теорема 3. Пусть функции f и g неотрицательны на [a ;+¥) и интегрируемы на [a ;b ] "b >a . Если существует (0£k £¥), то

1) из сходимости интеграла при k <¥ следует сходимость интеграла ,

2) из расходимости интеграла при k >0 следует расходимость интеграла .

Доказательство.

1) Пусть k <¥ и сходится.

Т. к. сходится, то сходится, значит, сходится . Тогда в силу (4) сходится . Отсюда сходится.

2) Пусть k >0 и расходится. В этом случае - конечное число. Если допустим противное – что интеграл сходится, то по доказанному в п. 1) получим, что тоже сходится, а это противоречит условию. Следовательно, сделанное предположение неверно, и расходится. сходится абсолютно, то по определению сходится . Значит, сходится. Но сходится.

Тема НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

В теме «Определенный интеграл» было рассмотрено понятие определенного интеграла для случая конечного промежутка
и ограниченной функции
(см. теорему 1 из §3). Теперь займемся обобщением этого понятия для случаев бесконечного промежутка и неограниченной функции. Необходимость такого обобщения показывают, например, такие ситуации.

1. Если, используя формулу для длины дуги, попытаться вычислить длину четверти окружности
,
, то придем к интегралу от неограниченной функции:

, где
.

2. Пусть тело массой
движется по инерции в среде с силой сопротивления
, где
- скорость тела. Используя второй закон Ньютона (
, где
ускорение), получим уравнение:
, где
. Нетрудно показать, что решением этого (дифференциального!) уравнения является функция
Если нам потребуется вычислить путь, пройденный телом до полной остановки, т.е. до момента, когда
, то придем к интегралу по бесконечному промежутку:

§1. Несобственные интегралы 1-го рода

I Определение

Пусть функция
определена и непрерывна на промежутке
. Тогда для любого
она интегрируема на промежутке
, то есть существует интеграл
.

Определение 1 . Конечный или бесконечный предел этого интеграла при
называют несобственным интегралом 1-го рода от функции
по промежутку
и обозначают символом
. При этом, если указанный предел конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся, в противном случае (
или не существует) – расходящимся.

Итак, по определению

Примеры

2.
.

3.
– не существует.

Несобственный интеграл из примера 1 сходится, в примерах 2 и 3 интегралы расходятся.

II Формула Ньютона – Лейбница для несобственного интеграла первого рода

Пусть
- некоторая первообразная для функции
(сущест-вует на
, т.к.
- непрерывна). Тогда

Отсюда ясно, что сходимость несобственного интеграла (1) равносильна существованию конечного предела
. Если этот предел обозначить
, то можно написать для интеграла (1) формулу Ньютона-Лейбница:

, где
.

Примеры .

5.
.

6. Более сложный пример:
. Сначала найдем первообразную:

Теперь можем найти интеграл , учитывая, что

:

III Свойства

Приведем ряд свойств несобственного интеграла (1), которые вытекают из общих свойств пределов и определенного интеграла:

IV Другие определения

Определение 2 . Если
непрерывна на
, то

.

Определение 3 . Если
непрерывна на
, то принимают по определению

(– произвольное),

причем несобственный интеграл в левой части сходится, если только оба ин-теграла в правой части сходятся.

Для этих интегралов, как и для интеграла (1) можно написать соответствующие формулы Ньютона – Лейбница.

Пример 7 .

§2. Признаки сходимости несобственного интеграла 1-го рода

Чаще всего несобственный интеграл вычислить по определению не-возможно, поэтому используют приближенное равенство

(для больших ).

Однако, это соотношение имеет смысл лишь для сходящихся интегралов. Необходимо иметь методы выяснения поведения интеграла минуя определение.

I Интегралы от положительных функций

Пусть
на
. Тогда определенный интеграл
как функция верхнего предела есть функция возрастаю-щая (это следует из общих свойств определенного интеграла).

Теорема 1 . Несобственный интеграл 1 го рода от неотрицательной функ-ции сходится тогда и только тогда, когда функция
остается ограниченной при увеличении.

Эта теорема – следствие общих свойств монотонных функций. Практического смысла теорема почти не имеет, но позволяет получить т.н. признаки сходимости.

Теорема 2 (1-й признак сравнения). Пусть функции
и
непре-рывны на
и удовлетворяют неравенству
. Тогда:

1) если интеграл
сходится, то и
сходится;

2) если интеграл
расходится, то и
расходится.

Доказательство . Обозначим:
и
. Так как
, то

. Пусть интеграл
сходится, тогда (в силу теоремы 1) функция
‒ ограничена. Но тогда и
ограничена, а значит, интеграл
тоже сходится. Аналогично доказывается и вторая часть теоремы.

Этот признак не применим в случае расходимости интеграла от
или сходимости интеграла от
. Этот недостаток отсутствует у 2-го признака сравнения.

Теорема 3 (2-й признак сравнения). Пусть функции
и
непрерывны и неотрицательны на
. Тогда, если
при
, то несобственные интегралы
и
сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство . Из условия теоремы получим такую цепочку равно-сильных утверждений:

, ,

.

Пусть, например,
. Тогда:

Применим теорему 2 и свойство 1) из §1 и получим утверждение теоремы 3.

В качестве эталонной функции, с которой сравнивают данную, высту-пает степенная функция
,
. Предлагаем студентам самим доказать, что интеграл

сходится при
и расходится при
.

Примеры . 1.
.

Рассмотрим подынтегральную функцию на промежутке
:

,
.

Интеграл
сходится, ибо
. По 2-му признаку сравнения сходится и интеграл
, а в силу свойства 2) из §1 сходится и исход-ный интеграл.

2.
.

Так как
, тоcуществует
такое, что при

. Для таких значений переменной:

Известно, что логарифмическая функция растет медленнее степенной, т.е.

,

а значит, начиная с некоторого значения переменной, эта дробь меньше 1. Поэтому

.

Интеграл сходится как эталонный. В силу 1-го признака сравнения сходится и
. Применяя 2-й признак, получим, что и интеграл
сходится. И снова свойство 2) из §1 доказывает сходимость исходного интеграла.

Вы еще здесь? =) Нет, я никого не пытался запугать, просто тема несобственных интегралов – очень хорошая иллюстрация тому, как важно не запускать высшую математику и другие точные науки. Для освоения урока на сайте всё есть – в подробной и доступной форме, было бы желание….

Итак, начнем-с. Образно говоря, несобственный интеграл – это «продвинутый» определенный интеграл, и на самом деле сложностей с ними не так уж и много, к тому же у несобственного интеграла есть очень хороший геометрический смысл.

Что значит вычислить несобственный интеграл?

Вычислить несобственный интеграл – это значит, найти ЧИСЛО (точно так же, как в определенном интеграле), или доказать, что он расходится (то есть, получить в итоге бесконечность вместо числа).

Несобственные интегралы бывают двух видов.

Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования

Иногда такой несобственный интеграл называют несобственным интегралом первого рода . В общем виде несобственный интеграл с бесконечным пределом чаще всего выглядит так: . В чем его отличие от определенного интеграла? В верхнем пределе. Он бесконечный: .

Реже встречаются интегралы с бесконечным нижним пределом или с двумя бесконечными пределами: , и их мы рассмотрим позже – когда войдёте во вкус:)

Ну а сейчас разберём самый популярный случай . В подавляющем большинстве примеров подынтегральная функция непрерывна на промежутке , и этот важный факт следует проверять в первую очередь! Ибо если есть разрывы, то есть дополнительные нюансы. Для определённости предположим, что и тогда типичная криволинейная трапеция будет выглядеть так:

Обратите внимание, что она бесконечна (не ограничена справа), и несобственный интеграл численно равен её площади . При этом возможны следующие варианты:

1) Первая мысль, которая приходит в голову: «раз фигура бесконечная, то », иными словами, площадь тоже бесконечна. Так быть может. В этом случае говорят, что несобственный интеграл расходится .

2) Но . Как это ни парадоксально прозвучит, площадь бесконечной фигуры может равняться… конечному числу! Например: . Может ли так быть? Запросто. Во втором случае несобственный интеграл сходится .

3) О третьем варианте чуть позже.

В каких случаях несобственный интеграл расходится, а в каком сходится? Это зависит от подынтегральной функции , и конкретные примеры мы очень скоро рассмотрим.

А что будет, если бесконечная криволинейная трапеция расположена ниже оси? В этом случае, несобственный интеграл (расходится) либо равен конечному отрицательному числу.

Таким образом, несобственный интеграл может быть отрицательным .

Важно! Когда Вам для решения предложен ЛЮБОЙ несобственный интеграл, то, вообще говоря, ни о какой площади речи не идет и чертежа строить не нужно . Геометрический смысл несобственного интеграла я рассказал только для того, чтобы легче было понять материал.

Коль скоро, несобственный интеграл очень похож на определенный интеграл, то вспомним формулу Ньютона- Лейбница: . На самом деле формула применима и к несобственным интегралам, только ее нужно немного модифицировать. В чем отличие? В бесконечном верхнем пределе интегрирования: . Наверное, многие догадались, что это уже попахивает применением теории пределов, и формула запишется так: .

В чем отличие от определенного интеграла? Да ни в чем особенном! Как и в определенном интеграле, нужно уметь находить первообразную функцию (неопределенный интеграл), уметь применять формулу Ньютона-Лейбница. Единственное, что добавилось – это вычисление предела. У кого с ними плохо, изучите урок Пределы функций. Примеры решений , ибо лучше поздно, чем в армии.

Рассмотрим два классических примера:

Пример 1

Для наглядности я построю чертеж, хотя, еще раз подчеркиваю, на практике строить чертежи в данном задании не нужно .

Подынтегральная функция непрерывна на полуинтервале , значит, всё нормально и несобственный интеграл можно вычислить «штатным» методом.

Применение нашей формулы и решение задачи выглядит так:

То есть, несобственный интеграл расходится, и площадь заштрихованной криволинейной трапеции равна бесконечности.

В рассмотренном примере у нас простейший табличный интеграл и такая же техника применения формулы Ньютона-Лейбница, как в определенном интеграле. Но применятся эта формула под знаком предела. Вместо привычной буквы «динамической» переменной выступает буква «бэ». Это не должно смущать или ставить в тупик, потому что любая буква ничем не хуже стандартного «икса».

Если Вам не понятно почему при , то это очень плохо, либо Вы не понимаете простейшие пределы (и вообще не понимаете, что такое предел), либо не знаете, как выглядит график логарифмической функции. Во втором случае посетите урок Графики и свойства элементарных функций .

При решении несобственных интегралов очень важно знать, как выглядят графики основных элементарных функций!

Чистовое оформление задания должно выглядеть примерно так:

“

! При оформлении примера всегда прерываем решение, и указываем, что происходит с подынтегральной функцией – непрерывна она на промежутке интегрирования или нет . Этим мы идентифицируем тип несобственного интеграла и обосновываем дальнейшие действия.

Пример 2

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Выполним чертеж:

Во-первых, замечаем следующее: подынтегральная функция непрерывна на полуинтервале . Гуд. Решаем с помощью формулы :

(1) Берем простейший интеграл от степенной функции (этот частный случай есть во многих таблицах). Минус лучше сразу вынести за знак предела, чтобы он не путался под ногами в дальнейших вычислениях.

(2) Подставляем верхний и нижний пределы по формуле Ньютона-Лейбница.

(3) Указываем, что при (Господа, это уже давно нужно понимать) и упрощаем ответ.

Вот здесь площадь бесконечной криволинейной трапеции равна конечному числу! Невероятно, но факт.

Чистовое оформление примера должно выглядеть примерно так:

“

Подынтегральная функция непрерывна на

“

Что делать, если вам встретится интеграл наподобие – с точкой разрыва на интервале интегрирования? Это говорит о том, что в примере опечатка (вероятнее всего) , либо о продвинутом уровне обучения. В последнем случае, в силу свойства аддитивности , следует рассмотреть два несобственных интеграла на промежутках и и затем разобраться с суммой.

Иногда вследствие опечатки либо умысла несобственного интеграла может вовсе не существовать , так, например, если в знаменатель вышеуказанного интеграла поставить квадратный корень из «икс», то часть промежутка интегрирования вообще не войдёт в область определения подынтегральной функции.

Более того, несобственного интеграла может не существовать даже при всём «видимом благополучии». Классический пример: . Несмотря на определённость и непрерывность косинуса, такого несобственного интеграла не существует! Почему? Всё очень просто, потому что:
– не существует соответствующего предела .

И такие примеры пусть редко, но встречаются на практике! Таким образом, помимо сходимости и расходимости, есть ещё и третий исход решения с полноправным ответом: «несобственного интеграла не существует».

Следует также отметить, что строгое определение несобственного интеграла даётся именно через предел, и желающие могут ознакомиться с ним в учебной литературе. Ну а мы продолжаем практическое занятие и переходим к более содержательным задачам:

Пример 3

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Сначала попытаемся найти первообразную функцию (неопределенный интеграл). Если нам не удастся этого сделать, то несобственный интеграл мы, естественно, тоже не решим.

На какой из табличных интегралов похожа подынтегральная функция? Напоминает она арктангенс: . Из этих соображений напрашивается мысль, что неплохо бы в знаменателе получить квадрат. Делается это путем замены.

Проведем замену:

Неопределенный интеграл найден, константу в данном случае добавлять не имеет смысла.

На черновике всегда полезно выполнить проверку, то есть продифференцировать полученный результат:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, неопределенный интеграл найден правильно.

Теперь находим несобственный интеграл:

(1) Записываем решение в соответствии с формулой . Константу лучше сразу вынести за знак предела, чтобы она не мешалась в дальнейших вычислениях.

(2) Подставляем верхний и нижний пределы в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница. Почему при ? Смотрите график арктангенса в уже неоднократно рекомендованной статье.

(3) Получаем окончательный ответ. Тот факт, что полезно знать наизусть.

Продвинутые студенты могут не находить отдельно неопределенный интеграл, и не использовать метод замены, а использовать метод подведения функции под знак дифференциала и решать несобственный интеграл «сразу». В этом случае решение должно выглядеть примерно так:

“

Подынтегральная функция непрерывна на .

“

Пример 4

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

! Это типовой пример, и похожие интегралы встречаются очень часто. Хорошо его проработайте! Первообразная функция здесь находится методом выделения полного квадрата, более подробно с методом можно ознакомиться на уроке Интегрирование некоторых дробей .

Пример 5

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Этот интеграл можно решить подробно, то есть сначала найти неопределенный интеграл, проведя замену переменной. А можно решить «сразу» – подведением функции под знак дифференциала. У кого какая математическая подготовка.

Полные решения и ответы в конце урока.

Примеры решений несобственных интегралов с бесконечным нижним пределом интегрирования можно посмотреть на странице Эффективные методы решения несобственных интегралов . Там же разобран случай, когда оба предела интегрирования бесконечны.

Несобственные интегралы от неограниченных функций

Или несобственные интегралами второго рода . Несобственные интегралы второго рода коварно «шифруются» под обычный определенный интеграл и выглядят точно так же: Но, в отличие от определенного интеграла, подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв (не существует): 1) в точке , 2) или в точке , 3) или в обеих точках сразу, 4) или даже на отрезке интегрирования. Мы рассмотрим первые два случая, для случаев 3-4 в конце статьи есть ссылка на дополнительный урок.

Сразу пример, чтобы было понятно: . Вроде бы это определенный интеграл. Но на самом деле – это несобственный интеграл второго рода, если мы подставим в подынтегральную функцию значение нижнего предела , то знаменатель у нас обращается в ноль, то есть подынтегральной функции просто не существует в этой точке!

Вообще при анализе несобственного интеграла всегда нужно подставлять в подынтегральную функцию оба предела интегрирования . В этой связи проверим и верхний предел: . Здесь всё хорошо.

Криволинейная трапеция для рассматриваемой разновидности несобственного интеграла принципиально выглядит так:

Здесь почти всё так же, как в интеграле первого рода.

Наш интеграл численно равен площади заштрихованной криволинейной трапеции, которая не ограничена сверху. При этом могут быть два варианта*: несобственный интеграл расходится (площадь бесконечна) либо несобственный интеграл равен конечному числу (то есть, площадь бесконечной фигуры – конечна!).

* по умолчанию привычно полагаем, что несобственный интеграл существует

Осталось только модифицировать формулу Ньютона-Лейбница. Она тоже модифицируется с помощью предела, но предел стремится уже не к бесконечности, а к значению справа. Легко проследить по чертежу: по оси мы должны бесконечно близко приблизиться к точке разрыва справа .

Посмотрим, как это реализуется на практике.

Пример 6

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке (не забываем устно или на черновике проверить, всё ли нормально с верхним пределом!)

Сначала вычислим неопределенный интеграл:

Замена:

У кого возникли трудности с заменой, обратитесь к уроку Метод замены в неопределенном интеграле .

Вычислим несобственный интеграл:

(1) Что здесь нового? По технике решения практически ничего. Единственное, что поменялось, это запись под значком предела: . Добавка обозначает, что мы стремимся к значению справа (что логично – см. график). Такой предел в теории пределов называют односторонним пределом . В данном случае у нас правосторонний предел .

(2) Подставляем верхний и нижний предел по формуле Ньютона Лейбница.

(3) Разбираемся с при . Как определить, куда стремится выражение? Грубо говоря, в него нужно просто подставить значение , подставляем три четверти и указываем, что . Причесываем ответ.

В данном случае несобственный интеграл равен отрицательному числу. В этом никакого криминала нет, просто соответствующая криволинейная трапеция расположена под осью .

А сейчас два примера для самостоятельного решения.

Пример 7

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Пример 8

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Если подынтегральной функции не существует в точке

Бесконечная криволинейная трапеция для такого несобственного интеграла принципиально выглядит следующим образом.

Если подинтегральная функция имеет на (конечном) интервале интегрирования разрыв второго рода, говорят о несобственном интеграле второго рода.

10.2.1 Определение и основные свойства

Обозначим интервал интегрирования $\left[ a, \, b \right ]$, оба этих числа ниже полагаются конечными. Если имеется всего 1 разрыв, он может находиться или в точке $a$, или в точке $b$, или внутри интервала $(a,\,b)$. Рассмотрим сначала случай, когда разрыв второго рода имеется в точке $a$, а в остальных точках подинтегральная функция непрерывна. Итак, мы обсуждаем интеграл

\begin{equation} I=\int _a^b f(x)\,dx, (22) \label{intr2} \end{equation}

причем $f(x) \rightarrow \infty $, когда $x \rightarrow a+0$. Как и ранее, прежде всего следует придать смысл этому выражению. Для этого рассмотрим интеграл

\[ I(\epsilon)=\int _{a+\epsilon}^b f(x)\,dx. \]

Определение. Пусть существует конечный предел

\[ A=\lim _{\epsilon \rightarrow +0}I(\epsilon)=\lim _{\epsilon \rightarrow +0}\int _{a+\epsilon}^b f(x)\,dx. \]

Тогда говорят, что несобственный интеграл второго рода (22) сходится, и ему приписывают значение $A$, саму функцию $f(x)$ называют интегрируемой на интервале $\left[ a, \, b\right]$.

Рассмотрим интеграл

\[ I=\int ^1_0\frac{dx}{\sqrt{x}}. \]

Подинтегральная функция $1/\sqrt{x}$ при $x \rightarrow +0$ имеет бесконечный предел, так что в точке $x=0$ она имеет разрыв второго рода. Положим

\[ I(\epsilon)=\int ^1_{\epsilon }\frac{dx}{\sqrt{x}}\,. \]

В данном случае первообразная известна,

\[ I(\epsilon)=\int ^1_{\epsilon }\frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}|^1_{\epsilon }=2(1-\sqrt{\epsilon })\rightarrow 2 \]

при $\epsilon \rightarrow +0$. Таким образом, исходный интеграл является сходящимся несобственным интегралом второго рода, причем он равен 2.

Рассмотрим вариант, когда разрыв второго рода подинтегральной функции имеется на верхнем пределе интервала интегрирования. Этот случай можно свести к предыдущему, сделав замену переменной $x=-t$ и затем переставив пределы интегрирования.

Рассмотрим вариант, когда разрыв второго рода у подинтегральной функции имеется внутри интервала интегрирования, в точке $c \in (a,\,b)$. В данном случае исходный интеграл

\begin{equation} I=\int _a^bf(x)\,dx (23) \label{intr3} \end{equation}

представляют в виде суммы

\[ I=I_1+I_2, \quad I_1=\int _a^cf(x)\,dx +\int _c^df(x)\,dx. \]

Определение. Если оба интеграла $I_1, \, I_2$ сходятся, то несобственный интеграл (23) называют сходящимся и ему приписывают значение, равное сумме интегралов $I_1, \, I_2$, функцию $f(x)$ называют интегрируемой на интервале $\left[ a, \, b\right]$. Если хотя бы один из интегралов $I_1,\, I_2$ является расходящимся, несобственный интеграл (23) называют расходящимся.

Сходящиеся несобственные интегралы 2 рода обладают всеми стандартными свойствами обычных определенных интегралов.

1. Если $f(x)$, $g(x)$ интегрируемы на интервале $\left[ a, \,b \right ]$, то их сумма $f(x)+g(x)$ также интегрируема на этом интервале, причем \[ \int _a^{b}\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^{b}f(x)dx+\int _a^{b}g(x)dx. \] 2. Если $f(x)$ интегрируема на интервале $\left[ a, \, b \right ]$, то для любой константы $C$ функция $C\cdot f(x)$ также интегрируема на этом интервале, причем \[ \int _a^{b}C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^{b}f(x)dx. \] 3. Если $f(x)$ интегрируема на интервале $\left[ a, \, b \right ]$, причем на этом интервале $f(x)>0$, то \[ \int _a^{b} f(x)dx\,>\,0. \] 4. Если $f(x)$ интегрируема на интервале $\left[ a, \, b \right ]$, то для любого $c\in (a, \,b)$ интегралы \[ \int _a^{c} f(x)dx, \quad \int _c^{b} f(x)dx \] тоже сходятся, причем \[ \int _a^{b}f(x)dx=\int _a^{c} f(x)dx+\int _c^{b} f(x)dx \] (аддитивность интеграла по интервалу).

Рассмотрим интеграл

\begin{equation} I=\int _0^{1}\frac{1}{x^k}\,dx. (24) \label{mod2} \end{equation}

Если $k>0$, подинтегральная функция стремится к $\infty$ при $x \rightarrow +0$, так что интеграл - несобственный второго рода. Введем функцию

\[ I(\epsilon)=\int _{\epsilon}^{1}\frac{1}{x^k}\,dx. \]

В данном случае первообразная известна, так что

\[ I(\epsilon)=\int _{\epsilon}^{1}\frac{1}{x^k}\,dx\,=\frac{x^{1-k}}{1-k}|_{\epsilon}^1= \frac{1}{1-k}-\frac{\epsilon ^{1-k}}{1-k}. \]

при $k \neq 1$,

\[ I(\epsilon)=\int _{\epsilon}^{1}\frac{1}{x}\,dx\,=lnx|_{\epsilon}^1= -ln \epsilon. \]

при $k = 1$. Рассматривая поведение при $\epsilon \rightarrow +0$, приходим к выводу, что интеграл (20) сходится при $k

10.2.2 Признаки сходимости несобственных интегралов 2 рода

Теорема (первый признак сравнения). Пусть $f(x)$, $g(x)$ - непрерывны при $x\in (a,\,b)$, причем $0 1. Если интеграл \[ \int _a^{b}g(x)dx \] сходится, то сходится и интеграл \[ \int _a^{b}f(x)dx. \] 2. Если интеграл \[ \int _a^{b}f(x)dx \] расходится, то расходится и интеграл \[ \int _a^{b}g(x)dx. \]

Теорема (второй признак сравнения). Пусть $f(x)$, $g(x)$ - непрерывны и положительны при $x\in (a,\,b)$, причем существует конечный предел

\[ \theta = \lim_{x \rightarrow a+0} \frac{f(x)}{g(x)}, \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]

Тогда интегралы

\[ \int _a^{b}f(x)dx, \quad \int _a^{b}g(x)dx \]

сходятся или расходятся одновременно.

Рассмотрим интеграл

\[ I=\int _0^{1}\frac{1}{x+\sin x}\,dx. \]

Подинтегральное выражение - положительная функция на интервале интегрирования, подинтегральная функция стремится к $\infty$ при $x \rightarrow +0$, так что наш интеграл - несобственный второго рода. Далее, при $x \rightarrow +0$ имеем: если $g(x)=1/x$, то

\[ \lim _{x \rightarrow +0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow +0}\frac{x}{x+\sin x}=\frac{1}{2} \neq 0,\, \infty \, . \]

Применяя второй признак сравнения, приходим к выводу, что наш интеграл сходится или расходится одновременно с интегралом

\[ \int _0^{+1}\frac{1}{x}\,dx . \]

Как было показано в предыдущем примере, этот интеграл расходится ($k=1$). Следовательно, исходный интеграл тоже расходится.

Вычислить несобственный интеграл или установить его сходимость (расходимость).

1. \[ \int _{0}^{1}\frac{dx}{x^3-5x^2}\,. \] 2. \[ \int _{3}^{7}\frac{x\,dx}{(x-5)^2}\,. \] 3. \[ \int _{0}^{1}\frac{x\,dx}{\sqrt{1-x^2}}\,. \] 4. \[ \int _{0}^{1}\frac{x^3\,dx}{1-x^5}\,. \] 5. \[ \int _{-3}^{2}\frac{dx}{(x+3)^2}\,. \] 6. \[ \int _{1}^{2}\frac{x^2\,dx}{(x-1)\sqrt{x-1}}\,. \] 7. \[ \int _{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x+x^2}}\,. \] 8. \[ \int _{0}^{1/4}\frac{dx}{\sqrt{x-x^2}}\,. \] 9. \[ \int _{1}^{2}\frac{dx}{xlnx}\,. \] 10. \[ \int _{1}^{2}\frac{x^3\,dx}{\sqrt{4-x^2}}\,. \] 11. \[ \int _{0}^{\pi /4}\frac{dx}{\sin ^4x}\,. \]

Несобственные интегралы первого рода. По сути это тот же определённый интеграл, но в случаях, когда интегралы имеют бесконечный верхний или нижний пределы интегрирования, или оба предела интегрирования бесконечны.

Несобственные интегралы второго рода. По сути это тот же определённый интеграл, но в случаях, когда интеграл берётся от неограниченных функций, подынтегральная функция в конечном числе точек конечного отрезка интегрирования не имеет, обращаясь в бесконечность.

Для сравнения. При введении понятия определённого интеграла предполагалось, что функция f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ], а отрезок интегрирования является конечным, то есть ограничен числами, а не бесконечностью. Некоторые задачи приводят к необходимости отказаться от этих ограничений. Так появляются несобственные интегралы.

Геометрический смысл несобственного интеграла выясняется довольно просто. В случае, когда график функции y = f (x ) находится выше оси Ox , определённый интеграл выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x ) , осью абсцисс и ординатами x = a , x = b . В свою очередь несобственный интеграл выражает площадь неограниченной (бесконечной) криволинейной трапеции, заключённой между линиями y = f (x ) (на рисунке ниже - красного цвета), x = a и осью абсцисс.

Аналогичным образом определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов:

Площадь бесконечной криволинейной трапеции может быть конечным числом и в этом случае несобственный интеграл называется сходящимся. Площадь может быть и бесконечностью и в этом случае несобственный интеграл называется расходящимся.

Использование предела интеграла вместо самого несобственного интеграла. Для того, чтобы вычислить несобственный интеграл, нужно использовать предел определённого интеграла. Если этот предел существует и конечен (не равен бесконечности), то несобственный интеграл называется сходящимся, а в противном случае - расходящимся. К чему стремится переменная под знаком предела, зависит от того, имеем мы дело с несобственным интегралом первого рода или второго рода. Узнаем об этом сейчас же.

Несобственные интегралы первого рода - с бесконечными пределами и их сходимость

Несобственные интегралы с бесконечным верхним пределом

Итак, запись несобственного интеграла как отличается от обычного определённого интеграла тем, что верхний предел интегрирования бесконечен.

Определение. Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования от непрерывной функции f (x ) на промежутке от a до ∞ называется предел интеграла этой функции с верхним пределом интегрирования b и нижним пределом интегрирования a при условии, что верхний предел интегрирования неограниченно растёт , т.е.

.

Если этот предел существует и равен некоторому числу, а не бесконечности, то несобственный интеграл называется сходящимся , а число, которому равен предел, принимается за его значение. В противном случае несобственный интеграл называется расходящимся и ему не приписывается никакого значения.

Пример 1. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).

Решение. На основании определения несобственного интеграла находим

Так как предел существует и равен 1, то и данный несобственный интеграл сходится и равен 1.

В следующем примере подынтегральная функция почти как в примере 1, только степень икса - не двойка, а буква альфа, а задача состоит в исследовании несобственного интеграла на сходимость. То есть предстоит ответить на вопрос: при каких значениях альфы данный несобственный интеграл сходится, а при каких расходится?

Пример 2. Исследовать на сходимость несобственный интеграл (нижний предел интегрирования больше нуля).

Решение. Предположим сначала, что , тогда

В полученном выражении перейдём к пределу при :

Нетрудно видеть, что предел в правой части существует и равен нулю, когда , то есть , и не существует, когда , то есть .

В первом случае, то есть при имеет место . Если , то и не существует.

Вывод нашего исследования следующий: данный несобственный интеграл сходится при и расходится при .

Применяя к изучаемому виду несобственного интеграла формулу Ньютона-Лейбница , можно вывести следующую очень похожую на неё формулу:

.

Это обобщённая формула Ньютона-Лейбница.

Пример 3. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).

Предел этого интеграла существует:

Второй интеграл, составляющий сумму, выражающую исходный интеграл:

Предел этого интеграла также существует:

.

Находим сумму двух интегралов, являющуюся и значением исходного несобственного интеграла с двумя бесконечными пределами:

Несобственные интегралы второго рода - от неограниченных функций и их сходимость

Пусть функция f (x ) задана на отрезке от a до b и неограниченна на нём. Предположим, что функция обращается в бесконечность в точке b , в то время как во всех остальных точках отрезка она непрерывна.

Определение. Несобственным интегралом функции f (x ) на отрезке от a до b называется предел интеграла этой функции с верхним пределом интегрирования c , если при стремлении c к b функция неограниченно возрастает, а в точке x = b функция не определена , т.е.

.

Если этот предел существует, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся, в противном случае - расходящимся.

Используя формулу Ньютона-Лейбница, выводим.