Свойства длины вектора в евклидовом пространстве. Евклидовы пространства

Евклидово пространство

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство ) - в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии . В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно -мерное евклидово пространство обозначается , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение .

,

в простейшем случае (евклидова норма ):

где (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис , в котором верен именно этот простейший вариант).

2. Метрическое пространство , соответствующее пространству описанному выше. То есть с метрикой, введённой по формуле:

,

Связанные определения

• Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика .

• Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.

• Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) - каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Примеры

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

Более абстрактный пример:

Вариации и обобщения

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Евклидово пространство" в других словарях:

Конечномерное векторное пространство с положительно определённым скалярным произведением. Является непосредств. обобщением обычного трёхмерного пространства. В Е. п. существуют декартовы координаты, в к рых скалярное произведение (ху)векторов х … Физическая энциклопедия

Пространство, свойства которого изучаются в евклидовой геометрии. В более широком понимании евклидовым пространством называется n мерное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение … Большой Энциклопедический словарь

Евклидово пространство - пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. Упрощенно можно определить евклидово пространство, как пространство на плоскости или в трехмерном объеме, в которых заданы прямоугольные (декартовы) координаты, а… … Начала современного естествознания

Евклидово пространство - см. Многомерное (n мерное) векторное пространство, Векторное (линейное) пространство … Экономико-математический словарь

евклидово пространство - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN Cartesian space … Справочник технического переводчика

Пространство, свойства которого изучаются в евклидовой геометрии. В более широком понимании евклидовым пространством называют n мерное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение. * * * ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО ЕВКЛИДОВО… … Энциклопедический словарь

Пространство, свойства к рого изучаются в евклидовой геометрии. В более широком понимании Е. п. наз. n мерное векторное пространство, в к ром определено скалярное произведение … Естествознание. Энциклопедический словарь

Пространство, свойства к рого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В более общем смысле Е. п. конечномерное действительное векторное пространствоRn со скалярным произведением(х, у), х, к рое в надлежащим образом выбранных координатах… … Математическая энциклопедия

- (в математике) пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии (См. Евклидова геометрия). В более общем смысле Е. п. называется n мepное Векторное пространство, в котором возможно ввести некоторые специальные… … Большая советская энциклопедия

- [по имени др. греч. математика Евклида (Eukleides; 3 в. до н. э.)] пространство, в т. ч. многомерное, в к ром возможно ввести координаты х1,..., хп так, что расстояние р (М,М) между точками М (х1 ..., х n) и М (х 1 , .... xn) может быть… … Большой энциклопедический политехнический словарь

§3. Размерность и базис векторного пространства

Линейная комбинация векторов

Тривиальная и нетривиальная линейная комбинация

Линейно зависимые и линейно независимые векторы

Свойства векторного пространства, связанные с линейной зависимостью векторов

п -мерное векторное пространство

Размерность векторного пространства

Разложение вектора по базису

§4. Переход к новому базису

Матрица перехода от старого базиса к новому

Координаты вектора в новом базисе

§5. Евклидово пространство

Скалярное произведение

Евклидово пространство

Длина (норма) вектора

Свойства длины вектора

Угол между векторами

Ортогональные векторы

Ортонормированный базис

§ 3. Размерность и базис векторного пространства

Рассмотрим некоторое векторное пространство (V, Å, ∘) над полем Р . Пусть – некоторые элементы множества V, т.е. векторы.

Линейной комбинацией векторов называется любой вектор, равный сумме произведений этих векторов на произвольные элементы поля Р (т.е. на скаляры) :

Если все скаляры равны нулю, то такая линейная комбинация называется тривиальной (простейшей), и .

Если хотя бы один скаляр отличен от нуля, линейная комбинация называется нетривиальной .

Векторы называются линейно независимыми , если только тривиальная линейная комбинация этих векторов равна :

Векторы называются линейно зависимыми , если существует хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная .

Пример . Рассмотрим множество упорядоченных наборов четверок действительных чисел – это векторное пространство над полем действительных чисел. Задание: выяснить, являются ли векторы , и линейно зависимыми.

Решение .

Составим линейную комбинацию этих векторов: , где – неизвестные числа. Потребуем, чтобы эта линейная комбинация была равна нулевому вектору: .

В этом равенстве запишем векторы в виде столбцов чисел:

Если найдутся такие числа , при которых это равенство выполняется, и хотя бы одно из чисел не равно нулю, значит это нетривиальная линейная комбинация и векторы линейно зависимы.

Выполним действия:

Таким образом, задача сводится к решению системы линейных уравнений:

Решая ее, получим:

Ранги расширенной и основной матриц системы равны и меньше числа неизвестных , следовательно, система имеет бесконечное множество решений.

Пусть , тогда и .

Итак, для данных векторов существует нетривиальная линейная комбинация, например при , которая равна нулевому вектору, значит, эти векторы линейно зависимы.

Отметим некоторые свойства векторного пространства, связанные с линейной зависимостью векторов :

1. Если векторы линейно зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.

2. Если среди векторов имеется нулевой вектор , то эти векторы линейно зависимы.

3. Если часть векторов являются линейно зависимыми, то и все эти векторы – линейно зависимые.

Векторное пространство V называется п -мерным векторным пространством , если в нем найдется п линейно независимых векторов, и любой набор из (п + 1) векторов является линейно зависимым.

Число п называется размерностью векторного пространства , и обозначается dim(V) от английского «dimension» – размерность (измерение, размер, габарит, величина, протяженность и т.д.).

Совокупность п линейно независимых векторов п -мерного векторного пространства называется базисом .

(*)

Теорема (о разложении вектора по базису): Каждый вектор векторного пространства можно представить (и притом единственным образом) в виде линейной комбинации векторов базиса :

Формула (*) называется разложением вектора по базису , а числа – координатами вектора в этом базисе.

В векторном пространстве может быть более одного или даже бесконечно много базисов. В каждом новом базисе один и тот же вектор будет иметь разные координаты.

§ 4. Переход к новому базису

В линейной алгебре часто встает задача нахождения координат вектора в новом базисе, если известны его координаты в старом базисе.

Рассмотрим некоторое п -мерное векторное пространство (V, +, ·) над полем Р . Пусть в этом пространстве есть два базиса: старый и новый .

Задача: найти координаты вектора в новом базисе.

Пусть векторы нового базиса в старом базисе имеют разложение:

,

Выпишем координаты векторов в матрицу не строками, как они записаны в системе, а столбцами:

Полученная матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому.

Матрица перехода связывает координаты любого вектора в старом и новом базисе следующим соотношением:

,

где - искомые координаты вектора в новом базисе.

Таким образом, задача нахождения координат вектора в новом базисе сводится к решению матричного уравнения: , где Х – матрица-столбец координат вектора в старом базисе, А – матрица перехода от старого базиса к новому, Х * – искомая матрица-столбец координат вектора в новом базисе. Из матричного уравнения получим:

Итак, координаты вектора в новом базисе находятся из равенства:

.

Пример. В некотором базисе даны разложения векторов:

Найти координаты вектора в базисе .

Решение .

1. Выпишем матрицу перехода к новому базису, т.е. координаты векторов в старом базисе запишем столбцами:

2. Найдем матрицу А –1:

3. Выполним умножение , где – координаты вектора :

Ответ : .

§ 5. Евклидово пространство

Рассмотрим некоторое п -мерное векторное пространство (V, +, ·) над полем действительных чисел R . Пусть – некоторый базис этого пространства.

Введем в этом векторном пространстве метрику , т.е. определим способ измерения длин и углов. Для этого определим понятие скалярного произведения.

Еще в школе все учащиеся знакомятся с понятием «евклидова геометрия», основные положения которой сфокусированы вокруг нескольких аксиом, опирающихся на такие геометрические элементы, как точка, плоскость, прямая, движения. Все они в совокупности формируют то, что уже давно известно под термином «евклидово пространство».

Евклидово которого базируется на положении о скалярном умножении векторов, является частным случаем линейного (аффинного) пространства, которое удовлетворяет целому ряду требований. Во-первых, скалярное произведение векторов абсолютно симметрично, то есть вектор с координатами (x;y) в количественном плане тождественен вектору с координатами (y;x), однако противоположен по направлению.

Во-вторых, в том случае, если производится скалярное произведение вектора с самим собой, то результат этого действия будет носить положительный характер. Единственным исключением станет случай, когда начальная и конечная координата этого вектора равна нулю: в этом случае и произведение его с самим собой то же будет равно нулю.

В-третьих, имеет место дистрибутивность скалярного произведения, то есть возможность разложения одной из его координат на сумму двух значений, что не повлечет за собой никаких изменений в итоговом результате скалярного умножения векторов. Наконец, в-четвертых, при умножении векторов на одно и то же их скалярное произведение также увеличится во столько же раз.

В том случае, если выполняются все эти четыре условия, мы можем с уверенностью сказать, что перед нами евклидово пространство.

Евклидово пространство с практической точки зрения можно охарактеризовать следующими конкретными примерами:

1. Самый простой случай - это наличие множества векторов с определенным по основным законам геометрии скалярным произведением.
2. Евклидово пространство получится и в том случае, если под векторами мы будем понимать некое конечное множество действительных чисел с заданной формулой, описывающей их скалярную сумму или произведение.
3. Частным случаем евклидова пространства следует признать так называемое нулевое пространство, которое получается в том случае, если скалярная длина обоих векторов равна нулю.

Евклидово пространство обладает целым рядом специфических свойств. Во-первых, скалярный множитель можно выносить за скобки как от первого, так и от второго сомножителя скалярного произведения, результат от этого не претерпит никаких изменений. Во-вторых, наряду с дистрибутивностью первого элемента скалярного произведения, действует и дистрибутивность второго элемента. Кроме того, помимо скалярной суммы векторов, дистрибутивность имеет место и в случае вычитания векторов. Наконец, в-третьих, при скалярном умножении вектора на нуль, результат также будет равен нулю.

Таким образом, евклидово пространство - это важнейшее геометрическое понятие, используемое при решении задач с взаимным расположением векторов друг относительно друга, для характеристики которого используется такое понятие, как скалярное произведение.

Определение евклидова пространства

Определение 1. Вещественное линейное пространство называется евклидовым , если в нём определена операция, ставящая в соответствие любым двум векторам x и y из этого пространства число, называемое скалярным произведением векторов x и y и обозначаемое (x,y) , для которого выполнены условия:

1. (x,y) = (y,x);

2. (x + y,z) = (x,z) + (y,z) , где z - любой вектор, принадлежащий данному линейному пространству;

3. (?x,y) = ? (x,y) , где ? - любое число;

4. (x,x) ? 0 , причём (x,x) = 0 x = 0.

Например, в линейном пространстве одностолбцовых матриц скалярное произведение векторов

можно определить формулой

Евклидово пространство размерности n обозначают En . Заметим, что существуют как конечномерные, так и бесконечномерные евклидовы пространства.

Определение 2 . Длиной (модулем) вектора x в евклидовом пространстве En называют (x,x) и обозначают её так: |x| = (x,x) . У всякого вектора евклидова пространства существует длина, причём у нулевого вектора она равна нулю.

Умножая ненулевой вектор x на число , мы получим вектор , длина которого равна единице. Эта операция называется нормированием вектора x .

Например, в пространстве одностолбцовых матриц длину вектора можно определить формулой:

Неравенство Коши-Буняковского

Пусть x? En и y ? En – любые два вектора. Докажем, что для них имеет место неравенство:

(Неравенство Коши-Буняковского)

Доказательство. Пусть? - любое вещественное число. Очевидно, что (?x ? y,?x ? y) ? 0. С другой стороны, в силу свойств скалярного произведения можем написать

Получили, что

Дискриминант этого квадратного трёхчлена не может быть положительным, т.е. , откуда вытекает:

Неравенство доказано.

Неравенство треугольника

Пусть x и y - произвольные векторы евклидова пространства En , т.е. x ? En и y ? En .

Докажем, что . (Неравенство треугольника).

Доказательство. Очевидно, что С другой стороны, . Принимая во внимание неравенство Коши-Буняковского, получим

Неравенство треугольника доказано.

Норма евклидова пространства

Определение 1 . Линейное пространство ? называется метрическим , если любым двум элементам этого пространства x и y поставлено в соответствие неотрицательное число? (x,y) , называемое расстоянием между x и y , (? (x,y) ? 0) , причём выполняются условия (аксиомы):

1) ? (x,y) = 0 x = y

2) ? (x,y) = ? (y,x) (симметрия);

3) для любых трёх векторов x , y и z этого пространства? (x,y) ? ? (x,z) + ? (z,y) .

Замечание. Элементы метрического пространства обычно называют точками.

Евклидово пространство En – метрическое, причём в качестве расстояния между векторами x? En и y? En можно взять x ? y .

Так, например, в пространстве одностолбцовых матриц, где

следовательно

Определение 2 . Линейное пространство ? называется нормированным , если каждому вектору x из этого пространства поставлено в соответствие неотрицательное число, называемое его нормой x . При этом выполняются аксиомы:

Нетрудно видеть, что нормированное пространство является метрическим пространством. В самом деле, в качестве расстояния между x и y можно взять . В евклидовом пространстве En в качестве нормы любого вектора x? En принимается его длина, т.е. .

Итак, евклидово пространство En является метрическим пространством и более того, евклидово пространство En является нормированным пространством.

Угол между векторами

Определение 1 . Углом между ненулевыми векторами a и b евклидова простран ства En называют число для которого

Определение 2 . Векторы x и y евклидова пространства En называются ортогона льными , если для них выполняется равенство (x,y) = 0.

Если x и y - ненулевые, то из определения следует, что угол между ними равен

Заметим, что нулевой вектор по определению считается ортогональным любому вектору.

Пример . В геометрическом (координатном) пространстве?3, которое является частным случаем евклидова пространства, орты i , j и k взаимно-ортогональны.

Ортонормированный базис

Определение 1 . Базис e1 ,e2 ,...,en евклидова пространства En называется ортогона льным , если векторы этого базиса попарно ортогональны, т.е. если

Определение 2 . Если все векторы ортогонального базиса e1 , e2 ,...,en единичны, т.е. ei = 1 (i = 1,2,...,n) , то базис называется ортонормированным , т.е. для ортонормированного базиса

Теорема. (о построении ортонормированного базиса)

Во всяком евклидовом пространстве E n существуют ортонормированные базисы.

Доказательство . Докажем теорему для случая n = 3.

Пусть E1 ,E2 ,E3 - некоторый произвольный базис евклидова пространства E3 Построим какой-нибудь ортонормированный базис в этом пространстве. Положим , где ? - некоторое вещественное число, которое выберем таким образом, чтобы было (e1 ,e2 ) = 0, тогда получим

причём очевидно, что? = 0 , если E1 и E2 ортогональны, т.е. в этом случае e2 = E2 , а , т.к. это базисный вектор.

Учитывая, что (e1 ,e2 ) = 0, получим

Очевидно, что , если e1 и e2 ортогональны с вектором E3 , т.е. в этом случае следует взять e3 = E3 . Вектор E3 ? 0 , т.к. E1 , E2 и E3 линейно независимы, следовательно e3 ? 0.

Кроме того, из приведённого рассуждения следует, что e3 нельзя представить в виде линейной комбинации векторов e1 и e2 , следовательно векторы e1 , e2 , e3 линейно незави симы и попарно ортогональны, следовательно, их можно взять в качестве базиса евклидова пространства E3 . Остаётся только пронормировать построенный базис, для чего достаточно каждый из построенных векторов разделить на его длину. Тогда получим

Итак, мы построили базис - ортонормированный базис. Теорема доказана.

Применённый способ построения ортонормированного базиса из произвольного базиса называется процессом ортогонализации . Заметим, что в процессе доказательства теоремы мы установили, что попарно ортогональные векторы линейно независимы. Кроме того, если - ортонормированный базис в En , тогда для любого вектора x? En имеет место единственное разложение

где x1 , x2 ,..., xn - координаты вектора x в этом ортонормированном базисе.

Так как

то умножив скалярно равенство (*) на , получим .

В дальнейшем мы будем рассматривать только ортонормированные базисы, а потому для простоты их записи нолики сверху у базисных векторов мы будем опускать.