Многочлены над полем действительных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел

Неприводимый многочлен - многочлен, неразложимый на нетривиальные многочлены. Неприводимые многочлены являются неприводимыми элементами кольца многочленов.

Неприводимый многочлен над полем ― многочлен от переменных над полем является простым элементом кольца , то есть, непредставим в виде произведения , где и ― многочлены с коэффициентами из , отличные от констант.

Многочлен f над полем F называется неприводимым (простым), если он имеет положительную степень и не имеет нетривиальных делителей (т.е., любой делитель либо ассоциирован с ним, либо с единицей)

Предложение 1

Пусть р – неприводимый и а – любой многочлен кольца F[x]. Тогда либо р делит а , либо р и а – взаимно простые.

Предложение 2

Пусть f ∈ F[x], и степень f = 1, значит, f – неприводимый многочлен.

Например : 1. Возьмем над полем Q многочлен х+1. Его степень равна 1, значит, он неприводим.

2. х2 +1 – неприводим, т.к. не имеет корней

СЛУ. Решение системы. Совместные, несовместные, определенные и неопределенные системы. Эквивалентные системы

Системой линейных уравнений над полем F с переменными х1,…хn называется система вида

а11 х1 + … + a1n xn = b1

………………………..

am1 x1 + … + amn xn = bm

где aik , bi ∈ F, m- количество уравнений, а n - количество неизвестных. Кратко эту систему можно записать так: ai1x1 + … + ain xn = bi (i = 1,…m .)

Эта СЛУ является условием с n свободными переменными х1,….хn.

СЛУ делятся на несовместные (не имеют решений) и совместные (определенные и неопределенные). Совместная система вида называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой.

Например: над полем Q

х + у =2 - несовместная система

х – у = 0 - совместная определенная (х, у = ½)

2х + 2у = 2 - совместная неопределенная

Две системы л.у. являются эквивалентными, если множества решений этих систем совпадают, то есть, любое решение одной системы одновременно является решением другой. Систему, эквивалентную данной, можно получить:

1. заменив одно из уравнений на это уравнение, умноженное на любое отличное от нуля число.

2. заменив одно из уравнений суммой этого уравнения с другим уравнением системы.

Решение СЛУ осуществляется методом Гаусса.

45* Элементарные преобразования систем линейных уравнений (слу). Метод Гаусса.

Опр. Элементарными преобразованиями С.Л.У н-ся следущие преобразования:

1. Умножения одного из системы уравнений системы на ненулевой элемент поля.

2. Прибавления к одному из уравнений системы другого уравнения, умноженного на элемент поля.

3. Добавления к системе или исключение из системы ненулевого уравнения 0*х1+0*х2+…+0*хn=0

4. Перемена местами уравнений

Предл. Пусть система (**)получена ил системы (*) с помощью конечного числа. Элемен-ых преобраз-ий. Тогда система (**)~ система(*). (Без док-ва)

Зам. При записи системы линейных уравнений будем использовать матричную запись.

а11 а12 … а1n в1

а21 а22 … а2n в2

………………….... …

Am1 am2 ... amn вn

Примеры: 1) 2х1 – х3 = 1 2 0 -1 1

х1 – х2 – х3 = 0 1 -1 -1 0

3х1 + 2х2 + 4х3 = 2 3 2 4 2

2) 1 0 1 х1=1

0 1 2 х2=2

3) 1 0 1 2 х1+х3=2 х1=2-х3

0 1 -1 3 х2-х3=3 х2=3+х3

Метод Гаусса

Предл. Пусть имеет система (*)

(а) если все свободные члены равны 0 все вк=0 мн-во решений = F n

(b) k вк=0 0х1+0х2+…+0хn= вк=0 (решений нет)

2. не все aij=0

(a)если в системе есть уравнение вид 0х1+0х2+…+0хn= вк=0 0

(b)если таких уравнений нет b1. Исключим ненулевые уравнения. Найдем самый маленький индекс i1, такой что не все коэф-ты при xij=0.

0……0……….. …. Второй столбец с нулями это i1.

0……0…..*=0….. ….

0……0 ...……… …

1.перестановкой уравнений добьемся, чтобы a1i1 = 0

0 ….. 0… a1i1 = 0 .... .... (1). :=(присваивание) (1) 1/ a1i1 (2). :=(2)-(1)* а2i1

A2i1........... .... 0…. 0…1…. …. 0…. 0..1….. ….. (ступенчатая

0…. 0… а2i1 … 0…..0..0… …. Матрица )

0 ........... 0 .... ami1.. ... ……………… …. …………………… ….

0 ….0 ..аmi1 ... 0……0…………0 ….

Через конечное число шагов получим либо система содержит уравнение вида 0х1+0х2+…+0хn= вк=0 0либо

0……0 1………….. L1 “прямой ход Гаусса” 0....0 1...0..0 .....0........0.... .. “обратный ход

0.......0 0......1..... L2 0....0 0.....1.........0.........0.... .. Гаусса”

0 .......00........0....1 L2 0....0 0......0........1.........0.... ..

.............................. .... ............................................ ..

0........0 0 ............0..1 Lk 0....0 0.......0.........0....0.......1 ..

Переменные xi1, ...... xik назовем главным, остальные свободными.

k=n => c-a определенная

k c-a неопред-ая. Свободным переменным можно предавать производные значения, и вычислять значения главных переменных.

2 0 -1 1 8 (-3) 1 -1 -1 0 *(-2) 1 -1 -1 0

1 -1 -1 0 ~ 2 0 -1 1 ~ 0 2 1 1

3 2 4 2 3 2 4 2 0 5 7 2

Поле Fназывается алгебраически замкнутым, если любой многочлен положительной степени надFимеет корень вF.

Теорема 5.1 (основная теорема алгебры многочленов). Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто.

Следствие 5 .1.1. НадС существуют неприводимые многочлены только первой степени.

Следствие 5.1.2. Многочленn -ой степени надС имеетn комплексных корней.

Теорема 5.2. Если– комплексный корень многочленаf с действительными коэффициентами, то комплексное сопряженное число- также кореньf .

Следствие 5 .2.1. НадR существуют неприводимые многочлены только первой или второй степени.

Следствие 5.2.2. Мнимые корни многочлена надR распадаются на пары комплексных сопряженных.

Пример5.1. Разложить на неприводимые множители надС и надR многочленx 4 + 4.

Решение. Имеем

x 4 + 4 =x 4 + 4х 2 + 4 – 4х 2 = (x 2 + 2) 2 – 4х 2 = (x 2 – 2х + 2)(x 2 + 2х + 2) –

разложение над R . Найдя обычным способом комплексные корни многочленов второй степени, стоящих в скобках, получаем разложение над С :

x 4 + 4 = (x – 1 – i ) (x – 1 + i ) (x + 1 – i ) (x + 1 + i ).

Пример5.2. Построить многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющий корни 2 и 1 +i .

Решение. Согласно следствию 5.2.2, многочлен должен иметь корни 2, 1 –i и 1 +i . Коэффициенты его можно найти по формулам Виета:

 1 = 2 + (1 –i ) + (1 +i ) = 4;

 2 = 2(1 – i ) + 2(1 + i ) + (1 – i )(1 + i ) = 6;

 3 = 2(1 – i )(1 + i ) = 4.

Отсюда f =x 3 – 4x 2 + 6x – 4.

Упражнения.

5.1. Разложите на неприводимые множители над С и надR многочлены:

а) х 3 – 6х 2 + 11х – 6;

б) х 4 – 10х 2 + 1.

5.2. Постройте многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющий двойной корень 1 и простой корень 1 – 2i .

6. Многочлены над полем рациональных чисел

Теорема 6.1 (критерий Эйзенштейна). Пусть f = a 0 + a 1 x + … + a n x n – многочлен с целыми коэффициентами. Если существует такое простое числоp , чтоa 0 , a 1 , … , a n -1 делятся наp , a n не делится наp ,a 0 не делится наp 2 , тоf не приводим над полем рациональных чисел.

Упражнение 6.1. Докажите неприводимость надQ многочленов:

а) f = 2х 5 + 3х 4 – 9х 3 – 6х + 3;б)f = 5х 4 + 6х 3 – 18х 2 – 12х + 54.

Теорема 6.2. Пусть– несокр­атимая ­­дробь, являющаяся корнем многочленаf = a 0 + a 1 x + … + a n x n с целыми коэффициентами. Тогда

a 0  p , a n  q ;

f (1)  p – q, f (–1)  p + q .

Эта теорема позволяет решить задачу отыскания рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами. Для этого определяем все делители свободного члена и старшего коэффициента и строим из них всевозможные несократимые дроби. Все рациональные корни содержатся среди этих дробей. Для их определения можно использовать схему Горнера. Чтобы избежать в ней лишних вычислений, используем утверждение 2) теоремы 6.2.

Пример6.1. Найти рациональные корни многочлена

f = 2х 4 + 7х 3 + 3х 2 – 15х – 18.

Решение. Выписываем все дроби, числители которых p – делители 18, а знаменателиq – делители 2:

1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18,
,
,
.

Производим их проверку по схеме Горнера:

						Комментарий
						f (1) = –21  p – q
						f (–1) = –3  p + q
						х 1 = –2
						х 2 = 3/2

Найдя корень х 1 = –2 и разделив многочлен нах + 2, получили многочлен с новым свободным членом –9 (его коэффициенты подчеркнуты). Числители остальных корней должны быть делителями этого числа, и из списка можно исключить дроби, не удовлетворяющие этому условию. Остальные целые значения исключены, так как не удовлетворяют условию f (1)p – q или f (–1)p + q . Например, для 3 имеемp = 3, q = 1, и не выполняется условиеf (1) = –21p – q (как и второе условие).

Аналогично найдя корень х 2 = 3/2, получили многочлен с новым свободным членом 3 и старшим коэффициентом 1 (когда корень дробный, следует произвести сокращение коэффициентов получившегося многочлена). Ни одно оставшееся число из списка больше не может быть его корнем, и список рациональных корней исчерпан.

Найденные корни следует проверять на кратность.

Если в процессе решения пришли к многочлену второй степени, а список дробей еще не исчерпан, то оставшиеся корни можно найти по обычным формулам как корни квадратного трехчлена.

Упражнение 6.2. Найдите рациональные корни многочлена

а) х 3 – 6х 2 + 15х – 14;

б) х 5 – 7х 3 – 12х 2 + 6х + 36;

в) 2х 4 – 11х 3 + 23х 2 – 24х + 12;

г) 4х 4 – 7х 2 – 5х – 1.

Поле называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен над этим полем, не равный константе, имеет хотя бы один корень. Из теоремы Безу сразу следует, что над таким полем любой неконстантный многочлен разложим в произведение линейных множителей. В этом смысле алгебраически замкнутые поля устроены проще, чем не алгебраически замкнутые. Мы знаем, что над полем действительных чисел не всякий квадратный трехчлен имеет корень, тем самым поле ℝ не является алгебраически замкнутым. Оказывается ему чуть-чуть не хватает до алгебраической замкнутости. Другими словами: решив казалось бы частную задачу о уравнение, мы одновременно справились со всеми остальными полиномиальными уравнениями.

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ. Любой многочлен над полем ℂ, не равный константе, имеет хотя бы один комплексный корень.

СЛЕДСТВИЕ. Любой многочлен, не равный константе, над полем комплексных чисел разложим в произведение линейных множителей:

Здесь -- старший коэффициент многочлена, – все различные комплексные корни многочлена, -- их кратности. Должно выполняться равенство

Доказательство следствия представляет собой несложную индукцию по степени многочлена.

Над другими полями положение дел не столь хорошее в смысле разложимости многочленов. Назовем многочлен неприводимым, если он во-первых, не константа, а, во-вторых, не разложим в произведение многочленов меньших степеней. Ясно, что всякий линейный многочлен (над любым полем) неприводим. Следствие можно переформулировать так: неприводимыe многочлены над полем комплексных чисел с единичным старшим коэффициентом (по другому: унитарные) исчерпываются многочленами вида ().

Разложимость квадратного трехчлена равносильна наличию хотя бы одного корня. Преобразуя уравнение к виду, заключаем, что корень квадратного трехчлена существует тогда и только тогда, когда дискриминант есть квадрат какого-либо элемента поля K (здесь предполагаем, что 2≠ 0 в поле K). Отсюда получаем

ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Квадратный трехчлен над полем K, в котором 2≠ 0, неприводим тогда и только тогда, когда он не имеет корней в поле K. Это равносильно тому, что дискриминант не является квадратом никакого элемента поля K. В частности, над полем действительных чисел квадратный трехчлен неприводим, если и только, если.

Итак над полем действительных чисел существуют по крайней мере два вида неприводимых многочленов: -- линейные и квадратичные и отрицательным дискриминантом. Оказывается, что эти два случая исчерпывают множество неприводимых многочленов над ℝ.

ТЕОРЕМА. Любой многочлен над полем действительных чисел разложим в произведение линейных множителей и квадратичных множителей с отрицательными дискриминантами:

Здесь -- все различные действительные корни многочлена, -- их кратности, все дискриминанты меньше нуля, и квадратные трехчлены все различны.

Вначале докажем лемму

ЛЕММА. Если и для какого-либо, то сопряженное число также является корнем многочлена.

Доказательство. Пусть, и – комплексный корень многочлена. Тогда

где мы использовали свойства сопряжения. Следовательно, . Тем самым -- корень многочлена. □

Доказательство теоремы. Достаточно доказать, что любой неприводимый многочлен над полем действительных чисел либо линейный, либо квадратичный с отрицательным дискриминантом. Пусть -- неприводимый многочлен с единичным старшим коэффициентом. В случае сразу получаем для некоторого действительного. Предположим, что. Обозначим через какой-либо комплексный корень этого многочлена, существующий по основной теореме алгебры комплексных чисел. Так как неприводим, то (см. теорему Безу). Тогда по лемме, будет еще одним корнем многочлена, отличным от.

Многочлен имеет действительные коэффициенты. Кроме того, делит согласно теореме Безу. Так как неприводим и имеет единичный старший коэффициент, то получаем равенство. Дискриминант этого многочлена отрицателен, так как иначе он имел бы вещественные корни.□

ПРИМЕРЫ. А. Разложим многочлен на неприводимые множители. Среди делителей константного члена 6 ищем корни многочлена. Убеждаемся, что 1 и 2 – корни. Тем самым многочлен делится на. Поделив, находим

Окончательное разложение над полем, ибо дискриминант квадратного трехчлена отрицателен и, следовательно, он над полем действительных чисел далее не разложим. Разложение того же многочлена над полем комплексных чисел получим, если найдем комплексные корни квадратного трехчлена. Они суть. Тогда

Разложение данного многочлена над

Б. Разложим над полями действительных и комплексных чисел. Так как действительных корней этот многочлен не имеет, то он разложим на два квадратных трехчлена с отрицательными дискриминантами

Так как при замене на многочлен не меняется, то при такой замене квадратный трехчлен должен переходить в и наоборот. Отсюда. Приравнивая коэффициенты при получаем В частности, . Тогда из соотношения (получается подстановкой извлекаем, и окончательно, . Итак,

Разложение над полем действительных чисел.

Для того, чтобы разложить данный многочлен над комплексными числами, решим уравнение или. Ясно, что будут корнями. Все различные корни мы получим при. Следовательно,

Разложение над комплексными числами. Легко вычислить

и мы получаем другое решение задачи о разложении многочлена над полем действительных чисел.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Фундаментальная и компьютерная алгебра

Введение.. курс фундаментальная и компьютерная алгебра предназначен для студентов специальностей математика прикладная..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

Н.И.Дубровин
Спасское Городище 2012 Оглавление Введение. 4 Список обозначений и терминов. 5 1 Немного о БЕЙСИКе. 6 2 Наивная теория множеств. 9

Немного о бейсике
В математике имеют дело с такими объектами как числа разной природы (натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные), многочлены одной и нескольких переменных, матриц

Наивная теория множеств
Математический текст состоит из определений и утверждений. Некоторые утверждения в зависимости от важности и отношения к другим утверждениям называются одним из следующих терминов:

Декартовы произведения
Упорядоченная пара, или просто пара элементов это одна из фундаментальных конструкций в математики. Представлять её можно как полочку с двумя местами -- первым и вторым. Очень часто в математике не

Натуральные числа
Числа {1,2,3,… }, которые можно получить из единицы операцией сложения, называют натуральными и обозначают ℕ. Аксиоматическое описание натуральных чисел может быть таким (см.

Рекурсия
От аксиом N1-N3 до знакомых всем с начальной школы операций сложения и умножения натуральных чисел, сравнения натуральных чисел между собой и свойств вида "от перемены мест слагаемых сумма не

Порядок на множестве натуральных чисел
На множестве имеется отношение линейного порядка. Скажем, что n

Делимость натуральных чисел
Операция деления не всегда возможна в области натуральных чисел. Это дает нам право ввести отношение делимости: скажем, что число n делит число m, если m=nk для какого-либо подходящего k∈

Делимость целых чисел
Обозначим через -- кольцо целых чисел. Термин «кольцо» означает, что мы имеем дело с множеством R, на котором заданы две операции – сложение и умножение, подчиняющиеся известным пра

Алгоритм Евклида
Дана пара целых чисел (m,n). Считаем n остатком с номером 1. Первый шаг алгоритма Евклида – делим m на n с остатком, а далее делим остаток на вновь получившийся остаток, покуда этот вновь получивши

Матричная трактовка алгоритма Евклида
Придадим матричную трактовку алгоритму Евклида (о матрицах см. следующий параграф). Перепишем последовательность делений с остатком в матричном виде: Подставляя в каждое по

Элементы логики
Математики имеют дело с объектами, такими как, например, -- числа, -- функции, -- матрицы, -- прямые на плоскости и т.д., а также имеют дело с высказываниями. Высказывание есть некоторое повествова

Высказывательные формы
Будет ли выражение высказыванием? Нет, эта запись есть высказывательная форма от одной переменной. Если вместо переменной подставлять допустимые значения, то получаем различные высказывания, котор

Матричная алгебра
Матричная алгебра над кольцом R (R – кольцо целых чисел, поле рациональных чисел, поле вещественных чисел) – наиболее широко используемая алгебраическая система с множеством операци

Определители
Определитель квадратной матрицы A есть ее числовая характеристика, обозначаемая или. Начнем с определителей матриц малых размерностей 1,2,3: ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пу

Линейные преобразования плоскости
Известно, что любое преобразование плоскости ϕ, сохраняющее расстояния, есть либо параллельный перенос на вектор, либо поворот вокруг точки О на угол α, либо симметрия относительно прямо

Комплексные числа
В этом параграфе изучается лишь одно поле -- поле комплексных чисел ℂ . С геометрической точки зрения оно представляет из себя плоскость, а с алгебраической точки зрения в это

Конструкция поля комплексных чисел
Мы фактически уже построили поле комплексных чисел в предыдущем параграфе. В силу исключительной важности поля комплексных чисел приведем его непосредственную конструкцию. Рассмотрим пространство с

Сопряжение комплексных чисел
Поле комплексных чисел доставляет нам новое свойство -- наличие нетождественного непрерывного автоморфизма (изоморфизма на себя). Комплексное число называется сопряженным к, а отоб

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
Изобразим комплексное число вектором. Длина этого вектора, т.е. величина называется модулем комплексного числа и обозначается. Величину назовем нормой числа, иногда удобнее пользоваться е

Комплексная экспонента
Правило (2) параграфа дает нам право определить экспоненту чисто мнимого числа: Действительно, таким образом определенная функция обладает следующими свойствами: &

Решение квадратных уравнений
Линейный многочлен при всегда имеет корень. Квадратный трехчлен уже не всегда имеет корни над полем действительных чисел. Пусть – квадратный трехчлен над полем комплексных чисел (). Обоз

ТЕОРЕМА об отношении эквивалентности
Пусть “ ” – отношение эквивалентности на множестве М. Для элемента обзначим через класс эквивалентности. Тогда множество М разбивается в объединение классов эквивалентности; каждый элемент из М при

Алгоритмы умножения и деления чисел в десятичной системе счисления

Визначення середньої і граничної похибок та необхідної чисельності вибірки

Відповідь Мотовила на книгу Петра Скарги «Про єдність церкви Божої» 1577(?) р. –перший полемічний твір Острозького осередку.

Вопрос № 1. Испарение влаги и разложение карбонатов в доменной печи. Термодинамика разложения карбонатов.

ВСЕ недостающие степени (и (или) свободные члены) без пропусков записываем в ОБОИХ многочленах с нулевыми коэффициентами.

Многочлен над кольцом целых чисел называется примитивным , если наибольший общий делитель его коэффициентов равен 1. Многочлен с рациональными коэффициентами единственным образом представляется в виде произведения положительного рационального числа, называемого содержанием многочлена, и примитивного многочлена. Произведение примитивных многочленов есть примитивный многочлен. Из данного факта вытекает, что если многочлен с целочисленными коэффициентами приводим над полем рациональных чисел, то он приводим над кольцом целых чисел. Таким образом, задача разложения многочлена на неприводимые множители над полем рациональных чисел сводится к аналогичной задаче над кольцом целых чисел.

Пусть - многочлен с целыми коэффициентами и содержанием 1, а - его рациональный корень. Представим корень многочлена в виде несократимой дроби . Многочлен f (x ) представляется в виде произведения примитивных многочленов . Следовательно,

A. числитель является делителем ,

B. знаменатель – делителем

C. для любого целого k значение f (k ) – целое число, которое делится без остатка на (bk -a ).

Перечисленные свойства позволяют свести задачу отыскания рациональных корней многочлена к конечному перебору. Похожий подход используется в разложении многочлена f на неприводимые множители над полем рациональных чисел методом Кронекера. Если многочлен f (x ) степени n приводим, то один из множителей имеет степень не выше n /2. Обозначим этот множитель через g (x ). Поскольку все коэффициенты многочленов суть целые числа, то для любого целого a значение f (a ) делится без остатка на g (a ). Выберем m= 1+n /2 различных целых чисел a i , i =1,…,m . Для чисел g (a i) существует конечное число возможностей (число делителей любого ненулевого числа конечно), следовательно, существует конечное число многочленов, которые могут быть делителями f (x ). Осуществив полный перебор, либо покажем неприводимость многочлена, либо разложим его в произведение двух многочленов. К каждому множителю применим указанную схему до тех пор, пока все множители не станут неприводимыми многочленами.

Неприводимость некоторых многочленов над полем рациональных чисел можно установить с помощью простого критерия Эйзенштейна.

Пусть f (x ) многочлен над кольцом целых чисел. Если существует простое число p , что

I. Все коэффициенты многочлена f (x ), кроме коэффициента при старшей степени, делятся на p

II. Коэффициент при старшей степени не делится на p

III. Свободный член не делится на

Тогда многочлен f (x ) неприводим над полем рациональных чисел.

Следует отметить, что критерий Эйзенштейна даёт достаточные условия неприводимости многочленов, но не необходимые. Так многочлен является неприводимым над полем рациональных чисел, но не удовлетворяет критерию Эйзенштейна.

Многочлен , по критерию Эйзенштейна, является неприводимым. Следовательно, над полем рациональных чисел найдётся неприводимый многочлен степени n , где n любое натуральное число больше 1.

Над полем вещественных чисел любой неприводимый многочлен одной переменной имеет степень 1 или 2, причем многочлен 2-й степени неприводим над полем R тогда и только тогда, когда он имеет отрицательный дискриминант, например, многочлен неприводим над полем вещественных чисел, поскольку его дискриминант отрицательный.

Критемрий Эмйзенштейна - признак неприводимости многочлена, названный в честь немецкого математика Фердинанда Эйзенштейна. Несмотря на (традиционное) название, является именно признаком, то есть достаточным условием - но вовсе не необходимым, как можно было бы предположить, исходя из математического смысла слова «критерий»

Теорема (критерий Эйзенштейна) . Пусть - многочлен над факториальным кольцом R (n >0), и для некоторого неприводимого элемента p выполняются следующие условия:

Не делится на p ,

Делится на p , для любого i от 0 до n- 1,

Не делится на.

Тогда многочлен неприводим над F полем частных кольца R .

Следствие. Над любым полем алгебраических чисел существуют неприводимый многочлен любой наперёд заданной степени; например, многочлен, где n >1 и p Ї некоторое простое число.

Рассмотрим примеры применения этого критерия, когда R - кольцо целых чисел, а F - поле рациональных чисел.

Примеры :

Многочлен неприводим над Q.

Многочлен деления круга неприводим. В самом деле, если он приводим, то приводим и многочлен, а так как все его коэффициенты, кроме первого являются биномиальными, то есть делятся на p , а последний коэффициент `амен p и к тому же не делится на то по критерию Эйзенштейна он неприводим вопреки предположению.

Следующие пять многочленов демонстрируют некоторые элементарные свойства неприводимых многочленов:

Над кольцом Z целых чисел, первые два многочлена - приводимые, последние два - неприводимые. (Третий вообще не является многочленом над целыми числами).

Над полем Q рациональных чисел, первые три многочлена являются приводимыми, двое других - неприводимыми.

Над полем R действительных чисел, первые четыре многочлена - приводимые, но является неприводимым. В поле действительных чисел неприводимыми являются линейные многочлены и квадратичные многочлены без действительных корней. Например, разложение многочлена в поле действительных чисел имеет вид. Оба множителя в данном разложении являются неприводимыми многочленами.

Над полем C комплексных чисел, все пять многочленов - приводимые. Фактически, каждый отличный от константы многочлен над C может быть разложен на множители вида:

где n - степень многочлена, a - старший коэффициент, - корни многочлена. Поэтому единственными неприводимыми многочленами над С являются линейные многочлены (основная теорема алгебры).