Построение касательной к касающимся окружностям. Взаимное расположение двух окружностей

Обычно в такой задаче дана окружность и точка. Требуется построить касательную к окружности, при этом касательная должна проходить через заданную точку.

Если местонахождение точки не оговаривается, то следует отдельно оговорить три возможных случая расположения точки.

Если точка лежит внутри круга, ограниченного данной окружностью, то касательную через нее построить нельзя.
Если точка лежит на окружности, то касательная строится путем построения перпендикулярной прямой к радиусу, проведенному к данной точке.
Если точка лежит за пределами круга, ограниченного окружностью, то перед построением касательной ищется точка на окружности, через которую она должна пройти.

Для решения второго случая на прямой, на которой лежит радиус, строится отрезок, равный радиусу и лежащий по другую строну от точки на окружности. Таким образом точка на окружности получается серединой отрезка, равному удвоенному радиусу. Далее строятся две окружности, чьи радиусы равны удвоенному радиусу исходной окружности, с центрами в концах отрезка, равному удвоенному радиусу. Через любую точку пересечения этих окружностей и заданную по условию задачи точку проводится прямая. Она будет срединным перпендикуляром к радиусу исходной окружности, то есть перпендикулярна ей, а значит, являться касательной к окружности.

Решить третий случай, когда точка лежит за пределами круга, ограниченного окружностью, можно так. Следует построить отрезок, соединяющий центр данной окружности и данную точку. Далее найти его середину, построив срединный перпендикуляр (описано в предыдущем абзаце). После этого начертить окружность (или ее часть). Точка пересечения построенной окружности и заданной по условию задачи есть точка, через которую проходит касательная, проходящая также через заданную по условию задачи точку. Через две известные точки проводится прямая-касательная.

Чтобы доказать, что построенная прямая - это касательная, следует рассмотреть угол, образованный радиусом данной по условию задачи окружности и отрезком, соединяющим точку пересечения окружностей с точкой, данной по условию задачи. Этот угол опирается на полуокружность (диаметр построенной окружности), а значит он прямой. То есть радиус перпендикулярен построенной прямой. Следовательно, построенная прямая является касательной.

Цели урока

Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: “Касательная к окружности”; выработка основных навыков.
Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
Ввести понятие касательной, точки касания.
Рассмотреть свойство касательной и её признак и показать их применение при решении задач в природе и технике.

Задачи урока

Формировать навыки в построении касательных с помощью масштабной линейки, транспортира и чертежного треугольника.
Проверить умение учащихся решать задачи.
Обеспечить овладение основными алгоритмическими приёмами построения касательной к окружности.
Сформировать умения применять теоретические знания к решению задач.
Развивать мышление и речь учащихся.
Работать над формированием умений наблюдать, подмечать закономерности, обобщать, проводить рассуждения по аналогии.
Привитие интереса к математике.

План урока

Появление понятия касательной.
История появления касательной.
Геометрические определения.
Основные теоремы.
Построение касательной к окружности.
Закрепление.

Появление понятия касательной

Понятие касательной – одно из древнейших в математике. В геометрии касательную к окружности определяют как прямую, имеющую ровно одну точку пересечения с этой окружностью. Древние с помощью циркуля и линейки умели проводить касательные к окружности, а в последствии – к коническим сечениям: эллипсам, гиперболам и параболам.

История появления касательной

Интерес к касательным возродился в Новое время. Тогда были открыты кривые, которых не знали учёные древности. Например, Галилей ввёл циклоиду, а Декарт и Ферма построили к ней касательную. В первой трети XVII в. Начали понимать, что касательная – прямая, «наиболее тесно примыкающая» к кривой в малой окрестности заданной точки. Легко представить себе такую ситуацию, когда нельзя построить касательную к кривой в данной точке (рисунок).

Геометрические определения

Окружность - геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой её центром.

окружность .

Связанные определения

Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой (а также длина этого отрезка), называется радиусом окружности.
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом .
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой . Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром .
Любые две несовпадающие точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Прямая, проходящая через две точки окружности, называется секущей .
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в её центре.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом .
Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими .

Касательная прямая - прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Прямая, проходящая через точку окружности в той же плоскости перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку, называется касательной . При этом данная точка окружности называется точкой касания.

Где в нашем случаи "а" это прямая какая является касательной к данной окружности, точка "А" является точкой касания. При этом а⊥ОА (прямая а перпендикулярна радиусу ОА).

Говорят, что две окружности касаются , если они имеют единственную общую точку. Эта точка называется точкой касания окружностей . Через точку касания можно провести касательную к одной из окружностей, которая является одновременно и касательной к другой окружности. Касание окружностей бывает внутренним и внешним.

Касание называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от касательной.

Касание называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от касательной

а – общая касательная к двум окружностям, К – точка касания.

Основные теоремы

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA MB.

Теорема. Радиус, проведенный в точку касания окружности, перпендикулярен касательной.

Теорема. Если радиус перпендикулярен прямой в точке пересечения ею окружности, то эта прямая - касательная к этой окружности.

Доказательство.

Для доказательства этих теорем нам нужно вспомнить, что такое перпендикуляр из точки на прямую. Это кратчайшее растояние от этой точки до этой прямой. Допустим, что ОА не перпендикулярен касательной, а есть прямая ОС перпендикулярная касательной. Длина ОС заключает в себе длину радиуса и еще некий отрезок ВС, что безусловно больше радиуса. Таким образом, можно доказывать для любой прямой. Заключаем, что радиус, радиус проведенный в точку касания, есть кратчайшее растояние до касательной из точки О, т.е. ОС перпендикулярен касательной. В доказательстве обратной теоремы будем исходить из того, что касательная имеет с окружностью только одну общую точку. Пусть данная прямая имеет еще одну общую точку В с окружностью. Треугольник АОВ прямоугольный и в нем две стороны равны как радиусы, чего быть не может. Таким образом получаем, что данная прямая не имеет больше общих точек с окружность кроме точки А, т.е. является касательной.

Теорема. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, а прямая, соединяющая эту точку с центром окружности, делит угол между касательными попалам.

Доказательство.

Доказательство очень простое. Используя предыдущую теорему, утверждаем, что ОВ перпендикулярен АВ, а ОС - АС. Прямоугольные треугольники АВО и АСО равны по катету и гипотенузе (ОВ=ОС - радиусы, АО - общая). Поэтому равны и их катеты АВ=АС и углы ОАС и ОАВ.

Теорема. Величина угла, образованного касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине угловой величины дуги, заключенной между его сторонами.

Доказательство.

Рассмотрим угол NАВ, образованный касательной и хордой. Проведем диаметр АС. Касательная перпендикулярна диаметру, проведенному в точку касания, следовательно, ∠CAN=90 о. Зная теорему, видим, что угол альфа (a) равен половинеполовине угловой величины дуги ВС или половине угла ВОС. ∠NAB=90 о -a, отсюда получаем ∠NAB=1/2(180 о -∠BOC)=1/2∠АОВ или = половине угловой величины дуги ВА. ч.т.д.

Теорема. Если из точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью.

Доказательство.

На рисунке эта теорема выглядит так: МА 2 =МВ*МС. Докажем это. По предыдущей теореме угол МАС равен половине угловой величины дуги АС, но также и угол АВС равен половине угловой величины дуги АС по теореме, следовательно, эти углы равны между собой. Принимая во внимание то, что у треугольников АМС и ВМА угол при вершине М общий, констатируем подобие этих треугольников по двум углам (второй признак). Из подобия имеем: МА/MB=MC/MA, откуда получаем МА 2 =МВ*МС

Построение касательных к окружности

А теперь давайте попробуем разобраться и узнать, что нужно сделать, чтобы построить касательную к окружности.

В этом случае, как правило, в задаче дается окружность и точка. А нам с вами необходимо построить касательную к окружности так, чтобы эта касательная проходила через заданную точку.

В том случае, если нам неизвестно месторасположение точки, то давайте рассмотрим случаи возможного расположения точек.

Во-первых, точка может находиться внутри круга, который ограничен данной окружностью. В этом случае касательную через эту окружность построить нет возможности.

Во втором случае, точка находится на окружности, и мы можем строить касательную, проведя перпендикулярную прямую к радиусу, которой проведен к известной нам точке.

В-третьих, припустим, точка находится за приделами круга, который ограничен окружностью. В этом случае перед тем, как построить касательную, необходимо найти точку на окружности, через которую должна пройти касательная.

С первым случаем, я надеюсь вам все понятно, а вот для решения второго варианта нам необходимо на прямой, на которой лежит радиус, построить отрезок. Этот отрезок должен быть равен радиусу и отрезку, который лежит на окружности, на противоположной стороне.

Здесь мы с вами видим, что точка на окружности является серединой отрезка, который равен удвоенному радиусу. Следующим этапом будет построение двух окружностей. Радиусы этих окружностей будут равняться удвоенному радиусу первоначальной окружности, с центрами в концах отрезка, который равен удвоенному радиусу. Теперь мы можем через любую точку пересечения этих окружностей и заданную точку провести прямую. Такая прямая является срединным перпендикуляром к радиусу окружности, которая была начерчена вначале. Таким образом, мы с вами видим, что эта прямая перпендикулярна окружности и из этого следует, что она является касательной к окружности.

В третьем варианте у нас есть точка, лежащая за приделами круга, который ограничен окружностью. В этом случае мы вначале строим отрезок, который соединит центр предоставленной окружности и заданную точку. А дальше мы находим его середину. Но для этого необходимо построить серединный перпендикуляр. А как его построить вам уже известно. Потом нам нужно начертить окружность или хотя бы ее часть. Теперь мы видим, что точка пересечения заданной окружности и вновь построенной и есть та точка, через которую проходит касательная. Также она проходит и через точку, которая была задана по условию задачи. И наконец, уже через известные вам две точки вы можете провести касательную прямую.

Ну и наконец, чтобы доказать, то, что построенная нами прямая является касательной, нужно обратить внимание на угол, который был образован радиусом окружности и отрезком, известным по условию и соединяющим точку пересечения окружностей с точкой, данной по условию задачи. Теперь мы видим, что образовавшийся угол опирается на полуокружность. А из этого следует, что этот угол прямой. Следовательно, радиус будет перпендикулярен вновь построенной прямой, а эта прямая и есть касательная.

Построение касательной.

Построение касательных – одна из тех задач, которые привели к рождению дифференциального исчисления. Первый опубликованный труд, относящийся к дифференциальному исчислению и принадлежащий перу Лейбница, имел название «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления».

Геометрические познания древних египтян.

Если не учитывать весьма скромный вклад древних обитателей долины между Тигром и Евфратом и Малой Азии, то геометрия зародилась в Древнем Египте до 1700 до н.э. Во время сезона тропических дождей Нил пополнял свои запасы воды и разливался. Вода покрывала участки обработанной земли, и в целях налогообложения нужно было установить, сколько земли потеряно. Землемеры использовали в качестве измерительного инструмента туго натянутую веревку. Еще одним стимулом накопления геометрических знаний египтянами стали такие виды их деятельности, как возведение пирамид и изобразительное искусство.

Об уровне геометрических познаний можно судить из древних рукописей, которые специально посвящены математике и являются чем-то вроде учебников, или, вернее, задачников, где даны решения разных практических задач.

Древнейшая математическая рукопись египтян переписана неким учеником между 1800 – 1600 г.г. до н.э. с более древнего текста. Папирус разыскал русский египтолог Владимир Семенович Голенищев. Он хранится в Москве - в Музее изобразительных искусств имени А.С. Пушкина, и называется Московским папирусом.

Другой математический папирус, написанный лет на двести-триста позднее Московского, хранится в Лондоне. Он называется: „Наставление, как достигнуть знания всех тёмных вещей, всех тайн, которые скрывают в себе вещи… По старым памятникам писец Ахмес написал это". Рукопись так и называют „папирусом Ахмеса", или папирусом Райнда - по имени англичанина, который разыскал и купил этот папирус в Египте. В папирусе Ахмеса даётся решение 84 задач на различные вычисления, которые могут понадобиться на практике.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

города Новосибирска «Гимназия №4»

Секция: математика

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

по теме:

СВОЙСТВА ДВУХ КАСАЮЩИХСЯ ОКРУЖНОСТЕЙ

Учеников 10 класса:

Хазиахметова Радика Ильдаровича

Зубарева Евгения Владимировича

Руководитель:

Л.Л. Баринова

Учитель математики

Высшей квалификационной категории

§ 1.Введение………..………………………….…………………………………………………3

§ 1.1 Взаимное расположение двух окружностей………………………...…………...………3

§ 2 Свойства и их доказательства………………………………………..…………….....….…4

§ 2.1 Свойство 1………………...……………………………………..…………………...….…4

§ 2.2 Свойство 2……………………………………………………..…………………...………5

§ 2.3 Свойство 3……………………………………………………..…………………...………6

§ 2.4 Свойство 4……………………………………………………..…………………...………6

§ 2.5 Свойство 5…………………………………..……………………………………...………8

§ 2.6 Свойство 6………………………………………………..………………………...………9

§ 3 Задачи…………………………………………………..…………………...…...………..…11

Список литературы………………………………………………………………….………….13

§ 1.Введение

Многие задачи, включающие в себя две касающиеся окружности, можно решить более коротко и просто, зная некоторые свойства, которые будут представлены дальше.

Взаимное расположение двух окружностей

Для начала оговорим возможное взаимное расположение двух окружностей. Может быть 4 различных случая.

1.Окружности могут не пересекаться.

2.Пересекаться.

3. Касаться в одной точке снаружи.

4.Касаться в одной точке внутри.

§ 2. Свойства и их доказательства

Перейдем непосредственно к доказательству свойств.

§ 2.1 Свойство 1

Отрезки между точками пересечения касательных с окружностями равны между собой и равны двум средним геометрическим радиусов данных окружностей.

Доказательство 1. О 1 А 1 и О 2 В 1 – радиусы, проведённые в точки касания.

2. О 1 А 1 ┴ А 1 В 1 , О2В1 ┴ А 1 В 1 → О 1 А 1 ║ О 2 В 1 .(по пункту 1)

▲О 1 О 2 D – прямоугольный, т.к. О 2 D ┴ О 2 В 1
О 1 О 2 = R + r, О 2 D = R – r

По теореме Пифагора А 1 В 1 = 2√Rr

(O 1 D 2 =(R+r) 2 -(R-r) 2 =R 2 +2Rr+r2-R 2 +2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr)

А 2 В 2 = 2√Rr (доказывается аналогично)

1)Проведем радиусы в точки пересечения касательных с окружностями.

2)Эти радиусы будут перпендикулярны касательным и параллельны друг другу.

3)Опустим перпендикуляр из центра меньшей окружности к радиусу большей окружности.

4)Гипотенуза полученного прямоугольного треугольника равна сумме радиусов окружностей. Катет равен их разности.

5)По теореме Пифагора получаем искомое соотношение.

§ 2.2 Свойство 2

Точки пересечения прямой, пересекающей точку касания окружностей и не лежащей ни в одной из них, с касательными делят пополам отрезки внешних касательных, ограниченные точками касания, на части, каждая из которых равна среднему геометрическому радиусов данных окружностей.

Доказательство 1.МС = МА 1 (как отрезки касательных)

2.МС = МВ 1 (как отрезки касательных)

3.А 1 М = МВ 1 = √Rr , А 2 N = NB 2 = √Rr (по пункту 1 и 2)

Утверждения, используемые в доказательстве Отрезки касательных, проведенных из одной точки к некоторой окружности равны. Используем это свойство для обеих данных окружностей.

§ 2.3 Свойство 3

Длина отрезка внутренней касательной, заключенного между внешними касательными, равна длине отрезка внешней касательной между точками касания и равна двум средним геометрическим радиусов данных окружностей.

Доказательство Этот вывод следует из предыдущего свойства.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 Свойство 4

Треугольник, образованный центрами касающихся окружностей и серединой отрезка касательной между радиусами, проведенными в точки касания, прямоугольный. Отношение его катетов равно частному корней радиусов этих окружностей.

Доказательство 1.МО 1 – биссектриса угла А 1 МС, МО 2 – биссектриса угла В 1 МС, т.к. центр окружности, вписанной в угол лежит на биссектрисе этого угла.

2.По пункту 1 ÐО 1 МС + ÐСМО 2 = 0,5(ÐА1МС + ÐСМВ 1) = 0,5p = p/2

3.ÐО 1 МО 2 – прямой. МС – высота треугольника O 1 МО 2 , т.к. касательная МN перпендикулярна радиусам, проведённым в точки касания → треугольники О 1 МС и МО 2 С – подобны.

4.О 1 М / МО 2 = О 1 С / МС = r / √Rr = √r / R (по подобию)

Утверждения, используемые в доказательстве 1)Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Катеты треугольника являются биссектрисами углов.

2)Пользуясь тем, что образованные таким образом углы равны, получаем, что искомый рассматриваемый нами угол прямой. Делаем вывод о том, что данный треугольник действительно прямоугольный.

3)Доказываем подобие треугольников, на которые высота (так как касательная перпендикулярна радиусам, проведенным в точки касания) делит прямоугольный треугольник, и по подобию получаем искомое отношение.

§ 2.5 Свойство 5

Треугольник, образованный точкой касания окружностей друг с другом и точками пересечения окружностей с касательной, прямоугольный. Отношение его катетов равно частному корней радиусов этих окружностей.

Доказательство

▲А 1 МС и ▲СМВ 1 – равнобедренные → ÐМА 1 С = ÐМСА 1 = α, ÐМВ 1 С = ÐМСВ 1 = β.

2α + 2β + ÐА 1 МС + ÐСМВ 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (ÐА 1 МС + ÐСМВ 1) = 2p - p = p, α + β = p/2

Но ÐА 1 СВ 1 = α + β → ÐА 1 СВ 1 – прямой → ÐВ 1 СО 2 = ÐСВ 1 О 2 = p/2 – β = α

▲А 1 МС и ▲СО 2 В 1 – подобны → А 1 С / СВ 1 = МС / О 2 В 1 = √Rr / R = √r / R

Утверждения, используемые в доказательстве 1)Расписываем сумму углов треугольников, пользуясь тем, что они равнобедренные. Равнобедренность треугольников доказывается при помощи свойства о равенстве отрезков касательных.

2)Расписав сумму углов таким образом, получаем, что в рассматриваемом треугольнике есть прямой угол, следовательно он прямоугольный. Первая часть утверждения доказана.

3)По подобию треугольников(при его обосновании пользуемся признаком подобия по двум углам) находим отношение катетов прямоугольного треугольника.

§ 2.6 Свойство 6

Четырехугольник, образованный точками пересечения окружностей с касательной, является трапецией, в которую можно вписать окружность.

Доказательство 1.▲А 1 РА 2 и ▲В 1 РВ 2 – равнобедренные т.к. А 1 Р = РА 2 и В 1 Р = РВ 2 как отрезки касательных → ▲А 1 РА 2 и ▲В 1 РВ 2 – подобные.

2.А 1 А 2 ║ В 1 В 2 , т.к. равны соответственные углы, образованные при пересечении секущей А 1 В 1.

MN – средняя линия по свойству 2 → А 1 А 2 + В 1 В 2 = 2MN = 4√Rr

А 1 В 1 + А 2 В 2 = 2√Rr + 2√Rr = 4√Rr = А 1 А 2 + В 1 В 2 → в трапеции А 2 А 1 В 1 В 2 сумма оснований равна сумме боковых сторон, а это является необходимым и достаточным условием существования вписанной окружности.

Утверждения, используемые в доказательстве 1)Вновь воспользуемся свойством отрезков касательных. С его помощью докажем равнобедренность треугольников, образованных точкой пересечения касательных и точками касания.

2)Из этого будет следовать подобие данных треугольников и параллельность их оснований. На этом основании делаем вывод о том, что этот четырехугольник является трапецией.

3)По доказанному нами ранее свойству(2) находим среднюю линию трапеции. Она равна двум средним геометрическим радиусов окружностей. В полученной трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон, а это является необходимым и достаточным условием для существования вписанной окружности.

§ 3.Задачи

Рассмотрим на практическом примере, как можно упростить решение задачи, используя изложенные выше свойства.

Задача 1

В треугольнике АВС сторона АС=15 см. В треугольник вписана окружность. Вторая окружность касается первой и сторон АВ и ВС. На стороне АВ выбрана точка F, а на стороне ВС - точка М так, что отрезок FM является общей касательной к окружностям. Найдите отношение площадей треугольника BFM и четырехугольника АFМС, если FM - 4 см, а точка М отстоит от центра одной окружности на расстояние в два раза большее, чем от центра другой.

Дано: FM-общая касательная AC=15см FM=4см O 2 M=2О 1 M

Найти S BFM /S AFMC

Решение:

1)FM=2√Rr,O 1 M/O 2 M=√r/R

2)2√Rr=4, √r/R=0,5 →r=1,R=4; PQ=FM=4

3)▲BO 1 P и ▲BO 2 Q подобны → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0,25;BP=4/3

4)FM+BP=16/3, S FBM =r*Р FBM =1*(16/3)=16/3; AC+BQ=15+4/3+4=61/3

5)S ABC =R*Р ABC =4*(61/3)=244/3 → S BFM /S AFMC =(16/3):(244/3)=4/61

Задача 2

В равнобедренный треугольник АВС вписаны две касающиеся окружности с их общей точкой Д и проходящей через эту точку общей касательной FK. Найти расстояние между центрами этих окружностей, если основание треугольника АС = 9 см, а отрезок боковой стороны треугольника заключенный между точками касания окружностей равен 4 см.

Дано: ABC – равнобедренный треугольник; FK – общая касательная вписанных окружностей. АС = 9 см; NE = 4 см

Решение:

Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке О. Тогда ОА = ОD, ОВ = ОС, поэтому CD = = AB = 2√Rr

Точки О 1 и О 2 лежат на биссектрисе угла AOD. Биссектриса равнобедренного треугольника AOD является его высотой, поэтому AD ┴ O 1 O 2 и BC ┴ O 1 O 2 , значит,

AD ║ BC и ABCD – равнобедренная трапеция.

Отрезок MN – ее средняя линия, поэтому AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

Следовательно, в эту трапецию можно вписать окружность.

Пусть AP – высота трапеции, прямоугольные треугольники АРВ и О 1 FO 2 подобны, поэтому АР/О 1 F = АВ/О 1 О 2 .

Отсюда находим, что

Список литературы

Приложение к газете «Первое сентября» «Математика» №43, 2003 год
ЕГЭ 2010. Математика. Задача С4. Гордин Р.К.