Многочлены от нескольких переменных решение однородных уравнений. Многочлен, его стандартный вид, степень и коэффициенты членов

После изучения одночленов переходим к многочленам. Данная статья расскажет о всех необходимых сведениях, необходимых для выполнения действий над ними. Мы определим многочлен с сопутствующими определениями члена многочлена, то есть свободный и подобный, рассмотрим многочлен стандартного вида, введем степень и научимся ее находить, поработаем с его коэффициентами.

Многочлен и его члены – определения и примеры

Определение многочлена было дано еще в 7 классе после изучения одночленов. Рассмотрим его полное определение.

Определение 1

Многочленом считается сумма одночленов, причем сам одночлен – это частный случай многочлена.

Из определения следует, что примеры многочленов могут быть различными: 5 , 0 , − 1 , x , 5 · a · b 3 , x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z и так далее. Из определения имеем, что 1 + x , a 2 + b 2 и выражение x 2 - 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5 , 2 · y · x являются многочленами.

Рассмотрим еще определения.

Определение 2

Членами многочлена называются его составляющие одночлены.

Рассмотрим такой пример, где имеем многочлен 3 · x 4 − 2 · x · y + 3 − y 3 , состоящий из 4 членов: 3 · x 4 , − 2 · x · y , 3 и − y 3 . Такой одночлен можно считать многочленом, который состоит из одного члена.

Определение 3

Многочлены, которые имеют в своем составе 2 , 3 трехчлена имеют соответственное название – двучлен и трехчлен .

Отсюда следует, что выражение вида x + y – является двучленом, а выражение 2 · x 3 · q − q · x · x + 7 · b – трехчленом.

По школьной программе работали с линейным двучленом вида a · x + b , где а и b являются некоторыми числами, а х – переменной. Рассмотрим примеры линейных двучленов вида: x + 1 , x · 7 , 2 − 4 с примерами квадратных трехчленов x 2 + 3 · x − 5 и 2 5 · x 2 - 3 x + 11 .

Для преобразования и решения необходимо находить и приводить подобные слагаемые. Например, многочлен вида 1 + 5 · x − 3 + y + 2 · x имеет подобные слагаемые 1 и - 3 , 5 х и 2 х. Их подразделяют в особую группу под названием подобных членов многочлена.

Определение 4

Подобные члены многочлена – это подобные слагаемые, находящиеся в многочлене.

В примере, приведенном выше, имеем, что 1 и - 3 , 5 х и 2 х являются подобными членами многочлена или подобными слагаемыми. Для того, что бы упростить выражение, применяют нахождение и приведение подобных слагаемых.

Многочлен стандартного вида

У всех одночленов и многочленов имеются свои определенные названия.

Определение 5

Многочленом стандартного вида называют многочлен, у которого каждый входящий в него член имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.

Из определения видно, что возможно приведение многочленов стандартного вида, например, 3 · x 2 − x · y + 1 и __formula__, причем запись в стандартном виде. Выражения 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z и 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z многочленами стандартного вида не является, так как первый из них имеет подобные слагаемые в виде 3 · x 2 и − x 2 , а второй содержит одночлен вида x · y 3 · x · z 2 , отличающийся от стандартного многочлена.

Если того требуют обстоятельства, иногда многочлен приводится к стандартному виду. Многочленом стандартного вида считается и понятие свободного члена многочлена.

Определение 6

Свободным членом многочлена является многочлен стандартного вида, не имеющий буквенной части.

Иначе говоря, когда запись многочлена в стандартном виде имеет число, его называют свободным членом. Тогда число 5 является свободным членом многочлена x 2 · z + 5 , а многочлен 7 · a + 4 · a · b + b 3 свободного члена не имеет.

Степень многочлена – как ее найти?

Определение самой степени многочлена базируется на определении многочлена стандартного вида и на степенях одночленов, которые являются его составляющими.

Определение 7

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в его запись.

Рассмотрим на примере. Степень многочлена 5 · x 3 − 4 равняется 3 , потому как одночлены, входящие в его состав, имеют степени 3 и 0 , а большее из них 3 соответственно. Определение степени из многочлена 4 · x 2 · y 3 − 5 · x 4 · y + 6 · x равняется наибольшему из чисел, то есть 2 + 3 = 5 , 4 + 1 = 5 и 1 , значит 5 .

Следует выяснить, каким образом находится сама степень.

Определение 8

Степень многочлена произвольного числа - это степень соответствующего ему многочлена в стандартном виде.

Когда многочлен записан не в стандартном виде, но нужно найти его степень, необходимо приведение к стандартному, после чего находить искомую степень.

Пример 1

Найти степень многочлена 3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 .

Решение

Для начала представим многочлен в стандартном виде. Получим выражение вида:

3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 = = (3 · a 12 − 2 · a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

При получении многочлена стандартного вида получаем, что отчетливо выделяются два из них − 2 · a 2 · b 2 · c 2 и y 2 · z 2 . Для нахождения степеней посчитаем и получим, что 2 + 2 + 2 = 6 и 2 + 2 = 4 . Видно, что наибольшая из них равняется 6 . Из определения следует, что именно 6 является степенью многочлена − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 , следовательно и исходного значения.

Ответ : 6 .

Коэффициенты членов многочлена

Определение 9

Когда все члены многочлена являются одночленами стандартного вида, то в таком случаем они имеют название коэффициентов членов многочлена. Иначе говоря, их можно называть коэффициентами многочлена.

При рассмотрении примера видно, что многочлен вида 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 имеет в своем составе 4 многочлена: 2 · x , − 0 , 5 · x · y , 3 · x и 7 с соответствующими их коэффициентами 2 , − 0 , 5 , 3 и 7 . Значит, 2 , − 0 , 5 , 3 и 7 считаются коэффициентами членов заданного многочлена вида 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 . При преобразовании важно обращать внимание на коэффициенты, стоящие перед переменными.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

От нескольких переменных. Напомним сначала понятие многочлена и связанные с этим понятием определения.

Определение 1

Многочлен -- это сумма одночленов.

Определение 2

Члены многочлена -- это все одночлены, входящие в многочлен.

Определение 3

Многочленом стандартного вида называют многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, который не имеет подобных членов.

Определение 4

Степень многочлена стандартного вида -- наибольшая степень из степеней входящих в него одночленов.

Введем теперь непосредственно определение многочлена от двух переменных.

Определение 5

Многочлен, члены которого имеют только две различные переменные называется многочленом от двух переменных.

Пример: ${6y}^6+{13xy}^5$.

Над двучленами можно проводить следующие действия: двучлены можно складывать друг с другом и вычитать друг из друга, перемножать между собой, а также умножать двучлен на одночлен и возводить в какую-либо степень.

Сумма многочленов от двух переменных

Рассмотрим сумму двучленов на примере

Пример 1

Сложим двучлены ${xy}^5+{3x}^5$ и ${3x}^5-{xy}^5$

Решение.

Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как сумму:

\[\left({xy}^5+{3x}^5\right)+({3x}^5-{xy}^5)\]

Раскроем скобки:

\[{xy}^5+{3x}^5+{3x}^5-{xy}^5\]

\[{6x}^5\]

Ответ: ${6x}^5$.

Разность многочленов от двух переменных

Пример 2

Вычтем из двучлена ${xy}^5+{3x}^5$ двучлен ${3x}^5-{xy}^5$

Решение.

Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как разность:

\[\left({xy}^5+{3x}^5\right)-({3x}^5-{xy}^5)\]

Раскроем скобки:

Напомним, что если перед скобками стоит знак минус, то, при раскрытии скобок, знаки в скобках будут меняться на противоположные.

\[{xy}^5+{3x}^5-{3x}^5+{xy}^5\]

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

\[{2xy}^5\]

Ответ: ${2xy}^5$.

Произведения одночлена и многочлена от двух переменных

В результате перемножения одночлена с многочленом всегда получается многочлен.

Схема умножения одночлена на многочлен

• составляется произведение.
• раскрываются скобки. Для того, чтобы раскрыть скобки при умножении необходимо перемножить каждый одночлен на каждый член многочлена и сложить их между собой.
• группируются числа с числами, одинаковые переменные друг с другом.
• перемножаются числа и складываются степени соответствующих одинаковых переменных.

Пример 3

Умножим одночлен $x^2y$ на многочлен $(x^2y^2-x^2-y^2)$

Решение.

Составим произведение:

Раскроем скобки:

Перемножив, получим:

Ответ: $x^4y^3+x^4y\ +{x^2y}^3$.

Произведение двух многочленов с двумя переменными

Правило умножения многочлена на многочлен : Для того, чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлен, сложить полученные произведения и полученный многочлен привести к стандартному виду.

Понятие многочлена

Определение 1

Одночлен -- это числа, переменные, их степени и произведения.

Определение 2

Многочлен -- это сумма одночленов.

Пример: ${31xy}^5+y^6+{3xz}^5$.

Определение 4

Стандартный вид одночлена -- запись одночлена в виде произведения числа и натуральных степеней переменных, входящих в одночлен.

Определение 5

Многочленом стандартного вида называют многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, который не имеет подобных членов.

Определение 6

Степень одночлена -- сумма всех степеней переменных, входящих в одночлен.

Определение 7

Степень многочлена стандартного вида -- наибольшая степень из степеней входящих в него одночленов.

Для понятия многочлена нескольких переменных можно выделить частные случаи: двучлен и трехчлен.

Определение 8

Двучлен -- многочлен, состоящий из двух членов.

Пример: ${6b}^6+{13aс}^5$.

Определение 9

Трехчлен -- многочлен, состоящий из трех членов.

Пример: ${xy}^5+y^6+{xz}^5$

Над многочленами можно проводить следующие действия: многочлены можно складывать друг с другом и вычитать друг из друга, перемножать между собой, а также умножать многочлен на одночлен.

Сумма многочленов

Многочлены можно складывать друг с другом. Рассмотрим следующий пример.

Пример 1

Сложим многочлены ${3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5$ и ${6y}^6-{xy}^5+{3x}^5$

Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как сумму:

\[\left({3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5\right)+({6y}^6-{xy}^5+{3x}^5)\]

Раскроем скобки:

\[{3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5+{6y}^6-{xy}^5+{3x}^5\]

\[{2xy}^5+\ {12y}^6+{16x}^5\]

Видим, что результатом суммы этих двух многочленов получили также многочлен.

Разность многочленов

Пример 2

Вычтем из многочлена ${3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5$ многочлен ${6y}^6-{xy}^5+{3x}^5$.

Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как разность:

\[\left({3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5\right)-({6y}^6-{xy}^5+{3x}^5)\]

Раскроем скобки:

Напомним, что если перед скобками стоит знак минус, то, при раскрытии скобок, знаки в скобках будут меняться на противоположные.

\[{3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5-{6y}^6+{xy}^5-{3x}^5\]

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

\[{4xy}^5+{10x}^5\]

Видим, что результатом разности этих двух многочленов получили также многочлен.

Произведения одночлена и многочлена

В результате перемножения одночлена с многочленом всегда получается многочлен.

Схема умножения одночлена на многочлен.

• составляется произведение.
• раскрываются скобки. Для того чтобы раскрыть скобки, при умножении необходимо перемножить каждый одночлен на каждый член многочлена и сложить их между собой.
• группируются числа с числами, одинаковые переменные друг с другом.
• перемножаются числа и складываются степени соответствующих одинаковых переменных.

Пример 3

Умножим одночлен $(-m^2n)$ на многочлен $(m^2n^2-m^2-n^2)$

Решение.

Составим произведение:

\[(-m^2n\)\cdot (m^2n^2-m^2-n^2)\]

Раскроем скобки:

\[\left(-m^2n\ \right)\cdot m^2n^2+\left(-m^2n\ \right)\cdot (-m^2)+(-m^2n\)\cdot (-n^2)\]

Перемножив, получим.

Возьмем две буквы x и y . Произведение где а – число, называется одночленом. Его степень равна k+l . Сумма одночленов называется многочленом. В отличие от многочленов с одной переменной, для многочленов с большим числом переменных нет общепринятой стандартной записи.
Так же, как и многочлены от одной переменной, многочлены от двух переменных могут раскладываться на множители. Важным разложением является разложение разности n- ых степеней, которое вам известно для n=2 и 3 :


Эти формулы легко обобщаются для произвольного n :

Сумма n- ых степеней легко раскладывается в случае, когда n нечетно. Слагаемое можно представить в виде и воспользоваться формулой разложения разности n- ых степеней.

Симметричные многочлены
Среди многочленов от двух переменных важную роль играют симметричные многочлены, т. е. многочлены, не меняющиеся при перестановке букв x и y .

Симметри́ческий многочле́н - многочлен от n переменных , не изменяющийся при всех перестановках входящих в него переменных.

Примеры

• Основные симметрические многочлены - многочлены вида

определённые для , то есть такие:

Урок алгебры и начал анализа11-й класс

" Многочлены от нескольких переменных"

Цели: Расширить знания о многочленах с одной переменной и многочленах от нескольких переменных, о приемах разложения многочленов на множители.

Задачи:

Образовательные :

сформировать умения представлять многочлен с несколькими переменными в стандартном виде;

закрепить навыки разложения многочлена на множители разными способами;

научить применять ключевые задачи не только в знакомой, но в модифицированной и незнакомой ситуациях.

Развивающие

обеспечить условия для развития познавательных процессов;

способствовать развитию логического мышления, наблюдательности, умения правильно обобщать данные и делать выводы;

c одействовать развитию умений применять знания в нестандартных условиях

Воспитательные :

создать условия для воспитания уважения к культурно-историческому наследию математической науки;

содействовать повышению грамотности устной и письменной речи учащихся.

Тип урока: урок изучения новой темы

Оборудование: компьютер, проектор, экран, листы с заданиями.

План урока:

1. Организационный момент: вступительное слово учителя, (1 мин.)
2. Актуализация опорных знаний. (6 мин.):

3. Изучение новой темы. (7 мин)
4. Закрепление полученных знаний. (15 мин)

5.Использование исторического материала. (3 мин)

6.Контроль результатов первичного закрепления – самостоятельная работа (5 мин)

6. Подведение итогов урока. Рефлексия. (2 мин)

7.Задание на дом, инструкция о его выполнении (1 мин.)

Ход урока

1. Вступительное слово учителя

Тема “Многочлены” (многочлены от одной переменной, многочлены от нескольких переменных),актуальна, умение делить “углом” многочлен на многочлен, теорема Безу, следствие теоремы Безу, использование схемы Горнера при решении уравнений высших степеней позволит вам справиться с наиболее сложными заданиями ЕГЭ за курс средней школы.

Не надо боятся ошибиться, совет учиться на ошибках другого бесполезен, научиться чему-либо можно только на собственных ошибках. Будьте активны, внимательны.

2.Актуализация опорных знаний

Работа на листах (разложить на множители разными способами) Работа в парах

2 x (x-y) + 3 y (x-y)

a (a+ b) -5 b (a+b)

3 a (a+ z)+ (a +z)

3a +3b +c (a+b)

2 (m +n) +km + kn

by +4 (x + y) + bx

x y +xz + 6y + 6z

4a + 4 b + bx + ax

cb + 3 a + 3b +ac

cd + 2b +bd +2 c

p 2 x + p x 2

2 ac -4 bc

3 x 2 + 3 x 3 y

6 a 2 b + 3 ab 2

9 x 2 – 4 y 2

16 m 2 – 9 n 2

X 3 +y 3

a 3 – 8 y 3

m 2 + 3m -18

2 x 2 + 3x+1

3 y 2 + 7 y – 6

3 a 2 + 7 a + 2

7 n 2 + 9 n + 2

6 m 2 - 11 m + 3

a 2 +5 ab +4 b 2

c 2 - 4 cb + 3 b 2

(Взаимопроверка поставить оценку)

Все ли понятно? С какими проблемами встретились?

Как представить в виде произведения???

a 2 +5 ab +4 b 2

c 2 - 4 cb + 3 b 2

Вернемся к этому вопросу чуть позже.

3. Изучение новой темы.

Как можно назвать выражения, которые мы раскладывали на множители? Многочлен с несколькими переменными)

Стандартный вид многочлена с несколькими переменными

5 xx – 2 y x y 2 + (- 3 y ) + 45 xxyy можно ли назвать многочленом стандартного вида? Представьте в стандартном виде. 5 x 2 – 2 x y 3 + 45 x 2 y 2

(Различать многочлены с одной переменной и многочлены с несколькими переменными, представлять многочлен в стандартном виде, представлять многочлен в виде произведения))

Вы раскладывали на множители многочлены с несколькими переменными. Перечислите эти способы. (слайд)

Многочлены высших степеней с одной переменной раскладывали на множители по схеме Горнера, деление уголком, применяя теорему Безу.

Консультанты у доски объясняют двумя способами

. a 2 +5 ab +4 b 2

c 2 - 4 cb + 3 b 2

Вывод учителя: неочевидный способ, но интересный.

4.Закрепление полученных знаний

(Работа в группах № 2.2 учебника по возможности разложить на множители двумя способами, № 2.3)

№ 2.2

№ 2.3

5.Использование исторического материала.

Рассказы учащихся о Безу, Горнере

Связать с современностью

Самостоятельная работа

1 вариант

2 вариант

Дан многочлен f ( x ; y )= yx 5 y 2 x 2 + x 3 y 4 xy 2 -2 x 4 y (-1) y 5 – y 3 y 3 x 4 +15 x 4 yx 3 y 2 + x 2 y 2 ( x 5 y - x 2 y 4 )

Дан многочлен f(a;b)= a 2 b(a 3 b-b 2 a 2 )+4a 3 (-1)b 2 a 2 -2aba 4 b+ 7ab 0 a 4 b 2 -3a 3 bab 2

А) Приведите данный многочлен к стандартному виду.

Б) Установите, является ли данный многочлен однородным.

Б)Установите, является ли данный многочлен однородным.

В) Если данный многочлен является однородным, определите его степень.

(Проверка по слайдам) выставить себе оценку

7. Задание на дом, инструкция о его выполнении №.2.1; № 2.4(в, г); №2.7(б)для всех № 2.11 (а, б) Вывести формулу сокращенного умножения «Квадрат суммы трехчлена» , разложения на множители x n - y n для n - натурального.- для желающих Алгебра и начала анализа ч.2. Задачник 11 класс. Авторы: А. Г. Мордкович, П. В. Семенов;

8. Подведение итогов урока. Рефлексия

Этапы урока

Время, мин

Деятель-ность учителя

Деятель-ность учащихся

Методы, приемы и формы обучения

Прогнозируемый результат образова-тельной деятель-ности-

Учебно-методи-ческое обеспече-ние