Геометрический и механический смысл первой производной. Механический смысл производной Физический или механический смысл второй производной

Инструкционная карта № 20

Тақырыбы/ Тема : « Вторая производная и ее физический смысл ».

Мақсаты/ Цель:

Уметь находить уравнение касательной, а также тангенс угла наклона касательной к оси ОХ. Уметь находить скорость изменения функции, а также ускорение.

Создать условие для формирования умений сравнить, классифицировать изученные факты и понятия.

Воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении уравнения касательной, а также при нахождении скорости изменения функции и ускорения.

Теоретический материал:

(Геометрический смысл поизводной)

Уравнение касательной к графику функции таково:

Пример 1: Найдём уравнение касательной к графику функции в точке с обсцистсой 2.

Ответ: у = 4х-7

Угловой коэффициент k касательной к графику функции в точке с абсциссой х о равен f / (x o) (k= f / (x o)). Угол наклона касательной к графику функции в заданной точке равен

arctg k = arctg f / (x o), т.е. k= f / (x o)= tg

Пример 2: Под каким углом синусоида пересекает ось абсцисс в начале координат?

Угол, под которым график данной функции пересекает ось абсцисс, равен углу наклона а касательной, проведенной к графику функции f(x) в этой точке. Найдем производную: Учитывая геометрический смысл производной, имеем: и a = 60°. Ответ: =60 0 .

Если функция имеет производную в каждой точке своей области определения, то ее производная есть функция от . Функция , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции (или второй производной ) и обозначают символом .

Пример 3: Найти вторую производную функции: f(x)=x 3 -4x 2 +2x-7.

В начале найдем первую производную данной функции f"(x)=(x 3 -4x 2 +2x-7)’=3x 2 -8x+2,

Затем, находим вторую производную от полученной первой производной

f""x)=(3x 2 -8x+2)’’=6x-8. Ответ: f""x) = 6x-8.

(Механический смысл второй производной)

Если точка движется прямолинейно и задан закон ее движения , то ускорение точки равно второй производной от пути по времени:

Скорость материального тела равна первой производной от пути, то есть:

Ускорение материального тела равно первой производной от скорости, то есть:

Пример 4: Тело движется прямолинейно по закону s (t) = 3 + 2t + t 2 (м). Определите его скорость и ускорение в момент времени t = 3 с. (Путь измеряется в метрах, время в секундах).
Решение
v (t ) = s΄ (t ) =(3+2t+t 2)’= 2 + 2t
a (t ) = v΄ (t ) =(2+2t)’= 2 (м/с 2)
v (3) = 2 + 2∙3 = 8 (м/с). Ответ: 8 м/с; 2 м/с 2 .

Практическая часть:

1вариант	2вариант	3вариант	4 вариант	5 вариант
Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через данную точку М график функции f.
f(x)=x 2 , M(-3;9)	f(x)=x 3 , M(-1;-1)
Напишите уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой х 0 .
f(x)=х 3 -1, х 0 =2	f(x)=х 2 +1, х 0 =1	f(x)= 2х-х 2 , х 0 = -1	f(x)=3sinx, х 0 =	f(x)= х 0 = -1
Найдите угловой коэффициент касательной к функции f в точке с абсциссой х 0 .
Найти вторую производную функции:
			f(x)= 2cosx-х 2	f(x)= -2sinx+х 3
Тело движется прямолинейно по закону х (t). Определите его скорость и ускорение в момент времени t. (Перемещение измеряется в метрах, время в секундах).
х(t)=t 2 -3t, t=4	х(t)=t 3 +2t, t=1	х(t)=2t 3 -t 2 , t=3	х(t)=t 3 -2t 2 +1,t=2	х(t)=t 4 -0,5t 2 =2, t=0,5

Контрольные вопросы:

Как вы считаете физический смысл производной – это мгновенная скорость или средняя скорость?

Какая существует связь между касательной, проведенной к графику функции через любую точку, и понятием производной?

Какое можно дать определение касательной к графику функции в точке М(х 0 ;f(х 0))?

Каков механический смысл второй производной?

Произво́дная (функции в точке) - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Производная. Рассмотрим некоторую функцию y = f (x ) в двух точках x 0 и x 0 + : f (x 0) и f (x 0 + ). Здесь через обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента ; соответственно разность между двумя значениями функции: f (x 0 + )  f (x 0 ) называется приращением функции .Производной функции y = f (x ) в точке x 0 называется предел:

Если этот предел существует, то функция f (x ) называется дифференцируемой в точке x 0 . Производная функции f (x ) обозначается так:

Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f (x ):

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:

где - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A (x 0 , f (x 0 )). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’(x 0 ) имеет вид:

y = f ’(x 0 ) · x + b .

Чтобы найти b , воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:

f (x 0 ) = f ’(x 0 ) · x 0 + b ,

отсюда, b = f (x 0 ) – f ’(x 0 ) · x 0 , и подставляя это выражение вместо b , мы получим уравнение касательной :

y = f (x 0 ) + f ’(x 0 ) · (x – x 0 ) .

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x (t ) времени t . В течение интервала времени от t 0 до t 0 + точка перемещается на расстояние: x (t 0 + )  x (t 0) = , а её средняя скорость равна: v a =  . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называетсямгновенной скоростью v ( t 0 ) материальной точки в момент времени t 0 . Но по определению производной мы имеем:

отсюда, v (t 0 ) = x’ (t 0 ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени : a = v’ (t ).

8.Таблица производных и правила дифференцирования

О том, что такое производная, мы рассказали в статье «Геометрический смысл производной». Если функция задана графиком, её производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции. А если функция задана формулой - вам помогут таблица производных и правила дифференцирования, то есть правила нахождения производной.

Пусть задана материальная точка на плоскости. Закон её движения в доль координатной оси описывается по закону $ x(t) $, где $ t $ задаёт время. Тогда за время от $ t_0 $ до $ t_0 + \Delta t $ точка проходит путь $ \Delta x = x(t_0+\Delta t) - x(t_0) $. Получается, что средняя скорость такой точки находится по формуле: $$ v_{cp} = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$

Если устремить $ \Delta t $ к нулю, то значение средней скорости будет стремиться к величине называемой мгновенной скоростью в точке $ t_0 $:

$$ \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = v(t_0) $$

По определению производной через предел получаем связь между скоростью и законом движения пути материальной точки:

$$ v(t_0) = \lim_{\Delta \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = x"(t_0) $$

Примеры решений

Пример 1

Вычислить мгновенную скорость материальной точки в момент времени $ t_0 = 1 $, двигающейся по закону $ x(t) = t^2+3t-1 $

Решение

По определению механического смысла производной получим закон скорости материальной точки: $$ v(t) = x"(t) = (t^2+3t-1)" = 2t + 3 $$ Зная момент времени $ t_0 = 1 $ из условия задачи, находим скорость в этот момент времени: $$ v(t_0) = 2\cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5 $$ Получили, что мгновенная скорость точки в момент $ t_0 = 1 $ равна $ v = 5 $ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ v(t_0) = 5 $$

Пример 2

Движение материальной точки задано законом $ x(t)=t^2-t+3 $. Найти в какой момент времени $ t_0 $ скорость этой точки будет нулевой.

Решение

Так как скорость это производная закона пути движения:

Механический смысл производной

Механическое истолкование производной было впервые дано И. Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е. Таким образом, если закон движения материальной точки задан уравнением, то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени нужно найти производную и подставить в неё соответствующее значение t.

Производная второго порядка и её механический смысл

Получим (уравнение из проделанного в учебнике Лисичкин В.Т. Соловейчик И.Л. «математика» с. 240):

Таким образом, ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента. В этом и заключается механический смысл второй производной.

Определение и геометрический смысл дифференциала

Определение 4. Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменой, называется дифференциалом функции и обозначается знаком d, т.е. .

Дифференциал функции геометрически изображается приращением ординаты касательной, проведённой в точке M (x; y) при данных значениях x и?x.

Вычисление дифференциала - .

Применение дифференциала в приближённых вычислениях - , приближённое значение приращения функции совпадает с её дифференциалом.

Теорема 1. Если дифференцируемая функция возрастает (убывает) в данном интервале, то производная этой функции не отрицательна (не положительна) в этом интервале.

Теорема 2. Если производная функция положительна (отрицательна) в не котором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает).

Сформулируем теперь правило нахождения интервалов монотонности функции

1. Вычисляют производную данной функции.

2. Находят точки, в которых равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими для функции

3. Найденными точками область определения функции разбивается на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак. Эти интервалы являются интервалами монотонности.

4. Исследуют знак на каждом из найденных интервалов. Если на рассматриваемом интервале, то на этом интервале возрастает; если же, то на таком интервале убывает.

В зависимости от условий задачи правило нахождения интервалов монотонности может упрощаться.

Определение 5. Точка называется точкой максимума (минимума) функции, если имеет место неравенство соответственно для любого x из не которой окрестности точки.

Если - точка максимума (минимума) функции, то говорят, что (минимум) в точке. Максимум и минимум функции объединяют название экстремум функции, а точки максимума и минимума называют точками экстремума (экстремальными точками).

Теорема 3. (необходимый признак экстремума). Если является точкой экстремума функции и производная в этой точке существует, то она равна нулю: .

Теорема 4. (достаточный признак экстремума). Если производная при переходе x через a меняет знак, то a является точкой экстремума функции.

Основные моменты исследования производной:

1. Находят производную.

2. Находят все критические точки из области определения функции.

3. Устанавливают знаки производной функции при переходе через критические точки и выписывают точки экстремума.

4. Вычисляют значения функции в каждой экстремальной точке.

Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону S = f(t). Как уже известно, производная S t ’ равна скорости точки в данный момент времени: S t ’= V.

Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент t +Dt – скорость равна V + DV , т. е. за промежуток времени Dt скорость изменилась на величину DV .

Отношение выражает среднее ускорение движения точки за время Dt . Предел этого отношения при Dt ®0 называется ускорением точки М в данный момент t и обозначается буквой а: Итак, вторая производная от пути по времени есть величина ускорения прямолинейного движения точки, т. е. .

Дифференциалы высших порядков

Пусть y=f(x) дифференцируемая функция, а ее аргумент х – независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал есть также функция х , можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается : .

Дифференциал второго порядка от данной функции равен произведению второго порядка этой функции на квадрат дифференциала независимой переменной: .

Приложение дифференциального исчисления

Функция называется возрастающей (убывающей ) на интервале ( a; b), если для любых двух точек x 1 и x 2 из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство ().

Необходимое условие возрастания (убывания) : Если дифференцируемая функция на интервале ( a, b) возрастает (убывает), то производная этой функции неотрицательна (неположительна) в этом интервале () .

Достаточное условие возрастания (убывания): Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого интервала, то функция возрастает (убывает) на этом интервале.

Функция f(x) в точке х 1 имеет максимум , если для любого х f(x 1)>f(x) , при x ¹x 1 .

Функция f(x) в точке х 1 имеет минимум , если для любого х из некоторой окрестности точки выполняется неравенство: f(x 1), при x ¹x 1 .

Экстремум функции называют локальным экстремумом, так как понятие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью точки х 1 . Так что на одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может случиться, что минимум в одной точке больше максимума в другой. Наличие максимума или минимума в отдельной точке интервала не означает, что в этой точке функция f(x) принимает наибольшее или наименьшее значение на этом интервале.

Необходимое условие экстремума: В точке экстремума дифференцируемой функции ее производная равна нулю.

Достаточное условие экстремума: Если производная дифференцируемой функция в некоторой точке х 0 равна нулю и меняет свой знак при переходе через это значение, то число f(х 0) является экстремумом функции, причем если изменение знака происходит с плюса на минус, то максимум, если с минуса на плюс, то минимум.

Точки, в которых производная непрерывной функции равна нулю или не существует называются критическими.

Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстремумы. Правило исследования функции на экстремум:

1). Найти критические точки функции у = f(x) и выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции;

2). Исследовать знак производной f"(x) слева и справа от каждой из выбранных критических точек;

3). На основании достаточного условия экстремума выписать точки экстремума (если они есть) и вычислить значения функции в них.

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке необходимо выполнить несколько этапов:

1). Найти критические токи функции, решив уравнение f’(x)=0.

2). Если критические точки попали на отрезок, то необходимо найти значения в критических точках и на границах интервала. Если критические точки не попали на отрезок (или их не существует), то находят значения функции только на границах отрезка.

3). Из полученных значений функции выбирают наибольшее и наименьшее и записывают ответ, например, в виде: ; .

Решение задач

Пример 2.1. Найти дифференциал функции: .

Решение. На основании свойства 2 дифференциала функции и определения дифференциала имеем:

Пример 2.2. Найти дифференциал функции:

Решение. Функцию можно записать в виде: , . Тогда имеем:

Пример 2.3. Найти вторую производную функции:

Решение . Преобразуем функцию .

Найдем первую производную:

найдем вторую производную:

.

Пример 2.4. Найти дифференциал второго порядка от функции .

Решение. Найдем дифференциал второго порядка на основании выражения для вычисления :

Найдем сначала первую производную:

; найдем вторую производную: .

Пример 2.5. Найти угловой коэффициент касательной к кривой , проведенной в точке с абсциссой х=2 .

Решение . На основании геометрического смысла производной имеем, что угловой коэффициент равен производной функции в точке, абсцисса которой равна х . Найдем .

Вычислим – угловой коэффициент касательной к графику функции.

Пример 2.6. Популяция бактерий в момент времени t (t измеряется в часах) насчитывает особей. Найти скорость роста бактерий. Найти скорость роста бактерий в момент времени t = 5 часов.

Решение. Скорость роста популяции бактерий – это первая производная по времени t : .

Если t = 5 часов, то . Следовательно, скорость роста бактерий составит 1000 особей в час.

Пример 2.7. Реакция организма на введенное лекарство может выражаться в повышении кровяного давления, уменьшении температуры тела, изменении пульса или других физиологических показателей. Степень реакции зависит от назначенной дозы лекарства. Если х обозначает дозу назначенного лекарства, а степень реакции у описывается функцией . При каком значении х реакция максимальна?

Решение . Найдем производную .

Найдем критические точки: ⇒ . ⇒ Следовательно, имеем две критические точки: . Значение не удовлетворяет условию задачи.

Найдем вторую производную . Вычислим значение второй производной при . . Значит, – уровень дозы, который дает максимальную реакцию.

Примеры для самостоятельного решения

Найти дифференциал функции:

1. .

2. .

3. .

4.

Найти вторые производные следующих функций:

6. .

Найти производные второго порядка и записать дифференциалы второго порядка для следующих функции:

9. .

11. Исследовать функцию на экстремум .

12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

13. Найти интервалы возрастания и убывания функции, точки максимума и минимума и точки пересечения с осями:

14. Закон движения точки имеет вид . Определить закон скорость и ускорение этой точки.

15. Уравнение движения точки имеет вид (м). Найти 1) положение точки в моменты времени с и с; 2) среднюю скорость за время, прошедшее между этими моментами времени; 3) мгновенные скорости в указанные моменты времени; 4) среднее ускорение за указанный промежуток времени; 5) мгновенные ускорения в указанные моменты времени.

Задание на дом.

Практика:

Найти дифференциал функции:

1. ;

2. ;

Найти производные второго порядка функции:

4.

5.

Найти дифференциалы второго порядка

6. .

7. Точка движется прямолинейно по закону . Вычислить скорость и ускорение в моменты времени и .

Найти интервалы возрастания и убывания функций:

9. .

10. При вливании глюкозы ее содержание в крови человека, выраженное в соответствующих единицах, спустя t часов составит . Найдите скорость изменения содержания глюкозы в крови при а) t =1 ч; б) t =2 ч.

Теория.

1. Лекция по теме «Производные и дифференциалы функции нескольких аргументов. Приложение дифференциала функции нескольких аргументов».

2. Занятие 3 данного методического пособия.

3. Павлушков И.В. и другие стр. 101-113, 118-121.

Занятие 3. Производные и дифференциалы функции нескольких аргументов

Актуальность темы: данный раздел математики имеет широкое применение при решении ряда прикладных задач, так как многим явлениям физического, биологического, химического явления присуща зависимость не от одной, а от нескольких переменных (факторов).

Цель занятия: научиться находить частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных.

Целевые задачи:

знать: понятие функции двух переменных; понятие частных производных функции двух переменных; понятие полного и частных дифференциалов функции нескольких переменных;

уметь: находить производные и дифференциалы функций нескольких переменных.

Краткие сведения из теоретического курса

Основные понятия

Переменная z называется функцией двух аргументов x и y, если некоторым парам значений по какому-либо правилу или закону ставится в соответствие определенное значение z. Функция двух аргументов обозначается .

Функция задается в виде поверхности в прямоугольной системе координат в пространстве. Графиком функции двух переменных называется множество точек трехмерного пространства х

Произведение называется частным дифференциалом функции z=f(x,y)по х и обозначаются .

Полный дифференциал функции

Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращение соответствующих независимых переменных, т. е. . Так как и тогда можно записать: или .