Производные некоторых элементарных функций презентация. Производные некоторых элементарных функций

Правила дифференцирования ТЕОРЕМА 1. Дифференцирование суммы, произведения и частного. Если функции f и g дифференцируемы в точке х, то в этой точке дифференцируемы f + g, f g, f /g (если g(x) 0) и при этом Пусть у = f g. 1) (f(х) + g(х))" = f "(х) + g "(х); 2) (f(х) g(х))" = f "(х)g(x) + f(x)g "(х); Доказательство. Приведем доказательство свойства 2. f = f (х + х) – f(x) f (х + х) = f(x) + f ; g = g (х + х) – g(x) g(х + х)= g(x)+ g. g "(х) f "(х) 0 при х 0 (В силу непр. диф-мой функции.)

ТЕОРЕМА 2. Дифференцирование сложной функции Пусть функция у = f(u) дифференцируема в точке u 0, у 0 = f(u 0), а функция u = (x) дифференцируема в точке x 0, u 0 = (x 0). Тогда сложная функция у = f ((x)) дифференцируема в точке x 0 и f " ((x 0)) = f " (u 0)· " (x 0) или ЗАМЕЧАНИЕ. Правило вычисления производной сложной функции распространяется на композицию любого конечного числа функций. Например: (f ((g(x))))" = f "((g(x))) "(g(x)) g"(x). Следствие. Если f (х) дифференцируема в точке х и С = const, то (С f(x))" = С f "(x); (f(x)/С)" = f "(x)/С.

Пример 1. y = cosx, х R. (cosx) = (sin(/2 – x)) = cos(/2 – x)·(/2 – x) = – sinx. y = tgx, х /2 + k, k Z. Используя теоремы 1 и 2, найдем производные тригонометрических функций y = ctgx, х + k, k Z.

ТЕОРЕМА 3. Дифференцирование обратной функции. Если у = f(x) непрерывна и строго монотонна на отрезке и имеет производную f "(x 0), тогда обратная к ней функция x = g(y) дифференцируема в точке у 0 = f(x 0), причем g "(y 0) = 1/ f "(x 0). x0x0 x 0 - x 0 + у0у0 x y x у у = f(x) x = g(y) Пусть у таково, что у 0 + у (,). Обозначим х = g(y 0 + у) – g(y 0). Нужно доказать, что существует 0 Доказательство. Пусть f(x) строго возрастает на .Пусть = f(x 0 -), = f(x 0 +). Тогда на [, ] определена обратная функция x = g(y), непрерывная и строго возрастающая, причем f(x 0) (,). Если у 0, то и х 0, в силу строгой монотонности функции. Поэтому имеем право записать тождество Если у, то и х, так как x = g(y) непрерывна в точке у 0.

Пример 2. Найдем производные обратных тригонометрических функций

0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 " title="Таблица производных элементарных функций 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 " class="link_thumb"> 8 Таблица производных элементарных функций 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 x, х π/2 + πn, n ; 8)(ctg x) = - 1/ sin 2 x, х πn, n ; 9)10) 11)12) 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "> 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 x, х π/2 + πn, n ; 8)(ctg x) = - 1/ sin 2 x, х πn, n ; 9)10) 11)12)"> 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 " title="Таблица производных элементарных функций 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "> title="Таблица производных элементарных функций 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 ">

Производная n-ого порядка ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть f(x) определена в U (x 0) и имеет производную f (x) в каждой точке этого интервала. Если в точке х 0 существует производная от f (x), то она называется второй производной от функции f(x) в этой точке и обозначается Аналогично определяется производная f (n) (x) любого порядка n =1, 2, … Если в U (x 0) существует f (n-1) (x) (при этом под производной нулевого порядка подразумевается сама функция), то n = 1, 2, 3, …. Функцию, имеющую в каждой точке множества Х производные до n-ого порядка включительно, называют n раз дифференцируемой на множестве Х.

Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке х производные n-ого порядка. Тогда функция Аf(x) + Вg(x), где А и В постоянные, также имеет производную в точке х, причем (Аf(x) + Вg(x)) (n) = Аf (n) (x) + Вg (n) (x). При вычислении производных любого порядка часто используют следующие основные формулы. y = x ; y (n) = (-1)… (- (n-1)) x - n. y = x -1, y = (-1)x -2, y = (-1)(-2) x -3 … В частности, если = m N, то y = a x ; y (n) = a x (lna) n. y =a x lna, y = a x (lna) 2, y = a x (lna) 3, … В частности (е x) (n) = е х. y " = ((x + a) - 1)" = - (x+a) - 2, y "" = 2 (x + a) - 3,y """ = (x + a) - 4, …

Y = ln(x+а); y (n) = (–1) n–1 (n–1)!(x+а) –n. y = (x +а) –1, y = – (x +а) –2, y = 2(x +а) –3, y (4) = – 2·3(x +а) – 4, … y = sin αx; y (n) = α n sin(αx+n· /2) y = α cos αx = α sin(αx+ /2), y = α 2 cos(αx+ /2) = α 2 sin(αx+2· /2), y = α 3 cos(αx + 2· /2) = α 3 sin(αx+3· /2), … y = cos αx; y (n) = α n cos(αx+n· /2) y = – α sin αx = α cos(αx+ /2), y = – α 2 sin(αx+ /2) = α 2 cos(αx + 2· /2), y = – α 3 sin(αx+2· /2) = α 3 cos(αx + 3· /2),...

N-ая производная произведения двух функций (формула Лейбница) где Эта формула называется формулой Лейбница. Она может быть записана в виде где Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке х производные n-ого порядка. По индукции можно доказать, что (f(x) g(x)) (n) = ?
Пример 5. y = (x 2 +3x+5) sin x, y (13) = ? = sin(x +13π /2) (x 2 +3x+5) + 13 sin (x +12π /2) (2x+3) + 78 sin (x +11π /2) 2 = = cos x (x 2 +3x+5) + 13 sin x (2x+3) + 78 (- cos x) 2 = = (x 2 +3x -151) cos x + 13 (2x+3) sin x. Применим формулу Лейбница, положив в ней f(x) = sin x, g(x) = (x 2 +3x+5). Тогда

Cлайд 1

Производная функции Определение производной Геометрический смысл производной Связь между непрерывностью и дифференцируемостью Производные основных элементарных функций Правила дифференцирования Производная сложной функции Производная неявно заданной функции Логарифмическое дифференцирование

Cлайд 2

Определение производной Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (a; b). Аргументу x придадим некоторое приращение: х f(x) x+Δx f(x+ Δx) Найдем соответствующее приращение функции: Если существует предел то его называют производной функции y = f(x) и обозначают одним из символов:

Cлайд 3

Определение производной Итак, по определению: Функция y = f(x) , имеющая производную в каждой точке интервала (a; b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Значение производно функции y = f(x) в точке x0 обозначается одним из символов: Если функция y = f(x) описывает какой – либо физический процесс, то f ’(x) есть скорость протекания этого процесса – физический смысл производной.

Cлайд 4

Геометрический смысл производной Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1: х f(x) x+Δx М М1 f(x+ Δx) Через точки М и М1 проведем секущую и обозначим через φ угол наклона секущей.

Cлайд 5

Геометрический смысл производной Производная f ’(x) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке, абсцисса которой равна x. Если точка касания М имеет координаты (x0; y0), угловой коэффициент касательной есть k = f ’(x0). Уравнение прямой с угловым коэффициентом: Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой. Уравнение касательной Уравнение нормали

Cлайд 6

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней. Теорема Пусть функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке х, следовательно существует предел: Доказательство: где при По теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции Функция y = f(x) – непрерывна. Обратное утверждение не верно: непрерывная функция может не иметь производной.

Cлайд 7

Производные основных элементарных функций 1 Формула бинома Ньютона: Степенная функция: K – факториал

Cлайд 8

Производные основных элементарных функций По формуле бинома Ньютона имеем: Тогда:

Cлайд 9

Производные основных элементарных функций 2 Логарифмическая функция: Аналогично выводятся правила дифференцирования других основных элементарных функций.

Cлайд 10

Правила дифференцирования Пусть u(x) , v(x) и w(x) – дифференцируемые в некотором интервале (a; b) функции, С – постоянная.

Cлайд 11

Производная сложной функции Пусть y = f(u) и u = φ(x) , тогда y = f(φ(x)) – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x. Теорема Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько:

Cлайд 12

Cлайд 13

ПРОИЗВОДНАЯ

МОУ Среднесантимирская СОШ

Выполнена учителем математики

Сингатулловой Г.Ш.

• Определение производной.
• Физический смысл производной.
• .

• Основные правила дифференцирования.
• Производная сложной функции.
• Примеры решения задач по теме производная.

Определение производной

Пусть на некотором интервале (a, b) определена функция y= f(x). Возьмем любую точку x 0 из этого интервала и зададим аргументу x в точке x 0 произвольное приращение ∆ x такое, что точка x 0 + ∆ x принадлежит этому интервалу. Функция получит приращение

Производной функции y= f(x) в точке x =x 0 называется предел отношения приращения функции ∆y в этой точке к приращению аргумента ∆x , при стремлении приращения аргумента к нулю.

Геометрический смысл производной

Пусть функция y= f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

Где  - угол наклона касательной функции f(x) в точке (x 0 , f(x 0)).

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

Уравнение касательной к кривой:

Физический смысл производной 1. Задача об определении скорости движения материальной частицы

Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону s= s(t), где s- пройденный путь, t- время, и необходимо найти скорость точки в момент t 0 .

К моменту времени t 0 пройденный путь равен s 0 = s(t 0), а к моменту (t 0 + ∆t) – путь s 0 + ∆s=s(t 0 +∆t).

Тогда за промежуток ∆t средняя скорость будет

Чем меньше ∆t, тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент t 0 . Поэтому под скоростью точки в момент t 0 следует понимать предел средней скорости за промежуток от t 0 до t 0 +∆t, когда ∆t⇾0 , т.е.

2. ЗАДАЧА О СКОРОСТИ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ

Пусть некоторое вещество вступает в химическую реакцию. Количество этого вещества Q изменяется в течение реакции в зависимости от времени t и является функцией от времени. Пусть за время ∆t количество вещества изменяется на ∆Q , тогда отношение будет выражать среднюю скорость химической реакции за время ∆t, а предел этого отношения

Скорость химической реакции в данный момент

времени t.

3. ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА

Если m- масса радиоактивного вещества и t- время, то явление радиоактивного распада в момент времени t при условии, что масса радиоактивного вещества с течением времени уменьшается, характеризуется функцией m= m(t).

Средняя скорость распада за время ∆t выражается отношением

а мгновенная скорость распада в момент времени t

АЛГОРИТМ вычисления производной

Производная функции y= f(x) может быть найдена по следующей схеме:

1. Дадим аргументу x приращение ∆x≠0 и найдем наращенное значение функции y+∆y= f(x+∆x).

2. Находим приращение функции ∆y= f(x+∆x) - f(x).

3. Составляем отношение

4. Находим предел этого отношения при ∆x⇾0, т.е.

(если этот предел существует).

Основные правила дифференцирования

Пусть u=u(x) и v=v(x) – дифференцируемые функции в точке x.

1) (u  v)  = u   v 

2) (uv)  = u  v +uv 

(cu)  = cu 

3) , если v  0

Производная сложной функции

Теорема. Если функция дифференцируема в точке x, а функция

дифференцируема в соответствующей точке, то сложная функция дифференцируема в точке x, причем:

т.е. производная сложной функции равна произведению производной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по x.

Задача 1.

Задача 2 .

Задача 3 .

Задача 4 .

Задача 5 .

Задача 6 .

Задача 7 .

Задача 8 .

Подобные документы

Понятие, предел и непрерывность функции двух переменных. Частные производные первого порядка, нахождение полного дифференциала. Частные производные высших порядков и экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия существования экстремума.

контрольная работа, добавлен 02.02.2014


Углы и их измерение. Соответствие между углами и числовым рядом. Геометрический смысл тригонометрических функций. Свойства тригонометрических функций. Основное тригонометрическое тождество и следствия из него. Универсальная тригонометрическая подстановка.

учебное пособие, добавлен 18.04.2012


Сущность понятия "производная". Ускорение как вторая производная от функции, описывающая движение тела. Решение задачи на определение мгновенной скорости движения точки в момент времени. Производная в реакциях, её роль и место. Общий вид формулы.

презентация, добавлен 22.12.2013


Углы и их измерение, тригонометрические функции острого угла. Свойства и знаки тригонометрических функций. Четные и нечетные функции. Обратные тригонометрические функции. Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств с помощью формул.

учебное пособие, добавлен 30.12.2009


Осуществление интерполяции с помощью полинома Ньютона. Уточнение значения корня на заданном интервале тремя итерациями и нахождение погрешности вычисления. Применение методов Ньютона, Сампсона и Эйлера при решении задач. Вычисление производной функции.

контрольная работа, добавлен 02.06.2011


Понятие производной, ее геометрический и физический смысл, дифференциал. Исследование функций и построение графиков. Разложение на множители, упрощение выражений. Решение неравенств, систем уравнений и доказательство тождеств. Вычисление пределов функции.

контрольная работа, добавлен 16.11.2010


Определение производной функции, геометрический смысл ее приращения. Геометрический смысл заданного отношения. Физический смысл производной функции в данной точке. Число, к которому стремится заданное отношение. Анализ примеров вычисления производной.

презентация, добавлен 18.12.2014


Обзор таблицы производных элементарных функций. Понятие промежуточного аргумента. Правила дифференцирования сложных функций. Способ изображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям. Дифференцирование параметрически заданной функции.

контрольная работа, добавлен 11.08.2009


Исторический обзор формирования тригонометрии как науки от древности до наших дней. Введение понятия тригонометрических функций на уроках алгебры и начал анализа по учебникам А.Г. Мордковича, М.И. Башмакова. Решения линейных дифференциальных уравнений.

дипломная работа, добавлен 02.07.2011


Исторический обзор формирование тригонометрии как науки. Различные способы введения понятия тригонометрических функций. Анализ школьных учебников М.И. Башмакова и А.Г. Мордковича по данной тематике. Перспективы использования материала для преподавания.