Научная электронная библиотека. Построение точки пересечения плоскости с прямой 3 точки пересечения прямой с плоскостью

Для определения точки пересечения прямой с плоскостью пользуемся следующим алгоритмом: прямую заключаем во вспомогательную плоскость, находим линию пересечения этих двух плоскостей (заданной и вспомогательной), и линия пересечения плоскостей в пересечении с заданной прямой даст искомую точку. Последним этапом в построении является определение видимости прямой при помощи конкурирующих точек.

Пример1. Плоскость задана следами (рис.70)

1. Для построения точки пересечения прямой l с плоскостью необходимо через прямую провести вспомогательную плоскость частного положения, например, фронтально-проецирующую β π 2 , l "" f оβ , f оβ – собирающий след, h оβ х (рис.71).

2. Строим линию пересечения MN заданной и вспомогательной плоскости М"=h оα ∩ h оβ , N""= f оβ ∩ f оα (рис.72).

3. Определяем точку пересечения К заданной прямой l с линией пересечения MN. К"=М"N"∩l ", К"" – в пересечении линии проекционной связи, проведенной из К" и l "" .

4. Видимость прямой l в случае задания плоскости следами не определяем.

Пример 2. Пересечение прямой с проецирующей плоскостью (рис.73).

При построении точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью задача упрощается, т.к. одна из проекций искомой точки будет лежать на собирающем следе. На рис.73 дана горизонтально-проецирующая плоскость. Искомая точка К будет одновременно принадлежать плоскости α и прямой а .

Пример 3. Плоскость задана плоской фигурой (рис.74).

Через прямую l проводим вспомогательную плоскость частного положения, например, горизонтально-проецирующую β π 1 .l " h оβ , h оβ – собирающий след, f оβ х (рис.75).

2. Строим линию пересечения MN заданной и вспомогательной плоскостей. М"=А"С"∩ hоβ М"" А""С"" и N"=В"С"∩ hоβ N"" В""С"" (рис. 76).

3. Строим точку пересечения К заданной прямой l с линией пересечения МN. К""= М""N""∩l"". К" находится в пересечении линии проекционной связи, проведенной из К"" и М"N" .

4. Определяем видимость прямой относительно ΔАВС с помощью конкурирующих точек.

Определяем видимость относительно плоскости π 2 .Отметим фронтальную проекцию 1"" совпадающую с 2"" . Горизонтальную проекцию 2" отметим на А"С" , а 1" на l" . Горизонтальная проекция 1" лежит перед 2" 2"" не видима относительно π 2 . Точка 1 лежит на прямой l, она видима на π 2 , следовательно, фронтальная проекция l" от 1"2"" до К"" видима, в точке К"" видимость меняется на противоположную.

Определим видимость прямой l относительно плоскости π 1 . Отметим горизонтальную проекцию 3" , совпадающую с горизонтальной проекцией М". М"" А""С"" уже отмечена, 3"" l" ". Фронтальная проекция М"" лежит выше фронтальной проекции 3"" , следовательно, точка М видима относительно π 1 . Точка 3 лежит на l , следовательно, от М"≡3" до К" , горизонтальная проекция l" невидима. В горизонтальной проекции К" видимость меняется на противоположную. За границами ΔАВС прямая l везде видима.

Данная глава рассказывает о том, как найти координаты точки пересечения прямой с плоскостью при заданных уравнениях, определяющих эту плоскость. Будет рассмотрено понятие точки пересечения прямой с плоскостью, два способа нахождения координат точки пересечения прямой с плоскостью.

Для углубленного изучения теории необходимо начать рассмотрение с понятия точки, прямой, плоскости. Понятие о точке, прямой линии рассматривается как на плоскости, так и в пространстве. Для детального рассмотрения необходимо обратиться к теме о прямой и плоскости в пространстве.

Существует несколько вариаций расположения прямой относительно плоскости и пространства:

прямая лежит в плоскости;
прямая параллельна плоскости;
прямая пересекает плоскость.

Если рассмотреть третий случай, то отчетливо видно, что прямая с плоскостью при пересечении образуют общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости. рассмотрим данный случай на примере.

Нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости

Была введена прямоугольная система координат О х у z трехмерного пространства. Каждая прямая имеет свое собственное уравнение, а каждая плоскость соответствует своему заданному уравнению, каждая точка имеет определенное количество действительных чисел – координат.

Чтобы подробно разобраться в теме координат пересечения, необходимо знать все виды уравнения прямой в пространстве и уравнений плоскости. в данном случае пригодятся знания о переходе от одного вида уравнения к другому.

Рассмотрим задачу, которая основывается на заданном пересечении прямой и плоскости. она сводится к нахождению координат пересечений.

Пример 1

Вычислить, может ли точка М 0 с координатами - 2 , 3 , - 5 являться точкой пересечения прямой x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 с плоскостью x - 2 y - z + 3 = 0 .

Решение

Когда точка принадлежит некоторой прямой, координаты точки пересечения являются решением обоих уравнения. Из определения имеем, что при пересечении образуется общая точка. Для решения задания необходимо подставить в оба уравнения координаты точки М 0 и вычислить. Если она является точкой пересечения, то оба уравнения будут соответствовать.

Представим координаты точки - 2 , 3 , - 5 и получим:

2 + 3 - 1 = 3 - 3 = - 5 + 2 3 ⇔ - 1 = - 1 = - 1 - 2 - 2 · 3 - (- 5) + 3 = 0 ⇔ 0 = 0

Так как получаем верные равенства, делаем вывод, что точка М 0 - точка пересечения заданной прямой с плоскостью.

Ответ: заданная точка с координатами является точкой пересечения.

Если координаты точки пересечения являются решением обоих уравнений, то они пересекаются.

Первый способ нахождения координат пересечения прямой и плоскости.

Когда задается прямая a с плоскостью α прямоугольной системы координат, известно, что они пересекаются в точке М 0 . Для начала займемся поиском координат заданной точки пересечения при заданном уравнении плоскости, имеющего вид A x + B y + C z + D = 0 с прямой линией a , являющейся пересечением плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Данный способ задания прямой в пространстве рассматривается в статье уравнения прямой и уравнения двух пересекающихся плоскостей.

Необходимые нам координаты прямой a и плоскости α должны удовлетворять обоим уравнениям. Таким образом задается система линейных уравнений, имеющая вид

A x + B y + C z + D = 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Решение системы подразумевает обращение каждого тождества в верное равенство. Следует отметить, что при таком решении мы определяем координаты пересечения 3 плоскостей вида A x + B y + C z + D = 0 , A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Для закрепления материала рассмотрим решение данных задач.

Пример 2

Прямая задана уравнением двух пересекающихся плоскостей x - y + 3 = 0 5 x + 2 z + 8 = 0 , причем пересекает еще одну 3 x - z + 7 = 0 . Необходимо найти координаты точки пересечения.

Решение

Необходимые координаты получим при составлении и решении системы, имеющей вид x - y + 3 = 0 5 x + 2 z + 8 = 0 3 x - z + 7 = 0 .

Следует обратить внимание на тему решения систем линейных уравнений.

Возьмем систему уравнений вида x - y = - 3 5 x + 2 z = - 8 3 x - z = - 7 и произведем вычисления по определителю основной матрицы системы. Получаем, что

∆ = 1 - 1 0 5 0 2 3 0 - 1 = 1 · 0 · (- 1) + (- 1) · 2 · 3 + 0 · 5 · 0 - 0 · 0 · 3 - 1 · 2 · 0 - (- 1) · 5 · (- 1) = - 11

Так как определитель матрицы не равен нулю, система имеет только одно решение. Для этого мы применим метод Крамера. Он считается очень удобным и подходящим для данного случая.

∆ x = - 3 - 1 0 - 8 0 2 - 7 0 - 1 = (- 3) · 0 · (- 1) + (- 1) · 2 · (- 7) + 0 · (- 8) · 0 - - 0 · 0 · (- 7) - (- 3) · 2 · 0 - (- 1) · (- 8) · (- 1) = 22 ⇒ x = ∆ x ∆ = 22 - 11 = - 2 ∆ y = 1 - 3 0 5 - 8 2 3 - 7 - 1 = 1 · (- 8) · (- 1) + (- 3) · 2 · 3 + 0 · 5 · (- 7) - - 0 · (- 8) · 3 - 1 · 2 · (- 7) - (- 3) · 5 · (- 1) = - 11 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 11 - 11 = 1 ∆ z = 1 - 1 - 3 5 0 - 8 3 0 - 7 = 1 · 0 · (- 7) + (- 1) · (- 8) · 3 + (- 3) · 5 · 0 - - (- 3) · 0 · 3 - 1 · (- 8) · 0 - (- 1) · 5 · (- 7) = - 11 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 11 - 11 = 1

Отсюда следует, что координаты точки пересечения заданной прямой и плоскости имеет значение (- 2 , 1 , 1) .

Ответ: (- 2 , 1 , 1) .

Система уравнений вида A x + B y + C z + D = 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 имеет одно единственное решение. Когда прямая a определена такими уравнениями, как A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , а плоскость α задается уравнением A x + B y + C z + D = 0 , то они пересекаются. Когда прямая лежит в плоскости, система выдает бесконечное множество решений. При их параллельности уравнение решений не имеет, так как нет общих точек пересечения.

Пример 3

Найти точку пересечения прямой z - 1 = 0 2 x - y - 2 = 0 и плоскости 2 x - y - 3 z + 1 = 0 .

Решение

Заданные уравнения необходимо преобразовать в систему z - 1 = 0 2 x - y - 2 = 0 2 x - y - 3 z + 1 = 0 . Когда она будет иметь единственное решение, то получим искомые координаты пересечения в точке. При условии, если нет решений, то они параллельны, либо прямая лежит в этой же плоскости.

Получим, что основная матрица системы – A = 0 0 1 2 - 1 0 2 - 1 - 3 , расширенная – T = 0 0 1 1 2 - 1 0 2 2 - 1 - 3 - 1 . Нам необходимо определить ранг матрицы A и T методом Гаусса:

1 = 1 ≠ 0 , 0 1 - 1 0 = 1 ≠ 0 , 0 0 1 2 - 1 0 2 - 1 - 3 = 0 , 0 1 1 - 1 0 2 - 1 - 3 - 1 = 0

Тогда получим, что ранг основной матрицы равен рангу расширенной. Применим теорему Кронекера-Капелли, отсюда видно, что у системы есть бесконечное множество решений. Получим, что прямая z - 1 = 0 2 x - y - 2 = 0 принадлежит плоскости 2 x - y - 3 z + 1 = 0 , что говорит об их невозможности пересечения и наличии общей точки.

Ответ: нет координат точки пересечения.

Пример 4

Задано пересечение прямой x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 = 0 и плоскости x + 4 y - 7 z + 2 = 0 , найти координаты точки пересечения.

Решение

Необходимо собрать заданные уравнения в систему вида x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 = 0 x + 4 y - 7 z + 2 = 0 . Для решения применяем метод Гаусса. С его помощью мы определим все имеющиеся решения коротким путем. Для этого запишем

x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 x + 4 y - 7 z + 2 = 0 ⇔ x + z = - 1 2 x + y = 4 x + 4 y - 7 z = - 2 ⇔ ⇔ x + z = - 1 y - 2 z = 6 4 y - 8 z = - 1 ⇔ x + z = - 1 y - 2 z = 6 0 = - 25

Применив метод Гауса, стало понятно, что равенство неверное, так как система уравнений решений не имеет.

Делаем вывод, что прямая x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 = 0 с плоскостью x + 4 y - 7 z + 2 = 0 не имеют пересечений. Отсюда следует, что невозможно найти координаты точки, так как они не пересекаются.

Ответ: нет точек пересечения, так как прямая параллельна плоскости.

Когда прямая имеет задана параметрическим или каноническим уравнением, то отсюда можно найти уравнение пересекающихся плоскостей, которые определяют прямую a , после чего искать необходимые координаты точки пересечений. Имеется еще один метод, который применяется для нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости.

Второй способ нахождения точки начинается с задания прямой a , пересекающей плоскость α в точке М 0 . Необходимо найти координаты заданной точки пересечения при заданном уравнении плоскости A x + B y + C z + D = 0 . Прямую а определяем параметрическими уравнениями, имеющими вид x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , λ ∈ R .

Когда в уравнение A x + B y + C z + D = 0 производится подстановка x = x 1 + a x · λ , y = y 1 + a y · λ , z = z 1 + a z · λ , выражение примет вид уравнения с неизвестной λ . Необходимо разрешить его относительно λ , тогда получим λ = λ 0 , которое соответствует координатам точки, в которой они пересекаются. Вычисление координат точки производится из x = x 1 + a x · λ 0 y = y 1 + a y · λ 0 z = z 1 + a z · λ 0 .

Подробнее этот способ будет рассмотрен на примерах, приведенных ниже.

Пример 5

Найти координаты точки пересечения прямой x = - 1 + 4 · λ y = 7 - 7 · λ z = 2 - 3 · λ , λ ∈ R с плоскостью x + 4 y + z - 2 = 0 .

Решение

Для решения системы, необходимо произвести подстановку. Тогда получаем, что

1 + 4 · λ + 4 · 7 - 7 · λ + 2 - 3 · λ - 2 = 0 ⇔ - 27 · λ + 27 = 0 ⇔ λ = 1

Найдем координаты точки пересечения плоскости с прямой, используя параметрические уравнения, со значением λ = 1 .

x = - 1 + 4 · 1 y = 7 - 7 · 1 z = 2 - 3 · 1 ⇔ x = 3 y = 0 z = - 1

Ответ: (3 , 0 , - 1) .

Когда прямая вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , λ ∈ R принадлежит плоскости A x + B y + C z + D = 0 , тогда необходимо подставить туда уравнение плоскости выражения x = x 1 + a x · λ , y = y 1 + a y · λ , z = z 1 + a z · λ , тогда получим тождество такого вида 0 ≡ 0 . При параллельности плоскости и прямой получаем неверное равенство, так как нет точек пересечения.

Если прямая задана каноническим уравнением, имеющим вид x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z , тогда необходимо переходить от канонических к параметрическим при поиске координат точки пересечения прямой с плоскостью A x + B y + C z + D = 0 , то есть получим x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ и применим необходимы способ для нахождения координат точки пересечения заданной прямой и плоскости в пространстве.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Если прямая не лежит в плоскости и не параллельна ей, она пересекает плоскость.
Задача на определение точки пересечения прямой с плоскостью сводится к следующему:
1) проведению вспомогательной плоскости (Вспомогательную плоскость рекомендуется выбирать такую, которая даст наиболее простое графическое решение задачи ) через данную прямую;
2) нахождению линии пересечения вспомогательной плоскости с данной плоскостью;
3) определению точки пересечения данной прямой с линией пересечения плоскостей, а следовательно, с данной плоскостью.

Пример 1. На (фиг.250,а) даны плоскость δ (δ 1 ) и прямая АВ (А 1 В 1 и А 2 В 2 ); требуется определить точку их пересечения.

В этом случае нет надобности прибегать к вспомогательной плоскости, так как данная плоскость δ - горизонтально - проектирующая. По свойству проектирующих плоскостей горизонтальная проекция точки пересечения, лежащая в плоскости δ , сливается с горизонтальной проекцией δ 1 .
Поэтому точка К 1 пересечения горизонтальной проекции А 1 В 1 прямой АВ с горизонтальной проекцией δ 1 есть горизонтальная проекция точки пересечения К ; фронтальная проекция К 2 определяется путем проведения вертикальной линии связи до пересечения ее с фронтальной проекцией А 2 В 2 .
Пример 2 . На (фиг.250,б) приведен пример пересечения прямой АВ с фронтально - проектирующей плоскостью δ .

Пример 1. Даны: плоскость общего положения а и прямая общего положения АВ (А 1 В 1 А 2 В 2 ); требуется найти точку их пересечения (фиг.251,а).
Проводим через прямую АВ какую - либо вспомогательную плоскость, например горизонтально - проектирующую плоскость δ (δ 1 ), как показано на (фиг.251,б); она пересечет плоскость a по прямой NM (N 1 M 1 , N 2 М 2 ), которая, в свою очередь, пересечет прямую АВ (А 1 В 1 А 2 В 2 ) в точке С (С 1 С 2 ), что видно на (фиг.251,в). Точка С есть точка пересечения прямой АВ с плоскостью а .

Пример 2. На (фиг.252) приведен пример нахождения проекций точки пересечения прямой AB c плоскостью общего положения при помощи горизонтали h .
Пример 3. Даны: треугольник ABC и прямая NM ; требуется определить точку их пересечения (фиг.253,а).
Возьмем в качестве вспомогательной плоскости горизонтально - проектирующую плоскость δ , тогда горизонтальная проекция ог сольется с горизонтальной проекцией N 1 M 1 прямой NM и пересечет проекции сторон треугольника в точках Е 1 и F 1 (фиг.253,б). Отрезок Е 1 F 1 будет горизонтальной проекцией линии пересечения. Затем находим фронтальную проекцию линии пересечения: при помощи вертикальных линий связи получаем точки Е 2 и F 2 , проводим через них прямую E 2 F 2 , которая будет фронтальной проекцией линии пересечения.
Прямая E 2 F 2 пересекает прямую N 2 М 2 в точке К 2 . Точка К 2 будет фронтальной проекцией точки пересечения прямой MN с прямой EF ; горизонтальную проекцию K 1 этой точки определяем при помощи вертикальной линии связи.
Точка К (K 1 , К 2 ) будет точкой пересечения данной прямой MN с данным треугольником ABC , как одновременно им принадлежащая, потому что прямая MN пересекается в ней с прямой EF , лежащей в плоскости треугольника ABC .

Упражнение 1
Построить комплексный чертеж треугольника ABC по данным координатам вершин. Найти натуральную величину сторон треугольника и построить его в натуральную величину. По этим же координатам построить наглядное изображение
Упражнение 2
По данным фронтальной проекции многоугольника и горизонтальным проекциям двух смежных сторон его достроить горизонтальную проекцию многоугольника.
В плоскости многоугольника построить проекции произвольного треугольника. Построить точку вне многоугольника, но лежащую в одной плоскости с ним (

В этой статье мы ответим на вопрос: «Как найти координаты точки пересечения прямой и плоскости, если заданы уравнения, определяющие прямую и плоскость»? Начнем с понятия точки пересечения прямой и плоскости. Далее покажем два способа нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости. Для закрепления материала рассмотрим подробные решения примеров.

Навигация по странице.

Точка пересечения прямой и плоскости – определение.

Возможны три варианта взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

прямая лежит в плоскости;
прямая параллельна плоскости;
прямая пересекает плоскость.

Нас интересует третий случай. Напомним, что означает фраза: «прямая и плоскость пересекаются». Говорят, что прямая и плоскость пересекаются, если они имеют только одну общую точку. Это общую точку пересекающихся прямой и плоскости называют точкой пересечения прямой и плоскости .

Приведем графическую иллюстрацию.

Нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости.

Введем в трехмерном пространстве Oxyz . Теперь каждой прямой соответствуют уравнения прямой некоторого вида (им посвящена статья виды уравнений прямой в пространстве), каждой плоскости отвечает уравнение плоскости (можете ознакомиться со статьей виды уравнения плоскости), а каждой точке соответствует упорядоченная тройка чисел – координаты точки. Дальнейшее изложение подразумевает знание всех видов уравнений прямой в пространстве и всех видов уравнения плоскости, а также умение переходить от одного вида уравнений к другому виду. Но не пугайтесь, по тексту мы будем приводить ссылки на необходимую теорию.

Давайте сначала детально разберем задачу, решение которой мы можем получить на основании определения точки пересечения прямой и плоскости. Эта задача нас подготовит к нахождению координат точки пересечения прямой и плоскости.

Пример.

Является ли точка М 0 с координатами точкой пересечения прямой и плоскости .

Решение.

Нам известно, что если точка принадлежит некоторой прямой, то координаты точки удовлетворяют уравнениям прямой. Аналогично, если точка лежит в некоторой плоскости, то координаты точки удовлетворяют уравнению этой плоскости. По определению точка пересечения прямой и плоскости является общей точкой прямой и плоскости, тогда координаты точки пересечения удовлетворяют как уравнениям прямой, так и уравнению плоскости.

Таким образом, для решения поставленной задачи нам следует подставить координаты точки М 0 в заданные уравнения прямой и в уравнение плоскости. Если при этом все уравнения обратятся в верные равенства, то точка М 0 является точкой пересечения заданных прямой и плоскости, в противном случае точка М 0 не является точкой пересечения прямой и плоскости.

Подставляем координаты точки :

Все уравнения обратились в верные равенства, следовательно, точка М 0 принадлежит одновременно и прямой и плоскости , то есть, М 0 является точкой пересечения указанных прямой и плоскости.

Ответ:

Да, точка - это точка пересечения прямой и плоскости .

Итак, координаты точки пересечения прямой и плоскости удовлетворяют как уравнениям прямой, так и уравнению плоскости. Этим фактом и будем пользоваться при нахождении координат точки пересечения прямой и плоскости.

Первый способ нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости.

Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz заданы прямая a и плоскость , причем известно, что прямая a и плоскость пересекаются в точке М 0 .

Искомые координаты точки пересечения прямой a и плоскости , как мы уже говорили, удовлетворяют и уравнениям прямой a , и уравнению плоскости , следовательно, они могут быть найдены как решение системы линейных уравнений вида . Это действительно так, так как решение системы линейных уравнений обращает каждое уравнение системы в тождество.

Отметим, что при такой постановке задачи мы фактически находим координаты точки пересечения трех плоскостей, заданных уравнениями , и .

Решим пример для закрепления материала.

Пример.

Прямая, заданная уравнениями двух пересекающихся плоскостей как , пересекает плоскость . Найдите координаты точки пересечения прямой и плоскости.

Решение.

Требуемые координаты точки пересечения прямой и плоскости мы получим, решив систему уравнений вида . При этом будем опираться на информацию статьи .

Для начала перепишем систему уравнений в виде и вычислим определитель основной матрицы системы (при необходимости обращайтесь к статье ):

Определитель основной матрицы системы отличен от нуля, поэтому система уравнений имеет единственное решение. Для его отыскания можно воспользоваться любым методом. Мы используем :

Так мы получили координаты точки пересечения прямой и плоскости (-2, 1, 1) .

Ответ:

(-2, 1, 1) .

Следует отметить, что система уравнений имеет единственное решение, если прямая a , определенная уравнениями , и плоскость , заданная уравнением , пересекаются. Если прямая a лежит в плоскости , то система имеет бесконечное множество решений. Если же прямая a параллельна плоскости , то система уравнений решений не имеет.

Пример.

Найдите точку пересечения прямой и плоскости , если это возможно.

Решение.

Оговорка «если это возможно» означает, что прямая и плоскость могут не пересекаться.

. Если эта система уравнений имеет единственное решение, то оно даст нам искомые координаты точки пересечения прямой и плоскости. Если эта система не имеет решений или имеет бесконечно много решений, то о нахождении координат точки пересечения не может быть и речи, так как прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Основная матрица системы имеет вид , а расширенная матрица - . Определим А и ранг матрицы Т :
. То есть, ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы системы и равен двум. Следовательно, на основании теоремы Кронекера-Капелли можно утверждать, что система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Таким образом, прямая лежит в плоскости , и мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения прямой и плоскости.

Ответ:

Невозможно найти координаты точки пересечения прямой и плоскости.

Пример.

Если прямая пересекается с плоскостью , то найдите координаты точки их пересечения.

Решение.

Составим систему из заданных уравнений . Для нахождения ее решения используем . Метод Гаусса позволит нам не только определить, имеет ли записанная система уравнений одно решение, бесконечное множество решений или не имеет ни одного решения, но и найти решения в случае их наличия.

Последнее уравнение системы после прямого хода метода Гаусса стало неверным равенством, следовательно, система уравнений не имеет решений. Отсюда заключаем, что прямая и плоскость не имеют общих точек. Таким образом, мы не можем говорить о нахождении координат их точки пересечения.

Ответ:

Прямая параллельна плоскости и они не имеют точки пересечения.

Заметим, что если прямой a соответствуют параметрические уравнения прямой в пространстве или канонические уравнения прямой в пространстве , то можно получить уравнения двух пересекающихся плоскостей, определяющих прямую a , и после этого находить координаты точки пересечения прямой a и плоскости разобранным способом. Однако проще использовать другой метод, к описанию которого мы и переходим.

77*. Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью, заданной треугольником CDE (рис. 75, а).

Решение. Как известно, для нахождения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения следует через прямую провести вспомогательную плоскость (R), построить линию пересечения этой плоскости с заданной (1-2) и найти

точку пересечения (К) заданной и построенной прямых. Точка К является искомой точкой пересечения прямой с плоскостью (рис. 75, б). В качестве вспомогательной плоскости обычно используют горизонтально- или фронтально-проецирующую плоскость.

На рис. 75, в через прямую АВ проведена фронтально-проецирующая плоскость R, ее след R ϑ совпадает с а"в". горизонт. след плоскости в данной задаче не нужен и поэтому не показан.

Строим линию пересечения плоскости R и плоскости, заданной треугольником CDE (пример такого построения см. в задаче 67). Построив линию 1-2 (рис. 75, в), находим точку пересечения ее с прямой АВ - точку К (k, k").

Для определения участков прямой АВ, которые будут закрыты треугольником, следует воспользоваться анализом положения точек на скрещивающихся прямых.

Например, точки 1 и 3 находятся на скрещивающихся прямых (соответственно) ED и АВ. Фронтальные проекции этих точек совпадают, т. е. точки 1 и 3 одинаково удалены от пл. Н. Но расстояния их от пл. V различны: точка 3 находится дальше от пл. V, чем точка 1. Поэтому по отношению к пл. V точка 3 закрывает точку 1 (направление взгляда указано стрелкой S). Следовательно, прямая АВ проходит перед треугольником CDE до точки К. Начиная же от точки К влево прямая АВ закрывается треугольником, и поэтому этот участок прямой показан штриховой линией.

Для выявления невидимого участка на горизонт. проекции прямой АВ рассмотрим точки 4 и 5, лежащие соответственно на прямых АВ и CD.

Если смотреть на эти точки по направлению s 1 , мы видим сначала точку 5. Точка 4 закрывается точкой 5. Следовательно, прямая АВ в этом месте закрыта треугольником CDE, и участок ее проекции от точки k до точки 4 должен быть показан штриховой линией. В данном случае точка К оказалась внутри контура треугольника CDE.

При ином взаимном положении пересекающихся элементов возможен случай, когда точка К окажется вне треугольника (рис. 75, г). Это означает, что прямая АВ пересекает плоскость, заданную треугольником CDE, вне контура этого треугольника. АВ становится невидимой за точкой К (влево).

78. Найти точки пересечения прямой АВ с гранями пирамиды (рис. 76). Грани пирамиды следует рассматривать как плоскости, заданные треугольниками.

79. Найти точки пересечения прямой АВ с гранями призмы (рис. 77). Грани призмы следует рассматривать как плоскости, заданные параллельными прямыми.

80*. Найти точки пересечения прямой АВ с плоскостью Р (рис. 78, а).

Решение. Проводим через прямую АВ (рис. 78, бив) фронтально-проецирующую плоскость R (ее след R ϑ совпадает с а"b") и строим линию MN пересечения обеих плоскостей - заданной и проведенной через АВ (построение подобно выполненному в задаче 70). Искомая точка К(k, k") пересечения прямой АВ с плоскостью Р находится в точке пересечения MN с АВ.

В данной задаче видимость участка прямой от точки А до К очевидна; однако в более сложных случаях следует видимый участок прямой определять на основании

анализа положения точек. Например, взяв точку 1 (на прямой АВ) и точку N (на следе Р ϑ). видим, что точка 1 располагается дальше относительно пл. V, чем точка N. Следовательно, прямая АВ до точки К видима. За точкой К прямая показана штриховой линией она невидима. Аналогично определяется видимость на горизонт. проекции.

81. Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Р (рис. 79).

82*. Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Р (рис. 80, а).

Решение. Через прямую АВ проводим горизонтально-проецирующую плоскость R (след R h совпадает с ab) и строим линию пересечения плоскостей Р и R,

используя точки М и N пересечения их одноименных следов (рис. 80, б и в). Искомая точка (k", k) находится в точке пересечения МN с АВ. На рис, 80, г точка К построена с помощью пл. W. Так как пл. Р профильно-проецирующая (рис. 80, б).

то профильная проекция k" лежит в точке пересечения следа P ω с а"b". Зная k", строим k" на а"b" и k на аb. Видимые участки прямой АВ определяются так же, как в задачах 77 и 80.

83. Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Р (рис. 81).

84*. Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью, заданной треугольником CDE (рис. 82, а).

Решение. Через прямую АВ проводим (рис. 82, б и в) пл. R, параллельную пл. W. Она пересекает заданную плоскость по прямой MN (точки m", n", m и n лежат на пересечении следов R ϑ и R h с одноименными проекциями соответствующих сторон

треугольника CDE). Так как прямые АВ и MN профильные, то для нахождения точки (К) их пересечения строим профильные проекции а"b" и m"n". Проекция k" находится на пересечении а"b" и m"m". По k" строим k" на а"b" и k на ab.

85. Найти точку пересечения прямой EF с плоскостью, заданной четырехугольником ABCD (рис. 83).