Множество действительных корней уравнения. Основные свойства корней алгебраического уравнения

Числа можно разбить на множества, в следующем порядке возрастания мощности -

1. Множество - множество простых чисел (не имеет простых делителей, кроме самого себя).
2. Множество - множество натуральных чисел.
3. Множество - множество целых чисел (это натуральные, ноль, и целые отрицательные).
4. Множество - множество рациональных чисел (это целые числа, либо числа, которые представимы в виде дроби, в числителе и знаменателе которой целые числа. Десятичная запись рациональных либо конечна, либо представима в виде дроби, в которой обязательно есть периодическое повторение).

5. Множество - подмножество действительных чисел, которые представимы в виде радикалов над полем действительных чисел. Сюда включаются все рациональные (Q), а также некоторые иррациональные, например, . Более точно - в этом множестве числа, которые можно представить в виде записи с возведением в степень, где в степени будет рациональное число, а любое число которое возводится в степень - рациональное положительное.

6. Множество - подмножество действительных чисел, которые представимы в виде радикалов над полем комплексных чисел. Сюда включаются все рациональные (Q), а также некоторые иррациональные, например, , которое окажется действительным в итоге. Более точно - в этом множестве числа, которые можно представить в виде записи с возведением в степень, где в степени будет рациональное число, а число которое возводится в степень - рациональное, и может быть отрицательным.

Отличие множества 6 от множества 5. Например, корни уравнения,
, равны .
Вместе с тем, известно, что кубические уравнения разрешимы в радикалах . Это значит, что эти же корни можно представить в виде записи с числами, мат.операциями, и степенями.

Вопрос. У меня предположение, что части этой записи - будут комплексными числами, т.е. там не обойтись без . Будут корни из отрицательных чисел обязательно. Верно ли предположение?

Если предположение верно, то всегда действительные корни кубических уравнений -- принадлежат множеству , но они могут не принадлежать множеству . А вот корни квадратного уравнения всегда принадлежат маломощному множеству .

Вопрос. Всегда ли синус от аргумента (в градусах) представленного в виде рационального числа - принадлежит множеству (или даже ), т.е. всегда ли его можно выразить в радикалах?

Но перейдем к еще более мощному множеству чисел. Действительные корни уравнения 5-й степени, вообще не всегда могут быть выражены в радикалах, т.е. они могут не входить даже в , но есть такое множество, куда они входят -

7. Множество - множество алгебраических чисел, (подмножество действительных чисел) . В это множество входят все возможные действительные корни всех возможных алгебраических уравнений, любых степеней, и с любыми рациональными коэффициентами.

Какие более мощные множества, чем , рассматриваются в математике (не считая самых широких множеств - действительных и комплексных)? Я более мощных не встречал, обычно, если число не входит в то его просто называют трансцендентным. А я бы ввел еще одно множество -

8. Множество - множество чисел, которые могут быть корнями любого математического уравнения (не обязательно алгебраического), с любыми известными функциями (типа синус, дзета-функция, интегральный логарифм и т.д.), которые могут быть разложены представлены в виде ряда или нескольких рядов. Назовем такие числа АНАЛИТИЧЕСКИМИ. Проще говоря - можно задать описание конечных размеров, такое что, по этому описанию можно найти любую цифру после запятой данного числа - до бесконечности.

До сих пор все рассматриваемые множества были подмножествами следующего, т.е. подмножество , и т.д. - подмножество . Следующее множество, - отдельное ( в него не входит), но самое мощное.

9. Множество - множество хаотических чисел. (хаотических - мое определение). Это множество всех действительных чисел, которые не входят в . Если число входит в , то никакими математическими описаниями конечных размеров (не важно - рядами, или функциями и т.п.), это число невозможно представить, т.е. если мы зададим описание конечных размеров, то мы не сможем по этому описанию найти любую цифру после запятой данного числа - до бесконечности.

10. Множество - множество ВСЕХ действительных чисел. Это объединение непересекающихся множеств и . Причем множество в множестве - имеет меру нуль. Т.е. в множестве действительных чисел - большинство чисел - хаотические, и меньшинство - аналитические.

11. Множество - множество всех комплексных чисел. Можно было разбить и его на аналогичные подмножества (алгебраические комплексные, аналитические, хаотические и др.) но уже думаю, необязательно.

Правильна моя классификация? Какие еще у математиков есть множества, являющиеся подмножествами трансцендентных, но не являющиеся алгебраическими числами?

Страница 1
Квадратные уравнения

В современной алгебре квадратным уравнением называется уравнение вида

где коэффициенты
любые действительные числа, причем

Неполным квадратным уравнением называется уравнение вида

Пример a)

Таким образом, уравнение имеет два корня:

Пример b )

Решение

Уравнение имеет два корня:

Пример с)

Решение

Уравнение имеет два корня:

Пример d )

Решение

Уравнение не имеет действительных корней.

Пример е)

Решение

Данное уравнение также является неполным квадратным уравнением, оно всегда имеет один корень

При решении квадратных уравнений можно использовать различные способы разложения на множители. Так при решении уравнения b был применен способ вынесения общего множителя. Существует другой способ – способ группировки.

Решение.

Ответ:

Одно и то же уравнение можно решить множеством способов. Рассмотрим некоторые из них на примере квадратного уравнения

I способ. Рассмотрим квадратный трехчлен

Разложим его на множители способом группировки, предварительно представив слагаемое
в виде
Имеем

Значит, заданное уравнение можно переписать в виде

Это уравнение имеет два корня:

II способ . Рассмотрим квадратный трехчлен и разложим его на множители, используя метод выделения полного квадрата; предварительно представим слагаемое 3 в виде разности
. Имеем

Воспользовавшись формулой разности квадратов, получим

Итак, корни трехчлена

III способ – графический.

Рассмотрим графический способ решения уравнений

Решите уравнение

Построим график функции

Координаты вершины:

Ось параболы – прямая

Возьмем на оси абсцисс две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки
Найдем значение функции в этих точках
Через точки
и вершину параболы
построим график функции.

Итак, корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс т.е.

Рассмотрим другой вариант графического решения уравнения

Запишем уравнение в виде

Построим в одной системе координат графики функций

Итак, корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения построенных графиков

Исходное уравнение можно решить еще несколькими способами, преобразовав уравнение
к виду
или к виду

Затем вводят функции, строят графики и находят абсциссы точек пересечения графиков построенных функций.

Смотри задание 3 (приложение1).

IV способ – с помощью формулы корней квадратного уравнения.

Для решения квадратного уравнения вида
можно использовать следующий алгоритм:

Так как
данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находим по формуле

В случае если b – четное число, т.е.
тогда

Уравнение вида
является приведенным квадратным уравнением.

Если числа
таковы, что

то эти числа – корни уравнения.
С помощью этого утверждения, а точнее утверждения, обратного теореме Виета можно решать приведенные квадратные уравнения.

Итак, корни уравнения

Если в уравнении
сумма
то один корень уравнения всегда 1, а другой корень вычисляется по формуле .

В уравнении
сумма следовательно

Смотри задание 4 (приложение1).
Рациональные уравнения
Если
– рациональное выражение, то уравнение
называется рациональным уравнением.

Пример

Проверим найденные корни:
т.е.

являются корнями исходного уравнения.

Пример

Решим уравнение методом введения переменной. Пусть
Это позволит переписать уравнение в виде

Из уравнения
находим

Проверим найденные корни

Поскольку
нам предстоит решить еще два уравнения:

Корнями первого уравнения являются числа 1 и –4, корнями второго уравнения – числа

Ответ: 1, −4,

Метод введения новой переменной применяется также при решении биквадратных уравнений.

Уравнение вида
называется биквадратным уравнением.

Пример

Введем переменную

Получим

Ответ: 2, -2.

Смотри задания 5, 6, и 7 (приложение1).
Иррациональные уравнения
Если в уравнении переменная содержится под знаком квадратного корня, то такое уравнение называют иррациональным.

Обратимся к страницам из истории математики. Понятие иррациональные числа было известно пифагорейцам. Теорема Пифагора привела математиков к открытию несоизмеримых отрезков. Они получили совершенно парадоксальное утверждение: длину диагонали квадрата нельзя измерить никаким натуральным числом. Это утверждение подрывало основной тезис их учения: «все есть число».

Открытие несоизмеримости показало, что, владея только рациональными числами нельзя найти длину любого отрезка. Значит множество отрезков значительно шире множества рациональных чисел. Греки решили строить математику не по пути расширения понятия числа, которое привело бы их к рассмотрению иррациональных чисел, а с помощью геометрических величин. В отличии от пифагорейцев ученые Древнего Востока без каких-либо объяснений использовали приближенные значения чисел. Так они записывали 1,41 вместо
, и 3 вместо числа

Вернемся к современной математике и рассмотрим способы решения иррациональных уравнений.

Пример:

Метод возведения в квадрат обеих частей уравнения − основной метод решения иррациональных уравнений.

Метод возведения в квадрат несложен, но иногда приводит к неприятностям.

Пример:

Но значение
будучи корнем рационального уравнения
не является корнем заданного иррационального уравнения. Проверка подтвердит данное утверждение.

Проверка:

Полученное выражение не имеет смысла. Под корнем четной степени не может быть отрицательного числа.

Вывод:
посторонний корень

Заданное иррациональное уравнение не имеет корней.

Пример:

Проверка:

Если
то

– неверно

Если
то

– неверно

Вывод: заданное иррациональное уравнение не имеет корней.

Итак, иррациональное уравнение решают методом возведения обеих его частей в квадрат; решив полученное в итоге рациональное уравнение надо обязательно сделать проверку, отсеяв возможные посторонние корни.

Пример:

Проверка:

Если
то

– верное равенство.

Если
то

– верное равенство.

Значит, оба найденные значения – корни уравнения.

Ответ: 4; 5.

Пример:

Данное уравнение решим методом введения новой переменной.

Пусть

Вернемся к исходной переменной.

– верно,

– неверно.

Смотри задание 8 (приложение1).
Немного теории
Определение. Два уравнения
и
называют равносильными, если они имеют одинаковые корни (или, в частности, если оба уравнения не имеют корней).

Обычно при решении уравнения стараются заменить данное уравнение более простым, но равносильным ему. Такую замену называют равносильным преобразованием уравнения.

Равносильными преобразованиями уравнения являются следующие преобразования:

1. Перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую с противоположными знаками.

Например, замена уравнения
уравнением
есть равносильное преобразование уравнения. Это значит, что уравнения
и
равносильны.

2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.

Например, замена уравнения
уравнением
(обе части уравнения умножили почленно на 10) есть равносильное преобразование уравнения.

Неравносильными преобразованиями уравнения являются следующие преобразования:

1. Освобождение от знаменателей, содержащих переменные.
Например, замена уравнения
уравнением
есть неравносильное преобразование уравнения. Дело в том, что уравнение
имеет два корня: 2 и −2, а заданному уравнению значение
удовлетворять не может (знаменатель обращается в нуль). В подобных случаях говорят так:
посторонний корень.
2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

Если в процессе решения уравнения применялось одно из указанных неравносильных преобразований, то все найденные корни надо проверить подстановкой в исходное уравнение, поскольку среди них могут оказаться посторонние корни.

Определение.

Областью определения уравнения
называется множество
где
и
– области определения функций f и g .

Пример

Сложив дроби, стоящие в левой части, получим уравнение

равносильное исходному. Это же уравнение в свою очередь, равносильно системе

Квадратное уравнение имеет корни
где
- посторонний корень.

Рассмотрим решение уравнения

Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности

или
или
или

Уравнения с переменной под знаком модуля
1. Абсолютной величиной числа a (обозначается | a | ) называется расстояние от точки, изображающей данное число а на координатной прямой, до начала отсчета.

Из определения следует, что

Основные свойства модуля

Пример

Ясно, что здесь есть две возможности:
или
Откуда несложно получить

Ответ:
или

Отметим, что при решении уравнений вида

наиболее рациональный путь − переход к совокупности

Пример

Здесь указанный выше прием освобождает нас от необходимости находить интервалы знакопостоянства квадратного трехчлена с «неприятными» корнями.

Имеем:

Ответ:
или
или

Смотри задание 9 (приложение1).
Уравнения с параметрами
Немного теории.

С параметрами учащиеся встречаются при введении некоторых понятий. Например функция прямая пропорциональность:

линейная функция:

линейное уравнение:

квадратное уравнение:

Определение. Уравнение – внешний вид и решение, которого зависит от значений одного или нескольких параметров называется уравнением с параметрами.

Решить уравнение с параметрами означает

1. Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решения.

2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, т.е для неизвестного и параметров должны быть указаны свои области допустимых значений.

Пример:

Ответ: Если
то нет решений;Пример:
Эти уравнения представляют собой комбинированные задания, в процессе решения которых отрабатываются стандартные алгоритмы решения уравнений, а также формируются и закрепляются навыки работы с областью допустимых значений и отбором корней. Эти уравнения предназначены в качестве индивидуальных заданий для сильных учеников.

Применение уравнений.

Уравнения Навье-Стокса – система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая движение вязкой жидкости. Уравнения Навье-Стокса являются одними из важнейших в гидродинамике и применяются в математическом моделировании многих природных явлений и технических задач. Названы по имени французского физика Луи Навье и британского математика Джорджа Стокса.

Система состоит из уравнения движения уравнения неразрывности.

Одним из применений системы уравнений является описание течений в мантии Земли.

Вариации уравнения используются для описания движения воздушных масс атмосферы в частности при формировании прогноза погоды. В анализе решений уравнения заключается суть одной из открытых проблем, за решение которых математический институт Клэя назначил премию в 1 млн. долларов США. Необходимо доказать или опровергнуть существование глобального гладкого решения задачи Коши для трехмерных уравнений Навье-Стокса.
Список использованной литературы

Мордкович А.Г. Алгебра. 7 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учебник для общеоразоват. Учреждений. – 5-е изд. – М.: Мнемозина, 2002. – 160 с.: ил.
Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учебник для общеоразоват. Учреждений. – 6-е изд. – М.: Мнемозина, 2004. – 223 с.: ил.
А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир Алгебраический тренажер: Пособие для школьников и абитуриентов»/Под ред. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. – М.: Илекса, 2001 – 320с.
Кривоногов В.В. Нестандартные задания по математике: 5-11 классы. – М.:Издательство «Первое сентября», 2002. – 224с.: ил.

страница 1

1. Понятие уравнения с одной переменной

2. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений

3. Решение уравнений с одной переменной

Уравнения с одной переменной

Возьмем два выражения с переменной: 4 х и 5 х + 2. Соединив их знаком равенства, получим предложение 4х = 5 х + 2. Оно содержит переменную и при подстановке значений переменной обращается в высказывание. Например, при х = -2 предложение 4х = 5 х + 2 обращается в истинное числовое равенство 4 ·(-2) = 5 ·(-2) + 2, а при х = 1 - в ложное 4·1 = 5·1 + 2. Поэтому предложение 4х = 5х + 2 есть высказывательная форма. Ее называют уравнением с одной переменной.

В общем виде уравнение с одной переменной можно определить так:

Определение. Пусть f(х) и g(х) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда высказывательная форма вида f(х) =g(х) называется уравнением с одной переменной.

Значение переменной х из множества X, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем уравнения (или его решением). Решить уравнение - это значит найти множество его корней.

Так, корнем уравнения 4х = 5х + 2, если рассматривать его на множестве R действительных чисел, является число -2. Других корней это уравнение не имеет. Значит множество его корней есть {-2}.

Пусть на множестве действительных чисел задано уравнение (х - 1)(х + 2) = 0. Оно имеет два корня - числа 1 и -2. Следовательно, множество корней данного уравнения таково: {-2,-1}.

Уравнение (3х + 1)-2 = 6 х + 2, заданное на множестве действительных чисел, обращается в истинное числовое равенство при всех действительных значениях переменной х : если раскрыть скобки в левой части, то получим 6х + 2 = 6х + 2. В этом случае говорят, что его корнем является любое действительное число, а множеством корней множество всех действительных чисел.

Уравнение (3х + 1)·2 = 6 х + 1, заданное на множестве действительных чисел, не обращается в истинное числовое равенство ни при одном действительном значении х: после раскрытия скобок в левой части получаем, что 6 х + 2 = 6х + 1, что невозможно ни при одном х. В этом случае говорят, что данное уравнение не имееткорней и что множество его корней пусто.

Чтобы решить какое-либо уравнение, его сначала преобразовывают, заменяя другим, более простым; полученное уравнение опять преобразовывают, заменяя более простым, и т.д. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не получают уравнение, корни которого можно найти известным способом. Но чтобы эти корни были корнями заданного уравнения, необходимо, чтобы в процессе преобразований получились уравнения, множества корней которых совпадают. Такие уравнения называют равносильными.

Формулы корней квадратного уравнения. Рассмотрены случаи действительных, кратных и комплексных корней. Разложение на множители квадратного трехчлена. Геометрическая интерпретация. Примеры определения корней и разложения на множители.

Содержание

См. также: Решение квадратных уравнений онлайн

Основные формулы

Рассмотрим квадратное уравнение:
(1) .
Корни квадратного уравнения (1) определяются по формулам:
; .
Эти формулы можно объединить так:
.
Когда корни квадратного уравнения известны, то многочлен второй степени можно представить в виде произведения сомножителей (разложить на множители):
.

Далее считаем, что - действительные числа.
Рассмотрим дискриминант квадратного уравнения :
.
Если дискриминант положителен, , то квадратное уравнение (1) имеет два различных действительных корня:
; .
Тогда разложение квадратного трехчлена на множители имеет вид:
.
Если дискриминант равен нулю, , то квадратное уравнение (1) имеет два кратных (равных) действительных корня:
.
Разложение на множители:
.
Если дискриминант отрицателен, , то квадратное уравнение (1) имеет два комплексно сопряженных корня:
;
.
Здесь - мнимая единица, ;
и - действительная и мнимая части корней:
; .
Тогда

.

Графическая интерпретация

Если построить график функции
,
который является параболой, то точки пересечения графика с осью будут корнями уравнения
.
При , график пересекает ось абсцисс (ось ) в двух точках ().
При , график касается оси абсцисс в одной точке ().
При , график не пересекает ось абсцисс ().

Полезные формулы, связанные с квадратным уравнением

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Вывод формулы для корней квадратного уравнения

Выполняем преобразования и применяем формулы (f.1) и (f.3):

,
где
; .

Итак, мы получили формулу для многочлена второй степени в виде:
.
Отсюда видно, что уравнение

выполняется при
и .
То есть и являются корнями квадратного уравнения
.

Примеры определения корней квадратного уравнения

Пример 1

(1.1) .

.
Сравнивая с нашим уравнением (1.1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Поскольку дискриминант положителен, , то уравнение имеет два действительных корня:
;
;
.

Отсюда получаем разложение квадратного трехчлена на множители:

.

График функции y = 2 x 2 + 7 x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она пересевает ось абсцисс (ось ) в двух точках:
и .
Эти точки являются корнями исходного уравнения (1.1).

;
;
.

Пример 2

Найти корни квадратного уравнения:
(2.1) .

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
.
Сравнивая с исходным уравнением (2.1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Поскольку дискриминант равен нулю, , то уравнение имеет два кратных (равных) корня:
;
.

Тогда разложение трехчлена на множители имеет вид:
.

График функции y = x 2 - 4 x + 4 касается оси абсцисс в одной точке.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она касается оси абсцисс (ось ) в одной точке:
.
Эта точка является корнем исходного уравнения (2.1). Поскольку этот корень входит в разложение на множители два раза:
,
то такой корень принято называть кратным. То есть считают, что имеется два равных корня:
.

;
.

Пример 3

Найти корни квадратного уравнения:
(3.1) .

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
(1) .
Перепишем исходное уравнение (3.1):
.
Сравнивая с (1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Дискриминант отрицателен, . Поэтому действительных корней нет.

Можно найти комплексные корни:
;
;
.

Тогда

.

График функции не пересекает ось абсцисс. Действительных корней нет.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она не пересекает ось абсцисс (ось ). Поэтому действительных корней нет.

Действительных корней нет. Корни комплексные:
;
;
.

См. также:

Примеры (количество корней алгебраического уравнения)

1) x 2 – 4x + 5 = 0 - алгебраическое уравнение второй степени (квадратное уравнение) 
2
= 2 i - два корня;

2) x 3 + 1 = 0 - алгебраическое уравнение третьей степени (двучленное уравнение) 

;

3) P 3 (x ) = x 3 + x 2 – x – 1 = 0 – алгебраическое уравнение третьей степени;

число x 1 = 1 является его корнем, так как P 3 (1) 0, поэтому по теореме Безу
; разделим многочленP 3 (x ) на двучлен (x – 1) «в столбик»:


								x 2 + 2x +1

исходное уравнение P 3 (x ) = x 3 + x 2 – x – 1 = 0 

(x – 1)(x 2 + 2x + 1) = 0  (x – 1)(x + 1) 2 = 0  x 1 = 1 - простой корень, x 2 = –1 - двукратный корень.

Свойство 2 (о комплексных корнях алгебраического уравнения с действительными коэффициентами)

Если алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексные корни, то эти корни всегда парные комплексно сопряженные, то есть если число
является корнем уравнения
, то число
также является корнем этого уравнения.

 Для доказательства нужно использовать определение и следующие легко проверяемые свойства операции комплексного сопряжения:

если
, то
и справедливы равенства:

,
,
,
,

если
– действительное число, то
.

Так как
является корнем уравнения
, то

Где
-- действительные числа при
.

Возьмем сопряжение от обеих частей последнего равенства и используем перечисленные свойства операции сопряжения:

, то есть число
также удовлетворяет уравнению
, следовательно, является его корнем

Примеры (комплексные корни алгебр. уравнения с действительными коэф.)

В качестве следствия из доказанного свойства о парности комплексных корней алгебраического уравнения с действительными коэффициентами получается ещё одно свойство многочленов.

 Будем исходить из разложения (6) многочлена
на линейные множители:

Пусть число x 0 = a + bi - комплексный корень многочлена P n (x ), то есть это одно из чисел
. Если все коэффициенты этого многочлена являются действительными числами, то число
тоже является его корнем, то есть среди чисел
есть также число
.

Вычислим произведение двучленов
:

Получился квадратный трехчлен с действительными коэф.

Таким образом, любая пара двучленов с комплексно сопряженными корнями в формуле (6) приводит к квадратному трехчлену с действительными коэффициентами. 

Примеры (разложение многочлена на множители с действительными коэф.)

1) P 3 (x ) = x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x + 1);

2) P 4 (x ) = x 4 – x 3 + 4x 2 – 4x = x (x –1)(x 2 + 4).

Свойство 3 (о целых и рациональных корнях алгебраического уравнения с действительными целыми коэффициентами)

Пусть дано алгебраическое уравнение

, все коэффициенты
которого являются действительными целыми числами,