Уравнение движения центра масс системы имеет вид. Уравнение движения центра масс

Когда мы имеем дело с системой частиц, удобно найти такую точку - центр масс, которая характеризовала бы положение и движение этой системы как целого. В системе из двух одинаковых частиц такая точка С, очевидно, лежит посередине между ними (рис. 110а). Это ясно из соображений симметрии: в однородном и изотропном пространстве эта точка выделена среди всех остальных, ибо для любой другой точки А, расположенной ближе к одной из частиц, найдется симметричная ей точка В, расположенная ближе ко второй частице.

Рис. 110. Центр масс двух одинаковых частиц находится в точке С с радиусом-вектором ; центр масс двух частиц с разной массой делит отрезок между ними в отношении, обратно пропорциональном массам чатиц (б)

Очевидно, что радиус-вектор точки С равен полусумме радиусов-векторов одинаковых частиц (рис. 110а): Другими словами, представляет собой обычное среднее значение векторов

Определение центра масс. Как обобщить это определение на случай двух частиц с разными массами Можно ожидать, что наряду с геометрическим центром системы, радиус-вектор которого по-прежнему равен полусумме будет играть определенную роль точка, положение которой определяется распределением

ем масс. Ее естественно определить так, чтобы вклад каждой частицы был пропорционален ее массе:

Определяемый формулой (1) радиус-вектор центра масс представляет собой среднее взвешенное значение радиусов-векторов частиц что очевидно, если переписать (1) в виде

Радиус-вектор каждйй частицы входит в с весом, пропорциональным ее массе. Легко видеть, что определяемый формулой (1) центр масс С лежит на отрезке прямой, соединяющей частицы, и делит его в отношении, обратно пропорциональном массам частиц: (рис. 110б).

Обратим внимание на то, что приведенное здесь определение центра масс связано с известным вам условием равновесия рычага. Представим себе, что точечные массы на которые действует однородное поле тяжести, соединены стержнем пренебрежимо малой массы. Такой рычаг будет в равновесии, если точку его опоры поместить в центр масс С.

Естественным обобщением формулы (1) на случай системы, состоящей из материальных точек с массами и радиусами-векторами является равенство

которое служит определением радиуса-вектора центра масс (или центра инерции) системы.

Скорость центра масс. Центр масс характеризует не только положение, но и движение системы частиц как целого. Скорость центра масс, определяемая равенством как следует из (2), следующим образом выражается через скорости образующих систему частиц:

В числителе правой части этого выражения, как следует из формулы (6) предыдущего параграфа, стоит полный импульс системы Р, а в знаменателе - ее полная масса М. Поэтому импульс системы частиц равен произведению массы всей системы М на скорость ее центра масс

Формула (4) показывает, что импульс системы связан со скоростью ее центра масс точно так же, как импульс отдельной частицы связан со скоростью частицы. Именно в этом смысле движение центра масс и характеризует движение системы как целого.

Закон движения центра масс. Закон изменения импульса системы частиц, выражаемый формулой (9) предыдущего параграфа, по существу представляет собой закон движения ее центра масс. В самом деле, из (4) при неизменной полной массе М системы имеем

что означает, что скорость изменения импульса системы равна произведению ее массы на ускорение центра масс. Сравнивая (5) с формулой (6) § 29, получаем

Согласно (6) центр масс системы движется так, как двигалась бы одна материальная точка массы М под действием силы, равной сумме всех внешних сил, действующих на входящие в систему частицы. В частности, центр масс замкнутой физической системы, на которую внешние силы не действуют, движется в инерциальной системе отсчета равномерно и прямолинейно либо покоится.

Представление о центре масс в ряде случаев позволяет получить ответы на некоторые вопросы еще проще, чем при непосредственном использовании закона сохранения импульса. Рассмотрим следующий пример.

Космонавт вне корабля. Космонавт массы неподвижный относительно космического корабля массы с выключенным двигателем, начинает подтягиваться к кораблю с помощью легкого страховочного фала. Какие расстояния пройдут космонавт и корабль до встречи, если первоначально расстояние между ними равно

Центр масс корабля и космонавта находится на соединяющей их прямой, причем соответствующие расстояния обратно пропорциональны массам Так как то

сразу получаем

В далеком космосе, где внешние силы отсутствуют, центр масс этой замкнутой системы либо покоится, либо движется с постоянной скоростью. В той системе отсчета, где он покоится, космонавт и корабль пройдут до встречи расстояния , даваемые формулами (7).

Для справедливости подобных рассуждений принципиально важно использовать инерциальную систему отсчета. Если бы здесь мы опрометчиво связали систему отсчета с космическим кораблем, то пришли бы к заключению, что при подтягивании космонавта центр масс системы приходит в движение в отсутствие внешних сил: он приближается к кораблю. Центр масс сохраняет свою скорость только относительно инерциальной системы отсчета.

В уравнение (6), определяющее ускорение центра масс системы частиц, не входят действующие в ней внутренние силы. Значит ли это, что внутренние силы вообще никак не влияют на движение центра масс? В отсутствие внешних сил или когда эти силы постоянны, это действительно так. Например, в однородном поле тяжести центр масс разорвавшегося в полете снаряда продолжает движение по той же параболе, пока ни один из осколков еще не упал на землю.

Роль внутренних сил. В тех случаях, когда внешние силы могут изменяться, дело обстоит несколько сложнее. Внешние силы действуют не на центр масс, а на отдельные частицы системы. Эти силы могут зависеть от положения частиц, а положение каждой частицы при ее движении определяется всеми действовавшими на нее силами, как внешними, так и внутренними.

Поясним это на том же простом примере снаряда, разрывающегося в полете на мелкие осколки под действием внутренних сил. Пока все осколки в полете, центр масс, как уже говорилось, продолжает движение по той же параболе. Однако как только хотя бы один из осколков коснется земли и его движение прекратится, добавится новая внешняя сила - сила реакции поверхности земли, действующая на упавший осколок. В результате изменится ускорение центра масс, и он уже не будет двигаться по прежней параболе. Само появление этой силы реакции является следствием действия внутренних сил, разорвавших снаряд. Итак, действие внутренних сил в момент разрыва снаряда может привести к изменению ускорения, с которым будет двигаться центр масс в более поздние моменты времени и, следовательно, к изменению его траектории.

Приведем еще более яркий пример влияния внутренних сил на движение центра масс. Представим себе, что спутник Земли,

обращающийся вокруг нее по круговой орбите, под действием внутренних сил разделяется на две половины. Одна из половин останавливается и начинает отвесно падать на Землю. По закону сохранения импульса вторая половина должна в этот момент вдвое увеличить свою скорость, направленную по касательной к окружности. Как мы увидим ниже, при такой скорости эта половина улетит от Земли на бесконечно большое расстояние. Следовательно, и центр масс спутника, т. е. двух его половин, также удалится на бесконечно большое расстояние от Земли. И причина тому - действие внутренних сил при разделении спутника на две части, так как в противном случае неразделившийся на части спутник продолжал бы движение по круговой орбите.

Реактивное движение. Закон сохранения импульса замкнутой системы позволяет легко объяснить принцип реактивного движения. При сжигании топлива повышается температура и в камере сгорания создается высокое давление, благодаря чему образовавшиеся газы с большой скоростью вырываются из сопла двигателя ракеты. В отсутствие внешних полей полный импульс ракеты и вылетающих из сопла газов остается неизменным. Поэтому при истечении газов ракета приобретает скорость в противоположном направлении.

Уравнение Мещерского. Получим уравнение, описывающее движение ракеты. Пусть в некоторый момент времени ракета в какой-то инерциальной системе отсчета имеет скорость Введем другую инерциальную систему отсчета, в которой в данный момент времени ракета неподвижна. Назовем такую систему отсчета сопутствующей. Если работающий двигатель ракеты за промежуток выбрасывает газы массы со скоростью относительно ракеты, то спустя время скорость ракеты в этой сопутствующей системе будет отлична от нуля и равна

Применим к рассматриваемой замкнутой физической системе ракета плюс газы закон сохранения импульса. В начальный момент в сопутствующей системе отсчета ракета и газы покоятся, поэтому полный импульс равен нулю. Спустя время импульс ракеты равен а импульс выброшенных газов Поэтому

Полная масса системы ракета плюс газы сохраняется, поэтому масса выброшенных газов равна убыли массы ракеты:

Теперь уравнение (8) после деления на промежуток времени переписывается в виде

Переходя к пределу получаем уравнение движения тела переменной массы (ракеты) в отсутствие внешних сил:

Уравнение (9) имеет вид второго закона Ньютона, если его правую часть рассматривать как реактивную силу, т. е. силу, с которой действуют на ракету вылетающие из нее газы. Масса ракеты здесь не постоянна, а убывает со временем из-за потери вещества, т. е. Поэтому реактивная сила; направлена в сторону, противоположную скорости вылетающих из сопла газов относительно ракеты. Видно, что эта сила тем больше, чем больше скорость истечения газов и чем выше расход топлива в единицу времени.

Уравнение (9) получено в определенной инерциальной системе отсчета - сопутствующей системе. Вследствие принципа относительности оно справедливо и в любой другой инерциальной системе отсчета. Если, кроме реактивной силы, на ракету действуют и какие-либо другие внешние силы например сила тяжести и сила сопротивления воздуха, то их следует добавить в правую часть уравнения (9):

Это уравнение впервые было получено Мещерским и носит его имя. При заданном режиме работы двигателя, когда масса представляет собой определенную известную функцию времени, уравнение Мещерского позволяет рассчитать скорость ракеты в любой момент времени.

Какие физические соображения свидетельствуют о целесообразности определения центра масс с помощью формулы (1)?

В каком смысле центр масс характеризует движение системы частиц как целого?

О чем говорит закон движения центра масс системы взаимодействующих тел? Влияют ли внутренние силы на ускорение центра масс?

Могут ли внутренние силы влиять на траекторию центра масс системы?

В задаче о разрыве снаряда, рассмотренной в предыдущем параграфе, закон движения центра масс позволяет сразу найти дальность полета второго осколка, если его начальная скорость горизонтальна. Как это сделать? Почему эти соображения неприменимы в случае, когда его начальная скорость имеет вертикальную составляющую?

В процессе разгона ракеты ее двигатель работает в постоянном режиме, так что относительная скорость истечения газов и расход топлива в единицу времени неизменны. Будет ли при этом ускорение ракеты постоянным?

Выведите уравнение Мещерского, используя вместо сопутствующей системы отсчета инерциальную систему, в которой ракета уже имеет скорость

Формула Циолковского. Допустим, что разгон ракеты происходит в свободном пространстве, где на нее не действуют внешние силы. По мере вырабатывания топлива масса ракеты убывает. Найдем зависимость между массой израсходованного топлива и набранной ракетой скоростью.

После включения двигателя покоившаяся ракета начинает набирать скорость, двигаясь по прямой линии. Спроецировав векторное уравнение (9) на направление движения ракеты, получим

Будем в уравнении (11) рассматривать массу ракеты как функцию набранной ракетой скорости Тогда скорость изменения массы со временем можно представить следующим образом:

Точка С , положение которой определяется радиус-вектором:

называется центром масс системы материальных точек. Здесь m i - масса i -й частицы; r i - радиус-вектор, задающий положение этой частицы; - суммарная масса системы. (Отметим, что в однородном поле сил тяжести центр масс совпадает с центром тяжести системы.)

Продифференцировав r C по времени, найдем скорость центра масс:

где V i - скорость i -ой материальной точки, p i - ее импульс, P – импульс системы материальных точек. Из (2.18) следует, что суммарный импульс системы есть

P = mV C , (2.19)

Из (2.19) и (2.16), получим уравнение движения центра масс:

(а C – ускорение центра масс). Таким образом, из уравнения

следует, что центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе системы, под действием результирующей всех внешних сил, приложенных к телам системы. Для замкнутой системы а C = 0. Это означает, что центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно либо покоится .

Система отсчета, относительно которой центр масс покоится, называется системой центра масс (сокращенно ц- системой). Эта система является инерциальной.

Контрольные вопросы

1. В каких системах отсчета справедливы законы Ньютона?

2. Какие формулировки второго закона Ньютона вы знаете?

3. Чему равен вес свободно падающего тела?

4. Какой знак имеет скалярное произведение силы трения и скорости тела?

5. Чему равен импульс системы материальных точек в системе центра масс?

6. Чему равно ускорение центра масс тела, имеющего массу m и находящегося под действием сил ?

1. Пуля пробивает две примыкающие друг к другу коробки с жидкостями: вначале коробку с глицерином, затем такую же коробку с водой. Как изменится конечная скорость пули, если коробки поменять местами? Другими силами, действующими на пулю, кроме силы сопротивления жидкости F = – rV , пренебречь.

2. Движение материальной точки задано уравнениями x = at 3 , y = bt.

3. Скорость материальной точки задана уравнениями u x = A ∙ sinwt ,u y = A ∙ coswt. Изменяется ли сила, действующая на точку: а) по модулю; б) по направлению?

4. Шарик, висящий на нити длиной l , после горизонтального толчка поднимается на, высоту H , не сходя с окружности. Может ли его скорость оказаться равной нулю: а) при H < l б) при H > l ?

5. Два тела массами т 1 > m 2 падают с одинаковой высоты. Силы сопротивления считать постоянными и одинаковыми для обоих тел. Сравнить время падения тел.

6. Два одинаковых бруска, связанные нитью, движутся по горизонтальной плоскости под действием горизонтальной силы F . Зависит ли сила натяжения нити: а) от массы брусков; б) от коэффициента трения брусков о плоскость?

7. Брусок массой m 1 = 1 кг покоится на бруске массой m 2 = 2 кг. На нижний брусок начала действовать горизонтальная сила, возрастающая пропорционально времени, ее модуль F = 3t (F – в Н, t – в с). В какой момент времени верхний брусок начнет проскальзывать? Коэффициент трения между брусками m = 0,1, трение между нижним бруском и опорой пренебрежимо мало. Принять g = 10 м/с 2 .

8. Два шарика а и б, подвешенные на нитях в общей точке0, равномерно движутся по круговым траекториям, лежащим в одной горизонтальной плоскости. Сравнить их угловые скорости.

9. Коническая воронка вращается с постоянной угловой скоростью w. Внутри воронки на стенке лежит тело, которое может свободно скользить вдоль образующей конуса. При вращении тело находится в равновесии относительно стенки. Является это равновесие устойчивым или неустойчивым?

Глава 3
Работа и энергия

Допустим, что у нас есть некоторая система, состоящая из n -ного количества материальных точек. Возьмем одну из них и обозначим ее массу как m k . Приложенные к точке внешние силы (как активные силы, так и реакции связей) имеют равнодействующую F k e . Внутренние силы имеют равнодействующую F k l . Наша система находится в движении, следовательно, нужная точка будет иметь ускорение a k . Зная основной закон динамики, мы можем записать следующую формулу:

m k a k = F k e + F k l .

Ее можно применить к любой точке системы. Значит, для всей системы целиком можно сформулировать следующие уравнения:

m 1 a 1 = F 1 e + F 1 l , m 2 a 2 = F 2 e + F 2 l , ⋯ m n a n = F n e + F n l .

Данная формула состоит из дифференциальных уравнений, описывающих движение системы в векторной форме. Если мы спроецируем эти равенства на соответствующие координатные оси, то у нас получатся дифференциальные уравнения движения в проекциях. Но в конкретных задачах чаще всего вычислять движение каждой точки системы не требуется: можно ограничиться характеристиками движения всей системы в целом.

Движение центра масс: основная теорема

Характер движения системы можно определить, зная закон, по которому движется ее центр масс.

Определение 1

Центр инерции системы (центр масс) – это воображаемая точка с радиус-вектором R , выражаемым через радиус-векторы r 1 , r 2 , . . . соответствующих материальных точек по формуле R = m 1 r 1 + m 2 r 2 + . . . + m n r n m .

Здесь сумма показателей в числителе m = m 1 + m 2 + . . . + m 3 выражает общую массу всей системы.

Для нахождения этого закона нам нужно взять уравнения движения системы, приведенные в предыдущем пункте, и сложить их правые и левые части. У нас получится, что:

∑ m k a k ¯ = ∑ F k ¯ e + ∑ F k ¯ l .

Взяв формулу радиус-вектора центра масс, получим следующее:

∑ m k r k = M r c .

Теперь возьмем вторую производную по времени:

∑ m k a k = M a c .

Здесь буквой a c ¯ обозначено ускорение, которое приобретает центр масс системы.

Определение 2

Свойство внутренних сил в системе гласит, что F k l равно нулю, значит, окончательное равенство будет выглядеть так:

M a c ¯ = ∑ F k ¯ e .

Это уравнение является записью закона движения центра масс . Запишем его:

Движение центра масс системы идентично движению материальной точки той же массы, что и вся система целиком, к которой приложены все действующие на систему внешние силы.

Иначе говоря, произведение ускорения центра масс системы на массу самой системы будет равно геометрической сумме всех внешних сил, действующих на эту систему.

Возьмем полученное выше уравнение и спроецируем его правую и левую части на соответствующие координатные оси. У нас получится:

M x c ¨ = ∑ F k x ¯ e , M y c ¨ = ∑ F k y ¯ e , M z c ¨ = ∑ F k z ¯ e .

Эти равенства являются дифференциальными уравнениями движения центра масс в проекции на оси в декартовой системе координат.

Данная теорема имеет большую практическую ценность. Поясним, в чем именно она заключается.

Теорема 1

Любое тело, движущееся поступательно, может быть рассмотрено в качестве материальной точки, масса которой равна массе всего тела. Во всех других случаях такой подход возможен лишь тогда, когда для определения положения тела в пространстве нам будет достаточно знать, в каком положении находится его центр масс. Также важно, чтобы условия задачи допускали исключение вращательной части движения тела.
С помощью теоремы движения центра масс системы мы можем не рассматривать в задачах неизвестные нам заранее внутренние силы.

Разберем пример применения теоремы для решения практической задачи.

Пример 1

Условие: к оси центробежной машины на нити подвешено кольцо из металла. Оно совершает равномерные вращательные движения с угловой скоростью, равной ω . Вычислите, на каком расстоянии центр кольца находится от оси вращения.

Решение

Очевидно, что система находится под воздействием силы тяжести N N ¯ α α . Также необходимо учесть силу натяжения нити и центростремительное ускорение.

Второй закон Ньютона для системы будет выглядеть так:

m a ¯ = N ¯ + m g ¯ .

Теперь создадим проекции обеих частей равенства на оси абсцисс и ординат и получим:

N sin α = m a ; N cos α = m g .

Мы можем разделить одно уравнение на другое:

Поскольку a = υ 2 R , υ = ω R , то нужное нам уравнение будет выглядеть так:

R = g t g α ω 2 .

Ответ: R = g t g α ω 2 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Дифференциальные уравнения движения системы

Рассмотрим систему, состоящую из $n$ материальных точек. Выделим какую-нибудь точку системы с массой $m_{k}.$ Обозначим равнодействующую всех приложенных к точке внешних сил (и активных, и реакций связей) через $\overline{F}_{k}^{e} $, а равнодействующую всех внутренних сил -- через $\overline{F}_{k}^{l} $. Если точка имеет при этом ускорение $\overline{a_{k} }$, то по основному закону динамики:

Аналогичный результат получим для любой точки. Следовательно, для всей системы будет:

Уравнения (1) представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в векторной форме.

Проектируя равенства (1) на координатные оси, получим уравнения движения системы в дифференциальной форме в проекциях на эти оси.

Однако при решении многих конкретных задач необходимость находить закон движения каждой из точек системы не возникает, а бывает достаточно найти характеристики, определяющие движение всей системы в целом.

Теорема о движении центра масс системы

Для определения характера движения системы требуется знать закон движения ее центра масс. Центром масс или центром инерции системы называется такая воображаемая точка, радиус-вектор $R$которой выражается через радиус векторы $r_{1} ,r_{2} ,...$материальных точек по формуле:

$R=\frac{m_{1} r_{1} +m_{2} r_{2} +...+m_{n} r_{n} }{m} $, (2)

где $m=m_{1} +m_{2} +...+m_{n} $ - общая масса всей системы.

Чтобы найти этот закон, обратимся к уравнениям движения системы (1) и сложим почленно их левые и правые части. Тогда получим:

$\sum m_{k} \overline{a}_{k} =\sum \overline{F}_{k}^{e} +\sum \overline{F}_{k}^{l} $. (3)

Из формулы (2) имеем:

Беря вторую производную по времени, получаем:

$\sum m_{k} \overline{a}_{k} =M\overline{a}_{c} $, (4)

где $\overline{a}_{c} $- ускорение центра масс системы.

Так как по свойству внутренних сил в системе $\sum \overline{F}_{k}^{l} =0$, получим окончательно из равенства (3), учтя (4):

$M\overline{a}_{c} =\sum \overline{F}_{k}^{e} $. (5)

Уравнение (5) выражает теорему о движении центра масс системы: произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил или центр масс системы движется как материальная точка , масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Проецируя обе части равенства (5) на координатные оси, получим:

$M\ddot{x}_{c} =\sum \overline{F}_{kx}^{e} $, $M\ddot{y}_{c} =\sum \overline{F}_{ky}^{e} $, $M\ddot{z}_{c} =\sum \overline{F}_{kz}^{e} $. (6)

Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения движения центра масс в проекциях на оси декартовой системы координат.

Значение теоремы состоит в следующем:

Теорема

Поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе тела. В остальных случаях тело можно рассматривать как материальную точку лишь тогда, когда практически для определения положения тела достаточно знать положение его центра масс и допустимо по условиям задачи не принимать во внимание вращательную часть движения тела;
Теорема позволяет исключать из рассмотрения все наперед неизвестные внутренние силы. В этом ее практическая ценность.

Пример

Металлическое кольцо, подвешенное на нити к оси центробежной машины равномерно вращается с угловой скоростью $\omega $. Нить составляет угол $\alpha $с осью. Найти расстояние от центра кольца до оси вращения.

\[\omega \] \[\alpha \]

На нашу систему действует сила тяжести $\overline{N}$ $\overline{N}$ $\alpha \alpha$, сила натяжения нити и центростремительное ускорение.

Запишем второй закон Ньютона для нашей системы:

Спроецируем обе части на оси x и y:

\[\left\{ \begin{array}{c} N\sin \alpha =ma; \\ N\cos \alpha =mg; \end{array} \right.(4)\]

Разделив одно уравнение на другое, получим:

Так как $a=\frac{v^{2} }{R} ;$$v=\omega R$, находим искомое расстояние:

Ответ: $R=\frac{gtg\alpha }{\omega ^{2} } $

МЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА – это произвольный заранее выбранный набор материальных тел, поведение которых анализируется.

В дальнейшем будет использоваться следующее правило: В МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫКЛАДКАХ ХАРКТЕРИСТИКИ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК В ОТЛИЧИЕ ОТ ХАРАКТЕРИСТИК МАТЕРИАЛЬНЫХ ТЕЛ, БУДУТ ИМЕТЬ ИНДЕКС.

МАССА ТЕЛА – это сумма масс всех материальных точек, составляющих данное тело

ВНЕШНИЕ СИЛЫ – это силы взаимодействия материальных точек, включенных в механическую систему и не включенных.

ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ – это силы взаимодействия материальных точек, включенных в механическую систему.

ТЕОРЕМА Д1 . Сумма внутренних сил механической системы всегда равна нулю .

Доказательство . Согласно аксиоме Д5, для любой пары материальных точек механической системы сумма сил их взаимодействия всегда равна нулю. Но все взаимодействующие точки принадлежат системе и, следовательно, любой из внутренних сил всегда найдется противодействующая внутренняя сила. Следовательно, полная сумма всех внутренних сил обязательно равна нулю. Ч.т.д.

ТЕОРЕМА Д2 .Сумма моментов внутренних сил механической системы всегда равна нулю .

Доказательство . Согласно аксиоме Д5, каждой внутренней силе найдется противодействующая внутренняя сила. Поскольку линии действия этих сил совпадают, то их плечи относительно любой точки пространства будут одинаковы и, следовательно, их моменты, относительно выбранной точки пространства по величине одинаковы, но знаки имеют разные, так как силы направлены противоположно. Следовательно, полная сумма моментов всех внутренних сил обязательно равна нулю. Ч.т.д.

ТЕОРЕМА Д3 .Произведение массы всей механической системы на ускорение ее центра масс равняется сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Доказательство . Рассмотрим произвольную механическую систему, состоящую из конечного числа материальных тел. На основании аксиомы Д2 каждое тело можем разбить на конечное число материальных точек. Пусть всего получено n таких точек. Для каждой такой точки на основании аксиомы Д4 можно составить уравнение движения

Учитывая, что (КИНЕМАТИКА стр. 3), а также разбив все силы, действующие на i -ю точку, на внешние и внутренние, получим из предыдущего равенства

Если просуммировать уравнения движения всех точек системы, получим

Используя коммутативность операций суммирования и дифференцирования (фактически знаки суммирования и дифференцирования можно менять местами), получим

(40)

Выражение, полученное в скобках, может быть представлено через координату центра масс системы (СТАТИКА стр. 15)

где m – масса всей системы;

Радиус-вектор центра масс системы.

Как следует из теоремы Д1, последнее слагаемое в выражении (40) обращается в ноль, поэтому

или , ч.т.д. (41)

Следствие . Центр масс механической системы движется таким образом, как если бы он был материальной точкой, обладающей всей массой системы и к которой приведены все внешние силы .

Движение механической системы в отсутствие внешних сил

Теорема Д4. Если внешние силы, действующие на механическую систему, уравновешены в некотором направлении, то центр масс системы в этом направлении будет двигаться с постоянной скоростью.

Доказательство Х совпадала с направлением, в котором внешние силы уравновешены, т.е. сумма проекций внешних сил на ось Х равна нулю

Тогда, согласно теореме Д3

Так как , следовательно

Если проинтегрировать последнее выражение, то получим

ТЕОРЕМА Д5 . Если внешние силы, действующие на механическую систему, уравновешены в некотором направлении и в начальный момент система покоилась, то центр масс системы остается неподвижен все время движения.

Доказательство . Повторив рассуждения, приведенные в доказательстве предыдущей теоремы, получим, что скорость центра масс должна остаться такой же, какой она была в начальный момент, т.е. нулевой

Проинтегрировав это выражение, получим

ТЕОРЕМА Д6 . Если внешние силы, действующие на механическую систему, уравновешены в некотором направлении и в начальный момент система покоилась, то сумма произведений масс каждого из тел системы на абсолютное смещение его собственного центра масс в том же направлении равна нулю.

Доказательство . Выберем систему координат таким образом, чтобы ось Х совпадала с направлением, в котором внешние силы уравновешены или отсутствуют (F 1 , F 2 , …, F k на рис. 3), т.е. сумма проекций внешних сил на ось Х равна нулю