Что означает pi. Краткая история числа пи

С недавних пор существует элегантная формула для вычисления числа Пи, которую в 1995 году впервые опубликовали Дэвид Бэйли, Питер Борвайн и Саймон Плафф:

Казалось бы: что в ней особенного — формул для вычисления Пи великое множество: от школьного метода Монте-Карло до труднопостижимого интеграла Пуассона и формулы Франсуа Виета из позднего Средневековья. Но именно на эту формулу стоит обратить особое внимание — она позволяет вычислить n-й знак числа пи без нахождения предыдущих. За информацией о том, как это работает, а также за готовым кодом на языке C, вычисляющим 1 000 000-й знак, прошу под хабракат.

Как же работает алгоритм вычисления N-го знака Пи?
К примеру, если нам нужен 1000-й шестнадцатеричный знак числа Пи, мы домножаем всю формулу на 16^1000, тем самым обращая множитель, стоящий перед скобками, в 16^(1000-k). При возведении в степень мы используем двоичный алгоритм возведения в степень или, как будет показано в примере ниже, возведение в степень по модулю . После этого вычисляем сумму нескольких членов ряда. Причём необязательно вычислять много: по мере возрастания k 16^(N-k) быстро убывает, так что, последующие члены не будут оказывать влияния на значение искомых цифр). Вот и вся магия — гениальная и простая.

Формула Бэйли-Борвайна-Плаффа была найдена Саймоном Плаффом при помощи алгоритма PSLQ , который был в 2000 году включён в список Top 10 Algorithms of the Century . Сам же алгоритм PSLQ был в свою очередь разработан Бэйли. Вот такой мексиканский сериал про математиков.
Кстати, время работы алгоритма — O(N), использование памяти — O(log N), где N — порядковый номер искомого знака.

Думаю, уместно будет привести код на языке Си, написанный непосредственно автором алгоритма, Дэвидом Бэйли:

/* This program implements the BBP algorithm to generate a few hexadecimal digits beginning immediately after a given position id, or in other words beginning at position id + 1. On most systems using IEEE 64-bit floating- point arithmetic, this code works correctly so long as d is less than approximately 1.18 x 10^7. If 80-bit arithmetic can be employed, this limit is significantly higher. Whatever arithmetic is used, results for a given position id can be checked by repeating with id-1 or id+1, and verifying that the hex digits perfectly overlap with an offset of one, except possibly for a few trailing digits. The resulting fractions are typically accurate to at least 11 decimal digits, and to at least 9 hex digits. */ /* David H. Bailey 2006-09-08 */ #include #include int main() { double pid, s1, s2, s3, s4; double series (int m, int n); void ihex (double x, int m, char c); int id = 1000000; #define NHX 16 char chx; /* id is the digit position. Digits generated follow immediately after id. */ s1 = series (1, id); s2 = series (4, id); s3 = series (5, id); s4 = series (6, id); pid = 4. * s1 - 2. * s2 - s3 - s4; pid = pid - (int) pid + 1.; ihex (pid, NHX, chx); printf (" position = %i\n fraction = %.15f \n hex digits = %10.10s\n", id, pid, chx); } void ihex (double x, int nhx, char chx) /* This returns, in chx, the first nhx hex digits of the fraction of x. */ { int i; double y; char hx = "0123456789ABCDEF"; y = fabs (x); for (i = 0; i < nhx; i++){ y = 16. * (y - floor (y)); chx[i] = hx[(int) y]; } } double series (int m, int id) /* This routine evaluates the series sum_k 16^(id-k)/(8*k+m) using the modular exponentiation technique. */ { int k; double ak, eps, p, s, t; double expm (double x, double y); #define eps 1e-17 s = 0.; /* Sum the series up to id. */ for (k = 0; k < id; k++){ ak = 8 * k + m; p = id - k; t = expm (p, ak); s = s + t / ak; s = s - (int) s; } /* Compute a few terms where k >= id. */ for (k = id; k <= id + 100; k++){ ak = 8 * k + m; t = pow (16., (double) (id - k)) / ak; if (t < eps) break; s = s + t; s = s - (int) s; } return s; } double expm (double p, double ak) /* expm = 16^p mod ak. This routine uses the left-to-right binary exponentiation scheme. */ { int i, j; double p1, pt, r; #define ntp 25 static double tp; static int tp1 = 0; /* If this is the first call to expm, fill the power of two table tp. */ if (tp1 == 0) { tp1 = 1; tp = 1.; for (i = 1; i < ntp; i++) tp[i] = 2. * tp; } if (ak == 1.) return 0.; /* Find the greatest power of two less than or equal to p. */ for (i = 0; i < ntp; i++) if (tp[i] > p) break; pt = tp; p1 = p; r = 1.; /* Perform binary exponentiation algorithm modulo ak. */ for (j = 1; j <= i; j++){ if (p1 >= pt){ r = 16. * r; r = r - (int) (r / ak) * ak; p1 = p1 - pt; } pt = 0.5 * pt; if (pt >= 1.){ r = r * r; r = r - (int) (r / ak) * ak; } } return r; }
Какие возможности это даёт? Например: мы можем создать систему распределённых вычислений, рассчитывающую число Пи и поставить всем Хабром новый рекорд по точности вычисления (который сейчас, к слову, составляет 10 триллионов знаков после запятой). Согласно эмпирическим данным, дробная часть числа Пи представляет собой нормальную числовую последовательность (хотя доказать это достоверно ещё не удалось), а значит, последовательности цифр из него можно использовать в генерации паролей и просто случайных чисел, или в криптографических алгоритмах (например, в хэшировании). Способов применения можно найти великое множество - надо только включить фантазию.

Больше информации по теме вы можете найти в статье самого Дэвида Бэйли, где он подробно рассказывает про алгоритм и его имплементацию (pdf);

И, похоже, вы только что прочитали первую русскоязычную статью об этом алгоритме в рунете - других я найти не смог.

Значение числа (произносится «пи» ) — математическая константа, равная отношению

Обозначается буквой греческого алфавита «пи». Старое название — лудольфово число .

Чему равно число пи? В простых случаях хватает знать первые 3 знака (3,14). Но для более

сложных случаев и там, где нужна бОльшая точность необходимо знать больше, чем 3 цифры.

Какое число пи? Первые 1000 знаков числа пи после запятой:

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989...

В обычных условиях приблизительное значение числа пи можно вычислить следуя пунктам,

приведенным ниже:

Берем круг , обматываем по его краю нить один раз.
Измеряем длину нити.
Измеряем диаметр круга.
Делим длину нити на длину диаметра. Получили число пи.

Свойства числа Пи.

пи — иррациональное число , т.е. значение числа пи не возможно точно выразить в виде

дроби m/n , где m и n являются целыми числами . Из этого видно, что десятичное представление

числа пи никогда не заканчивается и оно не является периодическим.

пи — трансцендентное число, т.е. оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми

коэффициентами. В 1882 году профессор Кёнигсбергский доказал трансцендентность числа пи , а

позднее, профессором Мюнхенского университета Линдеманом. Доказательство упростил

Феликс Клейн в 1894 году.

так как в евклидовой геометрии площадь круга и длина окружности - это функции числа пи,

то доказательство трансцендентности пи дало конец спору о квадратуре круга, длившемуся более

2,5 тысяч лет.

пи является элементом кольца периодов (то есть, вычислимым и арифметическим числом).

Но никто не знает, принадлежит ли к кольцу периодов.

Формула числа пи.

Франсуа Виет:

Формула Валлиса:

Ряд Лейбница:

Другие ряды:

История числа Пи начинается еще с Древнего Египта и идет параллельно с развитием всей математики. Мы же впервые встречаемся с этой величиной в стенах школы.

Число Пи является, пожалуй, самым загадочным из бесконечного множества других. Ему посвящены стихи, его изображают художники, о нем даже снят фильм. В нашей статье мы рассмотрим историю развития и вычисления, а также области применения константы Пи в нашей жизни.

Число Пи – это математическая константа равная отношению длины окружности к длине ее диаметра. Первоначально оно называлось лудольфово числом, а обозначать его буквой Пи было предложено британским математиком Джонсом в 1706 году. После работ Леонарда Эйлера в 1737 году это обозначение стало общепринятым.

Число Пи является иррациональным, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m и n - целые числа. Впервые это доказал Иоганн Ламберт в 1761 году.

История развития числа Пи насчитывает уже порядка 4000 лет. Еще древнеегипетским и вавилонским математикам было известно, что отношение длины окружности к диаметру одинаково для любой окружности и значение его равно чуть больше трех.

Архимед предложил математический способ вычисления Пи, в котором он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. По его расчетам Пи примерно равнялась 22/7 ≈ 3,142857142857143.

Во II веке Чжан Хэн предложил два значения числа Пи: ≈ 3,1724 и ≈ 3,1622.

Индийские математики Ариабхата и Бхаскара нашли приблизительное значение 3,1416.

Самым точным приближением числа Пи на протяжении 900 лет было вычисление китайского математика Цзу Чунчжи, проведенное в 480-х годах. Он вывел, что Пи ≈ 355 / 113 , и показал, что 3,1415926 < Пи < 3,1415927.

До II тысячелетия было вычислено не более 10 цифр числа Пи. Лишь с развитием математического анализа, а особенно с открытием рядов, были осуществлены последующие крупные продвижения в вычислении константы.

В 1400-х годах Мадхава смог вычислить Пи=3,14159265359. Его рекорд удалось побить персидскому математику Аль-Каши в 1424 году. Он в своём труде «Трактат об окружности» привёл 17 цифр числа Пи, 16 из которых оказались верными.

Голландский математик Людольф ван Цейлен дошел в своих вычислениях до 20-ти чисел, отдав на это 10 лет жизни. После его смерти в его записях были обнаружены еще 15 цифр числа Пи. Он завещал, чтобы эти цифры были высечены на его надгробии.

С появлением компьютеров число Пи на сегодняшний день насчитывает несколько триллионов знаков и это не предел. Но, как подмечено в книге «Fractals for the Classroom», при всей важности числа Пи «трудно найти сферы в научных расчетах, где потребовалось бы больше двадцати десятичных знаков».

В нашей жизни число Пи используется во многих научных областях. Физика, электроника, теория вероятностей, химия, строительство, навигация, фармакология - это лишь некоторые из них, которые просто невозможно представить себе без этого загадочного числа.

По материалам сайта Calculator888.ru - Число Пи - значение, история, кто придумал .

Значение числа "Пи", как и его символика известна во всём мире. Этот термин обозначает иррациональные числа (то есть их значение не может быть точно выражено в виде дроби y/x, где y и x - целые числа) и заимствован и древнегреческого фразеологизма "перефериа", что можно перевести на русский, как "окружность".
Число "Пи" в математике обозначает отношение длины окружности к длине её диаметра. История происхождения числа "Пи" уходит в далёкое прошлое. Множество историков пытались установить, когда и кем был придуман этот символ, но выяснить так и не удалось.

Число "Пи" является трансцендентным числом, или говоря простыми словами оно не может быть корнем некоего многочлена с целыми коэффициентами. Оно может обозначаться, как вещественное либо, как косвенное число, которое не является алгебраическим.

Число "Пи" равняется 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510...

Число "Пи" может быть не только иррациональным числом, которое нельзя выразить с помощью нескольких различных чисел. Число "Пи" можно представить некоей десятичной дроби, которое располагает бесконечным множеством цифр после запятой. Ещё интересный момент - все эти числа не способны повторяться.

Число "Пи" можно соотнести с дробным числом 22/7, так называемым символом "тройной октавы ". Это число знали ещё древнегреческие жрецы. Кроме того, даже простые жители могли применять его для решения, каких-либо бытовых проблем, а также использовать для проектирования, таких сложнейших строений, как усыпальницы.
Как заявляет учёный и исследователь Хэйенс, подобное число можно проследить среди развалин Стоунхенджа, а также обнаружить в мексиканских пирамидах.

Число "Пи" упоминал в своих трудах Ахмес, известный в то время инженер. Он пытался наиболее точно рассчитать его используя для этого измерение диаметра круга по нарисованным внутри него квадратам. Вероятно в некотором смысле это число имеет некий мистический, сакральный для древних смысл.

Число "Пи" по сути является самым загадочным математическим символом. Его можно причислить к дельте, омеге и др. Оно представляет из себя такое отношение, которое окажется точно таким, независимо в кокой точке мироздания будет находиться наблюдатель. Кроме того, оно будет неизменным от объекта измерения.

Вероятнее всего, первым человеком, который решил вычислить число "Пи" с помощью математического метода является Архимед. Он решил он рисовал в окружности правильные многоугольники. Считая диаметр окружности единицей, учёный обозначал периметр нарисованного в круге многоугольника, рассматривая периметр вписанного многоугольника, как верхнюю оценку, а как нижнюю оценку длины окружности

Что такое число "Пи"

ЧИСЛО ПИ
Символ ПИ означает отношение длины окружности к ее диаметру. Впервые в этом смысле символ p был использован У. Джонсом в 1707, а Л. Эйлер, приняв это обозначение, ввел его в научный обиход. Еще в древности математикам было известно, что вычисление значения p и площади круга - задачи, тесно связанные между собой. Древние китайцы и древние евреи считали число p равным 3. Значение числа p, равное 3,1605, содержится в древнеегипетском папирусе писца Ахмеса (ок. 1650 до н. э.). Около 225 до н. э. Архимед, используя вписанный и описанный правильные 96-угольники, приближенно вычислил площадь круга с помощью метода, который привел к значению ПИ, заключенному между 31/7 и 310/71. Другое приближенное значение p, эквивалентное обычному десятичному представлению этого числа 3,1416, известно еще со 2 в. Л. ван Цейлен (1540-1610) вычислил значение ПИ с 32 десятичными знаками. К концу 17 в. новые методы математического анализа позволили вычислять значение p множеством различных способов. В 1593 Ф. Виет (1540-1603) вывел формулу

В 1665 Дж. Валлис (1616-1703) доказал, что

В 1658 У. Броункер нашел представление числа p в виде непрерывной дроби

Г.Лейбниц в 1673 опубликовал ряд

Ряды позволяют вычислять значение p с любым числом десятичных знаков. В последние годы с появлением электронных вычислительных машин значение p было найдено более чем с 10 000 знаков. С десятью знаками значение ПИ равно 3,1415926536. Как число, ПИ обладает некоторыми интересными свойствами. Например, его нельзя представить в виде отношения двух целых чисел или периодической десятичной дроби; число ПИ трансцендентно, т.е. непредставимо в виде корня алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. Число ПИ входит во многие математические, физические и технические формулы, в том числе и не имеющие непосредственного отношения к площади круга или длине дуги окружности. Например, площадь эллипса A определяется формулой A = pab, где a и b - длины большой и малой полуосей.

Энциклопедия Кольера. - Открытое общество . 2000 .

Смотреть что такое "ЧИСЛО ПИ" в других словарях:

число - Прие моч ное Источник: ГОСТ 111 90: Стекло листовое. Технические условия оригинал документа Смотри также родственные термины: 109. Число бетатронных колебаний … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Сущ., с., употр. очень часто Морфология: (нет) чего? числа, чему? числу, (вижу) что? число, чем? числом, о чём? о числе; мн. что? числа, (нет) чего? чисел, чему? числам, (вижу) что? числа, чем? числами, о чём? о числах математика 1. Числом… … Толковый словарь Дмитриева

ЧИСЛО, числа, мн. числа, чисел, числам, ср. 1. Понятие, служащее выражением количества, то, при помощи чего производится счет предметов и явлений (мат.). Целое число. Дробное число. Именованное число. Простое число. (см. простой1 в 1 знач.).… … Толковый словарь Ушакова

Абстрактное, лишенное особенного содержания обозначение какоголибо члена некоторого ряда, в котором этому члену предшествует или следует за ним какой нибудь др. определенный член; абстрактный индивидуальный признак, отличающий одно множество от… … Философская энциклопедия

Число - Число грамматическая категория, выражающая количественные характеристики предметов мысли. Грамматическое число одно из проявлений более обшей языковой категории количества (см. Категория языковая) наряду с лексическим проявлением («лексическое… … Лингвистический энциклопедический словарь

Число, приближенно равное 2,718, которое часто встречается в математике и естественных науках. Например, при распаде радиоактивного вещества по истечении времени t от исходного количества вещества остается доля, равная e kt, где k число,… … Энциклопедия Кольера

А; мн. числа, сел, слам; ср. 1. Единица счёта, выражающая то или иное количество. Дробное, целое, простое ч. Чётное, нечётное ч. Считать круглыми числами (приблизительно, считая целыми единицами или десятками). Натуральное ч. (целое положительное … Энциклопедический словарь

Ср. количество, счетом, на вопрос: сколько? и самый знак, выражающий количество, цифра. Без числа; нет числа, без счету, многое множество. Поставь приборы, по числу гостей. Числа римские, арабские или церковные. Целое число, ·противоп. дробь.… … Толковый словарь Даля

ЧИСЛО, а, мн. числа, сел, слам, ср. 1. Основное понятие математики величина, при помощи к рой производится счёт. Целое ч. Дробное ч. Действительное ч. Комплексное ч. Натуральное ч. (целое положительное число). Простое ч. (натуральное число, не… … Толковый словарь Ожегова

ЧИСЛО «Е» (ЕХР), иррациональное число, служащее основанием натуральных ЛОГАРИФМОВ. Это действительное десятичное число, бесконечная дробь, равная 2,7182818284590...., является пределом выражения (1/) при п, стремящемся к бесконечности. По сути,… … Научно-технический энциклопедический словарь

Количество, наличность, состав, численность, контингент, сумма, цифра; день.. Ср. . См. день, количество. небольшое число, несть числа, расти числом... Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские… … Словарь синонимов

Книги

Число имени. Тайны нумерологии. Выход из тела для ленивых. Учебник по экстрасенсорике (количество томов: 3) , Лоуренс Ширли. Число имени. Тайны нумерологии. Книга Ширли Б. Лоуренс является всесторонним исследованием древней эзотерической системы – нумерологии. Чтобы научиться использовать вибрации чисел для…
Число имени. Сакральное значение чисел. Символика Таро (количество томов: 3) , Успенский Петр. Число имени. Тайны нумерологии. Книга Ширли Б. Лоуренс является всесторонним исследованием древней эзотерической системы – нумерологии. Чтобы научиться использовать вибрации чисел для…