To'g'ri burchakli uchburchakning balandligi formulasini chiqarish. To'g'ri uchburchak

Aslida, hamma narsa unchalik qo'rqinchli emas. Albatta, maqolada sinus, kosinus, tangens va kotangensning "haqiqiy" ta'rifini ko'rib chiqish kerak. Lekin men haqiqatan ham xohlamayman, shunday emasmi? Biz quvonishimiz mumkin: to'g'ri burchakli uchburchak bilan bog'liq muammolarni hal qilish uchun siz quyidagi oddiy narsalarni to'ldirishingiz mumkin:

Burchak haqida nima deyish mumkin? Burchakka qarama-qarshi bo'lgan oyoq, ya'ni qarama-qarshi (burchak uchun) oyoq bormi? Albatta bor! Bu oyoq!

Burchak haqida nima deyish mumkin? Ehtiyotkorlik bilan qarang. Qaysi oyoq burchakka ulashgan? Albatta, oyoq. Bu burchak uchun oyoq qo'shni ekanligini anglatadi va

Endi, diqqat qiling! Qarang, bizda nima bor:

Bu qanchalik salqin ekanligini ko'ring:

Endi tangens va kotangensga o'tamiz.

Endi buni qanday qilib so'z bilan yozishim mumkin? Oyoq burchakka nisbatan qanday? Albatta qarama-qarshi - burchak qarshisida "yotadi". Oyoq haqida nima deyish mumkin? Burchakka ulashgan. Xo'sh, bizda nima bor?

Hisoblagich va maxraj o'rinlarini qanday almashtirganiga qarang?

Va endi burchaklar yana va almashuv qildi:

Rezyume; qayta boshlash

Keling, o'rganganlarimizni qisqacha yozamiz.

Pifagor teoremasi:

To'g'ri burchakli uchburchaklar haqidagi asosiy teorema Pifagor teoremasidir.

Pifagor teoremasi

Aytgancha, oyoq va gipotenuzaning nima ekanligini yaxshi eslaysizmi? Agar unchalik yaxshi bo'lmasa, unda rasmga qarang - bilimingizni yangilang

Siz allaqachon Pifagor teoremasidan ko'p marta foydalangan bo'lishingiz mumkin, lekin nima uchun bunday teorema to'g'ri ekanligi haqida hech o'ylab ko'rganmisiz? Buni qanday isbotlashim mumkin? Qadimgi yunonlar kabi qilaylik. Keling, bir tomoni bilan kvadrat chizamiz.

Qarang, biz uning tomonlarini uzunlikdagi segmentlarga qanchalik mohirlik bilan ajratdik va!

Endi belgilangan nuqtalarni bog'laymiz

Bu erda biz yana bir narsani ta'kidladik, lekin siz o'zingiz rasmga qaraysiz va nima uchun bunday bo'lganini o'ylaysiz.

Kattaroq kvadratning maydoni qancha?

To'g'ri, .

Kichikroq maydon haqida nima deyish mumkin?

Albatta, .

To'rt burchakning umumiy maydoni qoladi. Tasavvur qiling-a, biz ularni bir vaqtning o'zida ikkitasini oldik va gipotenuslari bilan bir-biriga suyandik.

Nima bo'ldi? Ikki to'rtburchaklar. Bu "kesish" maydoni teng ekanligini anglatadi.

Keling, hozir hammasini birlashtiramiz.

Keling, aylantiramiz:

Shunday qilib, biz Pifagorga tashrif buyurdik - biz uning teoremasini qadimgi usulda isbotladik.

To'g'ri uchburchak va trigonometriya

To'g'ri burchakli uchburchak uchun quyidagi munosabatlar amal qiladi:

O'tkir burchakning sinusi qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbatiga teng

O'tkir burchakning kosinusu qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng.

O'tkir burchakning tangensi qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbatiga teng.

O'tkir burchakning kotangensi qo'shni tomonning qarama-qarshi tomoniga nisbatiga teng.

Va yana bir bor bularning barchasi planshet shaklida:

Bu juda qulay!

To'g'ri burchakli uchburchaklar tenglik belgilari

I. Ikki tomondan

II. Oyoq va gipotenuza bilan

III. Gipotenuza va o'tkir burchak bilan

IV. Oyoq va o'tkir burchak bo'ylab

Diqqat! Bu erda oyoqlarning "mos" bo'lishi juda muhimdir. Masalan, agar shunday bo'lsa:

SHUNDA UCHBURCHLAR TENG EMAS, ular bir xil o'tkir burchakka ega bo'lishiga qaramay.

Bu zarur ikkala uchburchakda oyoq qo'shni yoki ikkalasida ham qarama-qarshi edi.

To'g'ri burchakli uchburchaklarning tenglik belgilari uchburchaklar tengligining odatiy belgilaridan qanday farq qilishini payqadingizmi?

"Oddiy" uchburchaklarning tengligi uchun ularning uchta elementi teng bo'lishi kerakligiga e'tibor bering: ikki tomon va ular orasidagi burchak, ikkita burchak va ular orasidagi tomon yoki uchta tomon.

Ammo to'g'ri burchakli uchburchaklar tengligi uchun faqat ikkita mos keladigan element etarli. Ajoyib, to'g'rimi?

To'g'ri burchakli uchburchaklarning o'xshashlik belgilari bilan vaziyat taxminan bir xil.

To'g'ri burchakli uchburchaklarning o'xshashlik belgilari

I. Oʻtkir burchak boʻylab

II. Ikki tomondan

III. Oyoq va gipotenuza bilan

To'g'ri uchburchakdagi median

Nega bunday?

To'g'ri burchakli uchburchak o'rniga butun to'rtburchakni ko'rib chiqing.

Keling, diagonal chizamiz va nuqtani ko'rib chiqamiz - diagonallarning kesishish nuqtasi. To'rtburchakning diagonallari haqida nimalarni bilasiz?

Va bundan nima kelib chiqadi?

Shunday qilib, shunday bo'ldi

- median:

Bu haqiqatni eslang! Ko'p yordam beradi!

Bundan ham ajablanarlisi shundaki, buning aksi ham haqiqatdir.

Gipotenuzaga chizilgan mediana gipotenuzaning yarmiga teng bo'lishidan qanday foyda olish mumkin? Keling, rasmga qaraylik

Ehtiyotkorlik bilan qarang. Bizda: , ya'ni nuqtadan uchburchakning barcha uch uchlarigacha bo'lgan masofalar teng bo'lib chiqdi. Ammo uchburchakda faqat bitta nuqta bor, bu uchburchakning uchta uchidan masofalar teng bo'lib, bu AYLANA MARKAZI. Xo'sh, nima bo'ldi?

Shunday qilib, keling, "bundan tashqari ..." bilan boshlaylik.

Keling, va ni ko'rib chiqaylik.

Ammo shunga o'xshash uchburchaklarning barchasi teng burchaklarga ega!

va haqida ham shunday deyish mumkin

Endi uni birga chizamiz:

Ushbu "uchlik" o'xshashlikdan qanday foyda olish mumkin?

Xo'sh, masalan - to'g'ri burchakli uchburchakning balandligi uchun ikkita formula.

Keling, tegishli tomonlarning munosabatlarini yozamiz:

Balandlikni topish uchun biz proporsiyani echamiz va olamiz birinchi formula "To'g'ri burchakli uchburchakdagi balandlik":

Xo'sh, endi, bu bilimlarni boshqalar bilan qo'llash va birlashtirib, siz to'g'ri burchakli uchburchak bilan har qanday muammoni hal qilasiz!

Shunday qilib, o'xshashlikni qo'llaymiz: .

Endi nima bo'ladi?

Yana proporsiyani yechib, ikkinchi formulani olamiz:

Bu ikkala formulani ham juda yaxshi eslab qolishingiz va qulayroq bo'lganini ishlatishingiz kerak.

Keling, ularni yana yozamiz

Pifagor teoremasi:

To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng: .

To'g'ri burchakli uchburchaklar tengligining belgilari:

ikki tomondan:
oyoq va gipotenuz tomonidan: yoki
oyoq va qo'shni o'tkir burchak bo'ylab: yoki
oyoq va qarama-qarshi o'tkir burchak bo'ylab: yoki
gipotenuza va o'tkir burchak bilan: yoki.

To'g'ri burchakli uchburchaklarning o'xshashlik belgilari:

bitta o'tkir burchak: yoki
ikki oyoqning mutanosibligidan:
oyoq va gipotenuzaning proportsionalligidan: yoki.

To'g'ri burchakli uchburchakda sinus, kosinus, tangens, kotangens

To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining sinusi qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbati:
To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining kosinusu qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati:
To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining tangensi qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati:
To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining kotangensi qo'shni tomonning qarama-qarshi tomoniga nisbati: .

To'g'ri burchakli uchburchakning balandligi: yoki.

To'g'ri burchakli uchburchakda to'g'ri burchakning tepasidan chizilgan mediana gipotenuzaning yarmiga teng: .

To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni:

oyoqlar orqali:

Mulk: 1. Har qanday to'g'ri burchakli uchburchakda to'g'ri burchakdan (gipotenuza tomonidan) olingan balandlik to'g'ri uchburchakni uchta o'xshash uchburchakka ajratadi.

Mulk: 2. To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzaga tushirilgan balandligi oyoqlarning gipotenuzaga proyeksiyalarining o'rtacha geometrik qiymatiga (yoki balandlik gipotenuzani ajratadigan segmentlarning geometrik o'rtachasiga) tengdir.

Mulk: 3. Oyoq gipotenuzaning geometrik o'rtacha qiymatiga va bu oyoqning gipotenuzaga proyeksiyasiga teng.

Mulk: 4. 30 graduslik burchakka qarama-qarshi bo'lgan oyoq gipotenuzaning yarmiga teng.

Formula 1.

Formula 2., gipotenuza qayerda; , oyoqlar.

Mulk: 5. To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaga chizilgan mediana uning yarmiga teng va aylana radiusiga teng.

Xossa: 6. To‘g‘ri burchakli uchburchakning tomonlari va burchaklari o‘rtasidagi munosabat:

44. Kosinuslar teoremasi. Xulosa: parallelogrammaning diagonallari va tomonlari o'rtasidagi munosabat; uchburchak turini aniqlash; uchburchak medianasining uzunligini hisoblash formulasi; Uchburchak burchak kosinusini hisoblash.

Ishning oxiri -

Ushbu mavzu bo'limga tegishli:

Sinf. Asosiy planimetriya bo'yicha kollokvium dasturi

Qo'shni burchaklarning xossasi.. ikkita burchakning qo'shni bo'lishini aniqlash, agar ularning bir tomoni umumiy bo'lsa va qolgan ikkitasi to'g'ri chiziq hosil qilsa..

Agar sizga ushbu mavzu bo'yicha qo'shimcha material kerak bo'lsa yoki siz qidirayotgan narsangizni topa olmagan bo'lsangiz, bizning ishlar ma'lumotlar bazasida qidiruvdan foydalanishni tavsiya etamiz:

Qabul qilingan material bilan nima qilamiz:

Agar ushbu material siz uchun foydali bo'lsa, uni ijtimoiy tarmoqlardagi sahifangizga saqlashingiz mumkin:

To'g'ri uchburchak- bu burchaklaridan biri to'g'ri, ya'ni 90 darajaga teng bo'lgan uchburchak.

To'g'ri burchakka qarama-qarshi tomon gipotenuza deb ataladi (rasmda ko'rsatilgan). c yoki AB)
To'g'ri burchakka ulashgan tomon oyoq deb ataladi. Har bir to'g'ri burchakli uchburchakning ikkita oyog'i bor (rasmda ko'rsatilgan). a va b yoki AC va BC)

To'g'ri burchakli uchburchakning formulalari va xossalari

Formula belgilari:

(yuqoridagi rasmga qarang)

a, b- to'g'ri burchakli uchburchakning oyoqlari

c- gipotenuza

α, β - uchburchakning o'tkir burchaklari

S- kvadrat

h- to'g'ri burchakning tepasidan gipotenuzaga tushirilgan balandlik

m a a qarama-qarshi burchakdan ( α )

m b- yon tomonga tortilgan median b qarama-qarshi burchakdan ( β )

m c- yon tomonga tortilgan median c qarama-qarshi burchakdan ( γ )

IN to'g'ri uchburchak oyoqlarning har biri gipotenuzadan kichikdir(Formula 1 va 2). Bu xususiyat natijadir Pifagor teoremasi.

Har qanday o'tkir burchakning kosinusu birdan kam (Formula 3 va 4). Bu xususiyat avvalgisidan kelib chiqadi. Oyoqlarning har biri gipotenuzadan kichik bo'lgani uchun, oyoqning gipotenuzaga nisbati har doim birdan kichik bo'ladi.

Gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng ( Pifagor teoremasi). (Formula 5). Bu xususiyat muammolarni hal qilishda doimo ishlatiladi.

To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni oyoqlar mahsulotining yarmiga teng (Formula 6)

Kvadrat medianalar yig'indisi oyoqlarga gipotenuzaning medianasining besh kvadratiga va gipotenuzaning besh kvadratining to'rtga bo'linganiga teng (Formula 7). Yuqoridagilardan tashqari, mavjud Yana 5 ta formula, shuning uchun darsni ham o'qish tavsiya etiladi " To'g'ri burchakli uchburchakning medianasi", bu mediananing xususiyatlarini batafsilroq tavsiflaydi.

Balandligi To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasiga bo'lingan oyoqlarning ko'paytmasiga teng (formula 8)

Oyoqlarning kvadratlari gipotenuzaga tushirilgan balandlikning kvadratiga teskari proportsionaldir (Formula 9). Bu o'ziga xoslik ham Pifagor teoremasining oqibatlaridan biridir.

Gipotenuzaning uzunligi chegaralangan doira diametriga (ikki radius) teng (Formula 10). To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi aylananing diametri hisoblanadi. Bu xususiyat ko'pincha muammolarni hal qilishda qo'llaniladi.

Chizilgan radius V to'g'ri uchburchak doira Bu uchburchakning oyoqlari yig'indisi minus gipotenuzaning uzunligini o'z ichiga olgan ifodaning yarmi sifatida topish mumkin. Yoki ma'lum uchburchakning barcha tomonlari (perimetri) yig'indisiga bo'lingan oyoqlarning mahsuloti sifatida. (Formula 11)
Burchak sinusi teskari munosabat bu burchak oyoq gipotenuzaga(sinus ta'rifi bo'yicha). (Formula 12). Bu xususiyat muammolarni hal qilishda ishlatiladi. Yonlarning o'lchamlarini bilib, ular hosil qiladigan burchakni topishingiz mumkin.

Burchak kosinusi To'g'ri burchakli uchburchakdagi A (a, alfa) ga teng bo'ladi munosabat qo'shni bu burchak oyoq gipotenuzaga(sinus ta'rifi bo'yicha). (Formula 13)