Tasodifiy o'zgaruvchining onlayn intervalga tushish ehtimoli. Oddiy taqsimot qonuni

Tarqatish funksiyasini topamiz tasodifiy o'zgaruvchi X, bo'ysunuvchi oddiy qonun tarqatish:

Keling, integralga o'zgartirish kiritamiz va uni quyidagi shaklga keltiramiz:

Integral orqali ifodalanmaydi elementar funktsiyalar, lekin uni ifodalovchi maxsus funktsiya orqali hisoblash mumkin aniq integral ifodadan yoki . Funktsiyani ifodalaylik Laplas funksiyasi F(x) orqali:

X tasodifiy miqdorning (a, b) maydoniga tushish ehtimoli quyidagi formula bilan ifodalanadi:

Oxirgi formuladan foydalanib, oddiy tasodifiy o'zgaruvchining undan og'ish ehtimolini baholashingiz mumkin matematik kutish oldindan belgilangan o'zboshimchalik bilan kichik musbat qiymat e:

Keling, keyin va. At t=3 olamiz, ya'ni. normal taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilganidan chetlanishi kamroq bo'lishi hodisasi amalda aniq.

Bu uch sigma qoidasi: agar tasodifiy o'zgaruvchi normal taqsimlangan bo'lsa, u holda uning qiymatlarining matematik kutilganidan chetlanishining mutlaq qiymati standart og'ishning uch baravaridan oshmaydi.

Vazifa. Dastgoh tomonidan ishlab chiqarilgan qismning diametri normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin, m = 4,5 sm, sm tasodifiy olingan qismning diametri uning matematik kutilganidan 1 mm dan ko'p bo'lmagan farq qilish ehtimolini toping.

Yechim. Ushbu muammo kerakli ehtimollikni aniqlaydigan parametrlarning quyidagi qiymatlari bilan tavsiflanadi: , F(0,2)=0,0793,

Xavfsizlik masalalari

1. Qanday ehtimollik taqsimoti bir xil deb ataladi?

2. [ oraliqda bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi qanday shaklga ega? A; b]?

3. Bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdor qiymatlarining berilgan oraliqda tushish ehtimoli qanday hisoblanadi?

4. Tasodifiy miqdorning ko'rsatkichli taqsimoti qanday aniqlanadi?

5. Ko'rsatkich qonuni bo'yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi qanday ko'rinishga ega?

6. Qanday ehtimollik taqsimoti normal deyiladi?

7. Normal taqsimot zichligi qanday xossalarga ega? Oddiy taqsimotning parametrlari normal taqsimot zichligi grafigining ko'rinishiga qanday ta'sir qiladi?

8. Oddiy taqsimlangan tasodifiy miqdor qiymatlarining berilgan oraliqda tushish ehtimoli qanday hisoblanadi?

9. Oddiy taqsimlangan tasodifiy miqdor qiymatlarining uning matematik kutilganidan chetlanish ehtimoli qanday hisoblanadi?

10. “Uch sigma” qoidasini tuzing?

11. Intervaldagi bir xil qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi, dispersiyasi va standart og'ishi nimalardan iborat? A; b]?

12. l parametrli ko‘rsatkichli qonun bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi, dispersiyasi va standart og‘ishi nimalardan iborat?

13. Parametrli normal qonun bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi, dispersiyasi va standart og‘ishi nimalardan iborat? m Va ?

Test topshiriqlari

1. Tasodifiy o'zgaruvchi X[-3, 5] oraliqda bir xilda taqsimlangan. Tarqatish zichligi va taqsimot funksiyasini toping X. Ikkala funktsiyaning grafiklarini tuzing. Ehtimollarni toping va. Kutilgan qiymat, dispersiya va standart og'ishlarni hisoblang X.

2. 21-sonli yo‘nalishdagi avtobuslar 10 daqiqalik interval bilan muntazam qatnaydi. Yo'lovchi bekatda tasodifiy vaqtda tushadi. Tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing X− yo‘lovchining avtobus kutish vaqti (daqiqalarda). Tarqatish zichligi va taqsimot funksiyasini toping X. Ikkala funktsiyaning grafiklarini tuzing. Yo‘lovchining avtobusni besh daqiqadan ko‘p bo‘lmagan kutish ehtimolini toping. O'rtacha avtobus kutish vaqti va avtobus kutish vaqtining farqini toping.

3. Videomagnitofonni ta'mirlash vaqti (kunlarda) tasodifiy o'zgaruvchi ekanligi aniqlandi X, eksponensial qonunga muvofiq taqsimlanadi. Videomagnitofonni o'rtacha ta'mirlash muddati 10 kun. Tarqatish zichligi va taqsimot funksiyasini toping X. Ikkala funktsiyaning grafiklarini tuzing. Videomagnitofonni ta'mirlash uchun kamida 11 kun kerak bo'lish ehtimolini toping.

4. Tasodifiy miqdorning zichlik grafiklarini va taqsimot funksiyalarini chizing X, parametrlar bilan oddiy qonun bo'yicha taqsimlanadi m= = - 2 va = 0,2.

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar UCHUN TARQOTISh QONUNINI TEKSIKLASH SHAKLLARI

DISKRET TASOSODIY OʻZGARCHILARNING TARQALISH QONUNINI OʻRNATISH SHAKLLARI.

1). Tarqatish jadvali (qator) - diskret tasodifiy miqdorlarning taqsimlanish qonunini ko'rsatishning eng oddiy shakli.

Jadvalda tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari keltirilganligi sababli.

2). Tarqatish poligoni . At grafik tasvir to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi taqsimot qatorlari, tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari abscissa o'qi bo'ylab chiziladi va ularga mos keladigan ehtimolliklar ordinata o'qi bo'ylab chiziladi. Keyin nuqtalar chiziladi va tekis segmentlar bilan bog'lanadi. Olingan rasm - taqsimot ko'pburchagi ham diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini ko'rsatish shaklidir.

3). Tarqatish funksiyasi - X tasodifiy o'zgaruvchining ba'zi berilgan x dan kamroq qiymat olishi ehtimoli, ya'ni.

Geometrik nuqtai nazardan, uni tasodifiy nuqtaga urish ehtimoli deb hisoblash mumkin X sobit nuqtaning chap tomonida joylashgan son o'qining bir qismiga X.

2) ; ;

Vazifa 2.1. Tasodifiy o'zgaruvchi X- 3 ta zarba bilan nishonga zarbalar soni (1.5-masalaga qarang). Tarqatish qatorini, taqsimot poligonini tuzing, taqsimot funksiyasining qiymatlarini hisoblang va uning grafigini tuzing.

Yechim:

1) Tasodifiy miqdorning taqsimot qatori X jadvalda keltirilgan

At	,
At	,
At	,
At
da	.

Abscissa o'qi bo'yicha qiymatlarni chizish X, va ordinata o'qi bo'ylab - qiymatlar va ma'lum bir masshtabni tanlab, biz taqsimlash funktsiyasining grafigini olamiz (2.2-rasm). Diskret tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlash funktsiyasi tasodifiy o'zgarmaydigan nuqtalarda sakrashlarga (uzilishlarga) ega. X tarqatish jadvalida ko'rsatilgan aniq qiymatlarni oladi. Tarqatish funktsiyasidagi barcha sakrashlar yig'indisi bittaga teng.

Guruch. 2.2 - Diskret qiymatni taqsimlash funksiyasi

1). Tarqatish funksiyasi .

Uzluksiz tasodifiy miqdor uchun taqsimot funksiyasining grafigi (2.3-rasm) silliq egri chiziq shakliga ega.

Tarqatish funksiyasining xususiyatlari:

c) agar .

Guruch. 2.3 - Tarqatish funksiyasi doimiy qiymat

2). Tarqatish zichligi sifatida belgilangan taqsimot funktsiyasining hosilasi, ya'ni.

Tasodifiy miqdorning taqsimot zichligini tasvirlovchi egri chiziq, chaqirildi taqsimot egri chizig'i (2.4-rasm).

Zichlik xususiyatlari:

a) , ya'ni. zichlik - manfiy bo'lmagan funktsiya;

b), ya'ni. hududi cheklangan taqsimot egri chizig'i va x o'qi har doim 1 ga teng.

Tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari bo'lsa X oralig'ida a uchun b, u holda zichlikning ikkinchi xossasi quyidagi shaklni oladi:

Guruch. 2.4 - Tarqatish egri chizig'i

Amalda, ko'pincha tasodifiy o'zgaruvchining ehtimolini bilish kerak X ba'zi bir diapazonda qiymat oladi, masalan, a dan b gacha. uchun talab qilinadigan ehtimollik diskret tasodifiy o'zgaruvchi X formula bilan aniqlanadi

chunki uzluksiz tasodifiy miqdorning har qanday individual qiymatining ehtimoli nolga teng:.

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchiga tegish ehtimoli X(a,b) oraliq ham ifoda bilan aniqlanadi:

Muammo 2.3. Tasodifiy o'zgaruvchi X taqsimlash funksiyasi bilan berilgan

Zichlikni, shuningdek, sinov natijasi tasodifiy o'zgaruvchi bo'lish ehtimolini toping X oraliqdagi qiymatni oladi.

Yechim:

2. Tasodifiy o'zgaruvchiga tegish ehtimoli X oraliqda formula bilan aniqlanadi. Olib va , topamiz

Oddiy taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar bilan bog'liq ko'plab masalalarda parametrlari bilan normal qonunga bo'ysunadigan tasodifiy o'zgaruvchining dan gacha bo'lgan segmentga tushish ehtimolini aniqlash kerak. Ushbu ehtimollikni hisoblash uchun biz umumiy formuladan foydalanamiz

miqdorning taqsimot funksiyasi qayerda.

Parametrli normal qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi topilsin. Qiymatning taqsimlanish zichligi quyidagilarga teng:

. (6.3.2)

Bu yerdan biz taqsimlash funksiyasini topamiz

. (6.3.3)

(6.3.3) integralda o'zgaruvchiga o'zgartirish kiritamiz.

va uni quyidagi shaklga keltiramiz:

(6.3.4)

Integral (6.3.4) elementar funksiyalar orqali ifodalanmaydi, lekin uni ifodaning ma'lum bir integralini ifodalovchi yoki (ehtimollik integrali deb ataladigan) maxsus funksiya orqali hisoblash mumkin, ular uchun jadvallar tuzilgan. Bunday funktsiyalarning ko'p turlari mavjud, masalan:

;

va hokazo. Ushbu funktsiyalardan qaysi birini ishlatish ta'mga bog'liq. Biz shunday funksiya sifatida tanlaymiz

. (6.3.5)

Bu funktsiya parametrlari bilan normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar uchun tarqatish funktsiyasidan boshqa narsa emasligini ko'rish oson.

Funksiyani normal taqsimot funksiyasi deb atashga rozilik beraylik. Ilovada (1-jadval) funksiya qiymatlari jadvallari mavjud.

Kattalikning taqsimot funksiyasini (6.3.3) parametrlar bilan va normal taqsimot funksiyasi orqali ifodalaymiz. Shubhasiz,

. (6.3.6)

Endi tasodifiy o'zgaruvchining dan gacha bo'lgan kesmaga tushish ehtimolini topamiz. Formula bo'yicha (6.3.1)

Shunday qilib, biz har qanday parametrli normal qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining 0,1 parametrli eng oddiy normal qonunga mos keladigan standart taqsimot funktsiyasi orqali hududga kirish ehtimolini ifodaladik. E'tibor bering, (6.3.7) formuladagi funktsiya argumentlari juda oddiy ma'noga ega: bo'limning o'ng chetidan tarqalish markazigacha bo'lgan masofa standart og'ishlarda ifodalanadi; - kesimning chap uchi uchun bir xil masofa va agar uchi dispersiya markazining o'ng tomonida joylashgan bo'lsa, bu masofa ijobiy, chap tomonda bo'lsa, salbiy hisoblanadi.

Har qanday tarqatish funktsiyasi singari, funktsiya quyidagi xususiyatlarga ega:

3. - kamaymaydigan funksiya.

Bundan tashqari, boshlang'ichga nisbatan parametrlar bilan normal taqsimotning simmetriyasidan kelib chiqadi

Ushbu xususiyatdan foydalanib, aniq aytganda, funktsiya jadvallarini faqat ijobiy argument qiymatlari bilan cheklash mumkin edi, ammo keraksiz operatsiyani (birdan ayirish) oldini olish uchun 1-jadvalda ijobiy va salbiy argumentlar uchun qiymatlar berilgan.

Amalda biz odatda tarqalgan tasodifiy miqdorning tarqalish markaziga nisbatan simmetrik bo'lgan maydonga tushish ehtimolini hisoblash muammosiga tez-tez duch kelamiz. Keling, uzunlikning bunday kesimini ko'rib chiqaylik (6.3.1-rasm). Keling, (6.3.7) formuladan foydalanib, ushbu maydonga tegish ehtimolini hisoblaylik:

Funksiyaning (6.3.8) xossasini hisobga olgan holda va (6.3.9) formulaning chap tomonini yanada ixcham shakl berib, normal qonun bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy o‘zgaruvchining o‘z ichiga olishi ehtimoli formulasini olamiz. Tarqalish markaziga nisbatan nosimmetrik maydon:

. (6.3.10)

Keling, quyidagi masalani hal qilaylik. Dispersiya markazidan uzunlikning ketma-ket segmentlarini chizamiz (6.3.2-rasm) va ularning har biriga tasodifiy o'zgaruvchining tushish ehtimolini hisoblaymiz. Oddiy egri chiziq simmetrik bo'lgani uchun bunday segmentlarni faqat bitta yo'nalishda chizish kifoya.

(6.3.7) formuladan foydalanib, biz quyidagilarni topamiz:

(6.3.11)

Ushbu ma'lumotlardan ko'rinib turibdiki, quyidagi segmentlarning har biriga (beshinchi, oltinchi va boshqalar) 0,001 aniqlik bilan urish ehtimoli nolga teng.

Segmentlarga kirish ehtimolini 0,01 ga (1% gacha) yaxlitlash orqali biz eslab qolish oson bo'lgan uchta raqamni olamiz:

0,34; 0,14; 0,02.

Ushbu uchta qiymatning yig'indisi 0,5 ga teng. Bu shuni anglatadiki, normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi uchun barcha dispersiya (foiz kasrlari aniqligi bilan) maydonga to'g'ri keladi.

Bu tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishini va matematik kutilishini bilib, uning amalda mumkin bo'lgan qiymatlari diapazonini taxminan ko'rsatishga imkon beradi. Tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari diapazonini baholashning ushbu usuli ma'lum matematik statistika"uch sigma qoidasi" deb ataladi. Uch sigma qoidasi tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishini aniqlashning taxminiy usulini ham nazarda tutadi: o'rtacha qiymatdan maksimal mumkin bo'lgan og'ishni oling va uni uchga bo'ling. Albatta, bu qo'pol texnikani aniqlashning boshqa, aniqroq usullari bo'lmagan taqdirdagina tavsiya qilish mumkin.

Misol 1. Oddiy qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi ma'lum masofani o'lchashda xatolikni ifodalaydi. O'lchashda 1,2 (m) ga ortiqcha baholash yo'nalishi bo'yicha tizimli xatolikka yo'l qo'yiladi; O'lchov xatosining standart og'ishi 0,8 (m) ni tashkil qiladi. O'lchangan qiymatning haqiqiy qiymatdan chetlanishi mutlaq qiymatda 1,6 (m) dan oshmasligi ehtimolini toping.

Yechim. O'lchov xatosi va parametrlari bilan normal qonunga bo'ysunadigan tasodifiy o'zgaruvchidir. Bu miqdorning dan gacha bo'lgan kesimga tushish ehtimolini topishimiz kerak. (6.3.7) formulaga muvofiq bizda:

Funktsiya jadvallaridan (ilova, 1-jadval) foydalanib, biz quyidagilarni topamiz:

; ,

Misol 2. Oldingi misoldagi kabi ehtimolni toping, lekin tizimli xato bo'lmasa.

Yechim. (6.3.10) formuladan foydalanib, deb faraz qilib, biz quyidagilarni topamiz:

Misol 3. Kengligi 20 m bo'lgan chiziq (avtomobil yo'li) kabi ko'rinishdagi nishon avtomobil yo'liga perpendikulyar yo'nalishda o'q uziladi. Magistral yo'lning markaziy chizig'i bo'ylab nishonga olinadi. Otish yo'nalishidagi standart og'ish m ga teng Otish yo'nalishida tizimli xatolik mavjud: pastki o'q 3 m ga teng.

1-sahifa
Test 7
Oddiy taqsimot qonuni. Oddiy taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining (NDSV) berilgan intervalga tushish ehtimoli.
Nazariyadan asosiy ma'lumotlar.

Tasodifiy o'zgaruvchining (RV) ehtimollik taqsimoti normal deyiladi. X, agar taqsimot zichligi tenglama bilan aniqlansa:

Qayerda a- SV ning matematik kutilishi X; - standart og'ish.

Jadval
vertikal chiziqqa nisbatan simmetrik
. Qanchalik ko'p bo'lsa, egri chiziqning diapazoni shunchalik katta bo'ladi
. Funktsiya qiymatlari
jadvallarda mavjud.

CB X ning intervalga tegishli qiymatni olish ehtimoli
:
, Qayerda
- Laplas funktsiyasi. Funktsiya
jadvallar asosida aniqlanadi.

At =0 egri chiziq
op-amp o'qiga nisbatan nosimmetrik standart (yoki standartlashtirilgan) normal taqsimotdir.

NRSV ning ehtimollik zichligi funktsiyasi matematik kutishga nisbatan nosimmetrik bo'lganligi sababli, dispersiya shkalasi deb ataladigan shkalani qurish mumkin:

Ko'rinib turibdiki, 0,9973 ehtimollik bilan NRSV oraliqda qiymatlarni olishini aytish mumkin.
. Ushbu bayonot ehtimollik nazariyasida "Uch Sigma qoidasi" deb ataladi.

1. Qiymatlarni solishtiring

ikkita NRSV egri chizig'i uchun.

1)
2)

2. Uzluksiz tasodifiy miqdor X ehtimollik taqsimoti zichligi bilan belgilanadi

. U holda bu normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi quyidagilarga teng bo'ladi:

1) 3 2) 18 3) 4 4)

3. NRSV X taqsimot zichligi bilan aniqlanadi:
.

Kutish va bu SV ning dispersiyasi quyidagilarga teng:

1) =1 2) =5 3) =5

=25 =1 =25
4. Uch sigma qoidasi shuni anglatadiki:

1) SV ning intervalga tushishi ehtimoli
, ya'ni birlikka yaqin;

2) NRSV tashqariga chiqa olmaydi
;

3) NRSV zichlik grafigi matematik kutishga nisbatan simmetrikdir

5. SV X 5 ga teng matematik kutish va 2 birlikka teng standart og'ish bilan normal taqsimlanadi. Ushbu NRSV ning taqsimlanish zichligi ifodasi quyidagi shaklga ega:

6. NRSV X ning matematik kutilishi va standart og‘ishi 10 va 2 ga teng. Sinov natijasida SV X oraliqdagi qiymatni olish ehtimoli:

1) 0,1915 2) 0,3830 3) 0,6211

7. Haqiqiy o'lchamning chizmadagi o'lchamdan mutlaq qiymatdagi X og'ishi 0,7 mm dan kam bo'lsa, qism mos deb hisoblanadi. Chizmadagi o'lchamdan X og'ishlar qiymat bilan NRSV hisoblanadi

=0,4 mm. 100 ta qismlar ishlab chiqariladi; Ulardan quyidagilar mos keladi:

1) 92 2) 64 3) 71

8. NRSV X ning matematik kutilishi va standart og‘ishi 10 va 2 ga teng. Sinov natijasida SV X oraliqdagi qiymatni olish ehtimoli:

1) 0,1359 2) 0,8641 3) 0,432

9. Qismni ishlab chiqarishdagi X xatosi qiymati bilan NRSV hisoblanadi a=10 va =0,1. Keyin, 0,9973 ehtimollik bilan, ga nisbatan simmetrik bo'lgan qismlar o'lchamlari oralig'i a=10 bo'ladi:

1) 9,7; 10,3 2) 9,8; 10,2 3) 9,9; 10,1

10. Barcha mahsulotlarni tizimli xatolarsiz torting. X o'lchovlarining tasodifiy xatolari qiymat bilan normal qonunga bo'ysunadi =10 g mutlaq qiymatda 15 g dan oshmaydigan xato bilan tortish ehtimoli:

1) 0,8664 2) 0,1336 3) 0,4332

11. NRSV X matematik kutishga ega a=10 va standart og'ish =5. 0,9973 ehtimolligi bilan X ning qiymati intervalga tushadi:

1) (5; 15) 2) (0; 20) 3) (-5; 25)

12. NRSV X matematik kutishga ega a=10. Ma'lumki, X ning intervalga tushish ehtimoli 0,3 ga teng. U holda CB X ning intervalga tushish ehtimoli teng bo'ladi:

1) 0,1 2) 0,2 3) 0,3

13. NRSV X matematik kutishga ega a=25. X ning intervalga tushish ehtimoli 0,2 ga teng. U holda X ning intervalga tushish ehtimoli teng bo'ladi:

1) 0,1 2) 0,2 3) 0,3

14. Xona harorati isitgich tomonidan saqlanadi va bilan normal taqsimotga ega

. Bu xonadagi harorat o'rtasida bo'lishi ehtimoli

uchun

bu:

1) 0,95 2) 0,83 3) 0,67

15. Standartlashtirilgan normal taqsimot uchun qiymat:

1) 1 2) 2 3)

16. Empirik normal taqsimot quyidagi hollarda shakllanadi:

1) taxminan bir xil statistik vaznga ega bo'lgan ko'plab mustaqil tasodifiy sabablar mavjud;

2) bir-biriga kuchli bog'liq bo'lgan juda ko'p tasodifiy miqdorlar mavjud;

3) namuna hajmi kichik.

1	Ma'nosi taqsimlash zichligi egri chizig'ining matematik kutishga nisbatan diapazonini aniqlaydi. Egri 2 uchun diapazon kattaroq, ya'ni	(2)
2	NRSV zichligi uchun tenglamaga muvofiq, matematik kutish a=4.	(3)
3	NRSV zichligi tenglamasiga muvofiq bizda: =1; =5, ya'ni .	(1)
4	Javob (1) to'g'ri.	(1)
5	NRSV tarqatish zichligi ifodasi quyidagi shaklga ega: . Shart bo'yicha: =2; a =5, ya'ni (1) javob to'g'ri.	(1)
6	Shart bo'yicha =10; =2. Interval hisoblanadi. Keyin: ; . Laplas funktsiya jadvallariga ko'ra: ; . Keyin kerakli ehtimollik:	(2)
7	Shartga ko'ra: =0; ;=0,4. Bu interval [-0,7; 0,7]. ; . ; Ya'ni, 100 ta qismdan 92 tasi mos keladi.	(1)

8	Shartga ko'ra: =10 va =2. Interval hisoblanadi. Keyin: ; . Laplas funktsiya jadvallariga ko'ra: ; ;	(1)
9	Matematik kutishga nisbatan simmetrik intervalda a =10 0,9973 ehtimollik bilan, o'lchamlari teng bo'lgan barcha qismlar , ya'ni; . Shunday qilib:	(1)
10	Shart bo'yicha , ya'ni =0 va interval [-15;15] bo'ladi Keyin: ; .

Oddiy tasodifiy miqdorning dispersiyasi.

Dispersiya tasodifiy o'zgaruvchi - tegishli markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchining kvadratining matematik kutilishi.

Bu tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining uning matematik kutilishiga nisbatan tarqalish darajasini tavsiflaydi, ya'ni. qiymat diapazonining kengligi.

Hisoblash formulalari:

Dispersiyani ikkinchi boshlang'ich moment orqali hisoblash mumkin:

(6.10)

Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi tasodifiy o'zgaruvchi qiymatlarining uning matematik kutilishiga nisbatan tarqalishi (tarqalishi) darajasini tavsiflaydi. SV ning dispersiyasi (ham diskret, ham uzluksiz) tasodifiy bo'lmagan (doimiy) kattalikdir.

Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi tasodifiy o'zgaruvchining kvadratining o'lchamiga ega. Aniqlik uchun dispersiya xarakteristikalari o'lchami SV o'lchamiga to'g'ri keladigan qiymat bilan ishlatiladi.

Standart og'ish (RMS) NE X xususiyat deb ataladi

. (6.11)

Standart og'ish xuddi shu tarzda o'lchanadi jismoniy birliklar, bu SV bilan bir xil va SV qiymatlari diapazonining kengligini tavsiflaydi.

Dispersiya xususiyatlari

Dispersiya doimiy qiymat Bilan nolga teng.

Isbot: dispersiya ta'rifi bo'yicha

Tasodifiy o'zgaruvchiga qo'shilganda X tasodifiy bo'lmagan qiymat Bilan uning dispersiyasi o'zgarmaydi.

D[X+c] = D[X].

Isbot: dispersiya ta'rifi bo'yicha

(6.12)

3. Tasodifiy miqdorni ko'paytirishda X tasodifiy bo'lmagan miqdorda Bilan uning dispersiyasi ga ko'paytiriladi 2 dan.

Isbot: dispersiya ta'rifi bo'yicha

. (6.13)

Standart og'ish uchun bu xususiyat quyidagi shaklga ega:

(6.14)

Haqiqatan ham, ½S½>1 uchun cX qiymati X qiymatidan kattaroq mumkin bo'lgan qiymatlarga (mutlaq qiymatda) ega. Demak, bu qiymatlar matematik taxminlar atrofida tarqalgan. M[cX] mumkin bo'lgan qiymatlardan kattaroq X atrofida M[X], ya'ni. . Agar 0<½с½<1, то .

3-qoida. Tasodifiy o'zgaruvchining ko'pgina qiymatlari uchun uning matematik kutilganidan chetlanishining mutlaq qiymati standart og'ishning uch barobaridan oshmaydi, yoki boshqacha qilib aytganda, SV ning deyarli barcha qiymatlari intervalda bo'ladi:

[ m - 3s; m + 3 s; ].(6.15)

Oddiy tasodifiy miqdorning berilgan oralig'iga tushish ehtimoli

Aniqlanganidek, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining intervalga tegishli qiymatni olish ehtimoli tegishli chegaralar ichida olingan taqsimot zichligining ma'lum bir integraliga teng:
.
Oddiy taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi uchun biz mos ravishda quyidagilarni olamiz:
.
Yangi o'zgaruvchini kiritish orqali oxirgi ifodani o'zgartiramiz . Shunday qilib, integral ostidagi ifodaning ko'rsatkichi quyidagilarga aylantiriladi:
.
O'zgaruvchini aniq integralga almashtirish uchun avvalroq o'zgaruvchini almashtirish formulasidan ifodalagan holda, differentsial va integratsiya chegaralarini almashtirish kerak:
;
;
– integratsiyaning pastki chegarasi;
– integratsiyaning yuqori chegarasi;
(yangi o'zgaruvchi bo'yicha integratsiya chegaralarini topish uchun va o'zgaruvchini almashtirish formulasiga almashtirildi va - eski o'zgaruvchi ustidan integratsiya chegaralari).
Keling, ehtimollikni topish uchun hamma narsani oxirgi formulaga almashtiramiz:

Qayerda - Laplas funktsiyasi.
Xulosa: normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining intervalga tegishli qiymatni olish ehtimoli quyidagilarga teng:
,
bu yerda matematik kutish va berilgan tasodifiy miqdorning standart og‘ishi.

23. Xi-kvadrat, Student va Fisher taqsimotlari

Oddiy taqsimotdan foydalanib, statistik ma'lumotlarni qayta ishlashda tez-tez ishlatiladigan uchta taqsimot aniqlanadi. Ushbu tarqatishlar kitobning keyingi bo'limlarida ko'p marta uchraydi.

Pearson taqsimoti (chi - kvadrat) - tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishi

tasodifiy o'zgaruvchilar qayerda X 1, X 2,…, X n mustaqil va bir xil taqsimotga ega N(0,1). Bunday holda, atamalar soni, ya'ni. n, chi-kvadrat taqsimotining "erkinlik darajalari soni" deb ataladi.

Xi-kvadrat taqsimoti dispersiyani baholashda (ishonch oralig'idan foydalangan holda), kelishuv, bir xillik, mustaqillik gipotezalarini sinab ko'rishda, birinchi navbatda cheklangan miqdordagi qiymatlarni oladigan sifatli (toifalangan) o'zgaruvchilar uchun va statistik ma'lumotlarning boshqa ko'plab vazifalarida qo'llaniladi. tahlil qilish.

Tarqatish t Student t - tasodifiy miqdorning taqsimlanishi

tasodifiy o'zgaruvchilar qayerda U Va X mustaqil, U standart normal taqsimotga ega N(0,1) va X– chi taqsimoti – kvadrat c n erkinlik darajalari. Xuddi o'sha payt n Talaba taqsimotining "erkinlik darajalari soni" deb ataladi.

Talabalar taqsimoti 1908 yilda pivo zavodida ishlagan ingliz statistik V. Gosset tomonidan kiritilgan. Bu zavodda iqtisodiy va texnik qarorlar qabul qilishda ehtimollik va statistik usullardan foydalanilgan, shuning uchun uning rahbariyati V. Gossetga oʻz nomi bilan ilmiy maqolalar chop etishni taqiqlagan. Shunday qilib, V. Gosset tomonidan ishlab chiqilgan ehtimollik va statistik usullar ko'rinishidagi tijorat sirlari va "nou-xau" himoyalangan. Biroq u “Talaba” taxallusi bilan nashr etish imkoniyatiga ega bo‘ldi. Gosset-Student tarixi shuni ko'rsatadiki, hatto yuz yil oldin Buyuk Britaniyadagi menejerlar ehtimollik-statistik usullarning iqtisodiy samaradorligini bilishgan.

Hozirgi vaqtda Student taqsimoti haqiqiy ma'lumotlarni tahlil qilishda ishlatiladigan eng mashhur taqsimotlardan biridir. U ishonch oraliqlaridan foydalangan holda matematik kutish, bashorat qilingan qiymat va boshqa xususiyatlarni baholashda, matematik taxminlar qiymatlari haqidagi gipotezalarni, regressiya koeffitsientlarini, namunaning bir xilligi gipotezalarini va boshqalarni tekshirishda qo'llaniladi. .