Dumilar uchun hosilalarni echish: ta'rif, qanday topish mumkin, echimlarga misollar. Hosilalarni hisoblash qoidalari Murakkab funktsiyaning hosilasi u v

Va murakkab funktsiyaning hosilasi haqidagi teorema, formulasi quyidagicha:

1) $u=\varphi (x)$ funksiyasi biror nuqtada $x_0$ hosilasi $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ bo'lsin, 2) $y=f(u)$ funksiyasi bo'lsin. tegishli nuqtada $u_0=\varphi (x_0)$ hosilasi $y_(u)"=f"(u)$ bo'lsin. U holda ko'rsatilgan nuqtadagi $y=f\left(\varphi (x) \right)$ kompleks funksiyasi ham $f(u)$ va $\varphi ( funksiyalar hosilalarining hosilasiga teng hosilaga ega bo'ladi. x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \o'ng)\cdot \varphi"(x_0) $$

yoki qisqaroq yozuvda: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Ushbu bo'limdagi misollarda barcha funksiyalar $y=f(x)$ ko'rinishga ega (ya'ni, biz faqat bitta $x$ o'zgaruvchining funksiyalarini ko'rib chiqamiz). Shunga ko'ra, barcha misollarda $x$ o'zgaruvchisiga nisbatan $y"$ hosilasi olinadi. Hosil $x$ o'zgaruvchisiga nisbatan olinganligini ta'kidlash uchun $y o'rniga $y"_x$ ko'pincha yoziladi. "$.

№ 1, № 2 va 3-misollarda hosilani topishning batafsil jarayoni ko'rsatilgan. murakkab funktsiyalar. 4-misol lotin jadvalini to'liqroq tushunish uchun mo'ljallangan va u bilan tanishish mantiqan.

1-3-misollardagi materialni o'rganib chiqqandan so'ng, 5-sonli, 6-sonli va 7-sonli misollarni mustaqil yechishga o'tish tavsiya etiladi. 5, 6 va 7-sonli misollar mavjud qisqa yechim o'quvchi o'z natijasining to'g'riligini tekshirishi uchun.

Misol № 1

$y=e^(\cos x)$ funksiyaning hosilasini toping.

$y"$ kompleks funksiyasining hosilasini topishimiz kerak. $y=e^(\cos x)$ ekan, $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. $ \left(e^(\cos x)\right)"$ hosilasini toping, hosilalar jadvalidan 6-sonli formuladan foydalanamiz. 6-sonli formuladan foydalanish uchun bizning holatimizda $u=\cos x$ ekanligini hisobga olishimiz kerak. Keyingi yechim oddiygina $u$ o‘rniga $\cos x$ ifodasini №6 formulaga almashtirishdan iborat:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Endi $(\cos x)"$ ifoda qiymatini topishimiz kerak. Undan 10-formulani tanlab, yana hosilalar jadvaliga murojaat qilamiz. 10-formulaga $u=x$ ni almashtirsak, biz hosil bo'lamiz. : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$ Endi topilgan natija bilan to'ldirib, tenglikni (1.1) davom ettiramiz:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \teg (1.2) $$

$x"=1$ ekan, biz tenglikni davom ettiramiz (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Demak, (1.3) tenglikdan bizda: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Tabiiyki, odatda tushuntirishlar va oraliq tengliklar o'tkazib yuboriladi, hosila topilmasi bir qatorga yoziladi, tenglikda bo'lgani kabi ( 1.3 ) Demak, kompleks funksiyaning hosilasi topildi, javobni yozishgina qoladi.

Javob: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Misol № 2

$y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ funksiyaning hosilasini toping.

Biz $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ hosilasini hisoblashimiz kerak. Boshlash uchun shuni ta'kidlaymizki, doimiy (ya'ni 9 raqami) hosila belgisidan chiqarilishi mumkin:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \o'ng)" \teg (2.1) $$

Endi $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ ifodasiga murojaat qilamiz. Hosilalar jadvalidan kerakli formulani tanlashni osonlashtirish uchun ifodani taqdim etaman. ushbu shaklda savol: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Endi 2-sonli formuladan foydalanish kerakligi aniq, ya'ni. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Bu formulaga $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ va $\alpha=12$ ni almashtiramiz:

Olingan natija bilan tenglikni (2.1) to'ldirib, bizda:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \teg (2.2) $$

Bunday holatda, birinchi bosqichda hal qiluvchi formula o'rniga $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ formulasini tanlaganida xatolik yuzaga keladi. $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Gap shundaki, tashqi funktsiyaning hosilasi birinchi bo'lib kelishi kerak. $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ ifodasiga qaysi funksiya tashqi boʻlishini tushunish uchun $\arctg^(12)(4\cdot 5^) ifodasining qiymatini hisoblayotganingizni tasavvur qiling. x)$ qandaydir qiymatda $x$. Avval siz $5^x$ qiymatini hisoblab chiqasiz, so'ngra natijani 4 ga ko'paytirasiz va $4\cdot 5^x$ olasiz. Endi biz ushbu natijadan $\arctg(4\cdot 5^x)$ ni qo'lga kiritib, arktangentni olamiz. Keyin olingan sonni o'n ikkinchi darajaga ko'taramiz, $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ olamiz. Oxirgi harakat, ya'ni. 12 ning kuchiga ko'tarish tashqi funktsiya bo'ladi. Va shundan kelib chiqib, biz tenglikda bajarilgan hosilani topishni boshlashimiz kerak (2.2).

Endi biz $(\arctg(4\cdot \ln x))"$ topishimiz kerak. Biz hosilalar jadvalining №19 formulasidan foydalanamiz va unga $u=4\cdot \ln x$ almashtiramiz:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Olingan ifodani $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$ ni hisobga olgan holda biroz soddalashtiramiz.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Tenglik (2.2) endi quyidagicha bo'ladi:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \teg (2.3) $$

$(4\cdot \ln x)"$ ni topish qoladi. Hosil belgisidan doimiyni (ya'ni 4) chiqaramiz: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $(\ln x)"$ ni topish uchun $u=x$ o'rniga №8 formuladan foydalanamiz: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x. "$. $x"=1$ ekan, $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) Olingan natijani (2.3) formulaga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).

Eslatib o‘taman, murakkab funksiyaning hosilasi oxirgi tenglikda yozilganidek, ko‘pincha bir qatorda topiladi. Shuning uchun, standart hisob-kitoblarni yoki nazorat ishlarini tayyorlashda, yechimni bunday batafsil tavsiflashning hojati yo'q.

Javob: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Misol № 3

$y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$ funksiyasining $y"$ ni toping.

Birinchidan, radikalni (ildiz) quvvat sifatida ifodalagan holda $y$ funksiyasini biroz o‘zgartiramiz: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Endi hosilani topishni boshlaylik. $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$ boʻlgani uchun:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\o'ng)" \teg (3.1) $$

Keling, hosilalar jadvalidagi 2-formuladan foydalanamiz, unga $u=\sin(5\cdot 9^x)$ va $\alpha=\frac(3)(7)$ almashtiramiz:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Olingan natijadan foydalanib, tenglikni (3.1) davom ettiramiz:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\o'ng)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Endi biz $(\sin(5\cdot 9^x))"$ ni topishimiz kerak. Buning uchun hosilalar jadvalidagi 9-formuladan foydalanamiz va unga $u=5\cdot 9^x$ almashtiramiz:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Olingan natija bilan tenglikni (3.2) to'ldirib, biz:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\o'ng)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \teg (3.3) $$

$(5\cdot 9^x)"$ ni topish qoladi. Birinchidan, hosila belgisidan tashqaridagi doimiyni ($5$ raqamini) olaylik, ya'ni $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9) ^x) "$. $(9^x)"$ hosilasini topish uchun hosilalar jadvalining №5 formulasini unga $a=9$ va $u=x$ oʻrniga qoʻying: $(9^x) )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. $x"=1$ ekan, u holda $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Endi tenglikni davom ettiramiz (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\o'ng)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\o'ng) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

$\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ ni $\ shaklida yozib, yana kuchlardan radikallarga (ya'ni, ildizlarga) qaytishimiz mumkin. frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5) cdot 9^x)))$. Keyin hosila quyidagi shaklda yoziladi:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).

Javob: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

Misol № 4

Hosilalar jadvalining 3 va 4-sonli formulalari ushbu jadvalning 2-sonli formulasining alohida holati ekanligini ko'rsating.

Hosilalar jadvalining 2-formulasida $u^\alpha$ funksiyaning hosilasi mavjud. $\alpha=-1$ ni 2-formulaga almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\teg (4.1)$$

$u^(-1)=\frac(1)(u)$ va $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$ boʻlgani uchun (4.1) tenglikni quyidagicha qayta yozish mumkin: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Bu lotinlar jadvalining 3-formulasidir.

Keling, hosilalar jadvalining 2-formulasiga yana murojaat qilaylik. Unga $\alpha=\frac(1)(2)$ ni almashtiramiz:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\teg (4.2) $$

Chunki $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ va $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, keyin tenglikni (4.2) quyidagicha qayta yozish mumkin:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Olingan $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ tenglik hosilalar jadvalining 4-formulasidir. Ko'rib turganingizdek, hosilaviy jadvalning No3 va 4-formulalari 2-formuladan mos keladigan $\alpha$ qiymatini almashtirish orqali olinadi.

Matematikada fizik masalalar yoki misollarni yechish hosila va uni hisoblash usullarini bilmasdan turib mutlaqo mumkin emas. Hosila matematik tahlildagi eng muhim tushunchalardan biridir. Biz bugungi maqolani ushbu asosiy mavzuga bag'ishlashga qaror qildik. hosila nima, uning jismoniy va nima geometrik ma'no funktsiyaning hosilasini qanday hisoblash mumkin? Bu savollarning barchasini bittaga birlashtirish mumkin: lotinni qanday tushunish kerak?

Hosilning geometrik va fizik ma'nosi

Funktsiya mavjud bo'lsin f(x) , ma'lum bir oraliqda ko'rsatilgan (a, b) . X va x0 nuqtalari shu intervalga tegishli. X o'zgarganda, funktsiyaning o'zi o'zgaradi. Argumentni o'zgartirish - uning qiymatlaridagi farq x-x0 . Bu farq quyidagicha yoziladi delta x va argument ortishi deyiladi. Funktsiyaning o'zgarishi yoki ortishi - bu funktsiyaning ikki nuqtadagi qiymatlari orasidagi farq. lotin ta'rifi:

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi - bu funksiyaning ma'lum nuqtadagi o'sishining argumentning o'sishiga nisbati chegarasi, ikkinchisi nolga intiladi.

Aks holda shunday yozilishi mumkin:

Bunday chegarani topishning nima keragi bor? Va bu nima:

nuqtadagi funktsiyaning hosilasi OX o'qi orasidagi burchak tangensiga va berilgan nuqtadagi funksiya grafigiga teginishga teng.

Hosilning fizik ma'nosi: yo'lning vaqtga nisbatan hosilasi to'g'ri chiziqli harakat tezligiga teng.

Darhaqiqat, maktab davridan beri hamma tezlikni o'ziga xos yo'l ekanligini biladi x=f(t) va vaqt t . Muayyan vaqt oralig'idagi o'rtacha tezlik:

Bir vaqtning o'zida harakat tezligini aniqlash t0 limitni hisoblashingiz kerak:

Birinchi qoida: doimiyni o'rnating

Konstantani hosila belgisidan chiqarish mumkin. Bundan tashqari, buni qilish kerak. Matematikadan misollarni yechayotganda, uni qoida sifatida qabul qiling - Agar siz ifodani soddalashtira olsangiz, uni soddalashtirishga ishonch hosil qiling .

Misol. Keling, hosilani hisoblaylik:

Ikkinchi qoida: funksiyalar yig'indisining hosilasi

Ikki funktsiya yig'indisining hosilasi bu funksiyalarning hosilalari yig'indisiga teng. Xuddi shu narsa funksiyalar farqining hosilasi uchun ham amal qiladi.

Biz bu teoremaning isbotini keltirmaymiz, balki amaliy misolni ko'rib chiqamiz.

Funktsiyaning hosilasini toping:

Uchinchi qoida: funksiyalar mahsulotining hosilasi

Ikki differentsiallanuvchi funktsiyaning hosilasi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Misol: funktsiyaning hosilasini toping:

Yechim:

Bu yerda murakkab funksiyalarning hosilalarini hisoblash haqida gapirish muhim. Murakkab funktsiyaning hosilasi bu funktsiyaning oraliq argumentga nisbatan hosilasi va mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan oraliq argumentning hosilasi ko'paytmasiga teng.

Yuqoridagi misolda biz quyidagi iboraga duch kelamiz:

Bunday holda, oraliq argument beshinchi darajaga 8x. Bunday ifodaning hosilasini hisoblash uchun birinchi navbatda tashqi funktsiyaning oraliq argumentga nisbatan hosilasini hisoblab chiqamiz, so'ngra mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan oraliq argumentning hosilasiga ko'paytiramiz.

To'rtinchi qoida: ikkita funktsiyaning ko'rsatkichining hosilasi

Ikki funktsiyaning bo'linmasining hosilasini aniqlash formulasi:

Biz noldan dummies uchun derivativlar haqida gapirishga harakat qildik. Bu mavzu ko'rinadigan darajada oddiy emas, shuning uchun ogohlantiring: misollarda ko'pincha tuzoqlar mavjud, shuning uchun lotinlarni hisoblashda ehtiyot bo'ling.

Ushbu va boshqa mavzular bo'yicha har qanday savollar bilan siz talabalar xizmatiga murojaat qilishingiz mumkin. Qisqa vaqt ichida biz sizga eng qiyin testni hal qilishda va vazifalarni tushunishda yordam beramiz, hatto siz ilgari hech qachon lotin hisob-kitoblarini qilmagan bo'lsangiz ham.

Agar siz ta'rifga amal qilsangiz, u holda nuqtadagi funktsiyaning hosilasi D funktsiyasi o'sishining nisbati chegarasi bo'ladi. y argument ortishiga D x:

Hamma narsa aniq ko'rinadi. Ammo, masalan, funktsiyaning hosilasini hisoblash uchun ushbu formuladan foydalanib ko'ring f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x gunoh x. Agar siz hamma narsani ta'rif bo'yicha qilsangiz, bir necha sahifali hisob-kitoblardan so'ng siz shunchaki uxlab qolasiz. Shuning uchun oddiyroq va samaraliroq usullar mavjud.

Boshlash uchun shuni ta'kidlaymizki, biz turli xil funktsiyalardan elementar funktsiyalar deb ataladigan narsalarni ajrata olamiz. Bu nisbatan oddiy ifodalar bo'lib, ularning hosilalari uzoq vaqtdan beri hisoblab chiqilgan va jadvalga kiritilgan. Bunday funktsiyalarni eslab qolish juda oson - ularning hosilalari bilan birga.

Elementar funksiyalarning hosilalari

Elementar funktsiyalar quyida keltirilganlarning barchasi. Bu funktsiyalarning hosilalari yoddan ma'lum bo'lishi kerak. Bundan tashqari, ularni yodlash unchalik qiyin emas - shuning uchun ular oddiy.

Demak, elementar funksiyalarning hosilalari:

Ism	Funktsiya	Hosil
Doimiy	f(x) = C, C ∈ R	0 (ha, nol!)
Ratsional darajali quvvat	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = gunoh x	cos x
Kosinus	f(x) = cos x	− gunoh x(minus sinus)
Tangent	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangent	f(x) = ctg x	− 1/sin 2 x
Tabiiy logarifm	f(x) = jurnal x	1/x
Ixtiyoriy logarifm	f(x) = jurnal a x	1/(x ln a)
Eksponensial funktsiya	f(x) = e x	e x(hech narsa o'zgarmadi)

Agar elementar funktsiya ixtiyoriy doimiyga ko'paytirilsa, yangi funktsiyaning hosilasi ham osonlik bilan hisoblanadi:

(C · f)’ = C · f ’.

Umuman, konstantalarni hosila belgisidan chiqarish mumkin. Masalan:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Shubhasiz, elementar funktsiyalarni bir-biriga qo'shish, ko'paytirish, bo'lish - va yana ko'p narsalar. Shunday qilib, yangi funktsiyalar paydo bo'ladi, ular endi ayniqsa elementar emas, balki ma'lum qoidalarga muvofiq farqlanadi. Ushbu qoidalar quyida muhokama qilinadi.

Yig'indi va ayirmaning hosilasi

Funktsiyalar berilsin f(x) Va g(x), hosilalari bizga ma'lum. Misol uchun, siz yuqorida muhokama qilingan elementar funktsiyalarni olishingiz mumkin. Keyin ushbu funktsiyalarning yig'indisi va farqining hosilasini topishingiz mumkin:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Demak, ikki funktsiya yig‘indisining (farqining) hosilasi hosilalarning yig‘indisiga (farqiga) teng. Ko'proq shartlar bo'lishi mumkin. Masalan, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Qat'iy aytganda, algebrada "ayirish" tushunchasi yo'q. "Salbiy element" tushunchasi mavjud. Shuning uchun farq f − g summa sifatida qayta yozilishi mumkin f+ (−1) g, va keyin faqat bitta formula qoladi - yig'indining hosilasi.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funktsiya f(x) ikkita elementar funktsiyaning yig'indisidir, shuning uchun:

f ’(x) = (x 2 + gunoh x)’ = (x 2)' + (gunoh x)’ = 2x+ cos x;

Funktsiya uchun biz ham xuddi shunday fikr yuritamiz g(x). Faqat uchta atama mavjud (algebra nuqtai nazaridan):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Javob:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Mahsulotning hosilasi

Matematika mantiqiy fandir, shuning uchun ko'p odamlar yig'indining hosilasi hosilalarning yig'indisiga teng bo'lsa, mahsulotning hosilasi deb hisoblashadi. zarba berish">hosilalar ko'paytmasiga teng. Lekin jingalak! Mahsulotning hosilasi butunlay boshqa formula yordamida hisoblanadi. Ya'ni:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula oddiy, lekin u ko'pincha unutiladi. Va nafaqat maktab o'quvchilari, balki talabalar ham. Natijada noto'g'ri hal qilingan muammolar.

Vazifa. Funksiyalarning hosilalarini toping: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funktsiya f(x) ikkita elementar funktsiyaning mahsulotidir, shuning uchun hamma narsa oddiy:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) 'cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x gunoh x)

Funktsiya g(x) birinchi multiplikator biroz murakkabroq, lekin umumiy sxema o'zgarmaydi. Shubhasiz, funktsiyaning birinchi omili g(x) koʻphad va uning hosilasi yigʻindining hosilasidir. Bizda ... bor:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Javob:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x gunoh x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

E'tibor bering, oxirgi bosqichda hosila faktorlarga ajratiladi. Rasmiy ravishda buni qilish shart emas, lekin ko'pchilik lotinlar o'z-o'zidan hisoblanmaydi, lekin funktsiyani tekshirish uchun. Bu shuni anglatadiki, keyinchalik hosila nolga tenglashtiriladi, uning belgilari aniqlanadi va hokazo. Bunday holda, ifoda faktorlarga ajratilgan bo'lishi yaxshiroqdir.

Agar ikkita funktsiya mavjud bo'lsa f(x) Va g(x), va g(x) Bizni qiziqtirgan to‘plamda ≠ 0 bo‘lsa, biz yangi funksiyani belgilashimiz mumkin h(x) = f(x)/g(x). Bunday funktsiya uchun hosilani ham topishingiz mumkin:

Zaif emas, a? Minus qaerdan paydo bo'ldi? Nima uchun g 2? Va shunday! Bu eng murakkab formulalardan biri - siz uni shishasiz aniqlay olmaysiz. Shuning uchun uni aniq misollar bilan o'rganish yaxshiroqdir.

Vazifa. Funksiyalarning hosilalarini toping:

Har bir kasrning soni va maxraji elementar funktsiyalarni o'z ichiga oladi, shuning uchun bizga kerak bo'lgan yagona narsa qismning hosilasi formulasi:

An'anaga ko'ra, keling, raqamni faktorlarga ajratamiz - bu javobni sezilarli darajada soddalashtiradi:

Murakkab funktsiya yarim kilometr uzunlikdagi formula bo'lishi shart emas. Masalan, funktsiyani olish kifoya f(x) = gunoh x va o'zgaruvchini almashtiring x, aytaylik, yoqilgan x 2 + ln x. Bu amalga oshadi f(x) = gunoh ( x 2 + ln x) - bu murakkab funktsiya. Uning lotin ham bor, lekin uni yuqorida muhokama qilingan qoidalar yordamida topish mumkin bo'lmaydi.

Nima qilishim kerak? Bunday hollarda murakkab funktsiyaning hosilasi uchun o'zgaruvchi va formulani almashtirish yordam beradi:

f ’(x) = f ’(t) · t', Agar x bilan almashtiriladi t(x).

Qoidaga ko'ra, ushbu formulani tushunish bilan bog'liq vaziyat, qismning hosilasiga qaraganda ancha achinarli. Shuning uchun uni aniq misollar bilan tushuntirish ham ma'qul batafsil tavsif har bir qadam.

Vazifa. Funksiyalarning hosilalarini toping: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = gunoh ( x 2 + ln x)

E'tibor bering, agar funktsiyada bo'lsa f(x) ifoda oʻrniga 2 x+ 3 oson bo'ladi x, keyin u ishlaydi elementar funktsiya f(x) = e x. Shuning uchun biz almashtiramiz: 2 bo'lsin x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Murakkab funktsiyaning hosilasini quyidagi formula yordamida qidiramiz:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Va endi - diqqat! Biz teskari almashtirishni amalga oshiramiz: t = 2x+ 3. Biz quyidagilarni olamiz:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Endi funksiyani ko'rib chiqamiz g(x). Shubhasiz, uni almashtirish kerak x 2 + ln x = t. Bizda ... bor:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (gunoh t)’ · t' = cos t · t ’

Orqaga almashtirish: t = x 2 + ln x. Keyin:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Bo'ldi shu! Oxirgi ifodadan ko'rinib turibdiki, butun muammo hosila yig'indisini hisoblashga qisqartirildi.

Javob:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) chunki ( x 2 + ln x).

Ko'pincha darslarimda "hosil" atamasi o'rniga "bosh" so'zini ishlataman. Misol uchun, yig'indining zarbasi zarbalar yig'indisiga teng. Bu aniqroqmi? Xo'sh, bu yaxshi.

Shunday qilib, lotinni hisoblash yuqorida muhokama qilingan qoidalarga muvofiq, xuddi shu zarbalardan xalos bo'lishga tushadi. Yakuniy misol sifatida, keling, ratsional ko'rsatkich bilan hosila darajaga qaytaylik:

(x n)’ = n · x n − 1

Buni rolda kam odam biladi n kasr son bo'lishi mumkin. Masalan, ildiz x 0,5. Ildiz ostida biron bir go'zal narsa bo'lsa-chi? Shunga qaramay, natijada murakkab funktsiya bo'ladi - ular bunday konstruktsiyalarni berishni yaxshi ko'radilar testlar va imtihonlar.

Vazifa. Funktsiyaning hosilasini toping:

Birinchidan, ildizni ratsional darajali daraja sifatida qayta yozamiz:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Endi biz almashtiramiz: ruxsat bering x 2 + 8x − 7 = t. Biz hosilani formuladan foydalanib topamiz:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Keling, teskari almashtirishni qilaylik: t = x 2 + 8x− 7. Bizda:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Nihoyat, ildizlarga qayting:

Eslash juda oson.

Xo'sh, uzoqqa bormaylik, darhol ko'rib chiqaylik teskari funktsiya. Qaysi funksiya ko‘rsatkichli funktsiyaga teskari funksiya hisoblanadi? Logarifm:

Bizning holatda, asosiy raqam:

Bunday logarifm (ya'ni, asosli logarifm) "tabiiy" deb ataladi va biz buning uchun maxsus belgidan foydalanamiz: o'rniga yozamiz.

Bu nimaga teng? Albatta.

Tabiiy logarifmning hosilasi ham juda oddiy:

Misollar:

1. Funktsiyaning hosilasini toping.
2. Funktsiyaning hosilasi nima?

Javoblar: Ko'rgazma ishtirokchisi va tabiiy logarifm- funksiyalar hosilalari jihatidan o‘ziga xos sodda. Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalar boshqa bazis bilan boshqa hosilaga ega bo‘ladi, biz ularni keyinroq, differentsiallash qoidalaridan o‘tganimizdan keyin tahlil qilamiz.

Farqlash qoidalari

Nima qoidalari? Yana yangi atama, yana?!...

Differentsiatsiya hosilani topish jarayonidir.

Ana xolos. Bu jarayonni bir so'z bilan yana nima deb atash mumkin? Hosila emas... Matematiklarning differensialligi funksiyaning bir xil o'sish qismidir. Bu atama lotincha differentia - farq so'zidan kelib chiqqan. Bu yerga.

Ushbu qoidalarning barchasini olishda biz ikkita funktsiyadan foydalanamiz, masalan, va. Bizga ularning o'sishi uchun formulalar ham kerak bo'ladi:

Hammasi bo'lib 5 ta qoida mavjud.

Konstanta hosila belgisidan olinadi.

Agar - qandaydir doimiy son (doimiy), keyin.

Shubhasiz, bu qoida farq uchun ham ishlaydi: .

Keling, buni isbotlaylik. Bo'lsin, yoki oddiyroq.

Misollar.

Funksiyalarning hosilalarini toping:

1. bir nuqtada;
2. bir nuqtada;
3. bir nuqtada;
4. nuqtada.

Yechimlar:

1. (hosil barcha nuqtalarda bir xil, chunki bu chiziqli funksiya, esingizdami?);

Mahsulotning hosilasi

Bu erda hamma narsa o'xshash: keling, yangi funktsiyani kiritamiz va uning o'sishini topamiz:

Hosil:

Misollar:

1. va funksiyalarining hosilalarini toping;
2. Funktsiyaning nuqtadagi hosilasini toping.

Yechimlar:

Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Endi sizning bilimingiz faqat ko'rsatkichlarni emas, balki har qanday ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasini qanday topishni o'rganish uchun etarli (bu nima ekanligini hali unutdingizmi?).

Xo'sh, qandaydir raqam qaerda.

Biz funktsiyaning hosilasini allaqachon bilamiz, shuning uchun funksiyamizni yangi bazaga qisqartirishga harakat qilaylik:

Buning uchun oddiy qoidadan foydalanamiz: . Keyin:

Mayli, ishladi. Endi hosilani topishga harakat qiling va bu funktsiya murakkab ekanligini unutmang.

Ishladimi?

Mana, o'zingizni tekshiring:

Formula ko'rsatkichning hosilasiga juda o'xshash bo'lib chiqdi: u xuddi shunday bo'lib qoldi, faqat omil paydo bo'ldi, bu shunchaki raqam, lekin o'zgaruvchi emas.

Misollar:
Funksiyalarning hosilalarini toping:

Javoblar:

Bu shunchaki hisoblagichsiz hisoblab bo'lmaydigan raqam, ya'ni uni boshqa yozib bo'lmaydi. oddiy shaklda. Shuning uchun biz uni javobda ushbu shaklda qoldiramiz.

E'tibor bering, bu erda ikkita funktsiyaning koeffitsienti mavjud, shuning uchun biz mos keladigan farqlash qoidasini qo'llaymiz:

Ushbu misolda ikkita funktsiyaning mahsuloti:

Logarifmik funktsiyaning hosilasi

Bu erda ham xuddi shunday: siz tabiiy logarifmning hosilasini allaqachon bilasiz:

Shuning uchun, boshqa asosli ixtiyoriy logarifmni topish uchun, masalan:

Biz bu logarifmni bazaga qisqartirishimiz kerak. Logarifm asosini qanday o'zgartirish mumkin? Umid qilamanki, siz ushbu formulani eslaysiz:

Faqat hozir uning o'rniga yozamiz:

Maxraj oddiygina doimiy (o‘zgarmas son, o‘zgaruvchisiz). lotin juda oddiy olinadi:

Eksponensial va logarifmik funktsiyalarning hosilalari Yagona davlat imtihonida deyarli topilmaydi, ammo ularni bilish ortiqcha bo'lmaydi.

Murakkab funktsiyaning hosilasi.

"Murakkab funktsiya" nima? Yo'q, bu logarifm emas, arktangent emas. Ushbu funktsiyalarni tushunish qiyin bo'lishi mumkin (garchi siz logarifmni qiyin deb bilsangiz, "Logarifmlar" mavzusini o'qing va siz yaxshi bo'lasiz), lekin matematik nuqtai nazardan, "murakkab" so'zi "qiyin" degani emas.

Kichkina konveyerni tasavvur qiling: ikki kishi o'tirib, ba'zi narsalar bilan ba'zi harakatlar qilmoqda. Misol uchun, birinchisi shokolad barini o'ramga o'radi, ikkinchisi esa uni lenta bilan bog'laydi. Natijada kompozitsion ob'ekt paydo bo'ladi: shokolad bari o'ralgan va lenta bilan bog'langan. Shokolad barini iste'mol qilish uchun siz teskari tartibda teskari qadamlarni bajarishingiz kerak.

Keling, shunga o'xshash matematik quvur liniyasini yarataylik: birinchi navbatda biz sonning kosinusini topamiz, so'ngra olingan sonning kvadratini olamiz. Shunday qilib, bizga raqam (shokolad) beriladi, men uning kosinusini (o'ramini) topaman, keyin men olgan narsamni kvadratga aylantirasiz (tasma bilan bog'lang). Nima bo'ldi? Funktsiya. Bu murakkab funktsiyaga misol: uning qiymatini topish uchun biz birinchi amalni to'g'ridan-to'g'ri o'zgaruvchi bilan, so'ngra ikkinchi amalni birinchisidan kelib chiqqan holda bajaramiz.

Boshqa so'zlar bilan aytganda, murakkab funksiya - bu argumenti boshqa funktsiya bo'lgan funksiya: .

Bizning misolimiz uchun, .

Xuddi shu amallarni teskari tartibda bemalol bajarishimiz mumkin: avval siz uni kvadratga aylantirasiz, keyin esa natijada olingan sonning kosinusini qidiraman: . Natija deyarli har doim boshqacha bo'lishini taxmin qilish oson. Murakkab funktsiyalarning muhim xususiyati: harakatlar tartibi o'zgarganda, funktsiya o'zgaradi.

Ikkinchi misol: (xuddi shunday). .

Oxirgi qilgan amalimiz chaqiriladi "tashqi" funktsiya, va birinchi bajarilgan harakat - mos ravishda "ichki" funktsiya(bu norasmiy nomlar, men ulardan faqat materialni sodda tilda tushuntirish uchun foydalanaman).

Qaysi funktsiya tashqi va qaysi ichki ekanligini aniqlashga harakat qiling:

Javoblar: Ichki va tashqi funktsiyalarni ajratish o'zgaruvchilarni o'zgartirishga juda o'xshaydi: masalan, funktsiyada

1. Biz birinchi navbatda qanday harakat qilamiz? Birinchidan, sinusni hisoblab chiqamiz va shundan keyingina uni kubga aylantiramiz. Bu shuni anglatadiki, bu ichki funktsiya, lekin tashqi funktsiya.
   Va asl vazifasi ularning tarkibi: .
2. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .
3. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .
4. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .
5. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .

Biz o'zgaruvchilarni o'zgartiramiz va funktsiyani olamiz.

Xo'sh, endi biz shokolad barimizni ajratib olamiz va hosilani qidiramiz. Jarayon har doim teskari bo'ladi: birinchi navbatda tashqi funktsiyaning hosilasini qidiramiz, keyin natijani ichki funktsiya hosilasiga ko'paytiramiz. Asl misolga kelsak, u quyidagicha ko'rinadi:

Yana bir misol:

Shunday qilib, nihoyat rasmiy qoidani shakllantiramiz:

Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:

Bu oddiy ko'rinadi, to'g'rimi?

Keling, misollar bilan tekshiramiz:

Yechimlar:

1) ichki: ;

Tashqi: ;

2) ichki: ;

(Faqat hozircha uni kesishga urinmang! Kosinus ostidan hech narsa chiqmaydi, esingizdami?)

3) Ichki: ;

Tashqi: ;

Bu uch darajali murakkab funktsiya ekanligi darhol ayon bo'ladi: axir, bu allaqachon o'z-o'zidan murakkab funktsiyadir va biz undan ildizni ham chiqaramiz, ya'ni uchinchi harakatni bajaramiz (shokoladni o'rashga soling. va portfeldagi lenta bilan). Ammo qo'rqish uchun hech qanday sabab yo'q: biz hali ham bu funktsiyani odatdagidek tartibda "ochamiz": oxiridan.

Ya'ni, avval ildizni, keyin kosinusni va shundan keyingina qavs ichidagi ifodani farqlaymiz. Va keyin biz hammasini ko'paytiramiz.

Bunday hollarda harakatlarni raqamlash qulay. Ya'ni, biz bilgan narsalarni tasavvur qilaylik. Ushbu ifoda qiymatini hisoblash uchun qanday tartibda amallarni bajaramiz? Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Harakat qanchalik kechroq bajarilsa, mos keladigan funktsiya shunchalik "tashqi" bo'ladi. Harakatlar ketma-ketligi avvalgisiga o'xshaydi:

Bu erda uy qurish odatda 4 darajali. Keling, harakat yo'nalishini aniqlaylik.

1. Radikal ifoda. .

2. Ildiz. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Hammasini birlashtirib:

HOSILA. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA

Funktsiyaning hosilasi- funktsiya o'sishining argumentning cheksiz kichik o'sishi uchun argumentning o'sishiga nisbati:

Asosiy hosilalar:

Farqlash qoidalari:

Konstanta hosila belgisidan olinadi:

Yig'indining hosilasi:

Mahsulot hosilasi:

Ko'rsatkichning hosilasi:

Murakkab funktsiyaning hosilasi:

Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:

1. Biz "ichki" funktsiyani aniqlaymiz va uning hosilasini topamiz.
2. Biz "tashqi" funktsiyani aniqlaymiz va uning hosilasini topamiz.
3. Birinchi va ikkinchi nuqtalarning natijalarini ko'paytiramiz.

Siz bu erga kelganingizdan beri, ehtimol siz ushbu formulani darslikda ko'rgansiz

va shunday yuz hosil qiling:

Do'stim, tashvishlanmang! Aslida, hamma narsa shunchaki g'alati. Siz, albatta, hamma narsani tushunasiz. Faqat bitta iltimos - maqolani o'qing vaqtingizni olib, har bir qadamni tushunishga harakat qiling. Men iloji boricha sodda va aniq yozdim, lekin siz hali ham fikrni tushunishingiz kerak. Va maqoladagi vazifalarni hal qilishga ishonch hosil qiling.

Murakkab funktsiya nima?

Tasavvur qiling-a, siz boshqa kvartiraga ko'chib o'tmoqdasiz va shuning uchun narsalarni katta qutilarga joylashtirasiz. Aytaylik, siz ba'zi kichik narsalarni, masalan, maktab yozish materiallarini to'plashingiz kerak. Agar siz ularni shunchaki katta qutiga tashlasangiz, ular boshqa narsalar qatorida yo'qoladi. Bunga yo'l qo'ymaslik uchun siz avval ularni, masalan, sumkaga solib, keyin katta qutiga solib, keyin uni muhrlab qo'yasiz. Ushbu "murakkab" jarayon quyidagi diagrammada keltirilgan:

Ko'rinib turibdiki, matematikaning bunga qanday aloqasi bor? Ha, murakkab funktsiya AYNAN SHUNDAY tarzda tuzilganiga qaramay! Faqat biz daftar va ruchkalarni emas, balki \(x\) “to'playmiz”, “paketlar” va “qutilar” esa boshqacha.

Misol uchun, keling, x ni olaylik va uni funktsiyaga "to'playmiz":

Natijada, biz, albatta, \(\cos⁡x\) olamiz. Bu bizning "narsalar sumkamiz". Endi uni "qutiga" joylashtiramiz - masalan, kub funksiyasiga to'plang.

Oxiri nima bo'ladi? Ha, to'g'ri, "qutidagi narsalar sumkasi", ya'ni "X kubik kosinasi" bo'ladi.

Olingan dizayn murakkab funktsiyadir. Bu oddiy narsadan farq qiladi Bir X ga bir nechta "ta'sir" (paketlar) qo'llaniladi va bu "funktsiyadan funktsiya" - "qadoqdagi qadoqlash" bo'lib chiqadi.

Maktab kursida bunday "paketlarning" juda kam turlari mavjud, faqat to'rttasi:

Keling, X-ni avval asosi 7 bo'lgan eksponensial funktsiyaga, keyin esa trigonometrik funktsiyaga "to'playmiz". Biz olamiz:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Endi keling, x ni trigonometrik funktsiyalarga ikki marta "to'playmiz", avvaliga, keyin esa:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Oddiy, to'g'rimi?

Endi funksiyalarni o'zingiz yozing, bu erda x:
- avval u kosinusga, so'ngra \(3\) asosli eksponensial funktsiyaga "to'planadi";
- birinchi navbatda beshinchi darajaga, keyin esa teginishga;
- logarifmdan avval asosga \(4\) , keyin kuchga \(-2\).

Maqolaning oxirida ushbu vazifaga javoblarni toping.

X-ni ikki emas, uch marta “qadoqlash” mumkinmi? Ha, muammo yo'q! Va to'rt, besh va yigirma besh marta. Bu erda, masalan, x \(4\) marta "qadoqlangan" funksiya:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Ammo maktab amaliyotida bunday formulalar topilmaydi (o'quvchilar baxtliroq - ularniki murakkabroq bo'lishi mumkin☺).

Murakkab funktsiyani "ochish"

Oldingi funktsiyaga yana qarang. "Qadoqlash" ketma-ketligini aniqlay olasizmi? Avval nima X to'ldirilgan edi, keyin nima va oxirigacha. Ya'ni, qaysi funktsiya qaysi ichida joylashgan? Bir varaq qog'oz oling va nima deb o'ylaysiz, yozing. Buni yuqorida yozganimizdek yoki boshqa yo'l bilan o'qlar bilan zanjir bilan qilishingiz mumkin.

Endi to'g'ri javob: birinchi navbatda, x \(4\) darajaga "qadoqlangan", keyin natija sinusga o'ralgan, u o'z navbatida \(2\) asosiga logarifmaga joylashtirilgan. , va oxir-oqibat, bu butun qurilish kuch beshlar ichiga surildi.

Ya'ni, siz ketma-ketlikni teskari TARTIBDA yechishingiz kerak. Va buni qanday qilib osonroq qilish haqida maslahat: darhol X ga qarang - siz undan raqsga tushishingiz kerak. Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Masalan, bu erda quyidagi funksiya mavjud: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Biz X ga qaraymiz - birinchi navbatda u bilan nima sodir bo'ladi? Undan olingan. Va keyin? Natijaning tangensi olinadi. Bu ketma-ketlik bir xil bo'ladi:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Yana bir misol: \(y=\cos⁡((x^3))\). Keling, tahlil qilaylik - avval biz X ni kub qildik, so'ngra natijaning kosinusini oldik. Bu ketma-ketlik quyidagicha bo'lishini anglatadi: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). E'tibor bering, funktsiya birinchisiga o'xshaydi (u erda rasmlar mavjud). Ammo bu butunlay boshqacha funktsiya: bu erda kubda x (ya'ni, \(\cos⁡((x·x·x)))\), kubda esa kosinus \(x\) ( ya'ni \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Bu farq turli xil "qadoqlash" ketma-ketliklaridan kelib chiqadi.

Oxirgi misol (undagi muhim ma'lumotlar bilan): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Ular bu erda birinchi bo'lib nima qilgani aniq arifmetik amallar x bilan, keyin natijaning sinusini oldi: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Va bu muhim nuqta: arifmetik amallar o'z-o'zidan funksiya bo'lmasa-da, bu erda ular "qadoqlash" usuli sifatida ham ishlaydi. Keling, ushbu noziklikni biroz chuqurroq o'rganaylik.

Yuqorida aytib o'tganimdek, oddiy funktsiyalarda x bir marta, murakkab funktsiyalarda esa ikki yoki undan ko'p "qadoqlangan". Bundan tashqari, oddiy funktsiyalarning har qanday birikmasi (ya'ni, ularning yig'indisi, farqi, ko'paytirish yoki bo'linishi) ham oddiy funksiya. Masalan, \(x^7\) oddiy funksiya va \(ctg x\) ham shunday. Bu ularning barcha kombinatsiyalari oddiy funktsiyalar ekanligini anglatadi:

\(x^7+ ctg x\) - oddiy,
\(x^7· karyola x\) - oddiy,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – oddiy va h.k.

Biroq, agar bunday kombinatsiyaga yana bitta funktsiya qo'llanilsa, u murakkab funktsiyaga aylanadi, chunki ikkita "paket" bo'ladi. Diagrammaga qarang:

Mayli, hozir davom et. "O'rash" funktsiyalari ketma-ketligini yozing:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Javoblar yana maqolaning oxirida.

Ichki va tashqi funktsiyalar

Nima uchun biz funktsiyani joylashtirishni tushunishimiz kerak? Bu bizga nima beradi? Gap shundaki, bunday tahlilsiz biz yuqorida muhokama qilingan funktsiyalarning hosilalarini ishonchli topa olmaymiz.

Va davom etish uchun bizga yana ikkita tushuncha kerak bo'ladi: ichki va tashqi funktsiyalar. Bu juda oddiy narsa, bundan tashqari, biz ularni yuqorida tahlil qildik: agar biz o'xshashlikni boshida eslasak, ichki funktsiya "paket", tashqi funktsiya esa "quti" dir. Bular. X birinchi "o'ralgan" narsa ichki funktsiyadir va ichki funktsiya "o'ralgan" narsa allaqachon tashqidir. Xo'sh, nima uchun aniq - u tashqarida, bu tashqi degan ma'noni anglatadi.

Bu misolda: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), \(\log_2⁡x\) funksiyasi ichki va
- tashqi.

Va bunda: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) ichki va
- tashqi.

Murakkab funktsiyalarni tahlil qilishning so'nggi amaliyotini yakunlang va nihoyat biz boshlagan narsaga o'tamiz - biz murakkab funktsiyalarning hosilalarini topamiz:

Jadvaldagi bo'sh joylarni to'ldiring:

Murakkab funktsiyaning hosilasi

Bravo, biz nihoyat ushbu mavzuning "xo'jayini" ga yetib keldik - aslida murakkab funktsiyaning hosilasi, xususan, maqola boshidan o'sha dahshatli formulaga.☺

\((f(g(x))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Ushbu formula quyidagicha o'qiydi:

Murakkab funktsiyaning hosilasi tashqi funktsiyaning doimiy ichki funktsiyaga nisbatan hosilasi va ichki funktsiya hosilasiga teng.

Va nima ekanligini tushunish uchun darhol "so'zma-so'z" tahlil diagrammasiga qarang:

Umid qilamanki, "hosil" va "mahsulot" atamalari hech qanday qiyinchilik tug'dirmaydi. "Murakkab funktsiya" - biz uni allaqachon saralab oldik. Tutib olish "doimiy ichki funktsiyaga nisbatan tashqi funktsiyaning hosilasi" da. Bu nima?

Javob: Bu tashqi funktsiyaning odatiy hosilasi bo'lib, unda faqat tashqi funktsiya o'zgaradi va ichki funktsiya bir xil bo'lib qoladi. Hali ham aniq emasmi? Mayli, keling, misol keltiraylik.

Bizga \(y=\sin⁡(x^3)\) funksiyasi bo'lsin. Bu erda ichki funktsiya \(x^3\) va tashqi ekanligi aniq
. Keling, doimiy ichki qismga nisbatan tashqi hosilasini topamiz.