Chiziqli algebraik tenglamalarning shartsiz tizimlari. Krilov pastki fazosidan foydalangan holda chiziqli algebraik tenglamalarning shartsiz siyrak tizimlarini yechish

Laboratoriya ishi No3

Chiziqli algebraik tenglamalarning shartsiz sistemalarini yechish

Regulyatsiya usuli

Kirish parametrlari: tizimning n tartibiga teng n-musbat butun son; a - tizim koeffitsientlari matritsasini o'z ichiga olgan n x n haqiqiy sonli massiv; b - tizimning erkin shartlari ustunini o'z ichiga olgan n ta haqiqiy sonli massiv (b(1) = b 1, b(2)=b 2, …b(n)=b n) .

Chiqish parametrlari: x – tizim yechimi; p-takrorlanishlar soni.

Algoritm diagrammasi 18-rasmda ko'rsatilgan.

Dastur matni:

procedure regul(N:Integer;a:Tmatr;b:Tvector;var X:Tvector; var p:integer);

var a1,a2:tmatr; b1,b2,x0:tvektor; alfa,s1,s:haqiqiy; maksimal, eps: real; i,j,k,l:integer;

Out_Slau_T(n,a,b);

Men uchun:=1 To n Do (A T A olish)

K uchun:=1 To N Do

J uchun:=1 To N Do S:=S+A*A;

Men uchun:=1 To N Do (A T B olish)

J uchun:=1 To N Do

Boshlang S:=S+A*B[j];

alfa:=0; (boshlang'ich alfa qiymati)

k:=0; (takrorlashlar soni)

alfa:=alfa+0,01; inc(k); a2:=a1;

i uchun:=1 dan Nga a2:=a1+alfa; (A T A+alfa olish)

i uchun:=1 dan N gacha b2[i]:=b1[i]+alfa*x0[i]; (A T B + alfa olish)

SIMQ(n,a2,b2,l);

a2:=a1; X:=b2; x0:=X; b2:=b1;

vozm(N,eps,a2,b2);

simq(n,a2,b2,l);

i:=2 uchun n qilish

agar abs(b2[i]-X[i])>max then max:=abs(b2[i]-X[i]);

X1 = 1,981 X2 = 0,4735

18-rasm - Regulyatsiya usuli algoritmining sxemasi

Noto'g'ri tizimlarni tartibga solish usuli yordamida hal qilish uchun vazifalar variantlari 3-jadvalda keltirilgan.

Aylanish usuli (Givens)

Algoritm diagrammasi 19-rasmda keltirilgan.

Misol. Tenglamalar tizimini yechish

Dastur matni:

TARTIBI Vrash;

Var I,J,K: Butun son; M, L, R: Haqiqiy; F1: TEXT; M1, M2 yorlig'i;

Out_Slau_T(nn,aa,b);

i:=1 uchun Nn qilish

Men uchun:=1 dan Nn-1 gacha Boshlang

K uchun:=I+1 To Nn Boshlang

Agar (Aa0.0) boʻlsa, M1ga oʻting;Agar (Aa0.0) keyin M1ga oʻting;

1:M:=Sqrt(Aa*Aa+Aa*Aa);

L:=-1,0*Aa/M;

M2:J uchun:=1 To Nn Boshlang

R:=M*Aa-L*Aa;

Aa:=L*Aa+M*Aa;

R:=M*Aa-L*Aa;

Aa:=L*Aa+M*Aa;

Men uchun:=Nn 1 Downto Boshlang

K uchun:=0 To Nn-I-1 Boshlang M:=M+Aa*Aa; Oxiri;

Aa:=(Aa-M)/Aa; Oxiri;

for i:=1 to Nn do x[i]:=Aa;End;

Dastur bo'yicha hisob-kitoblar quyidagi natijalarga olib keldi:

X1 = 1,981 X2 = 0,4735

19-rasm - Givens usuli algoritmi sxemasi (aylanish)

Vazifa variantlari

3-jadval

	Matritsa A				Matritsa A

Bilimlarni nazorat qilish uchun 3-sonli laboratoriya ishi mavzusi nazorat va o'quv dasturi bilan tasvirlangan.

Laboratoriya ishi No 4

Nochiziqli tenglamalar va nochiziqli tenglamalar sistemalarini yechish

Oddiy takrorlash usuli

Laboratoriya ishlarini bajarish tartibi:

Yechimning nolga yaqinligini toping;

f(x) = 0 sistemani x = F(x) ko'rinishga o'tkazing;

Usulning konvergentsiya holatini tekshiring.

Algoritm diagrammasi 20-rasmda ko'rsatilgan.

Misol. Oddiy iteratsiya usuli yordamida tizimni yeching

Nolga yaqinlik sifatida x = 1, y = 2,2, z = 2 nuqtani tanlaymiz. Tizimni shaklga aylantiramiz.

Dastur matni:

TARTIBI Iteraz;

Var I,J,K,J1: Butun son;

X2, X3, Eps: Haqiqiy;

Eps:=0,01; X2:=0,0; K:=1;

J uchun:=1 To Nn Boshlang

I uchun:=1 To Nn Do boshlanadi S:=S+Aa*Xx[i]; Oxiri;

J1 uchun:=1 To Nn Boshlang Xx:=R; Oxiri; X3:=Xx;

I uchun:=1 To Nn Do Boshlang If (Xx[i]>=X3) Keyin X3:=Xx[i]; Oxiri;

I uchun:=1 To Nn Do boshlanishi Xx[i]:=Xx[i]/X3; Oxiri;

X1:=X3; U:=Abs(X2-X1); U1:=U/Abs(X1);

Agar (U1>=Eps) bo'lsa, X2:=X1;

((K>=50) yoki (U1) gacha

Dastur bo'yicha hisob-kitoblar quyidagi natijalarga olib keldi:

X(1)= 1,1132 X(2)= 2,3718 X(3)= 2,1365

Takrorlashlar soni: 5

20-rasm - Oddiy takrorlash usuli algoritmining sxemasi

Nyuton usuli

Dastur o'ndan yuqori bo'lmagan tartibli tizimlarni hal qilish uchun ishlatilishi mumkin.

Kirish parametrlari: n - tizim tenglamalari soni (noma'lumlar soniga to'g'ri keladi), n £ 10; yechimning dastlabki taxminini o'z ichiga olgan n ta haqiqiy sondan iborat x massivi; f - f(n, x, y) tashqi protsedurasining nomi, u x massivining elementlarida joylashgan x berilgan x qiymatlari asosida f funksiyaning joriy qiymatlarini hisoblab chiqadi va ularni y massivning elementlari; g - x massivdan x berilgan x qiymatlaridan matritsa elementlarini hisoblaydigan tashqi protsedura nomi g(n, x, d)
n x n o'lchamli d massivda joylashgan; eps - iterativ jarayonni tugatish shartining qiymati.

Chiqish parametrlari: x - n ta haqiqiy sonli massiv (kirish deb ham ataladi) kichik dasturdan chiqishda yechimning taxminiy qiymatini o'z ichiga oladi; k - takrorlashlar soni.

UDC 519.61: 621.3

V.P. VOLOBOEV*, V.P. KLIMENKO*

Jismoniy ob'ektni ta'riflovchi chiziqli algebraik tenglamalarning SHARTSIZ TIZIMINI YECHISHGA BITTA YONDOSILASI HAQIDA.

Ukraina Milliy Fanlar Akademiyasining Matematik mashinalar va tizimlar muammolari instituti, Kiyev, Ukraina

Abstrakt. Diskret modeli chiziqli algebraik tenglamalar tizimi (SLAR) bilan tavsiflangan jismoniy ob'ektlarni modellashtirish natijalarining ehtimoli matritsaning noto'g'ri dizayni natijasida emas, balki tugun potentsiallari usuli yoki uning analoglari yordamida buklangan darajalar bosqichida minimal SLARni noto'g'ri tanlash va usulning o'zi Bu vazifani to'g'ri belgilash usuliga katta ziddiyatdir SLAR ning to'g'riligini tekshirish usuli, tomonidan tuzilgan. hosil bo'lmagan simmetrik matritsaga ega bo'lgan tugun potensiallari usuli taklif qilingan va uni to'g'ri shaklga aylantirish zarur.

Kalit so'zlar: tizim, modellashtirish, noto'g'ri o'rnatish, noto'g'ri fikrlash, chiziqli algebraik tenglamalar tizimi, tugun potentsiallari usuli, topshiriqni to'g'ri belgilash usuli, to'g'riligini tekshirish.

Izoh. Diskret modeli chiziqli algebraik tenglamalar tizimi (SLAE) bilan tavsiflangan jismoniy ob'ektlarni modellashtirish natijalarining ishonchliligi matritsaning yomon shartliligiga emas, balki SLAE o'zgaruvchilarining noto'g'ri tanlanishiga bog'liqligi ko'rsatilgan. nodal potentsiallar usuli yoki uning analoglari yordamida tenglamalar tuzish bosqichida va usulning o'zi masalani to'g'ri shakllantirish usulining alohida bir holatidir. Nodal potentsiallar usuli bilan tuzilgan, buzuq bo'lmagan va nosimmetrik matritsaga ega bo'lgan SLAE ning to'g'riligini tekshirish va kerak bo'lganda uni to'g'ri shaklga o'tkazish uchun texnika taklif etiladi.

Kalit so'zlar: tizim, modellashtirish, noto'g'ri qo'yilgan masala, noto'g'ri shartlash, chiziqli algebraik tenglamalar tizimi, tugun potentsiallari usuli, masalani to'g'ri shakllantirish usuli, to'g'riligini tekshirish.

Abstrakt. Maqola shuni ko'rsatadiki, diskret modeli chiziqli algebraik tenglamalar tizimi (SLAE) bilan tavsiflangan jismoniy ob'ektlarni simulyatsiya qilish natijalarining ishonchliligi yomon shartli matritsaga emas, balki tenglamalarni yaratish bosqichida o'zgaruvchan SLAE noto'g'ri tanlanganiga bog'liq. tugun potentsial usuli yoki uning analoglari bo'yicha va usul muammoni to'g'ri qo'yish usulining maxsus holatidir. Nosingular va simmetrik matritsaga ega bo'lgan tugun potentsial usuli bilan tuzilgan SLAE ning to'g'riligini tekshirish usuli va agar kerak bo'lsa, uni to'g'ri shaklga aylantirish taklif qilindi.

Kalit so'zlar: tizim, simulyatsiya, noto'g'ri masala, yomon shartli, chiziqli algebraik tenglamalar tizimi, tugun potentsial usuli, masalani to'g'ri qo'yish usuli, to'g'riligini tekshirish.

1.Kirish

Jismoniy (texnik) ob'ektlarni modellashtirishning ko'plab muammolari chiziqli algebraik tenglamalar (SLAE) tizimlarini echish bilan bog'liq. Bunday tizimlarni echishda barcha hisob-kitoblar cheklangan miqdordagi muhim raqamlar bilan amalga oshirilganligi sababli, yaxlitlash xatolari tufayli aniqlik sezilarli darajada yo'qolishi mumkin. Noto'g'ri shartlangan (barqaror) tizim yoki umumiy shaklda noto'g'ri qo'yilgan muammo, kiritilgan ma'lumotlarning ma'lum darajadagi xatolari va hisob-kitoblarning aniqligini hisobga olgan holda, yechimning aniqligini kafolatlamaydigan muammo hisoblanadi. Shart raqami SLAE ni echishda mumkin bo'lgan xatolarning apriori eng yomon bahosi sifatida ishlatiladi. Adabiyotlardan ko'rinib turibdiki, noto'g'ri qo'yilgan masalalarni yechish usullarini ishlab chiqish sof matematik muammo sifatida qaraladi, bunda ko'plab masalalarni sonli yechishga qaramay, fizik (texnik) ob'ektlarning xususiyatlari hisobga olinmaydi. matematik fizika va murakkab fizik jarayonlarni matematik modellashtirish

© Voloboev V.P., Klimenko V.P., 2014 yil

boyqushlar va texnik tizimlar chiziqli algebra muammolarining bitmas-tuganmas manbaidir. Ro'yxatga olingan muammolar sinfi uchun hal qilish usullarini ishlab chiqishda SLAEni tuzish bosqichi hisobga olinmaydi, bunda u yoki bu tarzda muayyan muammoning xususiyatlarini hisobga olish mumkin. Ushbu bosqichni hisobga olish kerakligi quyidagi ishlarning natijalari bilan tasdiqlanadi.

Avvalo, SLAElarni echishda aniqlikni yo'qotish kichik bo'lgan va shartlar sonining qiymati juda katta bo'lgan matritsalarga misollar keltiradigan ishni ta'kidlash kerak, ya'ni umumiy qabul qilingan mezon ekanligi ko'rsatilgan. shart raqami asosida SLAE ni hal qilishning to'g'riligini apriori baholash zarur, ammo etarli emas. Ishlarda nomaqbul muammoni hal qilishda mutlaqo yangi yondashuv taklif etildi. Bu shundan iboratki, SLAEni echishning aniqligini oshirish uchun, hatto shart raqamining katta qiymati bo'lsa ham, jismoniy ob'ektning diskret modelini tavsiflash bosqichida SLAElarni to'g'ri tuzish taklif etiladi. Bu nafaqat ishda aytib o'tilganidek, bunday matritsalar mavjudligini, balki ob'ektning diskret modelini tavsiflovchi SLAE matritsasini to'g'ri tuzish usuli taklif qilinganligini anglatadi. SLAE matritsasini tuzish usuli elektr zanjirlari, energiya tizimlari, mexanikaning rod tizimlari va matematik fizikaning elliptik tenglamalari xatti-harakatlarini modellashtirish muammolari bilan bog'liq holda ko'rib chiqiladi.

Ushbu usulning mohiyati shundaki, mavjud usullardan farqli o'laroq, SLAE ni shakllantirishda fizik ob'ektning diskret modelining parametrlari o'zgaruvchilarning maqsadli tanlovi bilan hisobga olinadi. Shuni ta'kidlash kerakki, usul faqat diskret model topologiyasi grafik bilan ifodalangan ob'ektlarga nisbatan qo'llaniladi.

Ushbu talab elektr zanjiri va quvvat tizimining dizayn modeli bilan qondiriladi. Murakkab fizik jarayonlarni, texnik tizimlarni va matematik fizikani matematik modellashtirishning ko'pgina muammolari uchun diskret model topologiyasini grafik shaklida tasvirlash qo'llanilmaydi. Ishlar shuni ko'rsatadiki, yuqoridagi cheklov jismoniy ob'ektning diskret modelining hisoblash sxemalari elementlarining topologiyasini grafik shaklida ifodalash orqali olib tashlanadi. Elementlar topologiyasini grafik shaklida ifodalash usuli ham mavjud.

Ushbu maqolada biz diskret model topologiyasi grafik ko'rinishida taqdim etilmagan holatlar uchun noto'g'ri qo'yilgan muammoni tuzatish usulini taklif qilamiz. Usulni ishlab chiqishda biz matematik fizika va murakkab fizik jarayonlar va texnik tizimlardagi muammolarning diskret modellarini tavsiflashning umumiy qabul qilingan usuli (tugun potentsial usuli) SLAE matritsasini to'g'ri tuzish usulining alohida holati ekanligini hisobga olamiz. .

2. Ob'ektning diskret modelini tavsiflovchi SLAE yechimining to'g'riligi va tenglamalar tuzish usuli o'rtasidagi bog'liqlik.

Akademik Voevodin V.V. o'z ishida SLAEni Gauss usuli yordamida echish natijalarining eng yuqori aniqligiga asosiy elementni tanlash bilan usuldan foydalanganda erishilganligini ko'rsatdi. Ushbu g'oya asosida juda ko'p asarlar nashr etildi. Biroq, amaliy masalalarni hal qilish shuni ko'rsatdiki, SLAE ni echishning aniqligi, ayniqsa noto'g'ri matritsalar holatida, yaxlitlash xatolari tufayli sezilarli darajada yo'qoladi, ya'ni yechim bosqichida natijalarning aniqligini oshirish uchun bu etarli emas. asosiy elementlarni tanlash bilan Gauss usulidan oddiygina foydalanish.

Ushbu g'oyaning keyingi rivojlanishi ishda taklif qilingan usul bo'lib, unda ob'ektning diskret modelining tavsifini tuzish bosqichida matritsaning diagonal elementlarini asosiylari sifatida shakllantirish taklif etiladi. Buning uchun tavsifni tuzishda qo'shimcha ma'lumotlardan, ya'ni diskret modelning parametrlaridan foydalaniladi. Ushbu yondashuvning samaradorligi, ya'ni diskretni tavsiflovchi SLAE yechimining to'g'riligiga bog'liqligi.

ISSN 1028-9763. Matematik mashinalar va tizimlar, 2014 yil, 4-son

Tenglamalar tuzish usulidan ob'ektning yangi modeli namunaviy misol yordamida ko'rsatiladi. Quyida asosiy elementni tanlamasdan va tanlamasdan tasvirlangan usul va uning yechimi yordamida namunaviy misol tavsifini tuzishni ko'rib chiqamiz.

Namunaviy misol sifatida 1-rasmda ko'rsatilgan elektr sxemasi tanlangan. 1.

Guruch. 1. Elektr zanjiri

Ma'lumki, elektr zanjirini tavsiflovchi SLAE ning shartliligi kontaktlarning zanglashiga olib keladigan tarkibiy qismlarining o'tkazuvchanlik (qarshilik) qiymatlarining tarqalish diapazoniga bog'liq. Elektr zanjirining tarkibiy qismlarining o'tkazuvchanligidagi o'zgarishlarning tanlangan diapazoni, 15 ta buyurtmaga teng, SLAE ning yomon shartliligini va shuning uchun, odatda, muammoning noto'g'riligini ta'minlaydi. 2-tugunning potentsialini (G2 komponentidagi kuchlanish) hisoblash misolidan foydalanib, elektr zanjirining tavsifini tuzishda hisoblash natijalarining ishonchliligi diagonal elementni shakllantirish usuliga bog'liqligi tahlil qilinadi.

Quyida muammoni to'g'ri shakllantirish usulidan foydalangan holda namunaviy misolni hal qilish uchun zarur bo'lgan asosiy qoidalar keltirilgan. Ushbu usul yordamida elektr zanjirining matematik modelini qurish elektr zanjiri tenglamalarining asosiy tizimiga asoslangan bo'lib, u Kirchhoff qonunlari asosida tuzilgan tarkibiy tenglamalar va tenglamalarni o'z ichiga oladi. Model misoli uchun komponent tenglamasi shaklga ega

Bu erda U i - komponentga tushgan kuchlanish, I - komponentdan o'tadigan oqim, Gt - komponentning o'tkazuvchanligi.

Elektr zanjirining grafigini va shunga mos ravishda Kirchhoff qonunlariga asoslangan tenglamalarni tasvirlash uchun kontur va kesmalarning topologik matritsalari qo'llaniladi. O'chirish grafigi elektr davriga to'g'ri keladi. Konturlar va kesimlarning topologik matritsalarini tuzish sxemalar daraxtini tanlash va tanlangan daraxt uchun konturlarni chizishni o'z ichiga oladi. Elektr zanjiri grafigining daraxti shunday tanlanganki, barcha kuchlanish manbalari daraxtga, barcha oqim manbalari esa akkordlarga kiritiladi. O'chirish komponentlarining kuchlanish vektorlari U va I oqimlaridagi elementlar daraxtga (indeks D), ya'ni novdalar va akkordlarga (indeks X) kiritilganlarga guruhlangan, shunday qilib:

Konturlar sxemalar daraxtiga akkordlarni birlashtirish orqali hosil bo'ladi. Ushbu holatda

konturlarning topologik matritsasi shaklga ega

bu yerda 1 - akkordlarning birlik submatritsasi, t

Matritsaning transpozitsiyasini bildiradi va bo'limlarning topologik matritsasi |1 -F ko'rinishda bo'ladi, bu erda 1 - shoxchalarning birlik submatritsasi. dan kelib chiqqan holda, matritsaning diagonal hadlari

ISSN 1028-9763. Matematik mashinalar va tizimlar, 2014 yil, 4-son

zanjirlardagi daraxt tarkibiy qismlarining o'tkazuvchanliklari maksimal o'tkazuvchanlikka ega bo'lgan hollarda asosiy bo'ladi. Topologik matritsalar turini hisobga olgan holda, Kirxgof qonunlari asosida tuzilgan elektron tenglamalarni matritsa shaklida quyidagicha yozish mumkin:

ularning =-g'id, (3)

Tuzilgan tenglamalar tizimining o'zgaruvchilari asosiy tenglamalar tizimini tahlil qilish natijasida komponentlarning kuchlanishlari va / yoki oqimlaridan tanlanadi. Agar daraxt shoxlariga kiritilgan komponentlar o'zgaruvchan kuchlanish sifatida tanlansa, komponent tenglamalari (1) va tenglamalar (3), (4) quyidagi shaklga aylantirilishi mumkin:

Gd U d - F(Gx (- FUd)) = 0.

Quyida biz namunaviy misol uchun tenglamalar kompilyatsiyasini taqdim etamiz. Birinchidan, matritsaning diagonal shartlari asosiy bo'lishi uchun elektr zanjirining tavsifi tuziladi. Ushbu talab daraxtga kiritilgan E1, G6, G3, G2 komponentlar to'plami bilan qondiriladi (1-rasmda daraxt shoxlari qalin chiziq bilan ta'kidlangan). Tanlangan daraxtga komponentlarning quyidagi kuchlanishlari va oqimlari vektorlari mos keladi:

va topologik matritsalar

(6), (7) va o'zgartirilgandan so'ng tarkibiy tenglamalarni hisobga olgan holda (5) tenglama quyidagi ko'rinishga ega:

- (G4 + G5) (G4 + G5) G1 + G2 + G4 + G5

SLAE (8) noto'g'ri, chunki matritsaning xos qiymatlari \= 1,5857864376253, R2 = 5,0E +14+j5,0E +14, A, = 5,0E +14 - j5,0E +14. Tizimni echish natijalarining to'g'riligi tenglamalarni tuzish variantini tanlashga qanday bog'liqligini aniqlash uchun 2-tugunning potentsial Uq ni hisoblash umumiy shaklda amalga oshiriladi:

ISSN 1028-9763. Matematik mashinalar va tizimlar, 2014 yil, 4-son

(g1+g2 +g4 +g5)-

Hisoblash jarayonini tahlil qilishdan (9-11) ko'rinib turibdiki, o'tkazuvchanlik qiymatlaridagi o'zgarishlarning katta diapazoni (15 kattalik buyrug'i) bo'lsa ham, raqamlarni ifodalashning yakuniy aniqligi uchun qat'iy talablar mavjud emas. tenglamalar tuzish va ularni yechishda. Ishonchli natijaga erishish uchun raqamlarni ikkita muhim raqamga ko'rsatish aniqligi bilan SLAE ni kompilyatsiya qilish va echishning hisoblash jarayonini bajarish kifoya.

Shuni ta'kidlash kerakki, SLAE (8) da G+G4+G5I matritsasining ikkinchi qatori (ustun) diagonali elementi qolgan hadlar yig'indisidan sezilarli darajada (15 kattalik tartibida) kattaroqdir.

qatorlar (ustunlar) | G4 + 2G51. Bu shuni anglatadiki, UG = 0 ni qabul qilib, biz SLAEni soddalashtirishimiz mumkin

(8), natijalarning ishonchliligini saqlab qolish. Qo'lda hisoblash davrida bu texnika 2-tugunni 3 bilan birlashtirishga to'g'ri keldi (1-rasm).

Ikkinchi holda (asosiy element sifatida diagonal elementni tanlamasdan) daraxtda Ex, G6, G4, G2 komponentlarini tanlash kifoya (1-rasmda daraxt shoxlari kesilgan chiziqlar bilan belgilangan.

chiziq). Ushbu komponentlardagi kuchlanishning pasayishi nol tugunidan hisoblangan 1, 4, 3, 2 tugun potentsiallariga to'g'ri keladi. Bu shuni anglatadiki, daraxtdagi komponentlarning bunday tanlovi bilan SLAE matritsasini to'g'ri tuzish usuli tugun potentsiallari usuliga to'g'ri keladi. Komponentlarning quyidagi kuchlanishlari va oqimlari vektorlari tanlangan daraxt va akkordlarga mos keladi:

U D = UG UG G4, Ux = G1 UG3 UG G D G ig G4, Ix = G1 IG3 IG

UG G2 G5 ig G2 G5

va topologik matritsalar

(12), (13) va komponentli tenglamalarni hisobga olgan holda (5) tenglama quyidagini oladi

ISSN 1028-9763. Matematik mashinalar va tizimlar, 2014 yil, 4-son

G5 + G6 -G5 0 UG G6 0

G5 G3 + G4 + G5 -G3 Uo. = 0

0 - G3 G1 + G2 + G3 Uo2 G1E1

(14) tenglamalar tizimi noto'g'ri, chunki u matritsaning quyidagi xos qiymatlariga ega: 1 = 1,0,1 =1015 +u1015,1 =1015-/1015. Misolning birinchi versiyasida bo'lgani kabi, 2-tugunning potentsial UG umumiy shaklda hisoblanadi:

(G + G + G) -----------

V 3 4 U (G + G)

+ (G1 + G2 + G3)

3 4 5" (G5 + G6)

Tenglamalar tizimini (15-17) yechishning hisoblash jarayonini tahlil qilishdan kelib chiqadiki, natijalarning ishonchliligi tenglamalarni tuzishda ham, yechishda ham raqamlarni ifodalashning yakuniy aniqligiga bog'liq. Shunday qilib, agar tizimni (15-17) echishning hisoblash jarayoni 15 ta muhim raqamdan kam aniqlik bilan bajarilsa, natija quyidagicha bo'ladi.

1015 +1015 ~ o,

va aniqlik 15 dan ortiq muhim raqamlar bo'lsa, u bo'ladi

1030 + 2*1015 +1030 + %+ 3/1015)

(8) va (14) matritsalarni, shuningdek, tenglamalar tizimini echish uchun hisoblash jarayonlarini taqqoslashdan quyidagi xulosalar kelib chiqadi.

Tugun potentsiallari usuli - da taklif qilingan usulning alohida holati, ya'ni tugun potentsiallari usulida asosiy tugunni qolganlari bilan bog'laydigan grafik qirralari doimo daraxtga tanlanadi.

Matritsaning diagonal elementlari, matritsa maksimal diagonallarni tanlagan holda yoki tanlamasdan tuzilganligidan qat'i nazar, satrlar va ustunlardagi boshqa elementlarga qaraganda modul jihatidan kattaroqdir. Farqi shundaki, diagonal elementlar diagonal bo'lmaganlarga qaraganda qanchalik katta. Bu shuni anglatadiki, ushbu turdagi SLAEni Gauss usuli yordamida asosiy elementni tanlash bilan hal qilish ushbu sinf muammolari uchun natijalarning aniqligini oshirmaydi.

ISSN 1028-9763. Matematik mashinalar va tizimlar, 2014 yil, 4-son

Gauss yechimida ishlatiladigan muhim raqamlarning yakuniy soni sezilarli darajada matritsa maksimal diagonal elementlar bilan yoki tanlanmasdan tuzilganligiga bog'liq. Muammoning bir versiyasidan boshqasi o'rtasidagi farq faqat tenglamalarni tuzish bosqichida, bir holatda maksimal o'tkazuvchanlikka ega bo'lgan komponent daraxtga tanlanadi va shuning uchun ushbu komponentning kuchlanishi SLAEda o'zgaruvchan rolni bajaradi. Ushbu komponentning o'tkazuvchanligi faqat matritsaning diagonal elementini shakllantirishda ishtirok etadi. Boshqa holatda, bu komponent akkordlarga tushadi. (3) tenglamadan kelib chiqqan holda, komponent kuchlanishi daraxt komponentlarining kuchlanishi orqali aniqlanadi. (4) tenglamadan kelib chiqadiki, komponentning o'tkazuvchanligi qatorlar va ustunlar elementlarini shakllantirishda ishtirok etadi va shuning uchun akkordning o'tkazuvchanligi ushbu matritsa elementlarining o'lchamini belgilaydi.

3. Nodal potentsiallar usuli bilan tuzilgan SLAE matritsasini to'g'ri formulaga mos keladigan shaklga aylantirish.

Matematik fizika masalalarini sonli yechishda va murakkab fizik jarayonlarni va texnik tizimlarni matematik modellashtirishda ushbu masalalarning diskret modellarini tavsiflovchi SLAElarni tuzishda asosan tugun potentsiallari yoki uning analoglari usuli qo'llaniladi. Ushbu usulning o'ziga xos xususiyati shundaki, SLAE o'zgaruvchilari sifatida asosiy tugundan qolgan tugunlargacha hisoblangan diskret modelning dizayn sxemasining potentsiallari, tenglamalarni tuzishning oddiy algoritmi va SLAE ning zaif to'ldirilgan matritsasi ishlatiladi. Bunday samaradorlik uchun narx vazifaning noto'g'ri bo'lishi mumkin. Tugun potentsiallari usuli muammoni to'g'ri qo'yish usulining variantlaridan biri ekanligini hisobga olsak, noto'g'ri qo'yilgan muammoni matritsa konvertatsiyasini qo'llash orqali tuzatish mumkin. Quyida tugun potentsiallari usuli bilan noto'g'ri tuzilgan masalani o'zgartirish algoritmini ko'rib chiqamiz.

Jismoniy ob'ektlarning barcha xilma-xilligidan faqat chiziqli diskret modeli buzuq bo'lmagan va simmetrik matritsaga ega SLAE tomonidan tasvirlangan ob'ektlar ko'rib chiqiladi.

3.1. Matritsani o'zgartirish algoritmi

Matritsani o'zgartirish algoritmini ishlab chiqishda matritsaning i-qatorining j-diagonal bo'lmagan elementi minus belgisi bilan matritsaga kiritilganligi va ulanishni tavsiflovchi diskret model parametrini o'z ichiga olganligidan foydalaniladi. diskret modelning i-chi va j-chi tugunlari orasida. Diagonal element musbat belgili matritsaga kiritilgan, diagonal bo'lmagan elementlarning yig'indisini va i-tugun va tayanch o'rtasidagi aloqani tavsiflovchi diskret model parametrini o'z ichiga oladi. Odatda, diskret modelning tugunlarini raqamlashda asosiy tugun nolga teng deb hisoblanadi.

Yuqorida o'tkazilgan tadqiqotdan kelib chiqqan holda, tuzilgan SLAE darajasidagi muammoning noto'g'riligi, agar chiziqning diagonal bo'lmagan elementlaridan kamida bittasi faqat kiritilgan diskret model parametridan sezilarli darajada katta bo'lsa paydo bo'ladi. diagonal elementda. Quyida tuzilgan SLAE to'g'riligini tekshirish metodologiyasi keltirilgan.

SLAE formaga ega bo'lsin

Bu erda x - tugun potentsiallari vektori (tugun ta'siri), y - tashqi oqimlar vektori, A - shakldagi matritsa.

ISSN 1028-9763. Matematik mashinalar va tizimlar, 2014 yil, 4-son

a11 a1i a1j a1n

aí1 a,í aj ain , (21)

aJ1 an1 ai aJJ ann

bu erda n - matritsa o'lchami. Matritsa elementlari quyidagi talablarga javob beradi:

ai > 0, a.< 0, а. = а]г,1 < i < n, 1 < j < n при j Ф і. (22)

Quyida matritsaning i-qatorining to'g'riligini tekshirish va kerak bo'lganda uni tuzatishni ko'rib chiqamiz.

Avvalo, matritsaning i-qatorining diagonal elementiga kiritilgan diskret model parametri aniqlanadi,

Agar parametr shartni qondirsa, matritsaning i qatori to'g'ri tuzilgan deb hisoblanadi.

1 < j < n, при j Ф і.

Agar shart (24) bajarilmasa, i-qator o'rnatiladi. Birinchidan, diagonal bo'lmagan elementlarning eng kattasi tanlanadi. Bu i - qatorning j - elementi bo'lsin. Matritsa tarkibining o'ziga xosligi (shart (22)) tufayli, elementlarning shakllanishida ishtirok etuvchi diskret modelning parametrini tekshirish oson. va i-chi va j-chi qatorlarning a.^ aii va a elementlariga ajralmas qism sifatida kiritiladi. . I-qatorni sozlashning mohiyati matritsaning i-chi va j-chi qatorlarini elementning qiymati a ga teng boʻladigan tarzda oʻzgartirishdan iborat. faqat aii elementiga kiritilgan. Buni ko'rish oson, xi o'zgaruvchisini shaklda ifodalaydi

X = xj + xj (25)

va SLAE matritsasining j-ustunining elementlarini quyidagi o'zgartirishni amalga oshirish

o = ai. + ai, 1< 1 < n , (26)

matritsaning yangi j-ustunini olamiz, unda o'zgartirilgan elementlar a. va a. a elementlarini tashkil etgan diskret modelning parametrini o'z ichiga olmaydi. va a. .

Keyingi qadam formuladan foydalanib j-qatorni o'zgartirishdir

aji = a.i + aii, 1< l < n . (27)

O'zgartirilgan j-stringning a i elementlari endi a i elementiga mos keladigan diskret model parametrini o'z ichiga olmaydi.

ISSN 1028-9763. Matematik mashinalar va tizimlar, 2014 yil, 4-son

SLAE matritsasining to'g'riligini tekshirish va noto'g'ri qatorlarni tuzatish butun matritsa uchun amalga oshiriladi. Ushbu ishda faqat matritsani to'g'ri shaklga o'tkazish algoritmini qurish yondashuvi ko'rib chiqiladi. Ushbu ishda matritsani to'g'ri shaklga o'tkazishning samarali algoritmini ishlab chiqish bilan bog'liq masalalar ko'rib chiqilmaydi. Quyida tugun potentsiallari usuli bilan tuzilgan SLAE matritsasini (14) o'zgartirishga misol keltiramiz.

3.2. Namoyish namunasi

Avvalo shuni ta'kidlash kerakki, matritsa (14) simmetrik va degenerativ emas. Matritsa koeffitsientlari (22) shartni qondiradi. Nodal potentsiallar komponentlardagi kuchlanishning pasayishiga mos keladi

U4 = UG^, U3 = UG, U2 = UG

(28) ni hisobga olgan holda SLAE (14) quyidagicha ifodalanishi mumkin:

G5 + G6 - G5 0 U 4 0

G5 G3 + G4 + G5 - G3 U3 = 0

0 - G3 G + G2 + G3 U2 GA

Matritsaning to'g'riligini tekshirish quyidagi amallarni o'z ichiga oladi.

Faqatgina kiritilgan diskret model parametrini formula (23) bo'yicha aniqlash

diagonal elementga aylanadi. Matritsaning birinchi qatori uchun u G6, ikkinchi qator uchun G4 va uchinchisi uchun - (Gl + G2) bo'ladi.

Matritsa qatorlarini to'g'riligini tekshirish (24) formulaga muvofiq amalga oshiriladi. Ushbu tekshirish natijasida ikkinchi qator to'g'rilik talabiga javob bermasligi ma'lum bo'ldi, chunki (G4 = 1) ^ (G3 = 1015) . G3 parametri matritsaning uchinchi qatoriga ham kiritilgan, shuning uchun (25) formulaga muvofiq, U3 o'zgaruvchisining ko'rinishi shaklda tanlanadi.

U3 = U2 + U23, (30)

3-ustun elementlarini (26) formulaga muvofiq o'zgartirish natijasida quyidagi shakldagi (29) matritsani olamiz:

G5 + G6 - G5 - G5

G5 g3 + g4 + g5 g4+g5

va uchinchi qatorni o'zgartirgandan so'ng, (27) formulaga muvofiq, matritsa (31) shaklga ega bo'ladi.

(G5 + G6) - G5 - g5 U 4 0

G5 (G3 + G4 + G) (G4 + G5) U 23 = 0. (32)

G5 (G4 + g5) (G + G2 + G4+g5) U2 G E

SLAE (32) to'g'rilik talabini qondiradi, shuning uchun sozlash tugallangan deb hisoblanadi. SLAE o'zgaruvchilari (32) SLAE o'zgaruvchilariga (8) mos keladi, ya'ni

ISSN 1028-9763. Matematik mashinalar va tizimlar, 2014 yil, 4-son

Daraxtga aylantirish natijasida muammoni to'g'ri shakllantirish usulida bo'lgani kabi bir xil komponentlar tanlangan. SLAE (8) va (32) ni solishtirganda, ikkinchi ustun va ikkinchi qatordagi (32) matritsaning diagonal bo'lmagan elementlari (8) matritsadan ishorasi bilan farq qiladi. Bu matritsani (14) o'zgartirganda, G3 komponentining oqimining yo'nalishi SLAE (8) ni tuzishda tanlangan yo'nalishga qarama-qarshi tanlanganligi natijasidir. U23 o'zgaruvchisini U23 = -U23 bilan almashtirib, ikkinchi tenglamadagi elementlarning belgilarini teskari tomonga o'zgartirib, (8) matritsani olamiz.

4. Xulosa

Modellashtirish insoniyatning intellektual faoliyatining ajralmas qismiga aylandi va modellashtirish natijalarining ishonchliligi modellashtirish natijalarini baholashning asosiy mezoni hisoblanadi. Natijalarning ishonchliligini ta'minlash uchun murakkab ob'ektlar va ularning echimlarini tavsiflash usullari va algoritmlarini ishlab chiqishda yangi yondashuvlar talab etiladi.

Noto'g'ri qo'yilgan muammolarni hal qilish usullarini ishlab chiqishda mavjud yondashuvdan farqli o'laroq, ushbu maqola noto'g'ri qo'yilgan (shartli) muammoni to'g'ri shaklga keltirishni taklif qiladi. Jismoniy ob'ektlarning diskret modellarini tavsiflovchi SLAE ni echishda ishonchli natijalarga erishishni qiyinlashtiradigan matritsaning yomon shartliligi emas, balki tenglamalarni tuzish bosqichida SLAE o'zgaruvchilarini noto'g'ri tanlash va tugun usuli. Diskret modelni tavsiflovchi SLAElarni kompilyatsiya qilish uchun foydalaniladigan potentsiallar va uning analoglari muammoni to'g'ri shakllantirish usulining alohida holatidir. SLAE matritsasi nosingular va nosimmetrik bo'lgan holatlar uchun nodal potentsiallar usuli bilan tuzilgan SLAE ning to'g'riligini tekshirish usuli taklif etiladi. Matritsani to'g'ri shaklga o'tkazish algoritmi ko'rib chiqiladi.

ADABIYOTLAR RO'YXATI

1. Kalitkin N.N. Chiziqli algebraik tenglamalar tizimlari uchun miqdoriy shartlilik mezoni / N.N. Kalitkin, L.F. Yuxno, L.V. Kuzmina // Matematik modellashtirish. - 2011. T. 23, No 2. - B. 3 - 26.

2. Voloboev V.P. Murakkab tizimlarni modellashtirishga bir yondashuv haqida / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Matematik mashinalar va tizimlar. - 2008. - No 4. - B. 111 - 122.

3. Voloboev V.P. Energiya tizimlarini modellashtirishga bir yondashuv haqida / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Matematik mashinalar va tizimlar. - 2009. - No 4. - B. 106 - 118.

4. Voloboev V.P. Rodli tizimlar mexanikasi va grafiklar nazariyasi / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Matematik mashinalar va tizimlar. - 2012. - No 2. - B. 81 - 96.

5. Voloboev V.P. Chekli elementlar usuli va grafiklar nazariyasi / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Matematik mashinalar va tizimlar. - 2013. - No 4. - B. 114 - 126.

6. Puxov G.E. Matematik mashinalar nazariyasining tanlangan savollari / Puxov G.E. - Kiev: Ukraina SSR Fanlar akademiyasining nashriyoti, 1964. - 264 p.

7. Seshu S. Chiziqli grafiklar va elektr zanjirlari / S. Seshu, M.B. Reid. - M.: Oliy maktab, 1971. - 448 b.

8. Zenkevich O. Chekli elementlar va yaqinlashish / O. Zenkevich, K. Morgan. - M.: Mir, 1986. -318 b.

9. Voevodin V.V. Chiziqli algebraning hisoblash asoslari / Voevodin V.V. - M.: Nauka, 1977. -304 b.

10. Elektrotexnikaning nazariy asoslari: universitetlar uchun darslik / K.S. Demirchyan, L.R. Neyman, N.V. Korovkin, V.L. Chechurin. - . - Piter, 2003. - T. 2. - 572 p.

Chiziqli algebraik tenglamalarning noto'g'ri shartli deb ataladigan tizimlarini echish qanday qiyinchiliklar bilan bog'liqligi ma'lum: bunday tizimlarning o'ng tomonidagi kichik o'zgarishlar yechimdagi katta (qabul qilinadigan chegaralardan tashqari) o'zgarishlarga mos kelishi mumkin.

Tenglamalar tizimini ko'rib chiqing

Az=u, (3; 2,1)

Qayerda A -- a ij elementlari bilan matritsa , A=(a ij ), z -- z j koordinatali kerakli vektor , z=(z j ), Va -- koordinatali ma'lum vektor Va i ,u= (u i ), i, j =1, 2, ..., P. Tizim (3; 2,1) deyiladi degeneratsiya, sistemaning determinanti nolga teng bo'lsa, detA = 0. Bu holda matritsa A nol xos qiymatlarga ega. Ushbu turdagi yomon shartli tizimlar uchun matritsa A nolga yaqin xos qiymatlarga ega.

Agar hisob-kitoblar cheklangan aniqlik bilan amalga oshirilsa, ba'zi hollarda berilgan tenglamalar tizimining buzilgan yoki yomon shartli ekanligini aniqlash mumkin emas. Shunday qilib, noto'g'ri va degeneratsiyalangan tizimlar ma'lum bir aniqlikda farqlanmasligi mumkin. Shubhasiz, bu holat matritsa bo'lgan hollarda sodir bo'ladi A nolga juda yaqin xos qiymatlarga ega.

Amaliy masalalarda o'ng tomon ko'pincha Va va matritsa elementlari A, ya'ni tizimning koeffitsientlari (3; 2,1) taxminan ma'lum. Bunday hollarda tizim o'rniga (3;2,1) Biz boshqa Az= tizimi bilan ishlayapmiz Va shundayki ||A-A||<=h, ||u-u||<=--d, где смысл норм обычно определяется характером задачи. Имея вместо матрицы A A matritsasi, biz tizimning degeneratsiyasi yoki degeneratsiyasi haqida aniq xulosa chiqara olmaymiz (3; 2.1).

Bunday hollarda, aniq tizim haqida Az=u, uning yechimi aniqlanishi kerak, biz faqat matritsa uchun buni bilamiz A va o'ng tomoni Va tengsizliklar ||A-A||<=h, ||u-u||<=--d. Но систем с такими исходными данными (Ah, va) cheksiz ko'p va bizga ma'lum bo'lgan xato darajasida ularni ajratib bo'lmaydi. Chunki aniq tizim o'rniga (3; 2.1) bizda taxminiy tizim mavjud Az= va, unda biz faqat taxminiy yechim topish haqida gapirishimiz mumkin. Ammo taxminiy tizim Az=u erimaydigan bo'lishi mumkin. Savol tug'iladi:

tasvirlangan vaziyatda (3; 2.1) tizimning taxminiy yechimi deganda nimani tushunish kerak?

"Mumkin bo'lgan aniq tizimlar" orasida degenerativ tizimlar ham bo'lishi mumkin. Agar ular echilishi mumkin bo'lsa, unda ular cheksiz ko'p echimlarga ega. Ulardan qaysi biri taxminiy topilma haqida gapirishimiz kerak?

Shunday qilib, ko'p hollarda biz bir-biridan ajralib bo'lmaydigan (ma'lum bir xato darajasida) tenglamalar tizimining butun sinfini ko'rib chiqishimiz kerak, ular orasida buzuq va hal etilmaydigan bo'lishi mumkin. Ushbu sinf tizimlarining taxminiy yechimlarini qurish usullari bir xil va umumiy bo'lishi kerak. Ushbu echimlar dastlabki ma'lumotlardagi kichik o'zgarishlarga chidamli bo'lishi kerak (3; 2.1).

Bunday usullarni qurish "tanlash" g'oyasiga asoslanadi. Tanlash muammo bayoniga kiritilgan maxsus, oldindan ko'rsatilgan W[ z ] funksiyalari yordamida amalga oshirilishi mumkin.

F dagi F ning hamma joyda zich joylashgan F 1 kichik to‘plamida aniqlangan manfiy bo‘lmagan funksional W[ z ] deyiladi. barqarorlashtiruvchi funksionallik, Agar:

• a) z T elementi uning aniqlanish sohasiga tegishli;
• b) ixtiyoriy d>0 son uchun F 1,d elementlar to'plami, bular uchun F 1 dan
• W[z]

Shunday qilib, chiziqli algebraik tenglamalarning ixtiyoriy tizimini (qisqasi, SLAE) ko'rib chiqaylik.

Az =u, (3; 2,2)

bunda z va u vektorlar, z=(z 1, z 2, ...,z n)-OR n, Va=(u 1 , u 2 , ... ,u n)--OR m , A-- a ij elementlari bilan matritsa , A= (a ij ), bu yerda j =1, 2, ..., n; i= 1, 2, ..., T, va raqam P soniga teng bo'lishi shart emas T.

Ushbu tizim noyob tarzda echilishi mumkin, degeneratsiyalangan (va cheksiz ko'p echimlarga ega) va echib bo'lmaydigan bo'lishi mumkin.

Pseudo-yechim sistema (3; 2,2) nomuvofiqlikni minimallashtiruvchi z vektori || deb ataladi Az - u || butun fazoda Rn. Tizim (3; 2,2) bir nechta psevdo-yechimga ega bo'lishi mumkin. F A uning barcha psevdosolyutsiyalari to‘plami va z 1 dan qandaydir o‘zgarmas vektor bo‘lsin. Rn, odatda muammoning bayoni bilan belgilanadi.

Vektorga nisbatan normal(3;2,2) sistemaning z 1 yechimi minimal normaga ega z 0 psevdoyechim deb ataladi || z - z 1 ||, ya'ni shunday

|| z 0 - z 1 || =

Bu yerga. Belgilanishning soddaligi uchun z 1 = 0 va z 1 = 0 vektoriga normal yechim oddiygina deyiladi deb faraz qilamiz. normal yechim.

(3; 2,2) shakldagi har qanday sistema uchun normal yechim mavjud va yagonadir.

Izoh 1. (3;2,2) sistemaning z° normal yechimini z--z 1 vektorining koordinatalariga nisbatan berilgan musbat aniq kvadratik shaklni minimallashtiruvchi psevdoyechim sifatida ham aniqlash mumkin. Quyida keltirilgan barcha natijalar o'z kuchida qoladi.

Izoh 2. Matritsaning darajasi bo'lsin A degeneratsiya tizimi (3; 2,1) r ga teng < n va z r+1 ,z r+2 , … , z n – chiziqli fazoning asosi N A , z elementlaridan iborat bo'lib, ular uchun Az=0, N A = ( z; Az= 0). n--r ortogonallik shartlarini qanoatlantiruvchi (3; 2,1) sistemaning z° yechimi

(z 0 - z 1 , z S)= 0, S= r + 1, r + 2, .. ,n, (3; 2,3)

yagona aniqlanadi va oddiy yechim bilan mos keladi.

(3; 2,2) tizimning normal yechimini topish muammosi noto'g'ri qo'yilganligini ko'rish oson. Aslida, ruxsat bering A -- simmetrik matritsa. Agar u degenerativ bo'lmasa, u holda ortogonal transformatsiya bilan

z = Vz*, u = Vu*

uni diagonal shaklga keltirilishi mumkin va o'zgartirilgan tizim shaklga ega bo'ladi

l i z i *=u i * , i= 1, 2,. .., P,

bu yerda l i matritsaning xos qiymatlari A.

Agar simmetrik matritsa bo'lsa A -- degenerativ emas va r darajasiga ega, keyin uning xos qiymatlarining n - r nolga teng. Mayli

i=1, 2, ..., r uchun l i №0;

i=r+1,r+2, …, n uchun l i =0.

Biz (3; 2,2) sistemani yechish mumkin deb hisoblaymiz. Bunda i =r + 1, ..., n uchun u i *= 0.

Tizimning "dastlabki ma'lumotlari" bo'lsin (A Va Va) xato bilan ko'rsatilgan, ya'ni o'rniga A Va Va ularning taxminiy ma'lumotlari keltirilgan A Va u:

|| A - A ||<=h, ||u - u||<=d . При этом

Mayli -- matritsaning xos qiymatlari A. Ma'lumki, ular doimiy ravishda normada A ga bog'liq (3; 2.4). Binobarin, xos qiymatlar l r+1 , l r+2 , …,l n etarlicha kichik h uchun o'zboshimchalik bilan kichik bo'lishi mumkin .

Agar ular nolga teng bo'lmasa, u holda

Shunday qilib, har qanday etarlicha kichik xato ichida tizimning buzilishi bo'ladi A Va Va, buning uchun ba'zi z i * har qanday oldindan belgilangan qiymatlarni oladi. Demak (3; 2,2) sistemaning normal yechimini topish muammosi beqaror.

Quyida tizimning normal yechimini topish usulining tavsifi berilgan (3; 2.2), barqarordan kichikgacha (normada (3; 2.4)) o'ng tarafdagi buzilishlar. Va, tartibga solish usuliga asoslanadi.

Majburiy vektor

Agar bo'lsa, (1) tizim yomon shartli deb ataladi. Bunday holda, matritsa koeffitsientlari va o'ng tomondagi xatolar yoki hisob-kitoblardagi yaxlitlash xatolar yechimni katta darajada buzishi mumkin.

Ko'pgina masalalarni yechishda tizimning o'ng tomoni (1) va A matritsaning koeffitsientlari taxminan ma'lum. Bunday holda, aniq tizim (1) o'rniga bizda boshqa tizim mavjud

shu kabi

Biz va d qiymatlari ma'lum deb taxmin qilamiz.

Tizim (1) o'rniga bizda (2) tizim mavjud bo'lganligi sababli, biz (1) tizimning faqat taxminiy yechimini topa olamiz. Tizimning (1) taxminiy yechimini qurish usuli dastlabki ma'lumotlardagi kichik o'zgarishlarga barqaror bo'lishi kerak.

(1) tizimning psevdosolyutsiyasi butun fazodagi tafovutni minimallashtiradigan vektordir.

X 1 dan qandaydir o'zgarmas vektor bo'lsin, odatda muammo bayonoti bilan aniqlanadi.

(1) sistemaning x 1 vektoriga nisbatan normal yechimi minimal normaga ega x 0 psevdoyechimdir, ya'ni

Bu erda F - (1) tizimning barcha psevdo-yechimlari to'plami.

Bundan tashqari

bu yerda ¾ - x vektorining komponentlari.

(1) turdagi har qanday tizim uchun oddiy yechim mavjud va yagonadir. Noto'g'ri shartli tizimning normal echimini topish muammosi (1) noto'g'ri qo'yilgan.

(1) tizimning taxminiy normal yechimini topish uchun biz tartibga solish usulidan foydalanamiz.

Ushbu usulga ko'ra, biz shaklning tekislash funktsiyasini quramiz

va bu funktsiyani minimallashtiruvchi vektorni toping. Bundan tashqari, tartibga solish parametri a shartdan alohida aniqlanadi

Qayerda .

Degeneratsiyalangan va yomon konditsioner tizimlar ma'lum bir aniqlikda farqlanmasligi mumkin. Ammo (1) tizimning echilishi haqida ma'lumot mavjud bo'lsa, u holda (5) shart o'rniga quyidagi shart qo'llanilishi kerak:

Komponentlar vektorlar chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining yechimlari bo‘lib, u funktsiyaning (4) minimal shartidan olinadi.

va o'xshaydi

bu erda E - identifikatsiya matritsasi,

¾Hermit konjugat matritsasi.

Amalda vektorni tanlash qo'shimcha mulohazalarni talab qiladi. Agar ular mavjud bo'lmasa, = 0 deb faraz qiling.

=0 uchun sistema (7) ni shaklda yozamiz

Qayerda

Topilgan vektor (1) sistemaning taxminiy normal yechimi bo'ladi.

Keling, a parametrini tanlashga e'tibor qarataylik. Agar a=0 bo'lsa, (7) sistema yomon shartli sistemaga aylanadi. Agar a katta bo'lsa, u holda tizim (7) yaxshi konditsioner bo'ladi, lekin tartibga solingan yechim (1) tizimning kerakli yechimiga yaqin bo'lmaydi. Shuning uchun, juda katta yoki juda kichik a mos emas.

Odatda amalda hisob-kitoblar a parametrining bir qator qiymatlari bilan amalga oshiriladi. Masalan,

a ning har bir qiymati uchun funktsiyani (4) minimallashtiruvchi elementni toping. Regulyatsiya parametrining kerakli qiymati kerakli aniqlik bilan tenglik (5) yoki (6) qondiriladigan a soni sifatida qabul qilinadi.

III. MASHQ

1. Qiymati 10 -6 ga teng bo'lgan aniqlovchisi uchta noma'lumli uchta tenglamadan iborat chiziqli algebraik tenglamalar tizimini tuzing.

2. Birinchisiga o'xshash, lekin birinchi tizimning erkin shartlaridan 0,00006 ga farq qiladigan boshqa bepul shartlarga ega bo'lgan ikkinchi tizimni tuzing.

3. Tuzilgan sistemalarni regulyarlash usuli (=0 va d=10 -4 deb faraz qilgan holda) va boshqa usul (masalan, Gauss usuli) yordamida yeching.

4. Olingan natijalarni solishtiring va qo'llaniladigan usullarning qo'llanilishi haqida xulosa chiqaring.

IV. HISOBOTNI TUZILIShI

Hisobotda quyidagilar ko'rsatilishi kerak:

1. Asarning nomi.

2. Muammoning bayoni.

3. Yechim algoritmi (usul) tavsifi.

4. Dasturning tavsifi bilan matni.

5. Dastur natijalari.

BIBLIOGRAFIK RO'YXAT

1. Tixonov A.N., Arsenin V.Ya. Noto'g'ri muammolarni hal qilish usullari. - M.: Nauka, 1979. 286 b.

2. Baxvalov N.S., Jidkov N.P., Kobelkov G.M. Raqamli usullar. - M.: BINOM. Bilimlar laboratoriyasi, 2007 636 bet.

23-son laboratoriya ishi

8.2.3. Degeneratsiyalangan va yomon konditsioner tizimlar

Keling, MxN o'lchamdagi A kvadrat matritsa bilan yana SLAE Ax=b ga qaytaylik, bu yuqorida ko'rib chiqilgan "yaxshi" holatdan farqli o'laroq (8-bo'limga qarang. D), alohida yondashuvni talab qiladi. Keling, ikkita o'xshash SLAE turiga e'tibor qarataylik:

• degeneratsiya tizimi (nol determinant bilan |A|=0);
• yomon shartlangan tizim (A determinanti nolga teng emas, lekin shart raqami juda katta).

Ushbu turdagi tenglamalar tizimlari bir-biridan sezilarli darajada farq qilishiga qaramay (birinchisida hech qanday yechim yo'q, ikkinchisi uchun faqat bitta), kompyuterning amaliy nuqtai nazaridan, o'rtasida umumiylik juda ko'p. ular.

Degeneratsiyalangan SLAE

Degenerativ tizim - nol determinantli |A|=0 (singular matritsa) bo'lgan matritsa bilan tavsiflangan tizim. Bunday tizimga kiritilgan ba'zi tenglamalar boshqa tenglamalarning chiziqli birikmasi bilan ifodalanganligi sababli, aslida tizimning o'zi aniqlanmagan. O'ng tomondagi b vektorining o'ziga xos turiga qarab, cheksiz ko'p echim bor yoki umuman yo'qligini tushunish oson. Birinchi variant oddiy psevdo-yechimni qurishga to'g'ri keladi (ya'ni, cheksiz echimlar to'plamidan ma'lum, masalan, nolga, vektorga eng yaqin bo'lganini tanlash). Ushbu masala bo'limda batafsil muhokama qilindi. 8.2.2 (8.11-8.13 ro'yxatlarga qarang).

Guruch. 8.7. Singular matritsali ikkita tenglamaning mos kelmaydigan tizimining grafik tasviri

SLAE Ax=b yagona kvadrat matritsali A ning yagona yechimi bo'lmagan ikkinchi holatni ko'rib chiqamiz. Bunday muammoning misoli (ikki tenglama tizimi uchun) rasmda ko'rsatilgan. 8.7, uning yuqori qismida A matritsasi va b vektori kiritiladi va tizimni ajratish funktsiyasidan foydalangan holda echishga harakat qilinadi (muvaffaqiyatsiz, chunki A matritsa birlikdir). Rasmning asosiy qismini egallagan grafik shuni ko'rsatadiki, tizimni aniqlaydigan ikkita tenglama tekislikda (x0,xi) ikkita parallel chiziqni aniqlaydi. Chiziqlar koordinata tekisligining biron bir nuqtasida kesishmaydi va shunga mos ravishda tizimning echimi yo'q.

ESLATMA

Birinchidan, 2x2 o'lchamdagi yagona bo'lmagan kvadrat matritsa bilan aniqlangan SLAE tekislikdagi kesishuvchi chiziqlar juftligini aniqlashiga e'tibor bering (quyida 8.9-rasmga qarang). Ikkinchidan, shuni aytish kerakki, agar tizim izchil bo'lsa, unda tenglamalarning geometrik tasviri cheksiz miqdordagi echimlarni tavsiflovchi ikkita mos keladigan chiziq bo'lar edi.

Guruch. 8.8. Qoldiq funksiya f (x) = |Ax-b| kesmalari grafigi

Ko'rib chiqilayotgan yagona holatda tizimning psevdo-yechimlari |Ax-b| , cheksiz ko'p bo'ladi va ular rasmda ko'rsatilgan ikkitaga parallel ravishda uchinchi to'g'ri chiziqda yotadi. 8.7 va ular orasidagi o'rtada joylashgan. Bu rasmda ko'rsatilgan. 8.8, f(x) = = | funksiyaning bir necha bo'limlarini ko'rsatadi Ax-b | , bu bir xil chuqurlikdagi minimallar oilasining mavjudligini ko'rsatadi. Agar siz ularni topish uchun o'rnatilgan Minimizatsiya funktsiyasidan foydalanmoqchi bo'lsangiz, uning raqamli usuli har doim ko'rsatilgan chiziqning istalgan nuqtasini topadi (boshlang'ich shartlarga qarab). Shuning uchun, yagona yechimni aniqlash uchun barcha psevdo-yechimlar to'plamidan eng kichik normaga ega bo'lganini tanlash kerak. Siz Mathcad-da ushbu ko'p o'lchovli minimallashtirish muammosini o'rnatilgan Minimizatsiya funktsiyalari kombinatsiyasidan foydalangan holda shakllantirishga urinib ko'rishingiz mumkin, ammo undan samaraliroq usul - tartibga solish (pastga qarang) yoki ortogonal matritsalarni parchalash (8.3-bo'limga qarang).

Noto'g'ri konditsioner tizimlar

Noto'g'ri shartlangan sistema - determinant A nolga teng bo'lmagan, lekin shart raqami |A -1 | |A| juda katta. Noto'g'ri konditsioner tizimlar o'ziga xos echimga ega bo'lishiga qaramay, amalda ko'pincha bu yechimni izlash mantiqiy emas. Ikkita aniq misollar yordamida yomon shartli SLAE xususiyatlarini ko'rib chiqaylik (8.14-ro'yxat).

Ro'yxat 8.14. Ikki yaqin yomon shartli SLAE ning yechimi

8.14 ro'yxatining har bir satri ikkita juda yaqin yomon shartli SLAE ning yechimini o'z ichiga oladi (bir xil o'ng tomoni b va bir oz boshqacha A matritsalari bilan). Ularning yaqinligiga qaramay, ushbu tizimlarning aniq echimlari bir-biridan juda uzoqda bo'lib chiqadi. Shuni ta'kidlash kerakki, ikkita tenglamalar tizimi uchun aniq echimni olish oson, ammo yuqori o'lchamli SLAE ni echishda hisob-kitoblar paytida muqarrar ravishda to'planadigan kichik yaxlitlash xatolari (shu jumladan "aniq" Gauss algoritmi bo'yicha) katta xatolarga olib keladi. natijada. Savol tug'iladi: agar muammoning o'zi beqarorligi tufayli u butunlay noto'g'ri bo'lib chiqishi mumkinligi oldindan ma'lum bo'lsa, raqamli echimni izlash mantiqiymi?

Bizni yomon shartli SLAElarni echishning maxsus usullarini izlashga majbur qiladigan yana bir mulohaza (hatto 8.14 ro'yxatda misol sifatida keltirilgan ikkita tenglamalar tizimi ham) eksperimental natijalar sifatida ularning fizik talqini bilan bog'liq. Agar dastlab kiritilgan ma'lumotlar qandaydir xato bilan olinganligi ma'lum bo'lsa, unda yomon shartli tizimlarni echish umuman ma'noga ega emas, chunki modeldagi kichik xatolar (A matritsa va vektor b) yechimda katta xatolarga olib keladi. Bunday xususiyatlar bilan bog'liq muammolar noto'g'ri deb ataladi.

Noto'g'rilik sababini yaxshiroq tushunish uchun ikkita tenglamaning yaxshi (8.9-rasm) va yomon (8.10-rasm) shartli tizimining grafik talqinini solishtirish foydalidir. Tizimning yechimi har bir tenglamani ifodalovchi ikkita to'g'ri chiziqning kesishish nuqtasi orqali tasvirlangan.

Guruch. 8.9. Ikki tenglamadan iborat yaxshi shartli sistemaning grafigi

Guruch. 8.10. Ikki tenglamaning yomon shartli sistemasi grafigi

Rasmdan. 8.10 dan ko'rinib turibdiki, yomon shartli SLAE ga mos keladigan to'g'ri chiziqlar bir-biriga yaqin joylashgan (deyarli parallel). Shu munosabat bilan, chiziqlarning har birining joylashuvidagi kichik xatolar, yaxshi konditsioner tizimdan farqli o'laroq, ularning kesishish nuqtasini lokalizatsiya qilishda sezilarli xatolarga olib kelishi mumkin (SLAE echimlari), agar chiziqdagi kichik xatolar bo'lsa. chiziqlarning qiyaligi ularning kesishish nuqtasining joylashishiga kam ta'sir qiladi (8.9-rasm).

ESLATMA

Matritsaning yomon konditsionerligi, shuningdek, haddan tashqari aniqlangan (mos kelmaydigan) SLAElar tomonidan ko'rsatilgan eksperimental ma'lumotlarni qayta qurishda (masalan, tomografiya muammolarida) odatiy holdir. Bu keyingi bo'limda tasvirlangan (quyida 8.16 ro'yxatga qarang).

Regulyatsiya usuli

Noto'g'ri muammolarni, xususan, degeneratsiyalangan va yomon ahvolga tushgan SLAElarni hal qilish uchun tartibga solish deb ataladigan juda samarali usul ishlab chiqilgan. U amaliy holatlarda juda tez-tez uchraydigan yechimning tuzilishi haqida qo'shimcha aprior ma'lumotlarni hisobga olishga asoslanadi (aprior smeta xo vektori). Tartibda tartibga solish batafsil muhokama qilinganligi sababli. 6.3.3, biz faqat eslaymizki, SLAE Ax=b ni yechish muammosi Tixonov funksionalining minimalini topish muammosi bilan almashtirilishi mumkin:

Ō (x,l) = |Ax-b| 2 +l |x-x0| 2. (8.3)

Bu erda R, kichik ijobiy tartibga solish parametri bo'lib, u qandaydir optimal tarzda tanlanishi kerak. Ko'rsatish mumkinki, Tixonov funktsiyasini minimallashtirish muammosi, o'z navbatida, boshqa SLAEni hal qilish uchun qisqartirilishi mumkin:

(A T A+ l I)-x=A T B+l x0, (8.4)

qaysi da λ ->0 asl yomon konditsioner sistemaga kiradi va katta x uchun yaxshi konditsioner bo'lib, x 0 yechimga ega. Shubhasiz, A ning ba'zi bir oraliq qiymati maqbul bo'lib, maqbul shartlilik va asl muammoga yaqinlik o'rtasida ma'lum bir kelishuvni o'rnatadi. E'tibor bering, tartibga solish yondashuvi noto'g'ri qo'yilgan muammoni shartli ravishda yaxshi qo'yilgan (Tixonovga ko'ra) tizim (8.4) yechimini topish muammosiga qisqartiradi, bu muammoning chiziqliligi tufayli noyob va barqarordir.

Keling, keraksiz izohlarsiz, rasmda keltirilgan degeneratsiya tizimining muntazamlashtirilgan yechimini taqdim qilaylik. 8.8. 8.15 ro'yxati (8.4) muammoning yechimini topishni ko'rsatadi va natijada qoldiq va yechimning o'zi R tartibga solish parametriga bog'liqligi rasmda ko'rsatilgan. 8.11 va 8.12 mos ravishda. Shuni ta'kidlash kerakki, dastlabki tizimning echimlari va shuning uchun tizim (8.4) da λ =0 mavjud emas.

Listing 8.15 Degeneratsiyalangan SLAEni tartibga solish

Regulyatsiyaning yakuniy bosqichi optimalni tanlashdir λ . Qoldiqning unga bog'liqligi asosida tartibga solish parametrini tanlash mumkin bo'lgan kamida ikkita fikr mavjud. Ko'rib chiqilayotgan misolda biz aniqlash mezonini qo'llaymiz λ , kirish ma'lumotlarini ko'rsatishda xatolarni aprior baholashga teng qoldiq normani tanlashga asoslangan: matritsa A va vektor b, ya'ni qiymat | dA | + |5l|. Misol uchun, siz qoldiq normani va shunga mos ravishda parametrni tanlashingiz mumkin λ va yechim x( λ ), shaklda belgilangan. 8.11 va 8.12 nuqtali chiziqlar.

Izoh 1

Boshqa tanlov λ Model xatolariga nisbatan apriori mulohazalarni talab qilmaydigan , bo'limda muhokama qilingan kvazi-optimal usul deb ataladi. 6.3.3.

Izoh 2

Chiziqli masalada (8.4) formula umumiy formula (8.3) bilan bir xil natija berishini tekshirish foydalidir. Buning uchun SLAE (8.4) yechimini ifodalovchi 8.15 Listingdagi oxirgi qatorni 8.16 Listingda ko'rsatilganidek, sonli usul bilan minimallashtirishni amalga oshiradigan kodga o'zgartirish kifoya. Hisob-kitoblar (kompyuterda ko'proq vaqt talab qiladigan) rasmda ko'rsatilgandek natijani beradi. 8.11 va 8.12.

Izoh 3

8.15 va 8.16 roʻyxatlaridagi hisob-kitoblarda yechimning boshqacha, masalan, realroq, apriori bahosini olishga harakat qilib koʻring (ulardagi nol vektor x0 oʻrniga) va bu natijaga qanday taʼsir qilishini koʻring.

Guruch. 8.11. Degeneratsiyalangan SLAE ning muntazamlashtirilgan eritmasi qoldig'ining A parametriga bog'liqligi (8.15-ro'yxatning davomi)

Izoh 4

Tixonov funktsiyasi sifatida (8.3) formula o'rniga boshqa bog'liqlikni qo'llash ham qiziq: Ō(x,λ ) = |Ax-b|+ λ |x-x0 | . Kompakt diskda tegishli hisob-kitoblar misolini topasiz.

Guruch. 8.12. l ga qarab tartibga solingan eritma (8.15-listdan davomi)

Ro'yxat 8.16. Minimallashtirish algoritmidan foydalangan holda SLAElarni tartibga solish (8.15 ro'yxatining davomi)