Slayd 19

R da monoton ravishda kamayadi Ox o'qi gorizontal asimptota bo'lib, R 8 da monoton ravishda ortadi. X va y ning har qanday haqiqiy qiymatlari uchun; a>0, a≠1; b>0, b≠1. 7. Asimptot 6. Ekstrema 5. Monotonlik 4. Juft, toq 3. Funksiya qiymatlarini birlik bilan solishtirish uchun intervallar 2. Funksiya qiymatlari diapazoni 1 Funksiyani aniqlash diapazoni Ko‘rsatkichli funksiya xossalari Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari Ko'rsatkichli funksiya ekstremalga ega emas.Funksiya juft ham, toq ham emas (umumiy shakldagi funksiya).

Slayd 20

Ko‘rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va 1-topshiriq yechish usullari Funksiyaning aniqlanish sohasini toping.

Slayd 21

Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va 2-topshiriqni yechish usullari Qiymatlarni aniqlang

Slayd 22

Ko‘rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari 3-topshiriq Funksiya turini aniqlang ortib borayotgan kamayib borayotgan kamayuvchi.

Slayd 23

Yangi bilimlarni joriy etish

Slayd 24

Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari Eng oddiy ko'rsatkichli tengsizliklarning TA'RIFI: a birga teng bo'lmagan musbat son, b esa berilgan haqiqiy son bo'lsin. U holda ax>b (ax≥b) va ax tengsizliklari

Slayd 25

Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari Tengsizlikni yechish NIMA deb ataladi? Noma'lum x bo'lgan tengsizlikning yechimi x0 soni bo'lib, u tengsizlikka almashtirilganda haqiqiy sonli tengsizlikni hosil qiladi.

Slayd 26

Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari Tengsizlikni yechish NIMA TUGADI? Tengsizlikni yechish uning barcha yechimlarini topish yoki yo‘qligini ko‘rsatishni bildiradi.

Slayd 27

y=ax, a>0, a≠1 funksiya grafigining va y=b to‘g‘ri chiziqning nisbiy o‘rnini ko‘rib chiqamiz.Ko‘rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari y x y x y=b, b 0 y=b, b>. 0 0 1 0 1 x0 x0

Slayd 28

Ko‘rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari 1-XULOSA: b≤0 bo‘lganda, y=b to‘g‘ri chiziq y=ax funksiya grafigini kesib o‘tmaydi, chunki. y=ax egri chizig‘idan pastda joylashgan, shuning uchun xR uchun ax>b(ax≥b) tengsizliklari, ax tengsizliklari esa qanoatlantiriladi.

Slayd 29

Xulosa No 2: y x ​​0 x0 x1 y=b, b>0 x2 Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari Agar a>1 va b > 0 bo'lsa, u holda har bir x1 x0- uchun y=b to'g'ri chiziq ostida. . 1 b> 0 uchun y = b to'g'ri chiziq y = ax funksiya grafigini bitta nuqtada kesib o'tadi, uning abssissasi x0 = logab.

Slayd 30

Xulosa No 2: y x ​​0 x0 x1 y=b, b>0 1 Ko‘rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari Agar a>1 va b > 0 bo‘lsa, har bir x1 >x0 uchun grafigining mos nuqtasi bo‘ladi. y=ax funksiya y=b to'g'ri chiziq ustida joylashgan va har bir x2 0 uchun y = b to'g'ri chiziq y = ax funksiyaning grafigini bitta nuqtada kesib o'tadi, uning abssissasi x0 = logab x2 bo'ladi.

Slayd 31

Eng oddiy ko'rsatkichli tengsizliklar Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari

Slayd 32

Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari 1.1-misol Javob: butun ta'rif sohasi bo'yicha ortadi, Yechim:

Slayd 33

Ko‘rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari 1.2-misol Yechish: Javob: ta’rifning butun sohasi bo‘yicha kamayadi,

Slayd 34

Ko‘rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari 1.3-misol Yechish: Javob: ta’rifning butun sohasi bo‘yicha ortadi,

Slayd 35

Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari. Ko'rsatkichli tengsizliklar turlari va ularni yechish usullari 1) Ko'rsatkichli tengsizliklar, eng oddiylarigacha kamaytirilib, butun ta'rif sohasi bo'ylab ortadi. 1-misol. Javob: Yechish:

Slayd 36

Ko‘rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari 1.4-misol Yechish: ta’rifning butun sohasi bo‘yicha ortadi, Javob:

Slayd 37

Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari. Ko'rsatkichli tengsizliklar turlari va ularni yechish usullari. Eng oddiyga qisqartirilgan ko'rsatkichli tengsizliklar 2-misol. Ta'rifning barcha sohasi bo'yicha ortadi Javob: Yechish:

Slayd 38

Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari Ko'rsatkichli tengsizliklar turlari va ularni yechish usullari 2) Ko'rsatkichli tengsizliklar, kvadratik tengsizliklarga keltirish Misol. X o'zgaruvchisiga ta'rif sohasidan barcha x uchun ortadi. Javob: Yechish:

Slayd 39

Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari Ko'rsatkichli tengsizliklar turlari va ularni yechish usullari 3) Birinchi va ikkinchi darajali bir jinsli ko'rsatkichli tengsizliklar. Birinchi darajali bir jinsli ko'rsatkichli tengsizliklar 1-misol butun ta'rif sohasi bo'yicha ortadi Javob: Yechish:

Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari Ko'rsatkichli tengsizliklar turlari va ularni yechish usullari 4) Ko'rsatkichli tengsizliklar, ratsional tengsizliklarga keltirish Misol. X o'zgaruvchisiga butun ta'rif sohasi bo'yicha ortadi. Javob: Yechish:

Slayd 43

Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari Ko'rsatkichli tengsizliklar turlari va ularni yechish usullari 5) Ko'rsatkichli nostandart tengsizliklar Misol Yechish: To'plamning har bir bayonotini alohida yechamiz. Tengsizlik agregatga teng

Slayd 44

Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari Ko'rsatkichli tengsizliklar turlari va ularni yechish usullari 5) Ko'rsatkichli nostandart tengsizliklar Misol Javob: Yechish: Tekshirish Tekshirish shuni ko'rsatdiki, x=1, x=3, x=1,5 ning yechimlari. tenglama va x=2 tenglamaning yechimi emas. Shunday qilib,

Slayd 45

Bilimlarni mustahkamlash

Qanday tengsizliklar eksponensial deb ataladi? Ko‘rsatkichli tengsizlik qachon x ning istalgan qiymati uchun yechimga ega bo‘ladi? Ko‘rsatkichli tengsizlik qachon yechimga ega bo‘lmaydi? Ushbu darsda tengsizlikning qanday turlarini bilib oldingiz? Eng oddiy tengsizliklar qanday yechiladi? Kvadrat tengsizliklarga keltiruvchi tengsizliklar qanday yechiladi? Bir jinsli tengsizliklar qanday yechiladi? Ratsional tengsizliklar qanday hal qilinadi?

Slayd 46

Dars xulosasi

Ushbu darsda yangi o'quvchilar nimani o'rganganligini bilib oling. Darsdagi ishlari uchun talabalarga batafsil izohlar bilan baho bering

Slayd 47

Uy vazifasi

10-sinf “Algebra va tahlilning boshlanishi” darsligi muallif S.M.Nikolskiy O‘rganish 6.4 va 6.6, 6.31-6.35 va 6.45-6.50-bandlarni yechish.

Slayd 48

Ko'rsatkichli tengsizliklar, ularning turlari va yechish usullari

6-mavzu. Ko‘rsatkichli va logarifmik tenglamalar va tengsizliklar (11 soat)
Dars mavzusi. Noma'lumni almashtirish orqali tengsizliklar eng oddiy holga keltiriladi.
Darsning maqsadi: Ko‘rsatkichli va logarifmik tengsizliklarni yechish, ularni eng soddaga qisqartirish, noma’lumni almashtirish yo‘li bilan ko‘nikmalarni shakllantirish.
Vazifalar:
Ta'limiy: "Eng oddiy ko'rsatkichli va logarifmik tengsizliklarni yechish" mavzusidagi bilimlarni takrorlash va mustahkamlash, almashtirish usuli yordamida logarifmik va ko'rsatkichli tengsizliklarni echishni o'rganish.
Rivojlantiruvchi: o'quvchida tengsizlikning ikki turini aniqlash va ularni hal qilish yo'llarini aniqlash qobiliyatini rivojlantirish (mantiqiy va intuitiv fikrlash, hukmlarni asoslash, tasniflash, taqqoslash), o'z-o'zini nazorat qilish va o'zini o'zi sinab ko'rish, harakat qilish qobiliyatini rivojlantirish. berilgan algoritmga muvofiq, olingan natijani baholash va tuzatish.
Tarbiyaviy: o'quvchilarning quyidagi kabi fazilatlarini rivojlantirishni davom ettirish: bir-birini tinglash qobiliyati; o'zaro nazorat va o'z-o'zini hurmat qilish qobiliyati.
Dars turi: birlashtirilgan.
Darslik Algebra 10-sinf S.M. Nikolskiy, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin
Darslar davomida
Tashkiliy vaqt.
Uy vazifasini tekshirish.
Asosiy bilimlarni yangilash.
Frontal:
1. Qanday tengsizliklar eng oddiy darajali tengsizliklar deb ataladi?
2. Oddiy ko‘rsatkichli tengsizliklarni yechish ma’nosini tushuntiring.
3. Qanday tengsizliklar eng oddiy logarifmik tengsizliklar deb ataladi?
4. Oddiy logarifmik tengsizliklarni yechish ma’nosini tushuntiring.
Doskaga yozish bilan (har biri 1 talaba):
Tengsizliklarni yechish
2x<1160,3х<103log2x>5log15x>-2Yangi materialni tushuntirish va uni bosqichma-bosqich mustahkamlash.
1.1. Yangi materialni tushuntirish.
1. Tengsizlikni yeching:
2x2-3x<14Пусть х2-3х=t, тогда
2t<142t<2-2т. к. основание 2>1, keyin
t<-2Обратная замена:
x2-3x<-2х2-3х+2<0Нахдим его корни: x1=1, x2=2Отмечаем эти точки на координатной прямой и выясняем знак выражения x2−3x+2 на каждом из полученных интервалов.
Bizni "−−" belgisi qiziqtiradi. Keyin olamiz
Javob:x∈(1;2)
2. Tengsizlikni yeching

1.2. Bosqichma-bosqich konsolidatsiya.
№ 6.49 (a, c).
№ 6.52(d).
a) 74x2-9x+6>74x2-9x+6>14x2-9x+5>0x1=5/4 x2=1
Javob: -∞;1∪54;+∞v) (13)5x2-4x-3>95x2-4x-3<-25х2-4х-1<0x1=-15 x2=1
Javob: -15;1d) log5x2-2x-3<1
log5x2-2x-3 00<х2-2х-3<5х2-2х-3<5х2-2х-3>0 x2-2x-8<0х2-2х-3>0

Javob: -2;-1∪3;42.1. Yangi materialni tushuntirish.
3. Tengsizlikni yeching

Keyin 1 tengsizlik barcha x uchun mantiqiy, ikkinchisi esa

2.2. Bosqichma-bosqich konsolidatsiya.
Tengsizlikni yechish № 6.56(c)
3.1. Yangi materialni tushuntirish.
4. Tengsizlikni yeching

3.2. Bosqichma-bosqich konsolidatsiya.
6.60(a)-sonli tengsizlikni yeching.
Darsni yakunlash.
Reflektsiya.
Uy vazifasi.
P. 6.6
№ 6.49 (b, d)
№ 6.52 (a, b)
№ 6.56 (d)
№ 6.60 (b)

Biriktirilgan fayllar

Algebra va matematik analizning boshlanishi. 10-sinf. Darslik. Nikolskiy S.M. va boshq.

Asosiy va profil darajalari

8-nashr. - M.: Ta'lim, 2009. - 430 b.

Darslik matematika bo'yicha umumta'lim davlat standartining federal tarkibiy qismlariga mos keladi va asosiy va maxsus darajalar uchun materiallarni o'z ichiga oladi. O'tgan yillarda maktab o'quvchilari qaysi darsliklarni o'qiganligidan qat'i nazar, u bilan ishlashingiz mumkin.

Darslik talabalarni oliy o‘quv yurtlariga kirishga tayyorlashga qaratilgan.

Format: djvu

Hajmi: 15,2 MB

Ko'ring, yuklab oling:drive.google ; Rhast

Format: pdf

Hajmi: 42,3 MB

Ko'ring, yuklab oling:drive.google ; Rhast

Eslatma: PDF sifati yaxshiroq, deyarli zo'r. Xuddi shu skanerdan tayyorlangan, 150 dpi, rangli. Ammo DJVUda bu biroz yomonroq bo'lib chiqadi. Bu o'lcham muhim bo'lgan holat.

MUNDARIJA
I-BOB. Ildizlar, KUCHLAR, LOGARIFMALAR
§ 1. Haqiqiy sonlar 3
1.1. Haqiqiy raqam 3 tushunchasi
1.2. Ko'p raqamlar. Haqiqiy sonlarning xossalari. ... 10
1,3*. Matematik induksiya usuli 16
1.4. O'zgartirishlar 22
1.5. Joylashuvlar 25
1.6. Kombinatsiyalar 27
1,7*. Raqamli tengsizliklarni isbotlash 30
1,8*. Butun sonlarning bo‘linuvchanligi 35
1,9*. Taqqoslash moduli t 38
1.10*. Butun son noma'lumlar bilan bog'liq muammolar 40
§ 2. Ratsional tenglamalar va tengsizliklar 44
2.1. Ratsional ifodalar 44
2.2. Nyutonning binomial formulalari, yig'indilari va kuchlar farqlari. . 48
2,3*. Ko'phadlarni qoldiqga bo'lish. Evklid algoritmi... 53
2,4*. Bezout teoremasi 57
2,5*. 60 polinomining ildizi
2.6. Ratsional tenglamalar 65
2.7. Ratsional tenglamalar sistemalari 70
2.8. Tengsizliklarni yechishning interval usuli 75
2.9. Ratsional tengsizliklar 79
2.10. Qat'iy bo'lmagan tengsizliklar 84
2.11. Ratsional tengsizliklar sistemalari 88
§ 3. Darajaning ildizi n 93
3.1. Funksiya tushunchasi va uning grafigi 93
3.2. Funktsiya y = x" 96
3.3. n 100 darajali ildiz tushunchasi
3.4. Juft va toq darajalarning ildizlari 102
3.5. Arifmetik ildiz 106
3.6. l 111 darajali ildizlarning xossalari
3,7*. Funktsiya y = nx (x > 0) 114
3,8*. Funktsiya y = nVx 117
3,9*. 119 natural sonning n ildizi
§ 4. 122-musbat raqamning kuchi
4.1. Ratsional ko'rsatkichli quvvat 122
4.2. Ratsional ko‘rsatkichi 125 bo‘lgan darajalarning xossalari
4.3. Ketma-ketlik chegarasi tushunchasi 131
4,4*. Limitlar xossalari 134
4.5. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya. . . 137
4.6. e 140 raqami
4.7. Irratsional darajali daraja tushunchasi.... 142
4.8. Ko‘rsatkichli funksiya 144
5-§. Logarifmlar 148
5.1. Logarifm tushunchasi 148
5.2. Logarifmlarning xossalari 151
5.3. Logarifmik funksiya 155
5,4*. O'nlik logarifmlar 157
5,5*. Quvvat funktsiyalari 159
§ 6. Ko‘rsatkichli va logarifmik tenglamalar va tengsizliklar. . 164
6.1. Eng oddiy ko'rsatkichli tenglamalar 164
6.2. Oddiy logarifmik tenglamalar 166
6.3. Noma'lum 169 o'rniga tenglamalar eng soddaga keltiriladi
6.4. Eng oddiy ko'rsatkichli tengsizliklar 173
6.5. Eng oddiy logarifmik tengsizliklar 178
6.6. Noma'lum 182 o'rniga tengsizliklar eng oddiy holga keltiriladi
Tarixiy ma'lumotlar 187
II-BOB. TRIGONOMETRIK FORMULALAR. TRIGONOMETRIK FUNKSIYALAR
§ 7. Burchakning sinus va kosinusu 193
7.1. Burchak tushunchasi 193
7.2. Burchakning radian o'lchami 200
7.3. Burchakning sinusi va kosinusini aniqlash 203
7.4. Sin a va cos a uchun asosiy formulalar 211
7.5. Arcsine 216
7.6. Ark kosinus 221
7,7*. Arksinus va arkkosindan foydalanishga misollar.... 225
7,8*. Arksin va arkkosin uchun formulalar 231
§ 8. 233-burchakning tangensi va kotangensi
8.1. Burchakning tangensi va kotangensini aniqlash 233
8.2. Tg a va ctg a 239 uchun asosiy formulalar
8.3. Arktangent 243
8,4*. Yoy tangensi 246
8,5*. Arktangent va arkkotangensdan foydalanishga misollar. . 249
8,6*. Arktangens va arkkotangens uchun formulalar 255
§ 9. Qo‘shish formulalari 258
9.1. Ayirmaning kosinusu va ikki burchak yig‘indisining kosinusu 258
9.2. Qo'shimcha burchaklar uchun formulalar 262
9.3. Ikki burchak ayirmasi yigindisi va sinusi 264
9.4. Sinuslar va kosinuslar yig‘indisi va ayirmasi 266
9.5. Ikki va yarim burchaklar uchun formulalar 268
9,6*. Sinuslar va kosinuslar mahsuloti 273
9,7*. Tangens uchun formulalar 275
§ 10. Raqamli argumentning trigonometrik funktsiyalari 280
10.1. Funktsiya y = sin x 281
10.2. Funktsiya y = cos x 285
10.3. Funktsiya y = tg * 288
10.4. Funktsiya y = ctg x 292
§ 11. Trigonometrik tenglamalar va tengsizliklar 295
11.1. Oddiy trigonometrik tenglamalar 295
11.2. Noma'lum 299 o'rniga tenglamalar eng soddaga keltiriladi
11.3. 303- tenglamalarni yechishda asosiy trigonometrik formulalarni qo‘llash
11.4. Bir jinsli tenglamalar 307
11,5*. Sinus va kosinus uchun eng oddiy tengsizliklar.... 310
11,6*. Tangens va kotangens uchun eng oddiy tengsizliklar. . . 315
11,7*. Noma'lum 319 o'rniga tengsizliklar eng oddiy holga keltiriladi
11,8*. Yordamchi burchakning kiritilishi 322
11,9*. Noma'lum t = sin x + cos x 327 o'rniga
Tarixiy ma'lumotlar 330
III-BOB. EHTIMOLLAR NAZARIYASI Elementlari
§ 12. Hodisa ehtimoli 333
12.1. Hodisa ehtimoli tushunchasi 333
12.2. Hodisa ehtimolining xossalari 338
§ 13*. Chastotasi. Shartli ehtimollik 342
13,1*. Hodisaning nisbiy chastotasi 342
13,2*. Shartli ehtimollik. Mustaqil hodisalar 344
§ 14*. Kutilgan qiymat. Katta sonlar qonuni 348
14.1*. Matematik kutish 348
14,2*. Qiyin tajriba 353
14,3*. Bernulli formulasi. Katta sonlar qonuni 355
Tarixiy ma'lumotlar 359
362-TASHLASH VAZIFALARI
Mavzu indeksi 407
Javoblar 410

Ko'pchilik eksponensial tengsizliklar murakkab va tushunarsiz narsa deb o'ylaydi. Va ularni hal qilishni o'rganish deyarli buyuk san'at bo'lib, uni faqat tanlanganlar tushunishi mumkin ...

To'liq bema'nilik! Eksponensial tengsizliklar oson. Va ular har doim oddiy hal qilinadi. Xo'sh, deyarli har doim. :)

Bugun biz ushbu mavzuni ichki va tashqi tomondan ko'rib chiqamiz. Ushbu dars maktab matematikasining ushbu bo'limini endigina tushuna boshlaganlar uchun juda foydali bo'ladi. Keling, oddiy masalalardan boshlaylik va murakkabroq masalalarga o'tamiz. Bugun hech qanday qiyin ish bo'lmaydi, lekin hozir o'qigan narsangiz har xil testlar va mustaqil ishlardagi tengsizliklarning ko'pini hal qilish uchun etarli bo'ladi. Va sizning imtihoningizda ham.

Har doimgidek, ta'rifdan boshlaylik. Eksponensial tengsizlik - bu ko'rsatkichli funktsiyani o'z ichiga olgan har qanday tengsizlik. Boshqacha qilib aytganda, u har doim shaklning tengsizligiga tushirilishi mumkin

\[((a)^(x)) \gt b\]

Bu erda $b$ ning roli oddiy raqam bo'lishi mumkin yoki undan ham qattiqroq bo'lishi mumkin. Misollar? Ha iltimos:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ to'rtlik ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\end (tekislash)\]

Menimcha, ma'no aniq: $((a)^(x))$ eksponensial funksiyasi bor, u biror narsa bilan taqqoslanadi, so'ngra $x$ topish so'raladi. Ayniqsa, klinik holatlarda, $x$ o'zgaruvchisi o'rniga, ular $f\left(x \right)$ funktsiyasini qo'yishi va shu bilan tengsizlikni biroz murakkablashtirishi mumkin. :)

Albatta, ba'zi hollarda tengsizlik yanada jiddiyroq ko'rinishi mumkin. Masalan:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Yoki bu ham:

Umuman olganda, bunday tengsizliklarning murakkabligi juda xilma-xil bo'lishi mumkin, ammo oxir-oqibat ular baribir oddiy qurilish $((a)^(x)) \gt b$gacha kamayadi. Va biz qandaydir tarzda bunday qurilishni aniqlaymiz (ayniqsa, klinik holatlarda, hech narsa xayolga kelmasa, logarifmlar bizga yordam beradi). Shuning uchun, endi biz sizga bunday oddiy konstruktsiyalarni qanday hal qilishni o'rgatamiz.

Oddiy ko'rsatkichli tengsizliklarni yechish

Keling, juda oddiy narsani ko'rib chiqaylik. Masalan, bu:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Shubhasiz, o'ngdagi raqam ikkining kuchi sifatida qayta yozilishi mumkin: $4=((2)^(2))$. Shunday qilib, asl tengsizlik juda qulay shaklda qayta yozilishi mumkin:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Va endi mening qo'llarim $x \gt 2$ javobini olish uchun kuchlar bazasida ikkitasini "chizib tashlash" uchun qichishadi. Ammo biror narsani kesib tashlashdan oldin, keling, ikkita kuchni eslaylik:

\[((2)^(1))=2;\to'rt ((2)^(2))=4;\to'rt ((2)^(3))=8;\to'rt ((2)^( 4))=16;...\]

Ko'rib turganingizdek, ko'rsatkichdagi raqam qanchalik katta bo'lsa, chiqish raqami shunchalik katta bo'ladi. — Rahmat, kapa! – deb hayqiradi o‘quvchilardan biri. Bu boshqachami? Afsuski, bu sodir bo'ladi. Masalan:

\[((\left(\frac(1)(2) \o'ng))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ o'ng))^(2))=\frac(1)(4);\to'rt ((\left(\frac(1)(2) \o'ng))^(3))=\frac(1)(8) );...\]

Bu erda ham hamma narsa mantiqiy: daraja qanchalik katta bo'lsa, 0,5 soni o'z-o'zidan ko'paytiriladi (ya'ni, yarmiga bo'linadi). Shunday qilib, natijada raqamlar ketma-ketligi kamayadi va birinchi va ikkinchi ketma-ketlik o'rtasidagi farq faqat bazada bo'ladi:

• Agar daraja asosi $a \gt 1$ bo'lsa, u holda $n$ ko'rsatkichi ortishi bilan $((a)^(n))$ soni ham ortadi;
• Va aksincha, agar $0 \lt a \lt 1$ boʻlsa, $n$ koʻrsatkichi ortgan sari $((a)^(n))$ soni kamayadi.

Ushbu faktlarni umumlashtirib, biz eksponensial tengsizliklarning butun yechimiga asoslangan eng muhim bayonotni olamiz:

Agar $a \gt 1$ boʻlsa, $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ tengsizlik $x \gt n$ tengsizligiga ekvivalent boʻladi. Agar $0 \lt a \lt 1$ bo'lsa, $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ tengsizlik $x \lt n$ tengsizligiga ekvivalent bo'ladi.

Boshqacha qilib aytganda, agar baza birdan katta bo'lsa, uni oddiygina olib tashlashingiz mumkin - tengsizlik belgisi o'zgarmaydi. Va agar taglik bittadan kam bo'lsa, u ham olib tashlanishi mumkin, lekin ayni paytda siz tengsizlik belgisini o'zgartirishingiz kerak bo'ladi.

E'tibor bering, biz $a=1$ va $a\le 0$ variantlarini ko'rib chiqmadik. Chunki bu holatlarda noaniqlik yuzaga keladi. Aytaylik, $((1)^(x)) \gt 3$ ko‘rinishdagi tengsizlik qanday yechiladi? Har qanday kuchga bittasi yana beradi - biz hech qachon uchta yoki undan ko'pini olmaymiz. Bular. yechimlar yo'q.

Salbiy sabablar bilan hamma narsa yanada qiziqarli. Masalan, ushbu tengsizlikni ko'rib chiqing:

\[((\left(-2 \o'ng))^(x)) \gt 4\]

Bir qarashda hamma narsa oddiy:

To'g'rimi? Lekin yoq! Yechim noto‘g‘ri ekanligiga ishonch hosil qilish uchun $x$ o‘rniga bir juft juft va bir nechta toq sonlarni qo‘yish kifoya. Qarab qo'ymoq:

\[\begin(align) & x=4\O'ng strelka ((\left(-2 \o'ng))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\O'ng strelka ((\chap(-2 \o'ng))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\O'ng strelka ((\chap(-2 \o'ng))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\O'ng strelka ((\chap(-2 \o'ng))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(tuzala)\]

Ko'rib turganingizdek, belgilar bir-birini almashtiradi. Ammo kasr vakolatlari va boshqa bema'niliklar ham bor. Masalan, $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus ikkini yettining kuchiga) hisoblashni qanday buyurasiz? Bo'lishi mumkin emas!

Shuning uchun, aniqlik uchun biz barcha eksponensial tengsizliklarda (aytmoqchi, tenglamalarda ham) $1\ne a \gt 0$ deb faraz qilamiz. Va keyin hamma narsa juda oddiy hal qilinadi:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\O'ng strelka \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \o'ng), \\ & x \lt n\quad \chap (0 \lt a \lt 1 \o'ng). \\\end(tekislash) \o'ngga.\]

Umuman olganda, asosiy qoidani yana bir bor eslang: agar eksponensial tenglamadagi asos birdan katta bo'lsa, uni oddiygina olib tashlashingiz mumkin; va agar asos birdan kichik bo'lsa, uni ham olib tashlash mumkin, lekin tengsizlik belgisi o'zgaradi.

Yechimlarga misollar

Shunday qilib, keling, bir nechta oddiy eksponensial tengsizliklarni ko'rib chiqaylik:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(tekislash)\]

Barcha holatlarda birlamchi vazifa bir xil: tengsizliklarni eng oddiy shaklga keltirish $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Endi biz har bir tengsizlik bilan aynan shunday qilamiz va shu bilan birga darajalar va eksponensial funksiyalarning xossalarini takrorlaymiz. Xo'sh, ketaylik!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Bu yerda nima qila olasiz? Xo'sh, chap tomonda biz allaqachon indikativ iboraga egamiz - hech narsani o'zgartirish kerak emas. Ammo o'ng tomonda qandaydir axloqsizlik bor: kasr va hatto maxrajdagi ildiz!

Biroq, kasrlar va kuchlar bilan ishlash qoidalarini eslaylik:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(tekislash)\]

Bu nima degani? Birinchidan, biz kasrni manfiy ko'rsatkichli kuchga aylantirib, osonlik bilan qutulamiz. Ikkinchidan, maxrajning ildizi bor ekan, uni kuchga aylantirsa yaxshi bo'lardi - bu safar kasr ko'rsatkichi bilan.

Keling, ushbu amallarni tengsizlikning o'ng tomoniga ketma-ket qo'llaymiz va nima sodir bo'lishini ko'ramiz:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \o'ng))^(-1))=((\left(((2)^(\frac() 1)(3))) \o'ng))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \o'ng)=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Shuni unutmangki, darajani bir darajaga ko'targanda, bu darajalarning ko'rsatkichlari qo'shiladi. Va umuman olganda, eksponensial tenglamalar va tengsizliklar bilan ishlashda hech bo'lmaganda kuchlar bilan ishlashning eng oddiy qoidalarini bilish mutlaqo kerak:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \o'ng))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(tekislash)\]

Aslida, biz oxirgi qoidani qo'lladik. Shunday qilib, bizning asl tengsizligimiz quyidagicha qayta yoziladi:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\O'ng strelka ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Endi biz ikkita bazadan qutulamiz. 2 > 1 bo'lgani uchun tengsizlik belgisi bir xil bo'lib qoladi:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty;\frac(2)(3) \o'ng]. \\\end(align)\]

Bu yechim! Asosiy qiyinchilik umuman eksponensial funktsiyada emas, balki asl ifodani malakali o'zgartirishda: uni diqqat bilan va tezda eng oddiy shaklga keltirishingiz kerak.

Ikkinchi tengsizlikni ko'rib chiqing:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Shunday. Bu erda bizni o'nlik kasrlar kutmoqda. Ko'p marta aytganimdek, har qanday vakolatli iboralarda siz o'nli kasrlardan xalos bo'lishingiz kerak - bu tez va oddiy echimni ko'rishning yagona yo'li. Bu erda biz qutulamiz:

\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ o'ng))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\O'ng strelka ((\left(\frac(1)(10) \o'ng))^(1-x)) \lt ( (\ chap (\ frac (1) (10) \ o'ng)) ^ (2)). \\\end(tekislash)\]

Bu erda yana eng oddiy tengsizlikka egamiz va hatto 1/10 asosi bilan, ya'ni. birdan kam. Xo'sh, biz tagliklarni olib tashlaymiz, bir vaqtning o'zida belgini "kamroq" dan "ko'proq" ga o'zgartiramiz va biz quyidagilarni olamiz:

\[\boshlang(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(tekislash)\]

Biz yakuniy javobni oldik: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Iltimos, diqqat qiling: javob aniq to'plamdir va hech qanday holatda $x \lt -1$ shaklidagi qurilish. Chunki formal jihatdan bunday konstruksiya umuman to‘plam emas, balki $x$ o‘zgaruvchisiga nisbatan tengsizlikdir. Ha, bu juda oddiy, lekin bu javob emas!

Muhim eslatma. Bu tengsizlikni boshqa yo'l bilan - ikkala tomonni birdan kattaroq bazaga ega bo'lgan kuchga kamaytirish orqali hal qilish mumkin. Qarab qo'ymoq:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\O'ng strelka ((\chap(((10)^(-1)) \o'ng))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \o'ng))^(2))\O'ng strelka ((10)^(-1\cdot \left(1-x \o'ng)))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Bunday transformatsiyadan so'ng biz yana eksponensial tengsizlikka ega bo'lamiz, lekin asosi 10 > 1. Bu shuni anglatadiki, biz o'nlikni shunchaki kesib tashlashimiz mumkin - tengsizlik belgisi o'zgarmaydi. Biz olamiz:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(tekislash)\]

Ko'rib turganingizdek, javob aynan bir xil edi. Shu bilan birga, biz o'zimizni belgini o'zgartirish va umuman har qanday qoidalarni eslab qolish zaruratidan qutqardik. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Biroq, bu sizni qo'rqitishiga yo'l qo'ymang. Ko'rsatkichlarda nima bo'lishidan qat'i nazar, tengsizlikni hal qilish texnologiyasining o'zi bir xil bo'lib qoladi. Shuning uchun, avvalo, 16 = 2 4 ekanligini ta'kidlaymiz. Keling, ushbu faktni hisobga olgan holda dastlabki tengsizlikni qayta yozamiz:

\[\begin(align) & ((2)^((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Xayr! Biz odatdagi kvadrat tengsizlikni oldik! Belgisi hech qanday joyda o'zgarmadi, chunki taglik ikkita - birdan katta raqam.

Funksiyaning raqamlar qatoridagi nollari

Biz $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ funksiyaning belgilarini joylashtiramiz - aniqki, uning grafigi shoxlari yuqoriga ko'tarilgan parabola bo'ladi, shuning uchun "plyuslar" bo'ladi. ” yon tomonlarida. Biz funktsiya noldan kichik bo'lgan mintaqaga qiziqamiz, ya'ni. $x\in \left(2;5 \right)$ asl masalaga javobdir.

Va nihoyat, boshqa tengsizlikni ko'rib chiqing:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Yana biz asosda o'nli kasrga ega eksponensial funktsiyani ko'ramiz. Keling, bu kasrni oddiy kasrga aylantiramiz:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2) )^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \o'ng))^(1+(x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \o'ng)))\end(hizala)\]

Bunday holda, biz ilgari berilgan izohdan foydalandik - keyingi yechimimizni soddalashtirish uchun bazani 5 > 1 raqamiga qisqartirdik. Keling, o'ng tomon bilan ham xuddi shunday qilaylik:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \o'ng))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ o'ng))^(2))=(5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Ikkala transformatsiyani hisobga olgan holda asl tengsizlikni qayta yozamiz:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\O'ng strelka ((5)^(-1\cdot \chap(1+) ((x)^(2)) \o'ng)))\ge ((5)^(-2))\]

Ikkala tomonning asoslari bir xil va birdan oshadi. O'ng va chap tomonda boshqa atamalar yo'q, shuning uchun biz shunchaki beshlikni "chizamiz" va juda oddiy iborani olamiz:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\to'rt \chap| \cdot \left(-1 \o'ng) \o'ng. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Bu erda siz ko'proq ehtiyot bo'lishingiz kerak. Ko‘pchilik o‘quvchilar tengsizlikning har ikki tomonining kvadrat ildizini olib, $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$ kabi yozishni yaxshi ko‘radilar. Hech qanday holatda buni qilmaslik kerak. , chunki aniq kvadratning ildizi modul va hech qanday holatda asl o'zgaruvchi emas:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\chap| x\right|\]

Biroq, modullar bilan ishlash eng yoqimli tajriba emas, shunday emasmi? Shunday qilib, biz ishlamaymiz. Buning o'rniga, biz shunchaki barcha shartlarni chapga siljitamiz va odatdagi tengsizlikni intervalli usul yordamida hal qilamiz:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \o'ng)\left(x+1 \o'ng)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\to'rt ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Biz yana raqamlar chizig'ida olingan nuqtalarni belgilaymiz va belgilarga qaraymiz:

Biz qat'iy bo'lmagan tengsizlikni hal qilganimiz sababli, grafikdagi barcha nuqtalar soyali. Shuning uchun javob quyidagicha bo'ladi: $x\in \left[ -1;1 \right]$ - bu interval emas, balki segment.

Umuman olganda, shuni ta'kidlashni istardimki, eksponensial tengsizliklar haqida hech qanday murakkab narsa yo'q. Bugun biz amalga oshirgan barcha o'zgarishlarning ma'nosi oddiy algoritmga to'g'ri keladi:

• Biz barcha darajalarni kamaytiradigan asosni toping;
• $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ko‘rinishdagi tengsizlikni olish uchun o‘zgartirishlarni ehtiyotkorlik bilan bajaring. Albatta, $x$ va $n$ oʻzgaruvchilari oʻrniga ancha murakkab funksiyalar boʻlishi mumkin, lekin maʼno oʻzgarmaydi;
• Darajalar asoslarini kesib tashlang. Bunday holda, agar asos $a \lt 1$ bo'lsa, tengsizlik belgisi o'zgarishi mumkin.

Aslida, bu barcha tengsizliklarni yechish uchun universal algoritmdir. Va bu mavzu bo'yicha sizga aytadigan boshqa hamma narsa - bu transformatsiyani soddalashtiradigan va tezlashtiradigan aniq texnikalar va fokuslar. Endi biz ushbu texnikalardan biri haqida gaplashamiz. :)

Ratsionalizatsiya usuli

Keling, boshqa tengsizliklar to'plamini ko'rib chiqaylik:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi) \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \o'ng))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \o'ng))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \o'ng))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Xo‘sh, ularda nimasi o‘ziga xos? Ular engil. Garchi, to'xtang! p soni bir darajaga ko'tarildimi? Qanday bema'nilik?

$2\sqrt(3)-3$ sonini qanday qilib quvvatga oshirish mumkin? Yoki $3-2\sqrt(2)$mi? Muammo mualliflari ishga o'tirishdan oldin juda ko'p Hawthorn ichishgan. :)

Aslida, bu vazifalarda qo'rqinchli narsa yo'q. Sizga eslatib o'taman: eksponensial funktsiya $((a)^(x))$ ko'rinishining ifodasidir, bunda $a$ asosi bittadan tashqari istalgan musbat sondir. p soni ijobiy - biz buni allaqachon bilamiz. $2\sqrt(3)-3$ va $3-2\sqrt(2)$ raqamlari ham ijobiydir - ularni nol bilan solishtirsangiz, buni tushunish oson.

Ma'lum bo'lishicha, bu "qo'rqinchli" tengsizliklarning barchasi yuqorida muhokama qilingan oddiylardan farq qilmaydimi? Va ular xuddi shu tarzda hal qilinadimi? Ha, bu mutlaqo to'g'ri. Biroq, ularning misolidan foydalanib, men mustaqil ish va imtihonlarga vaqtni sezilarli darajada tejaydigan bitta texnikani ko'rib chiqmoqchiman. Biz ratsionalizatsiya usuli haqida gapiramiz. Shunday qilib, diqqat:

$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ko‘rinishdagi har qanday ko‘rsatkichli tengsizlik $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \) tengsizligiga ekvivalentdir. o'ng) \gt 0 $.

Bu butun usul. :) Boshqa o'yin bo'ladi deb o'ylaganmidingiz? Bu kabi hech narsa! Ammo tom ma'noda bir satrda yozilgan bu oddiy haqiqat ishimizni ancha soddalashtiradi. Qarab qo'ymoq:

\[\begin(matritsa) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^((x)^(2))-3x+2)) \\ \Pastga qarab \\ \chap(x+7-\chap(((x)^(2)) -3x+2 \o'ng) \o'ng)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matritsa)\]

Shunday qilib, boshqa eksponensial funktsiyalar yo'q! Va belgi o'zgaradimi yoki yo'qligini eslab qolishingiz shart emas. Ammo yangi muammo tug'iladi: la'nati multiplikator bilan nima qilish kerak \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Biz p sonining aniq qiymati nima ekanligini bilmaymiz. Biroq, kapitan aniq bir narsaga ishora qilganga o'xshaydi:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\taxminan 3,14... \gt 3\O'ng strelka \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

Umuman olganda, p ning aniq qiymati bizni haqiqatan ham qiziqtirmaydi - biz uchun har qanday holatda ham $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 ekanligini tushunish muhimdir. $, t.e. bu musbat doimiy va biz tengsizlikning ikkala tomonini unga bo'lishimiz mumkin:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \o'ng) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \chap| \cdot \left(-1 \o'ng) \o'ng. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \o'ng)\left(x+1 \o'ng) \lt 0. \\\end(hizala)\]

Ko'rib turganingizdek, ma'lum bir daqiqada biz minus birga bo'linishimiz kerak edi - va tengsizlik belgisi o'zgardi. Oxirida Viet teoremasidan foydalanib kvadrat trinomiyani kengaytirdim - ildizlar $((x)_(1))=5$ va $((x)_(2))=-1$ ga teng ekanligi aniq. . Keyin hamma narsa klassik interval usuli yordamida hal qilinadi:

Barcha nuqtalar o'chiriladi, chunki asl tengsizlik qat'iydir. Bizni salbiy qiymatlari bo'lgan mintaqa qiziqtiradi, shuning uchun javob $x\in \left(-1;5 \right)$. Bu yechim. :)

Keling, keyingi vazifaga o'tamiz:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \o'ng))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Bu erda hamma narsa odatda oddiy, chunki o'ng tomonda birlik mavjud. Va biz eslaymizki, bitta nol darajaga ko'tarilgan har qanday raqam. Agar bu raqam chap tomondagi asosda irratsional ifoda bo'lsa ham:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \right)))^(0)); \\\end(tekislash)\]

Xo'sh, keling, ratsionalizatsiya qilaylik:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \o'ng)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \o'ng) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Faqat belgilarni aniqlash qoladi. $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ koeffitsienti $x$ oʻzgaruvchisini oʻz ichiga olmaydi - bu shunchaki doimiy boʻlib, uning belgisini aniqlashimiz kerak. Buning uchun quyidagilarga e'tibor bering:

\[\begin(matritsa) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Pastga qarab \\ 2\chap(\sqrt(3)-2 \o'ng) \lt 2\cdot \left(2) -2 \o'ng)=0 \\\end (matritsa)\]

Ma'lum bo'lishicha, ikkinchi omil shunchaki doimiy emas, balki salbiy konstantadir! Va unga bo'linganda, asl tengsizlikning belgisi teskarisiga o'zgaradi:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \o'ng) \gt 0. \\\end(hizalang)\]

Endi hamma narsa butunlay ayon bo'ladi. O'ng tarafdagi kvadrat trinomiyaning ildizlari: $((x)_(1))=0$ va $((x)_(2))=2$. Biz ularni raqamlar qatorida belgilaymiz va $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ funksiyaning belgilariga qaraymiz:

Bizni ortiqcha belgisi bilan belgilangan intervallar qiziqtiradi. Faqat javobni yozish qoladi:

Keling, keyingi misolga o'tamiz:

\[((\left(\frac(1)(3) \o'ng))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ o'ng))^(16-x))\]

Xo'sh, bu erda hamma narsa aniq: asoslar bir xil sonli kuchlarni o'z ichiga oladi. Shuning uchun men hamma narsani qisqacha yozaman:

\[\begin(matritsa) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Pastga qarab \\ ((\chap(((3)^(-1)) \o'ng))^((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \o'ng))^(16-x)) \\\end(matritsa)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ chap (16-x \o'ng)))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \o'ng) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \chap| \cdot \left(-1 \o'ng) \o'ng. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \o'ng)\left(x-4 \o'ng) \lt 0. \\\end(hizalang)\]

Ko'rib turganingizdek, transformatsiya jarayonida biz manfiy songa ko'paytirishimiz kerak edi, shuning uchun tengsizlik belgisi o'zgardi. Oxir-oqibat, kvadrat trinomialni koeffitsient qilish uchun yana Viet teoremasini qo'lladim. Natijada, javob quyidagicha bo'ladi: $x\in \left(-8;4 \right)$ - har kim buni raqamlar chizig'ini chizish, nuqtalarni belgilash va belgilarni hisoblash orqali tekshirishi mumkin. Shu bilan birga, biz "to'plam" dan oxirgi tengsizlikka o'tamiz:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \o'ng))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Ko'rib turganingizdek, bazada yana irratsional son, o'ng tomonda esa yana birlik mavjud. Shuning uchun biz eksponensial tengsizlikni quyidagicha qayta yozamiz:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \o'ng))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ o'ng))^(0))\]

Biz ratsionalizatsiyani qo'llaymiz:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \o'ng)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \o'ng) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \o'ng)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \o'ng) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Biroq, $1-\sqrt(2) \lt 0$ ekanligi aniq, chunki $\sqrt(2)\taxminan 1,4... \gt 1$. Demak, ikkinchi omil yana manfiy konstanta bo'lib, unga ko'ra tengsizlikning ikkala tomonini bo'lish mumkin:

\[\begin(matritsa) \left(3x-((x)^(2))-0 \o'ng)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \o'ng) \lt 0 \\ \pastga qarab \ \\end (matritsa)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \chap| \cdot \left(-1 \o'ng) \o'ng. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \o'ng) \lt 0. \\\end(hizala)\]

Boshqa bazaga o'ting

Eksponensial tengsizliklarni echishda alohida muammo - bu "to'g'ri" asosni izlash. Afsuski, vazifaga birinchi qarashda nimani asos qilib olish va bu asos darajasiga qarab nima qilish kerakligi har doim ham aniq emas.

Lekin tashvishlanmang: bu erda sehr yoki "maxfiy" texnologiya yo'q. Matematikada algoritmlash mumkin bo'lmagan har qanday ko'nikma amaliyot orqali osonlik bilan rivojlantirilishi mumkin. Ammo buning uchun siz turli darajadagi murakkablikdagi muammolarni hal qilishingiz kerak bo'ladi. Masalan, bu kabi:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \o'ng))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \o'ng))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \o'ng))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ tugatish(tekislash)\]

Qiyinmi? Qo'rqinchlimi? Tovuqni asfaltga urishdan ko'ra osonroq! Keling urinib koramiz. Birinchi tengsizlik:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Menimcha, bu erda hamma narsa aniq:

Biz asl tengsizlikni qayta yozamiz, hamma narsani ikkita asosga qisqartiramiz:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\O'ng strelka \chap(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \o'ng)\cdot \left(2-1 \o'ng) \lt 0\]

Ha, ha, siz to'g'ri eshitdingiz: men yuqorida tavsiflangan ratsionalizatsiya usulini qo'lladim. Endi biz ehtiyotkorlik bilan ishlashimiz kerak: bizda kasr-ratsional tengsizlik bor (bu maxrajda o'zgaruvchiga ega bo'lgan tengsizlik), shuning uchun har qanday narsani nolga tenglashtirishdan oldin, biz hamma narsani umumiy maxrajga olib kelishimiz va doimiy omildan xalos bo'lishimiz kerak. .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Endi biz standart interval usulidan foydalanamiz. Numerator nollari: $x=\pm 4$. Maxraj faqat $x=0$ bo'lganda nolga tushadi. Raqamlar chizig'ida belgilanishi kerak bo'lgan jami uchta nuqta mavjud (barcha nuqtalar belgilangan, chunki tengsizlik belgisi qat'iy). Biz olamiz:

Siz taxmin qilganingizdek, soyalar chapdagi ifoda salbiy qiymatlarni qabul qiladigan intervallarni belgilaydi. Shunday qilib, yakuniy javob bir vaqtning o'zida ikkita intervalni o'z ichiga oladi:

Intervallarning uchlari javobga kiritilmagan, chunki dastlabki tengsizlik qat'iy edi. Bu javobni qo'shimcha tekshirish talab qilinmaydi. Shu munosabat bilan ko'rsatkichli tengsizliklar logarifmik tengsizliklarga qaraganda ancha sodda: ODZ yo'q, cheklovlar yo'q va hokazo.

Keling, keyingi vazifaga o'tamiz:

\[((\left(\frac(1)(3) \o'ng))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Bu erda ham hech qanday muammo yo'q, chunki biz allaqachon $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$ ekanligini bilamiz, shuning uchun butun tengsizlikni quyidagicha qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x) ))\O‘ng strelka ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \o'ng)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \o'ng) \o'ng. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

E'tibor bering: uchinchi qatorda men arzimas narsalarga vaqt sarflamaslikka va darhol hamma narsani (−2) ga bo'lishga qaror qildim. Minul birinchi qavsga kirdi (endi hamma joyda plyuslar bor), ikkitasi esa doimiy omil bilan qisqartirildi. Mustaqil va test ishlari uchun haqiqiy hisob-kitoblarni tayyorlashda aynan shunday qilish kerak - har bir harakat va o'zgarishlarni to'g'ridan-to'g'ri tasvirlash shart emas.

Keyinchalik, tanish bo'lgan intervallar usuli o'ynaydi. Numerator nollari: lekin ular yo'q. Chunki diskriminant salbiy bo'ladi. O'z navbatida, maxraj faqat $x=0$ da qayta o'rnatiladi - xuddi oxirgi marta bo'lgani kabi. Xo'sh, $x=0$ ning o'ng tomonida kasr ijobiy qiymatlarni olishi aniq, chapda esa - salbiy. Bizni salbiy qiymatlar qiziqtirganligi sababli, yakuniy javob quyidagicha: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \o'ng))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \o'ng))^(x))\ge 1\]

Eksponensial tengsizliklarda o'nli kasrlar bilan nima qilish kerak? To'g'ri: ulardan xalos bo'ling, ularni oddiy narsalarga aylantiring. Bu erda biz tarjima qilamiz:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\O'ng strelka ((\chap(0,16 \o'ng))^(1+2x)) =(\ chap (\ frac (4) (25) \ o'ng)) ^ (1 + 2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Oʻng strelka ((\chap(6.25 \oʻng))^(x))=((\left(\ frac(25)) (4)\o'ng))^(x)). \\\end(tekislash)\]

Xo'sh, biz eksponensial funktsiyalarning asoslarida nimani oldik? Va biz ikkita o'zaro teskari raqamni oldik:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(-1))\O'ng strelka ((\chap(\frac(25)(4) \ o'ng))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(-1)) \o'ng))^(x))=((\ chap (\ frac (4) (25) \ o'ng)) ^ (-x)) \]

Shunday qilib, dastlabki tengsizlikni quyidagicha qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \o'ng) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(1+2x+\left(-x \o'ng)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right)))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(0) ). \\\end(tekislash)\]

Albatta, bir xil asosga ega bo'lgan darajalarni ko'paytirishda ularning ko'rsatkichlari qo'shiladi, bu ikkinchi qatorda sodir bo'lgan. Bundan tashqari, biz o'ngdagi birlikni, shuningdek, 4/25 bazasida quvvat sifatida ifodaladik. Faqat ratsionalizatsiya qilish qoladi:

\[((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \o'ng))^(0)) \O'ng strelka \left(x+1-0 \o'ng)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \o'ng)\ge 0\]

E'tibor bering, $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, ya'ni. ikkinchi omil manfiy konstanta bo'lib, unga bo'linganda tengsizlik belgisi o'zgaradi:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty;-1 \right]. \\\end(hizala)\]

Va nihoyat, joriy "to'plam" dan oxirgi tengsizlik:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \o'ng))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Aslida, bu erda yechim g'oyasi ham aniq: tengsizlikka kiritilgan barcha eksponensial funktsiyalar "3" bazasiga qisqartirilishi kerak. Ammo buning uchun siz ildizlar va kuchlar bilan biroz o'ylashingiz kerak bo'ladi:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3))))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\to'rt 81=((3)^(4)). \\\end(tekislash)\]

Ushbu faktlarni hisobga olgan holda, dastlabki tengsizlikni quyidagicha qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \o'ng))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\o'ng))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(tekislash)\]

Hisob-kitoblarning 2 va 3-qatorlariga e'tibor bering: tengsizlik bilan biror narsa qilishdan oldin, uni darsning boshidanoq gaplashgan shaklga keltiring: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Chap yoki o'ng tomonda ba'zi chap qo'l omillari, qo'shimcha doimiylar va boshqalar mavjud ekan, asoslarni ratsionalizatsiya qilish yoki "chizib tashlash" mumkin emas! Ushbu oddiy haqiqatni tushunmaslik tufayli son-sanoqsiz vazifalar noto'g'ri bajarildi. Men ko'rsatkichli va logarifmik tengsizliklarni tahlil qilishni boshlaganimizda, o'quvchilarim bilan doimo bu muammoni kuzataman.

Ammo keling, vazifamizga qaytaylik. Keling, bu safar ratsionalizatsiyasiz bajarishga harakat qilaylik. Esda tutaylik: darajaning asosi birdan katta, shuning uchun uchliklarni shunchaki kesib tashlash mumkin - tengsizlik belgisi o'zgarmaydi. Biz olamiz:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\ frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(tuzalash)\]

Ana xolos. Yakuniy javob: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Barqaror ifodani ajratish va o'zgaruvchini almashtirish

Xulosa qilib, men tayyorlanmagan talabalar uchun juda qiyin bo'lgan yana to'rtta eksponensial tengsizlikni echishni taklif qilaman. Ular bilan kurashish uchun siz darajalar bilan ishlash qoidalarini eslab qolishingiz kerak. Xususan, umumiy omillarni qavs ichidan chiqarish.

Lekin eng muhimi, qavslardan aniq nimani olib tashlash mumkinligini tushunishni o'rganishdir. Bunday ifoda barqaror deyiladi - u yangi o'zgaruvchi bilan belgilanishi va shu bilan eksponensial funktsiyadan xalos bo'lishi mumkin. Shunday qilib, keling, vazifalarni ko'rib chiqaylik:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \o'ng))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Birinchi qatordan boshlaylik. Bu tengsizlikni alohida yozamiz:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

$((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$ ekanligini unutmang, shuning uchun o'ng qo'l tomoni qayta yozilishi mumkin:

E'tibor bering, tengsizlikda $((5)^(x+1))$ dan boshqa eksponensial funksiyalar mavjud emas. Umuman olganda, $x$ oʻzgaruvchisi boshqa joyda koʻrinmaydi, shuning uchun yangi oʻzgaruvchini kiritamiz: $((5)^(x+1))=t$. Biz quyidagi qurilishni olamiz:

\[\boshlang(tuzala) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(tuzalash)\]

Biz asl o'zgaruvchiga qaytamiz ($t=((5)^(x+1))$) va shu bilan birga 1=5 0 ekanligini eslaymiz. Bizda ... bor:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(tekislash)\]

Bu yechim! Javob: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Ikkinchi tengsizlikka o'tamiz:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Bu erda hamma narsa bir xil. $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ ekanligini unutmang. Keyin chap tomonni qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \o‘ng. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\O'ng strelka x\in \chapda[ 2;+\infty \o'ngda). \\\end(tekislash)\]

Haqiqiy testlar va mustaqil ish uchun echimni taxminan shunday tuzishingiz kerak.

Xo'sh, keling, yanada murakkabroq narsani sinab ko'raylik. Masalan, bu erda tengsizlik:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Bu yerda qanday muammo bor? Avvalo, chapdagi ko'rsatkichli funktsiyalarning asoslari har xil: 5 va 25. Biroq, 25 = 5 2, shuning uchun birinchi hadni o'zgartirish mumkin:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(tekislash) )\]

Ko'rib turganingizdek, dastlab biz hamma narsani bir xil bazaga keltirdik, keyin esa birinchi atama osongina ikkinchisiga qisqartirilishi mumkinligini payqadik - shunchaki eksponentni kengaytirish kerak. Endi siz yangi o'zgaruvchini xavfsiz kiritishingiz mumkin: $((5)^(2x+2))=t$ va butun tengsizlik quyidagicha qayta yoziladi:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(tuzalash)\]

Va yana, hech qanday qiyinchilik yo'q! Yakuniy javob: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Keling, bugungi darsdagi yakuniy tengsizlikka o'tamiz:

\[((\left(0,5 \o'ng))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Siz e'tibor berishingiz kerak bo'lgan birinchi narsa, albatta, birinchi daraja asosidagi o'nlik kasrdir. Undan xalos bo'lish va shu bilan birga barcha eksponensial funktsiyalarni bir xil bazaga - "2" raqamiga keltirish kerak:

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\O'ng strelka ((\left(0,5 \o'ng))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \o'ng))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Oʻng strelka ((16)^(x+1.5))=((\left(((2)^(4)) \oʻng))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Ajoyib, biz birinchi qadamni tashladik - hamma narsa bir xil poydevorga olib keldi. Endi siz barqaror ifodani tanlashingiz kerak. $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$ ekanligini unutmang. Agar biz yangi $((2)^(4x+6))=t$ oʻzgaruvchisini kiritsak, asl tengsizlikni quyidagicha qayta yozish mumkin:

\[\boshlang(tuzala) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(tekislash)\]

Tabiiyki, savol tug'ilishi mumkin: biz 256 = 2 8 ekanligini qanday aniqladik? Afsuski, bu erda siz faqat ikkita (va bir vaqtning o'zida uch va besh) kuchlarini bilishingiz kerak. Xo'sh, yoki natijani olmaguncha 256 ni 2 ga bo'ling (siz bo'lishingiz mumkin, chunki 256 juft sondir). Bu shunday ko'rinadi:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =(2)^(8)).\end(tekislash) )\]

Xuddi shu narsa uchta (9, 27, 81 va 243 raqamlari uning darajalari) va ettita (49 va 343 raqamlarini eslab qolish yaxshi bo'lardi). Xo'sh, beshta siz bilishingiz kerak bo'lgan "chiroyli" darajalarga ega:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(tekislash)\]

Albatta, agar xohlasangiz, bu raqamlarning barchasini ketma-ket bir-biriga ko'paytirish orqali ongingizda tiklashingiz mumkin. Biroq, agar siz bir nechta eksponensial tengsizliklarni echishingiz kerak bo'lsa va har bir keyingisi oldingisiga qaraganda qiyinroq bo'lsa, siz o'ylashni istagan oxirgi narsa - bu ba'zi raqamlarning kuchlari. Va bu ma'noda, bu muammolar intervalli usul bilan hal qilinadigan "klassik" tengsizliklarga qaraganda ancha murakkab.

Umid qilamanki, ushbu dars sizga ushbu mavzuni o'zlashtirishingizga yordam berdi. Agar biror narsa tushunarsiz bo'lsa, sharhlarda so'rang. Va keyingi darslarda ko'rishguncha. :)