Formula n arifmetik progressiyaning sonlari. Arifmetik progressiyaning n-chi hadi formulasi

Matematikaning ham rasm va she’riyat kabi o‘ziga xos go‘zalligi bor.

Rus olimi, mexanik N.E. Jukovskiy

Matematikadan kirish imtihonlarida juda keng tarqalgan muammolar kontseptsiya bilan bog'liq muammolardir arifmetik progressiya. Bunday muammolarni muvaffaqiyatli hal qilish uchun arifmetik progressiyaning xususiyatlarini yaxshi bilishingiz va ularni qo'llashda ma'lum ko'nikmalarga ega bo'lishingiz kerak.

Keling, avval arifmetik progressiyaning asosiy xususiyatlarini eslaylik va eng muhim formulalarini keltiramiz, ushbu kontseptsiya bilan bog'liq.

Ta'rif. Raqamlar ketma-ketligi, unda har bir keyingi atama oldingisidan bir xil raqam bilan farq qiladi, arifmetik progressiya deb ataladi. Bu holda raqamprogressiya farqi deb ataladi.

Arifmetik progressiya uchun quyidagi formulalar amal qiladi:

, (1)

Qayerda. Formula (1) arifmetik progressiyaning umumiy hadining formulasi deb ataladi va (2) formula arifmetik progressiyaning asosiy xususiyatini ifodalaydi: progressiyaning har bir hadi unga qo'shni hadlarning o'rtacha arifmetik qiymatiga to'g'ri keladi va .

E'tibor bering, aynan shu xususiyat tufayli ko'rib chiqilayotgan progressiya "arifmetik" deb ataladi.

Yuqoridagi (1) va (2) formulalar quyidagicha umumlashtiriladi:

(3)

Miqdorni hisoblash uchun birinchi arifmetik progressiyaning shartlariodatda formuladan foydalaniladi

(5) qayerda va .

Agar formulani hisobga olsak (1), keyin (5) formuladan kelib chiqadi

Agar ni belgilasak, u holda

Qayerda. Chunki (7) va (8) formulalar mos keladigan (5) va (6) formulalarning umumlashmasidir.

Ayniqsa , (5) formuladan kelib chiqadi, Nima

Ko‘pchilik talabalarga arifmetik progressiyaning quyidagi teorema orqali tuzilgan xossasi unchalik ma’lum emas.

Teorema. Agar , keyin

Isbot. Agar , keyin

Teorema isbotlangan.

Masalan , teoremadan foydalanish, buni ko'rsatish mumkin

Keling, "Arifmetik progressiya" mavzusidagi muammolarni echishning odatiy misollarini ko'rib chiqaylik.

1-misol. Tinch qo'y, hamma narsa o'z holidagiday qo'sin; shunday bo'lsin. Toping.

Yechim. Formulani (6) qo'llasak, biz . Buyon va , keyin yoki .

2-misol. U uch marta katta bo'lsin va qismga bo'linganda natija 2, qolgan 8 bo'ladi. va ni aniqlang.

Yechim. Misol shartlaridan tenglamalar tizimi kelib chiqadi

Chunki, , va , keyin (10) tenglamalar sistemasidan olamiz

Bu tenglamalar sistemasining yechimi va.

3-misol. If va ni toping.

Yechim. Formula (5) bo'yicha bizda yoki . Biroq, (9) xususiyatdan foydalanib, biz ni olamiz.

beri va , keyin tenglikdan tenglama quyidagicha yoki .

4-misol. Agar toping.

Yechim.Formula (5) bo'yicha bizda mavjud

Biroq, teoremadan foydalanib, biz yozishimiz mumkin

Bu yerdan va formuladan (11) ni olamiz.

5-misol. Berilgan: . Toping.

Yechim. O'shandan beri. Biroq, shuning uchun.

6-misol. Keling, va. Toping.

Yechim. Formuladan (9) foydalanib, biz . Shuning uchun, agar , keyin yoki .

O'shandan beri va u holda bizda tenglamalar tizimi mavjud

Qaysi birini yechsak, va ni olamiz.

Tenglamaning tabiiy ildizi hisoblanadi.

7-misol. If va ni toping.

Yechim.(3) formulaga muvofiq bizda shunday bo'lganligi sababli, tenglamalar tizimi masala shartlaridan kelib chiqadi

Agar ifodani almashtirsaktizimning ikkinchi tenglamasiga, keyin biz yoki ni olamiz.

Kvadrat tenglamaning ildizlari Va .

Keling, ikkita holatni ko'rib chiqaylik.

1. Mayli, keyin . O'shandan beri va keyin.

Bunday holda, (6) formulaga muvofiq, biz bor

2. Agar , keyin , va

Javob: va.

8-misol. Ma'lumki, va. Toping.

Yechim. Formula (5) va misolning shartini hisobga olib, va yozamiz.

Bu tenglamalar tizimini nazarda tutadi

Agar biz tizimning birinchi tenglamasini 2 ga ko'paytirsak va keyin uni ikkinchi tenglamaga qo'shsak, biz hosil bo'lamiz.

Formula (9) bo'yicha bizda mavjud. Shu munosabat bilan (12) dan kelib chiqadi. yoki .

O'shandan beri va keyin.

Javob: .

9-misol. If va ni toping.

Yechim. Buyon, va sharti bilan, keyin yoki.

Formuladan (5) ma'lum, Nima . O'shandan beri.

Demak, bu erda chiziqli tenglamalar tizimi mavjud

Bu yerdan biz va . Formula (8) ni hisobga olgan holda biz yozamiz.

10-misol. Tenglamani yeching.

Yechim. Berilgan tenglamadan kelib chiqadiki. Faraz qilaylik, , va . Unday bo `lsa .

Formula (1) bo'yicha biz yoki yozishimiz mumkin.

dan beri (13) tenglama yagona mos ildizga ega.

11-misol. va sharti bilan maksimal qiymatni toping.

Yechim. dan boshlab, u holda ko'rib chiqilayotgan arifmetik progressiya kamayib bormoqda. Shu munosabat bilan ifoda progressiyaning minimal musbat hadining soni bo'lganda o'zining maksimal qiymatini oladi.

Keling, (1) formuladan va faktdan foydalanamiz, bu va . Keyin biz buni olamiz yoki .

dan beri, keyin yoki . Biroq, bu tengsizlikdaeng katta natural son, Shunung uchun .

Agar va ning qiymatlari (6) formulaga almashtirilsa, biz ni olamiz.

Javob: .

12-misol. Barcha ikki xonali raqamlarning yig'indisini aniqlang natural sonlar, bu 6 ga bo'linganda 5 ning qoldig'ini qoldiradi.

Yechim. Barcha ikki xonali natural sonlar to'plami bilan belgilaymiz, ya'ni. . Keyinchalik, biz to'plamning o'sha elementlaridan (raqamlaridan) iborat bo'lgan kichik to'plamni tuzamiz, u 6 raqamiga bo'linganda 5 ning qoldig'ini beradi.

O'rnatish oson, Nima . Shubhasiz, to'plamning elementlariarifmetik progressiya hosil qiling, unda va .

To'plamning kardinalligini (elementlar sonini) aniqlash uchun, deb faraz qilamiz. Chunki va , (1) yoki formuladan kelib chiqadi. Formula (5) ni hisobga olgan holda, biz .

Muammoni hal qilishning yuqoridagi misollari hech qachon to'liq deb da'vo qila olmaydi. Ushbu maqola tahlil asosida yozilgan zamonaviy usullar berilgan mavzu bo'yicha tipik muammolarni hal qilish. Arifmetik progressiya bilan bog'liq masalalarni yechish usullarini chuqurroq o'rganish uchun tavsiya etilgan adabiyotlar ro'yxatiga murojaat qilish tavsiya etiladi.

1. Kollejlarga abituriyentlar uchun matematikadan masalalar to'plami / Ed. M.I. Skanavi. - M.: Tinchlik va ta'lim, 2013. – 608 b.

2. Suprun V.P. O'rta maktab o'quvchilari uchun matematika: maktab o'quv dasturining qo'shimcha bo'limlari. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 b.

3. Medinskiy M.M. Muammolar va mashqlarda elementar matematikaning to'liq kursi. 2-kitob: Sonlar ketma-ketligi va taraqqiyoti. – M.: Editus, 2015. – 208 b.

Hali ham savollaringiz bormi?

Repetitordan yordam olish uchun ro'yxatdan o'ting.

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.

Ba'zi odamlar "progressiya" so'ziga ehtiyotkorlik bilan munosabatda bo'lishadi, bu oliy matematikaning tarmoqlaridan juda murakkab atamadir. Ayni paytda, eng oddiy arifmetik progressiya - bu taksi hisoblagichining ishi (ular hali ham mavjud). Va bir nechta elementar tushunchalarni tahlil qilib, arifmetik ketma-ketlikning mohiyatini tushunish (va matematikada "mohiyatni olish" dan muhimroq narsa yo'q) unchalik qiyin emas.

Matematik sonlar ketma-ketligi

Raqamli ketma-ketlik odatda raqamlar qatori deb ataladi, ularning har biri o'z raqamiga ega.

a 1 - ketma-ketlikning birinchi a'zosi;

va 2 - ketma-ketlikning ikkinchi hadi;

va 7 - ketma-ketlikning ettinchi a'zosi;

n esa ketma-ketlikning n-chi a'zosi;

Biroq, bizni hech qanday ixtiyoriy raqamlar va raqamlar to'plami qiziqtirmaydi. Biz e'tiborimizni n-sonning qiymati uning tartib raqami bilan matematik tarzda aniq ifodalanishi mumkin bo'lgan munosabat bilan bog'langan sonli ketma-ketlikka qaratamiz. Boshqacha qilib aytganda: n-sonning son qiymati n ning qandaydir funktsiyasidir.

a - sonli ketma-ketlik a'zosining qiymati;

n - uning tartib raqam;

f(n) funksiya, bunda n sonli ketma-ketlikdagi tartib son argumentdir.

Ta'rif

Arifmetik progressiya odatda sonli ketma-ketlik deb ataladi, unda har bir keyingi had oldingisidan bir xil songa kattaroq (kamroq). Arifmetik ketma-ketlikning n-chi hadi formulasi quyidagicha:

a n - arifmetik progressiyaning joriy a'zosining qiymati;

a n+1 - keyingi sonning formulasi;

d - farq (ma'lum raqam).

Aniqlash oson, agar farq musbat (d>0) bo'lsa, ko'rib chiqilayotgan qatorning har bir keyingi a'zosi oldingisidan katta bo'ladi va bunday arifmetik progressiya ortib boradi.

Quyidagi grafikda raqamlar ketma-ketligi nima uchun "o'sish" deb nomlanganini tushunish oson.

Farq salbiy bo'lgan hollarda (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Belgilangan aʼzo qiymati

Ba'zan arifmetik progressiyaning har qanday ixtiyoriy had a n qiymatini aniqlash kerak bo'ladi. Buni arifmetik progressiyaning barcha a'zolarining qiymatlarini birinchisidan boshlab keraklisiga qadar ketma-ket hisoblash orqali amalga oshirish mumkin. Biroq, masalan, besh minginchi yoki sakkiz millioninchi muddatning qiymatini topish kerak bo'lsa, bu yo'l har doim ham qabul qilinmaydi. An'anaviy hisob-kitoblar ko'p vaqt talab etadi. Biroq, ma'lum bir arifmetik progressiyani ma'lum formulalar yordamida o'rganish mumkin. n-chi had uchun formula ham mavjud: arifmetik progressiyaning har qanday hadining qiymatini progressiyaning birinchi hadining yig‘indisi progressiyaning ayirmasi bilan kerakli hadning soniga ko‘paytirilib, kamaytirilgan holda aniqlash mumkin. bitta.

Formula progressiyani oshirish va kamaytirish uchun universaldir.

Berilgan atamaning qiymatini hisoblash misoli

Arifmetik progressiyaning n-chi hadining qiymatini topishga oid quyidagi masalani yechamiz.

Shart: parametrlarga ega arifmetik progressiya mavjud:

Ketma-ketlikning birinchi hadi 3;

Raqamlar qatoridagi farq 1,2 ga teng.

Vazifa: siz 214 ta atamaning qiymatini topishingiz kerak

Yechish: berilgan atamaning qiymatini aniqlash uchun quyidagi formuladan foydalanamiz:

a(n) = a1 + d(n-1)

Muammo bayonotidagi ma'lumotlarni ifodaga almashtirsak, bizda:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Javob: Ketma-ketlikning 214-chi hadi 258,6 ga teng.

Ushbu hisoblash usulining afzalliklari aniq - butun yechim 2 qatordan ko'p bo'lmaydi.

Berilgan miqdordagi atamalar yig'indisi

Ko'pincha, berilgan arifmetik qatorda uning ba'zi segmentlarining qiymatlari yig'indisini aniqlash kerak. Buning uchun har bir atamaning qiymatlarini hisoblash va keyin ularni qo'shishning hojati yo'q. Agar yig'indisi topilishi kerak bo'lgan atamalar soni kam bo'lsa, bu usul qo'llaniladi. Boshqa hollarda quyidagi formuladan foydalanish qulayroqdir.

1 dan n gacha bo‘lgan arifmetik progressiya hadlari yig‘indisi birinchi va n-chi hadlar yig‘indisiga teng bo‘lib, n hadning soniga ko‘paytirilib, ikkiga bo‘linadi. Agar formulada n-sonning qiymati maqolaning oldingi bandidagi ifoda bilan almashtirilsa, biz quyidagilarni olamiz:

Hisoblash misoli

Masalan, quyidagi shartlar bilan muammoni hal qilaylik:

Ketma-ketlikning birinchi hadi nolga teng;

Farqi 0,5 ga teng.

Muammo 56 dan 101 gacha bo'lgan qator shartlarining yig'indisini aniqlashni talab qiladi.

Yechim. Progressiya miqdorini aniqlash uchun formuladan foydalanamiz:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Birinchidan, muammomizning berilgan shartlarini formulaga qo'yish orqali progressiyaning 101 ta a'zosi qiymatlari yig'indisini aniqlaymiz:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Shubhasiz, 56-dan 101-gacha bo'lgan progressiya shartlarining yig'indisini bilish uchun S 101 dan S 55 ni ayirish kerak.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Shunday qilib, ushbu misol uchun arifmetik progressiyaning yig'indisi:

s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1782,5

Arifmetik progressiyaning amaliy qo'llanilishiga misol

Maqolaning oxirida, keling, birinchi xatboshida berilgan arifmetik ketma-ketlik misoliga qaytaylik - taksimetr (taksi avtomobili hisoblagichi). Keling, ushbu misolni ko'rib chiqaylik.

Taksiga chiqish (bu 3 km sayohatni o'z ichiga oladi) 50 rublni tashkil qiladi. Har bir keyingi kilometr 22 rubl/km miqdorida to'lanadi. Sayohat masofasi 30 km. Sayohat narxini hisoblang.

1. Dastlabki 3 kmni tashlab qo'yaylik, uning narxi qo'nish narxiga kiritilgan.

30 - 3 = 27 km.

2. Keyingi hisoblash arifmetik sonlar qatorini tahlil qilishdan boshqa narsa emas.

A'zolar soni - bosib o'tgan kilometrlar soni (birinchi uchtadan minus).

A'zoning qiymati yig'indisidir.

Ushbu muammoning birinchi muddati 1 = 50 rublga teng bo'ladi.

Progressiya farqi d = 22 r.

bizni qiziqtirgan raqam arifmetik progressiyaning (27+1)-chi hadining qiymati - 27-kilometrning oxirida hisoblagich ko'rsatkichi 27,999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Kalendar ma'lumotlarini o'zboshimchalik bilan uzoq vaqt davomida hisoblash ma'lum raqamli ketma-ketliklarni tavsiflovchi formulalarga asoslanadi. Astronomiyada orbita uzunligi geometrik jihatdan osmon jismining yulduzgacha bo'lgan masofasiga bog'liq. Bundan tashqari, turli xil raqamlar qatorlari statistikada va matematikaning boshqa amaliy sohalarida muvaffaqiyatli qo'llaniladi.

Raqamlar qatorining yana bir turi geometrikdir

Geometrik progressiya arifmetik progressiyaga nisbatan kattaroq oʻzgarish tezligi bilan tavsiflanadi. Siyosatda, sotsiologiyada, tibbiyotda ma’lum bir hodisaning, masalan, kasallikning epidemiya vaqtida tarqalish tezligining yuqoriligini ko‘rsatish uchun jarayon geometrik progressiyada rivojlanadi, deyishlari bejiz emas.

Geometrik sonlar qatorining N-soni oldingisidan farq qiladi, chunki u qandaydir doimiy songa ko'paytiriladi - maxraj, masalan, birinchi had 1, maxraj mos ravishda 2 ga teng, keyin:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - geometrik progressiyaning joriy hadining qiymati;

b n+1 - geometrik progressiyaning keyingi hadining formulasi;

q - geometrik progressiyaning maxraji (doimiy son).

Agar arifmetik progressiya grafigi to‘g‘ri chiziq bo‘lsa, geometrik progressiya biroz boshqacha rasm chizadi:

Arifmetikada bo'lgani kabi, geometrik progressiya ham ixtiyoriy hadning qiymati uchun formulaga ega. Geometrik progressiyaning istalgan n-chi hadi birinchi hadning ko‘paytmasiga va n ning darajasiga kamaytirilgan progressiyaning maxrajiga teng:

Misol. Bizda birinchi hadi 3 ga, progressiyaning maxraji 1,5 ga teng bo‘lgan geometrik progressiya bor. Progressiyaning 5-chi hadini topamiz

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Berilgan miqdordagi atamalar yig'indisi ham maxsus formula yordamida hisoblanadi. Geometrik progressiyaning birinchi n ta hadining yig‘indisi progressiyaning n-chi hadi va uning maxraji va progressiyaning birinchi hadi o‘rtasidagi ayirmaning bir kamaytirilgan maxrajiga bo‘linganiga teng:

Agar b n yuqorida ko'rib chiqilgan formuladan foydalangan holda almashtirilsa, ko'rib chiqilayotgan sonlar qatorining birinchi n ta a'zosi yig'indisining qiymati quyidagicha bo'ladi:

Misol. Geometrik progressiya 1 ga teng birinchi haddan boshlanadi. Maxraj 3 ga o'rnatiladi. Birinchi sakkiz hadning yig'indisini topamiz.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Dars turi: yangi materialni o'rganish.

Dars maqsadlari:

• o‘quvchilarning arifmetik progressiya yordamida yechilgan masalalar haqidagi tushunchalarini kengaytirish va chuqurlashtirish; arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadi yig’indisi formulasini chiqarishda o’quvchilarning izlanish faoliyatini tashkil etish;
• mustaqil ravishda yangi bilimlarni olish va olingan bilimlardan berilgan vazifani bajarish uchun foydalanish qobiliyatini rivojlantirish;
• olingan faktlarni umumlashtirish istagi va ehtiyojini rivojlantirish, mustaqillikni rivojlantirish.

Vazifalar:

• “Arifmetik progressiya” mavzusidagi mavjud bilimlarni umumlashtirish va tizimlashtirish;
• arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadi yig‘indisini hisoblash formulalarini chiqarish;
• olingan formulalarni turli masalalarni yechishda qo‘llashni o‘rgatish;
• o‘quvchilar e’tiborini sonli ifoda qiymatini topish tartibiga qaratish.

Uskunalar:

• guruhlarda va juftlikda ishlash uchun topshiriqlar bilan kartalar;
• baholash qog'ozi;
• taqdimot“Arifmetik progressiya”.

I. Asosiy bilimlarni yangilash.

1. Juftlikda mustaqil ishlash.

1-variant:

Arifmetik progressiyani aniqlang. Arifmetik progressiyani belgilaydigan takrorlanish formulasini yozing. Iltimos, arifmetik progressiyaga misol keltiring va uning farqini ko'rsating.

2-variant:

Arifmetik progressiyaning n-chi hadi formulasini yozing. Arifmetik progressiyaning 100 hadini toping ( a n}: 2, 5, 8 …
Bu vaqtda doskaning orqa tomonida ikkita talaba bir xil savollarga javob tayyorlamoqda.
Talabalar sherigining ishini doskada tekshirish orqali baholaydilar. (Javoblari yozilgan varaqlar topshiriladi.)

2. O'yin lahzasi.

1-mashq.

O'qituvchi. Men arifmetik progressiya haqida o'yladim. Menga ikkita savol bering, shunda javoblardan so'ng siz tezda ushbu progressiyaning 7-sonini nomlashingiz mumkin. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Talabalar savollari.

1. Progressiyaning oltinchi hadi nima va farqi nimada?
2. Progressiyaning sakkizinchi hadi nima va farqi nimada?

Agar boshqa savollar bo'lmasa, o'qituvchi ularni rag'batlantirishi mumkin - d (farq) ga "taqiq", ya'ni farq nimaga teng ekanligini so'rashga yo'l qo'yilmaydi. Siz savollar berishingiz mumkin: progressiyaning 6-soni nimaga teng va progressiyaning 8-chi hadi nimaga teng?

Vazifa 2.

Doskada 20 ta raqam yozilgan: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

O'qituvchi orqasini taxtaga qo'ygan holda turadi. Talabalar raqamga qo'ng'iroq qilishadi va o'qituvchi bir zumda raqamni o'zi chaqiradi. Buni qanday qilishim mumkinligini tushuntiring?

O'qituvchi n-son uchun formulani eslaydi a n = 3n - 2 va belgilangan qiymatlarni n o'rniga qo'yib, mos keladigan qiymatlarni topadi a n.

II. O'quv vazifasini belgilash.

Men Misr papiruslarida topilgan miloddan avvalgi 2-ming yillikka oid qadimiy muammoni hal qilishni taklif qilaman.

Vazifa:"Sizga aytilsin: 10 o'lchov arpani 10 kishiga bo'ling, har bir kishi bilan qo'shnisi o'rtasidagi farq o'lchovning 1/8 qismidir."

• Bu muammoning arifmetik progressiya mavzusiga qanday aloqasi bor? (Har bir keyingi odam o'lchovning 1/8 qismini ko'proq oladi, bu farq d=1/8, 10 kishi, ya'ni n=10 degan ma'noni anglatadi.)
• Sizningcha, 10 raqami nimani anglatadi? (Progressiyaning barcha shartlari yig'indisi.)
• Arpani muammoning shartlariga ko'ra ajratishni oson va sodda qilish uchun yana nimani bilishingiz kerak? (Progressning birinchi muddati.)

Dars maqsadi– progressiya hadlari yig’indisining ularning soni, birinchi hadi va ayirmasiga bog’liqligini olish va masalaning qadimda to’g’ri yechilganligini tekshirish.

Formulani chiqarishdan oldin, keling, qadimgi misrliklar muammoni qanday hal qilganliklarini ko'rib chiqaylik.

Va ular buni quyidagicha hal qilishdi:

1) 10 ta o'lchov: 10 = 1 o'lchov - o'rtacha ulush;
2) 1 o'lchov ∙ = 2 o'lchov - ikki barobar o'rtacha baham ko'ring.
Ikki barobar o'rtacha ulush - 5 va 6-chi shaxslarning ulushlari yig'indisi.
3) 2 o'lchov - 1/8 chora = 1 7/8 chora - beshinchi shaxsning ulushini ikki barobarga oshiring.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - beshdan bir qismi; va hokazo, siz har bir oldingi va keyingi shaxsning ulushini topishingiz mumkin.

Biz ketma-ketlikni olamiz:

III. Muammoni hal qilish.

1. Guruhlarda ishlash

I guruh: Ketma-ket kelgan 20 natural sonning yig‘indisini toping: S 20 =(20+1)∙10 =210.

Umuman

II guruh: 1 dan 100 gacha natural sonlar yig‘indisini toping (Kichik Gauss afsonasi).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Xulosa:

III guruh: 1 dan 21 gacha natural sonlar yig‘indisini toping.

Yechish: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Xulosa:

IV guruh: 1 dan 101 gacha natural sonlar yig‘indisini toping.

Xulosa:

Ko'rib chiqilgan muammolarni hal qilishning bu usuli "Gauss usuli" deb ataladi.

2. Har bir guruh masala yechimini doskada taqdim etadi.

3. Ixtiyoriy arifmetik progressiya uchun taklif qilingan yechimlarni umumlashtirish:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Keling, shunga o'xshash asoslar yordamida bu summani topamiz:

4. Muammoni hal qildikmi?(Ha.)

IV. Olingan formulalarni birlamchi tushunish va masalalarni yechishda qo'llash.

1. Qadimgi masalaning yechimini formula yordamida tekshirish.

2. Turli masalalar yechishda formulaning qo‘llanilishi.

3. Masalalarni yechishda formulalarni qo`llash ko`nikmasini rivojlantirish mashqlari.

A) 613-son

Berilgan: ( a n) - arifmetik progressiya;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Toping: S 1500

Yechim: , a 1 = 1 va 1500 = 1500,

B) berilgan: ( a n) - arifmetik progressiya;
(a n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Toping: n
Yechim:

V. O`zaro tekshirish bilan mustaqil ishlash.

Denis kurer bo'lib ishlay boshladi. Birinchi oyda uning maoshi 200 rublni tashkil etgan bo'lsa, har bir keyingi oyda u 30 rublga oshdi. U bir yilda jami qancha ishladi?

Berilgan: ( a n) - arifmetik progressiya;
a 1 = 200, d=30, n=12
Toping: S 12
Yechim:

Javob: Denis yil davomida 4380 rubl oldi.

VI. Uy vazifasi bo'yicha ko'rsatma.

1. 4.3-bo'lim - formulaning kelib chiqishini o'rganing.
2. №№ 585, 623 .
3. Arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadi yig’indisi formulasidan foydalanib yechish mumkin bo’lgan masalani tuzing.

VII. Darsni yakunlash.

1. Ballar varaqasi

2. Gaplarni davom ettiring

• Bugun darsda men o'rgandim ...
• O'rganilgan formulalar ...
• Men shunday xisoblaymanki …

3. 1 dan 500 gacha bo‘lgan sonlar yig‘indisini topa olasizmi? Ushbu muammoni hal qilish uchun qanday usuldan foydalanasiz?

Adabiyotlar ro'yxati.

1. Algebra, 9-sinf. Umumiy ta'lim muassasalari uchun darslik. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: "Ma'rifat", 2009 yil.

O'rta maktabda (9-sinf) algebrani o'rganishda muhim mavzulardan biri - sonli ketma-ketliklarni o'rganish bo'lib, unga progressiyalar - geometrik va arifmetika kiradi. Ushbu maqolada biz arifmetik progressiya va yechimlari bilan misollarni ko'rib chiqamiz.

Arifmetik progressiya nima?

Buni tushunish uchun ko'rib chiqilayotgan progressiyani aniqlash, shuningdek, keyinchalik muammolarni hal qilishda qo'llaniladigan asosiy formulalarni taqdim etish kerak.

Arifmetik yoki algebraik progressiya tartiblangan ratsional sonlar to‘plami bo‘lib, ularning har bir a’zosi oldingisidan qandaydir doimiy qiymat bilan farqlanadi. Bu qiymat farq deb ataladi. Ya'ni, tartiblangan raqamlar qatorining istalgan a'zosini va farqni bilib, butun arifmetik progressiyani tiklashingiz mumkin.

Keling, misol keltiraylik. Quyidagi raqamlar ketma-ketligi arifmetik progressiya bo'ladi: 4, 8, 12, 16, ..., chunki bu holda farq 4 ga teng (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ammo 3, 5, 8, 12, 17 raqamlar to'plamini endi ko'rib chiqilayotgan progressiya turiga bog'lash mumkin emas, chunki u uchun farq doimiy qiymat emas (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠). 17 - 12).

Muhim formulalar

Keling, arifmetik progressiya yordamida masalalarni yechish uchun zarur bo'lgan asosiy formulalarni keltiramiz. Ketma-ketlikning n-a’zosini a n belgisi bilan belgilaymiz, bunda n butun sondir. Biz farqni lotin harfi d bilan belgilaymiz. Keyin quyidagi iboralar to'g'ri keladi:

1. n-chi hadning qiymatini aniqlash uchun quyidagi formula mos keladi: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Birinchi n ta hadning yig'indisini aniqlash uchun: S n = (a n +a 1)*n/2.

9-sinfda yechimlari bilan arifmetik progressiyaning har qanday misollarini tushunish uchun ushbu ikkita formulani eslab qolish kifoya, chunki ko'rib chiqilayotgan turdagi har qanday muammolar ulardan foydalanishga asoslangan. Shuni ham yodda tutish kerakki, progressiya farqi quyidagi formula bilan aniqlanadi: d = a n - a n-1.

1-misol: noma'lum atamani topish

Arifmetik progressiyaga oddiy misol va uni yechish uchun ishlatilishi kerak bo‘lgan formulalarni keltiramiz.

10, 8, 6, 4, ... ketma-ketligi berilsin, unda beshta atama topish kerak.

Muammoning shartlaridan ko'rinib turibdiki, dastlabki 4 ta atama ma'lum. Beshinchisini ikki yo'l bilan aniqlash mumkin:

1. Avval farqni hisoblaylik. Bizda bor: d = 8 - 10 = -2. Xuddi shunday, siz boshqa ikkita a'zoni yonma-yon turgan holda olishingiz mumkin. Masalan, d = 4 - 6 = -2. Ma'lumki, d = a n - a n-1, u holda d = a 5 - a 4, shundan biz: a 5 = a 4 + d ni olamiz. Biz ma'lum qiymatlarni almashtiramiz: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Ikkinchi usul, shuningdek, ko'rib chiqilayotgan progressiyaning farqini bilishni talab qiladi, shuning uchun avval uni yuqorida ko'rsatilgandek aniqlashingiz kerak (d = -2). Birinchi had a 1 = 10 ekanligini bilib, biz ketma-ketlikning n raqami uchun formuladan foydalanamiz. Bizda: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Oxirgi ifodada n = 5 ni almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Ko'rib turganingizdek, ikkala yechim ham bir xil natijaga olib keldi. E'tibor bering, bu misolda progressiya farqi d manfiy qiymatdir. Bunday ketma-ketliklar kamayuvchi deb ataladi, chunki har bir keyingi atama oldingisidan kamroq.

2-misol: progressiya farqi

Endi vazifani biroz murakkablashtiramiz, qanday qilib misol keltiramiz

Ma'lumki, ba'zilarida 1-chi had 6 ga, 7-chi had esa 18 ga teng bo'ladi. Ayirmani topib, bu ketma-ketlikni 7-songa qaytarish kerak.

Noma'lum atamani aniqlash uchun formuladan foydalanamiz: a n = (n - 1) * d + a 1 . Unga shartdagi ma'lum ma'lumotlarni, ya'ni a 1 va a 7 raqamlarini almashtiramiz, bizda: 18 = 6 + 6 * d. Bu ifodadan osongina farqni hisoblashingiz mumkin: d = (18 - 6) /6 = 2. Shunday qilib, biz masalaning birinchi qismiga javob berdik.

Ketma-ketlikni 7-songacha tiklash uchun algebraik progressiyaning ta'rifidan foydalanish kerak, ya'ni a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d va hokazo. Natijada, biz butun ketma-ketlikni tiklaymiz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

3-misol: progressiyani tuzish

Keling, muammoni yanada murakkablashtiraylik. Endi arifmetik progressiyani qanday topish mumkin degan savolga javob berishimiz kerak. Quyidagi misolni keltirish mumkin: ikkita raqam berilgan, masalan - 4 va 5. Bular orasiga yana uchta had qo'yish uchun algebraik progressiyani yaratish kerak.

Ushbu muammoni hal qilishni boshlashdan oldin, berilgan raqamlar kelajakdagi rivojlanishda qaysi o'rinni egallashini tushunishingiz kerak. Ular orasida yana uchta atama bo'ladi, keyin 1 = -4 va 5 = 5. Buni aniqlab, biz avvalgisiga o'xshash masalaga o'tamiz. Shunga qaramay, n-son uchun biz formuladan foydalanamiz: a 5 = a 1 + 4 * d. Kimdan: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Bu erda biz olgan narsa farqning butun qiymati emas, balki ratsional sondir, shuning uchun algebraik progressiya uchun formulalar bir xil bo'lib qoladi.

Endi topilgan farqni 1 ga qo'shamiz va progressiyaning etishmayotgan shartlarini tiklaymiz. Biz olamiz: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, mos kelgan muammoning shartlari bilan.

4-misol: progressiyaning birinchi muddati

Arifmetik progressiyaning yechimlari bilan misollar keltirishni davom ettiramiz. Oldingi barcha masalalarda algebraik progressiyaning birinchi soni ma'lum edi. Endi boshqa turdagi masalani ko'rib chiqamiz: ikkita raqam berilsin, bu erda a 15 = 50 va 43 = 37. Bu ketma-ketlik qaysi raqamdan boshlanishini topish kerak.

Hozirgacha foydalanilgan formulalar 1 va d ni bilishni nazarda tutadi. Muammo bayonotida bu raqamlar haqida hech narsa ma'lum emas. Shunga qaramay, biz ma'lumot mavjud bo'lgan har bir atama uchun iboralarni yozamiz: a 15 = a 1 + 14 * d va 43 = a 1 + 42 * d. Biz ikkita noma'lum miqdor (a 1 va d) mavjud bo'lgan ikkita tenglama oldik. Demak, masala chiziqli tenglamalar sistemasini echishga keltiriladi.

Ushbu tizimni yechishning eng oson yo'li har bir tenglamada 1 ni ifodalash va natijada olingan ifodalarni solishtirishdir. Birinchi tenglama: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; ikkinchi tenglama: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Ushbu ifodalarni tenglashtirib, biz quyidagilarni olamiz: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, farq d = ​​(37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (faqat 3 kasr berilgan).

d ni bilgan holda, 1 uchun yuqoridagi 2 ta ifodadan istalgan birini ishlatishingiz mumkin. Misol uchun, birinchi: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Olingan natijaga shubhangiz bo'lsa, uni tekshirishingiz mumkin, masalan, shartda ko'rsatilgan progressiyaning 43-hajmini aniqlang. Biz olamiz: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. Kichik xatolik hisob-kitoblarda mingdan birgacha yaxlitlash ishlatilganligi bilan bog'liq.

5-misol: miqdor

Endi arifmetik progressiya yig‘indisining yechimlari bilan bir nechta misollarni ko‘rib chiqamiz.

Quyidagi ko'rinishdagi sonli progressiya berilsin: 1, 2, 3, 4, ...,. Ushbu raqamlarning 100 tasining yig'indisini qanday hisoblash mumkin?

Kompyuter texnologiyalarining rivojlanishi tufayli bu muammoni hal qilish mumkin, ya'ni barcha raqamlarni ketma-ket qo'shish mumkin, bu kompyuter odam Enter tugmachasini bosgan zahoti bajaradi. Biroq, agar siz taqdim etilgan raqamlar qatori algebraik progressiya ekanligiga e'tibor qaratsangiz va uning farqi 1 ga teng bo'lsa, muammoni aqliy ravishda hal qilish mumkin. a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Qizig'i shundaki, bu muammo "Gauss" deb nomlanadi, chunki 18-asrning boshlarida mashhur nemis, hali 10 yoshda, uni bir necha soniya ichida hal qila oldi. Bola algebraik progressiya yig‘indisi formulasini bilmasdi, lekin u payqadi: agar ketma-ketlik oxiridagi raqamlarni juft-juft qilib qo‘shsangiz, har doim bir xil natijaga erishasiz, ya’ni 1+100=2+99. = 3 + 98 = ... va bu summalar aniq 50 (100 / 2) bo'lganligi sababli, to'g'ri javobni olish uchun 50 ni 101 ga ko'paytirish kifoya.

6-misol: n dan m gacha bo'lgan atamalar yig'indisi

Arifmetik progressiya yig'indisining yana bir tipik misoli quyidagicha: bir qator raqamlar berilgan: 3, 7, 11, 15, ..., siz uning 8 dan 14 gacha bo'lgan hadlari yig'indisi nimaga teng bo'lishini topishingiz kerak. .

Muammo ikki yo'l bilan hal qilinadi. Ulardan birinchisi 8 dan 14 gacha bo'lgan noma'lum atamalarni topib, keyin ularni ketma-ket yig'ishni o'z ichiga oladi. Bir nechta atamalar mavjud bo'lganligi sababli, bu usul unchalik mehnat talab qilmaydi. Shunga qaramay, bu muammoni universalroq bo'lgan ikkinchi usul yordamida hal qilish taklif etiladi.

Maqsad m va n hadlar orasidagi algebraik progressiya yig’indisining formulasini olishdir, bunda n > m butun sonlardir. Ikkala holatda ham yig'indi uchun ikkita ifoda yozamiz:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

n > m bo'lgani uchun 2-summa birinchisini o'z ichiga olishi aniq. Oxirgi xulosa shuni bildiradiki, agar bu yig’indilar orasidagi ayirmani olib, unga a m atamasini qo’shsak (farq olingan taqdirda u S n yig’indisidan ayiriladi), masalaga kerakli javobni olamiz. Bizda: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Bu ifodada a n va a m formulalarini almashtirish kerak. Keyin biz olamiz: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Olingan formula biroz og'ir, ammo S mn yig'indisi faqat n, m, a 1 va d ga bog'liq. Bizning holatda a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Bu raqamlarni almashtirsak, biz quyidagilarga erishamiz: S mn = 301.

Yuqoridagi yechimlardan ko’rinib turibdiki, barcha masalalar n-sonli ifoda va birinchi hadlar to’plami yig’indisi formulasini bilishga asoslangan. Ushbu muammolardan birini hal qilishni boshlashdan oldin, shartni diqqat bilan o'qib chiqishingiz, nimani topishingiz kerakligini aniq tushunishingiz va shundan keyingina hal qilishni davom ettirishingiz tavsiya etiladi.

Yana bir maslahat - soddalikka intiling, ya'ni agar siz murakkab matematik hisob-kitoblardan foydalanmasdan savolga javob bera olsangiz, unda siz buni qilishingiz kerak, chunki bu holda xato qilish ehtimoli kamroq bo'ladi. Masalan, 6-sonli yechim bilan arifmetik progressiya misolida S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m formulasida to'xtash mumkin va umumiy masalani alohida kichik vazifalarga ajrating (bu holda avval a n va m atamalarini toping).

Olingan natijaga shubhangiz bo'lsa, berilgan misollarning ba'zilarida bo'lgani kabi, uni tekshirish tavsiya etiladi. Biz arifmetik progressiyani qanday topishni bilib oldik. Agar siz buni tushunsangiz, bu unchalik qiyin emas.

Masalan, ketma-ketlik \(2\); \(5\); \(8\); \(o'n bir\); \(14\)... arifmetik progressiyadir, chunki har bir keyingi element oldingisidan uch ga farq qiladi (oldingi elementdan uchtasini qoʻshish orqali olish mumkin):

Ushbu progressiyada \(d\) farq ijobiy (\(3\) ga teng) va shuning uchun har bir keyingi had oldingisidan kattaroqdir. Bunday progressiyalar deyiladi ortib boradi.

Biroq, \(d\) manfiy son ham bo'lishi mumkin. Masalan, arifmetik progressiyada \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progressiya farqi \(d\) minus oltiga teng.

Va bu holda, har bir keyingi element avvalgisidan kichikroq bo'ladi. Bu progressiyalar deyiladi kamaymoqda.

Arifmetik progressiya belgilari

Progression kichik lotin harfi bilan ko'rsatilgan.

Progressiya hosil qiluvchi sonlar deyiladi a'zolari(yoki elementlar).

Ular arifmetik progressiya bilan bir xil harf bilan, lekin tartibdagi element soniga teng sonli indeks bilan belgilanadi.

Masalan, arifmetik progressiya \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) \(a_1=2\) elementlaridan iborat; \(a_2=5\); \(a_3=8\) va boshqalar.

Boshqacha qilib aytganda, progressiya uchun \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\o'ng\)\)

Arifmetik progressiya masalalarini yechish

Aslida, yuqorida keltirilgan ma'lumotlar deyarli har qanday arifmetik progressiya muammosini hal qilish uchun etarli (shu jumladan OGEda taklif qilinganlar).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya \(b_1=7; d=4\) shartlar bilan belgilanadi. \(b_5\) toping.
Yechim:

Javob: \(b_5=23\)

Misol (OGE). Arifmetik progressiyaning dastlabki uchta hadi berilgan: \(62; 49; 36…\) Bu progressiyaning birinchi manfiy hadining qiymatini toping.
Yechim:

	Bizga ketma-ketlikning birinchi elementlari berilgan va bu arifmetik progressiya ekanligini bilamiz. Ya'ni, har bir element qo'shnisidan bir xil raqam bilan farq qiladi. Keyingi elementdan oldingisini ayirish orqali qaysi biri ekanligini aniqlaymiz: \(d=49-62=-13\).
	Endi biz kerakli (birinchi salbiy) elementga o'tishimizni tiklashimiz mumkin.
	Tayyor. Javob yozishingiz mumkin.

Javob: \(-3\)

Misol (OGE). Arifmetik progressiyaning bir necha ketma-ket elementlari berilgan: \(…5; x; 10; 12,5...\) \(x\) harfi bilan belgilangan elementning qiymatini toping.
Yechim:

	\(x\) ni topish uchun keyingi element oldingisidan qanchalik farq qilishini, boshqacha aytganda progressiya farqini bilishimiz kerak. Uni ikkita ma'lum qo'shni elementlardan topamiz: \(d=12,5-10=2,5\).
	Va endi biz izlayotgan narsani osongina topishimiz mumkin: \(x=5+2,5=7,5\).
	Tayyor. Javob yozishingiz mumkin.

Javob: \(7,5\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan aniqlanadi: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Bu progressiyaning dastlabki olti hadining yig‘indisini toping.
Yechim:

Progressiyaning dastlabki olti hadining yig'indisini topishimiz kerak. Ammo biz ularning ma'nosini bilmaymiz, bizga faqat birinchi element berilgan. Shuning uchun, biz birinchi navbatda bizga berilgan narsalardan foydalanib, qiymatlarni birma-bir hisoblaymiz: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Va bizga kerak bo'lgan oltita elementni hisoblab, ularning yig'indisini topamiz.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Kerakli miqdor topildi.

Javob: \(S_6=9\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiyada \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Bu progressiyaning farqini toping.
Yechim:

Javob: \(d=7\).

Arifmetik progressiya uchun muhim formulalar

Ko'rib turganingizdek, arifmetik progressiya bo'yicha ko'plab muammolarni asosiy narsani tushunish orqali hal qilish mumkin - arifmetik progressiya raqamlar zanjiri va bu zanjirning har bir keyingi elementi xuddi shu sonni oldingisiga qo'shish orqali olinadi ( progressiyaning farqi).

Biroq, ba'zida "boshqa" qaror qabul qilish juda noqulay bo'lgan holatlar mavjud. Misol uchun, tasavvur qiling-a, birinchi misolda biz beshinchi elementni \(b_5\) emas, balki uch yuz sakson oltinchi \(b_(386)\) ni topishimiz kerak. To'rt \(385\) marta qo'shishimiz kerakmi? Yoki tasavvur qiling-a, oxirgi misolda siz birinchi yetmish uchta elementning yig'indisini topishingiz kerak. Hisoblashdan charchadingiz...

Shuning uchun, bunday hollarda ular narsalarni "boshqa" hal qilmaydi, balki arifmetik progressiya uchun olingan maxsus formulalardan foydalanadi. Asosiylari esa progressiyaning n-chi hadi formulasi va \(n\) birinchi hadlar yig‘indisi formulasi.

\(n\)-chi hadning formulasi: \(a_n=a_1+(n-1)d\), bu erda \(a_1\) progressiyaning birinchi hadi;
\(n\) - kerakli elementning soni;
\(a_n\) – progressiyaning \(n\) raqami bilan atamasi.

Bu formula bizga progressiyaning faqat birinchi va farqini bilgan holda hatto uch yuzinchi yoki millioninchi elementni ham tezda topishga imkon beradi.

Misol. Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan belgilanadi: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\) toping.
Yechim:

Javob: \(b_(246)=1850\).

Birinchi n ta atamalar yig‘indisi formulasi: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), bu yerda

\(a_n\) - oxirgi yig'indisi;

Misol (OGE). Arifmetik progressiya \(a_n=3,4n-0,6\) shartlar bilan belgilanadi. Bu progressiyaning birinchi \(25\) hadlarining yig‘indisini toping.
Yechim:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Birinchi yigirma besh shartning yig'indisini hisoblash uchun biz birinchi va yigirma beshinchi shartlarning qiymatini bilishimiz kerak. Bizning progressiyamiz uning soniga qarab n-sonning formulasi bilan beriladi (batafsil ma'lumot uchun qarang). Birinchi elementni \(n\) o‘rniga bitta element qo‘yib hisoblaymiz.
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Endi \(n\) o'rniga yigirma beshni qo'yib, yigirma beshinchi hadni topamiz.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Xo'sh, endi biz kerakli miqdorni osongina hisoblashimiz mumkin.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Javob tayyor.

Javob: \(S_(25)=1090\).

Birinchi shartlarning \(n\) yig'indisi uchun siz boshqa formulani olishingiz mumkin: shunchaki \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) oʻrniga \(a_n\) formulasini qoʻying \(a_n=a_1+(n-1)d\). Biz olamiz:

Birinchi n ta atamalar yig‘indisi formulasi: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), bu yerda

\(S_n\) - \(n\) birinchi elementlarning kerakli yig'indisi;
\(a_1\) - birinchi yig'indisi;
\(d\) – progressiya farqi;
\(n\) - jami elementlar soni.

Misol. Arifmetik progressiyaning birinchi \(33\)-ex hadlari yig'indisini toping: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Yechim:

Javob: \(S_(33)=-231\).

Murakkab arifmetik progressiya masalalari

Endi siz deyarli har qanday arifmetik progressiya masalasini hal qilish uchun zarur bo'lgan barcha ma'lumotlarga egasiz. Keling, nafaqat formulalarni qo'llash, balki biroz o'ylash kerak bo'lgan muammolarni ko'rib chiqish bilan mavzuni tugatamiz (matematikada bu foydali bo'lishi mumkin ☺)

Misol (OGE). Progressiyaning barcha manfiy hadlari yig'indisini toping: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Yechim:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Vazifa avvalgisiga juda o'xshash. Xuddi shu narsani hal qilishni boshlaymiz: birinchi navbatda \(d\) ni topamiz.
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Endi men yig'indining formulasiga \(d\) ni almashtirmoqchiman ... va bu erda kichik bir nuance paydo bo'ladi - biz \(n\) bilmaymiz. Boshqacha qilib aytganda, biz qancha atama qo'shish kerakligini bilmaymiz. Qanday aniqlash mumkin? Keling, o'ylab ko'raylik. Biz birinchi ijobiy elementga yetganimizda elementlarni qo'shishni to'xtatamiz. Ya'ni, siz ushbu elementning sonini topishingiz kerak. Qanaqasiga? Arifmetik progressiyaning istalgan elementini hisoblash formulasini yozamiz: bizning holatimiz uchun \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Noldan katta bo'lish uchun bizga \(a_n\) kerak. Keling, \(n\) bu nima sodir bo'lishini bilib olaylik.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Tengsizlikning ikkala tomonini \(0,3\) ga ajratamiz.
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Biz minus birini o'tkazamiz, belgilarni o'zgartirishni unutmaymiz
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Keling, hisoblab chiqaylik ...
\(n>65,333…\)		...va ma'lum bo'lishicha, birinchi musbat element \(66\) raqamiga ega bo'ladi. Shunga ko'ra, oxirgi manfiyda \(n=65\) mavjud. Har holda, buni tekshirib ko'ramiz.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Shunday qilib, biz birinchi \(65\) elementlarni qo'shishimiz kerak.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Javob tayyor.

Javob: \(S_(65)=-630,5\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya shartlar bilan belgilanadi: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-chi elementdan \(42\) elementgacha boʻlgan summani toping.
Yechim:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Bu masalada siz elementlarning yig'indisini ham topishingiz kerak, lekin birinchisidan emas, balki \(26\)-dan boshlab. Bunday holat uchun bizda formula yo'q. Qanday qaror qilish kerak? Bu oson - yig'indini \(26\)-dan \(42\)-chigacha olish uchun avval \(1\)-chidan \(42\)gacha bo'lgan summani topib, keyin ayirish kerak. undan birinchidan \(25\)gacha bo'lgan summa (rasmga qarang).
	Bizning progressiyamiz uchun \(a_1=-33\) va farq \(d=4\) (oxir-oqibat, keyingi elementni topish uchun oldingi elementga to'rttasini qo'shamiz). Buni bilib, birinchi \(42\)-y elementlarning yig'indisini topamiz.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Endi birinchi \(25\) elementlarning yig'indisi.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Va nihoyat, biz javobni hisoblaymiz.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Javob: \(S=1683\).

Arifmetik progressiya uchun yana bir nechta formulalar mavjudki, biz ushbu maqolada ularning amaliy foydasi pastligi sababli ko'rib chiqmadik. Biroq, siz ularni osongina topishingiz mumkin.