Hosil. Hosila hosilasi bo'lgan funksiyaning uzluksizligi

Hosil funktsiyalari nuqtada nolga moyil bo'lishi sharti bilan funktsiya o'sishining argument o'sishiga nisbati chegarasi deyiladi.

Hosilni topishning asosiy qoidalari

Agar - va - nuqtada differensiallanuvchi funktsiyalar bo'lsa (ya'ni, nuqtada hosilalari bo'lgan funksiyalar), u holda:

4) .

Asosiy funksiyalarning hosilalari jadvali

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

Murakkab funktsiyani farqlash qoidasi. Agar va bo'lsa, ya'ni. , qaerda va bor hosilalari, keyin

Parametrik ko'rsatilgan funksiyani differentsiallash. O'zgaruvchining o'zgaruvchiga bog'liqligi parametr yordamida parametrik tarzda aniqlansin:

Vazifa 3. Bu funksiyalarning hosilalarini toping.

1)

Yechim. Hosilalar jadvalining 1 va 2 formulalarini va hosilalarni topish uchun 2-qoidani qo'llash orqali biz quyidagilarga erishamiz:

Yechim. Hosilalar jadvalining 1 va 13 formulalarini va hosilalarni topish uchun 4-qoidani qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:

.

Yechim. Losmalar jadvalining 5 va 11-sonli hosilalari va formulalarini topish uchun 3-qoidani qo'llash orqali biz quyidagilarga erishamiz:

Yechim., deb faraz qilsak, bu erda, kompleks funktsiyaning hosilasini topish formulasiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:

Yechim. Bizda: Keyin parametrik ko'rsatilgan funksiyaning hosilasini topish formulasiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:

4. Yuqori tartibli hosilalar. L'Hopital qoidasi.

Funktsiyaning ikkinchi tartibli hosilasi uning hosilasining hosilasi deb ataladi, ya'ni. . Ikkinchi hosila uchun quyidagi belgilar qo'llaniladi: yoki , yoki .

Funktsiyaning 1-tartibli hosilasi uning uchinchi tartibli hosilasi deyiladi. Uchinchi tartibli hosila uchun quyidagi belgilar qo'llaniladi: yoki , yoki .

L'Hopital qoidasi. Funktsiyalar nuqta qo'shnisida differentsial bo'lsin va hosila yo'qolmaydi. Agar va funktsiyalari bir vaqtning o'zida cheksiz kichik yoki cheksiz katta bo'lsa va da nisbat chegarasi mavjud bo'lsa, unda nisbatning chegarasi ham mavjud. Bundan tashqari

.

Qoida, qachon ham amal qiladi.

E'tibor bering, ba'zi hollarda noaniqliklarning oshkor etilishi yoki L'Hopital qoidasini takroran qo'llashni talab qilishi mumkin.

Noaniqliklarni yozing va hokazo. elementar transformatsiyalar yordamida ular osongina shakl yoki noaniqliklarga tushirilishi mumkin.

Vazifa 4. L'Hopital qoidasi yordamida chegarani toping.

Yechim Bu erda bizda shaklning noaniqligi bor, chunki da. L'Hopital qoidasini qo'llaymiz:

.

L'Hopital qoidasini qo'llaganimizdan so'ng, biz yana shaklning noaniqligini oldik, chunki da. L'Hopital qoidasini yana qo'llasak, biz quyidagilarni olamiz:

.

5. Funktsiyani o'rganish

a) ortib boruvchi va kamayuvchi funksiyalar

Funktsiya chaqiriladi ortib boradi segmentida , har qanday nuqta uchun va segmentdan bo'lsa, qaerda , tengsizlik bajariladi. Agar funktsiya intervalda va uchun uzluksiz bo'lsa, u oraliqda ortadi.

Funktsiya chaqiriladi kamaymoqda segmentida , har qanday nuqta uchun va segmentdan bo'lsa, qaerda , tengsizlik bajariladi. Agar funktsiya intervalda va uchun uzluksiz bo'lsa, u oraliqda kamayadi.

Agar funktsiya ma'lum oraliqda faqat ortib borayotgan yoki faqat kamayayotgan bo'lsa, u chaqiriladi monoton intervalda.

b) Funksiyaning ekstremal qismi

minimal nuqta funktsiyalari .

Agar nuqtaning qo'shnisi bo'lsa Shunday qilib, bu qo'shnilikdagi barcha nuqtalar uchun tengsizlik o'rinli bo'lsa, nuqta chaqiriladi maksimal nuqta funktsiyalari .

Funktsiyaning maksimal va minimal nuqtalari deyiladi ekstremal nuqtalar.

Nuqta deyiladi statsionar nuqta, agar mavjud bo'lsa yoki mavjud bo'lmasa.

Agar statsionar nuqtaning for va for uchun qo'shnisi bo'lsa, u holda funksiyaning maksimal nuqtasi bo'ladi.

Agar statsionar nuqtaning for va for bo'ladigan -qo'shnisi bo'lsa, u holda funksiyaning -minimum nuqtasi.

a) Qavariq yo'nalish. Burilish nuqtalari

yuqoriga qavariq intervalda , agar u ushbu intervalning istalgan nuqtasida funksiya grafigiga chizilgan tangens ostida joylashgan bo'lsa.

Funksiya grafigining oraliqda yuqoriga qarab qavariq bo‘lishining yetarli sharti ko‘rib chiqilayotgan har qanday interval uchun tengsizlikning bajarilishi hisoblanadi.

Differensiallanuvchi funksiyaning grafigi deyiladi konveks pastga intervalda , agar u shu oraliqning istalgan nuqtasida funksiya grafigiga chizilgan tangens ustida joylashgan bo‘lsa.

Funksiya grafigining oraliqda pastga qaragan qavariqligining yetarli sharti ko‘rib chiqilayotgan har qanday interval uchun tengsizlikning bajarilishi hisoblanadi.

Funktsiya grafigining qavariqlik yo'nalishi o'zgargan nuqta deyiladi burilish nuqtasi.

Mavjud yoki mavjud bo'lmagan nuqta, agar uning chap va o'ng tomonidagi belgilar har xil bo'lsa, burilish nuqtasining abssissasidir.

d) asimptotlar

Agar funktsiya grafigidagi nuqtadan ma'lum bir to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa nuqta koordinata boshidan cheksiz uzoqlashganda nolga moyil bo'lsa, u holda to'g'ri chiziq deyiladi. funksiya grafigining asimptotasi.

Agar shunday raqam bo'lsa, unda chiziq bo'ladi vertikal asimptota.

Agar chegaralar bo'lsa , keyin chiziq bo'ladi qiya (k=0 da gorizontal) asimptota.

e) Funksiyani umumiy o’rganish

1. Funktsiya sohasi

2. Grafikning koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari

3. Uzluksizlik, juft/toq va davriylik funksiyasini o‘rganish

4. Funksiyaning monotonlik intervallari

5. Funksiyaning ekstremum nuqtalari

6. Funksiya grafigining qavariqlik intervallari va burilish nuqtalari

7. Funksiya grafigining asimptotalari

8. Funksiya grafigi.

Vazifa 5. Funktsiyani o'rganing va uning grafigini tuzing.

Yechim. 1) Funktsiya butun son chizig'ida aniqlangan, kasrning maxraji nolga tushadigan nuqtadan tashqari. . Bizda: bu funksiyaning taʼrif sohasiga tegishli emas. Binobarin, ushbu funktsiyaning statsionar nuqtalari minimal qiymatga ega bo'lgan nuqtalardir (rasmda ko'rsatilganidek).

8) Olingan ma'lumotlardan foydalanib, asl funktsiyaning grafigini tuzamiz:

Maqolaning mazmuni

HOSILA– funksiyaning hosilasi y = f(x), ma'lum bir oraliqda berilgan ( a, b) nuqtada x bu oraliq funktsiya o'sish nisbati moyil bo'lgan chegara deb ataladi f bu nuqtada argumentning o'sishi nolga moyil bo'lganda, argumentning mos keladigan o'sishiga.

Hosil odatda quyidagicha ifodalanadi:

Boshqa belgilar ham keng qo'llaniladi:

Tezlik.

Nuqtaga ruxsat bering M to'g'ri chiziqda harakat qiladi. Masofa s harakatlanuvchi nuqta, ba'zi bir boshlang'ich pozitsiyasidan hisoblangan M 0 , vaqtga bog'liq t, ya'ni. s vaqt funksiyasi mavjud t: s= f(t). Bir vaqtning o'zida ruxsat bering t harakatlanuvchi nuqta M masofada edi s boshlang'ich pozitsiyasidan M 0 va keyingi daqiqada t+D t o'zini bir holatda topdi M 1 - masofada s+D s boshlang'ich pozitsiyasidan ( rasmga qarang.).

Shunday qilib, ma'lum vaqt ichida D t masofa s D miqdoriga o'zgartirildi s. Bunday holda, ular vaqt oralig'ida D t kattalik s qabul qilingan D s.

O'rtacha tezlik hamma hollarda nuqtaning harakat tezligini aniq tavsiflay olmaydi M bir vaqtning o'zida t. Agar, masalan, D intervalining boshida tana t juda tez harakatlanadi va oxirida juda sekin, keyin o'rtacha tezlik nuqta harakatining ko'rsatilgan xususiyatlarini aks ettira olmaydi va hozirgi vaqtda uning harakatining haqiqiy tezligi haqida tasavvurga ega bo'lmaydi. t. Haqiqiy tezlikni o'rtacha tezlikdan foydalangan holda aniqroq ifodalash uchun siz qisqaroq vaqt D vaqtini olishingiz kerak t. Hozirgi vaqtda nuqtaning harakat tezligini eng to'liq tavsiflaydi t o'rtacha tezlikning D da moyil bo'lgan chegarasi t® 0. Bu chegara joriy tezlik deb ataladi:

Shunday qilib, ma'lum bir momentdagi harakat tezligi D yo'lning o'sish nisbati chegarasi deb ataladi s vaqt o'sishiga D t, vaqt o'sishi nolga moyil bo'lganda. Chunki

Hosilning geometrik ma'nosi. Funksiya grafigiga teginish.

Tangens chiziqlarni qurish differensial hisobning paydo bo'lishiga olib kelgan muammolardan biridir. Differensial hisoblash bilan bog'liq birinchi nashr etilgan asar Leybnits tomonidan yozilgan Na kasr, na irratsional miqdorlar to'siq bo'lmaydigan maksimal va minimal, shuningdek tangenslarning yangi usuli va buning uchun hisobning maxsus turi..

Egri chiziq funksiyaning grafigi bo'lsin y =f(x) to'rtburchaklar koordinatalar tizimida ( sm. guruch.).

Qandaydir qiymatda x funktsiyasi muhim y =f(x). Bu qadriyatlar x Va y egri chiziqdagi nuqta mos keladi M 0(x, y). Agar argument bo'lsa x berish oshirish D x, keyin argumentning yangi qiymati x+D x yangi funksiya qiymatiga mos keladi y+ D y = f(x + D x). Egri chiziqning mos keladigan nuqtasi nuqta bo'ladi M 1(x+D x,y+D y). Agar siz sekant chizsangiz M 0M 1 va j bilan belgilanadi o'qning musbat yo'nalishi bilan ko'ndalang hosil bo'lgan burchak ho'kiz, bu rasmdan darhol ma'lum bo'ladi.

Agar hozir D x nolga intiladi, keyin nuqta M 1 nuqtaga yaqinlashib, egri chiziq bo'ylab harakatlanadi M 0 va burchak j D bilan o'zgaradi x. At Dx® 0 j burchagi ma'lum a chegarasiga va nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqqa intiladi M 0 va x o'qining musbat yo'nalishi bo'lgan komponent a burchagi kerakli tangens bo'ladi. Uning qiyaligi:

Demak, f´( x) = tga

bular. hosilaviy qiymat f´( x) berilgan argument qiymati uchun x funksiya grafigiga tangens hosil qilgan burchak tangensiga teng f(x) tegishli nuqtada M 0(x,y) musbat o'q yo'nalishi bilan ho'kiz.

Funksiyalarning differentsialligi.

Ta'rif. Agar funktsiya y = f(x) nuqtada hosilasi bor x = x 0 bo'lsa, bu nuqtada funktsiya differentsial bo'ladi.

Hosilasiga ega funksiyaning uzluksizligi. Teorema.

Agar funktsiya y = f(x) bir nuqtada farqlanadi x = x 0, u holda bu nuqtada uzluksiz bo'ladi.

Shunday qilib, funksiya uzilish nuqtalarida hosilaga ega bo'lishi mumkin emas. Qarama-qarshi xulosa noto'g'ri, ya'ni. bir nuqtada ekanligidan x = x 0 funktsiyasi y = f(x) uzluksiz bo'lishi bu nuqtada farqlanishini anglatmaydi. Masalan, funktsiya y = |x| hamma uchun doimiy x(–H x x = 0 ning hosilasi yo'q. Bu nuqtada grafikning tangensi yo'q. O'ng va chap tangens bor, lekin ular bir-biriga mos kelmaydi.

Differensiallanuvchi funksiyalar haqidagi ba'zi teoremalar. Hosilning ildizlari haqidagi teorema (Rol teoremasi). Agar funktsiya f(x) segmentda uzluksiz [a,b], ushbu segmentning barcha ichki nuqtalarida va uchlarida farqlanadi x = a Va x = b nolga tushadi ( f(a) = f(b) = 0), keyin segment ichida [ a,b] kamida bitta nuqta bor x= Bilan, a c b, unda hosila fў( x) nolga tushadi, ya'ni. fў( c) = 0.

Chekli o'sish teoremasi (Lagranj teoremasi). Agar funktsiya f(x) [ oraliqda uzluksiz a, b] va bu segmentning barcha ichki nuqtalarida, keyin segmentning ichida [ [ a, b] kamida bitta nuqta bor Bilan, a c b bu

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

Ikki funktsiyaning o'sish nisbati haqidagi teorema (Koshi teoremasi). Agar f(x) Va g(x) – segmentda uzluksiz ikkita funksiya [a, b] va ushbu segmentning barcha ichki nuqtalarida differensiallanadi va gў( x) bu segment ichida, keyin segment ichida [ hech qanday joyda yo'qolmaydi. a, b] shunday nuqta bor x = Bilan, a c b bu

Turli tartibli hosilalar.

Funktsiyaga ruxsat bering y =f(x) ba'zi bir intervalda differensiallanadi [ a, b]. Hosil qiymatlar f ў( x), umuman olganda, bog'liq x, ya'ni. hosila f ў( x) ning funksiyasi hamdir x. Bu funksiyani differensiallashda biz funktsiyaning ikkinchi hosilasi deb ataladigan narsani olamiz f(x), bu bilan belgilanadi f ўў ( x).

Hosil n- Funktsiya tartibi f(x) hosilaning (birinchi tartibli) hosilasi deyiladi n- 1- th va belgisi bilan belgilanadi y(n) = (y(n– 1))o.

Turli xil buyurtmalarning farqlari.

Funktsiya farqi y = f(x), Qayerda x- mustaqil o'zgaruvchi, ha dy = f ў( x)dx, dan ba'zi funksiyalar x, lekin dan x faqat birinchi omil bog'liq bo'lishi mumkin f ў( x), ikkinchi omil ( dx) mustaqil o‘zgaruvchining o‘sish ko‘rsatkichidir x va bu o'zgaruvchining qiymatiga bog'liq emas. Chunki dy dan funksiya mavjud x, keyin bu funksiyaning differentsialini aniqlashimiz mumkin. Funksiya differensialining differensiali bu funksiyaning ikkinchi yoki ikkinchi tartibli differensiali deyiladi va belgilanadi. d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .

Differensial n- birinchi tartibli differensialning birinchi differensiali deyiladi n- 1- tartib:

d n y = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).

Qisman hosila.

Agar funktsiya bitta emas, balki bir nechta argumentlarga bog'liq bo'lsa x i(i 1 dan farq qiladi n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), keyin differentsial hisobda qisman hosila tushunchasi kiritiladi, bu faqat bitta argument o'zgarganda bir nechta o'zgaruvchilar funksiyasining o'zgarish tezligini tavsiflaydi, masalan, x i. ga nisbatan 1-tartibli qisman hosila x i oddiy hosila sifatida aniqlanadi va bundan mustasno barcha argumentlar deb faraz qilinadi x i, doimiy qiymatlarni saqlang. Qisman hosilalar uchun yozuv kiritiladi

Shu tarzda aniqlangan 1-tartibli qisman hosilalar (bir xil argumentlarning funktsiyalari sifatida) o'z navbatida qisman hosilalarga ham ega bo'lishi mumkin, bular ikkinchi tartibli qisman hosilalar va boshqalar. Turli argumentlardan olingan bunday hosilalar aralash deyiladi. Bir xil tartibdagi uzluksiz aralash hosilalar differentsiallanish tartibiga bog'liq emas va bir-biriga teng.

Anna Chugainova