Ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning shartli taqsimot qonuni. Ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchilar

Natijani 9.6-jadval shaklida taqdim etish qulayroqdir.

9.6-jadval

9.3 va 9.4-jadvallarning dastlabki momentlari va natijalari uchun formulalardan foydalanamiz va komponentlarning matematik taxminlarini hisoblaymiz. X Va Y:

Biz ikkinchi boshlang'ich moment va jadval natijalari yordamida dispersiyalarni hisoblaymiz. 9.3 va 9.4:

Kovariatsiyani hisoblash uchun TO(X, Y) biz boshlang'ich moment orqali shunga o'xshash formuladan foydalanamiz:

Korrelyatsiya koeffitsienti quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Kerakli ehtimollik tegishli tengsizlik bilan aniqlangan tekislikdagi mintaqaga tushish ehtimoli sifatida aniqlanadi:

9.2. Kema "SOS" xabarini uzatadi, uni ikkita radiostansiya qabul qilishi mumkin. Bu signalni bir radiostansiya boshqasidan mustaqil ravishda qabul qilishi mumkin. Signalning birinchi radiostansiya tomonidan qabul qilinishi ehtimoli 0,95; signalni ikkinchi radiostantsiya qabul qilish ehtimoli 0,85 ga teng. Ikki radiostantsiya tomonidan signalni qabul qilishni tavsiflovchi ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini toping. Tarqatish funksiyasini yozing.

Yechim: Mayli X– signalning birinchi radiostansiya tomonidan qabul qilinishidan iborat hodisa. Y– voqea shundan iboratki, signal ikkinchi radiostansiya tomonidan qabul qilinadi.

Ko'p ma'nolar .

X=1 – birinchi radiostansiya qabul qilgan signal;

X=0 – signal birinchi radiostansiya tomonidan qabul qilinmadi.

Ko'p ma'nolar .

Y=l - ikkinchi radiostansiya tomonidan qabul qilingan signal,

Y=0 – signal ikkinchi radiostansiya tomonidan qabul qilinmaydi.

Signalni birinchi yoki ikkinchi radiostansiyalar qabul qilmaslik ehtimoli:

Birinchi radiostansiya tomonidan signalni qabul qilish ehtimoli:

Signalni ikkinchi radiostantsiya qabul qilish ehtimoli:

Signalni birinchi va ikkinchi radiostantsiyalar qabul qilish ehtimoli quyidagilarga teng: .

U holda ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni quyidagilarga teng bo'ladi:

X,y) ma'nosi F(X,y) tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari ehtimoli yig'indisiga teng ( X,Y), belgilangan to'rtburchak ichiga tushadi.

Keyin tarqatish funktsiyasi quyidagicha ko'rinadi:

9.3. Ikki kompaniya bir xil mahsulotlarni ishlab chiqaradi. Har biri bir-biridan mustaqil ravishda ishlab chiqarishni modernizatsiya qilishga qaror qilishi mumkin. Birinchi firmaning bunday qaror qabul qilish ehtimoli 0,6 ga teng. Ikkinchi firma tomonidan bunday qaror qabul qilish ehtimoli 0,65 ga teng. Ikki firma ishlab chiqarishni modernizatsiya qilish qarorini tavsiflovchi ikki o'lchovli tasodifiy miqdorni taqsimlash qonunini yozing. Tarqatish funksiyasini yozing.

Javob: Tarqatish qonuni:

Koordinatali nuqtaning har bir sobit qiymati uchun ( x,y) qiymat belgilangan to'rtburchak ichiga tushadigan mumkin bo'lgan qiymatlarning ehtimollik yig'indisiga teng .

9.4. Avtomobil dvigatellari uchun piston halqalari avtomatik tornada ishlab chiqariladi. Ringning qalinligi o'lchanadi (tasodifiy qiymat X) va teshik diametri (tasodifiy qiymat Y). Ma'lumki, barcha piston halqalarining taxminan 5% buzuq. Bundan tashqari, nuqsonlarning 3% nostandart teshik diametrlaridan kelib chiqadi, 1% - nostandart qalinligi va 1% - har ikkala asosda ham rad etiladi. Toping: ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning birgalikda taqsimlanishi ( X,Y); komponentlarning bir o'lchovli taqsimlanishi X Va Y;komponentlarning matematik taxminlari X Va Y; komponentlar orasidagi korrelyatsiya momenti va korrelyatsiya koeffitsienti X Va Y ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchi ( X,Y).

Javob: Tarqatish qonuni:

; ; ; ; ; .

9.5. Zavod mahsulotlari nuqsonlar tufayli nuqsonli A 4% ni tashkil qiladi va nuqson tufayli IN- 3,5%. Standart ishlab chiqarish 96% ni tashkil qiladi. Barcha mahsulotlarning necha foizida ikkala turdagi nuqsonlar borligini aniqlang.

9.6. Tasodifiy o'zgaruvchi ( X,Y)doimiy zichlik bilan taqsimlanadi kvadrat ichida R, ularning uchlari koordinatalariga ega (–2;0), (0;2), (2;0), (0;–2). Tasodifiy miqdorning taqsimlanish zichligini aniqlang ( X,Y) va shartli taqsimot zichliklari r(X\da), p(da\X).

Yechim. Keling, samolyotda quraylik x 0y berilgan kvadrat (9.5-rasm) va ikkita berilgan nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasidan foydalanib, ABCD kvadratining tomonlari tenglamalarini aniqlang: Cho'qqilarning koordinatalarini almashtirish A Va IN tomonning tenglamasini ketma-ket olamiz AB: yoki .

Xuddi shunday, biz tomonning tenglamasini topamiz Quyosh: ; tomonlar CD: va tomonlar D.A.: . : .D X, Y) - radiusning boshida joylashgan yarim shar R.Ehtimollik taqsimoti zichligini toping.

Javob:

9.10. Diskret ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchi berilgan:

Toping: a) shartli taqsimot qonuni X, sharti bilan y= 10;

b) shartli taqsimot qonuni Y, sharti bilan x =10;

v) matematik kutish, dispersiya, korrelyatsiya koeffitsienti.

9.11. Uzluksiz ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchi ( X,Y)cho'qqilari bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak ichida teng taqsimlangan HAQIDA(0;0), A(0;8), IN(8,0).

Toping: a) ehtimollikni taqsimlash zichligi;

Ikki o'lchovli tasodifiy miqdor $(X,Y)$ berilsin.

Ta'rif 1

$(X,Y)$ ikki oʻlchovli tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni $(x_i,\ y_j)$ (bu yerda $x_i \epsilon X,\ y_j \epsilon Y$) va ularning mumkin boʻlgan juftliklari toʻplamidir. ehtimolliklar $p_(ij)$ .

Ko'pincha ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni jadval shaklida yoziladi (1-jadval).

Shakl 1. Ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni.

Endi eslaylik mustaqil hodisalarning ehtimollarini qo'shish teoremasi.

Teorema 1

$(\A)_1$, $(\A)_2$, ... ,$\(\A)_n$ chekli sonli mustaqil hodisalar yigʻindisining ehtimoli quyidagi formula boʻyicha hisoblanadi:

Ushbu formuladan foydalanib, siz ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchining har bir komponenti uchun taqsimot qonunlarini olishingiz mumkin, ya'ni:

Bundan kelib chiqadiki, ikki o'lchovli tizimning barcha ehtimolliklari yig'indisi quyidagi shaklga ega:

Keling, ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni tushunchasi bilan bog'liq muammoni batafsil (bosqichma-bosqich) ko'rib chiqaylik.

1-misol

Ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni quyidagi jadvalda berilgan:

2-rasm.

$X,\ Y$, $X+Y$ tasodifiy miqdorlarning taqsimlanish qonunlarini toping va har bir holatda ehtimollarning umumiy yig‘indisi birga teng ekanligini tekshiring.

1. Avval $X$ tasodifiy miqdorning taqsimotini topamiz. $X$ tasodifiy oʻzgaruvchisi $x_1=2, $$x_2=3$, $x_3=5$ qiymatlarini qabul qilishi mumkin. Tarqatishni topish uchun biz 1-teoremadan foydalanamiz.

Avval $x_1$ ehtimollar yig‘indisini quyidagicha topamiz:

3-rasm.

Xuddi shunday, biz $P\left(x_2\right)$ va $P\left(x_3\right)$ topamiz:

\ \

4-rasm.

1. Keling, $Y$ tasodifiy miqdorning taqsimlanishini topamiz. $Y$ tasodifiy oʻzgaruvchisi $x_1=1, $$x_2=3$, $x_3=4$ qiymatlarini qabul qilishi mumkin. Tarqatishni topish uchun biz 1-teoremadan foydalanamiz.

Avval $y_1$ ehtimollar yig‘indisini quyidagicha topamiz:

5-rasm.

Xuddi shunday, biz $P\left(y_2\right)$ va $P\left(y_3\right)$ topamiz:

\ \

Bu shuni anglatadiki, $X$ qiymatining taqsimlanish qonuni quyidagi shaklga ega:

6-rasm.

Keling, ehtimollar umumiy yig'indisining tengligini tekshiramiz:

1. $X+Y$ tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini topish qoladi.

Qulaylik uchun uni $Z$ bilan belgilaymiz: $Z=X+Y$.

Birinchidan, bu miqdor qanday qiymatlarni olishi mumkinligini aniqlaymiz. Buning uchun biz $X$ va $Y$ qiymatlarini juft-juft qilib qoʻshamiz. Biz quyidagi qiymatlarni olamiz: 3, 4, 6, 5, 6, 8, 6, 7, 9. Endi mos qiymatlardan voz kechsak, $X+Y$ tasodifiy oʻzgaruvchisi $z_1 qiymatlarini olishi mumkinligini aniqlaymiz. =3,\ z_2=4 ,\ z_3=5,\ z_4=6,\ z_5=7,\ z_6=8,\ z_7=9.\ $

Avval $P(z_1)$ ni topamiz. $z_1$ qiymati bitta bo'lgani uchun u quyidagicha topiladi:

7-rasm.

$P(z_4)$ dan tashqari barcha ehtimollar xuddi shunday topiladi:

Keling, $P(z_4)$ ni quyidagicha topamiz:

8-rasm.

Bu shuni anglatadiki, $Z$ qiymatini taqsimlash qonuni quyidagi shaklga ega:

9-rasm.

Keling, ehtimollar umumiy yig'indisining tengligini tekshiramiz:

X va Y tasodifiy o'zgaruvchilarning tartiblangan juftligi (X, Y) ikki o'lchovli tasodifiy miqdor yoki ikki o'lchovli fazoda tasodifiy vektor deb ataladi. Ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchi (X, Y) X va Y tasodifiy o'zgaruvchilar tizimi deb ham ataladi. Diskret tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari ularning ehtimolliklari bilan to'plami ushbu tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonuni deb ataladi. Diskret ikki o'lchovli tasodifiy miqdor (X, Y) berilgan hisoblanadi, agar uning taqsimot qonuni ma'lum bo'lsa:

P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m

Xizmat maqsadi. Xizmatdan foydalanib, berilgan tarqatish qonuniga ko'ra, siz quyidagilarni topishingiz mumkin:

• X va Y taqsimot qatori, matematik kutilma M[X], M[Y], dispersiya D[X], D[Y];
• kovariatsiya cov(x,y), korrelyatsiya koeffitsienti r x,y, shartli taqsimot qatori X, shartli kutish M;

Ko'rsatmalar. Ehtimollar taqsimoti matritsasining o'lchamini (satr va ustunlar soni) va uning turini belgilang. Olingan yechim Word faylida saqlanadi.

Misol № 1. Ikki o'lchovli diskret tasodifiy o'zgaruvchilar taqsimot jadvaliga ega:

Yechim. sp ij = 1 shartdan q qiymatini topamiz
Sp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0,91+q = 1. q = 0,09 qaerdan keladi?

∑P(x) formulasidan foydalanish i,y j) = p i(j=1..n), biz X taqsimot qatorini topamiz.

Kovariatsiya cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0,11 + 3 10 0,12 + 4 10 0,03 + 2 20 0,13 + 3 20 0,09 + 4 ·20·0,02 + 1·30·0,02 + 2·30·0,11 + 3·30·0,08 + 4·30·0,01 + 1·40·0,03 + 2·40·0,11 + 3·40·0,05 + 4·40 ·0,09 - 25,2 · 2,59 = -0,068
Korrelyatsiya koeffitsienti r xy = cov(x,y)/s(x)&sigma(y) = -0,068/(11,531*0,801) = -0,00736

2-misol. X va Y ikkita ko'rsatkich bo'yicha ma'lumotlarni statistik qayta ishlash ma'lumotlari korrelyatsiya jadvalida aks ettirilgan. Majburiy:

1. X va Y uchun taqsimot qatorlarini yozish va ular uchun namunaviy o'rtacha va namunaviy standart og'ishlarni hisoblash;
2. shartli taqsimot Y/x qator yozish va shartli oʻrtacha Y/x ni hisoblash;
3. shartli o'rtacha Y/x ning X qiymatlarga bog'liqligini grafik tarzda tasvirlash;
4. X bo'yicha Y namunaviy korrelyatsiya koeffitsientini hisoblash;
5. oldinga regressiya tenglamasining namunasini yozing;
6. korrelyatsiya jadvalining ma'lumotlarini geometrik tasvirlash va regressiya chizig'ini qurish.

Shartli matematik kutish M = 11*0.33 + 16*0.67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14.33
Shartli dispersiya D = 11 2 *0,33 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14,33 2 = 5,56
Shartli taqsimot qonuni X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0,67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0,33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Shartli matematik kutish M = 11*0 + 16*0.67 + 21*0.33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17.67
Shartli dispersiya D = 11 2 *0 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0,33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17,67 2 = 5,56
Shartli taqsimot qonuni X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0,11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0,82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0,0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Shartli matematik kutish M = 11*0 + 16*0 + 21*0.11 + 26*0.82 + 31*0.0727 + 36*0 = 25.82
Shartli dispersiya D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,11 + 26 2 *0,82 + 31 2 *0,0727 + 36 2 *0 - 25,82 2 = 4,51
Shartli taqsimot qonuni X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0,13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0,5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0,38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Shartli matematik kutish M = 11*0 + 16*0 + 21*0.13 + 26*0.5 + 31*0.38 + 36*0 = 27.25
Shartli dispersiya D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,13 + 26 2 *0,5 + 31 2 *0,38 + 36 2 *0 - 27,25 2 = 10,94
Shartli taqsimot qonuni X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0,29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0,5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0,21
Shartli matematik kutish M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0.29 + 31*0.5 + 36*0.21 = 30.64
Shartli dispersiya D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0,29 + 31 2 *0,5 + 36 2 *0,21 - 30,64 2 = 12,37
3. Shartli taqsimot qonuni Y.
Shartli taqsimot qonuni Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Shartli matematik kutish M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Shartli dispersiya D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
Shartli taqsimot qonuni Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0,4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0,6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Shartli matematik kutish M = 20*0.4 + 30*0.6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Shartli dispersiya D = 20 2 *0,4 + 30 2 *0,6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Shartli taqsimot qonuni Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0,27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0,55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0,18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Shartli matematik kutish M = 20*0 + 30*0.27 + 40*0.55 + 50*0.18 + 60*0 = 39.09
Shartli dispersiya D = 20 2 *0 + 30 2 *0,27 + 40 2 *0,55 + 50 2 *0,18 + 60 2 *0 - 39,09 2 = 44,63
Shartli taqsimot qonuni Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0,79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0,14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0,0702
Shartli matematik kutish M = 20*0 + 30*0 + 40*0.79 + 50*0.14 + 60*0.0702 = 42.81
Shartli dispersiya D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,79 + 50 2 *0,14 + 60 2 *0,0702 - 42,81 2 = 34,23
Shartli taqsimot qonuni Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0,24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0,35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0,41
Shartli matematik kutish M = 20*0 + 30*0 + 40*0.24 + 50*0.35 + 60*0.41 = 51.76
Shartli dispersiya D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,24 + 50 2 *0,35 + 60 2 *0,41 - 51,76 2 = 61,59
Shartli taqsimot qonuni Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Shartli matematik kutish M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Shartli dispersiya D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
Kovariatsiya.
cov(X,Y) = M - M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 514 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 25,3 42,3 = 38,11
Agar tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil bo'lsa, ularning kovariatsiyasi nolga teng. Bizning holatda, cov(X,Y) ≠ 0.
Korrelyatsiya koeffitsienti.


y dan x gacha chiziqli regressiya tenglamasi:

X dan y gacha chiziqli regressiya tenglamasi:

Kerakli raqamli xarakteristikalarni topamiz.
O'rtacha namunalar:
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42,3
y = (20 (2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3))/100 = 25,3
Farqlar:
s 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42,3 2 = 99,71
s 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25,3 2 = 24,01
Standart og'ishlarni qayerdan olamiz:
s x = 9,99 va s y = 4,9
va kovariatsiya:
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 514 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 42,3 25,3 = 38,11
Korrelyatsiya koeffitsientini aniqlaymiz:


y(x) regressiya chiziqlari tenglamalarini yozamiz:

va hisoblab chiqsak, biz quyidagilarni olamiz:
y x = 0,38 x + 9,14
X(y) regressiya chiziqlari tenglamalarini yozamiz:

va hisoblab chiqsak, biz quyidagilarni olamiz:
x y = 1,59 y + 2,15
Jadval va regressiya chiziqlari bilan aniqlangan nuqtalarni chizsak, ikkala chiziq ham (42.3; 25.3) koordinatali nuqtadan oʻtganligini va nuqtalar regressiya chiziqlariga yaqin joylashganligini koʻramiz.
Korrelyatsiya koeffitsientining ahamiyati.

Muhimlik darajasi a=0,05 va erkinlik darajasi k=100-m-1 = 98 bo'lgan Student jadvalidan foydalanib, biz t kritikni topamiz:
t krit (n-m-1;a/2) = (98;0,025) = 1,984
bu erda m = 1 - tushuntirish o'zgaruvchilar soni.
Agar t kuzatilgan > t kritik bo'lsa, u holda korrelyatsiya koeffitsientining natijaviy qiymati muhim hisoblanadi (korrelyatsiya koeffitsienti nolga teng degan nol gipoteza rad etiladi).
t obs > t krit ekan, korrelyatsiya koeffitsienti 0 ga teng degan gipotezani rad qilamiz. Boshqacha qilib aytganda, korrelyatsiya koeffitsienti statistik ahamiyatga ega.

Mashq qilish. X va Y tasodifiy o'zgaruvchilar qiymatlari juftliklarining tegishli oraliqlarda urish soni jadvalda keltirilgan. Ushbu ma'lumotlardan foydalanib, korrelyatsiya koeffitsienti va namunaviy tenglamalarni toping Y ning X va X ning Y to'g'ri regressiya chiziqlari.
Yechim

Misol. Ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning (X, Y) ehtimollik taqsimoti jadval bilan berilgan. X, Y komponentli kattaliklarning taqsimlanish qonuniyatlarini va p(X, Y) korrelyatsiya koeffitsientini toping.
Yechimni yuklab oling

Mashq qilish. Ikki o'lchovli diskret miqdor (X, Y) taqsimot qonuni bilan berilgan. X va Y komponentlarning taqsimlanish qonuniyatlarini, kovariatsiya va korrelyatsiya koeffitsientini toping.

X va Y tasodifiy o'zgaruvchilarning tartiblangan juftligi (X, Y) ikki o'lchovli tasodifiy miqdor yoki ikki o'lchovli fazoda tasodifiy vektor deb ataladi. Ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchi (X, Y) X va Y tasodifiy o'zgaruvchilar tizimi deb ham ataladi. Diskret tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari ularning ehtimolliklari bilan to'plami ushbu tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonuni deb ataladi. Diskret ikki o'lchovli tasodifiy miqdor (X, Y) berilgan hisoblanadi, agar uning taqsimot qonuni ma'lum bo'lsa:

P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m

Xizmat maqsadi. Xizmatdan foydalanib, berilgan tarqatish qonuniga ko'ra, siz quyidagilarni topishingiz mumkin:

• X va Y taqsimot qatori, matematik kutilma M[X], M[Y], dispersiya D[X], D[Y];
• kovariatsiya cov(x,y), korrelyatsiya koeffitsienti r x,y, shartli taqsimot qatori X, shartli kutish M;

Bundan tashqari, "X va Y tasodifiy o'zgaruvchilar bog'liqmi?" Degan savolga javob beriladi.

Ko'rsatmalar. Ehtimollar taqsimoti matritsasining o'lchamini (satr va ustunlar soni) va uning turini belgilang. Olingan yechim Word faylida saqlanadi.

Misol № 1. Ikki o'lchovli diskret tasodifiy o'zgaruvchilar taqsimot jadvaliga ega:

Y/X	1	2	3	4
10	0	0,11	0,12	0,03
20	0	0,13	0,09	0,02
30	0,02	0,11	0,08	0,01
40	0,03	0,11	0,05	q

Ushbu tasodifiy miqdorning q qiymatini va korrelyatsiya koeffitsientini toping.

Yechim. sp ij = 1 shartdan q qiymatini topamiz
Sp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0,91+q = 1. q = 0,09 qaerdan keladi?

∑P(x) formulasidan foydalanish i,y j) = p i(j=1..n), biz X taqsimot qatorini topamiz.

Kutish M[Y].
M[y] = 1*0,05 + 2*0,46 + 3*0,34 + 4*0,15 = 2,59
Farq D[Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 - 2.59 2 = 0.64
Standart og'ish s(y) = sqrt(D[Y]) = sqrt(0,64) = 0,801

Kovariatsiya cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0,11 + 3 10 0,12 + 4 10 0,03 + 2 20 0,13 + 3 20 0,09 + 4 ·20·0,02 + 1·30·0,02 + 2·30·0,11 + 3·30·0,08 + 4·30·0,01 + 1·40·0,03 + 2·40·0,11 + 3·40·0,05 + 4·40 ·0,09 - 25,2 · 2,59 = -0,068
Korrelyatsiya koeffitsienti r xy = cov(x,y)/s(x)&sigma(y) = -0,068/(11,531*0,801) = -0,00736

2-misol. X va Y ikkita ko'rsatkich bo'yicha ma'lumotlarni statistik qayta ishlash ma'lumotlari korrelyatsiya jadvalida aks ettirilgan. Majburiy:

1. X va Y uchun taqsimot qatorlarini yozish va ular uchun namunaviy o'rtacha va namunaviy standart og'ishlarni hisoblash;
2. shartli taqsimot Y/x qator yozish va shartli oʻrtacha Y/x ni hisoblash;
3. shartli o'rtacha Y/x ning X qiymatlarga bog'liqligini grafik tarzda tasvirlash;
4. X bo'yicha Y namunaviy korrelyatsiya koeffitsientini hisoblash;
5. oldinga regressiya tenglamasining namunasini yozing;
6. korrelyatsiya jadvalining ma'lumotlarini geometrik tasvirlash va regressiya chizig'ini qurish.

Yechim. X va Y tasodifiy miqdorlarning tartiblangan juftligi (X,Y) ikki o‘lchovli tasodifiy miqdor yoki ikki o‘lchovli fazoda tasodifiy vektor deb ataladi. Ikki o'lchovli tasodifiy miqdor (X,Y) X va Y tasodifiy o'zgaruvchilar tizimi deb ham ataladi.
Diskret tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari ularning ehtimolliklari bilan to'plamiga ushbu tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonuni deyiladi.
Diskret ikki o'lchovli tasodifiy miqdor (X,Y) berilgan hisoblanadi, agar uning taqsimot qonuni ma'lum bo'lsa:
P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m

X/Y	20	30	40	50	60
11	2	0	0	0	0
16	4	6	0	0	0
21	0	3	6	2	0
26	0	0	45	8	4
31	0	0	4	6	7
36	0	0	0	0	3

Hodisalar (X=x i, Y=y j) hodisalarning to‘liq guruhini tashkil qiladi, shuning uchun barcha ehtimollar yig‘indisi p ij ( i=1,2...,n, j=1,2...,m) jadvalda ko'rsatilgan 1 ga teng.
1. X va Y tasodifiy miqdorlarning bog'liqligi.
X va Y taqsimot qatorlarini toping.
∑P(x) formulasidan foydalanish i,y j) = p i(j=1..n), biz X taqsimot qatorini topamiz. Kutish M[Y].
M[y] = (20*6 + 30*9 + 40*55 + 50*16 + 60*14)/100 = 42,3
Farq D[Y].
D[Y] = (20 2 *6 + 30 2 *9 + 40 2 *55 + 50 2 *16 + 60 2 *14)/100 - 42,3 2 = 99,71
Standart og'ish s(y).

P(X=11,Y=20) = 2≠2 6 boʻlgani uchun X va Y tasodifiy miqdorlar qaram.
2. Shartli taqsimot qonuni X.
Shartli taqsimot qonuni X(Y=20).
P(X=11/Y=20) = 2/6 = 0,33
P(X=16/Y=20) = 4/6 = 0,67
P(X=21/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=26/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=31/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=36/Y=20) = 0/6 = 0
Shartli matematik kutish M = 11*0.33 + 16*0.67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14.33
Shartli dispersiya D = 11 2 *0,33 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14,33 2 = 5,56
Shartli taqsimot qonuni X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0,67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0,33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Shartli matematik kutish M = 11*0 + 16*0.67 + 21*0.33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17.67
Shartli dispersiya D = 11 2 *0 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0,33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17,67 2 = 5,56
Shartli taqsimot qonuni X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0,11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0,82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0,0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Shartli matematik kutish M = 11*0 + 16*0 + 21*0.11 + 26*0.82 + 31*0.0727 + 36*0 = 25.82
Shartli dispersiya D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,11 + 26 2 *0,82 + 31 2 *0,0727 + 36 2 *0 - 25,82 2 = 4,51
Shartli taqsimot qonuni X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0,13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0,5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0,38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Shartli matematik kutish M = 11*0 + 16*0 + 21*0.13 + 26*0.5 + 31*0.38 + 36*0 = 27.25
Shartli dispersiya D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,13 + 26 2 *0,5 + 31 2 *0,38 + 36 2 *0 - 27,25 2 = 10,94
Shartli taqsimot qonuni X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0,29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0,5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0,21
Shartli matematik kutish M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0.29 + 31*0.5 + 36*0.21 = 30.64
Shartli dispersiya D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0,29 + 31 2 *0,5 + 36 2 *0,21 - 30,64 2 = 12,37
3. Shartli taqsimot qonuni Y.
Shartli taqsimot qonuni Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Shartli matematik kutish M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Shartli dispersiya D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
Shartli taqsimot qonuni Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0,4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0,6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Shartli matematik kutish M = 20*0.4 + 30*0.6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Shartli dispersiya D = 20 2 *0,4 + 30 2 *0,6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Shartli taqsimot qonuni Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0,27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0,55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0,18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Shartli matematik kutish M = 20*0 + 30*0.27 + 40*0.55 + 50*0.18 + 60*0 = 39.09
Shartli dispersiya D = 20 2 *0 + 30 2 *0,27 + 40 2 *0,55 + 50 2 *0,18 + 60 2 *0 - 39,09 2 = 44,63
Shartli taqsimot qonuni Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0,79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0,14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0,0702
Shartli matematik kutish M = 20*0 + 30*0 + 40*0.79 + 50*0.14 + 60*0.0702 = 42.81
Shartli dispersiya D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,79 + 50 2 *0,14 + 60 2 *0,0702 - 42,81 2 = 34,23
Shartli taqsimot qonuni Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0,24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0,35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0,41
Shartli matematik kutish M = 20*0 + 30*0 + 40*0.24 + 50*0.35 + 60*0.41 = 51.76
Shartli dispersiya D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,24 + 50 2 *0,35 + 60 2 *0,41 - 51,76 2 = 61,59
Shartli taqsimot qonuni Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Shartli matematik kutish M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Shartli dispersiya D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
Kovariatsiya.
cov(X,Y) = M - M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 514 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 25,3 42,3 = 38,11
Agar tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil bo'lsa, ularning kovariatsiyasi nolga teng. Bizning holatda, cov(X,Y) ≠ 0.
Korrelyatsiya koeffitsienti.


y dan x gacha chiziqli regressiya tenglamasi:

X dan y gacha chiziqli regressiya tenglamasi:

Kerakli raqamli xarakteristikalarni topamiz.
O'rtacha namunalar:
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42,3
y = (20 (2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3))/100 = 25,3
Farqlar:
s 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42,3 2 = 99,71
s 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25,3 2 = 24,01
Standart og'ishlarni qayerdan olamiz:
s x = 9,99 va s y = 4,9
va kovariatsiya:
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 514 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 42,3 25,3 = 38,11
Korrelyatsiya koeffitsientini aniqlaymiz:


y(x) regressiya chiziqlari tenglamalarini yozamiz:

va hisoblab chiqsak, biz quyidagilarni olamiz:
y x = 0,38 x + 9,14
X(y) regressiya chiziqlari tenglamalarini yozamiz:

va hisoblab chiqsak, biz quyidagilarni olamiz:
x y = 1,59 y + 2,15
Jadval va regressiya chiziqlari bilan aniqlangan nuqtalarni chizsak, ikkala chiziq ham (42.3; 25.3) koordinatali nuqtadan oʻtganligini va nuqtalar regressiya chiziqlariga yaqin joylashganligini koʻramiz.
Korrelyatsiya koeffitsientining ahamiyati.

Muhimlik darajasi a=0,05 va erkinlik darajasi k=100-m-1 = 98 bo'lgan Student jadvalidan foydalanib, biz t kritikni topamiz:
t krit (n-m-1;a/2) = (98;0,025) = 1,984
bu erda m = 1 - tushuntirish o'zgaruvchilar soni.
Agar t kuzatilgan > t kritik bo'lsa, u holda korrelyatsiya koeffitsientining natijaviy qiymati muhim hisoblanadi (korrelyatsiya koeffitsienti nolga teng degan nol gipoteza rad etiladi).
t obs > t krit ekan, korrelyatsiya koeffitsienti 0 ga teng degan gipotezani rad qilamiz. Boshqacha qilib aytganda, korrelyatsiya koeffitsienti statistik ahamiyatga ega.

Mashq qilish. X va Y tasodifiy o'zgaruvchilar qiymatlari juftliklarining tegishli oraliqlarda urish soni jadvalda keltirilgan. Ushbu ma'lumotlardan foydalanib, korrelyatsiya koeffitsienti va namunaviy tenglamalarni toping Y ning X va X ning Y to'g'ri regressiya chiziqlari.
Yechim

Misol. Ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning (X, Y) ehtimollik taqsimoti jadval bilan berilgan. X, Y komponentli kattaliklarning taqsimlanish qonuniyatlarini va p(X, Y) korrelyatsiya koeffitsientini toping.
Yechimni yuklab oling

Mashq qilish. Ikki o'lchovli diskret miqdor (X, Y) taqsimot qonuni bilan berilgan. X va Y komponentlarning taqsimlanish qonuniyatlarini, kovariatsiya va korrelyatsiya koeffitsientini toping.

ikki o'lchovli diskret taqsimot tasodifiy

Ko'pincha tajriba natijasi bir nechta tasodifiy o'zgaruvchilar bilan tavsiflanadi: . Masalan, ob-havo bu joy kunning ma'lum bir vaqtida quyidagi tasodifiy o'zgaruvchilar bilan tavsiflanishi mumkin: X 1 - harorat, X 2 - bosim, X 3 - havo namligi, X 4 - shamol tezligi.

Bunday holda, biz ko'p o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchi yoki tasodifiy o'zgaruvchilar tizimi haqida gapiramiz.

Mumkin qiymatlari raqamlar juftligi bo'lgan ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing. Geometrik jihatdan ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchini tekislikdagi tasodifiy nuqta sifatida talqin qilish mumkin.

Agar komponentlar X Va Y diskret tasodifiy o'zgaruvchilar, keyin - diskret ikki o'lchovli tasodifiy miqdor va agar X Va Y uzluksiz, u holda uzluksiz ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchidir.

Ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti qonuni - bu mumkin bo'lgan qiymatlar va ularning ehtimolliklari o'rtasidagi muvofiqlik.

Ikki o'lchovli diskret tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonuni ikki tomonlama kirishga ega bo'lgan jadval shaklida ko'rsatilishi mumkin (6.1-jadvalga qarang), bu erda komponentning bo'lish ehtimoli. X ma'no oldi x i, va komponent Y- ma'nosi y j .

6.1.1-jadval.

	y 1	y 2		y j		y m
x 1	p 11	p 12		p 1j		p 1m
x 2	p 21	p 22		p 2j		p 2m
x i	p i1	p i2		p ij		p im
x n	p n1	p n2		p nj		p nm

Hodisalar juft-juft mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhini tashkil qilganligi sababli, ehtimolliklar yig'indisi 1 ga teng, ya'ni.

6.1-jadvaldan bir o'lchovli komponentlarning taqsimlanish qonuniyatlarini topishingiz mumkin X Va Y.

Misol 6.1.1 . Komponentlarning taqsimlanish qonuniyatlarini toping X Va Y, agar ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning taqsimoti 6.1.2-jadval shaklida berilgan bo'lsa.

6.1.2-jadval.

Agar biz argumentlardan birining qiymatini aniqlasak, masalan, natijada qiymat taqsimoti X shartli taqsimot deyiladi. Shartli taqsimot ham xuddi shunday aniqlanadi Y.

Misol 6.1.2 . Jadvalda berilgan ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning taqsimlanishi bo'yicha. 6.1.2, toping: a) komponentning shartli taqsimot qonuni X sharti bilan; inobatga olgan holda; b) shartli taqsimot qonuni Y sharti bilan.

Yechim. Shartli ehtimollar komponentlar X Va Y formulalar yordamida hisoblab chiqiladi

Shartli taqsimot qonuni X shaklga ega bo'lishi sharti bilan

Nazorat: .

Ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni shaklda ko'rsatilishi mumkin tarqatish funktsiyalari, bu har bir juft son uchun buning ehtimolini aniqlaydi X dan kichik qiymat qabul qiladi X, va ayni paytda Y dan kichik qiymat qabul qiladi y:

Geometrik jihatdan funktsiya tasodifiy nuqtaning nuqtadagi tepasi bilan cheksiz kvadratga tushish ehtimolini anglatadi (6.1.1-rasm).

Keling, xususiyatlariga e'tibor qaratamiz.

• 1. Funktsiya qiymatlari diapazoni , ya'ni. .
• 2. Funksiya - har bir argument uchun kamaymaydigan funksiya.
• 3. Cheklovchi munosabatlar mavjud:

Tizimning taqsimlash funktsiyasi bo'lganda teng funktsiya komponentlarni taqsimlash X, ya'ni. .

Xuddi shunday, .

Buni bilib, siz tasodifiy nuqtaning ABCD to'rtburchaklar ichiga tushish ehtimolini topishingiz mumkin.

Ya'ni,

6.1.3-misol. Ikki o'lchovli diskret tasodifiy o'zgaruvchi taqsimot jadvali bilan belgilanadi

Tarqatish funksiyasini toping.

Yechim. Diskret komponentlar holatida qiymat X Va Y barcha ehtimolliklarni indekslar bilan yig‘ish yo‘li bilan topiladi i Va j, buning uchun, . Keyin, agar va, keyin (hodisalar va mumkin emas). Xuddi shunday, biz ham olamiz:

agar va, keyin;

agar va, keyin;

agar va, keyin;

agar va, keyin;

agar va, keyin;

agar va, keyin;

agar va, keyin;

agar va, keyin;

agar va agar, keyin.

Olingan natijalarni qiymatlar jadvali (6.1.3) ko'rinishida keltiramiz:

uchun ikki o'lchovli uzluksiz tasodifiy miqdor, ehtimollik zichligi tushunchasi kiritiladi

Geometrik ehtimollik zichligi kosmosdagi taqsimot yuzasi

Ikki o'lchovli ehtimollik zichligi quyidagi xususiyatlarga ega:

3. Taqsimlash funksiyasini formula orqali ifodalash mumkin

4. Uzluksiz tasodifiy miqdorning mintaqaga tushish ehtimoli teng

5. Funksiyaning (4) xossasiga muvofiq quyidagi formulalar bajariladi:

6.1.4-misol. Ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi berilgan