Uchburchak burchaklarining yig'indisi. Uchburchaklar yig'indisi teoremasi

Teorema. Uchburchakning ichki burchaklarining yig'indisi ikkita to'g'ri burchakka teng.

Keling, ABC uchburchagini olaylik (208-rasm). Uning ichki burchaklarini 1, 2 va 3 raqamlari bilan belgilaymiz. Buni isbotlaylik

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Uchburchakning qaysidir uchi orqali, masalan, B, AC ga parallel boʻlgan MN toʻgʻri chiziqni oʻtkazamiz.

B cho'qqisida biz uchta burchak oldik: ∠4, ∠2 va ∠5. Ularning yig'indisi to'g'ri burchak, shuning uchun u 180 ° ga teng:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Lekin ∠4 = ∠1 - MN va AC parallel chiziqlari va AB kesmasi bo'lgan ichki ko'ndalang burchaklar.

∠5 = ∠3 - bular MN va AC parallel chiziqlari va BC sekantli ichki ko'ndalang burchaklardir.

Bu shuni anglatadiki, ∠4 va ∠5 ularning teng ∠1 va ∠3 bilan almashtirilishi mumkin.

Shuning uchun, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Teorema isbotlangan.

2. Uchburchakning tashqi burchagi xossasi.

Aslida, ABC uchburchakda (209-rasm) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, balki ∠VSD ham bu uchburchakning ∠1 va ∠2 ga qo'shni bo'lmagan tashqi burchagi ham 180° ga teng. - ∠3.

Shunday qilib:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Demak, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Uchburchakning tashqi burchagining olingan xossasi uchburchakning tashqi burchagi haqidagi ilgari isbotlangan teoremaning mazmunini oydinlashtiradi, bunda faqat uchburchakning tashqi burchagi unga qoʻshni boʻlmagan uchburchakning har bir ichki burchagidan katta ekanligini bildirgan; endi tashqi burchak unga qo'shni bo'lmagan ikkala ichki burchaklar yig'indisiga teng ekanligi aniqlandi.

3. 30° burchakli to‘g‘ri burchakli uchburchakning xossasi.

ACB to'g'ri burchakli uchburchakdagi B burchak 30° ga teng bo'lsin (210-rasm). Keyin uning boshqa o'tkir burchagi 60 ° ga teng bo'ladi.

AC oyog'i AB gipotenuzasining yarmiga teng ekanligini isbotlaylik. AC oyog'ini C to'g'ri burchak cho'qqisidan tashqariga cho'zamiz va AC segmentiga teng bo'lgan CM segmentini chetga qo'yamiz. M nuqtani B nuqtaga tutashtiramiz. Olingan VSM uchburchak ACB uchburchagiga teng. Biz ABM uchburchakning har bir burchagi 60° ga teng ekanligini ko'ramiz, shuning uchun bu uchburchak teng yonli uchburchakdir.

AC oyog'i AM ning yarmiga teng va AM AB ga teng bo'lgani uchun AC oyog'i AB gipotenuzasining yarmiga teng bo'ladi.

Kechagi kundan boshlab:

Keling, geometriya ertakiga asoslangan mozaika bilan o'ynaymiz:

Bir vaqtlar uchburchaklar bor edi. Shu qadar o'xshashki, ular bir-birining nusxasi.
Negadir ular bir tekisda yonma-yon turishdi. Va ularning balandligi bir xil bo'lgani uchun -
keyin ularning tepalari hukmdor ostida bir xil darajada edi:

Uchburchaklar yiqilib, boshlarida turishni yaxshi ko'rardi. Ular eng yuqori qatorga chiqib, akrobatlar kabi burchakda turishdi.
Va biz allaqachon bilamiz - ular tepalari bilan bir qatorda turganlarida,
u holda ularning tagligi ham o'lchagichga ergashadi - chunki kimdir bir xil balandlikda bo'lsa, demak ular ham bir xil balandlikda teskari bo'ladi!

Ular hamma narsada bir xil edi - bir xil balandlik va bir xil taglik,
va yon tomonlardagi slaydlar - biri tik, ikkinchisi tekisroq - uzunligi bir xil
va ular bir xil qiyalikka ega. Xo'sh, shunchaki egizaklar! (faqat turli xil kiyimlarda, har birida o'z jumboq bo'lagi bor).

- Uchburchaklar qayerda bir xil tomonlarga ega? Qayerda burchaklar bir xil?

Uchburchaklar boshlarida turishdi, u erda turishdi va pastga siljish va pastki qatorda yotishga qaror qilishdi.
Ular tog'dan sirg'alib pastga tushishdi; lekin ularning slaydlari bir xil!
Shunday qilib, ular pastki uchburchaklar orasiga to'liq mos keladi, bo'shliqlarsiz va hech kim hech kimni chetga surmadi.

Biz uchburchaklarni ko'rib chiqdik va qiziqarli xususiyatni payqadik.
Ularning burchaklari qayerda birlashmasin, barcha uch burchak albatta uchrashadi:
eng kattasi "bosh burchagi", eng o'tkir burchak va uchinchi, o'rta eng katta burchak.
Qaysi biri ekanligi darhol ayon bo'lishi uchun ular hatto rangli lentalarni ham bog'lashdi.

Va uchburchakning uchta burchagi, agar siz ularni birlashtirsangiz -
bitta katta burchak hosil qiling, "ochiq burchak" - ochiq kitobning qopqog'i kabi,

______________________O ___________________

u burilish burchagi deb ataladi.

Har qanday uchburchak pasportga o'xshaydi: uchta burchak birgalikda ochilgan burchakka teng.
Eshigingizni kimdir taqillatadi: - knock-knock, men uchburchakman, tunni o'tkazishga ruxsat bering!
Va siz unga ayting - Menga kengaytirilgan shaklda burchaklar yig'indisini ko'rsating!
Va bu haqiqiy uchburchakmi yoki yolg'onmi, darhol aniq bo'ladi.
Muvaffaqiyatsiz tekshirish - Bir yuz sakson daraja buriling va uyga boring!

Ular "180 ° ga buriling" deyishsa, bu orqaga burilishni anglatadi va
qarama-qarshi tomonga boring.

Xuddi shu narsa tanish iboralarda, "bir vaqtlar"siz:

ABC uchburchakning OX o'qi bo'ylab parallel tarjimasini bajaramiz
vektorga AB AB asosining uzunligiga teng.
Uchburchaklarning C va C 1 cho'qqilaridan o'tuvchi DF chizig'i
OX o'qiga perpendikulyar bo'lganligi sababli, OX o'qiga parallel
h va h 1 segmentlari (teng uchburchaklarning balandliklari) teng.
Shunday qilib, A 2 B 2 C 2 uchburchakning asosi AB asosiga parallel
va uzunligi bo'yicha unga teng (chunki C 1 tepasi C ga nisbatan AB miqdoriga siljiydi).
A 2 B 2 C 2 va ABC uchburchaklar uch tomoni teng.
Demak, to'g'ri burchak hosil qiluvchi ∠A 1 ∠B ∠C 2 burchaklar ABC uchburchakning burchaklariga teng.
=> Uchburchak burchaklarining yigʻindisi 180° ga teng

Harakatlar bilan - "tarjimalar" deb ataladigan dalil qisqaroq va aniqroq,
hatto bola ham mozaikaning qismlarini tushunishi mumkin.

Ammo an'anaviy maktab:

parallel chiziqlar bo'yicha kesilgan ichki kesishgan burchaklarning tengligi asosida

Bu nima uchun bunday bo'lganligi haqida tushuncha berishi bilan qimmatlidir,
Nima uchun uchburchak burchaklarining yig'indisi teskari burchakka teng?

Chunki aks holda parallel chiziqlar bizning dunyomizga tanish bo'lgan xususiyatlarga ega bo'lmaydi.

Teoremalar ikkala yo'nalishda ham ishlaydi. Parallel chiziqlar aksiomasidan kelib chiqadi
ko'ndalang yotgan va vertikal burchaklarning tengligi va ulardan - uchburchak burchaklarining yig'indisi.

Ammo buning aksi ham to'g'ri: uchburchakning burchaklari 180 ° bo'lsa, parallel chiziqlar mavjud.
(shunday qilib, chiziqda yotmagan nuqta orqali berilgan chiziqning yagona || chizig'ini o'tkazish mumkin).
Agar bir kun dunyoda burchaklari yig'indisi ochilgan burchakka teng bo'lmagan uchburchak paydo bo'lsa -
keyin parallellar parallel bo'lishdan to'xtaydi, butun dunyo egilib, qiyshayib qoladi.

Agar uchburchak naqshli chiziqlar bir-birining ustiga qo'yilsa -
siz butun maydonni plitkali zamin kabi takrorlanadigan naqsh bilan qoplashingiz mumkin:

Bunday panjarada siz turli xil shakllarni kuzatishingiz mumkin - olti burchaklar, romblar,
yulduzli ko'pburchaklar va turli xil parketlarni oling

Samolyotni parket bilan qoplash nafaqat qiziqarli o'yin, balki tegishli matematik muammodir:

________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\

Har bir to'rtburchak to'rtburchak, kvadrat, romb va boshqalar bo'lgani uchun,
ikkita uchburchakdan iborat bo'lishi mumkin,
mos ravishda, to'rtburchak burchaklarining yig'indisi: 180 ° + 180 ° = 360 °

Bir xil yon tomonli uchburchaklar turli yo'llar bilan kvadratlarga katlanadi.
2 qismdan iborat kichik kvadrat. O'rtacha 4. Va 8 taning eng kattasi.
Chizmada 6 ta uchburchakdan iborat nechta figura bor?

Uchburchakdagi burchaklar yig'indisi 180 gradusga teng ekanligini isbotlay olasizmi? va eng yaxshi javobni oldi

Top_ed[guru] tomonidan javob
Nima uchun juda, juda uzoq vaqt oldin isbotlangan narsani isbotlash kerak.
Evklid geometriyasining klassik teoremasi bo'lgan uchburchak burchak yig'indisi teoremasi shuni ko'rsatadiki
Uchburchak burchaklarining yig'indisi 180° ga teng.
ABC ixtiyoriy uchburchak bo'lsin. B cho'qqisi orqali AC chizig'iga parallel chiziq o'tkazamiz. Unda D nuqtani shunday belgilaymizki, A va D nuqtalar BC chiziqning qarama-qarshi tomonlarida yotsin.
DBC va ACB burchaklari AC va BD parallel chiziqlari bilan ko'ndalang BC tomonidan hosil qilingan ichki kesishgan burchaklar sifatida mos keladi. Demak, uchburchakning B va C cho’qqilardagi burchaklarining yig’indisi ABD burchagiga teng.
Uchburchakning barcha uch burchagining yig'indisi ABD va BAC burchaklarining yig'indisiga teng. Bu parallel AC va BD va AB sekant uchun bir tomonlama ichki burchaklar bo'lgani uchun ularning yig'indisi 180 ° ga teng. Teorema isbotlangan.

Kimdan javob Boriska (c)[guru]
Men qila olaman, lekin qanday qilib esimda yo'q))

Kimdan javob Murashkina[guru]
mumkin. Siz uchun shoshilinchmi? ? Beshinchi sinf imtihonini topshiryapsizmi? ? :))

Kimdan javob Oriy Semykin[guru]
1. Bu fazoning geometriyasiga bog'liq. Riemann tekisligida > 180, maydonda. Lobachevskiy< 180. На Эвклидовой - равенство.
2. Cho'qqi orqali tomonlardan biriga parallel chiziq o'tkazing va ikki tomon va qo'shimcha chiziq hosil qilgan ko'ndalang burchaklarni tekshiring. Olingan burchak (180) uchburchakning uchta burchagi yig'indisiga teng.

Dalil asosan faqat bitta parallel chiziq chizish mumkinligiga tayanadi. Bunday bo'lmagan ko'plab geometriyalar mavjud.

Kimdan javob Yuriy[guru]
Nima uchun isbotlanganini isbotlash kerak?)) Agar siz yangi narsalarni xohlasangiz, kvadratni ikkiga bo'ling))

Kimdan javob Nikolay Evgenievich[guru]
Men qila olmayman.

Kimdan javob Aleks Brichka[mutaxassis]
Ha, bu erda isbotlash uchun hech narsa yo'q, siz faqat bir-biriga burchaklarni qo'shishingiz kerak va hammasi shu.

Kimdan javob 2 ta javob[guru]

Salom! Sizning savolingizga javoblar bilan mavzular tanlovi: Uchburchakdagi burchaklar yig'indisi 180 gradusga teng ekanligini isbotlay olasizmi?