Raqamlar aylanasida pi bilan raqamlarni qanday belgilash mumkin? Dars “Birlik doiradagi sinus va kosinusning ta’rifi” Xulosa va asosiy formulalar.

Mavzu bo'yicha dars va taqdimot: "Koordinata tekisligidagi sonli doira"

Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, sharhlaringizni, tilaklaringizni qoldirishni unutmang! Barcha materiallar virusga qarshi dastur tomonidan tekshirilgan.

1C dan 10-sinf uchun Integral onlayn-do'konidagi qo'llanmalar va simulyatorlar
Parametrlar bilan algebraik masalalar, 9-11 sinflar
Geometriyadan masalalar yechish. 7-10 sinflar uchun interfaol qurilish vazifalari

Biz nimani o'rganamiz:
1. Ta'rif.
2. Son aylanasining muhim koordinatalari.
3. Son aylana koordinatasi qanday topiladi?
4. Son doiraning asosiy koordinatalari jadvali.
5. Masalani yechishga misollar.

Koordinata tekisligidagi son doirasining ta'rifi

Aylananing markazi koordinatalar boshiga to‘g‘ri keladigan tarzda sonli aylanani koordinata tekisligiga joylashtiramiz va uning radiusini birlik segment sifatida olamiz. A sonli aylananing boshlanish nuqtasi (1;0) nuqta bilan birlashtiriladi.

Raqamli aylanadagi har bir nuqta koordinata tekisligida o'zining x va y koordinatalariga ega va:
1) $x > 0$, $y > 0$ uchun - birinchi chorakda;
2) $x 0$ uchun - ikkinchi chorakda;
3) $x uchun 4) $x > 0$, $y uchun
Raqamli aylananing har qanday $M(x; y)$ nuqtasi uchun quyidagi tengsizliklar bajariladi: $-1
Raqamli aylana tenglamasini eslang: $x^2 + y^2 = 1$.

Rasmda keltirilgan sonli doiradagi nuqtalarning koordinatalarini qanday topishni o'rganish biz uchun muhim.

$\frac(p)(4)$ nuqtaning koordinatasini topamiz

$M(\frac(p)(4))$ nuqtasi birinchi chorakning oʻrtasi. M nuqtadan OA to'g'ri chiziqqa perpendikulyar MRni tushirib, OMP uchburchakni ko'rib chiqamiz.AM yoyi AB yoyining yarmi bo'lgani uchun $∠MOP=45°$.
Shunday qilib, OMP uchburchagi teng yonlidir to'g'ri uchburchak va $OP=MP$, ya'ni. M nuqtada abtsissa va ordinata teng: $x = y$.
$M(x;y)$ nuqtaning koordinatalari sonli aylana tenglamasini qanoatlantirgani uchun ularni topish uchun tenglamalar tizimini yechish kerak:
$\begin (holatlar) x^2 + y^2 = 1,\\ x = y. \end (holatlar)$
Ushbu tizimni hal qilib, biz quyidagilarni olamiz: $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$.
Demak, $\frac(p)(4)$ soniga mos keladigan M nuqtaning koordinatalari $M(\frac(p)(4))=M(\frac(\sqrt(2))( bo‘ladi. 2);\frac (\sqrt(2))(2))$.
Oldingi rasmda keltirilgan nuqtalarning koordinatalari xuddi shunday tarzda hisoblanadi.

Raqamli aylanadagi nuqtalar koordinatalari

Keling, misollarni ko'rib chiqaylik

1-misol.
Raqamli aylanadagi nuqtaning koordinatasini toping: $P(45\frac(p)(4))$.

Yechim:
$45\frac(p)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * p = 10p +5\frac(p)(4) = 5\frac(p)(4) + 2p*5 $.
Bu $45\frac(p)(4)$ soni $\frac(5p)(4)$ soni bilan son aylanasining bir xil nuqtasiga toʻgʻri kelishini bildiradi. Jadvaldagi $\frac(5p)(4)$ nuqtaning qiymatiga qarab, biz quyidagilarni olamiz: $P(\frac(45p)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.

2-misol.
Raqamli aylanadagi nuqtaning koordinatasini toping: $P(-\frac(37p)(3))$.

Yechim:

Chunki $t$ va $t+2p*k$ raqamlari, bu erda k butun son bo'lib, sonlar aylanasining bir xil nuqtasiga to'g'ri keladi:
$-\frac(37p)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*p = -12p –\frac(p)(3) = -\frac(p)(3) + 2p *(-6)$.
Bu shuni anglatadiki, $-\frac(37p)(3)$ soni $–\frac(p)(3)$ soni va –$\frac(p) soni bilan sonlar doirasidagi bir xil nuqtaga mos keladi. (3)$ $\frac(5p)(3)$ bilan bir xil nuqtaga to'g'ri keladi. Jadvaldagi $\frac(5p)(3)$ nuqtaning qiymatiga qarab, biz quyidagilarni olamiz:
$P(-\frac(37p)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.

3-misol.
$y =\frac(1)(2)$ ordinatali sonli aylanadagi nuqtalarni toping va ular qaysi $t$ raqamlariga mos kelishini yozing?

Yechim:
$y =\frac(1)(2)$ toʻgʻri chiziq M va P nuqtalarida sonlar aylanasini kesib oʻtadi. M nuqtasi $\frac(p)(6)$ soniga toʻgʻri keladi (jadval maʼlumotlaridan). Bu shaklning istalgan raqamini bildiradi: $\frac(p)(6)+2p*k$. P nuqta $\frac(5p)(6)$ soniga va shuning uchun $\frac(5p)(6) +2 p*k$ ko'rinishdagi istalgan soniga mos keladi.
Bunday holatlarda tez-tez aytilgandek, biz ikkita qiymat seriyasini oldik:
$\frac(p)(6) +2 p*k$ va $\frac(5p)(6) +2p*k$.
Javob: $t=\frac(p)(6) +2 p*k$ va $t=\frac(5p)(6) +2p*k$.

4-misol.
$x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ abscissali sonlar aylanasidagi nuqtalarni toping va ular qaysi $t$ raqamlariga mos kelishini yozing.

Yechim:

$x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ toʻgʻri chiziq M va P nuqtalarda son aylanasini kesib oʻtadi. $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ tengsizligi mos keladi. yoyning PM nuqtalariga. M nuqtasi $3\frac(p)(4)$ raqamiga to'g'ri keladi (jadval ma'lumotlaridan). Bu $-\frac(3p)(4) +2p*k$ shaklidagi istalgan sonni bildiradi. P nuqta $-\frac(3p)(4)$ soniga, shuning uchun $-\frac(3p)(4) +2p*k$ ko’rinishdagi istalgan songa mos keladi.

Keyin $-\frac(3p)(4) +2 p*k ≤t≤\frac(3p)(4) +2pk$ ni olamiz.

Javob: $-\frac(3p)(4) +2 p*k ≤t≤\frac(3p)(4) +2pk$.

Mustaqil ravishda hal qilinadigan muammolar

1) Son doiradagi nuqtaning koordinatasini toping: $P(\frac(61p)(6))$.
2) Son aylanasidagi nuqtaning koordinatasini toping: $P(-\frac(52p)(3))$.
3) $y = -\frac(1)(2)$ ordinatali sonlar aylanasidagi nuqtalarni toping va ular qaysi $t$ raqamlariga mos kelishini yozing.
4) $y ≥ -\frac(1)(2)$ ordinatasi bo'lgan sonli aylanadagi nuqtalarni toping va ular qaysi $t$ raqamlariga mos kelishini yozing.
5) $x≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ abtsissasi bo'lgan sonli aylanadagi nuqtalarni toping va ular qaysi $t$ raqamlariga mos kelishini yozing.

Maktabda trigonometriyani o'rganayotganda, har bir o'quvchi "raqamli doira" juda qiziqarli tushunchasiga duch keladi. Talaba trigonometriyani keyinchalik qanchalik yaxshi o'rganishi maktab o'qituvchisining nima ekanligini va nima uchun kerakligini tushuntirish qobiliyatiga bog'liq. Afsuski, har bir o'qituvchi bu materialni aniq tushuntira olmaydi. Natijada, ko'plab talabalar hatto qanday belgilashni ham bilmay qolishadi raqamlar doirasidagi nuqtalar. Agar siz ushbu maqolani oxirigacha o'qib chiqsangiz, buni qanday qilib muammosiz qilishni o'rganasiz.

Shunday qilib, keling, boshlaylik. Radiusi 1 ga teng aylana chizamiz. Bu doiraning “eng o‘ngdagi” nuqtasini harf bilan belgilaymiz. O:

Tabriklaymiz, siz hozirgina birlik doirasini chizdingiz. Bu doiraning radiusi 1 ga teng bo'lgani uchun uzunligi .

Har biriga haqiqiy raqam nuqtadan raqam doirasi bo'ylab traektoriya uzunligiga mos kelishingiz mumkin O. Harakat yo'nalishi soat sohasi farqli o'laroq ijobiy yo'nalish sifatida qabul qilinadi. Salbiy uchun - soat yo'nalishi bo'yicha:

Raqamli doiradagi nuqtalarning joylashishi

Yuqorida aytib o'tganimizdek, son doirasining uzunligi (birlik doirasi) ga teng. Bu doirada raqam qayerda joylashgan bo'ladi? Shubhasiz, nuqtadan O soat sohasi farqli o'laroq, biz aylananing yarmining uzunligiga o'tishimiz kerak va biz o'zimizni kerakli nuqtada topamiz. Keling, uni harf bilan belgilaymiz B:

E'tibor bering, xuddi shu nuqtaga salbiy yo'nalishda yarim doira yurish orqali erishish mumkin. Keyin raqamni birlik doirasiga chizamiz. Ya'ni, raqamlar bir xil nuqtaga to'g'ri keladi.

Qolaversa, xuddi shu nuqta , , raqamlariga va umuman, , shaklida yozilishi mumkin bo'lgan cheksiz sonlar to'plamiga ham mos keladi, bu erda , ya'ni butun sonlar to'plamiga tegishli. Bularning barchasi, chunki B har qanday yo'nalishda "dunyo bo'ylab" sayohat qilishingiz mumkin (aylanani qo'shing yoki ayiring) va xuddi shu nuqtaga kirishingiz mumkin. Biz tushunish va eslash kerak bo'lgan muhim xulosaga keldik.

Har bir raqam raqam doirasidagi bitta nuqtaga to'g'ri keladi. Lekin sonlar aylanasidagi har bir nuqta cheksiz sonli raqamlarga mos keladi.

Keling, son doirasining yuqori yarim doirasini bir nuqtaga teng uzunlikdagi yoylarga ajratamiz C. Ark uzunligini ko'rish oson O.C. ga teng. Keling, mavzuni kechiktiraylik C soat miliga teskari yo'nalishda bir xil uzunlikdagi yoy. Natijada, biz nuqtaga etib boramiz B. Natija juda kutilmoqda, chunki . Keling, bu yoyni yana bir xil yo'nalishda yotqizamiz, lekin hozir nuqtadan B. Natijada, biz nuqtaga etib boramiz D, bu allaqachon raqamga mos keladi:

Yana bir bor e'tibor bering, bu nuqta nafaqat raqamga, balki, masalan, raqamga ham mos keladi, chunki bu nuqtaga nuqtadan uzoqlashish orqali erishish mumkin. O soat yo'nalishi bo'yicha chorak doira (salbiy yo'nalish).

Va umuman olganda, biz yana bir bor ta'kidlaymizki, bu nuqta shaklda yozilishi mumkin bo'lgan cheksiz ko'p sonlarga mos keladi. . Lekin ular shaklda ham yozilishi mumkin. Yoki, agar xohlasangiz, shaklida. Bu yozuvlarning barchasi mutlaqo ekvivalentdir va ularni bir-biridan olish mumkin.

Keling, kamonni ikkiga ajratamiz O.C. yarim nuqta M. Endi kamon uzunligi qancha ekanligini aniqlang OM? To'g'ri, yoyning yarmi O.C.. Ya'ni . Nuqta qaysi raqamlarga mos keladi? M raqamli doirada? Ishonchim komilki, endi siz bu raqamlarni quyidagicha yozish mumkinligini tushunasiz.

Ammo buni boshqacha qilish mumkin. Keling, olaylik. Keyin biz buni olamiz . Ya'ni, bu raqamlar shaklda yozilishi mumkin . Xuddi shu natijani raqamlar doirasi yordamida olish mumkin. Aytganimdek, ikkala yozuv ham ekvivalentdir va ularni bir-biridan olish mumkin.

Endi siz nuqtalar mos keladigan raqamlarga osongina misol keltira olasiz N, P Va K raqamli doira ustida. Masalan, raqamlar va :

Ko'pincha bu raqamlar doirasidagi mos nuqtalarni belgilash uchun minimal ijobiy raqamlar olinadi. Garchi bu umuman zarur bo'lmasa-da, davr N, siz allaqachon bilganingizdek, boshqa raqamlarning cheksiz soniga mos keladi. Jumladan, masalan, raqam.

Agar siz kamonni buzsangiz O.C. nuqtalari bilan uchta teng yoylarga S Va L, shuning uchun gap shu S nuqtalar orasida yotadi O Va L, keyin yoy uzunligi OS ga va yoy uzunligiga teng bo'ladi OL ga teng bo'ladi. Darsning oldingi qismida olgan bilimlaringizdan foydalanib, raqamlar doirasidagi qolgan nuqtalar qanday bo'lganini osongina aniqlashingiz mumkin:

Raqamlar doirasidagi p ga karrali bo'lmagan sonlar

Keling, o'zimizga savol beraylik: 1 raqamiga mos keladigan nuqtani raqamlar chizig'ining qayerida belgilashimiz kerak? Buning uchun siz birlik doirasining eng "o'ng" nuqtasidan boshlashingiz kerak O uzunligi 1 ga teng bo'lgan yoyni chizing. Biz faqat taxminan kerakli nuqtaning joylashishini ko'rsatishimiz mumkin. Keling, quyidagi tarzda davom etaylik.

Umid qilamanki, siz allaqachon raqamlar doirasi haqida o'qib chiqdingiz va nima uchun u son doirasi deb ataladi, koordinatalarning kelib chiqishi qaerda va qaysi tomon ijobiy yo'nalish ekanligini bilasiz. Agar yo'q bo'lsa, yugur! Agar, albatta, siz raqamlar doirasidagi nuqtalarni topmasangiz.

Biz \(2p\), \(p\), \(\frac(p)(2)\), \(-\frac(p)(2)\), \(\frac(3p) raqamlarini belgilaymiz. (2 )\)

Oldingi maqoladan ma'lumki, sonlar doirasining radiusi \(1\) ga teng. Demak, aylana \(2p\) ga teng (\(l=2pR\) formulasi yordamida hisoblangan). Buni hisobga olib, son doirasiga \(2p\) belgilaymiz. Bu raqamni belgilash uchun son doirasi bo‘ylab \(0\) dan musbat yo‘nalishda \(2p\) ga teng masofaga borishimiz kerak va aylana uzunligi \(2p\) bo‘lgani uchun u aylanadi. amalga oshiramiz to'liq burilish. Ya'ni \(2p\) va \(0\) soni bir xil nuqtaga to'g'ri keladi. Xavotir olmang, bir nuqta uchun bir nechta qiymatlar raqam doirasi uchun normaldir.

Endi son doirasiga \(p\) sonni belgilaymiz. \(p\) \(2p\) ning yarmi. Shunday qilib, ushbu raqamni va mos keladigan nuqtani belgilash uchun siz \(0\) dan musbat yo'nalishda yarim doira bo'lishingiz kerak.

Nuqtani belgilaymiz \(\frac(p)(2)\) . \(\frac(p)(2)\) \(p\) ning yarmi, shuning uchun bu raqamni belgilash uchun \(0\) dan musbat yo'nalishda \( ning yarmiga teng masofaga borishingiz kerak. p\), ya'ni chorak doira.

Aylanadagi nuqtalarni belgilaymiz \(-\)\(\frac(p)(2)\) . Biz oxirgi marta bir xil masofani bosib o'tamiz, lekin salbiy yo'nalishda.

Keling, \(-p\) qo'yamiz. Buning uchun salbiy yo'nalishda yarim doiraga teng masofani bosib o'tamiz.

Endi murakkabroq misolni ko'rib chiqamiz. Aylanada \(\frac(3p)(2)\) raqamini belgilaymiz. Buning uchun \(\frac(3)(2)\) kasrni \(\frac(3)(2)\) \(=1\)\(\frac(1)(2)\ ga aylantiramiz. ), ya'ni e. \(\frac(3p)(2)\) \(=p+\)\(\frac(p)(2)\) . Bu shuni anglatadiki, \(0\) dan musbat yo'nalishda yarim doira va yana chorak masofaga borishingiz kerak.

1-mashq. Raqamli aylanada \(-2p\),\(-\)\(\frac(3p)(2)\) nuqtalarni belgilang.

Biz raqamlarni belgilaymiz \(\frac(p)(4)\), \(\frac(p)(3)\), \(\frac(p)(6)\)

Yuqorida biz raqamlar doirasining \(x\) va \(y\) o'qlari bilan kesishgan nuqtalaridagi qiymatlarni topdik. Endi oraliq nuqtalarning joylashishini aniqlaymiz. Birinchidan, \(\frac(p)(4)\) , \(\frac(p)(3)\) va \(\frac(p)(6)\) nuqtalarini chizamiz.
\(\frac(p)(4)\) \(\frac(p)(2)\) ning yarmi (ya'ni, \(\frac(p)(4)\) \(=\)\ ( \frac(p)(2)\) \(:2)\) , shuning uchun \(\frac(p)(4)\) masofa chorak doiraning yarmiga teng.

\(\frac(p)(4)\) \(p\) ning uchdan bir qismidir (boshqacha aytganda,\(\frac(p)(3)\) \(=p:3\)), shuning uchun masofa \ (\ frac (p) (3) \) - yarim doira uchdan bir qismi.

\(\frac(p)(6)\) \(\frac(p)(3)\) ning yarmi (axir, \(\frac(p)(6)\) \(=\)\( \frac (p)(3)\) \(:2\)) shuning uchun \(\frac(p)(6)\) masofa \(\frac(p)(3)\) masofasining yarmiga teng.

Ular bir-biriga nisbatan shunday joylashgan:

Izoh:\(0\), \(\frac(p)(2)\) ,\(p\), \(\frac(3p)(2)\) , \(\frac(p) qiymatiga ega nuqtalarning joylashuvi ( 4)\) , \(\frac(p)(3)\) , \(\frac(p)(6)\) shunchaki eslab qolish yaxshiroqdir. Ularsiz, raqamli doira, monitorsiz kompyuter kabi, foydali narsa bo'lib tuyuladi, lekin foydalanish juda noqulay.

Doiradagi turli masofalar aniq ko'rsatilgan:

Biz raqamlarni belgilaymiz \(\frac(7p)(6)\), \(-\frac(4p)(3)\), \(\frac(7p)(4)\)

Aylanadagi nuqtani belgilaymiz \(\frac(7p)(6)\) , buning uchun quyidagi o'zgarishlarni bajaramiz: \(\frac(7p)(6)\) \(=\)\(\ frac(6p + p)( 6)\) \(=\)\(\frac(6p)(6)\) \(+\)\(\frac(p)(6)\) \(=p+ \)\(\frac( p)(6)\) . Bundan ko'ramizki, noldan musbat yo'nalishda \(p\) masofani bosib o'tishimiz kerak, keyin esa yana \(\frac(p)(6)\) .

Doiradagi \(-\)\(\frac(4p)(3)\) nuqtani belgilang. O'zgartirish: \(-\)\(\frac(4p)(3)\) \(=-\)\(\frac(3p)(3)\) \(-\)\(\frac(p)( 3)\) \(=-p-\)\(\frac(p)(3)\) . Bu shuni anglatadiki, \(0\) dan biz salbiy yo'nalishda \(p\) va \(\frac(p)(3)\) masofasiga borishimiz kerak.

\(\frac(7p)(4)\) nuqtasini chizamiz, buning uchun \(\frac(7p)(4)\) \(=\)\(\frac(8p-p)(4) o'zgartiramiz. )\) \ (=\)\(\frac(8p)(4)\) \(-\)\(\frac(p)(4)\) \(=2p-\)\(\frac(p) )(4) \) . Bu shuni anglatadiki, \(\frac(7p)(4)\ qiymatiga ega nuqtani joylashtirish uchun \(2p\) qiymati bo'lgan nuqtadan \(\) masofada manfiy tomonga o'tish kerak. frac(p)(4)\) .

Vazifa 2. \(-\)\(\frac(p)(6)\) ,\(-\)\(\frac(p)(4)\) ,\(-\)\(\frac) nuqtalarini belgilang son doirasi (p)(3)\) ,\(\frac(5p)(4)\) ,\(-\)\(\frac(7p)(6)\) ,\(\frac(11p) (6) \) , \(\frac(2p)(3)\) ,\(-\)\(\frac(3p)(4)\) .

Biz \(10p\), \(-3p\), \(\frac(7p)(2)\) ,\(\frac(16p)(3)\), \(-\frac(21p) raqamlarini belgilaymiz. )( 2)\), \(-\frac(29p)(6)\)

\(10p\) ni \(5 \cdot 2p\) shaklida yozamiz. Eslatib o'tamiz, \(2p\) masofa uzunligiga teng doiralar, shuning uchun \(10p\) nuqtasini belgilash uchun siz noldan \(5\) doiraga teng masofaga o'tishingiz kerak. Biz yana \(0\) nuqtasida topamiz, deb taxmin qilish qiyin emas, shunchaki beshta inqilobni bajaring.

Ushbu misoldan xulosa qilishimiz mumkin:

Farqi \(2pn\) bo'lgan raqamlar, bu erda \(n∈Z\) (ya'ni \(n\) har qanday butun son) bir xil nuqtaga to'g'ri keladi.

Ya'ni, qiymati \(2p\) dan katta (yoki \(-2p\) dan kichik) bo'lgan raqamni qo'yish uchun undan \(p\) (\(2p\)) juft sonni chiqarish kerak. \(8p\), \(-10p\)…) va tashlang. Shunday qilib, biz nuqta pozitsiyasiga ta'sir qilmaydigan raqamlardan "bo'sh inqiloblarni" olib tashlaymiz.

Yana bir xulosa:

\(0\) mos keladigan nuqta barcha juft miqdorlarga ham mos keladi \(p\) (\(±2p\),\(±4p\),\(±6p\)…).

Endi aylanaga \(-3p\) ni qo'llaymiz. \(-3p=-p-2p\), ya'ni \(-3p\) va \(–p\) aylananing bir joyida joylashgan (chunki ular \(-2p da "bo'sh burilish" bilan farqlanadi) \)).

Aytgancha, barcha g'alati \(p\) ham u erda bo'ladi.

\(p\) mos keladigan nuqta barcha toq miqdorlarga ham mos keladi \(p\) (\(±p\),\(±3p\),\(±5p\)…).

Endi raqamni belgilaymiz \(\frac(7p)(2)\) . Odatdagidek o'zgartiramiz: \(\frac(7p)(2)\) \(=\)\(\frac(6p)(2)\) \(+\)\(\frac(p)(2) \ ) \(=3p+\)\(\frac(p)(2)\) \(=2p+p+\)\(\frac(p)(2)\) . Biz ikkita pini olib tashlaymiz va \(\frac(7p)(2)\) raqamini belgilash uchun siz noldan ijobiy yo'nalishda \(p+\)\(\) ga teng masofaga o'tishingiz kerakligi ma'lum bo'ldi. frac(p)(2)\ ) (ya’ni yarim doira va yana chorak).

O'rta maktab o'quvchilari qachon o'qishlarida muammolarga duch kelishi mumkinligini hech qachon bilishmaydi. Maktabda o'qiladigan har qanday fan, rus tilidan hayot xavfsizligiga qadar qiyinchiliklarga olib kelishi mumkin. Bittasi akademik fanlar Maktab o'quvchilarini muntazam ravishda terlaydigan mavzu - bu algebra. Algebra fani yettinchi sinfdan boshlab bolalarning ongini qo'rqitishni boshlaydi va bu ishni o'ninchi va o'n birinchi yillarida davom ettiradi. O'smirlar turli xil vositalar yordamida o'z hayotlarini osonlashtirishi mumkin, ular orasida doimo hal qiluvchilar mavjud.

Algebra fanidan 10-11-sinflar uchun GDZ to‘plami (Sh.A.Alimov, Yu.M.Kolyagin, M.V.Tkacheva) asosiy kitobga ajoyib qo'shimcha hisoblanadi. orqali ma'lumotnoma ma'lumotlari talaba har qanday mashqni hal qilishga tayyor. Topshiriqlar quyidagi mavzularni tahlil qilishni o'z ichiga oladi:

• trigonometrik funksiyalar va tenglamalar;
• logarifmlar;
• daraja.

Taqdim etilgan javoblar va sharhlarda, albatta, bolaga yordam beradigan zarur mualliflik yozuvlari mavjud.

Nima uchun sizga hal qiluvchi kerak?

Nashr barcha maktab o‘quvchilariga material bilan mustaqil ishlash, mavzuni noto‘g‘ri tushungan yoki o‘tkazib yuborgan taqdirda sifatni buzmagan holda o‘zlari ko‘rib chiqish imkoniyatini beradi. Shuningdek, ma'lumotnoma ma'lumotlari kelajakda mustaqil va samarali tayyorgarlik ko'rish imkonini beradi testlar. Eng qiziquvchan talabalar kuzatib borishlari mumkin o'quv dasturi oldinga, bu kelajakda bilimlarni o'zlashtirishga va o'rtacha ballning oshishiga ijobiy ta'sir ko'rsatadi.

O'ninchi va o'n birinchi sinf o'quvchilaridan tashqari Alimov 10-11 sinflar uchun algebra fanidan qo’llanma Ota-onalar va o'qituvchilar undan bemalol foydalanishlari mumkin: birinchisi uchun u bolaning bilimini nazorat qilish vositasiga aylanadi, ikkinchisi uchun esa o'z materiallarini ishlab chiqish uchun asos bo'ladi. test topshiriqlari sinf faoliyati uchun.

To'plam qanday tashkil etilgan

Resurs darslikning tuzilishiga to‘liq amal qiladi. Ichkarida foydalanuvchi 1624 ta mashq javoblarini, shuningdek, o'n uch bobga bo'lingan "O'zingizni sinab ko'ring" bo'limining vazifalarini ko'rish imkoniyatiga ega. Kalitlar kuniga 24 soat mavjud, raqamni qidirish maydoni yoki qulay navigatsiya orqali topish mumkin.

5. HAR QANDAY ARGUENTNING TRIGONOMETRIK FUNKSIYALARI

§ 20. BIRLIK DOIRASI

948. Birlik aylana yoy uzunligi va uning radian o'lchovi o'rtasida qanday bog'liqlik bor?

949. Birlik aylanasida raqamlarga mos keladigan nuqtalarni tuzing: 0; 1; 2; 3; 4; 5; .... Bu nuqtalardan birortasi mos kelishi mumkinmi? Nega?

950. Raqamlar a = 1/2 formula bilan berilgan k, Qayerda k= 0; ±1; ±2; ....
Bu raqamlarga mos keladigan sonlar chizig'i va birlik aylanasidagi nuqtalarni tuzing. Sanoq chizig'ida nechta va birlik aylanasida nechta shunday nuqta bo'ladi?

951. Birlik doirasi va raqamlar o'qida raqamlarga mos keladigan nuqtalarni belgilang:
1) a = p k, k= 0; ±1, ±2, ...;
2) a = p / 2 (2k + 1), k= 0; ± 1; ±2; ...;
3) a = p k / 6 , k= 0; ±1; ±2; ... .
Sonlar chizig‘ida nechta, birlik aylanada nechta shunday nuqta bor?

952. Raqamlar o'qi va birlik aylanasida joylashgan raqamlarga qanday nuqtalar mos keladi?
1) A Va - A; 2) A Va A±p; 3) A+ p va A- p; 4) A Va A+ 2p k, k= 0; ±1; ±2; ...?

953. Raqamlarni sonlar o‘qidagi nuqtalar orqali tasvirlash va birlik doirasidagi nuqtalar orqali tasvirlash o‘rtasidagi tub farq nima?

954. 1) Birlik doiraning kesishish nuqtalariga mos keladigan eng kichik manfiy bo'lmagan sonlarni toping: a) koordinata o'qlari bilan; b) koordinata burchaklarining bissektrisalari bilan.

2) Har bir holatda yozing umumiy formula birlik doirasining ko'rsatilgan nuqtalariga mos keladigan raqamlar.

955. Buni bilish A birlik doiradagi berilgan nuqtaga mos keladigan raqamlardan biri bo‘lib, toping:
1) berilgan nuqtaga mos keladigan barcha raqamlar;
2) berilgan nuqtaga simmetrik birlik aylanasidagi nuqtaga mos keladigan barcha raqamlar:
a) x o'qiga nisbatan; b) ordinata o'qiga nisbatan; v) kelib chiqishiga nisbatan.
Muammoni qabul qilish orqali hal qiling A = 0; π / 2 ; 1 ; 2 ; p / 6; - p / 4 .

956. Raqamlar qanoatlantiradigan shartni toping A, mos keladi:
1) birlik doirasining 1-chorak nuqtalari;
2) birlik doirasining 2-chorak nuqtalari;
3) birlik doirasining 3-chorak nuqtalari;
4) birlik doirasining 4-chorak nuqtalari.

957. Birlik aylanaga chizilgan ABCDEFKL muntazam sakkizburchakning A uchi koordinatalariga (1; 0) ega (39-rasm).

1) Sakkizburchakning qolgan uchlari koordinatalarini aniqlang.
2) Birlik aylanasi bilan tugaydigan yoylarning umumiy formulasini tuzing:
a) A, C, E va K nuqtalarda; b) B, D, F va L nuqtalarda; v) A, B, C, D, E, F, K va L nuqtalarda.

958. 1) Birlik aylanada ordinatasi 0,5 ga teng nuqta quring. Birlik aylanada nechta nuqtada ordinata berilgan? Bu nuqtalar ordinata o'qiga nisbatan qanday joylashgan?

2) oxiri ordinatasi 0,5 ga teng bo‘lgan mutlaq qiymatdagi eng kichik yoyni transportyor bilan (1° aniqlik bilan) o‘lchab, ordinatasi bilan tugaydigan birlik aylana yoylarining umumiy formulasini tuzing. 0,5.

959. Ordinatani olib, 958-masalani yeching da teng:

1) - 0,5; 2) 0 4; 3) 0,5√3 .

960. 1) Birlik aylanada abtsissasi 0,5 ga teng nuqta quring. Birlik aylanada nechta nuqta berilgan abtsissaga ega? Bu nuqtalar x o'qiga nisbatan qanday joylashgan?

2) uchi abtsissasi 0,5 ga teng bo‘lgan eng kichik musbat yoyni transportyor bilan (1° aniqlik bilan) o‘lchab, abssissasi 0,5 ga teng nuqtalarda tugaydigan birlik aylana yoylarining umumiy formulasini tuzing.

961. Abtsissani olib, 960-masalani yeching X teng:

1) - 2 / 3 ; 2) 0,4; 3) 0,5√2 .

962. Formula bilan berilgan birlik aylana yoylari uchlarining koordinatalarini aniqlang ( k= 0; ±1; ±2; ...):

1) a = 30°(2 k+ 1); 2) a = p k / 3 .

963. Quyidagi burchaklar qatorini ifodalang ( k= 0; ±1; ±2; ...):

1) a 1 = 180° k+ 120 ° va a 2 = 180 ° k+ 30°;

2) a 1 = p k + π / 6 va a 2 = p k - π / 3 ;

3) a 1 = 90° k va a 2 = 45° (2 k + 1);

4) a 1 = p k va a 2 = p / 3 (3k± 1);

5) a 1 = 120° k± 15 ° va a 2 = 120 ° k± 45°;

6) a 1 = p k; a2 = 2p k ± π / 3 va a 3 = 2l k± 2p / 3 ;

7) a 1 = 180° k+ 140°; a 2 = 180° k+ 80 ° va a 3 = 180 ° k+ 20°;

8) a 1 = 180° k + (-1)k 60 ° va a 2 = 180 ° k - (-1)k 60°.

964. Quyidagi formulalardagi takroriy burchaklarni olib tashlang ( k= 0-±1; ±2; ...):

1) a 1 = 90° k va a 2 = 60° k+ 30°;

2) a 1 = p k / 2 va a 2 = p k / 5 ;

3) a 1 = 1/4 p k va a 2 = 1/2 p k± 1/4 p;

4) a 1 = p (2 k+ 1) - p / 6 va a 2 = 2/5 p k+ 1 / 30 p;

5) a 1 = 72° k+ 36 ° va a 2 = 120 ° k+ 60°.