Ikki tekislikning kesishishini qanday topish mumkin. Turli yo'llar bilan aniqlangan tekisliklarning kesishish chizig'ini qurish

Ikki tekislik bir-birini to'g'ri chiziqda kesib o'tadi. Uni qurish uchun bir vaqtning o'zida berilgan tekisliklarning har biriga tegishli bo'lgan ikkita nuqtani aniqlash kerak. Keling, quyidagi misollar yordamida bu qanday amalga oshirilishini ko'rib chiqaylik.

Tekisliklarning kesishish chizig'ini topamiz umumiy pozitsiya pl bo'lgan holat uchun a va b. a ABC uchburchak proyeksiyalari bilan berilgan va pl. b – parallel chiziqlar d va e. Ushbu muammoni hal qilish kesishish chizig'iga tegishli L 1 va L 2 nuqtalarini qurish orqali amalga oshiriladi.

Yechim

Biz yordamchi gorizontal tekislikni kiritamiz g 1. U a va b ni toʻgʻri chiziqlar boʻylab kesib oʻtadi. Bu chiziqlarning frontal proyeksiyalari 1""C"" va 2""3" kvadratning frontal iziga to'g'ri keladi. g 1. U rasmda f 0 g 1 sifatida belgilangan va x o'qiga parallel joylashgan.
Aloqa liniyalari bo'ylab 1"C" va 2"3" gorizontal proektsiyalarni aniqlaymiz.
L 1 nuqtaning gorizontal proyeksiyasini 1 "C" va 2 "3" chiziqlar kesishmasida topamiz. L 1 nuqtaning frontal proyeksiyasi g tekislikning frontal izida yotadi.
Biz yordamchi gorizontal tekislikni kiritamiz g 2. 1, 2, 3-bandlarda tasvirlanganlarga o'xshash konstruktsiyalardan foydalanib, biz L 2 nuqtasining proektsiyalarini topamiz.
L 1 va L 2 orqali biz kerakli to'g'ri chiziqni chizamiz l.

Shuni ta'kidlash kerakki, pl. g tekislik tekisliklaridan ham, proyeksiya tekisliklaridan ham foydalanish qulay.

Izlar bilan aniqlangan a va b tekisliklarning kesishish chizig‘i topilsin. Bu vazifa oldingisiga qaraganda ancha sodda. Bu yordamchi samolyotlarni kiritishni talab qilmaydi. Ularning rolini P 1 va P 2 proyeksiya tekisliklari bajaradi.

Qurilish algoritmi

H 0 a va h 0 b gorizontal izlarning kesishmasida joylashgan L" 1 nuqtani topamiz. L"" 1 nuqta x o'qida yotadi. Uning o'rni L" 1 dan chizilgan bog'lanish chizig'i yordamida aniqlanadi.
L"" 2 nuqtani pl frontal izlarning kesishmasida topamiz. a va b. L" 2 nuqta x o'qida yotadi. Uning o'rni L"" 2 dan chizilgan ulanish chizig'i bo'ylab aniqlanadi.
Rasmda ko'rsatilganidek, L 1 va L 2 nuqtalarning mos keladigan proyeksiyalari orqali l" va l"" to'g'ri chiziqlarni o'tkazamiz.

Shunday qilib, tekisliklar izlarining kesishish nuqtalaridan o'tadigan l to'g'ri chiziq kerakli hisoblanadi.

Uchburchaklar tekisliklarining kesishishi

ABC va DEF uchburchaklar bilan aniqlangan tekisliklarning kesishish chizig‘ini qurish va ularning ko‘rinishini raqobat nuqtalari usuli yordamida aniqlashni ko‘rib chiqamiz.

Qurilish algoritmi

DE to'g'ri chiziq orqali old proyeksiyalovchi s tekislikni o'tkazamiz: uning izi f 0s chizmada ko'rsatilgan. s tekislik ABC uchburchakni 35 to'g'ri chiziq bo'ylab kesib o'tadi. 3""=A""B""∩f 0s va 5""=A""S""∩f 0s nuqtalarni belgilab, (∙) o'rnini aniqlaymiz. )3" va (∙) 5" aloqa liniyalari bo'ylab DA"B"C" da.
Yordamchi s tekislikda yotgan DE va 35 to‘g‘ri chiziqlar kesishmasi N nuqtaning N"=D"E"∩3"5" gorizontal proyeksiyasini topamiz.N"" proyeksiyasi frontal izda joylashgan. f 0s N" bilan bir xil ulanish liniyasida.

BC to'g'ri chiziq orqali old proyeksiyalovchi t tekislikni o'tkazamiz: uning izi f 0t chizmada ko'rsatilgan. Algoritmning 1 va 2-bandlarida tasvirlanganlarga o'xshash konstruktsiyalardan foydalanib, biz K nuqtaning proyeksiyalarini topamiz.

N va K orqali biz kerakli NK to'g'ri chiziqni - DABC va DEF kesishish chizig'ini o'tkazamiz.

Ko'rinish ta'rifi

DEF va DABC ga tegishli bo'lgan old tomondan raqobatlashuvchi 4 va 5 nuqtalar bir xil frontal proyeksiyalovchi to'g'ri chiziqda joylashgan, lekin p 2 proyeksiya tekisligidan turli masofalarda joylashgan. (∙)5" kuzatuvchiga (∙)4" dan yaqinroq bo'lgani uchun kvadratga proyeksiyada (∙)5 bo'lgan DABC bo'limi ko'rinadi. p 2. N""K"" chizig'ining qarama-qarshi tomonida uchburchaklarning ko'rinishi o'zgaradi.

DABC va DEF ga tegishli bo'lgan gorizontal raqobatlashuvchi 6 va 7 nuqtalar bir xil gorizontal proyeksiyalovchi to'g'ri chiziqda, lekin p 1 proyeksiya tekisligidan turli masofalarda joylashgan. (∙)6"" (∙)7"" dan balandroq joylashganligi sababli kvadratga proyeksiyada (∙)6 bo'lgan DABC bo'limi ko'rinadi. p 1. N"K" chizig'ining qarama-qarshi tomonida uchburchaklarning ko'rinishi o'zgaradi.

Ikki tekislikning kesishish toʻgʻri chizigʻi har biri ikkala tekislikka tegishli boʻlgan ikkita nuqta yoki ikkita tekislikka tegishli bitta nuqta va chiziqning maʼlum yoʻnalishi bilan aniqlanadi. Ikkala holatda ham vazifa ikkita tekislik uchun umumiy nuqtani topishdir.

Ikki tekislikning kesishish chizig'ini qurishning umumiy texnikasi quyidagicha. Yordamchi tekislikni kiriting, yordamchi tekislikning ikkita berilgan bilan kesishish chiziqlarini qurish va qurilgan chiziqlar kesishmasidagi ikkita tekislikning umumiy nuqtasini toping. Ikkinchi umumiy nuqtani topish uchun qurilish takrorlanadi boshqa yordamchi tekislik yordamida.

4.5-rasmda kesishish chizig'ining vizual tasviri ko'rsatilgan K K 2 ikkita samolyot Rn Q.

Guruch. 4.5

Samolyotlarning kesishish chizig'ining birinchi umumiy nuqtasini qurishning vizual tasviri uchun R Va Q(4.6-rasm) yordamchi tekislik kiritildi S. Samolyot bilan R chiziq bo'ylab kesishadi 1-2, samolyot bilan Q- chiziq bo'ylab 3-4. Chiziqlar kesishmasida 1-2 Va 3-4 birinchi umumiy nuqta aniqlandi TO ikkita samolyot R Va Q- ularning kesishish chizig'ining birinchi nuqtasi.

Xuddi shunday, yangi kesish tekisligi kiritiladi va kesishish chizig'ining ikkinchi nuqtasi quriladi.

Ikki tekislikning kesishish chizig'ini qurishning alohida holati, ulardan biri proyeksiyalanayotganda. Bunda kesishish chizig'ini qurish soddalashtiriladi, chunki uning proyeksiyalaridan biri proyeksiyalovchi tekislikning u perpendikulyar bo'lgan proyeksiya tekisligiga proyeksiyasi bilan mos keladi.

Misol tariqasida 4.7-rasmda proyeksiyalar qurilishi ko'rsatilgan tp, tp kesishish chiziqlari MN frontal proyeksiya tekisligi R uchburchak tekisligi bilan ABC.

Proyeksiyalar kesishmasidagi frontal proyeksiyada a"b" Va a" iz bilan R va frontal proyeksiyalarni toping T" Va p" berilgan tekisliklarning ikkita umumiy nuqtasi. Ular asosida gorizontal proyeksiyalar tuzilgan T Va n gorizontal proyeksiyalarda ab Va ac uchburchakning tomonlari. Nuqtalar orqali turi Biz tekisliklarning kesishish chizig'ining gorizontal proyeksiyasini chizamiz. O'q bo'ylab qaraganingizda S frontal proyeksiyadan ko'rinib turibdiki, uchburchakning bir qismi kesishuv chizig'ining chap tomonida joylashgan. MN (t"p") samolyot ustida joylashgan R, ya'ni ko'rinadigan, qolganlari samolyot ostida R, ya'ni ko'rinmas (bo'lim mbcn kesilgan chiziq bilan ko'rsatilgan).

Ikki uchburchak plitalarning kesishish chizig'ini qurishning yana bir misoli ABC Va DEF ulardan biri (DEF) gorizontal proyeksiyalovchi tekislik sifatida ko'rsatilgan, da ko'rsatilgan

Guruch. 4.8

4.8-rasm. Gorizontal proyeksiyalar kesishmasida gorizontal proyeksiyada ab va AC tomonlari AABC proyeksiya bilan dfe ikkinchi uchburchakning gorizontal proyeksiyalarini topamiz turi ularning kesishish nuqtalari. Ularga ko'ra tomonlarning frontal proyeksiyalari bo'yicha a"b" Va b"s" frontal proyeksiyalarni qurish T' Va p" kesishish nuqtalari MN. Frontal proyeksiyada biz uchburchaklar qismlarining ko'rinishini qayd etamiz, ular quyidagilarga asoslanadi: o'q bo'ylab qarashda S gorizontal proyeksiyadan ko'rinib turibdiki, tomon AC uchburchak tekisligining oldida joylashgan DEF.

Shuning uchun, tomon AC va uchburchakning u bilan chegaralangan qismi ABC kesishish chizig'iga MN ko'rinadigan (ya'ni to'rtburchakning frontal proyeksiyasi ko'rinadi a"s"p"t"). Frontal proyeksiyaning ko'rinadigan qismi L DEF chizmada soyalangan.

Umumiy holatda tekisliklarning kesishish chizig'ini qurish. 4.9-rasmda proyeksiyalar qurilishi ko'rsatilgan t "p",/ikki tekislikning kesishish chizig'i, ulardan biri proyeksiyalar bilan aniqlanadi a'b', b"c", ab, miloddan avvalgi ikkita kesishgan chiziq, ikkinchisi - proektsiyalar d"e", f'g', de, fg ikkita parallel chiziq.

Yordamchi tekisliklar sifatida izlar bilan aniqlangan ikkita gorizontal tekislik olinadi R, Va T v .

Samolyot R birinchi berilgan tekislikni to‘g‘ri chiziqda kesib o‘tadi 1-2 , ikkinchisi - to'g'ri chiziqda 3-4. Frontal proektsiyalarga ko'ra /", 2" Va 3", 4’ aloqa liniyalari yordamida gorizontal proyeksiyalarni topamiz !, 2 Va 3, 4 gorizontal proyeksiyalarda ab, miloddan avvalgi, de, fg Streyt Ular orqali biz chiziqlarning gorizontal proyeksiyalarini chizamiz 1-2 Va 3-4 kesishish chiziqlari. Bir nuqtani belgilang T- umumiy nuqtaning gorizontal proyeksiyasi M uchta samolyot - ikkita berilgan va yordamchi R. Undan foydalanib, frontal proyeksiyani aniqlaymiz T" yordamchi tekislikning L„ frontal izida.

Yordamchi samolyotlar T Va R parallel. Ularning berilgan tekisliklar bilan kesishish chiziqlari ham parallel. Shuning uchun, tekislikning kesishish chiziqlarining gorizontal proyeksiyalari T berilgan tekisliklar bilan proyeksiya orqali chiziladi b proyeksiyaga parallel 1-2 va proyeksiyaga parallel 5 proyeksiya orqali 3-4. Ularning kesishmasida uchta tekislikning ikkinchi umumiy nuqtasining gorizontal proyeksiyasi, ya'ni berilgan ikkita tekislikning kesishish chizig'i topiladi. Uning bo'ylab frontal yo'lda T" yordamchi tekislik, tuzilgan proyeksiyalar orqali "i" frontal proyeksiyasi, "i" va T, Kerakli kesishish chizig'ining frontal va gorizontal proyeksiyalarini chizaman MN.

Ikki tekislikning kesishish chizig'ini qurishning umumiy texnikasiquyidagicha.Yordamchi tekislik kiritiladi, yordamchi tekislikning ikkita berilgan bilan kesishish chiziqlari tuziladi va tuzilgan chiziqlar kesishmasida ikkita tekislikning umumiy nuqtasi topiladi.Ikkinchi umumiy nuqtani topish uchunqurilish takrorlanadiboshqa yordamchi tekislik yordamida.

4.5-rasmda kesishish chizig'ining vizual tasviri ko'rsatilgan K1K2 ikkita samolyot P va Q.

Samolyotlarning kesishish chizig'ining birinchi umumiy nuqtasini qurishning vizual tasviri uchun P va Q (4.6-rasm) yordamchi tekislik kiritildi S. Chiziq bo'ylab P tekislik bilan kesishadi 1-2, Q tekisligi bilan - 3-4 chiziq bo'ylab. Chiziqlar kesishmasida 1-2 va 3-4 birinchi umumiy nuqta aniqlandi K1 ikkita samolyot P va Q - ularning kesishish chizig'ining birinchi nuqtasi.

Xuddi shunday, yangi kesish tekisligi kiritiladi va kesishish chizig'ining ikkinchi nuqtasi quriladi.

Ikki tekislikning kesishish chizig'ini qurishning alohida holati, ulardan biri proyeksiyalanayotganda.Bunda kesishish chizig'ini qurish soddalashtiriladi, chunki uning proyeksiyalaridan biri proyeksiyalovchi tekislikning u perpendikulyar bo'lgan proyeksiya tekisligiga proyeksiyasi bilan mos keladi.

Misol tariqasida 4.7-rasmda proyeksiyalar qurilishi ko'rsatilgan tp, tp kesishish chiziqlari MN frontal proyeksiya tekisligi R uchburchak tekisligi bilan ABC.

Proyeksiyalar kesishmasidagi frontal proyeksiyada P v izi bilan a "b" va a "c" frontal proyeksiyalarni toping turi" berilgan tekisliklarning ikkita umumiy nuqtasi. Ular asosida gorizontal proyeksiyalar tuzilgan turi gorizontal proyeksiyalarda ab va ac uchburchakning tomonlari. Nuqtalar orqali turi Biz tekisliklarning kesishish chizig'ining gorizontal proyeksiyasini chizamiz. O'q bo'ylab qaraganingizda S frontal proyeksiyadan ko'rinib turibdiki, uchburchakning bir qismi kesishuv chizig'ining chap tomonida joylashgan. MN (t"p") samolyot ustida joylashgan R, ya'ni ko'rinadigan, qolganlari samolyot ostida R, ya'ni ko'rinmas (bo'lim mbcn kesilgan chiziq bilan ko'rsatilgan).

Ikki uchburchak plitalarning kesishish chizig'ini qurishning yana bir misoli ABC va DEF, ulardan biri (DEF) gorizontal proyeksiyalovchi tekislik sifatida ko'rsatilgan, da ko'rsatilgan

4.8-rasm. Gorizontal proyeksiyalar kesishmasida gorizontal proyeksiyada ab va b c uchburchakning tomonlari dfe proyeksiyasi bilan ABC ikkinchi uchburchakning gorizontal proyeksiyalarini topamiz turi ularning kesishish nuqtalari. Ularga ko'ra tomonlarning frontal proyeksiyalari bo'yicha a "b" va b "c" frontal proyeksiyalarni qurish turi" kesishish nuqtalari MN. Frontal proyeksiyada biz uchburchaklar qismlarining ko'rinishini qayd etamiz, ular quyidagilarga asoslanadi: o'q bo'ylab qaralganda S gorizontal proyeksiyadan ko'rinib turibdiki, tomon AC uchburchak tekisligining oldida joylashgan DEF.

Shuning uchun, tomon AC va uchburchakning u bilan chegaralangan qismi ABC kesishish chizig'iga MN ko'rinadigan (ya'ni to'rtburchakning frontal proyeksiyasi ko'rinadi a"s"p"t"). Uchburchakning frontal proyeksiyasining ko'rinadigan qismi DEF chizmada soyalangan.

Umumiy holatda tekisliklarning kesishish chizig'ini qurish.4.9-rasmda proyeksiyalarni qurish ko'rsatilgan tp, tp ikkita tekislikning kesishish chiziqlari, ulardan biri proyeksiyalar bilan belgilanadi a"b", b"c', ab, miloddan avvalgi ikkita kesishgan chiziq, ikkinchisi - proektsiyalar d'e', f"g", de, fg ikkita parallel chiziq.

Rv va izlari bilan aniqlangan ikkita gorizontal tekislik T v .

R samolyoti birinchi berilgan tekislikni to‘g‘ri chiziqda kesib o‘tadi 1-2, ikkinchisi - to'g'ri chiziqda 3-4. Frontal proektsiyalarga ko'ra 1", 2" va 3", 4" aloqa liniyalari yordamida gorizontal proyeksiyalarni topamiz 1, 2 va 3, 4 yoniq gorizontal proyeksiyalar ab, bs, de, fg Streyt Ular orqali biz chiziqlarning gorizontal proyeksiyalarini chizamiz 1-2 va 3-4 kesishish chiziqlari. Bir nuqtani belgilang T - umumiy nuqtaning gorizontal proyeksiyasi M uchta samolyot - ikkita berilgan va yordamchi R. Undan foydalanib, frontal proyeksiyani aniqlaymiz T" frontal yo'lda Rv yordamchi tekislik.

Yordamchi samolyotlar T va R parallel. Ularning berilgan tekisliklar bilan kesishish chiziqlari ham parallel. Shuning uchun, tekislikning kesishish chiziqlarining gorizontal proyeksiyalari T berilgan tekisliklar bilan proyeksiyaga parallel b proyeksiya orqali o'tkaziladi 1-2 va proyeksiyaga parallel 5 proyeksiya orqali 3-4. Ularning kesishmasida gorizontal proyeksiya topilgan n uchta tekislikning ikkinchi umumiy nuqtasi, ya'ni berilgan ikkita tekislikning kesishish chizig'i. Uning bo'ylab frontal yo'lda Tv frontal proyeksiya yordamchi tekislikda qurilgan n". Tuzilgan proektsiyalar orqali t", p" va t, p Kerakli kesishish chizig'ining frontal va gorizontal proektsiyalarini bajaramiz MN.

Vazifa talab qiladi ikkita tekislikning kesishish chizig'ini toping va ulardan birining haqiqiy hajmini aniqlang tekis-parallel harakat usuli bilan.

Buni hal qilish uchun klassik muammo tomonidan tasviriy geometriya quyidagilarni bilish kerak nazariy material:

— berilgan koordinatalarda kompleks chizmaga fazo nuqtalarining proyeksiyalarini chizish;

— murakkab chizmada tekislikni, umumiy va xususiy tekislikni ko'rsatish usullari;

— samolyotning asosiy chiziqlari;

— toʻgʻri chiziqning tekislik bilan kesishish nuqtasini aniqlash (topish "uchrashuv nuqtalari");

- tabiiy o'lchamni aniqlash uchun tekislik-parallel harakat usuli tekis shakl;

- raqobat nuqtalari yordamida chizmada to'g'ri chiziqlar va tekisliklarning ko'rinishini aniqlash.

Muammoni hal qilish tartibi

1. Nuqta koordinatalaridan foydalangan holda "Tayinlash" variantiga ko'ra, biz uchburchaklar shaklida ko'rsatilgan murakkab chizmada ikkita tekislikni chizamiz. ABC(A', B', C'; A, B, C) va DKE(D', K', E'; D, K, E) ( 1.1-rasm).

1.1-rasm

2 . Kesishish chizig'ini topish uchun biz foydalanamiz proyeksiya tekisligi usuli. Uning mohiyati shundaki, birinchi tekislikning (uchburchak) bir tomoni (chiziq) olinadi va proyeksiyalovchi tekislikka o'raladi. Bu chiziqning ikkinchi uchburchak tekisligi bilan kesishish nuqtasi aniqlanadi. Ushbu vazifani yana takrorlaymiz, lekin ikkinchi uchburchakning chizig'i va birinchi uchburchakning tekisligi uchun biz ikkinchi kesishish nuqtasini aniqlaymiz. Olingan nuqtalar bir vaqtning o'zida ikkala tekislikka tegishli bo'lganligi sababli, ular ushbu tekisliklarning kesishish chizig'ida bo'lishi kerak. Ushbu nuqtalarni to'g'ri chiziq bilan bog'lab, biz tekisliklarning kerakli kesishish chizig'iga ega bo'lamiz.

3. Muammo quyidagicha hal qilinadi:

A) proyeksiya tekisligida o'rab oling F(F’) tomoni AB(A’ B’) proyeksiyalarning frontal tekisligidagi birinchi uchburchak V. Biz tomonlar bilan proyeksiyalovchi tekislikning kesishish nuqtalarini belgilaymiz DK Va DE ikkinchi uchburchak, ball olish 1(1’) va 2 (2’). Biz ularni aloqa liniyalari bo'ylab gorizontal proyeksiya tekisligiga o'tkazamiz H uchburchakning mos tomonlariga, nuqta 1 (1) yon tomonda DE va davr 2(2) yon tomonda DK.

1.2-rasm

b) nuqtalarning proyeksiyalarini ulash 1 va 2, biz proyeksiyalovchi tekislikning proyeksiyasiga ega bo'lamiz F. Keyin chiziqning kesishish nuqtasi AB uchburchak tekisligi bilan DKE proyeksiyalovchi tekislik proyeksiyasining kesishishi bilan birga (qoida bo'yicha) aniqlanadi. 1-2 va bir xil nomdagi chiziqning proyeksiyasi AB. Shunday qilib, biz tekisliklarning birinchi kesishish nuqtasining gorizontal proektsiyasini oldik - M, bu orqali biz (aloqa liniyalari bo'ylab loyiha) uning frontal proyeksiyasini aniqlaymiz - M’ to'g'ri chiziqda A’ B’ (1.2.a-rasm);

V) shunga o'xshash tarzda ikkinchi nuqtani topamiz. Biz uni loyihalash tekisligiga o'rab olamiz G(G) ikkinchi uchburchakning tomoni DK(DK) . Birinchi uchburchakning tomonlari bilan proyeksiyalovchi tekislikning kesishish nuqtalarini belgilaymiz A.C.VaMiloddan avvalgi gorizontal proyeksiyada, nuqtalarning proyeksiyalarini olish 3 va 4. Biz ularni frontal tekislikda mos keladigan tomonlarga loyihalashtiramiz, olamiz 3’ va 4'. Ularni to'g'ri chiziq bilan bog'lab, biz proyeksiyalovchi tekislikning proyeksiyasiga ega bo'lamiz. Keyin tekisliklarning kesishishning ikkinchi nuqtasi chiziqning kesishmasida bo'ladi 3’-4’ uchburchakning yon tomoni bilan D’ K’ , u proyeksiya tekisligiga o'ralgan edi. Shunday qilib, biz ikkinchi kesishish nuqtasining frontal proyeksiyasini oldik - N’ , aloqa liniyasi bo'ylab biz gorizontal proyeksiyani topamiz - N (1.2.b-rasm).

G) olingan nuqtalarni ulash MN(MN) Va (M’ N’) gorizontal va frontal tekisliklarda biz berilgan tekisliklarning kerakli kesishish chizig'iga egamiz.

4. Raqobat nuqtalaridan foydalanib, biz samolyotlarning ko'rinishini aniqlaymiz. Keling, bir nechta raqobatdosh nuqtalarni olaylik, masalan, 1’=5’ frontal proyeksiyada. Biz ularni gorizontal tekislikka mos keladigan tomonlarga proektsiya qilamiz va biz olamiz 1 va 5. Biz shuni ko'ramizki, nuqta 1 , yon tomonda yotish DE o'qiga nisbatan katta koordinataga ega x nuqtadan ko'ra 5 , yon tomonda yotish AIN. Shuning uchun, qoidaga ko'ra, kattaroq koordinata, nuqta 1 va uchburchakning yon tomoni D'E' frontal tekislikda ko'rinadi. Shunday qilib, gorizontal va frontal tekisliklarda uchburchakning har bir tomonining ko'rinishi aniqlanadi. Chizmalarda ko'rinadigan chiziqlar yaxlit kontur chizig'i, ko'rinmaydigan chiziqlar esa kesik chiziq shaklida chiziladi. Eslatib o'tamiz, samolyotlarning kesishish nuqtalarida ( M— N VaM’- N’ ) ko'rinishda o'zgarish bo'ladi.

1.3-rasm

R1-rasm.4 .

Diagramma qo'shimcha ravishda raqobatdosh nuqtalardan foydalangan holda gorizontal tekislikda ko'rinishni aniqlashni ko'rsatadi 3 Va 6 to'g'ri chiziqlarda DK Va AB.

5. Tekis-parallel harakat usulidan foydalanib, uchburchak tekisligining tabiiy hajmini aniqlaymiz ABC, Nima uchun:

A) nuqta orqali belgilangan tekislikda C(C) frontalni bajaring C— F(BILAN-FVaC’- F’) ;

b) gorizontal proyeksiyada chizmaning erkin maydonida biz ixtiyoriy nuqtani olamiz (belgilaymiz) C 1, bu uchburchakning cho'qqilaridan biri ekanligini hisobga olsak (xususan, vertex C). Undan biz frontal tekislikka perpendikulyarni tiklaymiz (orqali x o'qi);

1.5-rasm

V) tekislik-parallel harakat orqali biz uchburchakning gorizontal proyeksiyasini tarjima qilamiz ABC, yangi lavozimga A 1 B 1 C 1 shunday qilib, frontal proyeksiyada u proyeksiyalovchi pozitsiyani egallaydi (to'g'ri chiziqqa aylanadi). Buning uchun: nuqtadan perpendikulyar bo'yicha C 1, frontal gorizontal proyeksiyani chetga surib qo'ying C 1 — F 1 (uzunligi l CF) bir nuqtaga erishamiz F 1 . Bir nuqtadan kompas yechimi F 1 hajmi F-A biz bir yoy tirqishini qilamiz va nuqtadan C 1 - tirqish o'lchami C.A., keyin yoy chiziqlari kesishmasida biz nuqta olamiz A 1 (uchburchakning ikkinchi uchi);

- biz ham xuddi shunday fikrni tushunamiz B 1 (nuqtadan C 1 o'lchamdagi tirqish hosil qiling C— B(57 mm) va nuqtadan F 1 hajmi F— B(90mm) to'g'ri yechim bilan uchta nuqta borligini unutmang A 1 F’ 1 Va B’ 1 bir xil to'g'ri chiziqda (uchburchak tomonida) yotishi kerak A 1 — B 1 ) boshqa ikki tomon BILAN 1 — A 1 Va C 1 — B 1 ularning uchlarini ulash orqali olinadi;

G) aylanish usulidan kelib chiqadiki, nuqtani biron bir proyeksiya tekisligida - konjugat tekislikda harakatlantirganda yoki aylantirganda, bu nuqtaning proyeksiyasi to'g'ri chiziqda, bizning misolimizda, to'g'ri parallel o'q bo'ylab harakatlanishi kerak. X. Keyin nuqtalardan chizamiz A’ B’ C’ frontal proyeksiyadan bu to'g'ri chiziqlar (ular nuqtalarning aylanish tekisliklari deb ataladi) va ko'chirilgan nuqtalarning frontal proyeksiyalaridan. A 1 B 1C 1 perpendikulyarlarni tiklash (ulanish chiziqlari) ( 1.6-rasm).

1.6-rasm

Ushbu chiziqlarning mos keladigan perpendikulyarlar bilan kesishishi uchburchakning frontal proyeksiyasining yangi pozitsiyalarini beradi. ABC, xususan A’ 1 B' 1C’ 1 gorizontaldan beri proektiv (to'g'ri chiziq) bo'lishi kerak h 1 biz proyeksiyalarning frontal tekisligiga perpendikulyar chizdik ( 1.6-rasm);

5) u holda uchburchakning tabiiy o'lchamini olish uchun uning frontal proyeksiyasini gorizontal tekislikka parallel bo'lguncha aylantirish kifoya. Burilish nuqta orqali kompas yordamida amalga oshiriladi A' 1, uni aylanish markazi deb hisoblab, biz uchburchakni joylashtiramiz A’ 1 B' 1C’ 1 o'qiga parallel X, olamiz A’ 2 B' 2C’ 2 . Yuqorida aytib o'tilganidek, nuqta aylantirilganda, konjugat (hozir gorizontal) proyeksiyada ular o'qga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqlar bo'ylab harakatlanadilar. X. Nuqtalarning frontal proyeksiyalaridan perpendikulyarlarni (ulanish chiziqlarini) chiqarib tashlash A’ 2 B' 2C’ 2 ularni mos keladigan chiziqlar bilan kesib o'tib, biz uchburchakning gorizontal proyeksiyasini topamiz ABC (A 2 B 2C 2 ) hayot hajmi ( 1.7-rasm).

Guruch. 1.7

Menda bunday koordinatalar bilan bog'liq muammolarni hal qilish uchun barcha tayyor echimlar bor, siz sotib olishingiz mumkin

Narxi 55 rub., Frolov kitobidan tasviriy geometriya bo'yicha chizmalar to'lovdan so'ng darhol osongina yuklab olishingiz mumkin yoki men uni elektron pochta orqali sizga yuboraman. Ular ZIP arxivida turli formatlarda mavjud:
*.jpg – yaxshi o'lchamdagi 300 dpi 1 dan 1 gacha bo'lgan miqyosdagi chizmaning oddiy rangli chizmasi;
*.cdw – Kompas dasturi formati 12 va undan yuqori yoki LT versiyasi;
*.dwg va .dxf — AUTOCAD, nanoCAD dasturi formati;

Bo'lim: Tasviriy geometriya /

Kosmosdagi ikkita tekislik parallel yoki kesishishi mumkin kesishgan tekisliklarning alohida holati o'zaro perpendikulyar tekisliklardir.

Tekisliklarning kesishish chizig'ini qurish tasviriy geometriyaning asosiy vazifalaridan biri bo'lib, katta amaliy ahamiyatga ega. U deb atalmish narsaga tegishli pozitsion vazifalar.

Pozitsion aniqlash masalalari deyiladi umumiy elementlar turli xil geometrik shakllar. Bularga vazifalar kiradi tegishliligi uchun geometrik elementlar va chorrahada geometrik jismlar, masalan, chiziq va tekislikning sirt bilan kesishishi, ikki sirtning kesishishi va xususan, ikkita tekislikning kesishishi masalasi.

Ikki tekislikning kesishish chizig'i bir vaqtning o'zida ikkala kesishuvchi tekislikka tegishli bo'lgan to'g'ri chiziqdir.. Shuning uchun, tekisliklarning kesishish chizig'ini qurish uchun ushbu chiziqning ikkita nuqtasini yoki bir nuqtani va kesishish chizig'ining yo'nalishini aniqlash kerak.

Keling, ko'rib chiqaylik maxsus holat ulardan biri proyeksiyalanayotganda tekisliklarning kesishishi. Shaklda. 3.6 ABC uchburchagi va gorizontal proyeksiyalovchi P bilan aniqlangan umumiy holatda tekislikni ko'rsatadi. Ikkala tekislikka tegishli ikkita umumiy nuqta D va E nuqtalari bo'lib, ular kesishish chizig'ini aniqlaydi.

Bu nuqtalarni aniqlash uchun AB va BC tomonlarning proyeksiyalovchi tekislik bilan kesishish nuqtalari topildi. D va E nuqtalarini fazoviy chizmada (3.6-rasm, a) ham, diagrammada ham (3.6-rasm, b) qurish qiyinchilik tug'dirmaydi, chunki yuqorida muhokama qilingan samolyotlarning izlarini loyihalashning jamoaviy xususiyatiga asoslangan.

D va E nuqtalarning bir xil proyeksiyalarini tutashtirib, ABC uchburchak tekisligi va P tekislikning kesishish chizig‘ining proyeksiyalarini olamiz. Shunday qilib, berilgan tekisliklarning kesishish chizig‘ining D 1 E 1 gorizontal proyeksiyasi. proyeksiyalovchi tekislik P ning gorizontal proyeksiyasiga to'g'ri keladi - uning gorizontal izi bilan.

Keling, ko'rib chiqaylik umumiy holat ikkala tekislik umumiy holatda bo'lganda kesishish. Shaklda. 3.7. uchburchak va ikkita parallel chiziq bilan aniqlangan ikkita umumiy tekislikni ko'rsatadi. Tekisliklarning kesishish chizig'ining ikkita umumiy nuqtasini aniqlash uchun ikkita yordamchi (gorizontal) sath R va T tekisliklarni chizamiz. Yordamchi tekislik R berilgan tekisliklarni ikkita gorizontal h va h 1 bo'ylab kesib o'tadi, ularning kesishishida 1 nuqtani aniqlaydi; P va Q tekisliklari uchun umumiy, shuning uchun ular qanday qilib bir vaqtning o'zida yordamchi kesish tekisligiga tegishli R. Ikkinchi tekislik - vositachi T ham berilgan tekisliklarning har birini birinchi ikkita gorizontalga parallel bo'lgan h 2 va h 3 gorizontallari bo'ylab kesib o'tadi. . Gorizontal chiziqlar kesishmasida berilgan 2 ta tekislikning ikkinchi umumiy nuqtasini olamiz. Ushbu bir nomdagi nuqtalarning proyeksiyalarini diagrammada (3.8,b-rasm) tutashtirib, tekisliklarning kesishish chizig’ining proyeksiyalarini olamiz.

Shaklda. 3.8-rasmda izlar bilan aniqlangan ikkita tekislik ko'rsatilgan. Umumiy fikrlar tekisliklar bir xil nomdagi M va N izlarning kesishish nuqtalari. Shu nomli nuqtalarning proyeksiyalarini to‘g‘ri chiziq bilan bog‘lab, tekisliklarning kesishish chizig‘ining proyeksiyalarini oldim.

Agar bir xil izlarning kesishish nuqtalari chizma maydonidan tashqarida bo'lsa (5-misolga qarang), shuningdek, tekisliklar izlar bilan emas, balki boshqa geometrik elementlar bilan aniqlangan hollarda, u holda tekisliklarning kesishish chizig'ini aniqlash uchun siz foydalanishi kerak yordamchi darajadagi samolyotlar- gorizontal yoki frontal. Shuni ta'kidlash kerakki, izlar bilan belgilangan tekisliklarning kesishish chizig'ini qurishda yordamchi kesish tekisliklarining rolini P 1 va P 2 proyeksiya tekisliklari bajaradi.

Shaklda. 3.9-rasmda ikkita tekislikning kesishish holati ko'rsatilgan, bunda kesishish chizig'ining yo'nalishi ma'lum, chunki. P tekislik - sath tekisligi (P||P 1). Shuning uchun, izlarning faqat bitta kesishish nuqtasiga ega bo'lish va keyin bu nuqta orqali tekisliklarning joylashuvi va ularning izlaridan kelib chiqqan holda to'g'ri chiziq o'tkazish kifoya. Bizning holatda kesishish chizig'i P va T tekisliklarining umumiy gorizontal NAsidir.