Nyutonning interpolyatsiya formulasi. Nyutondagi interpolyatsiya polinomi Nyuton formulalari yordamida belgilangan aniqlikdagi interpolyatsiyani hosil qiladi

Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasi funksiyani jadval tugunlari yaqinida interpolyatsiya qilish uchun amalda noqulay. Bunday holda, u odatda qo'llaniladi .

Vazifa tavsifi . Keling, funktsiya qiymatlari ketma-ketligiga ega bo'lamiz

teng masofali argument qiymatlari uchun interpolyatsiya bosqichi bu yerda. Quyidagi ko‘rinishdagi ko‘phadni tuzamiz:

yoki umumlashtirilgan quvvatdan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

Keyin, agar tenglik bajarilsa, biz olamiz

Keling, ushbu qiymatlarni formulaga (1) almashtiramiz. Keyin, nihoyat, Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya formulasi shaklga ega:

Keling, (2) formula uchun qulayroq belgini kiritaylik. Shunday bo'lsin

Ushbu qiymatlarni formula (2) ga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

Bu odatiy ko'rinish Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya formulasi. Funktsiya qiymatlarini taxminiy hisoblash uchun quyidagilarni qabul qiling:

Nyutonning birinchi va ikkinchi interpolyatsiya formulalari funktsiyani ekstrapolyatsiya qilish, ya'ni jadvaldan tashqarida argument qiymatlari uchun funktsiya qiymatlarini topish uchun ishlatilishi mumkin.

Agar u yaqin bo'lsa, u holda Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasini qo'llash foydalidir, keyin esa. Agar u yaqin bo'lsa, Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya formulasidan foydalanish qulayroqdir.

Shunday qilib, Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasi odatda uchun ishlatiladi oldinga interpolyatsiya Va orqaga qarab ekstrapolyatsiya qilish, va Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya formulasi, aksincha, uchun orqaga interpolyatsiya qilish Va oldinga ekstrapolyatsiya.

E'tibor bering, ekstrapolyatsiya operatsiyasi, umuman olganda, so'zning tor ma'nosida interpolyatsiya operatsiyasiga qaraganda kamroq aniq.

Misol. Qadamni bajarib, jadvalda berilgan funktsiya uchun Nyuton interpolyatsiya polinomini tuzing

Yechim. Biz farqlar jadvalini tuzamiz (1-jadval). Uchinchi tartibdagi farqlar amalda doimiy bo'lgani uchun (3) formulada qabul qilamiz. Qabul qilganimizdan so'ng, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

Bu Nyutonning kerakli interpolyatsiya polinomidir.

1-jadval

	0,875 0,7088 0,5361 0,3572 0,173 -0,0156 -0,20	-0,1662 -0,1727 -0,1789 -0,1842 -0,1886 -0,1925	-0,0065 -0,0062 -0,0053 -0,0044 -0,0039	0,0003 0,0009 0,0009 0,0005

Keling, kontseptsiyani ko'rib chiqaylik chekli farqlar.

Funktsiya berilgan bo'lsin y=f(x) ga bo'lingan [x 0 , x„] segmentida P bir xil segmentlar (argumentlar teng intervalda bo'lgan taqdirda): Ax=h = const. Har bir tugun uchun x 0, X, =x 0 + /G, ...,X" =x()+ n h Funktsiya qiymatlari shaklda aniqlanadi

Keling, kontseptsiyani kiritaylik chekli farqlar.

Birinchi tartibdagi chekli farqlar

Ikkinchi tartibli chekli farqlar Yuqori darajali sonli farqlar xuddi shunday aniqlanadi:

Diagonal (5.1-jadval) yoki gorizontal (5.2-jadval) bo'lishi mumkin bo'lgan jadvallarda funktsiyalarning chekli farqlarini joylashtirish qulay.

Diagonal jadval

5.1-jadval

Gorizontal stol

5.2-jadval

						5 yosh,
						A 5 Uo
					va 4 y.

Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasi

Mustaqil o'zgaruvchilarning teng qiymatlari uchun y=/(x) funksiyaga y, =/(x) qiymatlari berilsin:

Qayerda h- interpolyatsiya bosqichi.

Biz polinom topishimiz kerak P„(x) daraja ns yuqori P, nuqtalarda (tugunlarda) qabul qilish x, qiymatlar:

Interpolyatsiya qiluvchi ko'phad quyidagi ko'rinishda izlanadi:

Ko'phadni qurish masalasi koeffitsientlarni aniqlashga to'g'ri keladi A, shartlardan:

(5.13) da x = x 0 deb faraz qilamiz, chunki ikkinchi, uchinchi va boshqa hadlar 0 ga teng, u holda

Keling, koeffitsientni topamiz A (.

Pries=X1 biz olamiz:

Aniqlash uchun a 2 Keling, ikkinchi tartibdagi cheklangan farqni yarataylik. Da x=x 2 olamiz:

Boshqa koeffitsientlarni ham xuddi shunday topish mumkin. Umumiy formula quyidagicha:

Ushbu ifodalarni (5.13) formulaga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

qaerda x„ y x- interpolyatsiya tugunlari; X- joriy o'zgaruvchi; h- ikkita interpolyatsiya tugunlari orasidagi farq; h- qiymat doimiy, ya'ni interpolyatsiya tugunlari bir-biridan teng masofada joylashgan.

Bu polinom deyiladi Nyutonning interpolyatsiya polinomi jadvalning boshida interpolyatsiya qilish (oldinga interpolyatsiya) yoki Nyutonning birinchi polinomi.

Amaliy foydalanish uchun bu ko'phad yozuvni kiritish orqali o'zgartirilgan shaklda yoziladi t=(x - x 0)/soat, Keyin

Ushbu formula interpolatsiya oralig'ining boshiga yaqin argument qiymatlari uchun funktsiya qiymatlarini hisoblash uchun qo'llaniladi.

To'g'ridan-to'g'ri interpolyatsiya qilish uchun Nyuton usuli algoritmining blok diagrammasi rasmda ko'rsatilgan. 5.3, dastur - ilovada.

5.3-misol. Haroratga qarab moddaning issiqlik sig'imi jadvali berilgan C p =f(T)(5.3-jadval).

5.3-jadval

(5.16) formuladan foydalanamiz:

Guruch. 5.3.

O'zgartirishlarni amalga oshirgandan so'ng, biz quyidagi shakldagi interpolyatsiya polinomini olamiz:

Polinom uchinchi darajaga ega va topilgan formuladan foydalanib qiymatni hisoblash imkonini beradi da noma'lum uchun X.

5.4-misol. Jadvalda 5.3.1 haroratga qarab issiqlik sig'imi qiymatlarini ko'rsatadi. G=450 K nuqtadagi issiqlik sig’imining qiymatini aniqlang.

Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasidan foydalanamiz. Yakuniy farqlar oldingi misolda hisoblangan (5.3.2-jadval), interpolyatsiya polinomini x = 450 K da yozamiz:

Shunday qilib, 450 K haroratda issiqlik quvvati bo'ladi

G=450 K da issiqlik sig’imining qiymati Lagranj formulasi yordamida hisoblangan bilan bir xil edi.

Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya formulasi

Interpolyatsiya oralig'ining oxirida joylashgan nuqtalardagi funktsiyalarning qiymatlarini topish uchun Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya polinomi qo'llaniladi. Interpolyatsiya ko‘phadini ko‘rinishda yozamiz

Imkoniyatlar a 0, a b..., A" sharti asosida aniqlanadi:

Biz taxmin qilamiz (5.18) x=x„, Keyin

Ishonamizki X=x„_|, shuning uchun,

Agar x = x n - 2 i Bu

Xuddi shunday, siz (5.18) ko'phadning boshqa koeffitsientlarini topishingiz mumkin:

Ushbu ifodalarni (5.18) formulaga almashtirib, biz hosil bo'lamiz Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya formulasi, yoki "orqaga" interpolyatsiya uchun Nyuton polinomi:

Keling, quyidagi belgini kiritamiz:

(5.19) ga almashtirishni amalga oshirsak, biz quyidagilarni olamiz:

Bu Nyutonning orqaga interpolyatsiya uchun ikkinchi formulasi.

5.5-misol. G=550 K harorat uchun issiqlik sig’imini hisoblang (5.3-jadvalga qarang).

Nyutonning ikkinchi formulasidan (5.19) va tegishli chekli farqlardan foydalanamiz (5.4-jadvalga qarang):

Shuning uchun 550 K haroratda issiqlik sig'imining qiymati

Lagrange formulasi bilan bir xil maqsadlarda ishlatiladigan Nyutonning interpolyatsiya formulalarini olishda biz argumentning teng masofali qiymatlari hisobga olinadi degan qo'shimcha taxmin qilamiz. Shunday qilib, funktsiya qiymatlariga ruxsat bering y = f(x) teng masofadagi qiymatlar uchun belgilangan x 0 , x 1 = x 0 + h, …, x n = x 0 + nh. Ushbu argument qiymatlari funktsiya qiymatlariga mos keladi: y 0 =f(x 0),y 1 =f(x 1), …, y n = f(x n).

Kerakli ko'phadni shaklda yozamiz

F( x) = a 0 + a 1 (x- x 0) + a 2 (x- x 0)(x- x 1) + a 3 (x- x 0)(x- x 1)(x- x 2) + …

…+ a n ( x- x 0)(x- x 1)…(x- x n -1) (3.9)

Koeffitsientlarni aniqlash uchun a 0 , a 1 ,..., a n kiritish (3.9) x = x 0 . Keyin da 0 =F(x 0)=a 0 . Bundan tashqari, taxmin qilish x=x 1 , olamiz da 1 =F(x 1) = a 0 + a 1 h , qayerda

a 1 =

Koeffitsientlarni hisoblashni davom ettiramiz, keling X =x 2. Keyin

y 2 = y 0 + 2h + a 2 2hh, y 2 – 2D y 0 = a 2 2h 2 ;

y 2 – 2y 1 + 2y 0 – y 0 = y 2 – 2y 1 + y 0 = a 2 2h 2 .

(3.8) ga asoslanib, biz olamiz y 2 – 2y 1 + y 0 = Δ 2 y 0.

Xuddi shu tarzda biz olamiz

Shu kabi keyingi hisob-kitoblar har qanday koeffitsient uchun umumiy formulani yozishga imkon beradi A k:

Topilgan ifodalarni koeffitsientlarga (3.9) formulaga qo'yib, olamiz

Olingan formula Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasi deb ataladi.

Amaliy foydalanish uchun Nyuton formulasi (3.10) odatda o'zgartirilgan shaklda yoziladi. Buning uchun biz yozuvni kiritamiz

bu yerdan x = x 0 + ht.

Keling, buni orqali ifoda qilaylik t(3.10) formulaga kiritilgan omillar:

………………………..

Olingan iboralarni (3.10) formulaga almashtirib, nihoyat hosil qilamiz

(3.11) ifoda Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasining yakuniy shaklini ifodalaydi.

Misol. Bir qadam tashlash h = 0,05, segmentdagi funksiya uchun Nyutonning interpolyatsiya polinomini tuzing y = e x ,jadvalda ko'rsatilgan. 3.3.

3.3-jadval

E'tibor bering, farq ustunlarida, umumiy amaliyotga rioya qilgan holda, biz kasrlarni vergul bilan ajratmaymiz, bu funktsiya qiymati ustunidan aniq.

Uchinchi tartibli farqlar amalda doimiy bo'lgani uchun (3.11) formulaga qo'yamiz n = 3. Qabul qilgan X 0 = 3,50 Va da 0 = 33,115, ega bo'ladi:

Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasi farq qiymatlari soni kichik bo'lgan jadval oxiridagi funktsiyani interpolyatsiya qilish uchun noqulay. Bu holda Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya formulasi qo'llaniladi, biz uni hozir ko'rib chiqamiz.

Kerakli interpolyatsiya ko'phadini ko'rinishda yozamiz

Avvalgidek, koeffitsientlar A 0 , A 1 ,… An holatidan aniqlanadi F(x i) = y i. Keling, kiritamiz (3.12) X = X n. Keyin a 0 = y n.

Xuddi shu tarzda, taxmin qilish x = x n -1, olamiz y n -1 = y n+ a 1 (x n -1 - x n),

va beri x n -1 - x n = - h, Bu

Oxirgi ifodaning numeratori quyidagicha ifodalanishi mumkin:

yn -yn -1 - (yn -1 -yn-2)= Δ yn -1 -Δ yn -2 =Δ 2 yn -2.

Shunga o'xshash hisob-kitoblarni davom ettirib, biz koeffitsientlar uchun umumiy formulani olamiz

Barcha koeffitsient qiymatlarini (3.12) ga almashtirgandan so'ng, ushbu formula shaklni oladi

Bu Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya formulasi. Foydalanish qulayligi uchun u, birinchisi kabi, yozuvni kiritish orqali o'zgartiriladi

= t yoki x= xn+th.

Keling, buni orqali ifoda qilaylik t (3.13) formuladagi omillar:

……………………………………………..

Ushbu almashtirishni amalga oshirib, biz nihoyat erishamiz:

Misol. Jadvalga ko'ra 1000 dan 10 gacha bo'lgan sonlar uchun etti xonali logarifmlarning 3,5 qiymatlari log 1044 ni toping.

3.5-jadval

x	y	Δ y	D2 y	D3 y
	3,0000000 3,0043214 3,0086002 3,0128372 3,0170333 3,0211893		-426 -418 -409 -401

Qabul qilaylik xn= 1050,yn= 3,0211893;Δ yn-1 = 0,0041560;

D2 yn -2 = - 0,0000401;D 3 y n-3 = 0.0000008. Keyin uchun x= 1044 olamiz

Nyutonning birinchi va ikkinchi interpolyatsiya formulalari funktsiyalarni ekstrapolyatsiya qilish, ya'ni argumentlar qiymatlari uchun funktsiyalar qiymatlarini topish uchun ishlatilishi mumkin. X , stol tashqarisida yotish. Ifvalue x< x 0 va ma'nosi x ga yaqin x 0 , u holda Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasidan foydalanish foydalidir va

Agar x > x 0 Va x ga yaqin X P , u holda Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya formulasidan foydalanish qulayroq va

Shunday qilib, Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasi odatda to'g'ridan-to'g'ri interpolyatsiya va orqaga ekstrapolyatsiya uchun ishlatiladi va Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya formulasi, aksincha, orqaga interpolyatsiya va oldingi ekstrapolyatsiya uchun ishlatiladi.

Misol. Jadvalga ega bo'lish 3.6 qiymatlar va farqlar, y = gunoh X: gacha X= 15° oldin X = 55° bosqichma-bosqich h= 5° , gunohni toping 14 ° va gunoh 56 ° .

3.6-jadval

x(0 C)	y	Δ y	D2 y	D3 y
	0,2588 0,3420 0,4226 0,5000 0,5736 0,6428 0,7071 0,7660 0,8192	832 532	-26 -32 -38 -44 -49 -54 -57	-6 -6 -6 -5 -5 -3

Yechim. Sin14 hisoblash uchun 0 qabul qilaylik x 0 = 15 0 Va x= 14 0 , bu yerdan t = (14–15)/5 = – 0,2.

Bu erda biz orqaga ekstrapolyatsiya qilishimiz kerak, shuning uchun biz Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasini va bitta chiziq bilan chizilgan chekli farqlarni qo'llaymiz:

sin14 0 = 0,2588 + (– 0,2)0,0832+ (– 0,0026) +

+ (–0,0006) = 0,242.

Sin56 topish uchun 0 qabul qilaylik xn= 55 0 Va x= 56 0 , bu yerdan t= .

Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya formulasini (3.14) qo'llagan holda va ikki marta chizilgan farqlardan foydalanib, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

gunoh56 0 = 0,8192+ 0,2·0,0532 + (- 0,0057)+ (- 0,0003)= 0,83.

Juda keng tarqalgan interpolyatsiya usuli Nyuton usuli hisoblanadi. Ushbu usul uchun interpolyatsiya polinomi quyidagi shaklga ega:

P n (x) = a 0 + a 1 (x-x 0) + a 2 (x-x 0)(x-x 1) + ... + a n (x-x 0)(x-x 1)...(x-x n-1).

Vazifa P n (x) polinomining a i koeffitsientlarini topishdan iborat. Koeffitsientlar tenglamadan topiladi:

P n (x i) = y i , i = 0, 1, ..., n,

tizimni yozishga imkon beradi:

a 0 + a 1 (x 1 - x 0) = y 1;

a 0 + a 1 (x 2 - x 0) + a 2 (x 2 - x 0) (x 2 - x 1) = y 2 ;

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

a 0 +... + a n (x n - x 0)(x n - x 1) ... (x n - x n-1) = y n;

Biz chekli farq usulidan foydalanamiz. Agar x i tugunlari teng oraliqda berilgan bo'lsa h, ya'ni.

x i+1 - x i = h,

u holda umumiy holatda x i = x 0 + i×h, bu erda i = 1, 2, ..., n. Oxirgi ifoda echilayotgan tenglamani shaklga keltirish imkonini beradi

y 1 = a 0 + a 1 ×h;

y 2 = a 0 + a 1 (2s) + a 2 (2s)h;

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

y i = a 0 + a 1 ×i×h + a 2 ×i×h[(i-1)h] + ... + a i ×i!×h i ,

koeffitsientlarni qaerdan olamiz

bu yerda Du 0 birinchi chekli farqdir.

Hisob-kitoblarni davom ettirib, biz quyidagilarni olamiz:

bu yerda D 2 y 0 ikkinchi chekli farq, bu farqlar farqi. a i koeffitsienti quyidagicha ifodalanishi mumkin:

a i koeffitsientlarining topilgan qiymatlarini P n (x) qiymatlariga qo'yib, Nyuton interpolyatsiya polinomini olamiz:

Formulani o'zgartiramiz, buning uchun biz yangi o'zgaruvchini kiritamiz, bu erda q - x nuqtadan x 0 nuqtasidan harakatlanish uchun zarur bo'lgan qadamlar soni. O'zgarishlardan so'ng biz quyidagilarni olamiz:

Olingan formula Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasi yoki Nyutonning to'g'ridan-to'g'ri interpolyatsiyasi formulasi sifatida tanilgan. Undan y = f(x) funksiyani x – x 0 boshlang‘ich qiymatiga yaqin joyda interpolyatsiya qilish uchun foydalanish foydalidir, bunda q mutlaq qiymatda kichikdir.

Agar interpolyatsiya ko'phadini quyidagi ko'rinishda yozsak:

shunga o'xshash tarzda Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya formulasini yoki "orqaga" interpolyatsiya qilish uchun Nyuton formulasini olish mumkin:

Odatda jadval oxiridagi funktsiyani interpolyatsiya qilish uchun ishlatiladi.

Ushbu mavzuni o'rganishda interpolyatsiya ko'phadlari berilgan f(x) funktsiyaga interpolyatsiya tugunlarida to'g'ri kelishini, boshqa nuqtalarda esa umumiy holatda farqlanishini yodda tutish kerak. Bu xato bizga usul xatosini beradi. Interpolyatsiya usulining xatosi Lagrange va Nyuton formulalari uchun bir xil bo'lgan va mutlaq xato uchun quyidagi taxminni olish imkonini beruvchi qoldiq muddat bilan aniqlanadi:

Agar interpolyatsiya xuddi shu bosqichda amalga oshirilsa, qolgan muddat uchun formula o'zgartiriladi. Xususan, Nyuton formulasi yordamida “oldinga” va “orqaga” interpolyatsiya qilinganda R(x) ifodalari bir-biridan biroz farq qiladi.

Olingan formulani tahlil qilsak, R(x) xatosi doimiygacha ikki omil ko‘paytmasi ekanligi ayon bo‘ladi, ulardan biri f (n+1) (x), bu yerda x ning ichida joylashgan bo‘ladi. f(x) funksiyaning xossalari va uni tartibga solish mumkin emas, lekin boshqasining kattaligi,

faqat interpolyatsiya tugunlarini tanlash bilan belgilanadi.

Agar bu tugunlarning joylashuvi muvaffaqiyatsiz bo'lsa, modulning yuqori chegarasi |R(x)| ancha katta bo'lishi mumkin. Shuning uchun muammo P n+1 (x) polinomi eng kichik qiymatga ega bo'lishi uchun x i (ma'lum sonli tugunlar uchun) interpolyatsiya tugunlarini eng oqilona tanlash muammosi tug'iladi.

2. Nyuton interpolyatsiyasi

Jadval funktsiyasi berilgan:

i
0
1
2
..	..	..
n

Koordinatali nuqtalar tugun nuqtalari yoki tugunlari deb ataladi.

Jadval funksiyasidagi tugunlar soni N=n+1 ga teng.

Bu funksiyaning qiymatini oraliq nuqtada topish kerak, masalan, va . Muammoni hal qilish uchun interpolyatsiya polinomidan foydalaniladi.

Nyuton formulasi bo'yicha interpolyatsiya polinomi quyidagi ko'rinishga ega:

bu erda n - ko'phadning darajasi,

Nyutonning interpolyatsiya formulasi interpolyatsiya polinomini tugunlardan biridagi qiymat va tugunlarda tuzilgan funksiyaning bo’lingan farqlari bilan ifodalash imkonini beradi.

Birinchidan, biz ajratilgan farqlar haqida kerakli ma'lumotlarni beramiz.

Tugunlarga ruxsat bering

funktsiyaning qiymatlari ma'lum. Faraz qilaylik, , nuqtalari orasida bir-biriga mos keluvchi nuqtalar yo'q. Birinchi tartibdagi bo'lingan farqlar munosabatlar deyiladi

, ,.

Biz qo'shni tugunlardan, ya'ni ifodalardan tashkil topgan bo'lingan farqlarni ko'rib chiqamiz

Ushbu birinchi tartibli ajratilgan farqlardan biz ikkinchi darajali ajratilgan farqlarni qurishimiz mumkin:

,

,

Shunday qilib, bo'limdagi uchinchi tartibning ajratilgan farqini takroriy formuladan foydalanib, th tartibning ajratilgan farqlari orqali aniqlash mumkin:

bu yerda , , ko‘phadning darajasi.

Maksimal qiymat. U holda kesma bo'yicha n-tartibning bo'lingan farqi teng bo'ladi

bular. bo'lim uzunligiga bo'lingan th tartib bo'lingan farqlar farqiga teng.

Ajratilgan farqlar

ular aniq belgilangan sonlar, shuning uchun (1) ifoda haqiqatan ham th darajali algebraik ko'phaddir. Bundan tashqari, (1) polinomda barcha bo'lingan farqlar bo'limlar uchun aniqlanadi.

Bo'lingan farqlarni hisoblashda ularni jadval shaklida yozish odatiy holdir

■

--tartibning bo'lingan farqi tugunlardagi funktsiya qiymatlari bo'yicha quyidagicha ifodalanadi:

. (1)

Bu formulani induksiya bilan isbotlash mumkin. Bizga (1) formulaning maxsus holati kerak bo'ladi:

Nyutonning interpolyatsiya polinomi polinom deyiladi

Nyuton ko'phadining ko'rib chiqilgan shakli Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasi deb ataladi va odatda jadval boshida interpolyatsiya qilishda ishlatiladi.

E'tibor bering, Nyuton interpolyatsiyasi masalasini echish Lagranj interpolyatsiyasi masalasini echishga nisbatan bir qancha afzalliklarga ega. Lagrange interpolyatsiya polinomining har bir a'zosi y i, i=0,1,…n jadval funksiyasining barcha qiymatlariga bog'liq. Shuning uchun N tugun nuqtalari soni va n ko'phadning darajasi (n=N-1) o'zgarganda, Lagrange interpolyatsiya ko'phadini yangidan qurish kerak bo'ladi. Nyuton ko'phadida N tugun nuqtalari sonini va n ko'phad darajasini o'zgartirganda faqat Nyuton formulasidagi (2) standart atamalarning tegishli sonini qo'shish yoki olib tashlash kerak bo'ladi. Bu amalda qulay va hisoblash jarayonini tezlashtiradi.

Nyuton formula funksiyasini dasturlash

(1) formuladan foydalanib Nyuton ko'phadini qurish uchun ga muvofiq siklik hisoblash jarayonini tashkil qilamiz. Bunday holda, har bir qidiruv bosqichida biz k-tartibning alohida farqlarini topamiz. Har bir qadamda bo'lingan farqlarni Y massiviga joylashtiramiz.

Keyin takrorlanuvchi formula (3) quyidagicha ko'rinadi:

Nyuton formulasi (2) faqat bo'limlar uchun hisoblangan th tartibli ajratilgan farqlardan foydalanadi, ya'ni. uchun th tartib ajratilgan farqlar. Bu ajratilgan k-tartibli farqlarni deb belgilaymiz. Va uchun hisoblangan bo'lingan farqlar yuqori tartibli bo'lingan farqlarni hisoblash uchun ishlatiladi.

(4) dan foydalanib, biz (2) formuladan foydalanamiz. Natijada biz olamiz

(5)

– uchun jadval funksiyasining (1) qiymati.

– bo'lim uchun tartibning bo'lingan farqi.