Kengaytirilgan Vyeta teoremasi. FizMat: Kvadrat funksiya

Kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasida ildiz formulalaridan tashqari boshqa foydali munosabatlar ham mavjud. Vyeta teoremasi. Ushbu maqolada kvadrat tenglama uchun Vyeta teoremasining formulasi va isbotini keltiramiz. Keyinchalik, Veta teoremasiga qarama-qarshi bo'lgan teoremani ko'rib chiqamiz. Shundan so'ng, biz eng tipik misollarning echimlarini tahlil qilamiz. Va nihoyat, biz haqiqiy ildizlar o'rtasidagi munosabatni aniqlaydigan Vieta formulalarini yozamiz algebraik tenglama n daraja va uning koeffitsientlari.

Sahifani navigatsiya qilish.

Vyeta teoremasi, formulasi, isboti

D=b 2 −4·a·c bo‘lgan a·x 2 +b·x+c=0 ko‘rinishdagi kvadrat tenglamaning ildizlari formulalaridan quyidagi munosabatlar kelib chiqadi: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a. Bu natijalar tasdiqlangan Vyeta teoremasi:

Teorema.

Agar x 1 va x 2 kvadrat tenglamaning ildizlari a x 2 +b x+c=0, u holda ildizlar yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan b va a koeffitsientlarining nisbati va ko'paytmasiga teng bo'ladi. ildizlar c va a koeffitsientlarining nisbatiga teng, ya'ni.

Isbot.

Vyeta teoremasining isbotini quyidagi sxema bo‘yicha bajaramiz: ma’lum ildiz formulalari yordamida kvadrat tenglama ildizlarining yig‘indisi va ko‘paytmasini tuzamiz, keyin hosil bo‘lgan ifodalarni o‘zgartiramiz va ularning −b/ ga teng ekanligiga ishonch hosil qilamiz. a va c/a.

Keling, ildizlarning yig'indisidan boshlaymiz va uni tuzamiz. Endi kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz, bizda . Hosil bo'lgan kasrning sonida, undan keyin:. Nihoyat, 2 dan keyin biz . Bu kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisiga Vyeta teoremasining birinchi munosabatini isbotlaydi. Keling, ikkinchisiga o'tamiz.

Kvadrat tenglamaning ildizlari ko'paytmasini tuzamiz: . Kasrlarni ko'paytirish qoidasiga ko'ra, oxirgi mahsulot quyidagicha yozilishi mumkin. Endi biz qavsni hisoblagichdagi qavsga ko'paytiramiz, lekin bu mahsulotni yiqitish tezroq bo'ladi kvadrat farq formulasi, Shunday qilib. Keyin, eslab, biz keyingi o'tishni amalga oshiramiz. Va kvadrat tenglamaning diskriminanti D=b 2 −4·a·c formulaga to‘g‘ri kelganligi sababli, oxirgi kasrdagi D o‘rniga b 2 −4·a·c ni qo‘yishimiz mumkin, biz olamiz. Qavslarni ochib, o'xshash atamalarni keltirganimizdan so'ng kasrga kelamiz va uning 4·a ga kamayishi ni beradi. Bu ildizlar hosilasi uchun Vyeta teoremasining ikkinchi munosabatini isbotlaydi.

Agar biz tushuntirishlarni o'tkazib yuborsak, Veta teoremasining isboti lakonik shaklga ega bo'ladi:
,
.

Shuni ta'kidlash kerakki, agar diskriminant nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama bitta ildizga ega. Ammo, agar bu holda tenglama ikkita bir xil ildizga ega deb hisoblasak, Veta teoremasidagi tengliklar ham amal qiladi. Darhaqiqat, D=0 bo‘lganda kvadrat tenglamaning ildizi teng bo‘lsa, u holda va , va D=0 bo‘lgani uchun, ya’ni b 2 −4·a·c=0, bundan b 2 =4·a·c bo‘ladi. .

Amalda Vyeta teoremasi ko'pincha x 2 +p·x+q=0 ko'rinishdagi qisqartirilgan kvadrat tenglamaga (etakchi koeffitsient a 1 ga teng) nisbatan qo'llaniladi. Ba'zan u faqat shu turdagi kvadrat tenglamalar uchun tuziladi, bu umumiylikni cheklamaydi, chunki har qanday kvadrat tenglama har ikki tomonni nolga teng bo'lmagan a soniga bo'lish orqali ekvivalent tenglama bilan almashtirilishi mumkin. Vieta teoremasining tegishli formulasini keltiramiz:

Teorema.

Kiritilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi x 2 +p x+q=0 qarama-qarshi belgi bilan olingan x koeffitsientiga, ildizlarning ko'paytmasi esa erkin hadga, ya'ni x 1 ga teng. +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

Teorema Vyeta teoremasiga teskari

Oldingi paragrafda keltirilgan Vyeta teoremasining ikkinchi formulasi shuni ko'rsatadiki, agar x 1 va x 2 qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari x 2 +p x+q=0 bo'lsa, u holda x 1 +x 2 =−p munosabatlari , x 1 x 2 =q. Boshqa tomondan, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q yozma munosabatlardan x 1 va x 2 kvadrat tenglamaning x 2 +p x+q=0 ildizlari ekanligi kelib chiqadi. Boshqacha qilib aytganda, Veta teoremasining teskarisi to'g'ri. Uni teorema shaklida tuzamiz va isbotlaymiz.

Teorema.

Agar x 1 va x 2 raqamlari x 1 +x 2 =−p va x 1 · x 2 =q bo‘lsa, x 1 va x 2 qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari x 2 +p · x+q bo‘ladi. =0.

Isbot.

x 2 +p·x+q=0 tenglamadagi p va q koeffitsientlarini ularning x 1 va x 2 orqali ifodalari bilan almashtirib, ekvivalent tenglamaga aylantiriladi.

Hosil bo‘lgan tenglamaga x o‘rniga x 1 raqamini qo‘yaylik va biz tenglikka ega bo‘lamiz. x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, bu har qanday x 1 va x 2 uchun 0=0 to'g'ri sonli tenglikni ifodalaydi, chunki x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Demak, x 1 tenglamaning ildizidir x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, demak, x 1 ekvivalent x 2 +p·x+q=0 tenglamaning ildizi.

Agar tenglamada bo'lsa x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 x o'rniga x 2 raqamini qo'ying, biz tenglikni olamiz x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Bu haqiqiy tenglik, chunki x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Demak, x 2 ham tenglamaning ildizidir x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, va shuning uchun tenglamalar x 2 +p·x+q=0.

Bu Vyeta teoremasiga qarama-qarshi bo'lgan teoremani isbotlashni tugatadi.

Vyeta teoremasidan foydalanishga misollar

Vyeta teoremasi va unga qarama-qarshi teoremaning amaliy qo'llanilishi haqida gapirish vaqti keldi. Ushbu bo'limda biz eng tipik misollarning bir nechta yechimlarini tahlil qilamiz.

Keling, Vyeta teoremasiga teskari teoremani qo'llashdan boshlaylik. Berilgan ikkita raqam berilgan kvadrat tenglamaning ildizi ekanligini tekshirish uchun foydalanish qulay. Bunday holda, ularning yig'indisi va farqi hisoblab chiqiladi, shundan so'ng munosabatlarning haqiqiyligi tekshiriladi. Agar bu munosabatlarning ikkalasi ham qondirilsa, u holda teorema tufayli Veta teoremasiga qarama-qarshi bo'lib, bu raqamlar tenglamaning ildizlari ekanligi to'g'risida xulosa chiqariladi. Agar munosabatlarning kamida bittasi bajarilmasa, bu raqamlar kvadrat tenglamaning ildizi emas. Ushbu yondashuv topilgan ildizlarni tekshirish uchun kvadrat tenglamalarni echishda qo'llanilishi mumkin.

Misol.

1) x 1 =−5, x 2 =3 yoki 2) yoki 3) son juftlaridan qaysi biri 4 x 2 −16 x+9=0 kvadrat tenglamaning ildiz jufti hisoblanadi?

Yechim.

Berilgan 4 x 2 −16 x+9=0 kvadrat tenglamaning koeffitsientlari a=4, b=−16, c=9. Vyeta teoremasiga ko‘ra, kvadrat tenglamaning ildizlari yig‘indisi −b/a ga, ya’ni 16/4=4 ga, ildizlarning ko‘paytmasi c/a ga, ya’ni 9 ga teng bo‘lishi kerak. /4.

Keling, berilgan uchta juftlikning har biridagi sonlarning yig'indisi va mahsulotini hisoblab chiqamiz va ularni hozirgina olingan qiymatlar bilan solishtiramiz.

Birinchi holatda bizda x 1 +x 2 =−5+3=−2. Olingan qiymat 4 dan farq qiladi, shuning uchun boshqa tekshirishni amalga oshirib bo'lmaydi, lekin Vyeta teoremasiga teskari teoremadan foydalanib, birinchi juft raqamlar berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari emas, degan xulosaga kelish mumkin.

Keling, ikkinchi holatga o'tamiz. Bu erda, ya'ni birinchi shart bajariladi. Biz ikkinchi shartni tekshiramiz: natijada olingan qiymat 9/4 dan farq qiladi. Binobarin, ikkinchi sonlar juftligi kvadrat tenglamaning ildiz jufti emas.

Oxirgi bitta holat qoldi. Bu erda va. Ikkala shart ham bajariladi, shuning uchun bu x 1 va x 2 raqamlari berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari hisoblanadi.

Javob:

Kvadrat tenglamaning ildizlarini topishda Veta teoremasining teskarisi amalda qo‘llanilishi mumkin. Odatda, butun sonli koeffitsientli berilgan kvadrat tenglamalarning butun son ildizlari tanlanadi, chunki boshqa hollarda buni qilish juda qiyin. Bunday holda, ular ikkita sonning yig'indisi minus belgisi bilan olingan kvadrat tenglamaning ikkinchi koeffitsientiga teng bo'lsa va bu sonlarning ko'paytmasi erkin hadga teng bo'lsa, u holda bu raqamlardan foydalanadilar. bu kvadrat tenglamaning ildizlari. Keling, buni bir misol bilan tushunaylik.

X 2 −5 x+6=0 kvadrat tenglamani olaylik. X 1 va x 2 raqamlari bu tenglamaning ildizi bo'lishi uchun ikkita tenglik bajarilishi kerak: x 1 + x 2 =5 va x 1 ·x 2 =6. Faqatgina bunday raqamlarni tanlash qoladi. Bu holda buni qilish juda oddiy: bunday raqamlar 2 va 3 ga teng, chunki 2+3=5 va 2·3=6. Shunday qilib, 2 va 3 - bu kvadrat tenglamaning ildizlari.

Vyeta teoremasiga teskari teorema, ildizlardan biri allaqachon ma'lum yoki aniq bo'lsa, berilgan kvadrat tenglamaning ikkinchi ildizini topish uchun foydalanish uchun ayniqsa qulaydir. Bunda ikkinchi ildizni har qanday munosabatdan topish mumkin.

Masalan, 512 x 2 −509 x −3=0 kvadrat tenglamani olaylik. Bu erda birlik tenglamaning ildizi ekanligini ko'rish oson, chunki bu kvadrat tenglamaning koeffitsientlari yig'indisi nolga teng. Shunday qilib, x 1 = 1. Ikkinchi ildizni x 2, masalan, x 1 ·x 2 =c/a munosabatidan topish mumkin. Bizda 1 x 2 =−3/512 bor, undan x 2 =−3/512. Kvadrat tenglamaning ikkala ildizini ham shunday aniqladik: 1 va -3/512.

Ildizlarni tanlash faqat eng oddiy holatlarda tavsiya etilishi aniq. Boshqa hollarda, ildizlarni topish uchun siz diskriminant orqali kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalardan foydalanishingiz mumkin.

Vyeta teoremasining teskarisini amaliy qo‘llashning yana bir usuli - x 1 va x 2 ildizlari berilgan kvadrat tenglamalarni tuzish. Buning uchun berilgan kvadrat tenglamaning qarama-qarshi belgisi bilan x koeffitsientini beradigan ildizlarning yig'indisini va erkin muddatni beradigan ildizlarning ko'paytmasini hisoblash kifoya.

Misol.

Ildizlari -11 va 23 bo'lgan kvadrat tenglamani yozing.

Yechim.

x 1 =−11 va x 2 =23 ni belgilaymiz. Bu sonlarning yig‘indisi va ko‘paytmasini hisoblaymiz: x 1 +x 2 =12 va x 1 ·x 2 =−253. Shuning uchun ko'rsatilgan raqamlar ikkinchi koeffitsienti -12 va erkin hadi -253 bo'lgan qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari hisoblanadi. Ya’ni, x 2 −12·x−253=0 kerakli tenglamadir.

Javob:

x 2 −12·x−253=0 .

Kvadrat tenglamalar ildizlari belgilariga oid masalalarni yechishda Viet teoremasi juda tez-tez ishlatiladi. Vyeta teoremasi x 2 +p·x+q=0 qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari belgilari bilan qanday bog‘langan? Mana ikkita tegishli bayonot:

• Agar q erkin atamasi musbat son bo'lsa va kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo'lsa, u holda ularning ikkalasi ham ijobiy yoki ikkalasi ham manfiy bo'ladi.
• Agar q erkin atamasi manfiy son bo’lsa va kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo’lsa, ularning belgilari boshqacha bo’ladi, boshqacha aytganda, bir ildiz musbat, ikkinchisi manfiy.

Bu gaplar x 1 · x 2 =q formulasidan, shuningdek, musbat, manfiy sonlar va turli belgilarga ega sonlarni ko‘paytirish qoidalaridan kelib chiqadi. Keling, ularni qo'llash misollarini ko'rib chiqaylik.

Misol.

R ijobiy. Diskriminant formuladan foydalanib D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, r 2 +8 ifoda qiymatini topamiz. har qanday real r uchun musbat, shuning uchun har qanday haqiqiy r uchun D>0. Shunday qilib, dastlabki kvadrat tenglama r parametrining har qanday haqiqiy qiymatlari uchun ikkita ildizga ega.

Keling, ildizlar qachon turli belgilarga ega ekanligini bilib olaylik. Agar ildizlarning belgilari har xil bo'lsa, ularning mahsuloti manfiy bo'ladi va Vyeta teoremasiga ko'ra, qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari mahsuloti erkin muddatga teng. Shuning uchun bizni r ning o'sha qiymatlari qiziqtiradi, ular uchun r-1 erkin atamasi manfiy bo'ladi. Shunday qilib, bizni qiziqtirgan r qiymatlarini topish uchun bizga kerak chiziqli tengsizlikni yechish r−1<0 , откуда находим r<1 .

Javob:

da r<1 .

Vieta formulalari

Yuqorida biz kvadrat tenglama uchun Vyeta teoremasi haqida gapirdik va u tasdiqlaydigan munosabatlarni tahlil qildik. Ammo faqat kvadrat tenglamalar emas, balki kub tenglamalar, to'rtinchi darajali tenglamalarning haqiqiy ildizlari va koeffitsientlarini bog'laydigan formulalar mavjud. algebraik tenglamalar daraja n. Ular chaqiriladi Vyeta formulalari.

Shaklning n darajali algebraik tenglamasi uchun Vyeta formulasini yozamiz va uning n ta haqiqiy ildizi x 1, x 2, ..., x n bor deb faraz qilamiz (ular orasida mos keladiganlari ham bo'lishi mumkin):

Vietaning formulalarini olish mumkin ko'phadning chiziqli omillarga parchalanishi haqidagi teorema, shuningdek, barcha mos keladigan koeffitsientlarning tengligi orqali teng ko'phadlarni aniqlash. Demak, polinom va uning shaklning chiziqli omillariga kengayishi tengdir. Oxirgi mahsulotdagi qavslarni ochib, tegishli koeffitsientlarni tenglashtirib, biz Vietaning formulalarini olamiz.

Xususan, n=2 uchun bizda kvadrat tenglama uchun allaqachon tanish bo'lgan Vyeta formulalari mavjud.

Kubik tenglama uchun Vyeta formulalari shaklga ega

Shuni ta'kidlash kerakki, Vyeta formulalarining chap tomonida elementar deb ataladigan narsalar mavjud. simmetrik polinomlar.

Ma'lumotnomalar.

• Algebra: darslik 8-sinf uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tomonidan tahrirlangan S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M.: Ta'lim, 2008. - 271 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf. 2 soat ichida 1-qism. Umumiy ta'lim muassasalari o'quvchilari uchun darslik / A. G. Mordkovich. - 11-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra va matematik tahlilning boshlanishi. 10-sinf: darslik. umumiy ta'lim uchun muassasalar: asosiy va profil. darajalari / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; tomonidan tahrirlangan A. B. Jijchenko. - 3-nashr. - M.: Ta'lim, 2010.- 368 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Vieta teoremasi ko'pincha allaqachon topilgan ildizlarni tekshirish uchun ishlatiladi. Agar siz ildizlarni topgan bo'lsangiz, \(p) qiymatlarini hisoblash uchun \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) formulalaridan foydalanishingiz mumkin. \) va \(q\ ). Va agar ular asl tenglamadagi kabi bo'lib chiqsa, unda ildizlar to'g'ri topilgan.

Masalan, dan foydalanib, \(x^2+x-56=0\) tenglamani yechib, ildizlarini olamiz: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Keling, hal qilish jarayonida xatoga yo'l qo'yganimizni tekshirib ko'ramiz. Bizning holatda, \(p=1\) va \(q=-56\). Viet teoremasi bo'yicha bizda:

\(\begin(holatlar)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(holatlar)\) \(\Chap o'q\) \(\begin(holatlar)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(holatlar)\) \(\Chap oʻng oʻq\) \(\begin(holatlar)-1=-1\\-56=-56\end(holatlar)\ )

Ikkala bayonot ham birlashdi, ya'ni biz tenglamani to'g'ri yechdik.

Ushbu tekshirish og'zaki ravishda amalga oshirilishi mumkin. Bu 5 soniya davom etadi va sizni ahmoqona xatolardan qutqaradi.

Vietaning qarama-qarshi teoremasi

Agar \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), u holda \(x_1\) va \(x_2\) kvadrat tenglamaning ildizlari \ (x^ 2+px+q=0\).

Yoki oddiy usulda: agar sizda \(x^2+px+q=0\) koʻrinishdagi tenglama boʻlsa, u holda \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot) tizimini yechish. x_2=q\ end(cases)\) uning ildizlarini topasiz.

Ushbu teorema tufayli siz kvadrat tenglamaning ildizlarini tezda topishingiz mumkin, ayniqsa bu ildizlar bo'lsa. Bu mahorat juda muhim, chunki u ko'p vaqtni tejaydi.

Misol . \(x^2-5x+6=0\) tenglamasini yeching.

Yechim : Vietaning teskari teoremasidan foydalanib, biz ildizlarning quyidagi shartlarni qondirishini aniqlaymiz: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Tizimning ikkinchi tenglamasiga qarang \(x_1 \cdot x_2=6\). \(6\) sonni qaysi ikkitaga ajratish mumkin? \(2\) va \(3\), \(6\) va \(1\) yoki \(-2\) va \(-3\) va \(-6\) va \(- 1\). Tizimning birinchi tenglamasi sizga qaysi juftlikni tanlash kerakligini aytadi: \(x_1+x_2=5\). \(2\) va \(3\) oʻxshash, chunki \(2+3=5\).
Javob : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Misollar . Vyeta teoremasining teskarisidan foydalanib, kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Yechim :
a) \(x^2-15x+14=0\) – \(14\) qanday omillarga ajraladi? \(2\) va \(7\), \(-2\) va \(-7\), \(-1\) va \(-14\), \(1\) va \(14\ ). Qaysi juft sonlar qo‘shilsa \(15\) ga teng? Javob: \(1\) va \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) – \(-4\) qanday omillarga ajraladi? \(-2\) va \(2\), \(4\) va \(-1\), \(1\) va \(-4\). Qaysi juft sonlar qo‘shilsa \(-3\) ga teng? Javob: \(1\) va \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – \(20\) qanday omillarga ajraladi? \(4\) va \(5\), \(-4\) va \(-5\), \(2\) va \(10\), \(-2\) va \(-10\ ), \(-20\) va \(-1\), \(20\) va \(1\). Qaysi juft sonlar qo‘shilsa \(-9\) ga teng? Javob: \(-4\) va \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) – \(780\) qanday omillarga ajraladi? \(390\) va \(2\). Ular \(88\) ga qo'shiladimi? Yo'q. \(780\) yana qanday ko'paytirgichlarga ega? \(78\) va \(10\). Ular \(88\) ga qo'shiladimi? Ha. Javob: \(78\) va \(10\).

Oxirgi atamani barcha mumkin bo'lgan omillarga (oxirgi misolda bo'lgani kabi) kengaytirish shart emas. Siz darhol ularning yig'indisi \(-p\) ni berishini tekshirishingiz mumkin.

Muhim! Viet teoremasi va teskari teorema faqat , ya'ni \(x^2\) koeffitsienti birga teng bo'lgan teorema bilan ishlaydi. Agar bizga dastlab kamaytirilmagan tenglama berilgan bo'lsa, uni oddiygina \(x^2\) oldidagi koeffitsientga bo'lish orqali qisqartirishimiz mumkin.

Masalan, \(2x^2-4x-6=0\) tenglamasi berilsin va biz Vyeta teoremalaridan birini ishlatmoqchimiz. Lekin biz qila olmaymiz, chunki \(x^2\) koeffitsienti \(2\) ga teng. Keling, butun tenglamani \(2\) ga bo'lish orqali undan xalos bo'laylik.

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Tayyor. Endi siz ikkala teoremadan ham foydalanishingiz mumkin.

Tez-tez beriladigan savollarga javoblar

Savol: Vieta teoremasidan foydalanib, siz biron bir narsani hal qila olasizmi?
Javob: Afsuski yo'q. Agar tenglamada butun sonlar bo'lmasa yoki tenglamaning ildizlari bo'lmasa, Viet teoremasi yordam bermaydi. Bunday holda siz foydalanishingiz kerak diskriminant . Yaxshiyamki, maktab matematikasidagi tenglamalarning 80% butun sonli echimlarga ega.

I. Vyeta teoremasi qisqartirilgan kvadrat tenglama uchun.

Kiritilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi x 2 +px+q=0 qarama-qarshi belgi bilan olingan ikkinchi koeffitsientga, ildizlarning ko'paytmasi esa erkin muddatga teng:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Vyeta teoremasidan foydalanib, berilgan kvadrat tenglamaning ildizlarini toping.

1-misol) x 2 -x-30=0. Bu qisqartirilgan kvadrat tenglama ( x 2 +px+q=0), ikkinchi koeffitsient p=-1, va bepul a'zo q=-30. Birinchidan, bu tenglamaning ildizlari borligiga va ildizlar (agar mavjud bo'lsa) butun sonlarda ifodalanishiga ishonch hosil qilaylik. Buning uchun diskriminant butun sonning mukammal kvadrati bo'lishi kifoya.

Diskriminantni topish D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Endi, Vyeta teoremasiga ko'ra, ildizlarning yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan ikkinchi koeffitsientga teng bo'lishi kerak, ya'ni. ( -p), va mahsulot erkin muddatga teng, ya'ni. ( q). Keyin:

x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30. Biz ikkita raqamni tanlashimiz kerakki, ularning mahsuloti teng bo'ladi -30 , va miqdori birlik. Bu raqamlar -5 Va 6 . Javob: -5; 6.

2-misol) x 2 +6x+8=0. Bizda ikkinchi koeffitsientli qisqartirilgan kvadrat tenglama mavjud p=6 va bepul a'zo q=8. Keling, butun son ildizlar mavjudligiga ishonch hosil qilaylik. Keling, diskriminantni topamiz D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Diskriminant D 1 sonning mukammal kvadratidir 1 , demak, bu tenglamaning ildizlari butun sonlardir. Keling, Viet teoremasidan foydalanib, ildizlarni tanlaymiz: ildizlarning yig'indisi teng –r=-6, va ildizlarning mahsuloti ga teng q=8. Bu raqamlar -4 Va -2 .

Aslida: -4-2=-6=-r; -4∙(-2)=8=q. Javob: -4; -2.

3-misol) x 2 +2x-4=0. Bu qisqartirilgan kvadrat tenglamada ikkinchi koeffitsient p=2, va bepul a'zo q=-4. Keling, diskriminantni topamiz D 1, chunki ikkinchi koeffitsient juft sondir. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Diskriminant sonning mukammal kvadrati emas, shuning uchun biz shunday qilamiz xulosa: Bu tenglamaning ildizlari butun sonlar emas va Viet teoremasi yordamida topilmaydi. Bu shuni anglatadiki, biz bu tenglamani odatdagidek, formulalar yordamida (bu holda, formulalar yordamida) hal qilamiz. Biz olamiz:

4-misol). Agar ildizlaridan foydalanib kvadrat tenglamani yozing x 1 =-7, x 2 =4.

Yechim. Kerakli tenglama quyidagi shaklda yoziladi: x 2 +px+q=0, va, Vyeta teoremasi asosida –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Keyin tenglama quyidagi shaklni oladi: x 2 +3x-28=0.

5-misol). Kvadrat tenglamani ildizlaridan foydalanib yozing, agar:

II. Vyeta teoremasi to'liq kvadrat tenglama uchun ax 2 +bx+c=0.

Ildizlarning yig'indisi minus b, tomonidan bo'linadi A, ildizlarning mahsuloti ga teng Bilan, tomonidan bo'linadi A:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.

6-misol). Kvadrat tenglamaning ildizlari yig‘indisini toping 2x 2 -7x-11=0.

Kvadrat tenglamani yechish usullaridan biri foydalanishdir VIET formulalari, bu FRANCOIS VIETTE sharafiga nomlangan.

U 16-asrda frantsuz qiroliga xizmat qilgan mashhur huquqshunos edi. Bo'sh vaqtida u astronomiya va matematikani o'rgangan. U kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasida bog'lanishni o'rnatdi.

Formulaning afzalliklari:

1 . Formulani qo'llash orqali siz tezda yechim topishingiz mumkin. Chunki kvadratga ikkinchi koeffitsientni kiritish shart emas, keyin undan 4ac ayirish, diskriminantni topish va ildizlarni topish uchun uning qiymatini formulaga almashtirish kerak.

2 . Yechimsiz siz ildizlarning belgilarini aniqlashingiz va ildizlarning qiymatlarini tanlashingiz mumkin.

3 . Ikki yozuv tizimini hal qilib, ildizlarni o'zlari topish qiyin emas. Yuqoridagi kvadrat tenglamada ildizlarning yig'indisi minus belgisi bilan ikkinchi koeffitsientning qiymatiga teng. Yuqoridagi kvadrat tenglamadagi ildizlarning mahsuloti uchinchi koeffitsientning qiymatiga teng.

4 . Bu ildizlardan foydalanib, kvadrat tenglamani yozing, ya'ni teskari masalani yeching. Masalan, bu usul nazariy mexanika masalalarini yechishda qo'llaniladi.

5 . Etakchi koeffitsient birga teng bo'lganda formuladan foydalanish qulay.

Kamchiliklari:

1 . Formula universal emas.

Vieta teoremasi 8-sinf

Formula
Agar x 1 va x 2 qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari x 2 + px + q = 0 bo'lsa, u holda:

Misollar
x 1 = -1; x 2 = 3 - tenglamaning ildizlari x 2 - 2x - 3 = 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Qarama-qarshi teorema

Formula
Agar x 1, x 2, p, q raqamlari shartlar bilan bog'langan bo'lsa:

U holda x 1 va x 2 tenglamaning ildizlari x 2 + px + q = 0.

Misol
Uning ildizlaridan foydalanib, kvadrat tenglama tuzamiz:

X 1 = 2 - ? 3 va x 2 = 2 + ? 3.

P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.

Kerakli tenglama quyidagi ko'rinishga ega: x 2 - 4x + 1 = 0.

Ushbu texnikaning mohiyati diskriminantning yordamisiz ildizlarni topishdir. Ikki xil haqiqiy ildiz mavjud bo'lgan x2 + bx + c = 0 ko'rinishdagi tenglama uchun ikkita bayonot to'g'ri bo'ladi.

Birinchi bayonotda aytilishicha, bu tenglamaning ildizlari yig'indisi x o'zgaruvchisi koeffitsienti qiymatiga teng (bu holda u b), lekin qarama-qarshi belgi bilan. Vizual ravishda quyidagicha ko'rinadi: x1 + x2 = −b.

Ikkinchi gap endi yig‘indiga emas, balki shu ikki ildizning ko‘paytmasiga bog‘liq. Ushbu mahsulot erkin koeffitsientga tenglashtiriladi, ya'ni. c. Yoki x1 * x2 = c. Ushbu ikkala misol ham tizimda hal qilingan.

Vieta teoremasi yechimni ancha soddalashtiradi, lekin bir cheklovga ega. Ushbu usul yordamida ildizlari topilishi mumkin bo'lgan kvadrat tenglamani qisqartirish kerak. Yuqoridagi tenglamada x2 ning oldidagi a koeffitsienti birga teng. Har qanday tenglamani ifodani birinchi koeffitsientga bo'lish orqali shunga o'xshash shaklga keltirish mumkin, ammo bu operatsiya har doim ham oqilona emas.

Teoremaning isboti

Avvalo, kvadrat tenglamaning ildizlarini izlash qanchalik an'anaviy ekanligini esga olishimiz kerak. Birinchi va ikkinchi ildizlar topiladi, ya'ni: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Umuman olganda, u 2a ga bo'linadi, lekin yuqorida aytib o'tilganidek, teorema faqat a=1 bo'lganda qo'llanilishi mumkin.

Vyeta teoremasidan ma'lumki, ildizlar yig'indisi minus belgisi bo'lgan ikkinchi koeffitsientga teng. Bu x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b ekanligini bildiradi.

Xuddi shu narsa noma'lum ildizlarning hosilasi uchun ham amal qiladi: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. O'z navbatida, D = b2-4c (yana a=1 bilan). Ma’lum bo‘lishicha, natija: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.

Berilgan oddiy dalildan faqat bitta xulosa chiqarish mumkin: Vyeta teoremasi to'liq tasdiqlangan.

Ikkinchi formula va isbot

Vyeta teoremasi boshqa talqinga ega. Aniqroq aytganda, bu talqin emas, balki formuladir. Gap shundaki, agar birinchi holatdagi kabi bir xil shartlar bajarilsa: ikki xil haqiqiy ildiz mavjud bo'lsa, u holda teorema boshqa formula bilan yozilishi mumkin.

Bu tenglik quyidagicha ko'rinadi: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Agar P(x) funksiya x1 va x2 ikkita nuqtada kesishsa, u holda uni P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x) shaklida yozish mumkin. Agar P ikkinchi darajaga ega bo'lsa va asl ifoda aynan shunday ko'rinsa, R tub son bo'ladi, ya'ni 1. Bu gap to'g'ri, chunki aks holda tenglik bajarilmaydi. Qavslarni ochishda x2 koeffitsienti birdan katta bo'lmasligi kerak va ifoda kvadrat bo'lib qolishi kerak.