Ushbu maqolada biz ushbu doira radiusi orqali aylana yozilishi mumkin bo'lgan ko'pburchakning maydonini qanday ifodalash haqida gaplashamiz. Darhol shuni ta'kidlash kerakki, har bir ko'pburchak aylanaga sig'maydi. Ammo, agar bu mumkin bo'lsa, unda bunday ko'pburchakning maydonini hisoblash formulasi juda oddiy bo'ladi. Ushbu maqolani oxirigacha o'qing yoki biriktirilgan video qo'llanmani tomosha qiling va siz ko'pburchakning maydonini unda yozilgan doira radiusi bo'yicha qanday ifodalashni o'rganasiz.

Chizilgan doira radiusi bo'yicha ko'pburchak maydoni uchun formula

Keling, ko'pburchak chizamiz A 1 A 2 A 3 A 4 A 5, to'g'ri bo'lishi shart emas, lekin aylana yozish mumkin bo'lgan narsa. Sizga eslatib o'taman, chizilgan doira - bu ko'pburchakning barcha tomonlariga tegib turadigan doira. Rasmda bu nuqtada markazi bo'lgan yashil doira O:

Bu erda biz 5-gonni misol qilib oldik. Ammo, aslida, bu muhim ahamiyatga ega emas, chunki keyingi dalil ham 6-gon, ham 8-gon uchun, va umuman, har qanday o'zboshimchalik bilan "gon" uchun amal qiladi.

Agar chizilgan aylana markazini ko‘pburchakning barcha uchlari bilan bog‘lasangiz, u berilgan ko‘pburchakda qancha uch bo‘lsa, shuncha uchburchaklarga bo‘linadi. Bizning holatda: 5 ta uchburchak uchun. Agar biz nuqtani birlashtirsak O ko'pburchakning yon tomonlari bilan chizilgan doiraning barcha teginish nuqtalari bilan siz 5 ta segmentga ega bo'lasiz (quyidagi rasmda bu segmentlar) OH 1 , OH 2 , OH 3 , OH 4 va OH 5), ular aylana radiusiga teng va ular chizilgan ko'pburchakning tomonlariga perpendikulyar. Ikkinchisi to'g'ri, chunki aloqa nuqtasiga chizilgan radius tangensga perpendikulyar:

Cheklangan ko'pburchakning maydonini qanday topish mumkin? Javob oddiy. Olingan barcha uchburchaklarning maydonlarini qo'shishingiz kerak:

Keling, uchburchakning maydoni nima ekanligini ko'rib chiqaylik. Quyidagi rasmda u sariq rang bilan ta'kidlangan:

Baza mahsulotining yarmiga teng A 1 A 2 balandlikka OH 1 bu bazaga chizilgan. Ammo, biz allaqachon bilib olganimizdek, bu balandlik chizilgan doira radiusiga teng. Ya'ni, uchburchakning maydoni uchun formula quyidagi shaklni oladi: , Qayerda r— chizilgan aylana radiusi. Qolgan barcha uchburchaklarning maydonlari xuddi shunday topiladi. Natijada, ko'pburchakning kerakli maydoni quyidagilarga teng:

Ko'rinib turibdiki, bu summaning barcha shartlarida qavs ichidan chiqarilishi mumkin bo'lgan umumiy omil mavjud. Natijada quyidagi ifoda bo'ladi:

Ya'ni, qavs ichida qolgan narsa shunchaki ko'pburchakning barcha tomonlari yig'indisi, ya'ni uning perimetri. P. Ko'pincha bu formulada ifoda oddiygina bilan almashtiriladi p va ular bu harfni "yarim perimetr" deb atashadi. Natijada, yakuniy formula quyidagi shaklni oladi:

Ya'ni, ma'lum radiusli doira chizilgan ko'pburchakning maydoni ushbu radius va ko'pburchakning yarim perimetri ko'paytmasiga teng. Bu biz ko'zlagan natija edi.

Nihoyat, u aylana har doim uchburchak ichiga yozilishi mumkinligini ta'kidlaydi, bu ko'pburchakning alohida holatidir. Shuning uchun, uchburchak uchun bu formula har doim qo'llanilishi mumkin. 3 dan ortiq tomoni bo'lgan boshqa ko'pburchaklar uchun, avvalambor, ularga aylana yozilishi mumkinligiga ishonch hosil qilishingiz kerak. Agar shunday bo'lsa, siz buni xavfsiz ishlatishingiz mumkin oddiy formula va undan ushbu ko'pburchakning maydonini topish uchun foydalaning.

Sergey Valerievich tomonidan tayyorlangan material

Maktabda matematika va geometriyani o'rgangan har bir kishi bu fanlarni hech bo'lmaganda yuzaki biladi. Ammo vaqt o'tishi bilan ularga amal qilmasangiz, bilim unutiladi. Ko'pchilik hatto geometrik hisoblarni o'rganish uchun vaqtlarini behuda sarflaganiga ishonishadi. Biroq, ular noto'g'ri. Texnik xodimlar geometrik hisob-kitoblar bilan bog'liq kundalik ishlarni bajaradilar. Ko'pburchakning maydonini hisoblashga kelsak, bu bilim hayotda ham o'z qo'llanilishini topadi. Ular hech bo'lmaganda er maydonini hisoblash uchun kerak bo'ladi. Keling, ko'pburchakning maydonini qanday topishni bilib olaylik.

Poligon ta'rifi

Birinchidan, ko'pburchak nima ekanligini aniqlaymiz. Bu tekis geometrik shakl, uch yoki undan ortiq to'g'ri chiziqlarning kesishishi natijasida hosil bo'lgan. Yana bir oddiy ta'rif: ko'pburchak - bu yopiq ko'p chiziq. Tabiiyki, chiziqlar kesishganda, ularning soni ko'pburchakni tashkil etuvchi chiziqlar soniga teng bo'ladi. Kesishish nuqtalari cho'qqilar, to'g'ri chiziqlardan hosil bo'lgan segmentlar esa ko'pburchak tomonlari deyiladi. Ko'pburchakning qo'shni segmentlari bir xil to'g'ri chiziqda emas. Qo'shni bo'lmagan chiziq segmentlari o'tmaydiganlardir umumiy nuqtalar.

Uchburchaklar maydonlarining yig'indisi

Ko'pburchakning maydonini qanday topish mumkin? Ko'pburchakning maydoni - bu ko'pburchakning segmentlari yoki tomonlari kesishmasidan hosil bo'lgan tekislikning ichki qismi. Ko'pburchak uchburchak, romb, kvadrat, trapezoid kabi raqamlarning kombinatsiyasi bo'lganligi sababli, uning maydonini hisoblash uchun universal formula mavjud emas. Amalda, eng universal ko'pburchakni oddiyroq raqamlarga bo'lish usuli bo'lib, uning maydonini topish qiyin emas. Ushbu oddiy raqamlarning maydonlari yig'indisini qo'shish orqali ko'pburchakning maydoni olinadi.

Doira maydoni orqali

Ko'p hollarda ko'pburchak muntazam shaklga ega va ular orasidagi teng tomonlar va burchaklarga ega bo'lgan figurani hosil qiladi. Bunday holda, maydonni hisoblash chizilgan yoki chegaralangan doira yordamida juda oddiy. Agar aylananing maydoni ma'lum bo'lsa, uni ko'pburchakning perimetriga ko'paytirish kerak, so'ngra hosil bo'lgan mahsulot 2 ga bo'linadi. Natijada bunday ko'pburchakning maydonini hisoblash formulasi olinadi: S = ½∙P∙r., bu erda P - aylananing maydoni va r - ko'pburchakning perimetri.

Ko'pburchakni "qulay" shakllarga bo'lish usuli geometriyada eng mashhur bo'lib, u sizga ko'pburchakning maydonini tez va to'g'ri topishga imkon beradi. Umumta’lim maktabining 4-sinfi odatda bunday usullarni o‘rganadi.

Geometriya muammolari ko'pincha ko'pburchakning maydonini hisoblashni talab qiladi. Bundan tashqari, u juda xilma-xil shaklga ega bo'lishi mumkin - tanish uchburchakdan tortib, tasavvur qilib bo'lmaydigan ko'p sonli n-gongacha. Bundan tashqari, bu ko'pburchaklar konveks yoki konkav bo'lishi mumkin. Har birida muayyan holat dan boshlanishi kerak ko'rinish raqamlar. Shunday qilib, muammoni hal qilishning optimal usulini tanlashingiz mumkin. Rasm to'g'ri bo'lib chiqishi mumkin, bu muammoni hal qilishni sezilarli darajada soddalashtiradi.

Ko'pburchaklar haqida bir oz nazariya

Agar siz uch yoki undan ortiq kesishgan chiziqlar chizsangiz, ular ma'lum bir raqamni hosil qiladi. U ko'pburchakdir. Kesishish nuqtalari soniga asoslanib, uning qancha cho'qqilari bo'lishi aniq bo'ladi. Olingan raqamga nom beradilar. Bu shunday bo'lishi mumkin:

Bunday raqam, albatta, ikkita pozitsiya bilan tavsiflanadi:

1. Qo'shni tomonlar bir xil to'g'ri chiziqqa tegishli emas.
2. Qo'shni bo'lmaganlarning umumiy nuqtalari yo'q, ya'ni ular kesishmaydi.

Qaysi uchlari qo'shni ekanligini tushunish uchun ular bir tomonga tegishli yoki yo'qligini ko'rishingiz kerak. Ha bo'lsa, qo'shnilar. Aks holda, ular diagonal deb atalishi kerak bo'lgan segment bilan bog'lanishi mumkin. Ular faqat uchdan ortiq uchlari bo'lgan ko'pburchaklarda amalga oshirilishi mumkin.

Ularning qanday turlari mavjud?

To'rtdan ortiq burchakli ko'pburchak qavariq yoki konkav bo'lishi mumkin. Ikkinchisining farqi shundaki, uning ba'zi uchlari ko'pburchakning ixtiyoriy tomoni orqali o'tkaziladigan to'g'ri chiziqning qarama-qarshi tomonlarida yotishi mumkin. Qavariq holatda barcha uchlari har doim shunday to'g'ri chiziqning bir tomonida yotadi.

Maktab geometriya kursida ko'p vaqt qavariq figuralarga bag'ishlangan. Shuning uchun muammolar qavariq ko'pburchakning maydonini topishni talab qiladi. Keyin chegaralangan doira radiusi bo'yicha formula mavjud bo'lib, u har qanday raqam uchun kerakli qiymatni topishga imkon beradi. Boshqa hollarda, aniq yechim yo'q. Uchburchak uchun formula bitta, lekin kvadrat yoki trapezoid uchun u butunlay boshqacha. Shakl tartibsiz yoki juda ko'p uchlari bo'lgan holatlarda ularni oddiy va tanish bo'lganlarga bo'lish odatiy holdir.

Agar raqam uch yoki to'rtta tepaga ega bo'lsa, nima qilish kerak?

Birinchi holda, u uchburchak bo'lib chiqadi va siz formulalardan birini qo'llashingiz mumkin:

• S = 1/2 * a * n, bu erda a - tomon, n - unga balandlik;
• S = 1/2 * a * b * sin (A), bu erda a, b uchburchakning tomonlari, A - ma'lum tomonlar orasidagi burchak;
• S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), bu erda c - uchburchakning tomoni, allaqachon ko'rsatilgan ikkitasiga, p - yarim perimetr, ya'ni barcha uch tomonning yig'indisi ikkiga bo'linadi.

To'rtta burchakli raqam parallelogramm bo'lishi mumkin:

• S = a * n;
• S = 1/2 * d 1 * d 2 * sin(a), bu erda d 1 va d 2 diagonallar, a - ular orasidagi burchak;
• S = a * in * sin(a).

Trapetsiya maydoni uchun formula: S = n * (a + b) / 2, bu erda a va b - asoslarning uzunligi.

To'rtdan ortiq uchlari bo'lgan muntazam ko'pburchak bilan nima qilish kerak?

Boshlash uchun, bunday raqam barcha tomonlar teng ekanligi bilan tavsiflanadi. Bundan tashqari, ko'pburchak teng burchaklarga ega.

Agar siz bunday figuraning atrofida aylana chizsangiz, u holda uning radiusi ko'pburchak markazidan cho'qqilardan biriga bo'lgan segmentga to'g'ri keladi. Shuning uchun, maydonni hisoblash uchun muntazam ko'pburchak ixtiyoriy sonli uchlari bilan sizga quyidagi formula kerak bo'ladi:

S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º/n), bu erda n - ko'pburchakning uchlari soni.

Undan maxsus holatlar uchun foydali bo'lganini olish oson:

1. uchburchak: S = (3√3)/4 * R 2;
2. kvadrat: S = 2 * R 2;
3. olti burchakli: S = (3√3)/2 * R 2.

Noto'g'ri raqam bilan vaziyat

Agar ko'pburchakning maydoni muntazam bo'lmasa va uni ilgari ma'lum bo'lgan raqamlardan biriga bog'lash mumkin bo'lmasa, uni qanday topish mumkinligi algoritmi:

• kesishmasligi uchun uni oddiy shakllarga, masalan, uchburchaklarga bo'ling;
• har qanday formuladan foydalanib, ularning maydonlarini hisoblash;
• barcha natijalarni qo'shing.

Muammo ko'pburchak uchlari koordinatalarini bersa nima qilish kerak?

Ya'ni, raqamning tomonlarini cheklaydigan har bir nuqta uchun juft raqamlar to'plami ma'lum. Odatda ular birinchisi uchun (x 1 ; y 1), ikkinchisi uchun (x 2 ; y 2) shaklida yoziladi va n-chi cho'qqi quyidagi qiymatlarga ega (x n ; y n). Keyin ko'pburchakning maydoni n ta hadning yig'indisi sifatida aniqlanadi. Ularning har biri quyidagicha ko'rinadi: ((y i+1 +y i)/2) * (x i+1 - x i). Bu ifodada i birdan n gacha o'zgaradi.

Shuni ta'kidlash kerakki, natijaning belgisi raqamning o'tishiga bog'liq bo'ladi. Yuqoridagi formuladan foydalanganda va soat yo'nalishi bo'yicha harakatlanayotganda javob salbiy bo'ladi.

Namuna topshiriq

Vaziyat. Cho'qqilarning koordinatalari quyidagi qiymatlar bilan belgilanadi (0,6; 2,1), (1,8; 3,6), (2,2; 2,3), (3,6; 2,4), (3,1; 0,5). Ko'pburchakning maydonini hisoblashingiz kerak.

Yechim. Yuqoridagi formulaga ko'ra, birinchi atama (1,8 + 0,6)/2 * (3,6 - 2,1) ga teng bo'ladi. Bu erda siz ikkinchi va birinchi nuqtalardan Y va X qiymatlarini olishingiz kerak. Oddiy hisoblash 1.8 natijaga olib keladi.

Ikkinchi muddat xuddi shunday olinadi: (2,2 + 1,8)/2 * (2,3 - 3,6) = -2,6. Bunday muammolarni hal qilishda salbiy miqdorlardan qo'rqmang. Hammasi kerak bo'lganidek ketmoqda. Bu rejalashtirilgan.

Uchinchi (0,29), to'rtinchi (-6,365) va beshinchi shartlar (2,96) uchun qiymatlar xuddi shunday tarzda olinadi. Keyin yakuniy maydon: 1,8 + (-2,6) + 0,29 + (-6,365) + 2,96 = - 3,915.

Qatlakli qog'ozga ko'pburchak chizilgan masalani yechish bo'yicha maslahat

Ko'pincha hayratlanarli narsa shundaki, ma'lumotlar faqat hujayra hajmini o'z ichiga oladi. Ammo ma'lum bo'lishicha, boshqa ma'lumot kerak emas. Ushbu muammoni hal qilish bo'yicha tavsiya - bu raqamni ko'plab uchburchak va to'rtburchaklarga bo'lish. Ularning maydonlarini tomonlarning uzunligi bo'yicha hisoblash juda oson, keyinchalik ularni osongina qo'shish mumkin.

Ammo ko'pincha oddiyroq yondashuv mavjud. U to'rtburchakka figurani chizish va uning maydonini hisoblashdan iborat. Keyin ortiqcha bo'lib chiqqan elementlarning maydonlarini hisoblang. Ularni umumiy qiymatdan olib tashlang. Ushbu parametr ba'zan bir oz kamroq harakatlarni o'z ichiga oladi.

\[(\Large(\text(Hudud haqida asosiy faktlar)))\]

Aytishimiz mumkinki, ko'pburchakning maydoni bu ko'pburchak egallagan tekislikning qismini ko'rsatadigan qiymatdir. Maydonni o'lchash birligi - tomoni \(1\) sm, \(1\) mm va boshqalar bo'lgan kvadratning maydoni. (kvadrat birligi). Keyin maydon mos ravishda sm\(^2\), mm\(^2\) bilan o'lchanadi.

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, biz raqamning maydoni - bu miqdor bo'lib, uning raqamli qiymati birlik kvadrat ma'lum bir raqamga necha marta mos kelishini ko'rsatadi.

Hudud xususiyatlari

1. Har qanday ko'pburchakning maydoni musbat miqdordir.

2. Teng ko‘pburchaklar teng maydonlarga ega.

3. Agar ko‘pburchak bir nechta ko‘pburchaklardan tashkil topgan bo‘lsa, uning maydoni shu ko‘pburchaklar maydonlarining yig‘indisiga teng bo‘ladi.

4. Tomoni \(a\) bo'lgan kvadratning maydoni \(a^2\) ga teng.

\[(\Katta(\matn(To'rtburchak va parallelogramm maydoni)))\]

Teorema: To'rtburchakning maydoni

Tomonlari \(a\) va \(b\) bo'lgan to'rtburchakning maydoni \(S=ab\) ga teng.

Isbot

Keling, rasmda ko'rsatilganidek, \(ABCD\) to'rtburchakni tomoni \(a+b\) bo'lgan kvadratga quramiz:

Bu kvadrat to'rtburchak \(ABCD\), yana bir teng to'rtburchak va tomonlari \(a\) va \(b\) bo'lgan ikkita kvadratdan iborat. Shunday qilib,

\(\begin(multline*) S_(a+b)=2S_(\text(pr-k))+S_a+S_b \Chapga o'q (a+b)^2=2S_(\text(pr-k))+ a^2+b^2 \Chapga o'q\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\text(pr-k))+a^2+b^2 \O'ngga S_(\text(pr-k) )=ab \end(koʻp qator*)\)

Ta'rif

Parallelogrammning balandligi - parallelogrammning cho'qqisidan ushbu cho'qqi bo'lmagan tomonga (yoki tomonning kengaytmasiga) chizilgan perpendikulyar.
Masalan, \(BK\) balandligi \(AD\) tomoniga, balandligi \(BH\) tomonining davomiga \(CD\) tushadi:

Teorema: Paralelogrammaning maydoni

Paralelogrammaning maydoni balandlik va bu balandlik chizilgan tomonning mahsulotiga teng.

Isbot

Rasmda ko'rsatilgandek \(AB"\) va \(DC"\) perpendikulyarlarini chizamiz. E'tibor bering, bu perpendikulyarlar parallelogramm balandligiga teng \(ABCD\) .

U holda \(AB"C"D\) to'rtburchak bo'ladi, shuning uchun \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) .

E'tibor bering, \(ABB"\) va \(DCC"\) to'g'ri burchakli uchburchaklar mos keladi. Shunday qilib,

\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)

\[(\Katta(\matn(uchburchak maydoni)))\]

Ta'rif

Uchburchakdagi balandlik chizilgan tomonni uchburchak asosi deb ataymiz.

Teorema

Uchburchakning maydoni uning poydevori va bu asosga chizilgan balandlikning yarmiga teng.

Isbot

\(S\) uchburchakning maydoni \(ABC\) bo'lsin. Uchburchakning asosi sifatida \(AB\) tomonini olib, \(CH\) balandligini chizamiz. Keling, buni isbotlaylik \ Rasmda ko'rsatilganidek, \(ABC\) uchburchakni \(ABDC\) parallelogrammasiga quramiz:

\(ABC\) va \(DCB\) uchburchaklar uch tomoni teng (\(BC\) ularning umumiy tomoni, \(AB = CD\) va \(AC = BD\) parallelogrammaning qarama-qarshi tomonlari \ (ABDC\ )), shuning uchun ularning maydonlari teng. Shunday qilib, \(ABC\) uchburchakning \(S\) maydoni \(ABDC\) parallelogramma maydonining yarmiga teng, ya'ni \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdot CH\).

Teorema

Agar ikkita uchburchak \(\triangle ABC\) va \(\uchburchak A_1B_1C_1\) bo'lsa teng balandliklar, keyin ularning maydonlari bu balandliklar chizilgan asoslar bilan bog'liq.

Natija

Uchburchakning medianasi uni teng maydonli ikkita uchburchakka ajratadi.

Teorema

Agar ikkita uchburchak \(\triangle ABC\) va \(\triangle A_2B_2C_2\) teng burchak, keyin ularning maydonlari bu burchakni tashkil etuvchi tomonlarning mahsuloti sifatida bog'lanadi.

Isbot

\(\burchak A=\burchak A_2\) boʻlsin. Keling, rasmda ko'rsatilganidek, ushbu burchaklarni birlashtiramiz (\(A\ nuqta) \(A_2\) nuqta bilan tekislangan):

Keling, \(BH\) va \(C_2K\) balandliklarini topamiz.

\(AB_2C_2\) va \(ABC_2\) uchburchaklar bir xil balandlikda \(C_2K\) , shuning uchun: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

\(ABC_2\) va \(ABC\) uchburchaklar bir xil balandlikda \(BH\), shuning uchun: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

Oxirgi ikkita tenglikni ko'paytirsak, biz quyidagilarni olamiz: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( yoki ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

Pifagor teoremasi

To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning uzunligining kvadrati oyoqlarning uzunliklari kvadratlarining yig'indisiga teng:

Buning aksi ham to'g'ri: agar uchburchakda bir tomoni uzunligining kvadrati boshqa ikki tomonning uzunliklari kvadratlarining yig'indisiga teng bo'lsa, unda bunday uchburchak to'g'ri burchakli bo'ladi.

Teorema

Kvadrat to'g'ri uchburchak oyoqlarning mahsulotining yarmiga teng.

Teorema: Geron formulasi

\(p\) uchburchakning yarim perimetri, \(a\) , \(b\) , \(c\) tomonlari uzunliklari bo’lsin, u holda uning maydoni bo’lsin. \

\[(\Katta(\matn(romb va trapetsiya maydoni)))\]

Izoh

Chunki Romb - bu parallelogramm, u holda bir xil formula unga to'g'ri keladi, ya'ni. Rombning maydoni balandlik va bu balandlik chizilgan tomonning mahsulotiga teng.

Teorema

Diagonallari perpendikulyar bo'lgan qavariq to'rtburchakning maydoni diagonallar mahsulotining yarmiga teng.

Isbot

To'rtburchakni ko'rib chiqing \(ABCD\) . \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\) ni belgilaymiz:

E'tibor bering, bu to'rtburchak to'rtta to'g'ri burchakli uchburchakdan iborat, shuning uchun uning maydoni ushbu uchburchaklar maydonlarining yig'indisiga teng:

\(\begin(multline*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(ko‘p qator*)\)

Xulosa: rombning maydoni

Rombning maydoni uning diagonallari ko'paytmasining yarmiga teng: \

Ta'rif

Trapetsiyaning balandligi bir asosning yuqori qismidan ikkinchi asosga chizilgan perpendikulyardir.

Teorema: trapetsiyaning maydoni

Trapetsiyaning maydoni poydevor va balandlikning yarmi yig'indisining ko'paytmasiga teng.

Isbot

Asoslari \(BC\) va \(AD\) bo'lgan \(ABCD\) trapesiyani ko'rib chiqaylik. Keling, rasmda ko'rsatilgandek \(CD"\parallel AB\) chizamiz:

U holda \(ABCD"\) parallelogramm bo'ladi.

\(BH"\perp AD, CH\perp AD\) ni ham bajaramiz (\(BH"=CH\) trapetsiyaning balandliklari).

Keyin \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)

Chunki trapetsiya parallelogramma \(ABCD"\) va uchburchakdan \(CDD"\) iborat bo'lsa, uning maydoni parallelogramm va uchburchak maydonlarining yig'indisiga teng bo'ladi, ya'ni:

\ \[=\dfrac12 CH\chap(BC+AD"+D"D\o‘ng)=\dfrac12 CH\chap(BC+AD\o‘ng)\]

1.1 Qadimgi davrlarda maydonlarni hisoblash

1.2 "Maydon", "ko'pburchak", "ko'pburchak maydoni" tushunchalarini o'rganishga turli yondashuvlar

1.2.1 Hudud tushunchasi. Hudud xususiyatlari

1.2.2 Ko'pburchak tushunchasi

1.2.3 Ko'pburchakning maydoni haqida tushuncha. Ta'riflovchi ta'rif

1.3 Ko'pburchaklar sohalari uchun turli formulalar

1.4 Ko`pburchaklar sohalari uchun formulalar chiqarish

1.4.1 Uchburchakning maydoni. Heron formulasi

1.4.2 To'rtburchakning maydoni

1.4.3 Trapetsiyaning maydoni

1.4.4 To'rtburchakning maydoni

1.4.5 Universal formula

1.4.6 n-gon maydoni

1.4.7 Ko'pburchakning maydonini uning uchlari koordinatalari bo'yicha hisoblash

1.4.8 Pik formulasi

1.5 To'g'ri burchakli uchburchakning oyoqlariga qurilgan kvadratlar maydonlarining yig'indisi haqidagi Pifagor teoremasi

1.6 Uchburchaklarning teng joylashishi. Bolyay-Gervin teoremasi

1,7 Hudud nisbati o'xshash uchburchaklar

1.8 Eng katta maydonga ega raqamlar

1.8.1 Trapezoid yoki to'rtburchak

1.8.2 Kvadratning ajoyib xususiyati

1.8.3 Boshqa shakllarning bo'limlari

1.8.4 Eng katta maydonga ega uchburchak

2-bob.Matematika darslarida ko‘pburchaklar sohalarini o‘rganishning uslubiy xususiyatlari

2.1 Tematik rejalashtirish va matematikani chuqur o'rganadigan sinflarda o'qitishning xususiyatlari

2.2 Darslarni o`tkazish metodikasi

2.3 Eksperimental ish natijalari

Xulosa

Adabiyot

Kirish

"Ko'pburchaklar maydoni" mavzusi maktab matematika kursining ajralmas qismidir, bu juda tabiiy. Axir, tarixan geometriyaning paydo bo'lishi u yoki bu shakldagi er uchastkalarini solishtirish zarurati bilan bog'liq. Ammo shuni ta'kidlash kerakki, ushbu mavzuni yoritish uchun ta'lim imkoniyatlari o'rta maktab to'liq foydalanishdan uzoqdir.

Maktabda matematika o‘qitishning asosiy vazifasi o‘quvchilarning matematika fanidan talab qilinadigan bilim va ko‘nikmalar tizimini kuchli va ongli ravishda egallashini ta’minlashdan iborat. kundalik hayot va har bir a'zo uchun mehnat faoliyati zamonaviy jamiyat tegishli fanlarni o'rganish va uzluksiz ta'lim uchun etarli.

Matematikani chuqur o'rganish asosiy muammoni hal qilish bilan bir qatorda o'quvchilarda ushbu fanga barqaror qiziqishni shakllantirish, ularning bilimlarini aniqlash va rivojlantirishni o'z ichiga oladi. matematik qobiliyatlar, matematika bilan sezilarli darajada bog'liq bo'lgan kasblarga yo'naltirish, universitetda o'qishga tayyorgarlik.

Malakaviy ish matematika kursi mazmunini o‘z ichiga oladi o'rta maktab va bu kursga bevosita tutashgan va uni asosiy mafkuraviy yo'nalishlar bo'yicha chuqurlashtiradigan bir qator qo'shimcha savollar.

Qo'shimcha savollarni kiritish o'zaro bog'liq ikkita maqsadga ega. Bu, bir tomondan, kursning asosiy bo'limlari bilan birgalikda, matematikaga moyil bo'lgan talabalarning qiziqishlarini qondirish va qobiliyatlarini rivojlantirish uchun bazani yaratish, boshqa tomondan, bu asosiy kursning mazmuniy bo‘shliqlari, chuqur o‘rganish mazmuniga zarur yaxlitlik berish.

Malakaviy ish kirish, ikki bob, xulosa va keltirilgan adabiyotlardan iborat. Birinchi bobda ko‘pburchaklar sohalarini o‘rganishning nazariy asoslari, ikkinchi bobda esa maydonlarni o‘rganishning metodologik xususiyatlari bevosita ko‘rib chiqiladi.

1-bob. Ko'pburchaklar sohalarini o'rganishning nazariy asoslari

1.1Qadimgi davrlardagi maydonlarni hisoblash

Maydonlarni o'lchash bilan bog'liq geometrik bilimlarning boshlanishi minglab yillar chuqurligida yo'qoladi.

Hatto 4-5 ming yil oldin bobilliklar to'rtburchaklar va trapezoidlarning maydonini kvadrat birliklarda aniqlay olishgan. Kvadrat uzoq vaqtdan beri ko'plab ajoyib xususiyatlari tufayli maydonlarni o'lchash uchun standart bo'lib xizmat qildi: teng tomonlar, teng va to'g'ri burchaklar, simmetriya va shaklning umumiy mukammalligi. Kvadratchalar qurish oson, yoki siz tekislikni bo'shliqlarsiz to'ldirishingiz mumkin.

IN qadimgi Xitoy Maydonning o'lchami to'rtburchak edi. Masonlar uyning to'rtburchaklar devorining maydonini aniqlaganlarida, ular devorning balandligi va kengligini ko'paytirdilar. Bu geometriyada qabul qilingan ta'rif: to'rtburchakning maydoni uning qo'shni tomonlari mahsulotiga teng. Bu tomonlarning ikkalasi ham bir xil chiziqli birliklarda ifodalanishi kerak. Ularning mahsuloti tegishli kvadrat birliklarda ifodalangan to'rtburchakning maydoni bo'ladi. Aytaylik, agar devorning balandligi va kengligi dekimetrda o'lchansa, ikkala o'lchovning mahsuloti kvadrat dekimetrda ifodalanadi. Va agar har bir qarama-qarshi rafning maydoni kvadrat dekimetr bo'lsa, natijada olingan mahsulot qoplama uchun zarur bo'lgan plitkalar sonini ko'rsatadi. Bu maydonlarni o'lchash uchun asos bo'lgan bayonotdan kelib chiqadi: kesishmaydigan raqamlardan tashkil topgan raqamning maydoni ularning maydonlarining yig'indisiga teng.

4000 yil oldin qadimgi misrliklar to'rtburchaklar, uchburchaklar va trapetsiyalarning maydonini o'lchash uchun biz ishlatgan usullardan deyarli foydalanishgan: uchburchakning asosi yarmiga bo'lingan va balandlikka ko'paytirilgan; trapetsiya uchun parallel tomonlarning yig'indisi yarmiga bo'lindi va balandlikka ko'paytirildi va hokazo. Hududni hisoblash uchun

tomonlari bo'lgan to'rtburchak (1.1-rasm), formula (1.1) ishlatilgan

bular. Qarama-qarshi tomonlarning yarmi yig'indisi ko'paytirildi.

Bu formula har qanday to'rtburchak uchun aniq noto'g'ri, xususan, barcha romblarning maydonlari bir xil bo'ladi; Shu bilan birga, bunday romblarning maydonlari cho'qqilardagi burchaklarning kattaligiga bog'liqligi aniq. Ushbu formula faqat to'rtburchaklar uchun to'g'ri keladi. Uning yordami bilan siz burchaklari to'g'ri burchakka yaqin bo'lgan to'rtburchaklar maydonini taxminan hisoblashingiz mumkin.

Hududni aniqlash uchun

misossellar uchburchagi (1.2-rasm), unda misrliklar taxminiy formuladan foydalanganlar:
(1.2) rasm. 1.2 Bu holatda qilingan xato kichikroq bo'lsa, uchburchakning yon tomoni va balandligi o'rtasidagi farq qanchalik kichik bo'lsa, boshqacha aytganda, tepalik (va) dan balandlikning poydevoriga qanchalik yaqin bo'lsa. Shuning uchun (1.2) taxminiy formula faqat cho'qqisida nisbatan kichik burchakka ega bo'lgan uchburchaklar uchun qo'llaniladi.

Ammo qadimgi yunonlar ko'pburchaklar maydonlarini qanday qilib to'g'ri topishni bilishgan. O'zining "Elementlarida" Evklid "maydon" so'zini ishlatmaydi, chunki "figura" so'zining o'zi bilan u yoki boshqa yopiq chiziq bilan chegaralangan tekislikning bir qismini tushunadi. Evklid maydonni o'lchash natijasini raqam bilan ifodalamaydi, balki turli figuralarning maydonlarini bir-biri bilan taqqoslaydi.

Boshqa qadimgi olimlar singari, Evklid ham ba'zi figuralarni teng o'lchamdagi boshqalarga aylantirish bilan shug'ullanadi. Kompozit figuraning maydoni, agar uning qismlari boshqacha joylashtirilgan bo'lsa, lekin kesishmasdan o'zgarmaydi. Shuning uchun, masalan, to'rtburchaklar maydoni uchun formulalar asosida boshqa raqamlarning maydonlari uchun formulalarni topish mumkin. Shunday qilib, uchburchak qismlarga bo'linadi, undan keyin teng o'lchamdagi to'rtburchaklar hosil bo'lishi mumkin. Ushbu konstruksiyadan kelib chiqadiki, uchburchakning maydoni uning poydevori va balandligining yarmiga teng. Bunday kesishga murojaat qilib, ular parallelogrammning maydoni poydevor va balandlikning ko'paytmasiga teng ekanligini va trapezoidning maydoni asoslar va balandlikning yarmi yig'indisining ko'paytmasiga teng ekanligini aniqlaydilar. .

Masonlar devorga plitka qo'yish kerak bo'lganda murakkab konfiguratsiya, ular qoplama uchun ishlatiladigan plitkalar sonini hisoblash orqali devor maydonini aniqlashlari mumkin. Ba'zi plitkalar, albatta, qoplamaning chekkalari devorning chetiga to'g'ri kelishi uchun parchalanishi kerak. Ishda ishlatiladigan barcha plitkalar soni devor maydonini ortiqcha, buzilmagan plitkalar soni - etishmovchilik bilan baholaydi. Hujayralarning kattaligi kamayishi bilan chiqindilar miqdori kamayadi va plitkalar soni orqali aniqlangan devor maydoni tobora aniqroq hisoblab chiqiladi.

Asarlari asosan amaliy xarakterga ega boʻlgan keyingi yunon matematik va ensiklopedistlaridan biri I asrda yashagan Iskandariyalik Herondir. n. e. Ajoyib muhandis bo'lgani uchun uni "Mexanik Heron" deb ham atashgan. Heron o'zining "Dioptrisa" asarida turli xil mashinalar va amaliy o'lchash asboblarini tasvirlaydi.

Heronning kitoblaridan biri u tomonidan "Geometriya" deb nomlangan bo'lib, u o'ziga xos formulalar va tegishli masalalar to'plamidir. Unda kvadratlar, to'rtburchaklar va uchburchaklarning maydonlarini hisoblash bo'yicha misollar mavjud. Uchburchakning tomonlarini hisobga olgan holda uning maydonini topish haqida Heron shunday yozadi: “Masalan, uchburchakning bir tomoni uzunligi 13 ta oʻlchash shnuri, ikkinchisi 14 va uchinchisi 15 boʻlsin. Maydonni topish uchun davom eting. quyida bayon qilinganidek. 13, 14 va 15 sonlari qo‘shilsin; 42 bo'ladi. Buning yarmi 21 bo'ladi. Bundan uchta tomonni birma-bir ayirish; avval 13 ni ayiring - sizda 8 qoladi, keyin 14 - sizda 7 qoladi va nihoyat 15 - sizda 6 qoladi. Endi ularni ko'paytiring: 21 marta 8 168 ni beradi, buni 7 marta oling - siz 1176 ni olasiz va oling Bu yana 6 marta - siz 7056 ni olasiz. Bu erdan kvadrat ildiz 84 bo'ladi. Uchburchakning maydonida shuncha o'lchov simlari bo'ladi.