Tenglamalar tizimini almashtirish usuli yordamida yechish. Tenglamalar tizimini echishda almashtirish usuli Tenglamalar tizimini almashtirish usuli bilan qanday yechish mumkin

Tenglamalar tizimini almashtirish usuli yordamida yechish

Keling, tenglamalar tizimi nima ekanligini eslaylik.

Ikki o'zgaruvchiga ega bo'lgan ikkita tenglamalar tizimi bir-birining ostiga yozilgan, jingalak qavs bilan birlashtirilgan ikkita tenglamadir. Tizimni yechish deganda bir vaqtning o'zida birinchi va ikkinchi tenglamalarni yechadigan raqamlar juftligini topish tushuniladi.

Ushbu darsda biz almashtirish usuli kabi tizimlarni yechish usuli bilan tanishamiz.

Keling, tenglamalar tizimini ko'rib chiqaylik:

Ushbu tizimni grafik tarzda hal qilishingiz mumkin. Buning uchun biz har bir tenglamaning grafiklarini bitta koordinatalar tizimida tuzib, ularni quyidagi shaklga aylantirishimiz kerak:

Keyin tizimning yechimi bo'ladigan grafiklarning kesishish nuqtasining koordinatalarini toping. Lekin grafik usul har doim ham qulay emas, chunki past aniqlikda, hatto kirish imkonsizligida ham farqlanadi. Keling, tizimimizni batafsil ko'rib chiqishga harakat qilaylik. Endi shunday ko'rinadi:

Siz tenglamalarning chap tomonlari teng ekanligini sezishingiz mumkin, ya'ni o'ng tomonlari ham teng bo'lishi kerak. Keyin tenglamani olamiz:

Bu biz hal qila oladigan bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan tanish tenglama. Noma'lum shartlarni chap tomonga, ma'lumlarini esa o'ngga o'tkazamiz, ko'chirishda + va - belgilarini o'zgartirishni unutmang. Biz olamiz:

Endi x ning topilgan qiymatini tizimning istalgan tenglamasiga almashtiramiz va y qiymatini topamiz. Bizning tizimimizda y = 3 - x ikkinchi tenglamadan foydalanish qulayroq; almashtirishdan keyin biz y = 2 ni olamiz. Endi bajarilgan ishni tahlil qilamiz. Birinchidan, birinchi tenglamada y o'zgaruvchini x o'zgaruvchisi bilan ifodaladik. Keyin hosil bo'lgan ifoda - 2x + 4 ikkinchi tenglamaga y o'zgaruvchisi o'rniga almashtirildi. Keyin hosil bo'lgan tenglamani bitta x o'zgaruvchisi bilan yechib, uning qiymatini topdik. Va nihoyat, biz boshqa y o'zgaruvchisini topish uchun x ning topilgan qiymatidan foydalandik. Shu o'rinda savol tug'iladi: y o'zgaruvchini ikkala tenglamadan birdaniga ifodalash kerakmidi? Albatta yo'q. Biz tizimning faqat bitta tenglamasida bir o'zgaruvchini boshqasi bilan ifodalashimiz va ikkinchisida mos keladigan o'zgaruvchi o'rniga undan foydalanishimiz mumkin. Bundan tashqari, har qanday tenglamadan istalgan o'zgaruvchini ifodalashingiz mumkin. Bu erda tanlov faqat hisobning qulayligiga bog'liq. Matematiklar bu protsedurani ikki o'zgaruvchili ikkita tenglamalar tizimini almashtirish usuli yordamida yechish algoritmi deb atashgan.

1. Tizim tenglamalaridan birida o‘zgaruvchilardan birini boshqasi bilan ifodalang.

2.Tizimning boshqa tenglamasiga mos oʻzgaruvchi oʻrniga olingan ifodani qoʻying.

3.Bir o‘zgaruvchili hosil bo‘lgan tenglamani yeching.

4.Birinchi bosqichda olingan ifodaga o‘zgaruvchining topilgan qiymatini qo‘ying va boshqa o‘zgaruvchining qiymatini toping.

5.Javobni uchinchi va to‘rtinchi bosqichda topilgan sonlar juftligi ko‘rinishida yozing.

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Tenglamalar tizimini yeching:

Bu erda birinchi tenglamadan y o'zgaruvchisini ifodalash qulayroqdir. Biz y = 8 - 2x ni olamiz. Olingan ifoda ikkinchi tenglamada y ga almashtirilishi kerak. Biz olamiz:

Bu tenglamani alohida yozamiz va yechamiz. Birinchidan, qavslarni ochamiz. Biz 3x - 16 + 4x = 5 tenglamani olamiz. Tenglamaning chap tomonida noma'lum, o'ng tomonida esa ma'lum bo'lgan hadlarni to'playmiz va shunga o'xshash hadlarni keltiramiz. Biz 7x = 21 tenglamani olamiz, shuning uchun x = 3.

Endi, topilgan x qiymatidan foydalanib, siz quyidagilarni topishingiz mumkin:

Javob: bir juft raqamlar (3; 2).

Shunday qilib, biz ushbu darsda ikkita noma'lumli tenglamalar tizimini shubhali grafik usullarga murojaat qilmasdan, analitik, aniq usulda echishni o'rgandik.

Foydalanilgan adabiyotlar roʻyxati:

Mordkovich A.G., Algebra 7-sinf 2 qism, 1-qism, Umumiy ta'lim muassasalari uchun darslik / A.G. Mordkovich. - 10-nashr, qayta ko'rib chiqilgan - Moskva, "Mnemosyne", 2007.
Mordkovich A.G., Algebra 7-sinf 2 qismli, 2-qism, Ta'lim muassasalari uchun muammoli kitob / [A.G. Mordkovich va boshqalar]; tomonidan tahrirlangan A.G. Mordkovich - 10-nashr, qayta ko'rib chiqilgan - Moskva, "Mnemosyne", 2007 yil.
U. Tulchinskaya, Algebra 7-sinf. Blits so'rovi: umumiy ta'lim muassasalari talabalari uchun qo'llanma, 4-nashr, qayta ko'rib chiqilgan va kengaytirilgan, Moskva, Mnemosyne, 2008 yil.
Aleksandrova L.A., Algebra 7-sinf. Umumiy ta'lim muassasalari o'quvchilari uchun yangi shakldagi tematik test ishlari, tahririyati A.G. Mordkovich, Moskva, "Mnemosyne", 2011 yil.
Aleksandrova L.A. Algebra 7-sinf. Umumiy ta’lim muassasalari o‘quvchilari uchun mustaqil ishlar, tahririyati A.G. Mordkovich - 6-nashr, stereotipik, Moskva, "Mnemosyne", 2010 yil.

Odatda tizim tenglamalari bir-birining ostidagi ustunga yoziladi va jingalak qavs bilan birlashtiriladi.

Ushbu turdagi tenglamalar tizimi, bu erda a, b, c- raqamlar va x, y- o'zgaruvchilar chaqiriladi chiziqli tenglamalar tizimi.

Tenglamalar tizimini yechishda tenglamalarni yechish uchun amal qiladigan xossalardan foydalaniladi.

Chiziqli tenglamalar tizimini almashtirish usuli yordamida yechish

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik

1) O‘zgaruvchini tenglamalardan birida ifodalang. Masalan, ifoda qilaylik y Birinchi tenglamada biz tizimni olamiz:

2) oʻrniga sistemaning ikkinchi tenglamasini qoʻying y ifoda 3x-7:

3) Olingan ikkinchi tenglamani yeching:

4) Olingan yechimni sistemaning birinchi tenglamasiga almashtiramiz:

Tenglamalar tizimi yagona yechimga ega: juft raqamlar x=1, y=-4. Javob: (1; -4) , qavs ichida yoziladi, birinchi o'rinda qiymat x, Ikkinchisida - y.

Chiziqli tenglamalar sistemasini qo`shish yo`li bilan yechish

Oldingi misoldagi tenglamalar tizimini yechamiz qo'shish usuli.

1) O'zgaruvchilardan birining koeffitsientlari qarama-qarshi bo'ladigan tarzda tizimni o'zgartiring. Tizimning birinchi tenglamasini "3" ga ko'paytiramiz.

2) sistema a'zolarining tenglamalarini had bo'yicha qo'shing. Biz tizimning ikkinchi tenglamasini (har qanday) o'zgarishsiz qayta yozamiz.

3) Olingan yechimni sistemaning birinchi tenglamasiga almashtiramiz:

Chiziqli tenglamalar sistemasini grafik usulda yechish

Ikki o'zgaruvchili tenglamalar tizimining grafik yechimi tenglamalar grafiklarining umumiy nuqtalarining koordinatalarini topishga to'g'ri keladi.

Chiziqli funktsiyaning grafigi to'g'ri chiziqdir. Tekislikdagi ikkita chiziq bir nuqtada kesishishi, parallel yoki mos kelishi mumkin. Shunga ko'ra, tenglamalar tizimi: a) yagona yechimga ega bo'lishi mumkin; b) yechimlari yo'q; v) cheksiz ko'p yechimga ega.

2) Tenglamalar sistemasining yechimi grafiklarning kesishish nuqtasi (agar tenglamalar chiziqli bo'lsa) hisoblanadi.

Tizimning grafik yechimi

Yangi o'zgaruvchilarni kiritish usuli

O'zgaruvchilarni o'zgartirish dastlabki tenglamalarga qaraganda oddiyroq tenglamalar tizimini echishga olib kelishi mumkin.

Tizimning yechimini ko'rib chiqing

Keling, almashtirishni tanishtiramiz

Keling, boshlang'ich o'zgaruvchilarga o'tamiz

Maxsus holatlar

Chiziqli tenglamalar tizimini yechmasdan, tegishli o'zgaruvchilarning koeffitsientlaridan uning yechimlari sonini aniqlash mumkin.

1 . TO'LIQ ISM. o'qituvchilar: ____Tkachuk Natalya Petrovna ________________________________________________________________________________________________________________

2. Sinf: _8 Sana: .11.03________Fan_-matematika, 71-sonli dars jadval bo'yicha:

3. Dars mavzusi Tizimlarni almashtirish orqali yechish 4 . Darsning o'rganilayotgan mavzudagi o'rni va roli :. Bilimlarni mustahkamlash uchun dars. Darsning maqsadi :

Ta'limiy: almashtirish usuli yordamida tenglamalar tizimini echish bo'yicha bilimlarni rivojlantirish. Bilish/tushunish: agar grafiklarning umumiy nuqtalari bo'lsa, u holda tizimning echimlari mavjud; agar grafiklarning umumiy nuqtalari bo'lmasa, u holda tizimning echimlari yo'q; tenglamalar tizimini yechish algoritmi.Imkoniyatiga ega bo'lish tizimlarni almashtirish orqali hal qilish Olingan bilimlarni nostandart (standart) sharoitlarda qo'llash ko'nikmalarini rivojlantirishga ko'maklashishRivojlanish: Talabalarda olingan bilimlarni umumlashtirish, tahlil qilish, sintez qilish, taqqoslash va kerakli xulosalar chiqarish ko'nikmalarini rivojlantirishga ko'maklashish. Olingan bilimlarni nostandart va standart sharoitlarda qo'llash ko'nikmalarini rivojlantirishga ko'maklashish.Tarbiyaviy: O'quv faoliyatiga ijodiy munosabatni rivojlantirishga ko'maklashish

Dars bosqichlarining xususiyatlari

Faoliyat

talabalar

O'z taqdirini o'zi belgilash.

Kognitiv faollikni faollashtiring

Tizimni hal qiling

og'zaki

Frontal

Talabalar bilan salomlashish. amalga oshirish. Darsga tayyorgarlik holatini yaratish, kelgusi darsda muvaffaqiyat.

Darsga tayyorligini tekshiring.

2. Bilimlarni yangilash.

Mavzu bo'yicha oldingi darslarda olingan bilim va ko'nikmalarning sifati va o'zlashtirilganlik darajasini aniqlash

Bir juft son tizimning yechimi ekanligini aniqlang. x=5 y=9

Tenglamalar bilan qanday amallarni bajarish mumkin?

(tenglamaning ikkala tomonini bir xil songa ko'paytiring, nolga teng bo'lmagan songa bo'ling....)

Guruh ishi

Frontal. Guppovaya - muammolarni hal qilish algoritmlarini tahlil qilish;

Zarur bo'lganda etakchi savollarni beradi.

Ular berilgan savollarga javob berishadi.

3. Tarbiyaviy vazifa, dars maqsadlari bayoni.

Shakllanish

va malaka oshirish

aniqlash va shakllantirish

muammo, maqsad va mavzu

chiziqlarni o'rganish

Tenglamalar sistemasini qo`shish, almashtirish yo`li bilan yechish.

Yechishda qaysi usuldan foydalanish maqsadga muvofiqdir. bu tizim?

Guruh ishi.

Individual.

Frontal.

Xarid narxini bilish uchun qanday qadamlar qo'ydik?

Qaysi mavzuni o'rganamiz?

Ular gapirishadi.

4. Mavzu bo'yicha bilimlarni yangilash bosqichi

Chiziqlarni farqlash va taqqoslash ko'nikmalarini rivojlantirishga yordam berish. O'z fikrlarini to'g'ri, aniq va to'g'ri ifoda etish ko'nikmalarini rivojlantirish uchun sharoit yarating.

№ 621

Chiziqlarning o'zaro joylashishini aniqlang

2x+0,5y= 1,2 va x- 4y=0

Chiziqlar kesishish yoki kesishmasligini ularning koeffitsientlari bo'yicha aniqlash mumkinmi?

2. bir-biriga parallel bo'lgan chiziqlar tenglamalarini tuzing.

Talaba bilan ishlash

O'z-o'zini tekshirish bilan juftlikda ishlash

Frontal, individual. muammolarni hal qilish bo'yicha seminar

Zarur bo'lganda etakchi savollarni beradi. Oldin o'rganilgan material bilan parallellik qiladi.

Taklif etilgan vazifalarni bajarish uchun motivatsiya beradi.

Talabalarni formulalar mavjudligi haqidagi xulosaga olib keladi.

Masalalarni yechish, kerak bo`lsa o`qituvchining savollariga javob berish.Mashqni daftarda bajarish.

Navbat bilan sharhlang, tahlil qiling, sabablar va echimlarni aniqlang.

5.Mustaqil ishlash

olingan bilimlarni qo'llash. Muammolarni hal qilishda bilim va ko'nikmalarni yangilash.

Raqamlarni o'qish ko'nikmalarini shakllantirish va rivojlantirish Berilgan vazifani hal qilish uchun o'z faoliyatingizni rejalashtirish, olingan natijani kuzatish, olingan natijani tuzatish, o'z-o'zini tartibga solish

1 var -

2 var

Mustaqil ish. Qo'shningizni tekshirish.

"aqliy hujum",

Ishlarning bajarilishini nazorat qiladi.

Ta'minlaydi: individual nazorat; selektiv nazorat.

O'z fikringizni bildirishga undaydi.

Muammolarni hal qilish. Bajaring: o'z-o'zini baholash, o'zaro tekshirish; dastlabki baho berish.

6. Darsni baholash, o'z-o'zini baholash.

O'z yutuqlarini tahlil qilish va tushunish qobiliyatini shakllantirish va rivojlantirish.

O'quv materialini o'zlashtirish darajasini aniqlash qobiliyati.

O'quv faoliyati uchun motivatsiyani oshirish uchun oraliq natijalarni baholash va o'z-o'zini tartibga solish

Har bir bosqichda baholash

1. Chiziqli tenglamalar grafigini tuza olasizmi?

2.Ularning kesishish yoki kesishmasligini aniqlay olasizmi?

3. Tenglamalar sistemasini yechish algoritmini bilasizmi?

4. tenglamalar sistemasini yechishning qanday usullarini bilasiz?

Guruh ishi.

Guruh va individual ...

O'z fikringizni bildirishga undaydi.

Bajaring: o'z-o'zini baholash va do'stni baholash.

7. Dars xulosasi. Uy vazifasi.

O'z faoliyatining maqsadlari va natijalarini o'zaro bog'lash qobiliyati. Ta'lim faoliyati uchun motivatsiyani saqlab qolish uchun sog'lom raqobat ruhini saqlash; muammolarni jamoaviy muhokama qilishda ishtirok etish.

4.4-bet No 623

Guruh ishi.

Frontal - Kognitiv maqsadni aniqlash va shakllantirish, harakat usullari va shartlarini aks ettirish

Ob'ektlarning tahlili va sintezi

O'z fikringizni bildirishga undaydi.

Uyga berilgan topshiriqlarga izoh beradi; matndagi xususiyatlarni qidirish vazifasi...

Bolalar muhokamada, tahlilda, suhbatda qatnashadilar. Ularning yutuqlarini aks ettiring va yozib oling.

Bugun darsda men o'rgandim ...

Bunday holda, tizimning ikkinchi tenglamasidan x ni y shaklida ifodalash va birinchi tenglamadagi x o'rniga hosil bo'lgan ifodani almashtirish qulay:

Birinchi tenglama bitta o'zgaruvchisi y bo'lgan tenglamadir. Keling, buni hal qilaylik:

5(7-3y)-2y = -16

Olingan y qiymatini x ifodasiga almashtiramiz:

Javob: (-2; 3).

Bu sistemada birinchi tenglamadagi y ni x bilan ifodalash va ikkinchi tenglamadagi y o‘rniga hosil bo‘lgan ifodani qo‘yish osonroq:

Ikkinchi tenglama bitta x o'zgaruvchisi bo'lgan tenglamadir. Keling, buni hal qilaylik:

3x-4(-1,5-3,5x)=23

y ifodasida x o‘rniga x=1 ni qo‘yamiz va y ni topamiz:

Javob: (1; -5).

Bu erda y ni ikkinchi tenglamadan x ko'rinishida ifodalash qulayroqdir (chunki 10 ga bo'lish 4, -9 yoki 3 ga bo'lishdan ko'ra osonroqdir):

Birinchi tenglamani yechamiz:

4x-9(1,6-0,3x)= -1

4x-14,4+2,7x= -1

x=2 almashtiring va y ni toping:

Javob: (2; 1).

O'zgartirish usulini qo'llashdan oldin ushbu tizimni soddalashtirish kerak. Birinchi tenglamaning ikkala tomonini eng kichik umumiy maxrajga ko'paytirish mumkin, ikkinchi tenglamada biz qavslarni ochamiz va shunga o'xshash shartlarni keltiramiz:

Biz ikkita o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglamalar tizimini oldik. Endi almashtirishni qo'llaymiz. Ikkinchi tenglamadan a dan b gacha ifodalash qulay:

Biz tizimning birinchi tenglamasini echamiz:

3(21,5 + 2,5b) – 7b = 63

a qiymatini topish qoladi:

Formatlash qoidalariga ko'ra, javobni alifbo tartibida nuqta-vergul bilan ajratilgan qavslar ichida yozamiz.

Javob: (14; -3).

Bir o'zgaruvchini boshqasi orqali ifodalashda, ba'zan uni ma'lum bir koeffitsient bilan qoldirish qulayroqdir.

Ikkita noma'lum chiziqli tenglamalar tizimi bu ikki yoki undan ortiq chiziqli tenglamalar bo'lib, ular uchun barcha umumiy echimlarni topish kerak. Ikkita noma’lumda ikkita chiziqli tenglamalar tizimini ko‘rib chiqamiz. Ikki noma'lumli ikkita chiziqli tenglamalar tizimining umumiy ko'rinishi quyidagi rasmda keltirilgan:

(a1*x + b1*y = c1,
( a2 * x + b2 * y = c2

Bu erda x va y noma'lum o'zgaruvchilar, a1, a2, b1, b2, c1, c2 ba'zi haqiqiy sonlar. Ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi yechimi (x,y) sonlar juftligi bo‘lib, agar bu raqamlarni sistema tenglamalariga almashtirsak, sistemaning har bir tenglamasi haqiqiy tenglikka aylanadi. Chiziqli tenglamalar tizimini yechish usullaridan birini, ya'ni almashtirish usulini ko'rib chiqing.

O'zgartirish usuli bilan yechish algoritmi

Chiziqli tenglamalar tizimini almashtirish usuli yordamida echish algoritmi:

1. Bitta tenglamani tanlang (raqamlar kichikroq bo'lganini tanlagan ma'qul) va undan bir o'zgaruvchini boshqasi bilan ifodalang, masalan, x ni y bilan ifodalang. (siz y dan x gacha ham foydalanishingiz mumkin).

2. Hosil bo‘lgan ifodani mos o‘zgaruvchi o‘rniga boshqa tenglamaga almashtiring. Shunday qilib, biz bitta noma'lum chiziqli tenglamani olamiz.

3. Olingan chiziqli tenglamani yeching va yechimni oling.

4. Olingan eritmani birinchi bandda olingan ifodaga almashtiramiz va eritmadan ikkinchi noma’lumni olamiz.

5. Olingan eritmani tekshiring.

Misol

Buni yanada aniqroq qilish uchun kichik bir misolni hal qilaylik.

1-misol. Tenglamalar tizimini yeching:

(x+2*y =12
(2*x-3*y=-18

Yechim:

1. Bu sistemaning birinchi tenglamasidan x o'zgaruvchini ifodalaymiz. Bizda x= (12 -2*y);

2. Bu ifodani ikkinchi tenglamaga almashtiring, 2*x-3*y=-18 ni olamiz; 2*(12 -2*y) - 3*y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;

3. Olingan chiziqli tenglamani yeching: 24 - 4y - 3*y = -18; 24-7*y =-18; -7*y = -42; y=6;

4. Olingan natijani birinchi xatboshida olingan ifodaga almashtiring. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;

5. Olingan yechimni tekshiramiz, buning uchun topilgan sonlarni dastlabki sistemaga almashtiramiz.

(x+2*y =12;
(2*x-3*y=-18;

{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;

{12 =12;
{-18=-18;

Biz to'g'ri tenglikni oldik, shuning uchun biz yechimni to'g'ri topdik.