Mavzu bo'yicha dars: "Daraja va uning xususiyatlari".

Darsning maqsadi:

Talabalarning "Tabiiy ko'rsatkichli daraja" mavzusi bo'yicha bilimlarini umumlashtirish.

Talabalardan darajalar, xususiyatlar va ularni qo'llash qobiliyatining ta'rifini ongli ravishda tushunishga erishish.

Turli xil murakkablikdagi vazifalarni bajarishda bilim va ko'nikmalarni qo'llashni o'rgating.

Mustaqillik, qat'iyatlilik, aqliy faoliyatning namoyon bo'lishi uchun sharoit yarating va matematikaga muhabbat uyg'oting.

Uskunalar: perfokartalar, kartalar, testlar, jadvallar.

Dars o‘quvchilarning tabiiy ko‘rsatkichli daraja xossalari haqidagi bilimlarini tizimlashtirish va umumlashtirish uchun mo‘ljallangan. Dars materiali bolalarda matematik bilimlarni shakllantiradi, fanga qiziqish va tarixiy jihatdan dunyoqarashni rivojlantiradi.

Taraqqiyot.

Dars mavzusi va maqsadini bildirish.

Bugun bizda “Natural ko‘rsatkichli ko‘rsatkich va uning xossalari” mavzusida umumiy darsimiz bor.

Darsimizning maqsadi o'tilgan barcha materiallarni ko'rib chiqish va testga tayyorgarlik ko'rishdir.

Uy vazifasini tekshirish.

(Maqsad: ko'rsatkich, mahsulot va darajalarni o'zlashtirishni tekshirish).

№ 238-modda, b) 220-son (a; d) 216-modda.

Kengashda individual kartalar bilan 2 kishi bor.

a 4 ∙ a 15 a 12 ∙ a 4 a 12: a 4 a 18: a 9 (a 2) 5 (a 4) 8 (a 2 b 3) 6 (a 6 bv 4) 3 a 0 dan 0 gacha

Og'zaki ish.

(Maqsad: kuchlarni ko'paytirish va bo'lish, kuchga ko'tarish algoritmini mustahkamlaydigan asosiy fikrlarni takrorlang).

Natural ko'rsatkichli sonning kuchi ta'rifini tuzing.

Qadamlarni bajaring.

a ∙ a 3; a 4: a 2; (a 6) 2 ; (2a 3) 3; a 0.

X ning qaysi qiymatida tenglik amal qiladi.

5 6 ∙5 x = 5 10 10 x: 10 2 = 10 (a 4) x = a 8 (a x b 2) = a 35 b 10

Hech qanday hisob-kitob qilmasdan ifoda belgisini aniqlang.

(-3) 5 , -19 2 , -(-15) 2 , (-8) 6 , - (-17) 7

Soddalashtiring.

A)
; b) (a 4) 6: (a 3) 3

Aqliy hujum.

( Maqsad : talabalarning asosiy bilimlarini, daraja xususiyatlarini tekshirish).

Tezlik uchun perfokartalar bilan ishlash.

a 6: a 4; a 10: a 3 (a 2) 2 ; (a 3) 3 ; (a 4) 5 ; (a 0) 2 .

(2a 2) 2 ; (-2a 3) 3; (3a 4) 2 ; (-2a 2 b) 4 .

Mashq qilish: Ifodani soddalashtiring (juft bo'lib ishlaymiz, sinf a, b, c topshiriqlarini hal qiladi, birgalikda tekshiramiz).

(Maqsad: tabiiy ko'rsatkich bilan darajaning xususiyatlarini mashq qilish.)

A)
; b)
; V)

6. Hisoblash:

A)
( birgalikda )

b)
( o'z-o'zidan )

V)
( o'z-o'zidan )

G)
( birgalikda )

d)
( o'z-o'zidan ).

7 . O'zingizni tekshiring!

(Maqsad: talabalarning ijodiy faoliyati elementlarini rivojlantirish va ularning harakatlarini nazorat qilish qobiliyati).

Testlar bilan ishlash, doskada 2 talaba, o`z-o`zini tekshirish.

Tushunarli.

Ifodalarni baholang.

║ - V.

Ifodalaringizni soddalashtiring.

Hisoblash.

Ifodalarni baholang.

D/z uy k/r (kartalar bo'yicha).

Darsni yakunlash, baholash.

(Maqsad: Talabalar o'z ishlarining natijasini aniq ko'rishlari va kognitiv qiziqishlarini rivojlantirishlari uchun).

Diplom uchun birinchi marta kim o'qishni boshladi?

n ni qanday qurish kerak ?

Shunday qilib, biz n-darajagaA ko'tarmoq

Biz n ni ko'paytirishimiz kerak bir marta

Agar n bir - hech qachon

Agar ko'proq bo'lsa, ko'paytiring va ustida,

takror aytaman, n marta.

3) Raqamni ko'tara olamizmi? n daraja, juda tez?

Agar siz mikro kalkulyatorni olsangiz

Raqam a siz faqat bir marta qo'ng'iroq qilasiz

Va keyin ko'paytirish belgisi - yana bir marta,

Siz "muvaffaqiyatli" belgisini ko'p marta bosishingiz mumkin

Necha birliksiz n bizga ko'rsatadi

Va javob tayyor, maktab qalamisiz HATTO.

4) Natural ko‘rsatkichli daraja xossalarini sanab bering.

Dars davomida javob bergan o‘quvchilarning javoblarini inobatga olgan holda perfokartalar, testlar bilan ishni tekshirib bo‘lgach, darsga baho beramiz.

Bugun yaxshi ishladingiz, rahmat.

Adabiyot:

1. A.G.Mordkovich Algebra-7-sinf.

2.Didaktik materiallar - 7-sinf.

3. A.G.Mordkovich Testlari - 7-sinf.

Dars mavzusi: Tabiiy ko'rsatkichli daraja

Dars turi: bilimlarni umumlashtirish va tizimlashtirish darsi

Dars turi: birlashtirilgan

Ish shakllari: individual, frontal, juftlikda ishlash

Uskunalar: kompyuter, media mahsulot (dasturda taqdimotMicrosoftIdoraPower Point 2007); mustaqil ish uchun topshiriqlar bilan kartalar

Dars maqsadlari:

Tarbiyaviy : tabiiy ko'rsatkichli darajalar haqidagi bilimlarni tizimlashtirish va umumlashtirish, tabiiy ko'rsatkichli darajalarni o'z ichiga olgan ifodalarni oddiy o'zgartirish ko'nikmalarini mustahkamlash va takomillashtirish.

- rivojlanmoqda: umumlashtirish, taqqoslash, asosiy narsani ta'kidlash, matematik ufqlarni, fikrlash, nutq, e'tibor va xotirani rivojlantirish usullarini qo'llash ko'nikmalarini shakllantirishga hissa qo'shish.

- tarbiyaviy: matematikaga, faoliyatga, tashkilotga qiziqishni rivojlantirish, o'rganish uchun ijobiy motivni shakllantirish, o'quv va kognitiv faoliyat ko'nikmalarini rivojlantirish

Tushuntirish eslatmasi.

Ushbu dars matematik tayyorgarlik darajasi o'rtacha bo'lgan umumiy ta'lim sinfida o'qitiladi. Darsning asosiy maqsadi - turli mashqlarni bajarish jarayonida amalga oshiriladigan tabiiy ko'rsatkichli daraja haqidagi bilimlarni tizimlashtirish va umumlashtirish qobiliyatini rivojlantirish.

Rivojlanish tabiati mashqlarni tanlashda namoyon bo'ladi. Multimedia mahsulotidan foydalanish vaqtni tejash, materialni ko‘proq ko‘rgazmali qilish, yechimlar misollarini ko‘rsatish imkonini beradi.Darsda bolalarning charchoqlarini ketkazadigan turli ish turlari qo‘llaniladi.

Darsning tuzilishi:

1. Tashkiliy vaqt.

2. Mavzu yuzasidan hisobot berish, dars maqsadlarini belgilash.

4. Og'zaki ish.

5. Yordamchi bilimlarni tizimlashtirish.

6. Salomatlikni tejaydigan texnologiyalar elementlari.

7. Test topshirig'ini bajarish

9. Dars xulosasi.

10. Uy vazifasi.

Darslar davomida:

I.Tashkiliy vaqt

O'qituvchi: Salom, bolalar! Sizni bugungi darsimizga xush kelibsiz. O'tir. Umid qilamanki, bugungi darsda bizni muvaffaqiyat ham, quvonch ham kutmoqda. Biz esa bir jamoa bo'lib ishlab, o'z iqtidorimizni namoyon qilamiz.

Dars davomida e'tibor bering. O'ylab ko'ring, so'rang, taklif qiling - chunki biz haqiqat yo'lida birga yuramiz.

Daftarlaringizni oching va raqamni yozing ajoyib ish

II. Mavzuni muloqot qilish, dars maqsadlarini belgilash

1) Dars mavzusi. Darsning epigrafi.(Slayd 2,3)

"Kimdir matematikadan o'chirishga harakat qilsin

darajaga ega bo'ladi va ularsiz uzoqqa bormasligingizni ko'radi" M.V. Lomonosov

2) Dars maqsadlarini belgilash.

O'qituvchi: Shunday qilib, dars davomida biz o'rgangan materialimizni takrorlaymiz, umumlashtiramiz va tizimlashtiramiz. Sizning vazifangiz tabiiy ko'rsatkichli darajalarning xususiyatlari va turli vazifalarni bajarishda ularni qo'llash qobiliyati haqidagi bilimingizni ko'rsatishdir.

III. Mavzuning asosiy tushunchalarini takrorlash, darajalarning tabiiy ko'rsatkichlari bilan xossalari

1) anagrammani yeching: (slayd 4)

Nspete (daraja)

Fohisha (segment)

Hovhaniosne (tayanch)

Casapotel (ko'rsatkich)

Ko'paytirish (ko'paytirish)

2) Natural darajali daraja nima?(5-slayd)

(Raqamning kuchi a tabiiy ko'rsatkich bilan n , 1 dan katta, ifoda deyiladi a n , mahsulotga teng n omillar, ularning har biri teng a a-baza, n -indeks)

3) Ifodani o'qing, asos va darajani nomlang: (6-slayd)

4) Darajaning asosiy xossalari (tenglikning o'ng tomonini qo'shing)(7-slayd)

• a n a m =

• a n :a m =

• (a n ) m =

• (ab) n =

• ( a / b ) n =

• a 0 =

• a 1 =

IV U yaxshi Ish

1) og'zaki hisoblash (8-slayd)

O'qituvchi: Keling, ushbu formulalarni yechishda qanday qo'llash mumkinligini tekshiramiz.

1) x 5 X 7 ; 2) a 4 A 0 ;

3) uchun 9 : Kimga 7 ; 4) r n : r ;

5)5 5 2 ; 6) (- b )(- b ) 3 (- b );

7) bilan 4 : bilan; 8) 7 3 : 49;

9)y 4 da 6 y 10) 7 4 49 7 3 ;

11) 16: 4 2 ; 12) 64: 8 2 ;

13)sss 3 ; 14) a 2 n a n ;

15) x 9 : X m ; 16) y n : y

2) "Keraksiz narsalarni yo'q qilish" o'yini ((-1) 2 )(9-slayd)

-1

Juda qoyil. Yaxshi ish qildi. Keyinchalik biz quyidagi misollarni hal qilamiz.

VMalumot bilimlarini tizimlashtirish

1. Bir-biriga mos keladigan iboralarni chiziqlar bilan bog'lang:(slayd 10)

4 ⁶ 4 2 3 6 4 6

4 6 : 4 2 4 6 /5 6

(3 4) 6 4 ⁶ +2

(4 2 ) 6 4 6-2

(4/5) 6 4 12

2. Raqamlarni o‘sish tartibida joylashtiring:(slayd 11)

3 2 (-0,5) 3 (½) 3 35 0 (-10) 3

3.O'z-o'zini tekshirish orqali topshiriqni bajarish(slayd 12)

• A1, mahsulotni quvvat sifatida taqdim eting:

a) a) x 5 X 4 ; b) 3 7 3 9 ; 4 da) 3 (-4) 8 .

• Va 2 ifodani soddalashtiring:

a) x 3 X 7 X 8 ; b) 2 21 :2 19 2 3

• Va 3 eksponentsiyani bajaring:

a) (a 5 ) 3 ; b) (-c 7 ) 2

VISalomatlikni tejaydigan texnologiyalar elementlari (slayd 13)

Jismoniy tarbiya darsi: 2 va 3 raqamlarning kuchlarini takrorlash

VIITest topshirig'i (14-slayd)

Test javoblari doskaga yoziladi: 1 d 2 o 3b 4y 5 h 6a (o'lja)

VIII Kartochkalar yordamida mustaqil ish

Har bir stolda variantlar bo'yicha topshiriqli kartalar mavjud, ishni tugatgandan so'ng ular tekshirish uchun topshiriladi.

Variant 1

1) ifodalarni soddalashtiring:

A) b)

V) G)

A) b)

V) G)

Variant 2

1) ifodalarni soddalashtiring:

A) b)

V) G)

2) iboraning ma’nosini toping:

A)b)

V) G)

3) Ifodaning qiymati nol, musbat yoki manfiy son ekanligini ko'rsatish uchun o'qdan foydalaning:

IX dars natijalari

Yo'q.

Ish turi

o'z-o'zini hurmat

O'qituvchi reytingi

1

Anagram

2

Ifodani o'qing

3

Qoidalar

4

Og'zaki hisoblash

5

Chiziqlar bilan bog'lang

6

O'sish tartibida joylashtiring

7

O'z-o'zini tekshirish vazifalari

8

Sinov

9

Kartochkalar yordamida mustaqil ish

X Uyga vazifa

Test kartalari

A1. Ifodaning ma'nosini toping: .

algebra 7-sinf

matematika o'qituvchisi

MBOUTSOSH №1 filiali

Poletaevo qishlog'ida Zueva I.P.

Poletaevo 2016 yil

Mavzu: « Tabiiy darajali daraja xossalari»

MAQSAD

1. “Tabiiy ko‘rsatkichli daraja xossalari” mavzusida o‘rganilgan materialni takrorlash, umumlashtirish va tizimlashtirish.
2. Ushbu mavzu bo'yicha talabalar bilimini tekshirish.
3. Olingan bilimlarni turli vazifalarni bajarishda qo'llash.

VAZIFALAR

Mavzu :

mavzu bo'yicha bilimlarni takrorlash, umumlashtirish va tizimlashtirish; bilim va ko'nikmalarni o'zlashtirishni nazorat qilish (o'zaro nazorat) uchun sharoit yaratish;talabalarda mavzuni o'rganish uchun motivatsiyani shakllantirishni davom ettirish;

meta-mavzu:

fikrlashning operativ uslubini rivojlantirish; birgalikda ishlashda talabalarning muloqot ko'nikmalarini egallashiga yordam berish; ijodiy fikrlashni faollashtirish; Ptalabalarning samarali ijtimoiylashuviga hissa qo'shadigan muayyan kompetensiyalarni rivojlantirishni davom ettirish;o'z-o'zini tarbiyalash va o'z-o'zini tarbiyalash qobiliyatlari.

shaxsiy:

madaniyatini tarbiyalash, shakllanishiga hissa qo‘shish shaxsiy fazilatlar bir-biriga, odamlarga, hayotga do'stona, bag'rikeng munosabatda bo'lishga qaratilgan; faoliyatda tashabbuskorlik va mustaqillikni rivojlantirish; davlat yakuniy attestatsiyasiga muvaffaqiyatli tayyorgarlik ko‘rish uchun o‘rganilayotgan mavzuning zarurligini tushunishga olib keladi.

DARS TURI

umumlashtirish va tizimlashtirish darsi ZUN.

Uskunalar: kompyuter, proyektor,proyeksiya ekrani,doska, tarqatma materiallar.

Dasturiy ta'minot: OS Windows 7: MS Office 2007 (kerakli ariza - Power Point).

Tayyorgarlik bosqichi:

"Tabiiy ko'rsatkichli darajaning xususiyatlari" taqdimoti;

Tarqatma;

ballar varaqasi.

Tuzilishi

Tashkiliy vaqt. Darsning maqsad va vazifalarini belgilash - 3 daqiqa.

Asosiy bilimlarni yangilash, tizimlashtirish - 8 daqiqa.

Amaliy qism - 28 daqiqa.

Umumlashtirish, chiqish -3 daqiqa.

Uy vazifasi- 1 daqiqa.

Fikrlash - 2 daqiqa.

Dars g'oyasi

Talabalarning ushbu mavzu bo'yicha bilimlarini qiziqarli va samarali shaklda tekshirish.

Darsni tashkil etish Dars 7-sinfda olib boriladi. Bolalar juftlikda, mustaqil ravishda ishlaydi, o'qituvchi maslahatchi-kuzatuvchi sifatida ishlaydi.

Darslar davomida

Tashkilot vaqti:

Salom bolalar! Bugun bizda noodatiy o'yin darsi bor. Har biringizga o'zingizni isbotlash va bilimingizni ko'rsatish uchun ajoyib imkoniyat berilgan. Ehtimol, dars davomida siz kelajakda sizga foydali bo'lgan yashirin qobiliyatlarni topasiz.

Har biringizning stolingizda topshiriqlarni bajarish uchun baho varag'i va kartalari bor. Sinov varag'ini qo'lingizga oling, dars davomida o'z bilimingizni baholashingiz uchun sizga kerak. Imzolang.

Shunday qilib, men sizni darsga taklif qilaman!

Bolalar, ekranga qarang va she'rni tinglang.

Slayd № 1

Ko'paytirish va bo'lish

Darajani darajaga ko'tarish ...

Bu xususiyatlar bizga tanish

Va ular endi yangi emas.

Bularning beshta oddiy qoidalari

Sinfdagi hamma allaqachon javob bergan

Ammo agar siz xususiyatlarni unutgan bo'lsangiz,

Misolni hal qilmadingiz deb hisoblang!

Va maktabda muammosiz yashash

Men sizga amaliy maslahat beraman:

Qoidani unutishni xohlamaysizmi?

Faqat eslab qolishga harakat qiling!

Savolga javob bering:

1) U qanday harakatlar haqida gapiradi?

2) Sizningcha, bugun darsda nima haqida gaplashamiz?

Shunday qilib, bizning darsimizning mavzusi:

"Tabiiy ko'rsatkichli darajaning xususiyatlari" (3-slayd).

Darsning maqsad va vazifalarini belgilash

Darsda biz "Tabiiy ko'rsatkichli daraja xossalari" mavzusida o'rganilgan materialni takrorlaymiz, umumlashtiramiz va tizimlashtiramiz.

Keling, qanday qilib bir xil asoslar bilan kuchlarni ko'paytirishni va bo'lishni o'rganganingizni, shuningdek, kuchlarni kuchga oshirishni ko'rib chiqaylik.

Asosiy bilimlarni yangilash. Nazariy materialni tizimlashtirish.

1) Og'zaki ish

Keling, og'zaki ishlaylik

1) Darajaning xossalarini natural ko‘rsatkichli shakllantiring.

2) Bo'sh joylarni to'ldiring: (Slayd 4)

1)5 12 : 5 5 =5 7 2) 5 7 ∙ 5 17 = 5 24 3) 5 24 : 125= 5 21 4)(5 0 ) 2 ∙5 24 =5 24

5)5 12 ∙ 5 12 = (5 8 ) 3 6)(3 12 ) 2 = 3 24 7) 13 0 ∙ 13 64 = 13 64

3) ifodaning qiymati nima:(Slayd 5-9)

a m ∙ a n; (a m+n) a m: a n (a m-n); (a m) n ; a 1; a 0.

2) Nazariy qismni tekshirish (Karta №1)

Endi qo'llaringizga 1-raqamli kartani oling vabo'shliqlarni to'ldiring

1) Agar ko'rsatkich juft son bo'lsa, daraja qiymati har doim _______________ bo'ladi.

2) Agar ko'rsatkich toq son bo'lsa, daraja qiymati ____ belgisiga to'g'ri keladi.

3) vakolatlar mahsuloti a n · a k = a n + k
Bir xil asoslar bilan darajalarni ko'paytirishda asos ____________, ko'rsatkichlar esa ________ bo'lishi kerak.

4) qisman darajalar a n : a k = a n - k
Vakolatlarni bir xil asoslarga bo'lishda asos _____ va dividendning ko'rsatkichidan ____________________________ bo'lishi kerak.

5) Quvvatni kuchga ko'tarish ( a n ) k = a nk
Quvvatni kuchga ko'tarishda asos _______, ko'rsatkichlari esa _____ bo'lishi kerak.

Javoblarni tekshirish. (10-13-slaydlar)

Asosiy qism

3) Endi daftarlarni oching, 28.01.14 raqamini yozing, ajoyib ish

O'yin "Clapperboard" » (14-slayd)

Daftarlardagi topshiriqlarni o'zingiz bajaring

Quyidagi amallarni bajaring: a)X11 ∙x∙x2 b)X14 : X5 c) (a4 ) 3 d) (-uchun)2 .

Ifodaning qiymatini nol bilan solishtiring: a)(- 5)7 , b)(-6)18 ,

4 da)11 . ( -4) 8 G)(- 5) 18 ∙ (- 5) 6 , d)-(- 4)8 .

Ifodaning qiymatini hisoblang:

a)-1∙ 3 2, b)(-1 ∙ 3) 2 c)1∙(-3) 2, d) - (2 ∙ 3) 2, e)1 2 ∙ (-3) 2

Biz tekshiramiz, agar javob to'g'ri bo'lmasa, qo'llarimizni bir marta qarsak chaymiz.

Ballar sonini hisoblang va ularni ballar varaqasiga kiriting.

4) Endi ko'z mashqlarini bajaramiz, kuchlanishni engillashtiramiz va davom etamiz. Biz ob'ektlarning harakatini diqqat bilan kuzatib boramiz

Boshlanishi! (Slayd 15,16,17,18).

5) Endi keyingi ish turiga o'tamiz. (2-karta)

Javobni asosli kuch sifatida yozing BILAN va siz birinchi bo'lib sonning kuchi tushunchasini kiritgan buyuk frantsuz matematigining ismi va familiyasini bilib olasiz.

Matematik olimning ismini taxmin qiling.

1.	BILAN 5 ∙C 3	6.	BILAN 7 : BILAN 5
2.	BILAN 8 : BILAN 6	7.	(BILAN 4 ) 3 ∙C
3,	(BILAN 4 ) 3	8.	BILAN 4 ∙ BILAN 5 ∙ C 0
4.	BILAN 5 ∙C 3 : BILAN 6	9.	BILAN 16 : BILAN 8
5.	BILAN 14 ∙ C 8	10.	(BILAN 3 ) 5

HAQIDA javob: RENEE DESKARTES

R

Sh

M

YU

TO

N

A

T

E

D

BILAN 8

BILAN 5

BILAN 1

BILAN 40

BILAN 13

BILAN 12

BILAN 9

BILAN 15

BILAN 2

BILAN 22

Endi talabaning “Rene Dekart” haqidagi xabarini tinglaylik.

Rene Dekart 1596 yil 21 martda Tourainedagi La Gaye kichik shaharchasida tug'ilgan. Dekartlar oilasi past byurokratik zodagonlarga mansub edi. Rene bolaligini Touraine shahrida o'tkazdi. 1612 yilda Dekart maktabni tugatdi. U erda sakkiz yarim yil o'tkazdi. Dekart hayotda o'z o'rnini darhol topa olmadi. Aslzoda bo'lib, La Fleche kollejini tugatgandan so'ng, u Parijning ijtimoiy hayotiga sho'ng'iydi, so'ngra ilm bilan shug'ullanish uchun hamma narsani tashlab ketadi. Dekart o'z tizimida matematikaga alohida o'rin berdi, uning haqiqatni o'rnatish tamoyillarini boshqa fanlar uchun namuna deb hisobladi. Dekartning salmoqli xizmati shu kungacha saqlanib qolgan qulay yozuvlarni kiritgani bo'ldi: noma'lumlar uchun lotin harflari x, y, z; a, b, c - koeffitsientlar uchun, darajalar uchun. Dekartning qiziqishlari faqat matematika bilan cheklanmaydi, balki mexanika, optika va biologiyani o'z ichiga oladi. 1649 yilda Dekart ko'p ikkilanishlardan so'ng Shvetsiyaga ko'chib o'tdi. Bu qaror uning sog'lig'i uchun halokatli bo'lib chiqdi. Olti oy o'tgach, Dekart pnevmoniyadan vafot etdi.

6) Kengashda ishlash:

1. Tenglamani yeching

A) x 4 ∙ (x 5) 2 / x 20: x 8 = 49

B) (t 7 ∙ t 17 ): (t 0 ∙ t 21 )= -125

2.Ifodaning qiymatini hisoblang:

(5-x) 2 -2x 3 +3x 2 -4x+x-x 0

a) x=-1 da

b) x=2 da mustaqil ravishda

7) 3-sonli kartani oling va testdan o'ting

Variant 1

Variant 2.

1. 2 quvvat taqsimotini bajaring 17 : 2 5 2 12 2 45 2. Uni (x+y)(x+y)= daraja sifatida yozing x 2 +y 2 (x+y) 2 2(x+y) 3. O'zgartirish * daraja shundayki tenglik a 5 · * =a 15 a 10 a 3 (a 7) 5? a) a 12 b) 5 c) 35 3 = 8 15 8 12 6. Kasrning qiymatini toping

1. Vakolatlarni taqsimlashni 9-ga bajaring 9 : 9 7 9 16 9 63 2. Uni daraja (x-y)(x-y)=… shaklida yozing. x 2 -y 2 (x-y) 2 2(x-y) 3. O'zgartirish * tenglik saqlanib qolishi uchun daraja b 9 · * = b 18 b 17 b 1 1 4. Ifodaning qiymati qanday(6 bilan) 4? a) 10 dan b) 6 dan c) 24 dan 5. Taklif etilgan variantlardan * ning tengligida (*) almashtirilishi mumkin bo'lgan variantni tanlang. 3 = 5 24 5 21 6. Kasrning qiymatini toping

Bir-biringizning ishini tekshiring va o'rtoqlaringizni baho varag'ida baholang.

1 variant	A	b	b	Bilan	b	3
Variant 2	A	b	Bilan	Bilan	A	4

Kuchli talabalar uchun qo'shimcha vazifalar

Har bir vazifa alohida baholanadi.

Ifodaning ma'nosini toping:

8) Endi darsimizning samaradorligini ko'rib chiqamiz ( Slayd 19)

Buning uchun topshiriqni bajarayotganda, javoblarga mos keladigan harflarni kesib tashlang.

AOWSTLKRICHGNMO

Ifodani soddalashtiring:

1.	S 4 ∙S 3	5.	(BILAN 2 ) 3 ∙ BILAN 5
2.	(C 5 ) 3	6.	BILAN 6 ∙ BILAN 5 : BILAN 10
3.	11 dan: 6 dan	7.	(BILAN 4 ) 3 ∙C 2
4.	S 5 ∙S 5 : S

Shifr: A - C 7 IN- 15 dan G - BILAN VA - 30 dan TO - 9 dan M - 14 dan N - 13 dan HAQIDA - 12 dan R - 11 dan BILAN - C 5 T - 8 dan H - C 3

Siz qanday so'z bilan keldingiz? JAVOB: Ajoyib! (20-slayd)

Xulosa qilish, baholash, belgilash (21-slayd)

Keling, darsimizni umumlashtiramiz, biz "Tabiiy ko'rsatkichli daraja xususiyatlari" mavzusidagi bilimlarni qanchalik muvaffaqiyatli takrorladik, umumlashtirdik va tizimlashtirdik.

Biz test varaqalarini olamiz va umumiy ballar sonini hisoblaymiz va yakuniy baho qatoriga yozamiz

29-32 ball to'plagan o'rnidan tur: a'lo

25-28 ball: reyting - yaxshi

20-24 ball: baholash - qoniqarli

Men kartalardagi topshiriqlarning to'g'ri bajarilishini yana bir bor tekshirib ko'raman va natijalaringizni ballar varag'ida berilgan ballar bilan solishtiraman. Men baholarni jurnalga qo'yaman

Va baholash darsida faol ishlash uchun:

Bolalar, men sizdan darsdagi faoliyatingizni baholashingizni so'rayman. Kayfiyat varaqasiga belgi qo'ying.

Yozuv varaqasi
Familiyasi Ism		Baho
1. Nazariy qism
2. “Klapperboard” o‘yini
3. Sinov
4. "Shifr"
Qo'shimcha qism
Yakuniy baho:
Hissiy baholash	Men haqimda	Dars haqida
Qoniqarli
Qoniqarsiz

Uy vazifasi (22-slayd)

bilan krossvord tuzing kalit so'z DARAJA. Keyingi darsda biz eng qiziqarli ishlarni ko'rib chiqamiz.

№ 567

Foydalanilgan manbalar ro'yxati

1. “Algebra 7-sinf” darsligi.
2. She'r. http://yandex.ru/yandsearch
3. EMAS. Shchurkova. Madaniyat zamonaviy dars. M.: Rossiya pedagogika agentligi, 1997 yil.
4. A.V. Petrov. Uslubiy va uslubiy asoslar shaxsiy rivojlanish kompyuter ta'limi. Volgograd. "O'zgarish", 2001 yil.
5. A.S. Belkin. Muvaffaqiyatli vaziyat. Uni qanday yaratish kerak. M.: "Ma'rifat", 1991 yil.
6. Informatika va ta’lim № 3. Operatsion fikrlash uslubi, 2003 yil

Oldinroq biz sonning kuchi nima ekanligi haqida gapirgan edik. Unda .. Bor ma'lum xususiyatlar, muammolarni hal qilishda foydali: biz ushbu maqolada ularni va barcha mumkin bo'lgan ko'rsatkichlarni tahlil qilamiz. Ularni qanday isbotlash va amalda to‘g‘ri qo‘llash mumkinligini misollar bilan ham aniq ko‘rsatamiz.

Tabiiy ko'rsatkichli darajaning ilgari tuzilgan tushunchasini eslaylik: bu har biri a ga teng bo'lgan n-sonli omillarning mahsulotidir. Haqiqiy raqamlarni qanday qilib to'g'ri ko'paytirishni ham eslab qolishimiz kerak bo'ladi. Bularning barchasi tabiiy ko'rsatkichli daraja uchun quyidagi xususiyatlarni shakllantirishga yordam beradi:

Ta'rif 1

1. Darajaning asosiy xossasi: a m · a n = a m + n

Quyidagilarga umumlashtirish mumkin: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Asoslari bir xil bo‘lgan darajalar uchun qismning xossasi: a m: a n = a m − n.

3. Mahsulot darajasi xossasi: (a · b) n = a n · b n

Tenglikni quyidagicha kengaytirish mumkin: (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

4. Ko'rsatkichning natural darajaga xosligi: (a: b) n = a n: b n

5. Quvvatni kuchga ko'taring: (a m) n = a m n,

Quyidagilarga umumlashtirish mumkin: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 · n 2 · … · n k

6. Darajani nol bilan solishtiring:

• agar a > 0 bo'lsa, har qanday natural n soni uchun a n noldan katta bo'ladi;
• 0 ga teng bo'lsa, a n ham nolga teng bo'ladi;
• da a< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• da a< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Tenglik a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. a m > a n tengsizlik, m va n bo‘lishi sharti bilan to‘g‘ri bo‘ladi butun sonlar, m n dan katta va a noldan katta va birdan kam emas.

Natijada biz bir nechta tenglikni oldik; agar yuqorida ko'rsatilgan barcha shartlar bajarilsa, ular bir xil bo'ladi. Tenglikning har biri uchun, masalan, asosiy xususiyat uchun siz o'ng va chap tomonlarni almashtirishingiz mumkin: a m · a n = a m + n - m + n = a m · a n bilan bir xil. Ushbu shaklda u ko'pincha ifodalarni soddalashtirish uchun ishlatiladi.

1. Darajaning asosiy xususiyatidan boshlaylik: a m · a n = a m + n tengligi har qanday natural m va n va haqiqiy a uchun to‘g‘ri bo‘ladi. Ushbu bayonotni qanday isbotlash mumkin?

Tabiiy ko'rsatkichli kuchlarning asosiy ta'rifi tenglikni omillar mahsulotiga aylantirish imkonini beradi. Biz shunday rekordni olamiz:

Buni qisqartirish mumkin (ko'paytirishning asosiy xususiyatlarini eslang). Natijada m+n natural ko‘rsatkichli a sonining kuchiga ega bo‘ldik. Shunday qilib, darajaning asosiy xususiyatini bildiruvchi m + n isbotlangan.

Keling, buni tasdiqlovchi aniq bir misolni ko'rib chiqaylik.

1-misol

Shunday qilib, bizda 2 ta asosli ikkita kuch bor. Ularning tabiiy ko'rsatkichlari mos ravishda 2 va 3 ni tashkil qiladi. Bizda tenglik bor: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Keling, ushbu tenglikning haqiqiyligini tekshirish uchun qiymatlarni hisoblaylik.

Kerakli matematik amallarni bajaramiz: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 va 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

Natijada, biz oldik: 2 2 · 2 3 = 2 5. Mulk isbotlangan.

Ko'paytirishning xususiyatlaridan kelib chiqqan holda, biz xossani ko'rsatkichlari natural sonlar va asoslari bir xil bo'lgan uch yoki undan ortiq darajalar shaklida shakllantirish orqali umumlashtirishimiz mumkin. Agar n 1, n 2 va hokazo natural sonlar sonini k harfi bilan belgilasak, to‘g‘ri tenglikni olamiz:

a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k.

2-misol

2. Keyinchalik, bo'lim xossasi deb ataladigan va bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalarga xos bo'lgan quyidagi xususiyatni isbotlashimiz kerak: bu a m tengligi: a n = a m - n, har qanday natural m va n (va m) uchun amal qiladi. n)) va har qanday nolga teng bo'lmagan real a dan katta.

Boshlash uchun, keling, formulada ko'rsatilgan shartlarning ma'nosi nima ekanligini aniqlaylik. Agar biz nolga teng bo'lsak, biz nolga bo'linish bilan yakunlaymiz, biz buni qila olmaymiz (oxir-oqibat, 0 n = 0). Tabiiy ko‘rsatkichlar chegarasida qolishimiz uchun m soni n dan katta bo‘lishi sharti zarur: m dan n ni ayirib, natural sonni olamiz. Agar shart bajarilmasa, biz manfiy son yoki nolga ega bo'lamiz va yana tabiiy ko'rsatkichlar bilan darajalarni o'rganishdan tashqariga chiqamiz.

Endi biz dalillarga o'tishimiz mumkin. Biz ilgari o'rgangan narsalarimizdan kasrlarning asosiy xossalarini eslaylik va tenglikni quyidagicha shakllantiramiz:

a m - n · a n = a (m - n) + n = a m

Undan shunday xulosa chiqarishimiz mumkin: a m - n · a n = a m

Keling, bo'linish va ko'paytirish o'rtasidagi bog'liqlikni eslaylik. Bundan kelib chiqadiki, a m - n - a m va a n darajalarning ko'rsatkichi. Bu darajaning ikkinchi xususiyatining isbotidir.

3-misol

Aniqlik uchun aniq raqamlarni ko'rsatkichlarga almashtiramiz va daraja asosini p : p 5: p 2 = p 5 - 3 = p 3 deb belgilaymiz.

3. Keyinchalik mahsulotning kuch xususiyatini tahlil qilamiz: (a · b) n = a n · b n har qanday haqiqiy a va b va tabiiy n uchun.

Tabiiy ko'rsatkichli kuchning asosiy ta'rifiga ko'ra, biz tenglikni quyidagicha qayta shakllantirishimiz mumkin:

Ko'paytirishning xususiyatlarini eslab, biz yozamiz: . Bu n · b n bilan bir xil degan ma'noni anglatadi.

4-misol

2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4

Agar bizda uchta yoki undan ko'p omillar mavjud bo'lsa, unda bu xususiyat bu holatga ham tegishli. Omillar soni uchun k belgisini kiritamiz va yozamiz:

(a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

5-misol

Muayyan raqamlar bilan biz quyidagi to'g'ri tenglikni olamiz: (2 · (- 2, 3) · a) 7 = 2 7 · (- 2, 3) 7 · a

4. Shundan so'ng biz qismning xossasini isbotlashga harakat qilamiz: (a: b) n = a n: b n har qanday haqiqiy a va b uchun, agar b 0 ga teng bo'lmasa va n natural son bo'lsa.

Buni isbotlash uchun siz darajalarning oldingi xususiyatidan foydalanishingiz mumkin. Agar (a: b) n · b n = ((a: b) · b) n = a n va (a: b) n · b n = a n bo‘lsa, u holda (a: b) n bo‘linish ko‘rsatkichi hisoblanadi. a n by b n.

6-misol

Misol hisoblaymiz: 3 1 2: - 0. 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

7-misol

Darhol misol bilan boshlaylik: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

Keling, tenglik to'g'ri ekanligini isbotlaydigan tengliklar zanjirini tuzamiz:

Agar biz misolda daraja darajalariga ega bo'lsak, bu xususiyat ular uchun ham to'g'ri keladi. Agar bizda p, q, r, s natural sonlari bo'lsa, u to'g'ri bo'ladi:

a p q y s = a p q y s

8-misol

Keling, ba'zi xususiyatlarni qo'shamiz: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. Biz isbotlashimiz kerak bo'lgan natural ko'rsatkichli darajalarning yana bir xossasi taqqoslash xususiyatidir.

Birinchidan, darajani nolga solishtiramiz. Nima uchun a 0 dan katta bo'lsa, a n > 0 bo'ladi?

Agar bitta ijobiy sonni boshqasiga ko'paytirsak, biz ham ijobiy sonni olamiz. Bu haqiqatni bilib, biz bu omillar soniga bog'liq emasligini aytishimiz mumkin - har qanday ijobiy sonlarni ko'paytirish natijasi ijobiy sondir. Agar raqamlarni ko'paytirish natijasi bo'lmasa, qanday daraja? U holda musbat asos va tabiiy ko'rsatkichga ega bo'lgan har qanday a n kuch uchun bu to'g'ri bo'ladi.

9-misol

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 va 34 9 13 51 > 0

Bundan tashqari, asosi nolga teng bo'lgan kuchning o'zi nolga teng ekanligi aniq. Qaysi kuchni nolga ko'tarmasak ham, u nol bo'lib qoladi.

10-misol

0 3 = 0 va 0 762 = 0

Agar daraja asosi manfiy son bo'lsa, unda isbotlash biroz murakkabroq, chunki juft/toq ko'rsatkich tushunchasi muhim bo'ladi. Avval ko‘rsatkich juft bo‘lgan holatni olaylik va uni 2 · m deb belgilaymiz, bu yerda m natural sondir.

Keling, salbiy sonlarni qanday qilib to'g'ri ko'paytirishni eslaylik: a · a mahsuloti modullarning ko'paytmasiga teng va shuning uchun u ijobiy son bo'ladi. Keyin a 2 m darajasi ham ijobiydir.

11-misol

Masalan, (− 6) 4 > 0, (− 2, 2) 12 > 0 va - 2 9 6 > 0

Agar manfiy asosli ko'rsatkich toq son bo'lsa-chi? Uni 2 · m − 1 deb belgilaymiz.

Keyin

Ko'paytirish xossalariga ko'ra barcha a · a ko'paytmalari musbat bo'lib, ularning hosilasi ham ijobiydir. Ammo agar biz uni qolgan yagona a soniga ko'paytirsak, yakuniy natija manfiy bo'ladi.

Keyin biz olamiz: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Buni qanday isbotlash mumkin?

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

12-misol

Masalan, quyidagi tengsizliklar to'g'ri: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Biz faqat oxirgi xossani isbotlashimiz kerak: agar bizda asoslari bir xil va musbat, ko‘rsatkichlari natural sonlar bo‘lgan ikkita kuch bo‘lsa, unda ko‘rsatkichi kichikroq bo‘lgani katta bo‘ladi; va tabiiy koʻrsatkichlari va bir xil asoslari birdan katta boʻlgan ikki darajaning koʻrsatkichi katta boʻlgani katta boʻladi.

Keling, ushbu bayonotlarni isbotlaylik.

Avvalo, biz ishonch hosil qilishimiz kerak a m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Qavslar ichidan n ni chiqaramiz, shundan so'ng bizning farqimiz a n · (a m - n - 1) ko'rinishini oladi. Uning natijasi salbiy bo'ladi (chunki musbat sonni manfiy songa ko'paytirish natijasi salbiy). Axir, dastlabki shartlarga ko'ra, m - n > 0, keyin a m - n - 1 manfiy, birinchi omil esa ijobiy asosga ega bo'lgan har qanday tabiiy kuch kabi ijobiydir.

Ma'lum bo'lishicha, a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Yuqorida keltirilgan fikrning ikkinchi qismini isbotlash qoladi: a m > a m > n va a > 1 uchun to‘g‘ri. Farqni ko rsatamiz va qavs ichidan n ni chiqaramiz: (a m − n − 1).Birdan katta uchun n ning kuchi ijobiy natija beradi; va farqning o'zi ham boshlang'ich shartlar tufayli ijobiy bo'lib chiqadi va a > 1 uchun a m - n daraja birdan katta. Ma’lum bo‘lishicha, a m − a n > 0 va a m > a n ni isbotlashimiz kerak edi.

13-misol

Muayyan raqamlarga misol: 3 7 > 3 2

Butun darajali darajalarning asosiy xossalari

Musbat butun ko'rsatkichli darajalar uchun xossalar o'xshash bo'ladi, chunki musbat butun sonlar natural sonlardir, demak, yuqorida isbotlangan barcha tengliklar ular uchun ham to'g'ri keladi. Ular ko'rsatkichlar manfiy yoki nolga teng bo'lgan holatlar uchun ham mos keladi (agar daraja asosining o'zi nolga teng bo'lmasa).

Shunday qilib, darajalarning xossalari har qanday a va b asoslar (agar bu sonlar haqiqiy bo'lsa va 0 ga teng bo'lmasa) va har qanday ko'rsatkichlar m va n (agar ular butun son bo'lsa) uchun bir xil bo'ladi. Keling, ularni qisqacha formulalar shaklida yozamiz:

Ta'rif 2

1. a m · a n = a m + n

2. a m: a n = a m - n

3. (a · b) n = a n · b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (a m) n = a m n

6. a n< b n и a − n >b - n musbat butun n, musbat a va b, a bo'ysunadi< b

7:00< a n , при условии целых m и n , m >n va 0< a < 1 , при a >1 a m > a n.

Agar daraja asosi nolga teng bo'lsa, u holda a m va a n yozuvlari faqat tabiiy va musbat m va n holatlarida ma'noga ega bo'ladi. Natijada, yuqoridagi formulalar, agar boshqa barcha shartlar bajarilgan bo'lsa, nol asosga ega bo'lgan kuchga ega bo'lgan holatlar uchun ham mos kelishini aniqlaymiz.

Bu holda bu xususiyatlarning dalillari oddiy. Tabiiy va butun ko'rsatkichli daraja nima ekanligini, shuningdek, haqiqiy sonlar bilan operatsiyalarning xususiyatlarini eslab qolishimiz kerak.

Keling, kuch-quvvat xususiyatini ko'rib chiqamiz va uning musbat va musbat bo'lmagan butun sonlar uchun to'g'ri ekanligini isbotlaymiz. Keling, (a p) q = a p · q, (a − p) q = a (− p) · q, (a p) − q = a p · (− q) va (a − p) − q tengliklarini isbotlashdan boshlaylik. = a (− p) · (− q)

Shartlar: p = 0 yoki natural son; q - o'xshash.

Agar p va q qiymatlari 0 dan katta bo'lsa, biz (a p) q = a p · q ni olamiz. Biz allaqachon shunga o'xshash tenglikni isbotlaganmiz. Agar p = 0 bo'lsa, u holda:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Demak, (a 0) q = a 0 q

q = 0 uchun hamma narsa bir xil:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Natija: (a p) 0 = a p · 0 .

Agar ikkala ko'rsatkich ham nolga teng bo'lsa, u holda (a 0) 0 = 1 0 = 1 va a 0 · 0 = a 0 = 1, ya'ni (a 0) 0 = a 0 · 0.

Keling, yuqorida isbotlangan darajada bo'laklarning xossasini eslaylik va yozamiz:

1 a p q = 1 q a p q

Agar 1 p = 1 1 … 1 = 1 va a p q = a p q bo‘lsa, u holda 1 q a p q = 1 a p q bo‘ladi.

Bu belgini ko'paytirishning asosiy qoidalari tufayli a (− p) · q ga o'zgartirishimiz mumkin.

Shuningdek: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p · q = a - (p · q) = a p · (- q) .

Va (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Darajaning qolgan xossalari xuddi shunday tarzda mavjud tengsizliklarni o'zgartirish orqali isbotlanishi mumkin. Biz bu haqda batafsil to'xtalib o'tirmaymiz, faqat qiyin tomonlarini ko'rsatamiz.

Oxirgidan oldingi xususiyatning isboti: esda tutingki, a - n > b - n har qanday manfiy butun sonlar n va har qanday musbat a va b uchun to'g'ri bo'ladi, agar a b dan kichik bo'lsa.

Keyin tengsizlikni quyidagicha o'zgartirish mumkin:

1 a n > 1 b n

Keling, o'ng va chap tomonlarni farq sifatida yozamiz va kerakli o'zgarishlarni bajaramiz:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n · b n

Eslatib o'tamiz, a shartida b dan kichik bo'lsa, u holda tabiiy ko'rsatkichli daraja ta'rifiga ko'ra: - a n.< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n ijobiy son bo'lib tugaydi, chunki uning omillari ijobiydir. Natijada, bizda b n - a n a n · b n kasr mavjud bo'lib, u ham pirovardida ijobiy natija beradi. Demak, 1 a n > 1 b n bu yerdan a − n > b − n , buni isbotlashimiz kerak edi.

Butun darajali darajalarning oxirgi xossasi natural darajali darajalarning xossasi kabi isbotlangan.

Ratsional darajali darajalarning asosiy xossalari

Oldingi maqolalarda biz ratsional (kasr) ko'rsatkichli daraja nima ekanligini ko'rib chiqdik. Ularning xossalari butun darajali darajalar bilan bir xil. Keling, yozamiz:

Ta'rif 3

1. a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 uchun a > 0 va agar m 1 n 1 > 0 va m 2 n 2 > 0 bo‘lsa, a ≥ 0 uchun (mahsulot xossasi) bir xil asoslarga ega darajalar).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2, agar a > 0 bo‘lsa (bo‘lim xossasi).

3. a > 0 va b > 0 uchun a · b m n = a m n · b m n va agar m 1 n 1 > 0 va m 2 n 2 > 0 bo‘lsa, u holda a ≥ 0 va (yoki) b ≥ 0 (mahsulot xossasi kasr darajasi).

4. a: b m n = a m n: a > 0 va b > 0 uchun b m n, agar m n > 0 bo‘lsa, a ≥ 0 va b > 0 uchun (bo‘limning kasr darajasiga xosligi).

5. a > 0 uchun a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 · m 2 n 2 va agar m 1 n 1 > 0 va m 2 n 2 > 0 bo‘lsa, u holda a ≥ 0 uchun (darajaning xossasi) darajalarda).

6.a p< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0 ; agar p< 0 - a p >b p (kuchlarni teng ratsional ko'rsatkichlar bilan taqqoslash xususiyati).

7.a p< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q 0 da< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

Ushbu qoidalarni isbotlash uchun kasr ko'rsatkichli daraja nima ekanligini, n-darajali arifmetik ildizning xususiyatlari qanday va butun darajali daraja qanday xususiyatlarga ega ekanligini eslashimiz kerak. Keling, har bir mulkni ko'rib chiqaylik.

Kasr ko'rsatkichli daraja qancha bo'lishiga qarab, biz quyidagilarni olamiz:

a m 1 n 1 = a m 1 n 1 va a m 2 n 2 = a m 2 n 2, shuning uchun a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 · a m 2 n 2

Ildizning xususiyatlari bizga tengliklarni olish imkonini beradi:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

Bundan kelib chiqadiki: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Keling, aylantiramiz:

a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Ko'rsatkichni quyidagicha yozish mumkin:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Bu dalil. Ikkinchi xususiyat aynan shu tarzda isbotlangan. Keling, tenglik zanjirini yozamiz:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Qolgan tengliklarning dalillari:

a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

Keyingi xususiyat: a va b ning 0 dan katta har qanday qiymatlari uchun, agar a b dan kichik bo'lsa, a p qanoatlantirilishini isbotlaylik.< b p , а для p больше 0 - a p >b p

Ratsional p sonni m n deb ifodalaymiz. Bunda m butun son, n natural son. Keyin shartlar p< 0 и p >0 m gacha uzaytiriladi< 0 и m >0 . m > 0 va a uchun< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Biz ildiz va chiqish xususiyatidan foydalanamiz: a m n< b m n

a va b ning ijobiy qiymatlarini hisobga olib, biz tengsizlikni m n sifatida qayta yozamiz.< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Xuddi shu tarzda m< 0 имеем a a m >b m, a m n > b m n ni olamiz, bu a m n > b m n va p > b p ma’nosini bildiradi.

Oxirgi mulkni tasdiqlovchi hujjatni taqdim etish biz uchun qoladi. 0 da p va q ratsional sonlar uchun p > q ekanligini isbotlaylik< a < 1 a p < a q , а при a >0 a p > a q rost bo'ladi.

Ratsional p va q sonlarni umumiy maxrajga keltirish va m 1 n va m 2 n kasrlarni olish mumkin.

Bu yerda m 1 va m 2 butun sonlar, n esa natural sondir. Agar p > q bo'lsa, u holda m 1 > m 2 (kasrlarni solishtirish qoidasini hisobga olgan holda). Keyin 0 da< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – tengsizlik a 1 m > a 2 m.

Ularni quyidagicha qayta yozish mumkin:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Keyin siz o'zgarishlarni amalga oshirishingiz va yakunlashingiz mumkin:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Xulosa qilish uchun: p > q va 0 uchun< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Irratsional darajali darajalarning asosiy xossalari

Ratsional darajali darajaga ega bo'lgan yuqorida tavsiflangan barcha xususiyatlarni shunday darajada kengaytirish mumkin. Bu biz oldingi maqolalardan birida bergan uning ta'rifidan kelib chiqadi. Bu xossalarni qisqacha shakllantiramiz (shartlar: a > 0, b > 0, p va q darajalari irratsional sonlar):

Ta'rif 4

1. a p · a q = a p + q

2. a p: a q = a p - q

3. (a · b) p = a p · b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p · q

6.a p< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >b p

7.a p< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0, keyin a p > a q.

Shunday qilib, a > 0 bo'lgan ko'rsatkichlari p va q haqiqiy sonlar bo'lgan barcha darajalar bir xil xususiyatlarga ega.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Raqamning kuchi aniqlangandan so'ng, bu haqda gapirish mantiqan to'g'ri keladi daraja xususiyatlari. Ushbu maqolada biz barcha mumkin bo'lgan ko'rsatkichlarga to'xtalib, sonning kuchining asosiy xususiyatlarini beramiz. Bu erda biz darajalarning barcha xossalarini isbotlaymiz, shuningdek, bu xususiyatlar misollarni echishda qanday ishlatilishini ko'rsatamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Tabiiy darajali darajalarning xossalari

Tabiiy ko'rsatkichli kuchning ta'rifiga ko'ra, a n kuch har biri a ga teng bo'lgan n ta omilning mahsulotidir. Ushbu ta'rifga asoslanib, shuningdek, foydalanish ko'paytirishning xossalari haqiqiy raqamlar , biz quyidagilarni olishimiz va asoslashimiz mumkin natural ko'rsatkichli daraja xossalari:

1. a m ·a n =a m+n darajaning asosiy xossasi, uni umumlashtirish;
2. asoslari bir xil bo'lgan bo'lak darajalarining xossasi a m:a n =a m−n ;
3. mahsulot quvvat xossasi (a·b) n =a n ·b n , uning kengayishi;
4. qismning natural darajaga xossasi (a:b) n =a n:b n ;
5. darajani kuchga (a m) n =a m·n ga oshirish, uni umumlashtirish (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. darajani nolga solishtirish:
   • agar a>0 bo'lsa, har qanday natural n soni uchun a n>0;
   • agar a=0 bo'lsa, a n =0;
   • agar a<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 agar a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. a va b musbat sonlar va a bo'lsa
8. agar m va n natural sonlar m>n bo‘lsa, 0 da 0 a m >a n tengsizlik rost.

Darhol ta'kidlaymizki, barcha yozma tengliklar mavjud bir xil belgilangan shartlarga muvofiq, ularning o'ng va chap qismlari ham almashtirilishi mumkin. Masalan, a m ·a n =a m+n bilan kasrning bosh xossasi ifodalarni soddalashtirish ko‘pincha a m+n =a m ·a n shaklida qo‘llaniladi.

Endi ularning har birini batafsil ko'rib chiqaylik.

Keling, bir xil asoslarga ega bo'lgan ikki daraja ko'paytmasining xossasidan boshlaylik, bu deyiladi darajaning asosiy xususiyati: har qanday haqiqiy a soni va har qanday natural m va n sonlar uchun a m ·a n =a m+n tengligi to‘g‘ri bo‘ladi.

Keling, darajaning asosiy xususiyatini isbotlaylik. Tabiiy ko'rsatkichli daraja ta'rifi bilan a m ·a n ko'rinishdagi bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalar ko'paytmasi ko'paytma sifatida yozilishi mumkin. Ko'paytirishning xossalari tufayli hosil bo'lgan ifodani quyidagicha yozish mumkin , va bu ko'paytma m+n natural ko'rsatkichli a sonining darajasi, ya'ni a m+n. Bu dalilni to'ldiradi.

Keling, darajaning asosiy xususiyatini tasdiqlovchi misol keltiramiz. Bir xil asoslar 2 va tabiiy darajalar 2 va 3 bo'lgan darajalarni olaylik, darajalarning asosiy xususiyatidan foydalanib, 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 tengligini yozishimiz mumkin. 2 2 · 2 3 va 2 5 ifodalarning qiymatlarini hisoblash orqali uning haqiqiyligini tekshiramiz. Eksponentsiyani bajaramiz, biz bor 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 va 2 5 =2·2·2·2·2=32, chunki teng qiymatlar olinadi, u holda 2 2 ·2 3 =2 5 tengligi to'g'ri bo'ladi va u darajaning asosiy xususiyatini tasdiqlaydi.

Ko'paytirish xususiyatlariga asoslangan darajaning asosiy xossasi bir xil asoslar va natural ko'rsatkichlarga ega bo'lgan uch yoki undan ortiq darajalarning mahsulotiga umumlashtirilishi mumkin. Demak, n 1, n 2, …, n k natural sonlarning istalgan k soni uchun quyidagi tenglik to‘g‘ri bo‘ladi: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Masalan, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Biz tabiiy ko'rsatkich bilan kuchlarning keyingi xususiyatiga o'tishimiz mumkin - asoslari bir xil bo'lgan bo'linma darajalarining xossasi: har qanday nolga teng bo‘lmagan haqiqiy son a va m>n shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy natural m va n sonlar uchun a m:a n =a m−n tenglik to‘g‘ri bo‘ladi.

Ushbu xususiyatning isbotini taqdim etishdan oldin, keling, formuladagi qo'shimcha shartlarning ma'nosini muhokama qilaylik. Nolga bo'linmaslik uchun a≠0 sharti zarur, chunki 0 n =0 va bo'linish bilan tanishganimizda biz nolga bo'linmasligimizga kelishib oldik. Tabiiy ko'rsatkichlardan tashqariga chiqmaslik uchun m>n sharti kiritilgan. Darhaqiqat, m>n uchun a m−n ko‘rsatkichi natural son, aks holda u nol (m−n uchun sodir bo‘ladi) yoki manfiy son (m uchun sodir bo‘ladi) bo‘ladi.

Isbot. Kasrning asosiy xossasi tenglikni yozishga imkon beradi a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Hosil boʻlgan tenglikdan a m−n ·a n =a m boʻladi va bundan kelib chiqadiki, m−n a m va a n darajalarning qismidir. Bu bir xil asoslarga ega bo'lgan bo'linma darajalarining xususiyatini isbotlaydi.

Keling, misol keltiraylik. Bir xil p asoslari va natural ko'rsatkichlari 5 va 2 bo'lgan ikkita darajani olaylik, p 5:p 2 =p 5−3 =p 3 tenglik darajaning ko'rib chiqilgan xususiyatiga mos keladi.

Endi ko'rib chiqaylik mahsulot quvvat xususiyati: har qanday ikkita haqiqiy a va b sonlar koʻpaytmasining n natural kuchi a n va b n darajalar koʻpaytmasiga teng, yaʼni (a·b) n =a n ·b n .

Darhaqiqat, bizda tabiiy ko'rsatkichli daraja ta'rifi mavjud . Ko'paytirishning xususiyatlariga asoslanib, oxirgi mahsulot sifatida qayta yozilishi mumkin , bu a n · b n ga teng.

Mana bir misol: .

Bu xususiyat uch yoki undan ortiq omillar mahsulotining kuchiga tarqaladi. Ya'ni, k omil ko'paytmasining n natural daraja xossasi quyidagicha yoziladi (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Aniqlik uchun biz ushbu xususiyatni misol bilan ko'rsatamiz. Uch omilning ko'paytmasi uchun 7 ning kuchiga egamiz.

Quyidagi mulk naturadagi ko'rsatkichning mulki: a va b haqiqiy sonlar, b≠0 n natural darajaga nisbati a n va b n darajalar qismiga teng, ya’ni (a:b) n =a n:b n.

Isbotlash oldingi xususiyat yordamida amalga oshirilishi mumkin. Shunday qilib (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, va (a:b) n ·b n =a n tengligidan kelib chiqadiki, (a:b) n a n ning b n ga bo‘lingan qismidir.

Keling, ushbu xususiyatni misol sifatida aniq raqamlar yordamida yozamiz: .

Endi ovoz chiqarib aytaylik kuchni kuchga ko'tarish xususiyati: har qanday haqiqiy a soni va har qanday m va n natural sonlar uchun a m ning n darajali darajasi m·n ko‘rsatkichli a sonining kuchiga teng, ya’ni (a m) n =a m·n.

Masalan, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Kuch-darajali mulkning isboti quyidagi tenglik zanjiri hisoblanadi: .

Ko'rib chiqilayotgan mulk bir darajaga qadar kengaytirilishi mumkin va hokazo. Masalan, p, q, r va s har qanday natural sonlar uchun tenglik . Aniqroq bo'lishi uchun ma'lum raqamlarga misol keltiramiz: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Darajani tabiiy ko'rsatkich bilan taqqoslash xususiyatlariga to'xtalib o'tish kerak.

Keling, nol va quvvatni natural ko‘rsatkich bilan solishtirish xossasini isbotlashdan boshlaylik.

Birinchidan, har qanday a>0 uchun a n >0 ekanligini isbotlaymiz.

Ikki musbat sonning mahsuloti ko'paytirishning ta'rifidan kelib chiqqan holda musbat sondir. Bu haqiqat va ko'paytirishning xususiyatlari shuni ko'rsatadiki, har qanday musbat sonlarni ko'paytirish natijasi ham ijobiy son bo'ladi. Tabiiy ko'rsatkichi n bo'lgan a sonining kuchi, ta'rifiga ko'ra, har biri a ga teng bo'lgan n ta omilning mahsulotidir. Bu argumentlar har qanday musbat a asosi uchun a n darajasi musbat son ekanligini ta’kidlashga imkon beradi. Tasdiqlangan xususiyat tufayli 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 va .

Ko'rinib turibdiki, a=0 bo'lgan har qanday natural n soni uchun n ning darajasi nolga teng. Haqiqatan ham, 0 n =0·0·…·0=0 . Masalan, 0 3 =0 va 0 762 =0.

Keling, darajaning salbiy asoslariga o'tamiz.

Ko'rsatkich juft son bo'lgan holatdan boshlaymiz, uni 2·m deb belgilaymiz, bu erda m - natural son. Keyin . a·a ko`rinishdagi mahsulotlarning har biri uchun a va a sonlari modullarining ko`paytmasiga teng bo`ladi, demak u musbat sondir. Shuning uchun mahsulot ham ijobiy bo'ladi va daraja a 2·m. Misollar keltiramiz: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 va .

Nihoyat, a asosi manfiy son va ko‘rsatkichi toq son 2 m−1 bo‘lsa, u holda . Barcha a·a ko'paytmalari musbat sonlar bo'lib, bu musbat sonlarning ko'paytmasi ham musbat bo'lib, uni qolgan manfiy a soniga ko'paytirish manfiy songa olib keladi. Bu xususiyat tufayli (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Keling, quyidagi formulaga ega bo'lgan bir xil natural ko'rsatkichlarga ega bo'lgan darajalarni taqqoslash xususiyatiga o'tamiz: bir xil natural ko'rsatkichlarga ega bo'lgan ikkita darajaning n asosi kichikroq bo'lganidan kichik va kattaligi kattaroqdir. . Keling, buni isbotlaylik.

Tengsizlik a n tengsizliklar xossalari a n ko'rinishdagi isbotlanadigan tengsizlik ham to'g'ri (2.2) 7 va .

Tabiiy ko'rsatkichlari bo'lgan kuchlarning oxirgi sanab o'tilgan xususiyatlarini isbotlash uchun qoladi. Keling, uni shakllantiramiz. Tabiiy ko'rsatkichlari va bir xil musbat asoslari birdan kichik bo'lgan ikkita darajaning ko'rsatkichi kichik bo'lgani katta bo'ladi; va tabiiy koʻrsatkichlari va bir xil asoslari birdan katta boʻlgan ikki darajaning koʻrsatkichi katta boʻlgani katta boʻladi. Keling, ushbu mulkning isbotiga o'tamiz.

m>n va 0 uchun buni isbotlaylik m>n boshlang'ich sharti tufayli 0, ya'ni 0 da

Mulkning ikkinchi qismini isbotlash uchun qoladi. m>n va a>1 uchun a m >a n to‘g‘ri ekanligini isbotlaylik. Qavs ichidan a n olingandan keyin a m −a n farqi a n ·(a m−n −1) ko‘rinishini oladi. Bu ko'paytma musbat, chunki a>1 uchun a n daraja musbat son, a m−n −1 farqi esa musbat son, chunki boshlang'ich shartga ko'ra m−n>0, a>1 uchun esa daraja. a m−n bir dan katta. Binobarin, a m −a n >0 va a m >a n, bu isbotlanishi kerak edi. Bu xossa 3 7 >3 2 tengsizlik bilan tasvirlangan.

Butun darajali darajalar xossalari

Musbat butun sonlar natural sonlar ekan, u holda musbat butun koʻrsatkichli darajalarning barcha xossalari avvalgi xatboshida sanab oʻtilgan va isbotlangan natural koʻrsatkichli darajalarning xossalariga toʻliq mos keladi.

Biz butun manfiy ko'rsatkichli darajani, shuningdek, nol ko'rsatkichli darajani shunday aniqladikki, tenglik bilan ifodalangan tabiiy darajali darajalarning barcha xossalari o'z kuchida qoladi. Shuning uchun, bu xususiyatlarning barchasi nol ko'rsatkichlar uchun ham, manfiy ko'rsatkichlar uchun ham amal qiladi, albatta, darajalarning asoslari noldan farq qiladi.

Shunday qilib, har qanday haqiqiy va nolga teng bo'lmagan a va b sonlar, shuningdek, m va n butun sonlar uchun quyidagilar to'g'ri bo'ladi: butun darajali darajalarning xossalari:

1. a m ·a n =a m+n ;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (a·b) n =a n ·b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n =a m·n ;
6. agar n musbat butun son bo'lsa, a va b musbat sonlar va a b-n;
7. agar m va n butun sonlar va m>n bo'lsa, u holda 0 da 1 a m >a n tengsizlik amal qiladi.

a=0 bo‘lganda, a m va a n darajalari m va n ham musbat butun sonlar, ya’ni natural sonlar bo‘lgandagina mantiqiy bo‘ladi. Shunday qilib, hozirgina yozilgan xossalar a=0 va m va n sonlar musbat sonlar bo'lgan holatlar uchun ham amal qiladi.

Ushbu xususiyatlarning har birini isbotlash qiyin emas, buning uchun tabiiy va butun ko'rsatkichlar bilan darajalarning ta'riflaridan, shuningdek, haqiqiy sonlar bilan amallar xossalaridan foydalanish kifoya. Misol tariqasida, kuch-quvvat xususiyati ham musbat, ham musbat bo'lmagan butun sonlar uchun amal qilishini isbotlaylik. Buning uchun agar p nol yoki natural son va q nol yoki natural son bo'lsa, u holda (a p) q =a p·q, (a -p) q =a (−p) tengliklarni ko'rsatish kerak. ·q, (a p ) −q =a p·(−q) va (a −p) −q =a (−p)·(−q). Keling buni bajaramiz.

Ijobiy p va q uchun (a p) q =a p·q tengligi oldingi paragrafda isbotlangan. Agar p=0 bo'lsa, bizda (a 0) q =1 q =1 va 0·q =a 0 =1 bo'ladi, bundan (a 0) q =a 0·q. Xuddi shunday, agar q=0 bo'lsa, (a p) 0 =1 va a p·0 =a 0 =1, bundan (a p) 0 =a p·0. Agar ikkala p=0 va q=0 bo'lsa, u holda (a 0) 0 =1 0 =1 va a 0·0 =a 0 =1, bundan (a 0) 0 =a 0·0 bo'ladi.

Endi (a −p) q =a (−p)·q ekanligini isbotlaymiz. Demak, manfiy butun ko'rsatkichli kuchning ta'rifi bo'yicha . Quvvatlarga nisbatlar xossasi bilan bizda mavjud . Chunki 1 p =1·1·…·1=1 va , u holda . Oxirgi ifoda, taʼrifiga koʻra, a −(p·q) koʻrinishdagi quvvat boʻlib, uni koʻpaytirish qoidalariga koʻra (−p)·q shaklida yozish mumkin.

Xuddi shunday .

VA .

Xuddi shu printsipdan foydalanib, siz darajaning boshqa barcha xususiyatlarini tenglik shaklida yozilgan butun ko'rsatkich bilan isbotlashingiz mumkin.

Ro'yxatga olingan xususiyatlarning oxirgi qismida har qanday manfiy butun -n va a sharti bajariladigan har qanday musbat a va b uchun amal qiladigan a -n >b -n tengsizligining isbotiga to'xtalib o'tish kerak. . Chunki shartga ko'ra a 0 . a n · b n ko'paytma ham a n va b n musbat sonlarning ko'paytmasi sifatida musbat bo'ladi. Keyin hosil bo'lgan kasr b n -a n va a n ·b n musbat sonlarning qismi sifatida musbat bo'ladi. Demak, a −n >b −n qaerdan kelib chiqdi, bu isbotlanishi kerak bo‘lgan narsa.

Butun darajali darajalarning oxirgi xossasi natural darajali darajalarning o‘xshash xossasi kabi isbotlanadi.

Ratsional darajali darajalar xossalari

Biz kasr ko‘rsatkichi bo‘lgan darajani butun ko‘rsatkichli daraja xossalarini kengaytirish orqali aniqladik. Boshqacha qilib aytganda, kasr darajali darajalar butun darajali darajalar bilan bir xil xususiyatlarga ega. Aynan:

Kasr ko'rsatkichli darajalarning xossalarini isbotlash kasr ko'rsatkichli darajani va butun ko'rsatkichli darajani aniqlashga asoslangan. Keling, dalillar keltiraylik.

Kasr ko'rsatkichli kuchning ta'rifi bo'yicha va , keyin . Arifmetik ildizning xossalari quyidagi tengliklarni yozish imkonini beradi. Bundan tashqari, butun ko'rsatkichli darajaning xususiyatidan foydalanib, biz ni olamiz, undan kasr ko'rsatkichli darajani aniqlash orqali biz hosil bo'lamiz. , va olingan daraja ko'rsatkichi quyidagicha o'zgartirilishi mumkin: . Bu dalilni to'ldiradi.

Kasr ko'rsatkichli darajalarning ikkinchi xossasi mutlaqo o'xshash tarzda isbotlangan:

Qolgan tengliklar shunga o'xshash printsiplar yordamida isbotlangan:

Keling, keyingi mulkni isbotlashga o'taylik. Har qanday musbat a va b, a uchun ekanligini isbotlaymiz b p . Ratsional p sonni m/n deb yozamiz, bunda m butun son, n natural son. Shartlar p<0 и p>0 bu holda shartlar m<0 и m>0 mos ravishda. m>0 va a uchun

Xuddi shunday, m uchun<0 имеем a m >b m, qaerdan, ya'ni va a p >b p.

Ro'yxatga olingan xususiyatlarning oxirgisini isbotlash uchun qoladi. 0 da p va q ratsional sonlar uchun p>q ekanligini isbotlaylik 0 – a p >a q tengsizlik. Oddiy kasrlar va ni olsak ham, p va q ratsional sonlarni har doim umumiy maxrajga keltira olamiz, bu yerda m 1 va m 2 butun sonlar, n esa natural sondir. Bunda p>q sharti dan kelib chiqadigan m 1 >m 2 shartga mos keladi. Keyin, 0 da bir xil asoslar va natural ko'rsatkichlar bilan kuchlarni solishtirish xususiyatiga ko'ra 1 – a m 1 >a m 2 tengsizlik. Ildizlarning xossalaridagi bu tengsizliklar shunga mos ravishda qayta yozilishi mumkin Va . Va ratsional ko'rsatkichli darajaning ta'rifi bizga tengsizliklarga o'tishga imkon beradi va shunga mos ravishda. Bu erdan yakuniy xulosa chiqaramiz: p>q va 0 uchun 0 – a p >a q tengsizlik.

Irratsional darajali darajalar xossalari

Irratsional darajali darajani aniqlash usulidan xulosa qilishimiz mumkinki, u ratsional darajali darajalarning barcha xossalariga ega. Demak, har qanday a>0, b>0 va p va q irratsional sonlar uchun quyidagilar to‘g‘ri bo‘ladi irratsional darajali darajalar xossalari:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p;
4. (a:b) p =a p:b p;
5. (a p) q =a p·q ;
6. har qanday musbat a va b sonlar uchun a 0 tengsizlik a p b p ;
7. irratsional sonlar uchun p va q, p>q 0 da 0 – a p >a q tengsizlik.

Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, a>0 uchun har qanday haqiqiy darajali p va q darajalar bir xil xususiyatlarga ega.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Vilenkin N.Ya., Joxov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 5-sinf uchun matematika darslik. ta'lim muassasalari.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 7-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 8-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 9-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. va boshqalar.Algebra va tahlilning boshlanishi: Umumta’lim muassasalarining 10-11-sinflari uchun darslik.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma).