0 bilan trigonometriya. Trigonometriya

Bir vaqtlar maktabda trigonometriyani o'rganish uchun alohida kurs bor edi. Sertifikatda uchta matematik fanlar: algebra, geometriya va trigonometriya bo'yicha baholar mavjud edi.

Keyin, islohotning bir qismi sifatida maktab ta'limi trigonometriya alohida fan sifatida mavjud bo'lishni to'xtatdi. IN zamonaviy maktab Trigonometriya bilan birinchi tanishish 8-sinf geometriya kursida sodir bo'ladi. 10-sinf algebra kursida fanni chuqurroq o‘rganish davom etmoqda.

Sinus, kosinus, tangens va kotangensning ta'riflari birinchi bo'lib geometriyada to'g'ri burchakli uchburchak tomonlari munosabati orqali berilgan.

To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak - bu qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbati.

Kosinus To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati.

Tangent To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak - bu qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati.

Kotangent To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak qo'shni tomonning qarama-qarshi tomoniga nisbati.

Ushbu ta'riflar faqat o'tkir burchaklar uchun amal qiladi (0º dan 90 ° gacha).

Masalan,

ABC uchburchagida, bu erda ∠C=90°, BC A burchakka qarama-qarshi oyoq, AC A burchakka tutashgan oyoq, AB gipotenuza.

10-sinf algebra kursida har qanday burchak (shu jumladan manfiy) uchun sinus, kosinus, tangens va kotangens ta’riflari berilgan.

Radiusi R bo'lgan, markazi koordinatali O(0;0) nuqtasida bo'lgan doirani ko'rib chiqaylik. Aylananing abscissa o'qining musbat yo'nalishi bilan kesishgan nuqtasini P 0 deb belgilaymiz.

Geometriyada burchak ikki nur bilan chegaralangan tekislikning bir qismi sifatida qaraladi. Ushbu ta'rif bilan burchak 0 ° dan 180 ° gacha o'zgaradi.

Trigonometriyada burchak OP 0 nurining boshlang’ich O nuqtasi atrofida aylanishi natijasi sifatida qaraladi.

Shu bilan birga, ular o'tishning ijobiy yo'nalishi sifatida nurni soat miliga teskari yo'nalishda aylantirishni va soat yo'nalishi bo'yicha salbiy deb hisoblashga kelishib oldilar (bu kelishuv Quyoshning Yer atrofida haqiqiy harakati bilan bog'liq).

Masalan, OP 0 nuri O nuqta atrofida soat miliga teskari a burchakka aylantirilsa, P 0 nuqta P a nuqtaga boradi,

a burchagi bilan soat yo'nalishi bo'yicha burilganda - F nuqtaga.

Ushbu ta'rif bilan burchak har qanday qiymatni qabul qilishi mumkin.

Agar OP 0 nurini soat miliga teskari aylantirishda davom etsak, a°+360°, a°+360°·2,...,a°+360°·n burchakdan burilganda, bu yerda n butun son (n∈) d), yana P a nuqtasiga o'tamiz:

Burchaklar gradus va radian bilan o'lchanadi.

1 ° - ishlab chiqilgan burchakning daraja o'lchovining 1/180 qismiga teng burchak.

1 radian - yoy uzunligi aylananing radiusiga teng bo'lgan markaziy burchak:

∠AOB=1 rad.

Radian belgilar odatda yozilmaydi. Darajani belgilash yozuvdan o'tkazib yuborilishi mumkin emas.

Masalan,

P 0 nuqtadan OP 0 nurini O nuqta atrofida soat miliga teskari a burchak bilan aylantirish natijasida olingan P a nuqta P a (x;y) koordinatalariga ega.

P a nuqtadan abtsissa o'qiga perpendikulyar P a A tushiramiz.

OP a A to‘g‘ri burchakli uchburchakda:

P a A - a burchakka qarama-qarshi oyoq,

OA - a burchakka ulashgan oyoq,

OP a gipotenuzadir.

P a A=y, OA=x, OP a =R.

To'g'ri burchakli uchburchakda sinus, kosinus, tangens va kotangensning ta'rifi bo'yicha:

Shunday qilib, ixtiyoriy radiusning kelib chiqishida markazga ega bo'lgan doira holatida sinus burchak a - P a nuqta ordinatasining radius uzunligiga nisbati.

Kosinus burchak a - P a nuqta abtsissasining radius uzunligiga nisbati.

Tangent burchak a - P a nuqta ordinatasining uning abssissasiga nisbati.

Kotangent burchak a - P a nuqta abssissasining uning ordinatasiga nisbati.

Sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlari faqat a qiymatiga bog'liq va R radiusining uzunligiga bog'liq emas (bu doiralarning o'xshashligidan kelib chiqadi).

Shuning uchun R=1 ni tanlash qulay.

Markazi boshida va radiusi R=1 boʻlgan aylana birlik aylana deyiladi.

Ta'riflar

1) Sinus a burchak birlik doiraning P a (x;y) nuqtasining ordinatasi deyiladi:

2) Kosinus a burchak birlik doiraning P a (x;y) nuqtasining abssissasi deyiladi:

3) Tangent burchak a - P a (x;y) nuqta ordinatasining uning abssissasiga nisbati, ya’ni sina va kosa nisbati (bu yerda cosa≠0):

4) kotangent burchak a - P a (x;y) nuqta abssissasining uning ordinatasiga nisbati, ya'ni kosa va sina (bu erda sina≠0):

Shu tarzda kiritilgan ta'riflar bizga nafaqat burchaklarning trigonometrik funktsiyalarini, balki sonli argumentlarning trigonometrik funktsiyalarini ham ko'rib chiqishga imkon beradi (agar sina, kosa, tana va ctga ni burchakning a radiandagi mos trigonometrik funktsiyalari deb hisoblasak, ya'ni a sonining sinusi - a radiandagi burchakning sinusi, a sonining kosinasi - a radiandagi burchakning kosinasi va boshqalar).

Trigonometrik funksiyalarning xossalari 10-11-sinflarda algebra kursida alohida mavzu sifatida o‘rganiladi. Trigonometrik funktsiyalar fizikada keng qo'llaniladi.

Kategoriya: |

"A olish" video kursi sizga kerak bo'lgan barcha mavzularni o'z ichiga oladi muvaffaqiyatli yakunlash 60-65 ball uchun matematikadan yagona davlat imtihoni. To'liq barcha muammolar 1-13 Profil yagona davlat imtihoni matematikada. Matematika bo'yicha asosiy yagona davlat imtihonini topshirish uchun ham javob beradi. Agar siz Yagona davlat imtihonini 90-100 ball bilan topshirmoqchi bo'lsangiz, 1-qismni 30 daqiqada va xatosiz hal qilishingiz kerak!

10-11-sinflar uchun, shuningdek, o'qituvchilar uchun yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik kursi. Matematika bo'yicha yagona davlat imtihonining 1-qismini (birinchi 12 ta masala) va 13-muammoni (trigonometriya) hal qilish uchun kerak bo'lgan hamma narsa. Va bu Yagona davlat imtihonida 70 balldan oshadi va na 100 ball to'plagan talaba, na gumanitar fanlar talabasi ularsiz qila olmaydi.

Barcha kerakli nazariya. Yagona davlat imtihonining tezkor echimlari, tuzoqlari va sirlari. FIPI vazifalar bankining 1-qismining barcha joriy vazifalari tahlil qilindi. Kurs 2018 yilgi Yagona davlat imtihonining talablariga to'liq javob beradi.

Kurs har biri 2,5 soatdan iborat 5 ta katta mavzuni o'z ichiga oladi. Har bir mavzu noldan, sodda va tushunarli tarzda berilgan.

Yuzlab yagona davlat imtihon topshiriqlari. So'z muammolari va ehtimollar nazariyasi. Muammolarni hal qilish uchun oddiy va eslab qolish oson algoritmlar. Geometriya. nazariya, ma'lumotnoma materiali, Yagona davlat imtihonining barcha turlarini tahlil qilish. Stereometriya. Ayyor echimlar, foydali varaqlar, fazoviy tasavvurni rivojlantirish. Trigonometriya noldan muammoga 13. Tiklash o'rniga tushunish. Murakkab tushunchalarning aniq tushuntirishlari. Algebra. Ildizlar, darajalar va logarifmlar, funksiya va hosila. Yagona davlat imtihonining 2-qismining murakkab muammolarini hal qilish uchun asos.

Ushbu darsda biz trigonometrik funktsiyalarni kiritish zarurati qanday paydo bo'lishi va ular nima uchun o'rganilayotganligi, ushbu mavzuda nimani tushunishingiz kerakligi va qayerda uni yaxshiroq bilishingiz kerakligi (texnika nima) haqida gapiramiz. E'tibor bering, texnika va tushunish ikki xil narsadir. Qabul qiling, farq bor: velosiped haydashni o'rganish, ya'ni buni qanday qilishni tushunish yoki professional velosipedchi bo'lish. Biz trigonometrik funktsiyalar nima uchun kerakligini tushunish haqida gaplashamiz.

To'rtta trigonometrik funktsiya mavjud, ammo ularning barchasi identifikatorlar (ularni bog'laydigan tengliklar) yordamida bitta ko'rinishda ifodalanishi mumkin.

To'g'ri burchakli uchburchaklardagi o'tkir burchaklar uchun trigonometrik funktsiyalarning rasmiy ta'riflari (1-rasm).

Sinus To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagi - bu qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbati.

Kosinus To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagi qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati.

Tangent To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagi - bu qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati.

Kotangent To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagi qo'shni tomonning qarama-qarshi tomoniga nisbati.

Guruch. 1. To‘g‘ri burchakli uchburchakning o‘tkir burchagining trigonometrik funksiyalarini aniqlash

Ushbu ta'riflar rasmiydir. Faqat bitta funktsiya mavjud deyish to'g'riroq, masalan, sinus. Agar ular texnologiyada unchalik zarur bo'lmaganda (ko'pincha qo'llanilmaganda), juda ko'p turli xil trigonometrik funktsiyalar kiritilmagan bo'lar edi.

Misol uchun, burchakning kosinusi () qo'shilishi bilan bir xil burchakning sinusiga teng. Bundan tashqari, burchakning kosinusini asosiy trigonometrik identifikatsiyadan foydalanib, har doim bir xil burchakning sinusi orqali belgisiga qadar ifodalash mumkin. Burchakning tangensi sinusning kosinusga nisbati yoki teskari kotangensdir (2-rasm). Ba'zilar kotangentdan umuman foydalanmaydi, uni bilan almashtiradi. Shuning uchun bitta trigonometrik funktsiyani tushunish va u bilan ishlay olish muhimdir.

Guruch. 2. Turli trigonometrik funksiyalar o‘rtasidagi bog‘liqlik

Lekin nima uchun bunday funktsiyalar umuman kerak edi? Ular qanday amaliy muammolarni hal qilish uchun ishlatiladi? Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Ikki kishi ( A Va IN) mashinani ko'lmakdan itarib yuboring (3-rasm). Inson IN mashinani yon tomonga surish mumkin, ammo yordam berishi dargumon A. Boshqa tomondan, uning harakatlarining yo'nalishi asta-sekin o'zgarishi mumkin (4-rasm).

Guruch. 3. IN mashinani yon tomonga suradi

Guruch. 4. IN harakatlari yo'nalishini o'zgartira boshlaydi

Mashinani bir yo'nalishda itarishganda ularning harakatlari eng samarali bo'lishi aniq (5-rasm).

Guruch. 5. Sa'y-harakatlarning eng samarali birgalikdagi yo'nalishi

Narxi qancha IN mashinani kuch yo'nalishi u ta'sir qiladigan kuch yo'nalishiga yaqin bo'lgan darajada itarishga yordam beradi. A, burchakning funktsiyasi bo'lib, uning kosinusu orqali ifodalanadi (6-rasm).

Guruch. 6. Kosinus harakat samaradorligining xarakteristikasi sifatida IN

Agar biz qaysi kuchning kattaligini ko'paytirsak IN, burchakning kosinusida biz uning kuchining u ta'sir qiladigan kuch yo'nalishiga proyeksiyasini olamiz. A. Kuchlar yo'nalishlari orasidagi burchak qanchalik yaqin bo'lsa, qo'shma harakatlar natijasi qanchalik samarali bo'ladi. A Va IN(7-rasm). Agar ular bir xil kuch bilan mashinani qarama-qarshi yo'nalishda itarsa, mashina joyida qoladi (8-rasm).

Guruch. 7. Birgalikda sa'y-harakatlarning samaradorligi A Va IN

Guruch. 8. Qarama-qarshi yo'nalish kuchlarning harakati A Va IN

Nima uchun burchakni (uning yakuniy natijaga qo'shgan hissasini) kosinus (yoki burchakning boshqa trigonometrik funktsiyasi) bilan almashtirishimiz mumkinligini tushunish muhimdir. Aslida, bu quyidagi xususiyatdan kelib chiqadi o'xshash uchburchaklar. Chunki aslida biz quyidagilarni aytamiz: burchakni ikki raqam nisbati bilan almashtirish mumkin (yon-gipotenuza yoki yon tomon). Agar, masalan, turli xil to'g'ri burchakli uchburchaklarning bir xil burchagi uchun bu nisbatlar boshqacha bo'lsa, bu mumkin emas edi (9-rasm).

Guruch. 9. O'xshash uchburchaklardagi teng tomonlar nisbatlari

Misol uchun, agar nisbat va nisbat boshqacha bo'lsa, biz tangens funksiyasini kirita olmas edik, chunki turli xil to'g'ri burchakli uchburchaklardagi bir xil burchak uchun tangens boshqacha bo'lar edi. Ammo shunga o'xshash to'g'ri burchakli uchburchaklar oyoqlarining uzunliklari nisbati bir xil bo'lganligi sababli, funktsiyaning qiymati uchburchakka bog'liq bo'lmaydi, ya'ni o'tkir burchak va uning trigonometrik funktsiyalarining qiymatlari birma-bir.

Aytaylik, biz ma'lum bir daraxtning balandligini bilamiz (10-rasm). Yaqin atrofdagi binoning balandligini qanday o'lchash mumkin?

Guruch. 10. 2-misolning sharti tasviri

Biz shunday nuqta topamizki, bu nuqta orqali chizilgan chiziq va uyning tepasi daraxtning tepasidan o'tadi (11-rasm).

Guruch. 11. 2-misoldagi masala yechimining illyustratsiyasi

Biz bu nuqtadan daraxtgacha bo'lgan masofani, undan uygacha bo'lgan masofani o'lchashimiz mumkin va daraxtning balandligini bilamiz. Proportsiyadan uyning balandligini topishingiz mumkin: .

Proportion ikki son nisbatining tengligidir. Bunday holda, o'xshash to'g'ri burchakli uchburchaklar oyoqlari uzunliklarining nisbati tengligi. Bundan tashqari, bu nisbatlar trigonometrik funktsiya orqali ifodalanadigan burchakning ma'lum bir o'lchamiga tengdir (ta'rifga ko'ra, bu tangens). Biz har bir o'tkir burchak uchun uning trigonometrik funktsiyasining qiymati yagona ekanligini aniqlaymiz. Ya'ni, sinus, kosinus, tangens, kotangens haqiqatan ham funktsiyalardir, chunki har bir o'tkir burchak ularning har birining aniq bir qiymatiga mos keladi. Shunday qilib, ularni qo'shimcha o'rganish va ularning xususiyatlaridan foydalanish mumkin. Barcha burchaklar uchun trigonometrik funktsiyalarning qiymatlari allaqachon hisoblab chiqilgan va ulardan foydalanish mumkin (ularni Bradis jadvallarida topish mumkin yoki istalgan muhandislik kalkulyatori). Lekin biz har doim ham teskari masalani hal qila olmaymiz (masalan, sinus qiymatidan foydalanib, unga mos keladigan burchak o'lchovini tiklash).

Ayrim burchakning sinusi teng yoki taxminan bo'lsin (12-rasm). Ushbu sinus qiymatiga qaysi burchak mos keladi? Albatta, biz yana Bradis jadvalidan foydalanishimiz va qandaydir qiymatni topishimiz mumkin, ammo u yagona bo'lmasligi ma'lum bo'ldi (13-rasm).

Guruch. 12. Burchakni sinusining qiymati bo‘yicha topish

Guruch. 13. Teskari trigonometrik funksiyalarning polisemiyasi

Binobarin, burchakning trigonometrik funktsiyasining qiymatini qayta qurishda teskari trigonometrik funksiyalarning ko'p qiymatli tabiati paydo bo'ladi. Bu qiyin tuyulishi mumkin, lekin aslida biz har kuni shunga o'xshash vaziyatlarga duch kelamiz.

Agar siz derazalarga parda qo'ysangiz va tashqarida yorug'lik yoki qorong'iligini bilmasangiz yoki o'zingizni g'orda ko'rsangiz, uyg'onganingizdan so'ng, tushdan keyin soat birmi, kechasimi yoki aytish qiyin. ertasi kuni (14-rasm). Haqiqatan ham, agar siz bizdan "soat necha?" deb so'rasangiz, biz halol javob berishimiz kerak: "Soat plyus qayerga ko'paytiriladi"

Guruch. 14. Soat misolida polisemiyani tasvirlash

Xulosa qilishimiz mumkinki, bu davr (soat hozirgi vaqtni ko'rsatadigan vaqt oralig'i). Trigonometrik funktsiyalarning ham davrlari bor: sinus, kosinus va boshqalar. Ya'ni, ularning qiymatlari argumentdagi biroz o'zgarishlardan keyin takrorlanadi.

Agar sayyorada kechayu kunduzning o'zgarishi yoki fasllarning o'zgarishi bo'lmasa, biz davriy vaqtdan foydalana olmadik. Axir, biz faqat yillarni o'sish tartibida raqamlaymiz, lekin kunlarning soatlari bor va har bir yangi kun yangidan boshlanadi. Vaziyat oylar bilan bir xil: agar hozir yanvar bo'lsa, bir necha oydan keyin yana yanvar keladi va hokazo. Tashqi mos yozuvlar nuqtalari vaqtni (soatlarni, oylarni), masalan, Yerning o'z o'qi atrofida aylanishini va Quyosh va Oyning osmondagi holatini o'zgartirishni davriy hisoblashda yordam beradi. Agar Quyosh har doim bir xil holatda osilgan bo'lsa, vaqtni hisoblash uchun biz aynan shu hisob boshlangan paytdan boshlab soniyalar (daqiqalar) sonini hisoblaymiz. Sana va vaqt quyidagicha o'qilishi mumkin: milliard soniya.

Xulosa: noaniqlik nuqtai nazaridan hech qanday qiyinchilik yo'q teskari funktsiyalar Yo'q. Darhaqiqat, bir xil sinuslar mavjud bo'lganda variantlar bo'lishi mumkin turli ma'nolar burchak (15-rasm).

Guruch. 15. Burchakni uning sinusi qiymatidan tiklash

Odatda, amaliy masalalarni yechishda biz har doim standart diapazonda ishlaymiz. Ushbu diapazonda trigonometrik funktsiyaning har bir qiymati uchun burchak o'lchovining faqat ikkita mos keladigan qiymati mavjud.

Qum to'kiladigan teshikli chelak shaklidagi harakatlanuvchi kamar va mayatnikni ko'rib chiqing. Sarkaç chayqaladi, lenta harakat qiladi (16-rasm). Natijada, qum sinus (yoki kosinus) funktsiyasining grafigi ko'rinishida iz qoldiradi, bu sinus to'lqin deb ataladi.

Aslida, sinus va kosinusning grafiklari bir-biridan faqat mos yozuvlar nuqtasida farqlanadi (agar siz ulardan birini chizib, keyin koordinata o'qlarini o'chirsangiz, qaysi grafik chizilganligini aniqlay olmaysiz). Shuning uchun, kosinus grafigini grafik deb atashning ma'nosi yo'q (nega xuddi shu grafik uchun alohida nom o'ylab topish kerak)?

Guruch. 16. 4-misoldagi masala qo’yilishining tasviri

Funksiya grafigi ham teskari funksiyalar nima uchun ko'p qiymatlarga ega bo'lishini tushunishga yordam beradi. Agar sinusning qiymati sobit bo'lsa, ya'ni. abscissa o'qiga parallel to'g'ri chiziq chizamiz, keyin kesishmada biz burchakning sinusi berilganga teng bo'lgan barcha nuqtalarni olamiz. Bunday nuqtalarning cheksiz ko'p bo'lishi aniq. Vaqt qiymati bilan farq qilgan soat misolida bo'lgani kabi, faqat bu erda burchak qiymati miqdori bo'yicha farqlanadi (17-rasm).

Guruch. 17. Sinus uchun polisemiyaning tasviri

Agar soat misolini ko'rib chiqsak, u holda nuqta (soat yo'nalishi bo'yicha uchi) aylana bo'ylab harakatlanadi. Trigonometrik funktsiyalarni xuddi shunday aniqlash mumkin - to'g'ri burchakli uchburchakdagi burchaklarni emas, balki aylananing radiusi va o'qning musbat yo'nalishi orasidagi burchakni hisobga oling. Nuqta o'tadigan doiralar soni (biz harakatni soat yo'nalishi bo'yicha minus belgisi bilan, soat miliga teskari yo'nalishda esa ortiqcha belgisi bilan hisoblashni kelishib oldik), bu davr (18-rasm).

Guruch. 18. Doiradagi sinusning qiymati

Shunday qilib, teskari funktsiya ma'lum bir oraliqda yagona aniqlangan. Ushbu oraliq uchun biz uning qiymatlarini hisoblashimiz mumkin va qolgan barcha qiymatlarni topilgan qiymatlardan funktsiya davrini qo'shish va ayirish orqali olishimiz mumkin.

Keling, davrning yana bir misolini ko'rib chiqaylik. Mashina yo'l bo'ylab harakatlanmoqda. Tasavvur qilaylik, uning g'ildiragi bo'yoqqa yoki ko'lmakka tushib ketgan. Vaqti-vaqti bilan yo'lda bo'yoq yoki ko'lmak izlarini ko'rish mumkin (19-rasm).

Guruch. 19. Davr tasviri

Maktab kursida juda ko'p trigonometrik formulalar mavjud, ammo umuman olganda bittasini eslab qolish kifoya (20-rasm).

Guruch. 20. Trigonometrik formulalar

Ikki burchakli formulani yig'indining sinusidan almashtirish orqali ham osongina olish mumkin (xuddi shunday kosinus uchun). Siz mahsulot formulalarini ham olishingiz mumkin.

Aslida, siz juda oz narsani eslab qolishingiz kerak, chunki muammolarni hal qilishda bu formulalarning o'zlari eslab qoladi. Albatta, kimdir ko'p qaror qabul qilish uchun juda dangasa bo'ladi, lekin keyin unga bu texnika kerak bo'lmaydi va shuning uchun formulalar o'zlari.

Va formulalar kerak emasligi sababli, ularni eslab qolishning hojati yo'q. Siz shunchaki trigonometrik funktsiyalar, masalan, ko'priklarni hisoblash uchun ishlatiladigan funktsiyalar degan fikrni tushunishingiz kerak. Deyarli hech qanday mexanizm ularni ishlatmasdan va hisoblamasdan qila olmaydi.

1. Ko'pincha simlar erga mutlaqo parallel bo'lishi mumkinmi degan savol tug'iladi. Javob: yo'q, ular qila olmaydi, chunki bir kuch pastga qarab harakat qiladi va boshqalar parallel ravishda harakat qiladi - ular hech qachon muvozanatlashmaydi (21-rasm).

2. Oqqush, qisqichbaqa va pike bir tekislikda arava tortadi. Oqqush bir yo'nalishda uchadi, qisqichbaqa ikkinchi tomonda, pike uchinchi tomonda (22-rasm). Ularning kuchlari muvozanatli bo'lishi mumkin. Ushbu muvozanatni trigonometrik funktsiyalar yordamida hisoblash mumkin.

3. Kabelli ko'prik (23-rasm). Trigonometrik funktsiyalar kabellar sonini, ularni qanday yo'naltirish va kuchlanishni hisoblashga yordam beradi.

Guruch. 23. Kabelli ko'prik

Guruch. 24. “Springli ko‘prik”

Guruch. 25. Bolshoy Obuxovskiy ko'prigi

Ma-te-ri-a-ly saytiga havolalarInternetUrok

Matematika 6-sinf:

Geometriya 8-sinf:

- -
Odatda, ular birovni QO'RCHAN MATEMATIKA bilan qo'rqitmoqchi bo'lganlarida, juda murakkab va jirkanch narsa sifatida har xil sinus va kosinuslarni misol qilib keltiradilar. Lekin, aslida, bu tushunish va hal qilish mumkin bo'lgan chiroyli va qiziqarli bo'lim.
Mavzu 9-sinfda boshlanadi va hamma narsa birinchi marta har doim ham aniq emas, juda ko'p nozikliklar va fokuslar mavjud. Men mavzu bo'yicha biror narsa aytishga harakat qildim.

Trigonometriya olamiga kirish:
Formulalarga shoshilmasdan oldin, siz geometriyadan sinus, kosinus va boshqalar nima ekanligini tushunishingiz kerak.
Burchak sinusi- qarama-qarshi (burchak) tomonning gipotenuzaga nisbati.
Kosinus- qo'shni gipotenuzaga nisbati.
Tangent- qo'shni tomonga qarama-qarshi tomon
Kotangent- qarama-qarshi tomonga ulashgan.

Endi koordinata tekisligida birlik radiusi doirasini ko'rib chiqing va unda qandaydir burchak alfasini belgilang: (rasmlarni bosish mumkin, hech bo'lmaganda ba'zilari)
-
-
Yupqa qizil chiziqlar aylananing kesishgan nuqtasidan perpendikulyar va ho'kiz va oy o'qidagi to'g'ri burchakdir. Qizil x va y o'qlardagi x va y koordinatalarining qiymatidir (kulrang x va y bu shunchaki chiziqlar emas, balki koordinata o'qlari ekanligini ko'rsatish uchundir).
Shuni ta'kidlash kerakki, burchaklar o'q o'qining musbat yo'nalishidan soat sohasi farqli ravishda hisoblanadi.
Buning uchun sinus, kosinus va hokazolarni topamiz.
sin a: qarama-qarshi tomoni y ga, gipotenuza 1 ga teng.
sin a = y / 1 = y
Men y va 1 ni qayerdan olganimni to'liq tushunish uchun, aniqlik uchun, keling, harflarni tartibga solamiz va uchburchaklarni ko'rib chiqamiz.
- -
AF = AE = 1 - aylananing radiusi.
Shuning uchun radius sifatida AB = 1. AB - gipotenuza.
BD = CA = y - oh qiymati sifatida.
AD = CB = x - ohga ko'ra qiymat sifatida.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Keyingi kosinus:
cos a: qo'shni tomon - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x

Biz ham chiqaramiz tangens va kotangens.
tg a = y / x = sin a / cos a
karyola a = x / y = cos a / sin a
To'satdan biz tangens va kotangens formulasini oldik.

Keling, bu qanday hal qilinishini aniq ko'rib chiqaylik.
Masalan, a = 45 daraja.
olamiz to'g'ri uchburchak bir burchak ostida 45 daraja. Ba'zilar uchun bu teng qirrali uchburchak ekanligi darhol tushunarli, lekin baribir uni tasvirlab beraman.
Uchburchakning uchinchi burchagini topamiz (birinchisi 90, ikkinchisi 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Agar ikkita burchak teng bo'lsa, unda ularning tomonlari teng bo'ladi, bu shunday eshitildi.
Demak, shunday ikkita uchburchakni ustma-ust qo‘shsak, diagonali radius = 1 ga teng bo‘lgan kvadrat hosil bo‘ladi.Pifagor teoremasi bo‘yicha biz bilamizki, tomoni a bo‘lgan kvadratning diagonali teng ikkita ildiz.
Endi biz o'ylaymiz. Agar 1 (gipotenuza aka diagonali) kvadratning tomoniga ikkining ildiziga teng bo'lsa, kvadratning tomoni 1/sqrt(2) ga teng bo'lishi kerak va agar biz bu kasrning payini va maxrajini ko'paytirsak. ikkitaning ildizi bo'yicha biz sqrt(2)/2 ni olamiz. Va uchburchak teng yon tomonli bo'lgani uchun AD = AC => x = y bo'ladi
Trigonometrik funktsiyalarimizni toping:
sin 45 = sqrt (2)/2 / 1 = sqrt (2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2/1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
Qolgan burchak qiymatlari bilan xuddi shu tarzda ishlashingiz kerak. Faqat uchburchaklar teng yonli bo'lmaydi, lekin tomonlarini Pifagor teoremasi yordamida osongina topish mumkin.
Shunday qilib, biz turli burchaklardagi trigonometrik funktsiyalar qiymatlari jadvalini olamiz:
-
-
Bundan tashqari, bu stol aldamchi va juda qulay.
Qanday qilib uni hech qanday qiyinchiliksiz o'zingiz yaratishingiz mumkin: Shunday jadval tuzing va qutilarga 1 2 3 raqamlarini yozing.
-
-
Endi bu 1 2 3 dan siz ildiz olib, 2 ga bo'lasiz. Bu shunday chiqadi:
-
-
Endi sinusni kesib o'tamiz va kosinusni yozamiz. Uning qiymatlari aks ettirilgan sinusdir:
-
-
Tangensni olish juda oson - siz sinus chizig'ining qiymatini kosinus chizig'ining qiymatiga bo'lishingiz kerak:
-
-
Kotangens qiymati tangensning teskari qiymatidir. Natijada biz shunga o'xshash narsani olamiz:
- -

esda tuting bu tangens, masalan, P/2 da mavjud emas. Nima uchun o'ylab ko'ring. (Siz nolga bo'la olmaysiz.)

Bu erda nimani yodda tutishingiz kerak: sinus - y qiymati, kosinus - x qiymati. Tangens y ning x ga nisbati, kotangens esa aksincha. Shunday qilib, sinuslar / kosinuslarning qiymatlarini aniqlash uchun yuqorida tavsiflangan jadvalni va koordinata o'qlari bo'lgan doirani chizish kifoya (qiymatlarga 0, 90 burchak ostida qarash qulay, 180, 360).
- -

Umid qilamanki, siz farqlay olasiz chorak:
- -
Uning sinus, kosinus va boshqalarning belgisi burchakning qaysi chorakda joylashganligiga bog'liq. Garchi, agar siz ikkinchi va uchinchi choraklarda x salbiy, uchinchi va to'rtinchi choraklarda y salbiy ekanligini hisobga olsangiz, mutlaqo ibtidoiy mantiqiy fikrlash sizni to'g'ri javobga olib boradi. Hech narsa qo'rqinchli yoki qo'rqinchli emas.

Menimcha, eslatib o'tish noto'g'ri bo'ladi kamaytirish formulalari alla arvohlar, hamma eshitganidek, haqiqat donasi bor. Bunday formulalar mavjud emas, chunki ular keraksizdir. Ushbu butun harakatning ma'nosi: Biz burchak qiymatlarini faqat birinchi chorak uchun osongina topamiz (30 daraja, 45, 60). Trigonometrik funktsiyalar davriydir, shuning uchun biz har qanday katta burchakni birinchi chorakka sudrab olamiz. Shunda biz darhol uning ma'nosini topamiz. Ammo shunchaki sudrab borishning o'zi etarli emas - siz belgi haqida eslashingiz kerak. Bu qisqartirish formulalari uchun mo'ljallangan.
Demak, bizda katta burchak, to'g'rirog'i 90 darajadan ortiq: a = 120. Va uning sinusi va kosinusini topishimiz kerak. Buning uchun biz 120 ni ishlay oladigan burchaklarga ajratamiz:
sin a = gunoh 120 = gunoh (90 + 30)
Biz bu burchak ikkinchi chorakda yotganini ko'ramiz, u erda sinus musbat, shuning uchun sinus oldidagi + belgisi saqlanib qoladi.
90 darajadan qutulish uchun sinusni kosinusga o'zgartiramiz. Xo'sh, bu siz eslab qolishingiz kerak bo'lgan qoida:
sin (90 + 30) = cos 30 = sqrt (3) / 2
Yoki buni boshqacha tasavvur qilishingiz mumkin:
gunoh 120 = gunoh (180 - 60)
180 darajadan qutulish uchun biz funktsiyani o'zgartirmaymiz.
sin (180 - 60) = sin 60 = sqrt (3) / 2
Biz bir xil qiymatga ega bo'ldik, shuning uchun hamma narsa to'g'ri. Endi kosinus:
cos 120 = cos (90 + 30)
Ikkinchi chorakdagi kosinus salbiy, shuning uchun biz minus belgisini qo'yamiz. Va biz funktsiyani teskarisiga o'zgartiramiz, chunki biz 90 darajani olib tashlashimiz kerak.
cos (90 + 30) = - sin 30 = - 1/2
Yoki:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1/2

Burchaklarni birinchi chorakga o'tkazish uchun nimani bilishingiz kerak, nima qila olasiz va qila olasiz:
- burchakni hazm bo‘ladigan shartlarga ajratish;
-burchak qaysi chorakda ekanligini hisobga olish va bu chorakdagi funktsiya manfiy yoki musbat bo'lsa tegishli belgini qo'yish;
- keraksiz narsalardan xalos bo'ling:
*agar siz 90, 270, 450 va qolgan 90+180n dan xalos bo'lishingiz kerak bo'lsa, bu erda n har qanday butun son bo'lsa, u holda funktsiya teskari bo'ladi (sinus kosinusga, tangens kotangensga va aksincha);
*agar siz 180 va qolgan 180+180n dan xalos bo'lishingiz kerak bo'lsa, bu erda n har qanday butun son bo'lsa, u holda funktsiya o'zgarmaydi. (Bu erda bitta xususiyat bor, lekin buni so'z bilan tushuntirish qiyin, lekin oh yaxshi).
Bo'ldi shu. Menimcha, bir nechta qoidalarni eslab qolish va ulardan osongina foydalanish mumkin bo'lganida, formulalarni o'zlarini yodlashning hojati yo'q. Aytgancha, bu formulalarni isbotlash juda oson:
-
-
Va ular ham noqulay jadvallarni tuzadilar, keyin biz bilamiz:
-
-

Trigonometriyaning asosiy tenglamalari: siz ularni juda, juda yaxshi, yoddan bilishingiz kerak.
Asosiy trigonometrik identifikatsiya(tenglik):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Ishonmasangiz, o‘zingiz tekshirib ko‘rganingiz ma’qul. Turli burchaklarning qiymatlarini almashtiring.
Bu formula juda va juda foydali, uni doimo eslab qoling. uning yordamida siz sinusni kosinus orqali va aksincha ifodalashingiz mumkin, bu ba'zan juda foydali. Ammo, har qanday boshqa formulalar kabi, uni qanday hal qilishni bilishingiz kerak. Har doim esda tutingki, trigonometrik funktsiyaning belgisi burchak joylashgan kvadrantga bog'liq. Shunung uchun ildizni chiqarishda chorakni bilish kerak.

Tangens va kotangens: Biz bu formulalarni boshidanoq olganmiz.
tg a = sin a / cos a
cot a = cos a / sin a

Tangens va kotangensning mahsuloti:
tg a * ctg a = 1
Chunki:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - kasrlar bekor qilinadi.

Ko'rib turganingizdek, barcha formulalar o'yin va kombinatsiyadir.
Birinchi formulaning kosinus kvadratiga va sinus kvadratiga bo'lish natijasida olingan yana ikkitasi:
-
-
Shuni esda tutingki, oxirgi ikkita formuladan a burchagi qiymatini cheklash bilan foydalanish mumkin, chunki siz nolga bo'linmaysiz.

Qo'shimcha formulalar: vektor algebrasi yordamida isbotlangan.
- -
Kamdan kam qo'llaniladi, lekin aniq. Skanerda formulalar mavjud, ammo ular o'qib bo'lmaydigan yoki raqamli shaklni idrok etish osonroq bo'lishi mumkin:
- -

Ikki burchakli formulalar:
Ular qo'shish formulalari asosida olinadi, masalan: qo'sh burchakning kosinusu cos 2a = cos (a + a) - bu sizga biror narsani eslatadimi? Ular shunchaki bettani alfa bilan almashtirdilar.
- -
Ikki keyingi formulalar sin ^ 2 (a) = 1 - cos ^ 2 (a) va cos ^ 2 (a) = 1 - sin ^ 2 (a) ni birinchi almashtirishdan olingan.
Ikki burchakning sinusi oddiyroq va tez-tez ishlatiladi:
- -
Maxsus buzuqlar esa tan a = sin a / cos a va boshqalarni hisobga olsak, qo'sh burchakning tangensi va kotangensini olishlari mumkin.
-
-

Yuqorida sanab o'tilgan shaxslar uchun Uch burchakli formulalar: ular 2a va a burchaklarni qo'shish orqali hosil bo'ladi, chunki biz qo'sh burchak formulalarini allaqachon bilamiz.
-
-

Yarim burchak formulalari:
- -
Ular qanday qilib olinganligini, aniqrog'i, buni qanday tushuntirishni bilmayman ... Agar biz ushbu formulalarni asosiy trigonometrik identifikatsiyani a/2 bilan almashtirib yozsak, u holda javob birlashadi.

Trigonometrik funktsiyalarni qo'shish va ayirish formulalari:
-
-
Ular qo'shimcha formulalardan olinadi, lekin hech kim g'amxo'rlik qilmaydi. Ular tez-tez sodir bo'lmaydi.

Siz tushunganingizdek, hali ham bir nechta formulalar mavjud, ularni ro'yxatlash shunchaki ma'nosiz, chunki men ular haqida etarli narsa yoza olmayman va quruq formulalarni istalgan joyda topish mumkin va ular avvalgi mavjud formulalar bilan o'yin. Hammasi juda mantiqiy va aniq. Men sizga oxirgi marta aytaman yordamchi burchak usuli haqida:
a cosx + b sinx ifodasini Acos(x+) yoki Asin(x+) ko'rinishga aylantirish yordamchi burchak (yoki qo'shimcha argument) kiritish usuli deyiladi. Usul hal qilish uchun ishlatiladi trigonometrik tenglamalar, ekstremum muammolarda funktsiyalarning qiymatlarini baholashda va shuni ta'kidlash kerakki, ba'zi muammolarni yordamchi burchak kiritmasdan hal qilib bo'lmaydi.
Ushbu usulni qanday tushuntirishga harakat qilsangiz ham, hech narsa chiqmadi, shuning uchun buni o'zingiz qilishingiz kerak bo'ladi:
-
-
Qo'rqinchli narsa, lekin foydali. Muammolarni hal qilsangiz, u ishlashi kerak.
Bu yerdan, masalan: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

Kursda keyingi trigonometrik funktsiyalarning grafiklari. Ammo bu bitta dars uchun etarli. Maktabda buni olti oy davomida o'rgatishlarini hisobga olsak.

Savollaringizni yozing, muammolarni hal qiling, ba'zi vazifalarni skanerlashni so'rang, aniqlang, sinab ko'ring.
Har doim sizniki, Den Faraday.

1905 yilda rus o'quvchilari Uilyam Jeymsning "Psixologiya" kitobida uning "Nega o'rganishning yomon usuli?"

“Oddiy eslab o'rganish orqali olingan bilim deyarli muqarrar ravishda izsiz butunlay unutiladi. Aksincha, xotirada asta-sekin, kundan-kunga, turli kontekstlar bilan bog'liq holda, boshqa tashqi hodisalar bilan assotsiativ aloqada bo'lgan va qayta-qayta muhokama qilinadigan aqliy material shunday tizimni tashkil qiladi, bizning hayotimizning boshqa tomonlari bilan shunday bog'lanadi. intellekt ko'plab tashqi holatlar tufayli xotirada osongina tiklanadi, bu uzoq vaqt davomida mustahkam egalik bo'lib qoladi.

O'shandan beri 100 yildan ko'proq vaqt o'tdi va bu so'zlar hayratlanarli darajada dolzarbligicha qolmoqda. Bunga har kuni maktab o‘quvchilari bilan ishlashda amin bo‘lasiz. Bilimlardagi katta bo'shliqlar shunchalik kattaki, buni bahslashish mumkin: didaktik va psixologik nuqtai nazardan maktab matematika kursi tizim emas, balki qisqa muddatli xotirani rag'batlantiradigan va uzoq muddatli xotiraga umuman ahamiyat bermaydigan o'ziga xos qurilmadir. .

Maktab matematika kursini bilish matematikaning har bir yo‘nalishi bo‘yicha materialni o‘zlashtirish, istalgan vaqtda istalganini yangilab turish demakdir. Bunga erishish uchun siz ularning har biri bilan muntazam ravishda bog'lanishingiz kerak, bu ba'zan darsdagi og'ir yuk tufayli har doim ham mumkin emas.

Faktlar va formulalarni uzoq muddatli yodlashning yana bir usuli bor - bu mos yozuvlar signallari.

Trigonometriya maktab matematikasining yirik boʻlimlaridan biri boʻlib, 8, 9-sinflarda geometriya kursida va 9-sinfda algebra, 10-sinfda algebra va elementar tahlil kurslarida oʻrganiladi.

Trigonometriyada o'rganiladigan materialning eng katta hajmi 10-sinfga to'g'ri keladi. Ushbu trigonometriya materialining ko'p qismini o'rganish va yodlash mumkin trigonometrik doira(markazi toʻrtburchaklar koordinatalar sistemasining boshida joylashgan birlik radiusli doira). Ilova 1.ppt

Bular quyidagi trigonometriya tushunchalari:

burchakning sinus, kosinus, tangens va kotangens taʼriflari;
radian burchakni o'lchash;
trigonometrik funktsiyalarning ta'rif sohasi va qiymatlari diapazoni
sonli va burchakli argumentning ba'zi qiymatlari uchun trigonometrik funktsiyalarning qiymatlari;
trigonometrik funksiyalarning davriyligi;
trigonometrik funksiyalarning juftligi va toqligi;
trigonometrik funktsiyalarni oshirish va kamaytirish;
kamaytirish formulalari;
teskari trigonometrik funksiyalarning qiymatlari;
oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish;
oddiy tengsizliklarni yechish;
trigonometriyaning asosiy formulalari.

Keling, ushbu tushunchalarni trigonometrik doirada o'rganishni ko'rib chiqaylik.

1) Sinus, kosinus, tangens va kotangensning ta'rifi.

Trigonometrik aylana (markazi boshida boʻlgan birlik radiusi doirasi), boshlangʻich radiusi (Oks oʻqi yoʻnalishidagi aylananing radiusi) va burilish burchagi tushunchalari bilan tanishgandan soʻng talabalar mustaqil ravishda taʼriflarni oladilar. trigonometrik doiradagi sinus, kosinus, tangens va kotangens uchun kurs geometriyasining ta’riflaridan foydalangan holda, ya’ni gipotenuzasi 1 ga teng bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchakni hisobga olgan holda.

Burchakning kosinusu - aylanadagi nuqtaning boshlang'ich radiusi berilgan burchak bilan aylantirilganda uning abssissasi.

Burchakning sinusi - aylanadagi nuqtaning boshlang'ich radiusi berilgan burchak bilan aylantirilganda uning ordinatasi.

2) Trigonometrik doiradagi burchaklarni radius bilan o‘lchash.

Burchakning radian o'lchovi (1 radian - markaziy burchak, aylananing radiusi uzunligiga teng yoy uzunligiga to'g'ri keladi) bilan tanishib chiqqandan so'ng, talabalar burchakning radian o'lchovi degan xulosaga kelishadi. raqamli qiymat aylana bo'ylab burilish burchagi, uzunligiga teng boshlang'ich radiusni berilgan burchak bilan aylantirganda mos keladigan yoy. .

Trigonometrik doira aylana diametrlari bo'yicha 12 ta teng qismga bo'linadi. Burchakning radianlarda ekanligini bilib, ga karrali burchaklar uchun radian o'lchamini aniqlashingiz mumkin.

Va burchaklarning radian o'lchovlari, ko'paytmalari xuddi shunday tarzda olinadi:

3) Trigonometrik funktsiyalarning ta'rif sohasi va qiymatlari diapazoni.

Aylanadagi nuqtaning aylanish burchaklari va koordinata qiymatlari o'rtasidagi moslik funktsiya bo'ladimi?

Har bir burilish burchagi aylananing bitta nuqtasiga to'g'ri keladi, ya'ni bu moslik funktsiyadir.

Funksiyalarni olish

Trigonometrik doirada siz funktsiyalarni aniqlash sohasi barcha haqiqiy sonlar to'plami ekanligini va qiymatlar diapazoni ekanligini ko'rishingiz mumkin.

Trigonometrik doiradagi tangens va kotangens chiziqlari tushunchalari bilan tanishamiz.

1) Mayli Oy o'qiga parallel bo'lgan yordamchi chiziqni kiritamiz, bu chiziqda har qanday son argument uchun tangenslar aniqlanadi.

2) Xuddi shunday, biz kotangentlar chizig'ini olamiz. y=1 bo‘lsin, u holda . Bu shuni anglatadiki, kotangent qiymatlari Ox o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqda aniqlanadi.

Trigonometrik doirada siz trigonometrik funktsiyalarning ta'rif sohasi va qiymatlari oralig'ini osongina aniqlashingiz mumkin:

tangens uchun -

kotangent uchun -

4) Trigonometrik doiradagi trigonometrik funksiyalarning qiymatlari.

Burchakka qarama-qarshi bo'lgan oyoq gipotenuzaning yarmiga teng, ya'ni Pifagor teoremasiga ko'ra boshqa oyoq:

Bu shuni anglatadiki, sinus, kosinus, tangens, kotangensni aniqlash orqali ko'paytmali yoki radianli burchaklar uchun qiymatlarni aniqlash mumkin. Sinus qiymatlari Oy o'qi bo'ylab, kosinus Ox o'qi bo'ylab aniqlanadi va teginish va kotangens qiymatlari mos ravishda Oy va Ox o'qlariga parallel bo'lgan qo'shimcha o'qlar yordamida aniqlanishi mumkin.

Sinus va kosinusning jadvalli qiymatlari mos keladigan o'qlarda quyidagicha joylashgan:

Tangens va kotangensning jadval qiymatlari -

5) Trigonometrik funksiyalarning davriyligi.

Trigonometrik doirada sinus va kosinus qiymatlari har bir radianda, tangens va kotangentda esa har bir radianda takrorlanishini ko'rishingiz mumkin.

6) Trigonometrik funksiyalarning juftligi va toqligi.

Bu xususiyatni trigonometrik funktsiyalarning musbat va qarama-qarshi burilish burchaklarining qiymatlarini solishtirish orqali olish mumkin. Biz buni tushunamiz

Bu shuni anglatadiki, kosinus juft funktsiya, qolgan barcha funktsiyalar toq.

7) Trigonometrik funksiyalarning ortishi va kamayishi.

Trigonometrik doira sinus funksiyasi ortib borishini ko'rsatadi va kamayadi

Xuddi shunday mulohaza yuritib, biz kosinus, tangens va kotangens funksiyalarining ortish va kamayish intervallarini olamiz.

8) Qisqartirish formulalari.

Burchak uchun trigonometrik doiradagi burchakning kichikroq qiymatini olamiz. Barcha formulalar tanlangan to'g'ri burchakli uchburchaklarning oyoqlarida trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini solishtirish orqali olinadi.

Qisqartirish formulalarini qo'llash algoritmi:

1) Berilgan burchakdan aylanayotganda funksiyaning ishorasini aniqlang.

Burchakni burilganda funktsiya saqlanib qoladi, burchak bilan aylantirilganda - butun son, toq son, kofunktsiya (

9) Teskari trigonometrik funksiyalarning qiymatlari.

Funksiya ta’rifidan foydalanib, trigonometrik funksiyalar uchun teskari funksiyalarni kiritamiz.

Trigonometrik doiradagi sinus, kosinus, tangens va kotangensning har bir qiymati burilish burchagining faqat bitta qiymatiga mos keladi. Bu shuni anglatadiki, funktsiya uchun ta'rif sohasi , qiymatlar diapazoni - Funktsiya uchun ta'rif sohasi , qiymatlar oralig'i . Xuddi shunday, biz kosinus va kotangent uchun teskari funktsiyalarning ta'rif sohasi va qiymatlari oralig'ini olamiz.

Teskari trigonometrik funksiyalarning qiymatlarini topish algoritmi:

1) teskari trigonometrik funktsiya argumentining tegishli o'qda qiymatini topish;

2) teskari trigonometrik funktsiya qiymatlari oralig'ini hisobga olgan holda boshlang'ich radiusning burilish burchagini topish.

Masalan:

10) Trigonometrik aylanada oddiy tenglamalarni yechish.

Ko'rinishdagi tenglamani yechish uchun aylana bo'ylab ordinatalari teng bo'lgan nuqtalarni topamiz va funktsiya davrini hisobga olgan holda mos burchaklarni yozamiz.

Tenglama uchun aylanadan abtsissalari teng bo'lgan nuqtalarni topamiz va funksiyaning davrini hisobga olgan holda mos burchaklarni yozamiz.

Xuddi shunday shakldagi tenglamalar uchun Qiymatlar tangens va kotangens chiziqlarida aniqlanadi va mos keladigan burilish burchaklari qayd etiladi.

Trigonometriyaning barcha tushuncha va formulalarini o‘quvchilarning o‘zlari o‘qituvchining aniq rahbarligida trigonometrik doira yordamida o‘rganadilar. Kelajakda bu "doira" ular uchun mos yozuvlar signali bo'lib xizmat qiladi yoki tashqi omil trigonometriya tushunchalari va formulalarini xotirada takrorlash.

Trigonometrik doirada trigonometriyani o'rganish quyidagilarga yordam beradi:

berilgan dars uchun optimal muloqot uslubini tanlash, ta'lim sohasidagi hamkorlikni tashkil etish;
maqsadlar darslar har bir talaba uchun shaxsiy ahamiyatga ega bo'ladi;
yangi material tayanadi shaxsiy tajriba talabaning harakatlari, fikrlashi, his-tuyg'ulari;
dars turli xil ish shakllari va bilimlarni olish va o'zlashtirish usullarini o'z ichiga oladi;
o'zaro va o'z-o'zini o'rganish elementlari mavjud;