Ko‘phadning haqiqiy sonlar maydoniga kengayishi. Kompleks sonlar algebrasining asosiy teoremasi

Ko'phadlarning kamaytiruvchanligi ular ko'rib chiqiladigan sohaga bog'liq. Ko'phad Q maydonida kamaytirilmaydigan (pastki darajali omillarga ko'paytirilmaydigan ko'phad) va R maydonida kamaytiriladigan.

Qaytarib bo'lmaydigan polinomlarning xossalari:

1. Nol darajali polinom har qanday maydonda kamaytirilishi mumkin
2. Agar polinom bo'lsa f(x) maydonda kamaytirilmaydi R, keyin a ko'phad f(x) maydonda ham kamaytirilmaydi R.
3. Ko'phadlar f bo'lsin (x) Va p (x) maydon ustida R, va p (x) – maydonda kamaytirilmaydigan R, keyin holatlar mumkin

1) ko'phadlar f (x) Va p (x) nisbatan asosiy hisoblanadi

2) f(x):(to'liq) p (x)

Bu maydon ustidagi doimiyga teng bo'lmagan har qanday ko'phad kamida bitta ildizga ega bo'lsa, maydon algebraik yopiq deyiladi. Bezout teoremasidan darhol shunday xulosa kelib chiqadiki, bunday maydonda har qanday doimiy bo'lmagan ko'phad chiziqli omillar mahsulotiga ajralishi mumkin. Shu nuqtai nazardan, algebraik yopiq maydonlar algebraik yopiq bo'lmagan maydonlarga qaraganda tuzilishi jihatidan soddaroqdir. Bizga ma'lumki, haqiqiy sonlar maydonida har bir kvadrat trinomning ildizi yo'q, shuning uchun ℝ maydoni algebraik jihatdan yopiq emas. Ma'lum bo'lishicha, u algebraik yopilishga biroz kamlik qiladi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak: tenglama bo'yicha aniq ko'rinadigan masalani hal qilib, biz bir vaqtning o'zida boshqa barcha polinom tenglamalarni yechdik.

ALGebra FANINING ASOS TEOREMASI.ℂ maydonidagi doimiyga teng bo'lmagan har qanday polinom kamida bitta murakkab ildizga ega.

TEST. Kompleks sonlar maydonida doimiyga teng bo'lmagan har qanday ko'phadni chiziqli omillar mahsulotiga kengaytira olamiz:

Bu erda ko'phadning etakchi koeffitsienti, ko'phadning barcha turli xil kompleks ildizlari va ularning ko'paytmalari. Tenglik qondirilishi kerak

Natijaning isboti polinom darajasi bo'yicha oddiy induksiyadir.

Boshqa sohalarga qaraganda, polinomlarning parchalanishi nuqtai nazaridan vaziyat unchalik yaxshi emas. Agar, birinchidan, doimiy bo'lmasa, ikkinchidan, uni quyi darajali ko'phadlar ko'paytmasiga ajratib bo'lmasa, biz ko'phadni kamaytirilmaydigan deb ataymiz. Ko'rinib turibdiki, har bir chiziqli ko'phad (har qanday sohada) qaytarilmasdir. Xulosa quyidagicha qayta shakllantirilishi mumkin: yetakchi birlik koeffitsienti (boshqacha aytganda: unitar) bo'lgan kompleks sonlar maydonidagi qaytarilmas ko'phadlar () ko'rinishdagi ko'phadlar bilan tugaydi.

Kvadrat trinomning parchalanishi kamida bitta ildiz mavjudligiga teng. Tenglamani ko‘rinishga o‘tkazar ekanmiz, kvadrat trinomiyaning ildizi diskriminant K maydonining qaysidir elementining kvadrati bo‘lsagina mavjud bo‘ladi, degan xulosaga kelamiz (bu yerda biz K maydonida 2≠ 0 deb faraz qilamiz). Bu erdan olamiz

TAKLIF. K maydonida 2≠ 0 ni qisqartirib bo'lmaydigan kvadrat trinomial, agar uning K maydonida ildizlari bo'lmasa. Bu diskriminant K maydonining biron bir elementining kvadrati emasligiga ekvivalentdir. Xususan , haqiqiy sonlar maydoni ustida kvadrat uch a'zosi Kamaytirilmas, agar va faqat bo'lsa.

Shunday qilib, haqiqiy sonlar maydonida kamaytirilmaydigan polinomlarning kamida ikkita turi mavjud: chiziqli va kvadratik va manfiy diskriminant. Ma'lum bo'lishicha, bu ikki holat ℝ dan ortiq qisqartirilmaydigan ko'phadlar to'plamini tugatadi.

TEOREMA. Haqiqiy sonlar maydonidagi har qanday polinomni manfiy diskriminantlar bilan chiziqli omillar va kvadratik omillar mahsulotiga ajratishimiz mumkin:

Bu erda ko'phadning barcha turli xil haqiqiy ildizlari, ularning ko'paytmalari, barcha diskriminantlar noldan kichik va kvadrat uch a'zolar hammasi boshqacha.

Avval lemmani isbotlaymiz

LEMMA. Agar mavjud bo'lsa, u holda konjugat son ham ko'phadning ildizidir.

Isbot. Keling, va ko'phadning kompleks ildizi bo'lsin. Keyin

bu erda biz mate xususiyatlaridan foydalanganmiz. Demak, . Shunday qilib, u polinomning ildizidir. □

Teoremaning isboti. Haqiqiy sonlar maydoni ustidagi har qanday qaytarilmas ko'phadning manfiy diskriminantga ega chiziqli yoki kvadratik ekanligini isbotlash kifoya. Birlik yetakchi koeffitsientli kamaytirilmaydigan ko‘phad bo‘lsin. holatda biz darhol ba'zi real uchun olish. Keling, shunday da'vo qilaylik. Kompleks sonlar algebrasining asosiy teoremasiga ko'ra mavjud bo'lgan ushbu ko'phadning istalgan kompleks ildizi bilan belgilaymiz. U qaytarilmas ekan, demak (Bezout teoremasiga qarang). Keyin, lemma bo'yicha, polinomning boshqa ildizi bo'ladi.

Polinom haqiqiy koeffitsientlarga ega. Bundan tashqari, Bezout teoremasi bo'yicha bo'linadi. U kamaytirilmaydigan va birlik etakchi koeffitsientiga ega bo'lgani uchun biz tenglikni olamiz. Bu ko'phadning diskriminanti manfiy, chunki aks holda uning haqiqiy ildizlari bo'lar edi.□

MISOLLAR. A. Polinomni kamaytirilmaydigan omillarga ajratamiz. 6 doimiy hadining bo‘luvchilari orasidan ko‘phadning ildizlarini qidiramiz. Biz 1 va 2 ildiz ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Shunday qilib, ko'phad ga bo'linadi. Bo'lingandan so'ng, biz topamiz

Maydon bo'ylab yakuniy kengayish, chunki kvadrat trinomialning diskriminanti manfiy va shuning uchun uni haqiqiy sonlar maydonida yanada kengaytirib bo'lmaydi. Kvadrat uch a’zoning kompleks ildizlarini topsak, kompleks sonlar maydoni bo‘yicha bir xil ko‘phadning kengayishini olamiz. Ular mohiyatdir. Keyin

Bu polinomning kengayishi tugadi

B. Haqiqiy va kompleks sonlar sohalarini kengaytiramiz. Ushbu ko'phadning haqiqiy ildizlari yo'qligi sababli, uni manfiy diskriminantlari bo'lgan ikkita kvadrat trinomga ajratish mumkin.

Ko'phad bilan almashtirilganda u o'zgarmasligi sababli, bunday almashtirish bilan kvadrat uch a'zoga kirishi kerak va aksincha. Bu yerdan. Olingan koeffitsientlarni tenglashtirish Xususan, . Keyin munosabatdan (almashtirish orqali olingan, va nihoyat, . Demak,

Haqiqiy sonlar maydonini kengaytirish.

Bu ko‘phadni kompleks sonlar bo‘yicha kengaytirish uchun yoki tenglamani yechamiz. Ildizlari bo'lishi aniq. Biz har xil ildizlarni olamiz. Demak,

Kompleks sonlar ustidan kengayish. Hisoblash oson

va biz ko'phadni haqiqiy sonlar maydoniga kengaytirish masalasining yana bir yechimini olamiz.

Ishning oxiri -

Ushbu mavzu bo'limga tegishli:

Asosiy va kompyuter algebrasi

Kirish.. fundamental va kompyuter algebrasi kursi amaliy matematika yoʻnalishi talabalari uchun moʻljallangan.

Agar sizga ushbu mavzu bo'yicha qo'shimcha material kerak bo'lsa yoki siz qidirayotgan narsangizni topa olmagan bo'lsangiz, bizning ishlar ma'lumotlar bazasida qidiruvdan foydalanishni tavsiya etamiz:

Qabul qilingan material bilan nima qilamiz:

Agar ushbu material siz uchun foydali bo'lsa, uni ijtimoiy tarmoqlardagi sahifangizga saqlashingiz mumkin:

Ushbu bo'limdagi barcha mavzular:

N.I.Dubrovin
Spasskiy posyolkasi 2012 Mundarija Kirish. 4 Belgilar va atamalar ro'yxati. 5 1 BASIC haqida bir oz. 6 2 Oddiy to'plamlar nazariyasi. 9

BASIC haqida bir oz
Matematikada ular turli xil tabiatli sonlar (tabiiy, butun, ratsional, haqiqiy, kompleks), bir va bir nechta o'zgaruvchilarning ko'phadlari, matritsalar kabi ob'ektlar bilan shug'ullanadilar.

Oddiy to'plam nazariyasi
Matematik matn ta'riflar va bayonotlardan iborat. Ba'zi bayonotlar, ularning ahamiyati va boshqa bayonotlar bilan aloqasiga qarab, quyidagi atamalardan biri deb ataladi:

Kartezyen mahsulotlar
Tartibli juftlik yoki oddiygina juft elementlar matematikadagi asosiy konstruksiyalardan biridir. Siz uni ikkita joydan iborat javon sifatida tasavvur qilishingiz mumkin - birinchi va ikkinchi. Ko'pincha matematikada bunday emas

Butun sonlar
Birdan qoʻshish yoʻli bilan olinadigan sonlar (1,2,3,...) natural sonlar deyiladi va ℕ bilan belgilanadi. Natural sonlarning aksiomatik tavsifi shunday bo'lishi mumkin (qarang.

Rekursiya
N1-N3 aksiomalaridan boshlab boshlang‘ich sinfdan boshlab hammaga tanish bo‘lgan natural sonlarni qo‘shish va ko‘paytirish amallari, natural sonlarni bir-biri bilan taqqoslash va shaklning xossalariga qadar “Hammalar o‘rinlarini teskari o‘zgartirishdan yig‘indi o‘zgarmaydi.

Natural sonlar to'plamida tartib
To'plam chiziqli tartib munosabatiga ega. Aytaylik, n

Natural sonlarning bo‘linuvchanligi
Natural sonlar sohasida bo'lish amali har doim ham mumkin emas. Bu bizga bo'linish munosabatini kiritish huquqini beradi: deylik, n soni m sonni ba'zi mos k∈ uchun m=nk bo'lsa, ajratadi.

Butun sonlarning bo‘linuvchanligi
Butun sonlar halqasi bilan belgilaymiz. "Rizka" atamasi biz R to'plami bilan ishlayotganimizni anglatadi, unda ikkita amal - qo'shish va ko'paytirish, ma'lum qonunlarga bo'ysunish beriladi.

Evklid algoritmi
Bir juft butun sonlar (m, n) berilgan. Biz n ni 1 raqami bilan qoldiq deb hisoblaymiz. Evklid algoritmining birinchi bosqichi m ni qoldiq bilan n ga bo'lish va keyin qolganni yangi olingan qoldiqqa bo'lishdir.

Evklid algoritmining matritsali talqini
Keling, Evklid algoritmiga matritsa talqinini beraylik (matritsalar uchun keyingi paragrafga qarang). Qoldiqli bo'linishlar ketma-ketligini matritsa ko'rinishida qayta yozamiz: Har birida almashtirish

Mantiq elementlari
Matematiklar, masalan, raqamlar, funktsiyalar, matritsalar, tekislikdagi chiziqlar va boshqalar kabi ob'ektlar bilan, shuningdek, bayonotlar bilan shug'ullanadilar. Nutq - bu qandaydir hikoya

Ekspressiv shakllar
Ifoda bayonot bo'ladimi? Yo'q, bu yozuv bitta o'zgaruvchining ekspressiv shaklidir. Agar biz o'zgaruvchi o'rniga haqiqiy qiymatlarni almashtirsak, biz turli xil bayonotlarni olamiz

Matritsa algebrasi
R halqa ustidagi matritsalar algebrasi (R - butun sonlar halqasi, ratsional sonlar maydoni, haqiqiy sonlar maydoni) operatsiyalar to'plamiga ega bo'lgan eng keng tarqalgan algebraik tizimdir.

Aniqlovchilar
A kvadrat matritsaning determinanti uning son xarakteristikasi bo'lib, yoki bilan belgilanadi. Kichik o'lchamli matritsalarning determinantlaridan boshlaylik 1,2,3: TA'RIF. Pu

Chiziqli tekislik transformatsiyalari
Ma'lumki, masofalarni saqlagan holda s tekislikning har qanday o'zgarishi yo vektorga parallel ko'chirish yoki O nuqta atrofida a burchak bilan aylanish yoki to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetriyadir.

Kompleks sonlar
Ushbu bo'limda biz faqat bitta sohani o'rganamiz - kompleks sonlar maydoni ℂ. Geometrik nuqtai nazardan bu tekislik, algebraik nuqtai nazardan esa shunday

Kompleks sonlar maydonini qurish
Biz avvalgi xatboshida murakkab sonlar maydonini allaqachon qurgan edik. Kompleks sonlar sohasining alohida ahamiyati tufayli biz uning bevosita qurilishini taqdim etamiz. bilan bo'sh joyni ko'rib chiqing

Murakkab sonlarni birlashtirish
Kompleks sonlar maydoni bizga yangi xususiyatni beradi - bir xil bo'lmagan uzluksiz avtomorfizmning mavjudligi (o'ziga nisbatan izomorfizm). Kompleks songa konjugat va xarita deyiladi

Kompleks sonlarni yozishning trigonometrik shakli
Kompleks sonni vektor sifatida ifodalaylik. Ushbu vektorning uzunligi, ya'ni. miqdor kompleks sonning moduli deyiladi va belgilanadi. Biz miqdorni raqam me'yori deb ataymiz, ba'zan e dan foydalanish qulayroqdir

Murakkab ko'rsatkich
Paragrafning (2) qoidasi bizga sof xayoliy sonning ko'rsatkichini aniqlash huquqini beradi: Haqiqatan ham, shu tarzda aniqlangan funktsiya quyidagi xususiyatlarga ega: &

Kvadrat tenglamalarni yechish
Chiziqli ko'phad har doim ildizga ega. Kvadrat trinomial endi har doim ham haqiqiy sonlar maydonida ildizlarga ega emas. Kompleks sonlar () maydoni ustidagi kvadrat trinomial bo'lsin. Konvoy

Ekvivalentlik munosabati teoremasi
M to‘plamdagi “ ” ekvivalentlik munosabati bo‘lsin. Element uchun uni ekvivalentlik sinfi bilan belgilaymiz. Keyin M to'plam ekvivalentlik sinflari birligiga bo'linadi; M dan har bir element at

Butun sonlar halqasi ustidagi polinom deyiladi ibtidoiy, agar uning koeffitsientlarining eng katta umumiy boʻluvchisi 1 boʻlsa. Ratsional koeffitsientli koʻphad yagona musbat ratsional sonning koʻpaytmasi sifatida ifodalanadi. mazmuni polinom va tub ko'phad. Tub ko‘phadlarning ko‘paytmasi ibtidoiy ko‘phaddir. Bu faktdan kelib chiqadiki, agar butun sonli koeffitsientli ko'phad ratsional sonlar maydonida kamaytiriladigan bo'lsa, u holda butun sonlar halqasi ustida kamaytiriladi. Shunday qilib, ko'phadni ratsional sonlar maydonida kamaytirilmaydigan omillarga ko'paytirish masalasi butun sonlar halqasidagi shunga o'xshash masalaga keltiriladi.

Butun sonli koeffitsientli va mazmuni 1 bo‘lgan ko‘phad va uning ratsional ildizi bo‘lsin. Ko‘phadning ildizini qaytarilmas kasr sifatida tasavvur qilaylik. Polinom f(x) ibtidoiy koʻphadlarning koʻpaytmasi sifatida ifodalanadi. Demak,

A. sanoqchi bo‘luvchi,

B. maxraj – bo‘luvchi

C. har qanday butun son uchun k ma'nosi f(k) – ( ​​ga qoldiqsiz boʻlinadigan butun son. bk-a).

Sanab o'tilgan xususiyatlar ko'phadning ratsional ildizlarini topish muammosini chekli qidiruvga qisqartirish imkonini beradi. Xuddi shunday yondashuv ko'p nomli kengayishda qo'llaniladi f Kroneker usulidan foydalangan holda ratsional sonlar maydonida kamaytirilmaydigan omillarga. Agar polinom bo'lsa f(x) daraja n berilgan bo'lsa, omillardan biri dan yuqori bo'lmagan darajaga ega n/2. Bu omil bilan belgilaymiz g(x). Polinomlarning barcha koeffitsientlari butun son bo'lganligi sababli, har qanday butun son uchun a ma'nosi f(a) ga qoldiqsiz bo‘linadi g(a). Keling, tanlaymiz m= 1+n/2 ta aniq son a men, i=1,…,m. Raqamlar uchun g(a i) chekli sonli imkoniyatlar mavjud (har qanday nolga teng bo'lmagan sonning bo'luvchilari soni chekli), shuning uchun bo'linuvchi bo'lishi mumkin bo'lgan cheklangan miqdordagi ko'phadlar mavjud. f(x). To'liq qidiruvni amalga oshirib, biz ko'phadning qaytarilmasligini ko'rsatamiz yoki uni ikkita ko'phadning mahsulotiga kengaytiramiz. Ko'rsatilgan sxemani barcha omillar qaytarilmas polinomga aylanmaguncha har bir omilga qo'llaymiz.

Ba'zi ko'phadlarning ratsional sonlar maydoniga qaytarilmasligini oddiy Eyzenshteyn mezoni yordamida aniqlash mumkin.

Mayli f(x) butun sonlar halqasi ustidagi ko‘phaddir. Agar tub son bo'lsa p, Nima

I. Ko'phadning barcha koeffitsientlari f(x), eng yuqori daraja uchun koeffitsientdan tashqari, bo'linadi p

II. Eng yuqori daraja uchun koeffitsient ga bo'linmaydi p

III. Bepul a'zo bo'linmaydi

Keyin polinom f(x) ratsional sonlar maydonida kamaytirilmaydi.

Shuni ta'kidlash kerakki, Eyzenshteyn mezoni polinomlarning qaytarilmasligi uchun etarli shart-sharoitlarni ta'minlaydi, lekin zaruriy emas. Demak, polinom ratsional sonlar maydonida kamaytirilmaydi, lekin Eyzenshteyn mezoniga javob bermaydi.

Eyzenshteyn mezoniga ko'ra, ko'phad kamaytirilmaydi. Demak, ratsional sonlar maydonida darajaning qaytarilmas polinomi mavjud. n, Qayerda n 1 dan katta har qanday natural son.

F maydoni musbat darajali F bo‘lgan har qanday ko‘phad F da ildizga ega bo‘lsa, F maydoni algebraik yopiq deyiladi.

5.1 teorema (polinom algebrasining asosiy teoremasi). Kompleks sonlar maydoni algebraik jihatdan yopiq.

Natija 5 .1.1. Yuqorida BILAN Faqat birinchi darajali kamaytirilmaydigan polinomlar mavjud.

Xulosa 5.1.2. Polinom n- yuqori daraja BILAN Unda bor n murakkab ildizlar.

5.2 teorema. If polinomning kompleks ildizi f haqiqiy koeffitsientlar bilan, u holda kompleks konjugat son ham ildiz hisoblanadi f.

Natija 5 .2.1. Yuqorida R Faqat birinchi yoki ikkinchi darajali kamaytirilmaydigan polinomlar mavjud.

Xulosa 5.2.2. Ko'phadning xayoliy ildizlari R murakkab konjugatlar juftlariga ajraladi.

5.1-misol. Faktorni kamaytirilmas omillarga aylantiring BILAN va yuqorida R polinom x 4 + 4.

Yechim. Bizda ... bor

x 4 + 4 =x 4 + 4X 2 + 4 – 4X 2 = (x 2 + 2) 2 – 4X 2 = (x 2 – 2X+ 2)(x 2 + 2X+ 2) –

kengaytirish tugadi R. Qavslar ichida ikkinchi darajali ko'phadlarning murakkab ildizlarini odatdagi usulda topib, biz kengayishni olamiz. BILAN:

x 4 + 4 = (x – 1 – i) (x – 1 + i) (x + 1 – i) (x + 1 + i).

5.2-misol. Ildizlari 2 va 1+ boʻlgan haqiqiy koeffitsientli eng kichik darajali koʻphadni tuzing i.

Yechim. Xulosa 5.2.2 ga binoan, ko'phadning ildizlari 2, 1 bo'lishi kerak - i va 1+ i. Uning koeffitsientlarini Vieta formulalari yordamida topish mumkin:

 1 = 2 + (1 – i) + (1 +i) = 4;

 2 = 2(1 – i) + 2(1 + i) + (1 – i)(1 + i) = 6;

 3 = 2(1 – i)(1 + i) = 4.

Bu yerdan f =x 3 – 4x 2 + 6x– 4.

Mashqlar.

5.1. Faktorni kamaytirilmas omillarga aylantiring BILAN va yuqorida R polinomlar:

A) X 3 – 6X 2 + 11X – 6;

b) X 4 – 10X 2 + 1.

5.2. Ikki ildiz 1 va oddiy ildiz 1 - 2 bo'lgan haqiqiy koeffitsientli eng kichik darajadagi ko'phadni tuzing. i.

6. Ratsional sonlar maydoni ustidagi ko‘p nomlilar

6.1 teorema (Eyzenshteyn mezoni). Mayli f = a 0 + a 1 x + ...+ a n x n– butun sonli koeffitsientli polinom. Agar shunday tub son bo'lsa p, Nima a 0 , a 1 , … , a n-1 ga bo'linadi p, a n ga bo'linmaydi p,a 0 ga bo'linmaydi p 2, keyin f ratsional sonlar maydonida kamaytirilmaydi.

6.1-mashq. Qayta tiklanmaslikni isbotlang Q polinomlar:

A) f= 2X 5 + 3X 4 – 9X 3 – 6X+ 3;b) f= 5X 4 + 6X 3 – 18X 2 – 12X + 54.

6.2 teorema. Mayli – ko‘phadning ildizi bo‘lgan qaytarilmas kasr f = a 0 + a 1 x + … + a n x n butun son koeffitsientlari bilan. Keyin

a 0  p, a n  q;

f(1)  p–q,f(–1)  p+q.

Bu teorema butun sonli koeffitsientli ko'phadning ratsional ildizlarini topish masalasini hal qilishga imkon beradi. Buning uchun erkin hadning barcha bo'luvchilari va yetakchi koeffitsientni aniqlaymiz va ulardan har xil turdagi qaytarilmas kasrlarni tuzamiz. Barcha ratsional ildizlar bu kasrlar orasida joylashgan. Ularni aniqlash uchun siz Horner sxemasidan foydalanishingiz mumkin. Unda keraksiz hisob-kitoblarga yo'l qo'ymaslik uchun biz 6.2 teoremaning 2) bayonotidan foydalanamiz.

6.1-misol. Ko‘phadning ratsional ildizlarini toping

f = 2X 4 + 7X 3 + 3X 2 – 15X– 18.

Yechim. Numeratorlari bo'lgan barcha kasrlarni yozamiz p - bo'luvchilar 18, maxrajlar q- ajratgichlar 2:

1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18,
,
,
.

Biz ularni Horner sxemasiga muvofiq tekshiramiz:

Ildizni topish X 1 = -2 va ko'phadni ga bo'lish X+ 2, biz yangi -9 erkin atamasi bo'lgan polinomni olamiz (uning koeffitsientlari tagiga chizilgan). Qolgan ildizlarning numeratorlari bu sonning bo'luvchilari bo'lishi kerak va bu shartni qondirmaydigan kasrlar ro'yxatdan chiqarib tashlanishi mumkin. Qolgan butun qiymatlar shartni qoniqtirmagani uchun chiqarib tashlanadi f(1)p – q yoki f(–1)p + q. Misol uchun, bizda 3 ta p = 3, q= 1 va shart bajarilmaydi f(1) = –21p – q(ikkinchi shart bilan bir xil).

Xuddi shunday, ildizni topish X 2 = 3/2, biz yangi bo'sh a'zo 3 va etakchi koeffitsienti 1 bo'lgan ko'phadni oldik (ildiz kasr bo'lganda, hosil bo'lgan polinomning koeffitsientlarini kamaytirish kerak). Ro'yxatdagi qolgan raqam endi uning ildizi bo'la olmaydi va ratsional ildizlar ro'yxati tugadi.

Topilgan ildizlarning ko'pligi tekshirilishi kerak.

Agar yechish jarayonida biz ikkinchi darajali ko'phadga kelgan bo'lsak va kasrlar ro'yxati hali tugamagan bo'lsa, qolgan ildizlarni kvadrat trinomiyaning ildizlari sifatida odatiy formulalar yordamida topish mumkin.

6.2-mashq. Ko‘phadning ratsional ildizlarini toping

A) X 3 – 6X 2 + 15X– 14;

b) X 5 – 7X 3 – 12X 2 + 6X+ 36;

2 da X 4 – 11X 3 + 23X 2 – 24X+ 12;

d) 4 X 4 – 7X 2 – 5X– 1.