Ratsional va irratsional sonlar. Irratsional sonlar: ular nima va ular nima uchun ishlatiladi? Ifodaning irratsional ekanligini qanday isbotlash mumkin

Irratsional sonning ta’rifi

Irratsional sonlar - o'nli yozuvda cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrlarni ifodalovchi raqamlar.

Masalan, natural sonlarning kvadrat ildizini olish orqali olingan sonlar irratsionaldir va natural sonlarning kvadratlari emas. Lekin hamma irratsional sonlar kvadrat ildiz olish yo‘li bilan olinmaydi, chunki bo‘lish natijasida olingan pi soni ham irratsionaldir va natural sonning kvadrat ildizini ajratib olishga urinib, uni olish dargumon.

Irratsional sonlarning xossalari

Cheksiz o'nli kasr sifatida yozilgan raqamlardan farqli o'laroq, faqat irratsional sonlar davriy bo'lmagan cheksiz o'nli kasrlar sifatida yoziladi.
Ikki manfiy bo'lmagan irratsional sonlar yig'indisi ratsional son bo'lishi mumkin.
Irratsional sonlar ratsional sonlar to‘plamidagi Dedekind kesmalarini belgilaydi, ularning quyi sinfida eng katta son, yuqori sinfda esa undan kichiki yo‘q.
Har qanday haqiqiy transsendental son irratsionaldir.
Barcha irratsional sonlar algebraik yoki transsendentaldir.
Chiziqdagi irratsional sonlar to'plami zich joylashgan va uning istalgan ikkita soni orasida irratsional son bo'lishi aniq.
Irratsional sonlar to'plami cheksiz, hisoblab bo'lmaydigan va 2-toifali to'plamdir.
Ratsional sonlar ustida har qanday arifmetik amalni bajarishda, 0 ga bo'lishdan tashqari, natijada ratsional son bo'ladi.
Ratsional sonni irratsional songa qo'shganda, natija har doim irratsional son bo'ladi.
Irratsional sonlarni qo'shganda biz ratsional songa ega bo'lishimiz mumkin.
Irratsional sonlar to'plami juft emas.

Raqamlar irratsional emas

Ba'zida raqam irratsionalmi degan savolga javob berish juda qiyin, ayniqsa son o'nli kasr shaklida yoki sonli ifoda, ildiz yoki logarifm shaklida bo'lgan hollarda.

Shuning uchun, qaysi raqamlar mantiqiy emasligini bilish ortiqcha bo'lmaydi. Agar biz irratsional sonlarning ta'rifiga amal qilsak, ratsional sonlar irratsional bo'lishi mumkin emasligini allaqachon bilamiz.

Irratsional sonlar:

Birinchidan, barcha natural sonlar;
Ikkinchidan, butun sonlar;
Uchinchidan, oddiy kasrlar;
To'rtinchidan, turli xil aralash raqamlar;
Beshinchidan, bular cheksiz davriy kasrlardir.

Yuqorida aytilganlarning barchasiga qo'shimcha ravishda, +, -, , : kabi arifmetik amallarning belgilari bilan bajariladigan ratsional sonlarning har qanday birikmasi irratsional son bo'lishi mumkin emas, chunki bu holda ikkita ratsional sonning natijasi ham bo'ladi. ratsional son.

Keling, qaysi raqamlar irratsional ekanligini ko'rib chiqaylik:

Ushbu sirli matematik hodisa muxlislari Pi haqida tobora ko'proq ma'lumot izlayotgan, uning sirini ochishga harakat qiladigan fan-klub mavjudligi haqida bilasizmi? Kasrdan keyin ma'lum miqdordagi Pi raqamlarini yoddan biladigan har qanday shaxs ushbu klubga a'zo bo'lishi mumkin;

Bilasizmi, Germaniyada YuNESKO himoyasi ostida Kastadel Monte saroyi mavjud bo'lib, uning nisbati tufayli siz Pi ni hisoblashingiz mumkin. Qirol Fridrix II butun saroyni shu raqamga bag'ishlagan.

Ma’lum bo‘lishicha, ular Bobil minorasini qurishda Pi raqamidan foydalanmoqchi bo‘lishgan. Ammo, afsuski, bu loyihaning qulashiga olib keldi, chunki o'sha paytda Pi qiymatining aniq hisob-kitobi etarlicha o'rganilmagan.

Xonanda Kate Bush o'zining yangi diskida "Pi" deb nomlangan qo'shiqni yozdi, unda mashhur 3, 141 ... seriyasining bir yuz yigirma to'rtta raqami eshitildi.

Ushbu maqoladagi material haqida dastlabki ma'lumot beradi irratsional sonlar. Avval irratsional sonlarning ta'rifini beramiz va uni tushuntiramiz. Quyida irratsional sonlarga misollar keltiramiz. Va nihoyat, berilgan sonning irratsional yoki mantiqsiz ekanligini aniqlashning ba'zi yondashuvlarini ko'rib chiqaylik.

Sahifani navigatsiya qilish.

Irratsional sonlarning ta’rifi va misollari

O'nli kasrlarni o'rganishda biz cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrlarni alohida ko'rib chiqdik. Bunday kasrlar birlik segmenti bilan taqqoslanmaydigan segmentlarning o'nlik uzunliklarini o'lchashda paydo bo'ladi. Shuningdek, biz cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirib bo'lmasligini ta'kidladik (oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga aylantirish va aksincha), shuning uchun bu raqamlar ratsional sonlar emas, ular irratsional sonlarni ifodalaydi.

Shunday qilib, biz keldik irratsional sonlarning ta'rifi.

Ta'rif.

O'nli yozuvda cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrlarni ifodalovchi sonlar deyiladi irratsional sonlar.

Ovozli ta'rif bizga berishga imkon beradi irratsional sonlarga misollar. Masalan, cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasr 4.10110011100011110000... (birlar va nollar soni har safar bittaga ortadi) irratsional sondir. Irratsional songa yana bir misol keltiramiz: −22,353335333335... (sakkizlikni ajratuvchi uchlar soni har safar ikkiga ortadi).

Shuni ta'kidlash kerakki, irratsional sonlar cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrlar shaklida juda kam uchraydi. Ular odatda shaklda topiladi , va hokazo, shuningdek, maxsus kiritilgan harflar shaklida. Bu yozuvdagi irratsional sonlarning eng mashhur misollari ikkitaning arifmetik kvadrat ildizi, “pi” soni p=3,141592..., e=2,718281... soni va oltin sondir.

Irratsional sonlarni ratsional va irratsional sonlarni birlashtirgan haqiqiy sonlar orqali ham aniqlash mumkin.

Ta'rif.

Irratsional sonlar ratsional sonlar bo'lmagan haqiqiy sonlardir.

Bu raqam mantiqiy emasmi?

Agar raqam o'nlik kasr shaklida emas, balki qandaydir ildiz, logarifm va boshqalar shaklida berilgan bo'lsa, u irratsionalmi degan savolga javob berish ko'p hollarda juda qiyin.

Shubhasiz, berilgan savolga javob berayotganda, qaysi raqamlar mantiqiy emasligini bilish juda foydali. Irratsional sonlarning ta'rifidan kelib chiqadiki, irratsional sonlar ratsional sonlar emas. Shunday qilib, irratsional sonlar EMAS:

• chekli va cheksiz davriy o'nli kasrlar.

Shuningdek, arifmetik amallar (+, -, ·, :) belgilari bilan bog'langan ratsional sonlarning har qanday tarkibi irratsional son emas. Buning sababi shundaki, ikkita ratsional sonning yig'indisi, ayirmasi, mahsuloti va qismi ratsional sondir. Masalan, ifodalarning qiymatlari va ratsional sonlardir. Bu erda shuni ta'kidlaymizki, agar bunday ifodalar ratsional sonlar orasida bitta bitta irratsional sonni o'z ichiga olsa, u holda butun ifodaning qiymati irratsional son bo'ladi. Masalan, ifodada son irratsional, qolgan sonlar esa ratsionaldir, shuning uchun u irratsional sondir. Agar u ratsional son bo'lsa, u holda raqamning ratsionalligi ergashadi, lekin u oqilona emas.

Agar sonni aniqlovchi ifodada bir nechta irratsional sonlar, ildiz belgilari, logarifmlar, trigonometrik funksiyalar, p, e raqamlari va boshqalar bo‘lsa, u holda har bir aniq holatda berilgan sonning irratsionalligini yoki ratsionalligini isbotlash zarur. Biroq, foydalanish mumkin bo'lgan bir qator natijalar allaqachon olingan. Keling, asosiylarini sanab o'tamiz.

Butun sonning k-chi ildizi ratsional son ekanligi isbotlangan, agar ildiz ostidagi son boshqa hollarda boshqa butun sonning k-darajali bo'lsa, bunday ildiz irratsional sonni belgilaydi; Misol uchun, va raqamlari irratsionaldir, chunki kvadrati 7 bo'lgan butun son yo'q va beshinchi darajaga ko'tarilishi 15 raqamini beradigan butun son yo'q. Va raqamlar irratsional emas, chunki va .

Logarifmlarga kelsak, ba'zan qarama-qarshilik usuli yordamida ularning irratsionalligini isbotlash mumkin. Misol tariqasida log 2 3 irratsional son ekanligini isbotlaylik.

Faraz qilaylik, log 2 3 irratsional emas, ratsional son, ya’ni uni oddiy kasr m/n shaklida ifodalash mumkin. va quyidagi tenglik zanjirini yozishga ruxsat bering: . Oxirgi tenglik mumkin emas, chunki uning chap tomonida toq raqam, va o'ng tomonda - hatto. Shunday qilib, biz qarama-qarshilikka keldik, bu bizning taxminimiz noto'g'ri bo'lib chiqdi va bu log 2 3 irratsional son ekanligini isbotladi.

E'tibor bering, har qanday musbat va bitta bo'lmagan ratsional a uchun lna irratsional sondir. Masalan, va irratsional sonlar.

Har qanday nolga teng bo'lmagan ratsional a uchun e a soni irratsional, har qanday nolga teng bo'lmagan butun z uchun p z soni esa irratsional ekanligi ham isbotlangan. Masalan, raqamlar irratsionaldir.

Argumentning har qanday ratsional va nolga teng bo'lmagan qiymati uchun sin, cos, tg va ctg trigonometrik funktsiyalari ham irratsional sonlardir. Masalan, sin1 , tan(−4) , cos5,7 irratsional sonlardir.

Boshqa tasdiqlangan natijalar ham bor, lekin biz allaqachon sanab o'tilganlar bilan cheklanamiz. Shuni ham aytish kerakki, yuqoridagi natijalarni isbotlashda nazariya bilan bog'liq algebraik raqamlar Va transsendental raqamlar.

Xulosa qilib shuni ta'kidlaymizki, berilgan raqamlarning mantiqsizligi haqida shoshilinch xulosalar qilmaslik kerak. Masalan, irratsional sonning irratsional son ekanligi aniq ko'rinadi. Biroq, bu har doim ham shunday emas. Belgilangan faktni tasdiqlash uchun biz darajani taqdim etamiz. Ma'lumki, - irratsional son va u ham isbotlangan - irratsional son, lekin ratsional sondir. Yig'indisi, ayirmasi, ko'paytmasi va qismi ratsional sonlar bo'lgan irratsional sonlarga ham misollar keltirishingiz mumkin. Bundan tashqari, p+e, p-e, p·e, p p, p e va boshqa ko‘plab raqamlarning ratsionalligi yoki irratsionalligi hali isbotlanmagan.

Ma'lumotnomalar.

• Matematika. 6-sinf: tarbiyaviy. umumiy ta'lim uchun muassasalar / [N. Ya.Vilenkin va boshqalar]. - 22-nashr, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 b.: kasal. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: darslik 8-sinf uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tomonidan tahrirlangan S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M.: Ta'lim, 2008. - 271 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga abituriyentlar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.

Misol:
\(4\) ratsional son, chunki uni \(\frac(4)(1)\) shaklida yozish mumkin;
\(0,0157304\) ham ratsionaldir, chunki u \(\frac(157304)(10000000)\) shaklida yozilishi mumkin;
\(0,333(3)...\) - va bu ratsional son: quyidagicha ifodalanishi mumkin \(\frac(1)(3)\) ;
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) ratsionaldir, chunki u \(\frac(1)(2)\) sifatida ifodalanishi mumkin. Haqiqatan ham, biz o'zgarishlar zanjirini amalga oshirishimiz mumkin \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\ frac (1) (2) \)

Irratsional son butun sonli ayiruvchi va maxrajli kasr shaklida yozilmaydigan sondir.

Bu mumkin emas, chunki shunday cheksiz kasrlar va hatto davriy bo'lmaganlar. Shuning uchun, bir-biriga bo'linganda irratsional sonni beradigan butun sonlar yo'q.

Misol:
\(\sqrt(2)≈1,414213562…\) irratsional son;
\(p≈3,1415926… \) irratsional son;
\(\log_(2)(5)≈2,321928…\) - irratsional son.

Misol (OGE dan topshiriq). Qaysi iboraning ma'nosi ratsional son?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\ frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

Yechim:

1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) – \(14\) ning ildizini olinmaydi, Bu shuni anglatadiki, sonni butun sonli kasr sifatida ifodalash ham mumkin emas, shuning uchun raqam irratsionaldir.

2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) – hech qanday ildiz qolmagan, sonni kasr sifatida bemalol ifodalash mumkin, masalan \(\frac(-5)(1)\), demak u ratsional.

3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11)\) - ildizni chiqarib bo'lmaydi - raqam mantiqsiz.

4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) ham irratsionaldir.

Irratsional sonlar nima? Nega ular shunday deb ataladi? Ular qayerda ishlatiladi va ular nima? Bu savollarga kam odam o'ylamasdan javob bera oladi. Ammo, aslida, ularga javoblar juda oddiy, garchi hamma ham ularga muhtoj emas va juda kam hollarda

Mohiyati va belgilanishi

Irratsional sonlar cheksiz davriy bo'lmagan sonlardir, bu tushunchani kiritish zaruriyati yuzaga keladigan yangi muammolarni hal qilish uchun ilgari mavjud bo'lgan haqiqiy yoki haqiqiy, butun, natural va ratsional son tushunchalarining etarli emasligi bilan bog'liq. Masalan, qaysi miqdor 2 ning kvadrati ekanligini hisoblash uchun davriy bo'lmagan cheksiz o'nli kasrlardan foydalanish kerak. Bundan tashqari, ko'pgina oddiy tenglamalar ham irratsional son tushunchasini kiritmasdan yechimga ega emas.

Bu to'plam I sifatida belgilanadi. Va allaqachon aniq bo'lganidek, bu qiymatlarni oddiy kasr sifatida ifodalash mumkin emas, uning soni butun son bo'ladi va maxraj bo'ladi.

Birinchi marta, u yoki bu tarzda, hind matematiklari 7-asrda ba'zi miqdorlarning kvadrat ildizlarini aniq ko'rsatib bo'lmasligi aniqlanganda, bu hodisaga duch kelishdi. Va bunday raqamlar mavjudligining birinchi dalili Pifagor Gipasiga tegishli bo'lib, u buni teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakni o'rganayotganda qilgan. Bu to'plamni o'rganishga bizning eramizdan oldin yashab o'tgan yana bir qancha olimlar jiddiy hissa qo'shgan. Irratsional sonlar kontseptsiyasining kiritilishi mavjud matematik tizimni qayta ko'rib chiqishga olib keldi, shuning uchun ular juda muhim.

Ismning kelib chiqishi

Agar lotin tilidan tarjima qilingan nisbat "kasr", "nisbat" bo'lsa, u holda "ir" prefiksi.
bu so'zga qarama-qarshi ma'no beradi. Shunday qilib, bu raqamlar to'plamining nomi ularni butun son yoki kasr bilan bog'lash mumkin emasligini va alohida joyga ega ekanligini ko'rsatadi. Bu ularning mohiyatidan kelib chiqadi.

Umumiy tasnifda o'rin

Irratsional sonlar ratsional sonlar bilan bir qatorda haqiqiy yoki haqiqiy sonlar guruhiga kiradi, ular o'z navbatida kompleks sonlarga tegishlidir. Hech qanday kichik to'plamlar yo'q, lekin algebraik va transsendental navlar mavjud, ular quyida muhokama qilinadi.

Xususiyatlari

Irratsional sonlar haqiqiy sonlar toʻplamining bir qismi boʻlganligi uchun ularning arifmetikada oʻrganiladigan barcha xossalari (ular asosiy algebraik qonunlar deb ham ataladi) ularga tegishlidir.

a + b = b + a (kommutativlik);

(a + b) + c = a + (b + c) (assotsiativlik);

a + (-a) = 0 (qarama-qarshi sonning mavjudligi);

ab = ba (kommutativ qonun);

(ab)c = a(bc) (distributivlik);

a(b+c) = ab + ac (tarqatish qonuni);

a x 1/a = 1 (o'zaro raqamning mavjudligi);

Taqqoslash ham umumiy qonunlar va tamoyillarga muvofiq amalga oshiriladi:

Agar a > b va b > c bo'lsa, u holda a > c (munosabatning tranzitivligi) va. va hokazo.

Albatta, barcha irratsional sonlarni asosiy arifmetika yordamida aylantirish mumkin. Buning uchun maxsus qoidalar yo'q.

Bundan tashqari, Arximed aksiomasi irratsional sonlar uchun amal qiladi. Unda aytilishicha, har qanday ikkita a va b miqdorlar uchun a a sonini yetarli marta qabul qilsangiz, b ni yengishingiz mumkin.

Foydalanish

Kundalik hayotda siz ularni tez-tez uchratmasangiz ham, irratsional sonlarni sanab bo'lmaydi. Ularning soni juda ko'p, ammo ular deyarli ko'rinmas. Atrofimizdagi irratsional sonlar. Hammaga tanish bo'lgan misollar pi soni, 3,1415926... ga teng yoki mohiyatan natural logarifmning asosi bo'lgan e, 2,718281828... Algebra, trigonometriya va geometriyada ularni doimiy ravishda ishlatish kerak. Aytgancha, "oltin nisbat" ning mashhur ma'nosi, ya'ni katta qismning kichik qismga nisbati va aksincha.

ushbu to'plamga tegishli. Kamroq ma'lum bo'lgan "kumush" ham.

Raqamlar chizig'ida ular juda zich joylashganki, ratsional deb tasniflangan har qanday ikki miqdor orasida irratsional bo'lishi aniq.

Ushbu to'plam bilan bog'liq hal qilinmagan ko'plab muammolar mavjud. Irratsionallik o'lchovi va sonning normalligi kabi mezonlar mavjud. Matematiklar eng muhim misollarni u yoki bu guruhga tegishli yoki yo'qligini aniqlash uchun o'rganishda davom etmoqdalar. Misol uchun, e ning oddiy raqam ekanligiga ishonishadi, ya'ni uning yozuvida turli xil raqamlar paydo bo'lish ehtimoli bir xil. Pi ga kelsak, u bilan bog'liq tadqiqotlar hali ham davom etmoqda. Irratsionallik o'lchovi - berilgan sonni ratsional sonlar bilan qanchalik yaqinlashtirish mumkinligini ko'rsatadigan qiymat.

Algebraik va transsendental

Yuqorida aytib o'tilganidek, irratsional sonlar shartli ravishda algebraik va transsendentalga bo'linadi. Shartli ravishda, chunki, qat'iy aytganda, bu tasnif C to'plamini bo'lish uchun ishlatiladi.

Ushbu belgi haqiqiy yoki haqiqiy raqamlarni o'z ichiga olgan murakkab raqamlarni yashiradi.

Demak, algebraik bir xil nolga teng bo‘lmagan ko‘phadning ildizi bo‘lgan qiymatdir. Masalan, 2 ning kvadrat ildizi bu toifaga kiradi, chunki u x 2 - 2 = 0 tenglamasining yechimidir.

Bu shartni qoniqtirmaydigan boshqa barcha haqiqiy sonlar transsendental deb ataladi. Bu xilma-xillik eng mashhur va yuqorida aytib o'tilgan misollarni o'z ichiga oladi - pi soni va tabiiy logarifmaning asosi e.

Qizig'i shundaki, na biri, na boshqasi dastlab matematiklar tomonidan bu qobiliyatda ishlab chiqilmagan, ularning irratsionalligi va transsendentligi ular kashf etilganidan ko'p yillar o'tib isbotlangan; Pi uchun dalil 1882 yilda berilgan va 1894 yilda soddalashtirilgan bo'lib, aylana kvadrati muammosi bo'yicha 2500 yillik munozaraga yakun yasagan. U hali to'liq o'rganilmagan, shuning uchun zamonaviy matematiklarning ustida ishlash kerak bo'lgan narsa bor. Aytgancha, bu qiymatning birinchi aniq hisob-kitobi Arximed tomonidan amalga oshirilgan. Undan oldin barcha hisob-kitoblar juda taxminiy edi.

E (Euler yoki Nepier raqami) uchun uning transsendentligining isboti 1873 yilda topilgan. Logarifmik tenglamalarni yechishda foydalaniladi.

Boshqa misollar har qanday algebraik nolga teng bo'lmagan qiymat uchun sinus, kosinus va tangens qiymatlarini o'z ichiga oladi.