Chiziqli, kvadratik va kasrli tengsizliklarni yechish dasturi faqat masalaga javob bermaydi, tushuntirishlar bilan batafsil yechim beradi, ya'ni. matematika va/yoki algebra bo'yicha bilimlarni sinash uchun yechim jarayonini ko'rsatadi.

Bundan tashqari, agar tengsizliklardan birini echish jarayonida, masalan, kvadrat tenglamani echish kerak bo'lsa, unda uning batafsil yechimi ham ko'rsatiladi (u spoylerda mavjud).

Ushbu dastur o'rta maktab o'quvchilari uchun tayyorgarlik ko'rishda foydali bo'lishi mumkin testlar, ota-onalarga o'z farzandlarining tengsizliklarni hal qilish yo'llarini kuzatish uchun.

Ushbu dastur o'rta maktab o'quvchilari uchun foydali bo'lishi mumkin o'rta maktablar test va imtihonlarga tayyorgarlik ko'rishda, Yagona davlat imtihonidan oldin bilimlarni sinab ko'rishda, ota-onalar uchun matematika va algebra bo'yicha ko'plab muammolarni hal qilishni nazorat qilish. Yoki repetitor yollash yoki yangi darsliklar sotib olish juda qimmatga tushgandir? Yoki buni iloji boricha tezroq bajarishni xohlaysizmi? uy vazifasi

matematikadami yoki algebradami? Bunday holda siz bizning dasturlarimizdan batafsil echimlar bilan ham foydalanishingiz mumkin.

Shunday qilib, siz o'zingizning aka-ukalaringiz yoki opa-singillaringizni o'qitishingiz va/yoki o'qitishingiz mumkin, shu bilan birga muammolarni hal qilish sohasidagi ta'lim darajasi oshadi.

Tengsizliklarni kiritish qoidalari
Har qanday lotin harfi o'zgaruvchi sifatida harakat qilishi mumkin.

Masalan: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) va boshqalar.
Raqamlar butun yoki kasr sonlar sifatida kiritilishi mumkin.

Bundan tashqari, kasr sonlarni nafaqat o'nlik kasr shaklida, balki oddiy kasr shaklida ham kiritish mumkin.
O'nli kasrlarni kiritish qoidalari.
O'nli kasrlarda kasr qismini butun qismdan nuqta yoki vergul bilan ajratish mumkin. Masalan, siz kiritishingiz mumkin o'nli kasrlar

shunga o'xshash: 2,5x - 3,5x^2
Oddiy kasrlarni kiritish qoidalari.

Faqat butun son kasrning ayiruvchisi, maxraji va butun qismi vazifasini bajara oladi.

Maxraj manfiy bo'lishi mumkin emas. Kirayotganda raqamli kasr /
Numerator maxrajdan bo'lish belgisi bilan ajratiladi: &
Butun qism kasrdan ampersand belgisi bilan ajratiladi:
Kirish: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2

Natija: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)
Ifodalarni kiritishda qavslardan foydalanish mumkin. Bunda tengsizliklarni yechishda birinchi navbatda ifodalar soddalashtiriladi. Masalan:

Kerakli tengsizlik belgisini tanlang va polinomlarni quyidagi maydonlarga kiriting.

Tengsizliklar sistemasini yeching

Ushbu muammoni hal qilish uchun zarur bo'lgan ba'zi skriptlar yuklanmaganligi va dastur ishlamasligi mumkinligi aniqlandi.
Sizda AdBlock yoqilgan bo'lishi mumkin.
Bunday holda, uni o'chiring va sahifani yangilang.

Brauzeringizda JavaScript o'chirilgan.
Yechim paydo bo'lishi uchun JavaScript-ni yoqishingiz kerak.
Bu erda brauzeringizda JavaScript-ni qanday yoqish bo'yicha ko'rsatmalar mavjud.

Chunki Muammoni hal qilmoqchi bo'lganlar ko'p, so'rovingiz navbatga qo'yildi.
Bir necha soniya ichida yechim quyida paydo bo'ladi.
Iltimos kuting sek...

Agar siz yechimdagi xatolikni payqagan, keyin bu haqda fikr-mulohaza shaklida yozishingiz mumkin.
Unutmang qaysi vazifani ko'rsating nimani hal qilasiz maydonlarga kiring.

Bizning o'yinlarimiz, boshqotirmalarimiz, emulyatorlarimiz:

Bir oz nazariya.

Bitta noma'lum tengsizliklar sistemalari. Raqamli intervallar

Siz 7-sinfda tizim tushunchasi bilan tanishdingiz va tizimlarni yechish usullarini bilib oldingiz chiziqli tenglamalar ikkita noma'lum bilan. Keyinchalik bitta noma'lum chiziqli tengsizliklar tizimini ko'rib chiqamiz. Tengsizliklar sistemalarining yechimlari to‘plamini intervallar (intervallar, yarim intervallar, segmentlar, nurlar) yordamida yozish mumkin. Shuningdek, siz raqamlar oraliqlarining yozuvlari bilan tanishasiz.

Agar \(4x > 2000\) va \(5x \leq 4000\) tengsizliklarda noma'lum x soni bir xil bo'lsa, bu tengsizliklar birgalikda ko'rib chiqiladi va ular tengsizliklar sistemasini tashkil qiladi deyiladi: $$ \left\. (\begin( massiv)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(massiv)\o'ng $$.

Jingalak qavs tizimning ikkala tengsizligi to'g'ri raqamli tengsizlikka aylanadigan x qiymatlarini topish kerakligini ko'rsatadi. Bu sistema bitta noma'lum chiziqli tengsizliklar sistemasiga misol bo'la oladi.

Bitta noma'lum bo'lgan tengsizliklar tizimining yechimi noma'lumning qiymati bo'lib, unda tizimning barcha tengsizliklari haqiqiy sonli tengsizliklarga aylanadi. Tengsizliklar tizimini yechish bu tizimning barcha yechimlarini topish yoki yo'qligini aniqlash demakdir.

\(x \geq -2 \) va \(x \leq 3 \) tengsizliklarni qo'sh tengsizlik sifatida yozish mumkin: \(-2 \leq x \leq 3 \).

Bitta noma’lum bo‘lgan tengsizliklar sistemalarining yechimlari turli sonli to‘plamlardir. Ushbu to'plamlarning nomlari bor. Shunday qilib, sonlar o'qida x sonlar to'plami shundayki, \(-2 \leq x \leq 3 \) uchlari -2 va 3 nuqtalarda bo'lgan segment bilan ifodalanadi.

-2

3

Agar \(a segment bo'lsa va [a; b] bilan belgilanadi

Agar \(a interval bo'lsa va (a; b) bilan belgilanadi.

Tengsizliklarni qanoatlantiruvchi \(x\) sonlar toʻplami \(a \leq x yarim oraliqlar boʻlib, mos ravishda [a; b) va (a; b] bilan belgilanadi.

Segmentlar, intervallar, yarim intervallar va nurlar deyiladi raqamli intervallar.

Shunday qilib, sonli intervallarni tengsizliklar shaklida ko'rsatish mumkin.

Ikki noma’lumdagi tengsizlikning yechimi berilgan tengsizlikni haqiqiy sonli tengsizlikka aylantiruvchi (x; y) sonlar juftligidir. Tengsizlikni yechish uning barcha yechimlari to‘plamini topishni anglatadi. Shunday qilib, x > y tengsizligining yechimlari, masalan, (5; 3), (-1; -1) sonlar juftligi bo'ladi, chunki \(5 \geq 3 \) va \(-1 \geq - 1\)

Tengsizliklar sistemalarini yechish

Siz allaqachon bitta noma'lum chiziqli tengsizliklarni qanday hal qilishni o'rgandingiz. Tengsizliklar tizimi va tizimning yechimi nima ekanligini bilasizmi? Shuning uchun, bitta noma'lum bo'lgan tengsizliklar tizimini yechish jarayoni sizga hech qanday qiyinchilik tug'dirmaydi.

Va shunga qaramay, sizga eslatib o'tamiz: tengsizliklar tizimini yechish uchun har bir tengsizlikni alohida yechish kerak, keyin esa bu echimlarning kesishishini topish kerak.

Masalan, tengsizliklarning dastlabki tizimi quyidagi shaklga keltirildi:
$$ \left\(\begin(massiv)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(massiv)\o'ng. $$

Bu tengsizliklar sistemasini yechish uchun raqamlar chizig‘ida har bir tengsizlikning yechimini belgilang va ularning kesishishini toping:

-2

3

Kesishma segment [-2; 3] - bu tengsizliklarning dastlabki tizimining echimi.

Dastlabki ma'lumotlar

Ta'rif 1

$f(x)$ va $g(x)$ butun ratsional ifodalar boʻlgan $f(x) >(≥)g(x)$ koʻrinishdagi tengsizlik butun ratsional tengsizlik deyiladi.

Butun ratsional tengsizliklarga ikkita o‘zgaruvchili chiziqli, kvadrat va kub tengsizliklar misol bo‘la oladi.

Ta'rif 2

$1$ taʼrifidagi tengsizlik qondiriladigan $x$ qiymati tenglamaning ildizi deyiladi.

Bunday tengsizliklarni yechish misoli:

1-misol

$4x+3 >38-x$ butun tengsizlikni yeching.

Yechim.

Keling, bu tengsizlikni soddalashtiramiz:

Biz chiziqli tengsizlikni oldik. Keling, uning yechimini topamiz:

Javob: $(7,∞)$.

Ushbu maqolada biz butun ratsional tengsizliklarni yechishning quyidagi usullarini ko'rib chiqamiz.

Faktorizatsiya usuli

Bu usul quyidagicha bo'ladi: $f(x)=g(x)$ ko'rinishdagi tenglama yoziladi. Bu tenglama $ph(x)=0$ koʻrinishga keltiriladi (bu yerda $ph(x)=f(x)-g(x)$). Keyin $ph(x)$ funksiyasi mumkin bo'lgan minimal darajalar bilan faktorlarga ajratiladi. Qoida qo'llaniladi: Polinomlarning ko'paytmasi ulardan biri nolga teng bo'lganda nolga teng bo'ladi. Keyinchalik, topilgan ildizlar raqamlar chizig'ida belgilanadi va belgi egri chizig'i tuziladi. Dastlabki tengsizlik belgisiga qarab javob yoziladi.

Mana shunday yechimlarga misollar:

2-misol

Faktorizatsiya yo‘li bilan yechish. $y^2-9

Yechim.

$y^2-9 tenglamasini yechamiz

Kvadratlar farqi formulasidan foydalanib, biz bor

Omillar mahsuloti nolga teng bo'lgan qoidadan foydalanib, biz quyidagi ildizlarni olamiz: $3$ va $-3$.

Keling, belgilar egri chizig'ini chizamiz:

Dastlabki tengsizlik "kamroq" belgisiga ega bo'lganligi sababli, biz olamiz

Javob: $(-3,3)$.

3-misol

Faktorizatsiya yo‘li bilan yechish.

$x^3+3x+2x^2+6 ≥0$

Yechim.

Quyidagi tenglamani yechamiz:

$x^3+3x+2x^2+6=0$

Qavslar ichidan birinchi ikki atama va oxirgi ikkita umumiy omillarni chiqaramiz

$x(x^2+3)+2(x^2+3)=0$

$(x^2+3)$ umumiy koeffitsientini chiqaramiz

$(x^2+3)(x+2)=0$

Omillar mahsuloti nolga teng bo'lgan qoidadan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

$x+2=0 \ va \ x^2+3=0$

$x=-2$ va "ildiz yo'q"

Keling, belgilar egri chizig'ini chizamiz:

Dastlabki tengsizlik "katta yoki teng" belgisiga ega bo'lganligi sababli, biz olamiz

Javob: $(-∞,-2]$.

Yangi o'zgaruvchini kiritish usuli

Bu usul quyidagicha: $f(x)=g(x)$ ko`rinishdagi tenglamani yozing. Biz uni quyidagicha hal qilamiz: yechish usuli allaqachon ma'lum bo'lgan tenglamani olish uchun yangi o'zgaruvchini kiritamiz. Keyinchalik biz uni hal qilamiz va almashtirishga qaytamiz. Undan biz birinchi tenglamaning yechimini topamiz. Keyinchalik, topilgan ildizlar son chizig'ida belgilanadi va belgi egri chizig'i tuziladi. Dastlabki tengsizlik belgisiga qarab javob yoziladi.

Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda ariza topshirganingizda, biz sizning ismingiz, telefon raqamingiz, manzilingiz kabi turli xil ma'lumotlarni to'plashimiz mumkin elektron pochta va hokazo.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz tomonidan yig'ilgan Shaxsiy ma'lumot bizga siz bilan bog'lanish va noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va bo'lajak voqealar haqida sizni xabardor qilish imkonini beradi.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
• Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Zarur bo'lganda - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, sud muhokamasida va (yoki) jamoatchilikning so'rovlari yoki so'rovlari asosida. davlat organlari Rossiya Federatsiyasi hududida - shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qiling. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik standartlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.

Maqolada biz ko'rib chiqamiz tengsizliklarni yechish. Biz sizga aniq aytib beramiz tengsizliklar yechimini qanday qurish kerak, aniq misollar bilan!

Tengsizliklarni misollar yordamida hal qilishni ko'rib chiqishdan oldin, asosiy tushunchalarni tushunib olaylik.

Tengsizliklar haqida umumiy ma'lumot

Tengsizlik funksiyalar munosabat belgilari bilan bog‘langan ifoda >, . Tengsizliklar ham sonli, ham harfli bo'lishi mumkin.
Nisbatning ikkita belgisi bo'lgan tengsizliklar ikki barobar, uchtasi - uchlik va boshqalar deb ataladi. Masalan:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) > yoki yoki - belgisi bo'lgan tengsizliklar qat'iy emas.
Tengsizlikni yechish- bu tengsizlik to'g'ri bo'ladigan o'zgaruvchining har qanday qiymati.
"Tengsizlikni yechish"Biz uning barcha yechimlari to'plamini topishimiz kerakligini anglatadi. Turli xillari bor tengsizliklarni yechish usullari. uchun tengsizlik yechimlari Ular cheksiz son qatoridan foydalanadilar. Masalan, tengsizlikning yechimi x > 3 - 3 dan + gacha bo'lgan oraliq va 3 raqami bu intervalga kiritilmagan, shuning uchun chiziqdagi nuqta bo'sh doira bilan belgilanadi, chunki tengsizlik qattiq.
+
Javob quyidagicha bo'ladi: x (3; +).
X=3 qiymati yechimlar to'plamiga kiritilmagan, shuning uchun qavs dumaloq. Cheksizlik belgisi har doim ajralib turadi qavs. Belgisi "tegishli" degan ma'noni anglatadi.
Keling, boshqa bir misol yordamida tengsizliklarni qanday hal qilishni ko'rib chiqaylik:
x 2
-+
X=2 qiymati yechimlar to'plamiga kiritilgan, shuning uchun qavs kvadrat bo'lib, chiziqdagi nuqta to'ldirilgan doira bilan ko'rsatilgan.
Javob quyidagicha bo'ladi: x. Eritma to'plamining grafigi quyida ko'rsatilgan.

Ikki tomonlama tengsizliklar

Ikki tengsizlik so‘z bilan bog‘langanda Va, yoki, keyin hosil bo'ladi ikki tomonlama tengsizlik. Ikki tomonlama tengsizlik kabi
-3 Va 2x + 5 ≤ 7
chaqirdi ulangan, chunki u foydalanadi Va. Kirish -3 Ikki tomonlama tengsizliklarni tengsizliklarni qo'shish va ko'paytirish tamoyillari yordamida yechish mumkin.

2-misol Yechish -3 Yechim Bizda ... bor

Yechimlar to‘plami (x|x ≤ -1 yoki x > 3). Yechimni intervalli belgi va belgisi yordamida ham yozishimiz mumkin uyushmalar yoki ikkala to'plamni o'z ichiga olgan holda: (-∞ -1] (3, ∞).Eritmalar to'plamining grafigi quyida ko'rsatilgan.

Tekshirish uchun y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 va y 3 = 1 ni chizamiz. (x|x ≤ -1) uchun e'tibor bering. yoki x > 3), y 1 ≤ y 2 yoki y 1 > y 3.

Mutlaq qiymatli tengsizliklar (modul)

Tengsizliklar ba'zan modullarni o'z ichiga oladi. Ularni hal qilish uchun quyidagi xususiyatlar qo'llaniladi.
a > 0 va algebraik ifoda x uchun:
|x| |x| > a x yoki x > a ga ekvivalent.
|x| uchun o'xshash bayonotlar ≤ a va |x| ≥ a.

Masalan,
|x| |y| ≥ 1 y ≤ -1 ga ekvivalent yoki y ≥ 1;
va |2x + 3| ≤ 4 -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4 ga teng.

4-misol Quyidagi tengsizliklarning har birini yeching. Yechimlar to‘plamining grafigini tuzing.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Yechim
a) |3x + 2|

Yechimlar to‘plami (x|-7/3
b) |5 - 2x| ≥ 1
Yechimlar to‘plami (x|x ≤ 2). yoki x ≥ 3) yoki (-∞, 2] )