Markov jarayonlarining asosiy tushunchalari. Diskret vaqtli Markov jarayoni

ostida tasodifiy jarayon oldindan noma'lum tasodifiy tarzda ba'zi jismoniy tizim holatlarining vaqt o'zgarishini tushunish. Xuddi o'sha payt jismoniy tizim deganda biz tushunamiz har qanday texnik qurilma, qurilmalar guruhi, korxona, sanoat, biologik tizim va hokazo.

Tasodifiy jarayon tizimdagi oqim deyiladi Markovskiy - agar vaqt ichida biron bir lahzaga bo'lsa, jarayonning ehtimollik xususiyatlari kelajakda (t > ) faqat ma'lum bir vaqtdagi holatiga bog'liq ( hozirda ) va tizim bu holatga qachon va qanday kelganiga bog'liq emas o'tmishda .(Masalan, kosmik zarralar sonini qayd qiluvchi Geiger hisoblagichi).

Markov jarayonlari odatda 3 turga bo'linadi:

1. Markov zanjiri - holatlari diskret (ya'ni ularni qayta raqamlash mumkin) va uni ko'rib chiqish vaqti ham diskret bo'lgan jarayon (ya'ni, jarayon faqat vaqtning ma'lum nuqtalarida o'z holatlarini o'zgartirishi mumkin). Bunday jarayon bosqichma-bosqich (boshqacha aytganda, tsikllarda) davom etadi (o'zgaradi).

2. Diskret Markov jarayoni – holatlar to‘plami diskret (ro‘yxatlash mumkin), vaqt esa uzluksiz (bir holatdan ikkinchi holatga o‘tish – istalgan vaqtda).

3. Uzluksiz Markov jarayoni - holatlar va vaqt to'plami uzluksiz.

Amalda Markov jarayonlari sof shaklda tez-tez uchramaydi. Biroq, ko'pincha tarixdan oldingi ta'sirni e'tiborsiz qoldiradigan jarayonlar bilan shug'ullanish kerak. Bundan tashqari, agar "kelajak" bog'liq bo'lgan "o'tmish" dan barcha parametrlar tizimning "hozirgi" holatiga kiritilgan bo'lsa, u holda uni Markovian deb hisoblash mumkin. Biroq, bu ko'pincha hisobga olingan o'zgaruvchilar sonining sezilarli darajada ko'payishiga va muammoni hal qilishning iloji yo'qligiga olib keladi.

Operatsion tadqiqotlarda katta qiymat deb atalmishni egallaydi Diskret holatlar va uzluksiz vaqtli Markov tasodifiy jarayonlari.

Jarayon deyiladi diskret holatlar bilan jarayon, agar uning barcha mumkin bo'lgan holatlari , ,... oldindan sanab qo'yilishi (qayta nomlanishi) mumkin. Tizim deyarli bir zumda holatdan holatga o'tadi - sakrashda.

Jarayon deyiladi doimiy vaqt jarayoni, agar davlatdan davlatga o'tish momentlari har qanday bo'lishi mumkin tasodifiy qiymatlar vaqt o'qi bo'yicha.

Masalan : Texnik qurilma S ikkita tugundan iborat , ularning har biri tasodifiy vaqtda muvaffaqiyatsiz bo'lishi mumkin ( rad qilish). Shundan so'ng, jihozni ta'mirlash darhol boshlanadi ( tiklanish), bu tasodifiy vaqt davomida davom etadi.

Quyidagi tizim holatlari mumkin:

Ikkala tugun ham ishlaydi;

Birinchi agregat ta’mirlanmoqda, ikkinchisi ishlayapti.

– ikkinchi agregat ta’mirlanmoqda, birinchisi ishlayapti

Ikkala agregat ham ta’mirlanmoqda.

Tizimning holatdan holatga o'tishi vaqtning tasodifiy daqiqalarida, deyarli bir zumda sodir bo'ladi. Tizimning holati va ular o'rtasidagi aloqalar yordamida qulay tarzda ko'rsatilishi mumkin davlat grafigi .

Shtatlar

O'tishlar

Hech qanday o'tish yo'q, chunki elementlarning nosozliklari va tiklanishi mustaqil va tasodifiy tarzda sodir bo'ladi va ikkita elementning bir vaqtning o'zida ishdan chiqishi (tiklanishi) ehtimoli cheksizdir va uni e'tiborsiz qoldirish mumkin.

Agar barcha hodisa oqimlari tizimni uzatsa S shtatdan shtatga - protozoa, Bu jarayon, bunday tizimda oqadi Markovskiy bo'ladi. Buning sababi, eng oddiy oqimning keyingi ta'sirga ega emasligi, ya'ni. unda "kelajak" "o'tmish" ga bog'liq emas va qo'shimcha ravishda u odatiylik xususiyatiga ega - ikki yoki undan ortiq hodisaning bir vaqtning o'zida sodir bo'lish ehtimoli cheksizdir, ya'ni holatdan holatga o'tish. bir nechta oraliq davlatlardan o'tish mumkin emas.

Aniqlik uchun holat grafigida har bir oʻtish oʻqida maʼlum oʻq boʻyicha tizimni holatdan holatga oʻtkazuvchi hodisalar oqimining intensivligini koʻrsatish qulay ( -tizimni holatdan oʻtkazuvchi hodisalar oqimining intensivligi V. Bunday grafik deyiladi belgilangan.

Belgilangan tizim holati grafigidan foydalanib, siz ushbu jarayonning matematik modelini yaratishingiz mumkin.

Keling, tizimning ma'lum bir holatdan oldingi yoki keyingi holatga o'tishlarini ko'rib chiqaylik. Bu holda davlat grafigining bir qismi quyidagicha ko'rinadi:

Vaqtinchalik tizimga ruxsat bering t holatda.

(t)-ni belgilaymiz tizimning i-holatining ehtimoli- vaqtning momentida tizimning ehtimoli t holatda. Har qanday vaqt uchun t, =1 to'g'ri.

Keling, vaqt momentida bo'lish ehtimolini aniqlaylik t+∆t tizim ichida bo'ladi. Bu quyidagi hollarda bo'lishi mumkin:

1) va ∆ t vaqt ichida uni tark etmadi. Bu ∆t vaqt ichida ekanligini bildiradi vujudga kelmadi tizimni holatga (intensivlik bilan oqim) yoki uni holatga (intensivlik bilan oqim) o'tkazuvchi hodisa. Kichik ∆t uchun buning ehtimolligini aniqlaymiz.

Hodisalarning eng oddiy oqimiga to'g'ri keladigan ikkita qo'shni talab o'rtasidagi vaqt taqsimotining eksponensial qonuni bilan, ∆t vaqt oralig'ida intensivlik bilan oqimda bitta talab paydo bo'lmasligi ehtimoli. l 1 teng bo'ladi

f(t) funksiyani Teylor qatoriga kengaytirib (t>0) olamiz (t=∆t uchun)

f(∆t)=f(0)+ (0)* ∆t + *∆ + *∆ +…=

= +(-l) *∆t+ (∆ + *(∆ +..." 1-l*∆t ∆t®0 da

Xuddi shunday, intensivligi l 2 bo'lgan oqim uchun biz olamiz .

∆t vaqt oralig'ida bo'lish ehtimoli (∆t®0 da) hech qanday talab bo'lmaydi teng bo'ladi

(∆t)/ = (∆t/ * (∆t/ = (1- *∆t)(1- *∆t) =

1 - - *∆t + 1 - ( + )*∆t + b.m.

Shunday qilib, ∆t vaqt ichida tizimning holatdan chiqmaganligi ehtimoli teng bo'ladi

P( / )=1 – ( + )* ∆t

2) Tizim bir holatda edi S i -1 va vaqt uchun S i davlatiga o'tdi . Ya'ni, intensivlik bilan oqimda kamida bitta hodisa sodir bo'lgan. Buning ehtimoli intensivlikdagi eng oddiy oqim uchun teng λ bo'ladi

Bizning holatlarimiz uchun bunday o'tish ehtimoli teng bo'ladi

3)Tizim bir holatda edi va vaqt davomida ∆t holatga o'tadi . Buning ehtimoli bo'ladi

U holda sistemaning vaqtdagi (t+∆t) S i holatda bo'lish ehtimoli teng bo'ladi.

Ikkala tomondan P i (t) ayirib, ∆t ga bo'linib, chegaraga o'tib, ∆t→0 ga erishamiz.

Holatlardan holatlarga o'tish intensivligining tegishli qiymatlarini almashtirib, biz tizim holatlarining ehtimollik o'zgarishini vaqtning funktsiyalari sifatida tavsiflovchi differentsial tenglamalar tizimini olamiz.

Bu tenglamalar tenglamalar deyiladi Kolmogorov-Chepman diskret Markov jarayoni uchun.

Dastlabki shartlarni aniqlab (masalan, P 0 (t=0)=1,P i (t=0)=0 i≠0) va ularni yechib, funksiyalar sifatida tizim holatining ehtimollik ifodalarini olamiz. vaqt. Agar tenglamalar soni ≤ 2,3 bo'lsa, analitik echimlarni olish juda oson. Agar ular ko'proq bo'lsa, unda tenglamalar odatda kompyuterda (masalan, Runge-Kutta usuli bilan) sonli echiladi.

Tasodifiy jarayonlar nazariyasida isbotlangan , Nima agar n raqami tizim holatlari Albatta va ularning har biridan (cheklangan miqdordagi qadamlarda) boshqasiga o'tishingiz mumkin, keyin chegara bor , qachonki ehtimolliklar moyil bo'ladi t→ . Bunday ehtimollar deyiladi yakuniy ehtimolliklar holatlar, barqaror holat esa statsionar rejim tizimning ishlashi.

Statsionar rejimda hamma narsa beri , shuning uchun hamma narsa = 0. Tenglamalar sistemasining chap tomonlarini 0 ga tenglashtirib, ularni =1 tenglama bilan to‘ldirib, chiziqli sistemaga erishamiz. algebraik tenglamalar, yechish orqali biz yakuniy ehtimollarning qiymatlarini topamiz.

Misol. Tizimimizdagi elementlarning ishdan chiqish va tiklanish tezligi quyidagicha bo'lsin:

Muvaffaqiyatsizliklar 1el:

2el:

Ta'mirlash 1el:

2el:

P 0 +P 1 +P 2 +P 3 =1

0=-(1+2)P 0 +2P 1 +3 P 2

0=-(2+2)P 1 +1P 0 +3P 3

0=-(1+3)P 2 +2P 0 +2P 3

0=-(2+3)P 3 +2P 1 +1P 2

Ushbu tizimni hal qilib, biz olamiz

P 0 =6/15=0,4; P 1 =3/15=0,2; P 2 =4/15=0,27; P 3 =2/15≈0,13.

Bular. statsionar holatda tizim o'rtacha

40% S 0 holatida (har ikkala tugun ham ishlaydi),

20% - S 1 holatida (1-agregat ta'mirlanmoqda, 2-chi ishlamoqda),

27% - S 2 holatida (2-elektr bloki ta'mirlanmoqda, 1-ishlamoqda),

13% - S 3 holatida - ikkala birlik ham ta'mirda.

Yakuniy ehtimollarni bilish imkon beradi tizimning o'rtacha samaradorligini va ta'mirlash xizmatining ish yukini baholash.

S 0 holatidagi tizim 8 ta shartli birlik daromadini yaratsin. vaqt birligi uchun; S 1 holatida - daromad 3 shartli birlik; S 2 holatida - daromad 5 S 3 holatida - daromad = 0

Narxi ta'mirlash 1- element uchun vaqt birligi uchun 1(S 1, S 3) shartli birliklar, element 2- (S 2, S 3) 2 shartli birlik. Keyin statsionar rejimda:

Tizim daromadlari vaqt birligi uchun bo'ladi:

W ext =8P 0 +3P 1 +5P 2 +0P 3 =8·0,4+3·0,2+5·0,27+0·0,13=5,15 shartli birlik.

Ta'mirlash qiymati birliklarda vaqt:

W rem =0P 0 +1P 1 +2P 2 +(1+2)P 3 =0·0,4+1·0,2+2·0,27+3·0,13=1,39 shartli birlik.

Foyda vaqt birligi uchun

W= Vt nafas chiqarish -W ta'mirlash =5,15-1,39= 3,76 an'anaviy birlik

Muayyan xarajatlarni sarflab, siz l va m intensivligini va shunga mos ravishda tizimning samaradorligini o'zgartirishingiz mumkin. Bunday xarajatlarning maqsadga muvofiqligi P i ni qayta hisoblash orqali baholanishi mumkin. va tizimning ishlash ko'rsatkichlari.

Keling, Markovianning mumkin bo'lgan holatlarini ko'rib chiqaylik

jarayonlar.

0 Qabul qilinadigan davlatlar: holat / holatga olib keladi j(/->/ bilan belgilanadi), agar yo'l mavjud bo'lsa i 0 =i, i=j shundayki, barcha o'tish ehtimoli i, - d j > 0, Kimga = 0,..., n-1.

Guruch. 12.13.

Shaklda. 12.13-rasmda bir holatdan ikkinchi holatga o'tish yo'li ko'rsatilgan. Ularning aytishicha, shart j davlatdan olish mumkin /.

HAQIDA Aloqa qiluvchi davlatlar: holatlar /" va j muloqot (/ bilan belgilanadi) agar i~>j va y-»/- Aloqa qiluvchi davlatlar ekvivalentlik sinfiga guruhlanishi mumkin. Bir sinf ichida barcha shtatlar o'zaro aloqada bo'ladi. Turli sinflarga mansub ikki davlat bir-biri bilan aloqa qilmaydi. Bunday sinflar deyiladi qaytarilmas. Qaytib bo'lmaydigan sinfni tashkil etuvchi holatlarga ega Markov zanjiri deyiladi qaytarilmas.

Guruch. 12.14.

Ergodik Markov zanjirining barcha holatlari aloqa qiladi va ergodik holatlar to'plamini hosil qiladi. Markov zanjiri deyiladi ergodik, agar barcha holatlar ergodik bo'lsa (12.14-rasm).

HAQIDA Qayta tiklanmaydigan holatlar: davlat Kimga agar bunday holat mavjud bo'lsa, qaytarib bo'lmaydigan deb ataladi j (k f j) va shunga o'xshash bir qator qadamlar p, d.,(«)> 0, 71., (T)= Hamma uchun t>p. Zanjir bo'lgan paytlar bor

bir-biri bilan aloqa qilmaydigan bir nechta ergodik to'plamlardan iborat (ko'p komponentli grafik). Bitta ergodik to'plamda jarayon hech qachon uni tark eta olmaydi. Bu to'plam asl nusxaga nisbatan qaytarib bo'lmaydigan bo'lib, unga kiritilgan holatlar qaytarib bo'lmaydigan deb ataladi.

HAQIDA Yutish holati: davlat / chaqirildi singdiruvchi keyin va faqat men va (n) har qanday uchun = 1 p. Davlatlar to'plami deyiladi yopiq, agar ularning hech biri ushbu to'plamga kiritilmagan holatga olib kelmasa. Agar ergodik to'plam bitta holatdan iborat bo'lsa, unda bu holat so'riladi, shuning uchun siz unga kirganingizdan keyin uni tark eta olmaysiz. Agar Markov zanjirining barcha holatlari orasida kamida bitta yutuvchi bo'lsa, unda bunday zanjir deyiladi singdiruvchi.

Har bir holat vaqtinchalik yoki takroriy takrorlanishi mumkin.

HAQIDA O'tish holati: tizim hech qachon unga qaytmasligi nolga teng bo'lmagan ehtimol bo'lsa, /" holati o'tadi. Holatlarning quyi to'plami deyiladi. tranzitiv(o'tish) agar ushbu kichik to'plamga kirish va chiqish mumkin bo'lsa. O'tish holatiga faqat cheklangan miqdordagi tashrif buyurish mumkin.

HAQIDA Takroriy holat: agar qaytish ehtimoli 1 ga teng bo'lsa, holat takroriy bo'ladi. Takroriy holatlar bu holatga birinchi qaytish vaqtiga qarab tasniflanishi mumkin: agar bu vaqt cheksizlikdan kichik bo'lsa, u holda holatlar deyiladi. ijobiy takrorlanadi; agar vaqt cheksizlik bo'lsa, unda nol takroriy. Takroriy holatlar bo'lishi mumkin davriy Va davriy bo'lmagan. Davriy bo'lmagan ijobiy takrorlanuvchi holatlar ergodik deb ataladi.

Markov zanjirining holatlari turiga qarab, o'tish ehtimoli matritsasi satr va ustunlarni qayta tartiblash orqali u yoki bu shaklda ifodalanishi mumkin. Agar o'tish ehtimoli matritsasi bloklar shaklida ifodalanishi mumkin bo'lsa

u holda S holatlar to'plamiga tegishli bo'lgan ma'lum bir holatdan chiqib ketayotgan jarayon hech qachon Q to'plamiga tegishli bo'lgan holatda har qanday bosqichda tugamaydi va aksincha. P matritsasi deyiladi parchalanadigan, va ikki ko'rib chiqilgan davlatlar to'plami yopiq. Ushbu bayonot aniq, chunki

u holda barcha juft darajalar uchun matritsa blok-diagonal bo'ladi va toq darajalar uchun u o'zining dastlabki shakliga ega bo'ladi. Masalan:

Jarayon navbatma-navbat T ga tegishli davlatlardan R ga tegishli davlatlarga va orqaga o'tadi. Bunday jarayon bo'ladi davriy.

Agar o'tish ehtimoli matritsasi shaklga ega bo'lsa

u holda jarayonning Q ga tegishli holatlardan birida bo'lish ehtimoli qadamlar soniga ko'paymaydi. Q ga tegishli har qanday holatdan S ga tegishli bo'lgan holatlardan biriga o'tish, agar R bo'lsa ph 0, lekin teskari o'tish sodir bo'lmaydi. Binobarin, Q ga mos keladigan holatlar qaytarilmaydi, S esa yutuvchidir.

Yutish zanjirining o'tish ehtimoli matritsasi quyidagi kanonik shaklda yoziladi:

0 submatritsa faqat nollardan iborat, I submatritsa yutish holatlarining birlik matritsasi, Q submatritsasi qaytarilmaydigan holatlar to'plamidan chiqishdan oldin jarayonning harakatini tavsiflaydi, R submatritsa qaytarilmaydigan holatlardan yutish holatlariga o'tishlarga mos keladi.

9-ma'ruza

Markov jarayonlari
9-ma'ruza
Markov jarayonlari



1

Markov jarayonlari

Markov jarayonlari
Tizimda sodir bo'ladigan tasodifiy jarayon deyiladi
Markovian, agar u hech qanday oqibatlarga olib kelmasa. Bular.
agar jarayonning hozirgi holatini hisobga olsak (t 0) - kabi
hozirgi, mumkin bo'lgan holatlar to'plami ((lar),s t) - kabi
o'tgan, mumkin bo'lgan holatlar to'plami ( (u),u t) - kabi
kelajak, keyin sobit uchun Markov jarayoni uchun
hozirgi, kelajak o'tmishga bog'liq emas, balki belgilanadi
faqat hozirgi vaqtda va qachon va qanday tizimga bog'liq emas
bu holatga keldi.
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
2

Markov jarayonlari

Markov jarayonlari
Markov tasodifiy jarayonlari birinchi marta tasodifiy o'zgaruvchilarning ehtimollik aloqasini o'rganishni boshlagan taniqli rus matematigi A.A.Markov sharafiga nomlangan
va "dinamika" deb atalishi mumkin bo'lgan nazariyani yaratdi
Ehtimollar." Keyinchalik bu nazariyaning asoslari edi
manba bazasi umumiy nazariya tasodifiy jarayonlar, shuningdek, diffuziya jarayonlari nazariyasi, ishonchlilik nazariyasi, navbat nazariyasi va boshqalar kabi muhim amaliy fanlar.
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
3

Markov Andrey Andreevich Markov Andrey Andreevich Markov Andrey Andreevich

Markov jarayonlari
Markov Andrey Andreevich
1856-1922
rus matematiki.
70 ga yaqin asar yozgan
nazariyalar
raqamlar,
nazariyalar
funksiyalarning yaqinlashishi, nazariyasi
ehtimolliklar. Qonunning amal qilish doirasi sezilarli darajada kengaytirildi
katta raqamlar va markaziy
chegara teoremasi. Bu
tasodifiy jarayonlar nazariyasi asoschisi.
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
4

Markov jarayonlari

Markov jarayonlari
Amalda, Markov jarayonlari odatda sof shaklda bo'ladi
uchrashmang. Ammo o'rganish paytida "tarixdan oldingi" ta'sirni e'tiborsiz qoldiradigan jarayonlar mavjud
Bunday jarayonlar uchun Markov modellaridan foydalanish mumkin. IN
Hozirgi vaqtda Markov jarayonlari nazariyasi va uning qo'llanilishi turli sohalarda keng qo'llaniladi.
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
5

Markov jarayonlari

Markov jarayonlari
Biologiya: tug'ilish va o'lim jarayonlari - populyatsiyalar, mutatsiyalar,
epidemiyalar.
Fizika:
radioaktiv
parchalanish,
nazariya
hisoblagichlar
elementar zarralar, diffuziya jarayonlari.
Kimyo:
nazariya
izlar
V
yadroviy
foto emulsiyalar,
kimyoviy kinetikaning ehtimollik modellari.
Images.jpg
Astronomiya: tebranishlar nazariyasi
Somon yo'lining yorqinligi.
Navbat nazariyasi: telefon stansiyalari,
ta'mirlash ustaxonalari, chiptalar, ma'lumot stollari,
mashina va boshqa texnologik tizimlar, boshqaruv tizimlari
moslashuvchan ishlab chiqarish tizimlari, serverlar tomonidan ma'lumotlarni qayta ishlash.
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
6

Markov jarayonlari

Markov jarayonlari
Hozirgi vaqtda t0 tizimda bo'lsin
muayyan holat S0. Biz xususiyatlarni bilamiz
tizimning hozirgi holati va t da sodir bo'lgan hamma narsa< t0
(jarayonning foni). Kelajakni bashorat qila olamizmi,
bular. t > t0 da nima bo'ladi?
Aniq emas, lekin ba'zi ehtimollik xususiyatlari
jarayonni kelajakda topish mumkin. Masalan, buning ehtimoli
bu birozdan keyin
S tizimi bir holatda bo'ladi
S1 yoki S0 holatida qoladi va hokazo.
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
7

Markov jarayonlari. Misol.

Markov jarayonlari
Markov jarayonlari. Misol.
System S - havo janglarida ishtirok etuvchi samolyotlar guruhi. X miqdor bo'lsin
"qizil" samolyotlar, y - "ko'k" samolyotlar soni. t0 vaqtida omon qolgan (urib tushirilmagan) samolyotlar soni
mos ravishda - x0, y0.
Bizni hozirgi paytdagi ehtimollik qiziqtiradi
t 0 raqamli ustunlik "qizillar" tomonida bo'ladi. Bu ehtimollik tizimning holatiga bog'liq
t0 o'lishidan oldin samolyotlar qachon va qanday ketma-ketlikda urilganida emas, balki t0 vaqt momentida.
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
8

Diskret Markov zanjirlari

Markov jarayonlari
Diskret Markov zanjirlari
Cheklangan yoki sanaladigan sonli Markov jarayoni
holatlar va vaqt momentlari diskret deyiladi
Markov zanjiri. Holatdan holatga o'tish faqat vaqtning butun momentlarida mumkin.
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
9

10. Diskret Markov zanjirlari. Misol

Markov jarayonlari

Faraz qilaylik
Nima
nutq
kelayotgan
O
ketma-ket tanga otish
otish o'yini; ichiga tanga tashlanadi
vaqtning shartli momentlari t =0, 1, ... va at
har bir qadamda o'yinchi ±1 s g'alaba qozonishi mumkin
xuddi shu
ehtimollik
1/2,
shunga o'xshash
Shunday qilib, t momentida uning umumiy daromadi j = 0, ±1, ... mumkin bo'lgan qiymatlarga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchi p(t) dir.
Agar p (t) = k bo'lsa, keyingi bosqichda to'lov bo'ladi
1/2 bir xil ehtimollik bilan j = k ± 1 qiymatlarini qabul qilib, allaqachon p (t+1) = k ± 1 ga teng. Aytishimiz mumkinki, bu erda mos keladigan ehtimol bilan, p(t) = k holatdan p(t+1) = k ± 1 holatga o'tish sodir bo'ladi.
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
10

11. Diskret Markov zanjirlari

Markov jarayonlari
Diskret Markov zanjirlari
Ushbu misolni umumlashtirib, biz tizimni tasavvur qilishimiz mumkin
vaqt o'tishi bilan mumkin bo'lgan holatlar soni
diskret vaqt t = 0, 1, ... tasodifiy holatdan holatga o'tadi.
Tasodifiy o‘tishlar zanjiri natijasida uning t vaqtdagi holati p(t) bo‘lsin
p(0) -> p(1) -> ... -> p(t) -> p(t+1) ->...-> ... .
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
11

12. Diskret Markov zanjirlari

Markov jarayonlari
Diskret Markov zanjirlari
Diskret holatlar bilan tasodifiy jarayonlarni tahlil qilishda geometrik sxema - grafikdan foydalanish qulay.
davlatlar. Grafikning uchlari tizimning holatidir. Grafik yoylari
– davlatdan shtatga o‘tish mumkin bo‘lgan holatlar.
Otish o'yini.
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
12

13. Diskret Markov zanjirlari

Markov jarayonlari
Diskret Markov zanjirlari
Barcha mumkin bo'lgan holatlarni i = 0, ±1, ... butun sonlar bilan belgilaymiz.
Faraz qilaylik, ma'lum bo'lgan p(t) =i holat uchun keyingi bosqichda sistema shartli ehtimollik bilan p(t+1) = j holatga o'tadi.
P( (t 1) j (t) i)
uning o'tmishdagi xatti-harakatidan qat'i nazar, aniqrog'i, qat'iy nazar
o'tish zanjiridan t momentiga:
P( (t 1) j (t) i; (t 1) it 1;...; (0) i0 )
P( (t 1) j (t) i)
Bu mulk Markovian deb ataladi.
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
13

14. Diskret Markov zanjirlari

Markov jarayonlari
Diskret Markov zanjirlari
Raqam
pij P( (t 1) j (t) i)
ehtimollik deb ataladi
tizimning bir qadamda i holatdan j holatiga o'tishi
vaqt t 1.
Agar o'tish ehtimoli t ga bog'liq bo'lmasa, u holda sxema
Markov bir jinsli deb ataladi.
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
14

15. Diskret Markov zanjirlari

Markov jarayonlari
Diskret Markov zanjirlari
Elementlari ehtimollar bo'lgan P matritsasi
o'tish pij o'tish matritsasi deb ataladi:
p11...p1n
P p 21 ... p 2n
p
n1...pnn
Bu stokastik, ya'ni.
pij 1 ;
i
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
p ij 0.
15

16. Diskret Markov zanjirlari. Misol

Markov jarayonlari
Diskret Markov zanjirlari. Misol
Toss o'yini uchun o'tish matritsasi
...
k 2
k 2
0
k 1
1/ 2
k
0
k 1
k
k 1
k 2
0
1/ 2
0
0
1/ 2
0
1/ 2
0
1/ 2
0
0
0
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
...
k 1 k 2
0
0
0
1/ 2
0
1/ 2
...
0
0
1/ 2
0
16

17. Diskret Markov zanjirlari. Misol

Markov jarayonlari
Diskret Markov zanjirlari. Misol
Natijada bog'bon kimyoviy tahlil tuproqni baholash
uning holati uchta raqamdan biri - yaxshi (1), qoniqarli (2) yoki yomon (3). Ko'p yillar davomida kuzatuvlar natijasida bog'bon payqadi
oqimdagi tuproq unumdorligi
yil faqat uning holatiga bog'liq
oldingi yil. Shuning uchun ehtimolliklar
tuproqning bir holatdan o'tishi
boshqasini quyidagicha ifodalash mumkin
P1 matritsali Markov zanjiri:
0.20 0.50 0.30
0.00 0.50 0.50
0.00 0.00 1.00
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
17

18. Diskret Markov zanjirlari. Misol

Markov jarayonlari
Diskret Markov zanjirlari. Misol
Biroq, qishloq xo'jaligi amaliyotlari natijasida bog'bon P1 matritsasida o'tish ehtimolini o'zgartirishi mumkin.
Keyin P1 matritsasi almashtiriladi
P2 matritsasiga:
0.30 0.60 0.10
0.10 0.60 0.30
0.05 0.40 0.55
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
18

19. Diskret Markov zanjirlari

Markov jarayonlari
Diskret Markov zanjirlari
Keling, jarayon holatlari vaqt o'tishi bilan qanday o'zgarishini ko'rib chiqaylik. 0 momentdan boshlab jarayonni ketma-ket vaqt momentlarida ko'rib chiqamiz. Dastlabki ehtimollik taqsimotini p(0) ( p1 (0),..., pm (0)) o'rnatamiz, bu erda m - holatlar soni jarayonning pi (0) - topish ehtimoli
jarayon vaqtning dastlabki momentida i holatida. Pi(n) ehtimolligi holatning shartsiz ehtimolligi deyiladi
men n 1 vaqtida.
P (n) vektorining komponentlari n vaqtdagi kontaktlarning zanglashiga olib kelishi mumkin bo'lgan holatlaridan qaysi biri eng ko'p ekanligini ko'rsatadi.
ehtimol.
m
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
pk(n) 1
k 1
19

20. Diskret Markov zanjirlari

Markov jarayonlari
Diskret Markov zanjirlari
n 1 uchun ( p (n)) ketma-ketlikni bilish,... vaqt o'tishi bilan tizimning xatti-harakatlari haqida tasavvurga ega bo'lishga imkon beradi.
3 shtatli tizimda
p11 p12 p13
P p21
p
31
p22
p32
p23
p33
p2 (1) p1 (0) p12 p2 (0) p22 p3 (0) p32
p2 (n 1) p1 (n) p12 p2 (n) p22 p3 (n) p32
Umuman:
p j (1) pk (0) pkj
p j (n 1) pk (n) pkj
k
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
k
p(n 1) p(n) P
20

21. Diskret Markov zanjirlari. Misol

Markov jarayonlari
Diskret Markov zanjirlari. Misol
Matritsa
0.20 0.50 0.30
0.00 0.50 0.50
0.00 0.00 1.00
Qadam
(p(n))
n
0
1, 0, 0
n
1
0.2 , 0.5 , 0.3
n
2
0.04 , 0.35 , 0.61
n
3
0.008 , 0.195 , 0.797
n
4
0.0016 , 0.1015 , 0.8969
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
21

22. Diskret Markov zanjirlari

Markov jarayonlari
Diskret Markov zanjirlari
n
n bosqichli P(n) P uchun o'tish matritsasi.
0.20 0.50 0.30
0.00 0.50 0.50
0.00 0.00 1.00
p(2) p(0) P
2
p(2)
P(2) P2
1, 0, 0
0.0016
0.
0.
0.0016
0.
0.
0.1015
0.0625
0.
0.1015
0.0625
0.
0.8969
0.9375
1.
0.8969
0.9375
1.
0.04 , 0.35 , 0.61
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
22

23. Diskret Markov zanjirlari

Markov jarayonlari
Diskret Markov zanjirlari
Markov zanjirlari n uchun qanday harakat qiladi?
Bir jinsli Markov zanjiri uchun ma'lum sharoitlarda quyidagi xususiyat mavjud: n uchun p (n).
0 ehtimoli dastlabki taqsimotga bog'liq emas
p (0) , va faqat P matritsasi bilan aniqlanadi. Bunday holda, u statsionar taqsimot deb ataladi va zanjirning o'zi ergodik deb ataladi. Ergodiklik xususiyati n ortib borishini bildiradi
holatlar ehtimoli amalda o'zgarishni to'xtatadi va tizim barqaror ish rejimiga o'tadi.
i
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
23

24. Diskret Markov zanjirlari. Misol

Markov jarayonlari
Diskret Markov zanjirlari. Misol
0.20 0.50 0.30
0.00 0.50 0.50
0.00 0.00 1.00
0 0 1
P() 0 0 1
0 0 1
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
p()(0,0,1)
24

25. Diskret Markov zanjirlari. Misol

Markov jarayonlari
Diskret Markov zanjirlari. Misol
0.30 0.60 0.10
0.10 0.60 0.30
0.05 0.40 0.55
0.1017 0.5254 0.3729
P() 0,1017 0,5254 0,3729
0.1017 0.5254 0.3729
p() (0,1017,0,5254,0,3729)
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
25

26. Markov jarayonlari uzluksiz vaqt bilan

Markov jarayonlari

Agar jarayon uzluksiz vaqtli jarayon deb ataladi
Holatdan holatga mumkin bo'lgan o'tish momentlari oldindan belgilanmagan, ammo noaniq, tasodifiy va sodir bo'lishi mumkin.
istalgan vaqtda.
Misol. Texnologik tizim S ikkita qurilmadan iborat,
ularning har biri tasodifiy vaqtda chiqib ketishi mumkin
bino, shundan so'ng jihozni ta'mirlash darhol boshlanadi, shuningdek, noma'lum, tasodifiy vaqt davomida davom etadi.
Quyidagi tizim holatlari mumkin:
S0 - ikkala qurilma ham ishlaydi;
S1 - birinchi qurilma ta'mirlanmoqda, ikkinchisi to'g'ri ishlaydi;
S2 - ikkinchi qurilma ta'mirlanmoqda, birinchisi to'g'ri ishlaydi;
S3 - ikkala qurilma ham ta'mirlanmoqda.
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
26

27. Markov jarayonlari uzluksiz vaqt bilan

Markov jarayonlari
Uzluksiz vaqtli Markov jarayonlari
S tizimining holatdan holatga o'tishlari sodir bo'ladi
deyarli bir zumda, tasodifiy muvaffaqiyatsizlik daqiqalarida
u yoki bu qurilma yoki
ta'mirlash ishlarini yakunlash.
Bir vaqtning o'zida sodir bo'lish ehtimoli
ikkala qurilmaning ishlamay qolishi
e'tibordan chetda qolishi mumkin.
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
27

28. Voqea oqimlari

Markov jarayonlari
Voqealar oqimlari
Hodisalar oqimi - bu vaqtning tasodifiy daqiqalarida birin-ketin davom etadigan bir xil hodisalar ketma-ketligi.
hodisalarning o'rtacha soni
Hodisalar oqimining intensivligi
vaqt birligi uchun.
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
28

29. Voqea oqimlari

Markov jarayonlari
Voqealar oqimlari
Hodisalar oqimi statsionar deyiladi, agar uning ehtimollik xususiyatlari vaqtga bog'liq bo'lmasa.
Xususan, intensivlik
barqaror oqim doimiy. Hodisalar oqimi muqarrar ravishda kondensatsiyalar yoki siyraklanishlarga ega, lekin ular muntazam xarakterga ega emas va vaqt birligidagi hodisalarning o'rtacha soni doimiy bo'lib, vaqtga bog'liq emas.
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
29

30. Voqealar oqimi

Markov jarayonlari
Voqealar oqimlari
Hodisalar oqimi oqibatlarsiz oqim deb ataladi
har qanday ikkita bir-biriga mos kelmaydigan vaqt davri va ulardan biriga to'g'ri keladigan hodisalar soni boshqasiga qancha hodisa tushishiga bog'liq emas. Boshqacha aytganda, bu oqimni tashkil etuvchi hodisalarning ma'lum daqiqalarda paydo bo'lishini anglatadi
vaqt bir-biridan mustaqil va har biri o'z sabablaridan kelib chiqadi.
Agar elementar t segmentida ikki yoki undan ortiq hodisaning ro‘y berish ehtimoli bitta voqea sodir bo‘lish ehtimoliga nisbatan ahamiyatsiz bo‘lsa, hodisalar oqimi oddiy deb ataladi.
voqealar, ya'ni. unda hodisalar bir vaqtning o'zida bir nechta guruhlarda emas, balki birma-bir namoyon bo'ladi
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
30

31. Voqea oqimlari

Markov jarayonlari
Voqealar oqimlari
Hodisalar oqimi bir vaqtning o'zida uchta xususiyatga ega bo'lsa, eng oddiy (yoki statsionar Puasson) deb ataladi: 1) statsionar, 2) oddiy, 3) hech qanday oqibatlarga olib kelmaydi.
Eng oddiy oqim eng oddiy matematik tavsifga ega. U bir xil maxsus oqimlar orasida o'ynaydi
qonun kabi rol normal taqsimot boshqalar qatorida
tarqatish qonunlari. Ya'ni, etarlicha ko'p sonli mustaqil, statsionar va oddiylarni qo'shganda
oqimlar (intensivlikda bir-biri bilan solishtirish mumkin), natijada eng oddiyga yaqin oqim.
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
31

32. Voqea oqimlari

Markov jarayonlari
Voqealar oqimlari
Intensivlik bilan eng oddiy oqim uchun
interval
qo'shni hodisalar orasidagi T vaqti eksponensialga ega
zichlik bilan taqsimlanadi
p(x) e x , x 0 .
Eksponensial taqsimotga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchi T uchun, matematik kutish parametrga teskari hisoblanadi.
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
32

33. Markov jarayonlari uzluksiz vaqt bilan

Markov jarayonlari
Uzluksiz vaqtli Markov jarayonlari
Diskret holatlar va uzluksiz vaqtga ega bo'lgan jarayonlarni hisobga olsak, S tizimining barcha holatlardan holatga o'tishlari ta'sir ostida sodir bo'ladi deb taxmin qilishimiz mumkin.
oddiy hodisalar oqimlari (chaqiruv oqimlari, nosozliklar oqimi, tiklash oqimlari va boshqalar).
Agar S tizimini holatdan holatga o'tkazadigan barcha hodisalar oqimi eng oddiy bo'lsa, unda sodir bo'lgan jarayon
tizim Markovian bo'ladi.
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
33

34. Markov jarayonlari uzluksiz vaqt bilan

Markov jarayonlari
Uzluksiz vaqtli Markov jarayonlari
Shtatdagi tizimga amal qilsin
voqealarning eng oddiy oqimi. Ushbu oqimning birinchi hodisasi paydo bo'lishi bilanoq, tizim davlatdan "sakrab chiqadi"
holatiga.
- tizimni uzatuvchi hodisalar oqimining intensivligi
davlatdan
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
V
.
34

35. Markov jarayonlari uzluksiz vaqt bilan

Markov jarayonlari
Uzluksiz vaqtli Markov jarayonlari
Ko'rib chiqilayotgan S sistemaga ega bo'lsin
mumkin bo'lgan holatlar
. Ehtimollik p ij (t) - t vaqt ichida i holatdan j holatga o'tish ehtimoli.
i-holatning ehtimoli
buning ehtimoli
t vaqtida tizim davlatda bo'ladi
. Shubhasiz, har qanday vaqt uchun miqdor
barcha holatlarning ehtimolliklari bittaga teng:
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
35

36. Markov jarayonlari uzluksiz vaqt bilan

Markov jarayonlari
Uzluksiz vaqtli Markov jarayonlari
Barcha holat ehtimolini topish uchun
Qanaqasiga
vaqt funksiyalari tuziladi va yechiladi differensial tenglamalar Kolmogorov - noma'lum funktsiyalar holatlarning ehtimolliklari bo'lgan tenglamaning maxsus turi.
O'tish ehtimoli uchun:
p ij (t) p ik (t) kj
k
Shartsiz ehtimollar uchun:
p j (t) p k (t) kj
k
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
36

37. Kolmogorov Andrey Nikolaevich

Markov jarayonlari
Kolmogorov Andrey Nikolaevich
1903-1987
Buyuk rus
matematik.
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
37

38. Markov jarayonlari uzluksiz vaqt bilan

Markov jarayonlari
Uzluksiz vaqtli Markov jarayonlari
- buzilish oqimining intensivligi;
- tiklanish oqimining intensivligi.
Tizim davlatda bo'lsin
S0. U oqim orqali S1 holatiga o'tkaziladi
birinchi qurilmaning nosozliklari. Uning intensivligi
Qayerda
- qurilmaning o'rtacha ish vaqti.
Tizim restavratsiyalar oqimi bilan S1 holatidan S0 holatiga o'tkaziladi
birinchi qurilma. Uning intensivligi
Qayerda
- birinchi mashinani ta'mirlash uchun o'rtacha vaqt.
Tizimni grafikning barcha yoylari bo'ylab o'tkazadigan hodisa oqimlarining intensivligi xuddi shunday tarzda hisoblanadi.
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
38

39. Navbat tizimlari

Markov jarayonlari

Navbatga turish xizmatlariga (QS) misollar: telefon stansiyalari, ta'mirlash ustaxonalari,
chipta
kassa apparatlari,
ma'lumotnoma
byuro,
dastgohlar va boshqa texnologik tizimlar,
tizimlari
boshqaruv
moslashuvchan
ishlab chiqarish tizimlari,
serverlar tomonidan ma'lumotlarni qayta ishlash va boshqalar.
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
39

40. Navbat tizimlari

Markov jarayonlari
Navbat tizimlari
QS ma'lum miqdordagi xizmatdan iborat
xizmat ko'rsatish kanallari deb ataladigan birliklar (bular
mashinalar, robotlar, aloqa liniyalari, kassirlar va boshqalar). Har qanday SMO
tasodifiy vaqtda kelgan ilovalar (talablar) oqimiga xizmat ko'rsatish uchun mo'ljallangan.
So'rovga xizmat ko'rsatish tasodifiy vaqt davomida davom etadi, shundan so'ng kanal bo'shatiladi va keyingisini olishga tayyor bo'ladi
ilovalar.
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
40

41. Navbat tizimlari

Markov jarayonlari
Navbat tizimlari
QSning ishlash jarayoni - tasodifiy jarayon diskret bilan
holatlar va uzluksiz vaqt. QS holati ba'zi hodisalar sodir bo'lgan paytlarda keskin o'zgaradi
(yangi so'rovning kelishi, xizmatning tugashi, moment,
kutishdan charchagan ariza navbatdan chiqib ketganda).
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
41

42. Navbat tizimlari

Markov jarayonlari
Navbat tizimlari
Navbat tizimlarining tasnifi
1. Nosozliklar bilan QS;
2. Navbat bilan navbat.
Rad etilgan QSda barcha kanallar band bo'lgan vaqtda qabul qilingan ariza rad javobini oladi, QSni tark etadi va endi ishlamay qoladi.
xizmat qilgan.
Navbatga ega QSda barcha kanallar band bo'lgan vaqtda kelgan so'rov ketmaydi, balki navbatda turadi va xizmat ko'rsatish imkoniyatini kutadi.
Navbatlar bilan QS bo'linadi turli xil turlari qarab
navbat qanday tashkil etilganiga bog'liq - cheklangan yoki cheksiz. Cheklovlar navbat uzunligi va vaqtiga nisbatan qoʻllanilishi mumkin
umidlar, "xizmat intizomi".
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
42

43. Navbat tizimlari

Markov jarayonlari
Navbat tizimlari
Navbat nazariyasining predmeti qurilish hisoblanadi
berilgan shartlarni bog'lovchi matematik modellar
QS ning ishlashi (kanallar soni, ularning ishlashi, qoidalari
ish, ilovalar oqimining tabiati) bizni qiziqtiradigan xususiyatlar bilan - QS samaradorligi ko'rsatkichlari. Ushbu ko'rsatkichlar QSning oqimga dosh berish qobiliyatini tavsiflaydi
ilovalar. Ular quyidagilar bo'lishi mumkin: vaqt birligida QS tomonidan xizmat ko'rsatadigan ilovalarning o'rtacha soni; band bo'lgan kanallarning o'rtacha soni; navbatdagi arizalarning o'rtacha soni; xizmat uchun o'rtacha kutish vaqti va boshqalar.
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"
43

44.

RAHMAT
DIQQAT UCHUN!!!
44

45. O‘tish grafigini tuzing

Markov jarayonlari
O'tish grafigini tuzing
0.30
0.70
0.0
0.10
0.60
0.30
0.50
0.50
0.0
KHNURE, bo'lim PM, o'qituvchi Kirichenko L.O.
“Ehtimollar nazariyasi, matematik
statistika va tasodifiy jarayonlar"

Tasodifiy jarayon shaklida rivojlanayotgan ko'plab operatsiyalarni matematik tavsiflash uchun Markov tasodifiy jarayonlari uchun ehtimollik nazariyasida ishlab chiqilgan matematik apparat muvaffaqiyatli qo'llanilishi mumkin.

Funktsiya X(t) har qanday argument uchun uning qiymati tasodifiy deyiladi t tasodifiy o‘zgaruvchidir.

Tasodifiy funksiya X(t), kimning argumenti vaqt bo'lsa, deyiladi tasodifiy jarayon .

Markov jarayonlari tasodifiy jarayonlarning maxsus turidir. Tasodifiy jarayonlarning boshqa sinflari orasida Markov jarayonlarining alohida o'rni quyidagi holatlar bilan bog'liq: Markov jarayonlari uchun matematik apparat yaxshi ishlab chiqilgan bo'lib, u ko'plab amaliy masalalarni hal qilishga imkon beradi; Markov jarayonlari yordamida juda murakkab tizimlarning harakatini (aniq yoki taxminan) tasvirlash mumkin.

Ta'rif. Tizimda sodir bo'ladigan tasodifiy jarayon S, chaqirildi Markovian (yoki keyingi ta'sirsiz jarayon), agar u quyidagi xususiyatga ega bo'lsa: vaqtning istalgan lahzasi uchun t 0 kelajakda tizimning har qanday holatining ehtimoli (bilan t > t 0) faqat uning hozirgi holatiga bog'liq (bilan t = t 0) va S sistemaning bu holatga qachon va qanday kelganiga bog'liq emas. Ya'ni, Markov tasodifiy jarayonda jarayonning kelajakdagi rivojlanishi uning oldingi tarixiga bog'liq emas.

Markov jarayonlarining tasnifi . Markov tasodifiy jarayonlarining tasnifi funktsiyalar qiymatlari to'plamining uzluksizligi yoki diskretligiga qarab amalga oshiriladi. X(t) va parametr t. Markov tasodifiy jarayonlarining quyidagi asosiy turlari mavjud:

· diskret holatlar va diskret vaqt bilan (Markov zanjiri);

· uzluksiz holatlar va diskret vaqt bilan (Markov ketma-ketliklari);

· diskret holatlar va uzluksiz vaqt bilan (uzluksiz Markov zanjiri);

· uzluksiz holat va uzluksiz vaqt bilan.

Bu erda faqat diskret holatlarga ega bo'lgan Markov jarayonlari ko'rib chiqiladi S 1, S 2,…, S n. Ya'ni, bu holatlar birin-ketin raqamlanishi mumkin va jarayonning o'zi tizim o'z holatini sakrashlarda tasodifiy o'zgartirishidan iborat.

Davlat grafigi. Diskret holatlarga ega bo'lgan Markov jarayonlari holat grafigi (1.1-rasm) yordamida qulay tarzda tasvirlangan, bu erda holatlar kvadratchalar bilan ko'rsatilgan. S1, S2, ... tizimlari S, va o'qlar holatdan holatga mumkin bo'lgan o'tishlarni ko'rsatadi. Grafik faqat to'g'ridan-to'g'ri o'tishlarni belgilaydi, boshqa holatlar orqali o'tishni emas. Oldingi holatdagi mumkin bo'lgan kechikishlar "loop" sifatida tasvirlangan, ya'ni ma'lum bir holatdan bir xil holatga yo'naltirilgan o'q. Tizimning holatlar soni chekli yoki cheksiz bo'lishi mumkin (lekin hisoblash mumkin).

Guruch. 3.1. Tizim holati grafigi S

Vazifa 1. Tizim S- beshta davlatdan birida bo'lishi mumkin bo'lgan mashina.

S 1- yaxshi holatda, ishlaydi;

S 2- noto'g'ri, tekshirishni kutmoqda;

S 3- tekshiradi;

S 4- ta'mirlanmoqda;

S 5- hisobdan chiqarilgan.

Tizim holatlari grafigini tuzing.

Vazifa 2. Texnik qurilma S 2 tugundan iborat: 1 va 2, ularning har biri istalgan vaqtda muvaffaqiyatsiz bo'lishi mumkin. Har bir tugun faqat 2 ta holatga ega bo'lishi mumkin. 1 - xizmat ko'rsatish mumkin, 2 - noto'g'ri. Tizim holatlari grafigini tuzing.

Vazifa 3. Jarayon davomida tugunlar tuzatilmaydi, deb faraz qilib, oldingi masala sharoitida holat grafigini tuzing.

Vazifa 4. Texnik qurilma S 2 tugundan iborat: 1 va 2, ularning har biri istalgan vaqtda muvaffaqiyatsiz bo'lishi mumkin. Qayta tiklashni boshlashdan oldin har bir blok nosozlikni aniqlash uchun tekshiriladi. Tizim holatlari 2 ta indeks bilan raqamlangan: S ij (i- birinchi tugunning holati; j– ikkinchi tugunning holati). Har bir tugun uchta holatga ega (ishlash, tekshirish, tiklash).

Sayt materiallaridan foydalanish bo'yicha shartnoma

Saytda chop etilgan asarlardan faqat shaxsiy maqsadlarda foydalanishingizni so'raymiz. Boshqa saytlarda materiallarni chop etish taqiqlanadi.
Bu ish (va boshqa barcha) butunlay bepul yuklab olish mumkin. Siz uning muallifiga va sayt jamoasiga ruhan minnatdorchilik bildirishingiz mumkin.

Yaxshi ishingizni bilimlar bazasiga topshirish juda oson. Quyidagi shakldan foydalaning

Talabalar, aspirantlar, bilimlar bazasidan o‘z o‘qishlarida va ishlarida foydalanayotgan yosh olimlar sizdan juda minnatdor bo‘lishadi.

Shunga o'xshash hujjatlar

Markov zanjirlari nazariyasining asosiy tushunchalari. Cheklovchi ehtimollar nazariyasi. Markov zanjirlarini qo'llash sohalari. Boshqariladigan Markov zanjirlari. Strategiyani tanlash. Optimal strategiya Markov - bu qaror qabul qilingan vaqtga ham bog'liq bo'lishi mumkin.

referat, 03/08/2004 qo'shilgan


Markov zanjiri tasodifiy hodisalar ketma-ketligining oddiy holati sifatida, uning qo'llanilishi sohalari. Markov zanjirida ehtimollikni cheklash teoremasi, Markov tenglik formulasi. Tipik va bir hil Markov zanjiri uchun misollar, o'tish matritsasini topish uchun.

kurs ishi, 2011-04-20 qo'shilgan


Markov zanjirlari nazariyasining asosiy tushunchalari, ulardan tizimda band bo'lgan qurilmalar sonining ehtimollik taqsimotini hisoblash uchun navbat nazariyasida foydalanish. Eng yaxshi tanlov muammosini hal qilish metodologiyasi. Takrorlanuvchi va qaytarilmaydigan holatlar tushunchasi.

kurs ishi, 2011 yil 11/06 qo'shilgan


Markov zanjirlari Bernulli sxemasini umumlashtirish sifatida, yakuniy yoki cheksiz sonli natijalar bilan tasodifiy hodisalar ketma-ketligini tavsiflash; sxemalarning xossalari, ularning informatikadagi dolzarbligi; ilova: PageRank yordamida matn muallifligini aniqlash.

dissertatsiya, 2011-05-19 qo'shilgan


Matematikada tasodifiy jarayonning ta'rifi, bu jarayonning mexanizmini tavsiflovchi bir qator atama va tushunchalar. Markov, diskret holatlarga ega statsionar tasodifiy jarayonlar. Statsionar tasodifiy jarayonlarning ergodik xususiyatining xususiyatlari.

referat, 2010-yil 15-05-da qo'shilgan


Tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketliklarining yaqinlashishi. Mustaqil bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar uchun markaziy chegara teoremasi. Asosiy vazifalar matematik statistika, ularning xususiyatlari. Smirnovning bir xillik mezoni yordamida gipotezalarni tekshirish.

kurs ishi, 11/13/2012 qo'shilgan


Tasodifiy hodisalarning tasnifi. Tarqatish funksiyasi. Diskret tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari. Yagona ehtimollik taqsimoti qonuni. Talabalarni taqsimlash. Matematik statistika masalalari. Populyatsiya parametrlarini baholash.