Leybnits formulasi berilgan n-chi hisoblar ikki funksiya hosilasining hosilasi. Uning isboti ikki xilda keltiriladi. n-tartibli hosilani hisoblash misoli ko'rib chiqiladi.

Tarkib

Shuningdek qarang: Ikki funktsiyaning hosilasi

Leybnits formulasi

Leybnits formulasidan foydalanib, ikkita funktsiya hosilasining n-tartibli hosilasini hisoblash mumkin. Bu shunday ko'rinadi:
(1) ,
Qayerda
- binomial koeffitsientlar.

Binam koeffitsientlari - bu binomning kuchlarda kengayish koeffitsientlari va:
.
Shuningdek, raqam n dan k gacha bo'lgan birikmalar sonidir.

Leybnits formulasining isboti

Ikki funktsiya hosilasining hosilasi formulasini qo'llaymiz:
(2) .
(2) formulani quyidagi shaklda qayta yozamiz:
.
Ya'ni, bir funktsiya x o'zgaruvchiga, ikkinchisi esa y o'zgaruvchiga bog'liq deb hisoblaymiz. Hisoblash oxirida biz taxmin qilamiz. Keyin oldingi formulani quyidagicha yozish mumkin:
(3) .
Hosila shartlar yig'indisiga teng bo'lgani uchun va har bir atama ikkita funktsiyaning mahsuloti bo'lganligi sababli, yuqori darajadagi hosilalarni hisoblash uchun (3) qoidani izchil qo'llash mumkin.

Keyin n-tartibli hosila uchun bizda:

.
Buni hisobga olib, biz Leybnits formulasini olamiz:
(1) .

Induksiya bilan isbotlash

Matematik induksiya usuli yordamida Leybnits formulasining isbotini keltiramiz.

Leybnits formulasini yana bir bor yozamiz:
(4) .
n = 1 uchun bizda:
.
Bu ikki funktsiya hosilasining hosilasi formulasi. U adolatli.

Faraz qilaylik, (4) formula n-tartibli hosila uchun o‘rinli. n+ hosilasi uchun amal qilishini isbotlaylik 1 - tartib.

Keling, farqlaylik (4):
;



.
Shunday qilib, biz topdik:
(5) .

(5) ni almashtiramiz va shuni hisobga olamiz:

.
Bu (4) formulaning n+ hosilasi uchun bir xil ko'rinishga ega ekanligini ko'rsatadi 1 - tartib.

Demak, (4) formula n = uchun amal qiladi 1 . Ba'zi n = m soniga mos keladi degan farazdan u n = m + uchun amal qiladi, degan xulosa kelib chiqadi. 1 .
Leybnits formulasi isbotlangan.

Misol

Funktsiyaning n-chi hosilasini hisoblang
.

Leybnits formulasini qo'llaymiz
(2) .
Bizning holatda
;
.

Sanoat jadvalidan bizda:
.
Biz trigonometrik funktsiyalarning xususiyatlarini qo'llaymiz:
.
Keyin
.
Bu shuni ko'rsatadiki, sinus funktsiyasining differentsiatsiyasi uning ga siljishiga olib keladi. Keyin
.

Funktsiyaning hosilalarini topish.
;
;
;
, .

Chunki uchun, u holda Leybnits formulasida faqat dastlabki uchta had nolga teng emas. Binom koeffitsientlarini topish.
;
.

Leybnits formulasiga ko'ra bizda:

.

Shuningdek qarang:

Amaliy masalalarni yechish integralni hisoblashdan kelib chiqadi, lekin buni har doim ham aniq bajarish mumkin emas. Ba'zan ma'lum bir integralning qiymatini ma'lum darajada aniqlik bilan bilish kerak, masalan, minginchigacha.

Muayyan integralning taxminiy qiymatini kerakli aniqlik bilan topish kerak bo'lganda muammolar mavjud, keyin Simposniy usuli, trapezoidlar va to'rtburchaklar kabi raqamli integratsiya qo'llaniladi. Hamma holatlar uni ma'lum bir aniqlik bilan hisoblashimizga imkon bermaydi.

Ushbu maqola Nyuton-Leybnits formulasini qo'llashni o'rganadi. Bu aniq integralni aniq hisoblash uchun zarur. Beriladi batafsil misollar, oʻzgaruvchining oʻzgarishlari aniq integral va qismlar bo'yicha integrallashda aniq integralning qiymatlarini toping.

Nyuton-Leybnits formulasi

Ta'rif 1

y = y (x) funksiya [ a oraliqdan uzluksiz bo'lganda; b ] , va F (x) bu segment funksiyasining antiderivativlaridan biri, u holda Nyuton-Leybnits formulasi adolatli hisoblanadi. Buni shunday yozamiz: ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Ushbu formula hisobga olinadi integral hisobining asosiy formulasi.

Ushbu formulani isbotlash uchun mavjud o'zgaruvchan yuqori chegarasi bo'lgan integral tushunchasidan foydalanish kerak.

y = f (x) funksiya [ a oraliqdan uzluksiz bo'lganda; b ], keyin argumentning qiymati x ∈ a; b , integral esa ∫ a x f (t) d t ko'rinishga ega va yuqori chegaraning funksiyasi hisoblanadi. Funktsiyaning yozuvini olish kerak ∫ a x f (t) d t = P (x) , u uzluksiz va ∫ a x f (t) d t " = P " (x) = ko'rinishdagi tengsizlik bo'ladi. f (x) buning uchun amal qiladi.

PH (x) funktsiyaning o'sishi ∆ x argumentining o'sishiga to'g'ri kelishini aniqlaylik, aniq integralning beshinchi asosiy xususiyatidan foydalanish kerak va biz olamiz

P (x + ∆ x) - P x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f (c) ∆ x

bu erda c ∈ x qiymati; x + ∆ x.

Tenglikni P (x + ∆ x) - PH (x) ∆ x = f (c) ko'rinishida tuzamiz. Funktsiya hosilasining ta'rifi bilan chegaraga ∆ x → 0 bo'lishi kerak, keyin P "(x) = f (x) ko'rinishdagi formulani olamiz. Biz P (x) ekanligini topamiz. y = f (x) ko'rinishdagi funktsiyaga qarshi hosilalardan biri, aks holda, ifoda yozilishi mumkin;

F (x) = PH (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C, bu erda C qiymati doimiy.

Aniq integralning birinchi xossasidan foydalanib F (a) ni hisoblaymiz. Keyin biz buni olamiz

F (a) = P (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, shuning uchun biz C = F (a) ni olamiz. Natija F (b) ni hisoblashda qo'llaniladi va biz quyidagilarni olamiz:

F (b) = P (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a), boshqacha aytganda, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (a) . Tenglik Nyuton-Leybnits formulasi bilan isbotlangan ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Funktsiyaning o'sishini F x a b = F (b) - F (a) deb olamiz. Belgilanishdan foydalanib, Nyuton-Leybnits formulasi ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) ko'rinishini oladi.

Formulani qo'llash uchun y = f (x) integrali funksiyasining [ a segmentidan y = F (x) ga qarshi hosilalaridan birini bilish kerak; b ], ushbu segmentdan antiderivativning o'sishini hisoblang. Keling, Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisob-kitoblarning bir nechta misollarini ko'rib chiqaylik.

1-misol

Aniq integral ∫ 1 3 x 2 d x ni Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib hisoblang.

Yechim

y = x 2 ko rinishdagi integrasiya [ 1 ” oralig idan uzluksiz ekanligini hisobga oling; 3 ] bo'lsa, u bu oraliqda integrallanadi. Jadvalga ko'ra noaniq integrallar y = x 2 funksiyasi hamma uchun antiderivativlar to‘plamiga ega ekanligini ko‘ramiz haqiqiy qadriyatlar x, ya'ni x ∈ 1; 3 F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C shaklida yoziladi. C = 0 bo'lgan antiderivativni olish kerak, keyin biz F (x) = x 3 3 ni olamiz.

Biz Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanamiz va aniq integralni hisoblash ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 ko'rinishda ekanligini aniqlaymiz.

Javob:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

2-misol

Aniq integral ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x ni Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib hisoblang.

Yechim

Berilgan funksiya [ - 1 dan uzluksiz; 2 ], ya'ni u integrallash mumkin. Noaniq integralning ∫ x · e x 2 + 1 d x qiymatini differensial belgi ostida yig'ish usuli yordamida topish kerak, keyin ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d ( ni olamiz) x 2 + 1) = 1 2 e x 2 + 1 + C.

Demak, bizda y = x · e x 2 + 1 funksiyaning barcha x, x ∈ - 1 uchun o'rinli bo'lgan antiderivativlar to'plami mavjud; 2.

C = 0 da antiderivativni olish va Nyuton-Leybnits formulasini qo'llash kerak. Keyin shaklning ifodasini olamiz

∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Javob:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

3-misol

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x va ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x integrallarini hisoblang.

Yechim

Segment - 4; - 1 2 integral belgisi ostidagi funksiya uzluksiz ekanligini aytadi, demak u integrallanadi. Bu yerdan y = 4 x 3 + 2 x 2 funksiyaning anti hosilalari to'plamini topamiz. Biz buni tushunamiz

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

F (x) = 2 x 2 - 2 x antiderivativni olish kerak, keyin Nyuton-Leybnits formulasini qo'llagan holda, biz hisoblab chiqiladigan integralni olamiz:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Biz ikkinchi integralni hisoblashga o'tamiz.

Segmentdan [- 1; 1 ] bizda integratsiya funksiyasi cheklanmagan deb hisoblanadi, chunki lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , shundan kelib chiqadiki, zaruriy shart segmentdan integratsiyalashuv. U holda F (x) = 2 x 2 - 2 x [ - 1 oraliqdan y = 4 x 3 + 2 x 2 uchun antiderivativ emas; 1 ], chunki O nuqta segmentga tegishli, ammo ta'rif sohasiga kiritilmagan. Demak, [ - 1 oraliqdan y = 4 x 3 + 2 x 2 funksiya uchun aniq Riman va Nyuton-Leybnits integrali mavjud; 1].

Javob: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 ,[ - 1 oraliqdan y = 4 x 3 + 2 x 2 funksiya uchun aniq Riman va Nyuton-Leybnits integrali mavjud; 1].

Nyuton-Leybnits formulasini qo'llashdan oldin aniq integral mavjudligi haqida aniq ma'lumotga ega bo'lishingiz kerak.

Aniq integraldagi o'zgaruvchini o'zgartirish

y = f (x) funksiya aniqlangan va [ a oraliqdan uzluksiz bo'lganda; b], keyin mavjud to'plam [a; b] a segmentida aniqlangan x = g (z) funksiya qiymatlari diapazoni deb hisoblanadi; b mavjud uzluksiz hosila bilan, bu erda g (a) = a va g b = b, bundan ∫ a b f (x) d x = ∫ a b f (g (z)) g " (z) d z ekanligini olamiz.

Bu formula ∫ a b f (x) d x integralini hisoblash kerak bo'lganda qo'llaniladi, bu erda noaniq integral ∫ f (x) d x ko'rinishga ega bo'lsa, biz almashtirish usuli yordamida hisoblaymiz.

4-misol

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x ko'rinishdagi aniq integralini hisoblang.

Yechim

Integratsiya funksiyasi integrallash oralig'ida uzluksiz hisoblanadi, ya'ni aniq integral mavjud. 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 yozuvini keltiramiz. X = 9 qiymati z = 2 9 - 9 = 9 = 3 ekanligini bildiradi va x = 18 uchun z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3 ni olamiz, keyin g a = g (3) = 9, g b = g 3 3 = 18. Olingan qiymatlarni ∫ a b f (x) d x = ∫ a b f (g (z)) g " (z) d z formulasiga almashtirganda, biz buni olamiz

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 " d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫3 3 3 2 z 2 + 9 d z

Noaniq integrallar jadvaliga ko'ra, bizda 2 z 2 + 9 funksiyaning anti hosilalaridan biri 2 3 a r c t g z 3 qiymatini oladi. Keyin, Nyuton-Leybnits formulasini qo'llaganimizda, biz buni olamiz

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r p -3 18

Topilma ∫ a b f (x) d x = ∫ a b f (g (z)) · g " (z) d z formulasidan foydalanmasdan ham amalga oshirilishi mumkin edi.

Agar almashtirish usulidan foydalanib, ∫ 1 x 2 x - 9 d x ko'rinishdagi integraldan foydalansak, u holda ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C natijaga kelishimiz mumkin.

Bu yerdan Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisob-kitoblarni amalga oshiramiz va aniq integralni hisoblaymiz. Biz buni tushunamiz

 9 18 2 z 2 + 2 3 A r c t g 1 18 - 9 3 a r c t g 1 - p 4 - p 4 - p 4 - p 4 - 2 3 - 2 = p 18

Natijalar bir xil edi.

Javob: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = p 18

Aniq integralni hisoblashda qismlar bo'yicha integrallash

Agar segmentda [ a ; b ] u (x) va v (x) funktsiyalari aniqlangan va uzluksiz, keyin ularning birinchi tartibli hosilalari v " (x) · u (x) integrallanishi mumkin, shuning uchun bu segmentdan integrallanuvchi funksiya uchun u " (x) · v ( x) tenglik ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x to'g'ri.

Keyin formuladan foydalanish mumkin, ∫ a b f (x) d x integralini hisoblash kerak, ∫ f (x) d x esa uni qismlar bo'yicha integrallash yordamida izlash kerak edi.

5-misol

Aniq integral ∫ - p 2 3 p 2 x · sin x 3 + p 6 d x ni hisoblang.

Yechim

x · sin x 3 + p 6 funksiya - p 2 oraliqda integrallanadi; 3 p 2, bu uzluksizligini bildiradi.

u (x) = x, keyin d (v (x)) = v " (x) d x = sin x 3 + p 6 d x, va d (u (x)) = u " (x) d x = d x, va v (x) = - 3 cos p 3 + p 6 . ∫ a b v "(x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x formulasidan biz shuni olamiz

∫ - p 2 3 p 2 x · sin x 3 + p 6 d x = - 3 x · cos x 3 + p 6 - p 2 3 p 2 - ∫ - p 2 3 p 2 - 3 cos x 3 + p 6 d x = = - 3 · 3 p 2 · cos p 2 + p 6 - - 3 · - p 2 · cos - p 6 + p 6 + 9 sin x 3 + p 6 - p 2 3 p 2 = 9 p 4 - 3 p 2 + 9 sin p 2 + p 6 - sin - p 6 + p 6 = 9 p 4 - 3 p 2 + 9 3 2 = 3 p 4 + 9 3 2

Misolni boshqa yo'l bilan hal qilish mumkin.

Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib, qismlar bo‘yicha integrallash orqali x · sin x 3 + p 6 funksiyaning anti hosilalari to‘plamini toping:

∫ x · sin x x 3 + p 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + p 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + p 6 = = - 3 cos x 3 + p 6 + 3 ∫ cos x 3 + p 6 d x = = - 3 x cos x 3 + p 6 + 9 sin x 3 + p 6 + C ⇒ ∫ - p 2 3 p 2 x sin x 3 + p 6 d x = - 3 cos x 3 + p 6 + 9 sincos x 3 + p 6 - - - 3 - p 2 cos - p 6 + p 6 + 9 sin - p 6 + p 6 = = 9 p 4 + 9 3 2 - 3 p 2 - 0 = 3 p 4 + 9 3 2

Javob: ∫ x · sin x x 3 + p 6 d x = 3 p 4 + 9 3 2

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Ish matni rasm va formulalarsiz joylashtirilgan.
To'liq versiya ish PDF formatidagi "Ish fayllari" yorlig'ida mavjud

"Men ham, Nyuton binomiali!»

"Usta va Margarita" romanidan

“Paskal uchburchagi shunchalik soddaki, hatto o‘n yoshli bola ham uni yozib qo‘ya oladi. Shu bilan birga, u bitmas-tuganmas xazinalarni yashiradi va bir qarashda bir-biri bilan hech qanday umumiylik bo'lmagan matematikaning turli tomonlarini birlashtiradi. Bunday noodatiy xususiyatlar bizga Paskal uchburchagini barcha matematikadagi eng oqlangan sxemalardan biri deb hisoblash imkonini beradi.

Martin Gardner.

Ishning maqsadi: qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini umumlashtiring va ularni masalalar yechishda qo'llanilishini ko'rsating.

Vazifalar:

1) ushbu masala bo'yicha ma'lumotlarni o'rganish va tizimlashtirish;

2) Nyuton binomialidan foydalangan holda misollar va darajalar yig'indisi va farqi formulalarini tahlil qiling.

O'rganish ob'ektlari: Nyuton binomiali, yig'indilar va darajalar farqlari formulalari.

Tadqiqot usullari:

O'quv va ilmiy-ommabop adabiyotlar, internet resurslari bilan ishlash.

Hisoblash, taqqoslash, tahlil qilish, o`xshatish.

Muvofiqlik. Biror kishi ko'pincha ba'zi narsalarni joylashtirishning barcha mumkin bo'lgan usullari sonini yoki biron bir harakatni amalga oshirishning barcha mumkin bo'lgan usullari sonini hisoblash kerak bo'lgan muammolar bilan shug'ullanishi kerak. Biror kishi tanlashi kerak bo'lgan turli xil yo'llar yoki variantlar turli xil kombinatsiyalarni keltirib chiqaradi. Matematikaning kombinatorika deb ataladigan butun bir bo‘limi esa savollarga javob izlash bilan band: berilgan holatda nechta kombinatsiya bor?

Ko'pgina mutaxassisliklar vakillari kombinatsion miqdorlar bilan shug'ullanishlari kerak: kimyo olimi, biolog, konstruktor, dispetcher va boshqalar.Kombinatorikaga qiziqishning ortishiga so'nggi paytlarda kibernetika va kompyuter texnikasining jadal rivojlanishi sabab bo'ldi.

Kirish

Suhbatdosh o'zi duch kelgan muammolarning murakkabligini bo'rttirib ko'rsatayotganini ta'kidlamoqchi bo'lganda, ular: "Menga Nyutonning binomial ham yoqadi!" Aytishlaricha, mana Nyutonning binomiali, bu murakkab, ammo sizda qanday muammolar bor! Hatto qiziqishlari matematikaga hech qanday aloqasi bo'lmagan odamlar ham Nyutonning binomial haqida eshitgan.

"Binomial" so'zi binomial degan ma'noni anglatadi, ya'ni. ikki shartning yig'indisi. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari maktab kursidan ma'lum:

( A+ b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , (a + b) 3 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .

Ushbu formulalarning umumlashtirilishi Nyutonning binomial formulasi deb ataladigan formuladir. Kvadratlarning ayirmalarini, kublarning yig’indilarini va ayirmalarini faktoring formulalari maktabda ham qo’llaniladi. Ular boshqa darajalarga umumlashtiriladimi? Ha, bunday formulalar bor, ular ko'pincha turli muammolarni hal qilishda qo'llaniladi: bo'linish qobiliyatini isbotlash, kasrlarni kamaytirish, taxminiy hisoblar.

Umumlashtiruvchi formulalarni o'rganish deduktiv-matematik fikrlash va umumiy fikrlash qobiliyatlarini rivojlantiradi.

1-BO'lim. Nyuton BINOMAL FORMULA

Kombinatsiyalar va ularning xususiyatlari

X n ta elementdan iborat to‘plam bo‘lsin. K elementni o'z ichiga olgan X to'plamning har qanday Y kichik to'plami, k ≤ n bo'lgan n dan k elementning birikmasi deyiladi.

n dan k elementning turli birikmalari soni C n k bilan belgilanadi. Kombinatorikaning eng muhim formulalaridan biri C n k soni uchun quyidagi formuladir:

Aniq qisqartmalardan keyin quyidagicha yozilishi mumkin:

Ayniqsa,

Bu X to'plamda 0 ta elementdan iborat faqat bitta kichik to'plam - bo'sh kichik to'plam mavjudligiga to'liq mos keladi.

C n k raqamlari bir qator ajoyib xususiyatlarga ega.

Formula to'g'ri: S n k = S n - k n , (3)

(3) formulaning ma'nosi shundan iboratki, X ning barcha k a'zoli kichik to'plamlari to'plami bilan X ning barcha (n - k) a'zoli kichik to'plamlari to'plami o'rtasida yakkama-yakka muvofiqlik mavjud: bu muvofiqlikni o'rnatish uchun, Y ning har bir k a'zoli kichik to'plami uchun X to'plamdagi to'ldiruvchisini solishtirish kifoya.

To'g'ri formula C 0 n + S 1 n + S 2 n + … + S n n = 2 n (4)

Chap tarafdagi yig'indi X to'plamining barcha kichik to'plamlari sonini ifodalaydi (C 0 n - 0 a'zoli kichik to'plamlar soni, C 1 n - bir a'zoli kichik to'plamlar soni va boshqalar).

Har qanday k, 1≤ k≤ n uchun tenglik to‘g‘ri bo‘ladi

C k n = C n -1 k + C n -1 k -1 (5)

Bu tenglikni (1) formuladan foydalanib olish oson. Haqiqatdan ham,

1.2. Nyutonning binomial formulasini chiqarish

Binomiyaning kuchlarini ko'rib chiqing a +b .

n = 0, (a +b ) 0 = 1

n = 1, (a +b ) 1 = 1a+1b

n = 2,(a +b ) 2 = 1a 2 + 2ab +1 b 2

n = 3,(a +b ) 3 = 1 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +1 b 3

n = 4,(a +b ) 4 = 1a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 +4ab 3 +1 b 4

n = 5,(a +b ) 5 = 1a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + 1 b 5

Keling, quyidagi naqshlarga e'tibor qaratamiz:

Hosil boʻlgan koʻphadning hadlar soni binomning koʻrsatkichidan bitta katta;

Birinchi hadning ko'rsatkichi n dan 0 ga kamayadi, ikkinchi hadning ko'rsatkichi 0 dan n gacha ortadi;

Barcha monomiallarning darajalari shartdagi binomialning darajasiga teng;

Har bir monomial turli darajadagi birinchi va ikkinchi ifodalarning mahsuloti va ma'lum bir son - binomial koeffitsient;

Kengayishning boshidan va oxiridan teng masofada joylashgan binom koeffitsientlari tengdir.

Ushbu formulalarning umumlashtirilishi Nyutonning binomial formulasi deb ataladigan quyidagi formuladir:

(a + b ) n = C 0 n a n b 0 + C 1 n a n -1 b + C 2 n a n -2 b 2 + ... + C n -1 n ab n -1 + C n n a 0 b n . (6)

Ushbu formulada n har qanday natural son bo‘lishi mumkin.

(6) formulani chiqaramiz. Avvalo, yozamiz:

(a + b ) n = (a + b )(a + b ) ... (a + b ), (7)

bu erda ko'paytiriladigan qavslar soni teng n. Yig'indini yig'indiga ko'paytirishning odatiy qoidasidan kelib chiqadiki, (7) ifoda barcha mumkin bo'lgan mahsulotlar yig'indisiga teng bo'lib, uni quyidagicha tuzish mumkin: yig'indilarning birinchisining istalgan hadi. a + b ikkinchi summaning istalgan hadiga ko'paytiriladi a+b, uchinchi summaning istalgan muddatiga va hokazo.

Yuqoridagilardan ko'rinib turibdiki, uchun ifodasidagi atama (a + b ) n harflardan tashkil topgan n uzunlikdagi satrlarga mos keladi (birma-bir). a va b. Shartlar orasida o'xshash atamalar bo'ladi; ko'rinib turibdiki, bunday a'zolar bir xil miqdordagi harflarni o'z ichiga olgan qatorlarga mos keladi A. Lekin aynan k marta harfni o'z ichiga olgan qatorlar soni A, C n k ga teng. Bu aniq k marta koeffitsientli a harfini o'z ichiga olgan barcha atamalar yig'indisi C n k ga teng ekanligini anglatadi. a n - k b k . k 0, 1, 2, ..., n-1, n qiymatlarini qabul qilishi mumkinligi sababli, bizning fikrimizdan (6) formula kelib chiqadi. E'tibor bering (6) qisqaroq yozilishi mumkin: (8)

(6) formula Nyuton nomidan atalsa ham, aslida u Nyutondan oldin ham kashf etilgan (masalan, Paskal buni bilgan). Nyutonning xizmati shundan iboratki, u butun son bo'lmagan ko'rsatkichlar holati uchun ushbu formulaning umumlashtirilishini topdi. Bu 1664-1665 yillarda I. Nyuton edi. ixtiyoriy kasr va manfiy darajalar uchun binomial darajasini ifodalovchi formulani chiqardi.

(6) formulaga kiritilgan C 0 n, C 1 n, ..., C n n raqamlari odatda binomial koeffitsientlar deb ataladi, ular quyidagicha aniqlanadi:

Formuladan (6) olish mumkin butun chiziq bu koeffitsientlarning xossalari. Masalan, taxmin qilish A=1, b = 1, biz olamiz:

2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... +C n n,

bular. formula (4). Agar qo'ysangiz A= 1, b = -1, unda biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

0 = C 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

yoki C 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ....

Demak, kengayishning juft hadlari koeffitsientlari yig'indisi kengayishning toq hadlari koeffitsientlari yig'indisiga teng; ularning har biri 2 n -1 ga teng.

Kengayish uchlaridan teng masofada joylashgan atamalar koeffitsientlari tengdir. Bu xossalar munosabatdan kelib chiqadi: C n k = C n n - k

Qiziqarli maxsus holat

(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0

yoki qisqaroq (x +1) n = ∑C n k x n - k.

1.3. Polinom teoremasi

Teorema.

Isbot.

Qavslarni ochgandan so'ng monomialni olish uchun siz u olingan qavslarni, u olingan qavslarni va hokazolarni tanlashingiz kerak. va u olingan qavslar. Shunga o'xshash atamalarni keltirgandan keyin bu monomialning koeffitsienti bunday tanlovni amalga oshirish mumkin bo'lgan usullar soniga teng. Saylovlar ketma-ketligining birinchi bosqichi yo'llar bilan, ikkinchi bosqich - kirish, uchinchi - va hokazo, th bosqich - yo'llar bilan amalga oshirilishi mumkin. Kerakli koeffitsient mahsulotga teng

2-BO'lim. Yuqori tartibli hosilalar.

Yuqori tartibli hosilalar tushunchasi.

Funktsiya qaysidir oraliqda differentsiallanuvchi bo'lsin. Keyin uning hosilasi, umuman olganda, bog'liq X, ya’ni funksiyasi hisoblanadi X. Binobarin, u bilan bog'liq holda, hosila mavjudligi haqida yana savol tug'ilishi mumkin.

Ta'rif . Birinchi hosilaning hosilasi deyiladi ikkinchi tartibli hosila yoki ikkinchi hosila va belgisi yoki belgisi bilan belgilanadi

Ta'rif . Ikkinchi hosilaning hosilasi uchinchi tartibli hosila yoki uchinchi hosila deyiladi va yoki belgisi bilan belgilanadi.

Ta'rif . Hosiln -chi tartib funktsiyalari hosilaning birinchi hosilasi deyiladi (n -1) ushbu funktsiyaning tartibi va belgisi bilan belgilanadi yoki:

Ta'rif . Birinchisidan yuqori tartibli hosilalar deyiladi yuqori hosilalar.

Izoh. Xuddi shunday, biz formulani olishimiz mumkin n-funktsiyaning hosilasi:

Parametrli aniqlangan funksiyaning ikkinchi hosilasi

Agar funksiya tenglamalar orqali parametrik berilgan bo‘lsa, ikkinchi tartibli hosilani topish uchun uning birinchi hosilasi uchun ifodani mustaqil o‘zgaruvchining kompleks funksiyasi sifatida farqlash kerak bo‘ladi.

O'shandan beri

va shuni hisobga olib,

Biz tushunamiz, ya'ni.

Uchinchi hosilani xuddi shunday topish mumkin.

Yig'indi, mahsulot va qismning differensiali.

Differensial hosiladan mustaqil o'zgaruvchining differentsialiga ko'paytirish yo'li bilan olinganligi sababli, asosiyning hosilalarini bilish. elementar funktsiyalar, shuningdek, hosilalarni topish qoidalari, differentsiallarni topish uchun o'xshash qoidalarga kelish mumkin.

1 0 . Konstantaning differensialligi nolga teng.

2 0 . Chekli sonli differentsiallanuvchi funksiyalarning algebraik yig‘indisining differensiali bu funksiyalar differentsiallarining algebraik yig‘indisiga teng. .

3 0 . Ikki differensiallanuvchi funktsiya ko'paytmasining differensialligi birinchi funktsiyaning ikkinchi va ikkinchi funktsiyaning birinchisining differentsial ko'paytmalari yig'indisiga teng. .

Natija. Doimiy ko'paytuvchini differentsial belgidan chiqarish mumkin.

2.3. Parametrli aniqlangan funksiyalar, ularning differentsiatsiyasi.

Ta'rif . Agar ikkala o'zgaruvchi bo'lsa, funktsiya parametrik ravishda aniqlangan deyiladi X Va y har biri bir xil yordamchi o'zgaruvchining yagona qiymatli funktsiyalari sifatida alohida belgilanadi - parametrt :

Qayerdat ichida farqlanadi.

Izoh . Doira va ellipsning parametrik tenglamalarini keltiramiz.

a) Markazi koordinatali va radiusda joylashgan doira r parametrik tenglamalarga ega:

b) ellips uchun parametrik tenglamalarni yozamiz:

Parametrni istisno qilish orqali t Ko'rib chiqilayotgan chiziqlarning parametrik tenglamalaridan ularning kanonik tenglamalariga kelish mumkin.

Teorema . Agar funktsiya y argumentdan x ga nisbatan va differensiallanadigan tenglamalar orqali parametrik berilgant funktsiyalari va keyin.

2.4. Leybnits formulasi

Hosilini topish uchun n ikki funktsiya hosilasining 1-tartibi, Leybnits formulasi katta amaliy ahamiyatga ega.

Mayli u Va v- o'zgaruvchidan ba'zi funktsiyalar X, har qanday tartibdagi hosilalarga ega va y = uv. ifoda qilaylik n-funksiyalarning hosilalari orqali hosila u Va v .

Bizda doimiy ravishda

Ikkinchi va uchinchi hosilalar uchun ifodalar va Nyuton binomialining mos ravishda ikkinchi va uchinchi darajalarda kengayishi o'rtasidagi o'xshashlikni payqash oson, lekin ko'rsatkichlar o'rniga hosila tartibini va funktsiyalarni aniqlaydigan raqamlar mavjud. “nol tartibli hosilalar” deb hisoblash mumkin. Buni hisobga olib, biz Leybnits formulasini olamiz:

Bu formulani matematik induksiya bilan isbotlash mumkin.

3-BO'lim. LEYBNITS FORMULANI QO'LLANISH.

Ikki funktsiya mahsulotining hosilasini hisoblash uchun formulaning ketma-ket qo'llanilishini chetlab o'tib, ikkita funktsiya mahsulotidan istalgan tartibning hosilasini hisoblash uchun foydalaning. Leybnits formulasi.

Ushbu formuladan foydalanib, biz ikkita funktsiya mahsulotining n-tartibli hosilasini hisoblash misollarini ko'rib chiqamiz.

1-misol.

Funktsiyaning ikkinchi tartibli hosilasini toping

Ta'rifga ko'ra, ikkinchi hosila birinchi hosilaning birinchi hosilasidir, ya'ni

Shuning uchun birinchi navbatda berilgan funksiyaning birinchi tartibli hosilasini ga muvofiq topamiz farqlash qoidalari va foydalanish hosilalar jadvali:

Endi birinchi tartibli hosilaning hosilasini topamiz. Bu kerakli ikkinchi darajali hosila bo'ladi:

Javob:

2-misol.

Funksiyaning ikkinchi darajali hosilasini toping

Yechim.

Berilgan funktsiyaning birinchi, ikkinchi, uchinchi va shunga o'xshash tartiblarning hosilalarini ketma-ket topamiz, bu hosila uchun umumlashtirilishi mumkin bo'lgan naqshni o'rnatish uchun.

Birinchi tartibli hosilani quyidagicha topamiz qismning hosilasi:

Bu yerda ifoda sonning faktoriali deyiladi. Sonning faktoriali birdan birgacha bo'lgan sonlarning ko'paytmasiga teng, ya'ni

Ikkinchi tartibli hosila birinchi hosilaning birinchi hosilasidir, ya'ni

Uchinchi tartibli hosila:

To'rtinchi hosila:

Naqshga e'tibor bering: hisoblagichda hosila tartibiga teng bo'lgan sonning faktoriali mavjud va maxrajda darajani ifodalash hosila tartibidan bir kattaroqdir, ya'ni

Javob.

3-misol.

Funktsiyaning nuqtadagi uchinchi hosilasining qiymatini toping.

Yechim.

Ga binoan yuqori tartibli hosilalar jadvali, bizda ... bor:

Ko'rib chiqilayotgan misolda, ya'ni biz olamiz

E'tibor bering, shunga o'xshash natijani hosilalarni ketma-ket topish orqali olish mumkin.

Berilgan nuqtada uchinchi hosila quyidagilarga teng:

Javob:

4-misol.

Funktsiyaning ikkinchi hosilasini toping

Yechim. Birinchidan, birinchi hosilani topamiz:

Ikkinchi hosilani topish uchun birinchi hosila uchun ifodani yana farqlaymiz:

Javob:

5-misol.

Agar toping

Berilgan funktsiya ikki funktsiyaning ko'paytmasi bo'lganligi sababli, to'rtinchi tartibli hosilani topish uchun Leybnits formulasini qo'llash maqsadga muvofiqdir:

Keling, barcha hosilalarni topamiz va atamalar koeffitsientlarini hisoblaymiz.

1) Terminlar koeffitsientlarini hisoblaymiz:

2) Funktsiyaning hosilalarini toping:

3) Funktsiyaning hosilalarini toping:

Javob:

6-misol.

y=x 2 cos3x funksiya berilgan. Uchinchi tartibli hosilani toping.

u=cos3x , v=x 2 bo'lsin . Keyin, Leybnits formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni topamiz:

Ushbu iboradagi hosilalar quyidagi shaklga ega:

(cos3x)′=−3sin3x,

(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x,

(x2)′′=2,

(x2)′′′=0.

Demak, berilgan funksiyaning uchinchi hosilasi ga teng

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.

7-misol.

Hosilini toping n th tartib funktsiyasi y=x 2 cosx.

Faraz qilib, Leybnits formulasidan foydalanamizu=cosx, v=x 2 . Keyin

Seriyaning qolgan shartlari nolga teng, chunki i>2 uchun (x2)(i)=0.

hosila n kosinus funksiyasining 1-tartibi:

Demak, funktsiyamizning hosilasi ga teng

XULOSA

Maktabda qisqartirilgan ko'paytirish formulalari o'rganiladi va qo'llaniladi: ikki ifodaning yig'indisi va ayirmasining kvadratlari va kublari va kvadratlar ayirmasi, kublarning yig'indisi va ayirmasini faktorlarga ajratish uchun formulalar. Ushbu formulalarning umumlashtirilishi Nyutonning binomial formulasi deb ataladigan formula va kuchlar yig'indisi va ayirmasini faktorlarga ajratish formulasidir. Bu formulalar ko'pincha turli masalalarni yechishda qo'llaniladi: bo'linish qobiliyatini isbotlash, kasrlarni kamaytirish, taxminiy hisoblar. Paskal uchburchagining Nyuton binomi bilan chambarchas bog'liq bo'lgan qiziqarli xususiyatlari ko'rib chiqiladi.

Ishda mavzu bo'yicha ma'lumotlar tizimlashtirilgan, Nyuton binomialidan foydalangan holda masalalarga misollar va darajalar yig'indisi va ayirmasi formulalari keltirilgan. Ishdan matematik to'garak ishida ham, uchun ham foydalanish mumkin o'z-o'zini o'rganish matematikaga qiziquvchilar.

FOYDALANILGAN MANBALAR RO'YXATI

1.Vilenkin N.Ya. Kombinatorika - tahrir. "Fan". - M., 1969 yil

2. Nikolskiy S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra va matematik analizning boshlanishi. 10-sinf: darslik. umumiy ta'lim uchun tashkilotlarning asosiy va ilg'or darajalari - M .: Prosveshchenie, 2014. - 431 p.

3. Statistika, kombinatorika va ehtimollar nazariyasiga oid masalalar yechish. 7-9 sinflar / muallif - tuzuvchi V.N. Studenetskaya. - tahrir. 2-chi, qayta ko'rib chiqilgan, - Volgograd: O'qituvchi, 2009 yil.

4. Savushkina I.A., Xugayev K.D., Tishkin S.B. Algebraik tenglamalar yuqori darajalar / Asboblar to'plami universitetlararo tayyorgarlik bo'limi talabalari uchun. - Sankt-Peterburg, 2001 yil.

5. Sharygin I.F. Matematikadan fakultativ kurs: Masalalar yechish. Qo'llanma 10-sinf uchun o'rta maktab. - M.: Ta'lim, 1989 yil.

6.Fan va hayot, Nyuton binomiali va Paskal uchburchagi[Elektron resurs]. - Kirish rejimi: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

Yuqori tartibli hosilalar

Ushbu darsda biz yuqori tartibli hosilalarni qanday topishni, shuningdek yozishni o'rganamiz umumiy formula"n" hosilasi. Bundan tashqari, bunday lotin uchun Leybnits formulasi va ommabop talabga ko'ra yuqori tartibli hosilalar yashirin funksiya . Men darhol mini-testdan o'tishni taklif qilaman:

Mana funksiya: va bu erda uning birinchi hosilasi:

Agar sizda ushbu misol bo'yicha biron bir qiyinchilik/chalkashlik bo'lsa, iltimos, mening kursimning ikkita asosiy maqolasidan boshlang: hosilani qanday topish mumkin? Va Murakkab funktsiyaning hosilasi . Elementar hosilalarni o'zlashtirgandan so'ng, men sizga darsni o'qishni tavsiya qilaman Losmalar bilan eng oddiy muammolar , xususan, biz ko'rib chiqdik ikkinchi hosila.

Ikkinchi hosila birinchi hosilaning hosilasi ekanligini taxmin qilish qiyin emas:

Asosan, ikkinchi hosila allaqachon yuqori tartibli hosila hisoblanadi.

Xuddi shunday: uchinchi hosila ikkinchi hosilaning hosilasidir:

To'rtinchi hosila uchinchi hosilaning hosilasidir:

Beshinchi hosila: , va yuqori darajadagi barcha hosilalar ham nolga teng bo'lishi aniq:

Rim raqamlashdan tashqari, amalda ko'pincha quyidagi belgilar qo'llaniladi:
, “n” tartibli hosilasi bilan belgilanadi. Bunday holda, ustun belgisi qavs ichiga olinishi kerak– hosilani “y” dan daraja jihatidan farqlash.

Ba'zan siz shunga o'xshash narsani ko'rasiz: – mos ravishda uchinchi, to‘rtinchi, beshinchi, ..., “n-chi” hosilalari.

Qo'rquv va shubhasiz oldinga:

1-misol

Funktsiya berilgan. Toping.

Yechim: nima deysiz ... - to'rtinchi lotin uchun davom eting :)

Endi to'rtta zarba qo'yish odatiy hol emas, shuning uchun biz raqamli indekslarga o'tamiz:

Javob:

Xo'sh, endi bu savol haqida o'ylab ko'raylik: agar shart 4-chi emas, balki, masalan, 20-chi hosilani topishni talab qilsa nima qilish kerak? Agar lotin uchun 3-4-5 (maksimal 6-7) kattalik tartibida, yechim juda tez rasmiylashtiriladi, keyin biz tez orada yuqori darajadagi hosilalarga "olmaymiz". Aslida, 20 qatorni yozmang! Bunday vaziyatda siz topilgan bir nechta hosilalarni tahlil qilishingiz, naqshni ko'rishingiz va "n-chi" hosila uchun formula yaratishingiz kerak. Shunday qilib, 1-misolda shuni tushunish osonki, har bir keyingi farqlash bilan ko'rsatkich oldida qo'shimcha "uch" paydo bo'ladi va har qanday bosqichda "uch" darajasi "uch" ning soniga teng bo'ladi. hosila, shuning uchun:

Ixtiyoriy natural son qayerda.

Va haqiqatan ham, agar bo'lsa, unda aniq 1-chi hosila olinadi: , agar – keyin 2-chi: va hokazo. Shunday qilib, yigirmanchi lotin bir zumda aniqlanadi: - va "kilometr uzunlikdagi varaqlar" yo'q!

O'z-o'zidan isinish:

2-misol

Funksiyalarni toping. Buyurtma hosilasini yozing

Yechim va javob dars oxirida.

Tetiklantiruvchi isinishdan keyin biz ko'proq narsani ko'rib chiqamiz murakkab misollar, unda biz yuqoridagi yechim algoritmini ishlab chiqamiz. Dars bilan tanishishga muvaffaq bo'lganlar uchun Ketma-ketlik chegarasi , bu biroz osonroq bo'ladi:

3-misol

Funktsiyani toping.

Yechim: vaziyatni aniqlashtirish uchun keling, bir nechta hosilalarni topamiz:

Olingan raqamlarni ko'paytirishga shoshilmayapmiz! ;-)


Balki bu yetarlidir. ...Hatto biroz oshib ketdim.

Keyingi qadam "n-chi" lotin uchun formulani yaratish uchun eng yaxshisidir (agar shart buni talab qilmasa, siz qoralama bilan olishingiz mumkin). Buning uchun biz olingan natijalarni ko'rib chiqamiz va har bir keyingi hosila olingan naqshlarni aniqlaymiz.

Birinchidan, ular bir-birini almashtiradilar. Hizalamani ta'minlaydi "miltillovchi chiroq" , va birinchi hosila ijobiy bo'lganligi sababli, umumiy formula quyidagi omilni o'z ichiga oladi: . Ekvivalent variant ham ishlaydi, lekin shaxsan men optimist sifatida ortiqcha belgisini yaxshi ko'raman =)

Ikkinchidan, numeratorda "shamollanadi" faktorial , va u lotin raqamdan bir birlik orqada qoladi:

Uchinchidan, numeratordagi "ikki" ning kuchi ortadi, bu lotin soniga teng. Denominatorning darajasi haqida ham shunday deyish mumkin. Nihoyat:

Tekshirish uchun keling, bir nechta “en” qiymatlarini almashtiramiz, masalan, va:

Ajoyib, endi xato qilish shunchaki gunohdir:

Javob:

Ko'proq oddiy funksiya Mustaqil yechim uchun:

4-misol

Funksiyalarni toping.

Va yana qiziqarli muammo:

5-misol

Funksiyalarni toping.

Jarayonni yana bir bor takrorlaymiz:

1) Avval biz bir nechta hosilalarni topamiz. Naqshlarni ushlash uchun odatda uch yoki to'rtta etarli.

2) Keyin men qilishni qat'iy tavsiya qilaman (hech bo'lmaganda qoralama shaklida)"n-chi" lotin - bu sizni xatolardan himoya qilish uchun kafolatlangan. Lekin siz usiz qila olasiz, ya'ni. aqliy baholang va darhol yozing, masalan, yigirmanchi yoki sakkizinchi lotin. Bundan tashqari, ba'zi odamlar odatda og'zaki ravishda ushbu muammolarni hal qilishga qodir. Biroq, esda tutingki, "tezkor" usullar juda qiyin va xavfsizroq bo'lish yaxshiroqdir.

3) Yoqilgan yakuniy bosqich Biz "n-chi" lotinni tekshiramiz - bir juft "n" qiymatni (afzalroq qo'shni) oling va almashtirishni bajaring. Va ilgari topilgan barcha hosilalarni tekshirish yanada ishonchli. Keyin biz uni kerakli qiymatga almashtiramiz, masalan, yoki va natijani diqqat bilan taraymiz.

Tez yechim Dars oxirida 4 va 5 misollar.

Ba'zi vazifalarda muammolarni oldini olish uchun siz funktsiyada ozgina sehr qilishingiz kerak:

6-misol

Yechim: Men taklif qilingan funktsiyani umuman farqlashni xohlamayman, chunki bu "yomon" kasrga olib keladi, bu keyingi hosilalarni topishni ancha qiyinlashtiradi.

Shu munosabat bilan, dastlabki o'zgarishlarni amalga oshirish tavsiya etiladi: biz foydalanamiz kvadrat farq formulasi Va logarifm xossasi :

Bu butunlay boshqa masala:

Va eski do'stlar:

Menimcha, hamma narsa ko'rib chiqilmoqda. E'tibor bering, 2-kasr o'zgaruvchan belgidir, lekin birinchi kasr emas. Buyurtma hosilasini tuzamiz:

Boshqaruv:

Xo'sh, go'zallik uchun qavs ichidan faktorialni chiqaramiz:

Javob:

O'zingiz hal qilishingiz mumkin bo'lgan qiziqarli vazifa:

7-misol

Funktsiyaning tartibli hosila formulasini yozing

Va endi, hatto italyan mafiyasi ham hasad qiladigan o'zaro kafolatlar haqida:

8-misol

Funktsiya berilgan. Toping

Nuqtadagi o'n sakkizinchi hosila. Shunchaki.

Yechim: birinchi navbatda, siz topishingiz kerak. Boring:

Biz sinus bilan boshladik va sinus bilan yakunlandik. Keyinchalik farqlash bilan bu tsikl cheksiz davom etishi aniq va quyidagi savol tug'iladi: o'n sakkizinchi lotinga "olish" ning eng yaxshi usuli qanday?

"Havaskor" usuli: o'ngdagi ustunga keyingi hosilalarning raqamlarini tezda yozing:

Shunday qilib:

Ammo lotinning tartibi juda katta bo'lmasa, bu ishlaydi. Agar siz, aytaylik, yuzinchi hosilani topishingiz kerak bo'lsa, unda siz foydalanishingiz kerak 4 ga bo'linadi. Yuz 4 ga qoldiqsiz bo'linadi va bunday sonlar pastki qatorda joylashganligini ko'rish oson, shuning uchun: .

Aytgancha, 18-chi lotin ham shunga o'xshash fikrlardan aniqlanishi mumkin:
Ikkinchi qatorda 4 ga, qolgan 2 ga bo'linadigan raqamlar mavjud.

Boshqa, ko'proq akademik usul asoslangan sinus davriyligi Va kamaytirish formulalari . Biz sinusning "n-chi" hosilasi uchun tayyor formuladan foydalanamiz , unda kerakli raqam shunchaki almashtiriladi. Masalan:
(kamaytirish formulasi ) ;
(kamaytirish formulasi )

Bizning holatda:

(1) Sinus davrli davriy funktsiya bo'lganligi sababli, argument og'riqsiz ravishda 4 ta nuqtani (ya'ni) "ochish" mumkin.

Ikki funktsiya mahsulotining tartibli hosilasini quyidagi formula yordamida topish mumkin:

Ayniqsa:

Hech narsani maxsus eslab qolishning hojati yo'q, chunki siz qanchalik ko'p formulalarni bilsangiz, shunchalik kam tushunasiz. Bu bilan tanishish ancha foydalidir Nyuton binomiali , chunki Leybnits formulasi unga juda va juda o'xshash. Xo'sh, 7 yoki undan yuqori buyurtmalarning hosilasini oladigan omadlilar (bu haqiqatan ham dargumon), buni qilishga majbur bo'ladi. Biroq, navbat kelganda kombinatorika - keyin siz hali ham kerak =)

Funktsiyaning uchinchi hosilasi topilsin. Biz Leybnits formulasidan foydalanamiz:

Ushbu holatda: . Og'zaki so'zlarni aytish oson:

Endi almashtirishni diqqat bilan va EHTIYOT bilan bajaring va natijani soddalashtiring:

Javob:

Mustaqil hal qilish uchun shunga o'xshash vazifa:

11-misol

Xususiyatlarni toping

Agar oldingi misolda "boshqa" yechim hali ham Leybnits formulasi bilan raqobatlashgan bo'lsa, unda bu erda haqiqatan ham yoqimsiz bo'ladi. Va bundan ham yoqimsiz - ko'proq bo'lsa yuqori tartib hosila:

12-misol

Belgilangan tartibning hosilasini toping

Yechim: birinchi va asosiy eslatma qaror qabul qilishdir mana bunday, ehtimol kerak emas =) =)

Funksiyalarni yozamiz va 5-tartibga qadar hosilalarini topamiz. O'ylaymanki, o'ng ustunning hosilalari siz uchun og'zaki bo'lib qoldi:

Chap ustunda "tirik" hosilalar tezda "tugadi" va bu juda yaxshi - Leybnits formulasidagi uchta atama nolga qaytariladi:

Haqida maqolada paydo bo'lgan dilemma haqida yana bir bor to'xtalib o'taman murakkab hosilalar : Natijani soddalashtirishim kerakmi? Asos sifatida, siz buni shunday qoldirishingiz mumkin - o'qituvchiga tekshirish yanada osonroq bo'ladi. Ammo u qarorning yakunlanishini talab qilishi mumkin. Boshqa tomondan, soddalashtirish o'z tashabbusi algebraik xatolar bilan to'la. Biroq, bizda "ibtidoiy" tarzda olingan javob bor =) (boshidagi havolaga qarang) va bu to'g'ri deb umid qilaman:

Ajoyib, hammasi birga keldi.

Javob:

Mustaqil yechim uchun baxtli vazifa:

13-misol

Funktsiya uchun:
a) to'g'ridan-to'g'ri farqlash yo'li bilan toping;
b) Leybnits formulasidan foydalanib toping;
c) hisoblash.

Yo'q, men umuman sadist emasman - bu erda "a" nuqtasi juda oddiy =)

Ammo jiddiy ravishda, ketma-ket farqlash orqali "to'g'ridan-to'g'ri" yechim ham "yashash huquqiga" ega - ba'zi hollarda uning murakkabligi Leybnits formulasini qo'llash murakkabligi bilan taqqoslanadi. Agar siz buni maqsadga muvofiq deb bilsangiz, foydalaning - bu topshiriqni bajarmaslik uchun sabab bo'lishi dargumon.

Dars oxirida qisqacha yechim va javob.

Yakuniy paragrafni ko'tarish uchun siz qobiliyatga ega bo'lishingiz kerak yashirin funktsiyalarni farqlash :

Bilvosita ko'rsatilgan funksiyalarning yuqori tartibli hosilalari

Ko'pchiligimiz hayotimizning uzoq soatlari, kunlari va haftalarini o'qishga sarfladik doiralar , parabolalar , giperbola - va ba'zida bu hatto haqiqiy jazodek tuyulardi. Shunday ekan, keling, qasos olaylik va ularni to'g'ri farqlaylik!

Keling, "maktab" parabolasidan boshlaylik kanonik pozitsiya :

14-misol

Tenglama berilgan. Toping.

Yechim: birinchi qadam tanish:

Funksiya va uning hosilasining bilvosita ifodalanganligi masalaning mohiyatini o‘zgartirmaydi, ikkinchi hosila 1-hosilning hosilasi hisoblanadi:

Biroq, o'yin qoidalari mavjud: odatda 2 va undan yuqori darajadagi lotinlar ifodalanadi faqat "X" va "Y" orqali. Shunday qilib, hosil bo'lgan 2-chi hosilaga: ni almashtiramiz:

Uchinchi hosila ikkinchi hosilaning hosilasidir:

Xuddi shunday, keling, almashtiramiz:

Javob:

"Maktab" giperbolasi kanonik pozitsiya - Uchun mustaqil ish:

15-misol

Tenglama berilgan. Toping.

Takror aytamanki, ikkinchi hosila va natija faqat “x”/“y” orqali ifodalanishi kerak!

Dars oxirida qisqacha yechim va javob.

Bolalar hazillaridan so'ng, keling, nemis pornografiyasini ko'rib chiqaylik, keling, kattalar misollarini ko'rib chiqaylik, ulardan yana bir muhim yechimni bilib olamiz:

16-misol

Ellips o'zi.

Yechim: birinchi hosilani topamiz:

Endi to'xtab, keyingi fikrni tahlil qilaylik: endi biz kasrni farqlashimiz kerak, bu esa umuman yoqimli emas. Bunday holda, bu, albatta, oddiy, ammo haqiqiy hayot muammolarida bunday sovg'alar juda oz va juda uzoqdir. Qiyin lotinni topmaslikning bir yo'li bormi? Mavjud! Biz tenglamani olamiz va birinchi lotinni topishda bo'lgani kabi bir xil texnikadan foydalanamiz - biz ikkala tomonga zarbalarni "osib qo'yamiz":

Ikkinchi hosila faqat va shaklida ifodalanishi kerak, shuning uchun hozir (hoziroq) 1-chi lotindan qutulish qulay. Buning uchun biz hosil bo'lgan tenglamani almashtiramiz:

Keraksiz texnik qiyinchiliklarga yo'l qo'ymaslik uchun ikkala qismni ham ko'paytiramiz:

Va faqat oxirgi bosqichda biz kasrni shakllantiramiz:

Endi biz asl tenglamani ko'rib chiqamiz va natijani soddalashtirish mumkinligini ko'ramiz:

Javob:

Istalgan nuqtada ikkinchi hosilaning qiymatini qanday topish mumkin (bu, albatta, ellipsga tegishli), masalan, nuqtada ? Juda oson! Bu motiv haqida darsda allaqachon duch kelgan normal tenglama : ifodaga 2-chi hosilani almashtirishingiz kerak :

Albatta, har uch holatda ham aniq belgilangan funktsiyalarni olish va ularni farqlash mumkin, ammo keyin ildizlarni o'z ichiga olgan ikkita funktsiya bilan ishlashga aqliy tayyor bo'ling. Menimcha, yechimni "noto'g'ri" amalga oshirish qulayroqdir.

O'zingiz hal qilish uchun yakuniy misol:

17-misol

Bevosita belgilangan funksiyani toping