Mexanik tizimning muvozanati uchun zarur shartlar. Statika

Mexanik muvozanat

Mexanik muvozanat- mexanik tizimning har bir zarrachasiga ta'sir etuvchi barcha kuchlar yig'indisi nolga teng bo'lgan va har qanday ixtiyoriy aylanish o'qiga nisbatan tanaga ta'sir qiladigan barcha kuchlarning momentlari yig'indisi ham nolga teng bo'lgan holat.

Muvozanat holatida jism tanlangan mos yozuvlar tizimida dam oladi (tezlik vektori nolga teng), toʻgʻri chiziq boʻylab bir tekis harakatlanadi yoki tangensial tezlanishsiz aylanadi.

Tizim energiyasi orqali ta'rif

Energiya va kuchlar asosiy munosabatlar bilan bog'liq bo'lganligi sababli, bu ta'rif birinchisiga teng. Biroq, energiya nuqtai nazaridan ta'rif muvozanat holatining barqarorligi haqida ma'lumot berish uchun kengaytirilishi mumkin.

Balans turlari

Erkinlik darajasi bir bo'lgan tizimga misol keltiramiz. Bunday holda, muvozanat holati uchun etarli shart o'rganilayotgan nuqtada mahalliy ekstremumning mavjudligi bo'ladi. Ma'lumki, differensiallanuvchi funktsiyaning mahalliy ekstremum sharti uning birinchi hosilasi nolga teng bo'lishidir. Bu nuqta qachon minimal yoki maksimal ekanligini aniqlash uchun uning ikkinchi hosilasini tahlil qilish kerak. Muvozanat holatining barqarorligi quyidagi variantlar bilan tavsiflanadi:

• beqaror muvozanat;
• barqaror muvozanat;
• befarq muvozanat.

Barqaror muvozanat

Agar ikkinchi hosila manfiy bo'lsa, tizimning potentsial energiyasi mahalliy maksimal holatda bo'ladi. Bu muvozanat holatini bildiradi beqaror. Agar tizim kichik masofaga siljitsa, u tizimga ta'sir qiluvchi kuchlar tufayli harakatini davom ettiradi.

Barqaror muvozanat

Ikkinchi hosila > 0: mahalliy minimumda potentsial energiya, muvozanat holati barqaror(Muvozanatning barqarorligi haqidagi Lagranj teoremasiga qarang). Agar tizim kichik masofaga siljitsa, u yana muvozanat holatiga qaytadi. Agar tananing og'irlik markazi barcha mumkin bo'lgan qo'shni pozitsiyalarga nisbatan eng past pozitsiyani egallasa, muvozanat barqarordir.

Befarq muvozanat

Ikkinchi hosila = 0: bu mintaqada energiya o'zgarmaydi va muvozanat holati befarq. Agar tizim kichik masofaga o'tkazilsa, u yangi holatda qoladi.

Ko'p miqdordagi erkinlik darajasiga ega tizimlarda barqarorlik

Agar tizim bir necha erkinlik darajasiga ega bo'lsa, u holda ba'zi yo'nalishlarda siljishlarda muvozanat barqaror, boshqalarida esa beqaror bo'lishi mumkin. Bunday vaziyatning eng oddiy misoli - "egar" yoki "o'tish" (bu joyga rasmni joylashtirish yaxshi bo'lar edi).

Bir necha erkinlik darajasiga ega bo'lgan tizimning muvozanati barqaror bo'lsagina barqaror bo'ladi barcha yo'nalishlarda.

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Boshqa lug'atlarda "Mexanik muvozanat" nima ekanligini ko'ring:

mexanik muvozanat- mechaninė pusiausvyra statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. mexanik muvozanat vok. mexaniklar Gleichgewicht, n rus. mexanik muvozanat, n pranc. équilibre mécanique, m … Fizikos terminų žodynas

- ... Vikipediya

Fazali o'tishlar I maqola ... Vikipediya

Termodinamik tizimning izolyatsiyalangan sharoitda etarlicha katta vaqtdan keyin o'z-o'zidan keladigan holati. muhit, shundan so'ng tizim holati parametrlari vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydi. Izolyatsiya... ... Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

MUVOZANAT- 1) jismga taʼsir etuvchi R. kuchlarining oqibati boʻlgan jismning harakatsizligining mexanik holati (jismga taʼsir etuvchi barcha kuchlar yigʻindisi nolga teng boʻlganda, yaʼni u tezlanishni bermaydi). . R.lar ajralib turadi: a) barqaror, ... ...dan chetga chiqqanda. Katta politexnika entsiklopediyasi

Mexanik holat sistema, uning barcha nuqtalari berilgan mos yozuvlar tizimiga nisbatan harakatsiz. Agar bu mos yozuvlar tizimi inertial bo'lsa, u holda R.M. deyiladi. mutlaq, aks holda nisbiy. Tananing xatti-harakatiga qarab ... Katta ensiklopedik politexnika lug'ati

Termodinamik muvozanat - bu izolyatsiya qilingan termodinamik tizimning holati bo'lib, unda har bir nuqtada barcha kimyoviy, diffuziya, yadro va boshqa jarayonlar uchun oldinga siljish reaktsiyasining tezligi teskari reaktsiya tezligiga teng bo'ladi. Termodinamik... ... Vikipediya

Muvozanat- moddaning eng ehtimoliy makrostati, o'zgaruvchilar, tanlovdan qat'iy nazar, tizimning to'liq tavsifi bilan doimiy bo'lib qolsa. Muvozanat farqlanadi: mexanik, termodinamik, kimyoviy, faza va boshqalar: Qarang... ... ensiklopedik lug'at metallurgiyada

Mundarija 1 Klassik ta'rif 2 Tizim energiyasi orqali ta'rif 3 Muvozanat turlari ... Vikipediya

Fazali o'tishlar Maqola Termodinamika seriyasining bir qismidir. Faza tushunchasi Faza muvozanati Kvant fazaga o'tish Termodinamikaning bo'limlari Termodinamikaning printsiplari Holat tenglamasi ... Vikipediya

Mexanik tizimning muvozanati- bu mexanik tizimning barcha nuqtalari ko'rib chiqilayotgan mos yozuvlar tizimiga nisbatan tinch holatda bo'lgan holat. Agar mos yozuvlar tizimi inertial bo'lsa, muvozanat deyiladi mutlaq, agar inertial bo'lmasa - qarindosh.

Muvozanat shartlarini mutlaqo topish qattiq uni aqliy jihatdan juda ko'p sonli kichik elementlarga ajratish kerak, ularning har biri moddiy nuqta bilan ifodalanishi mumkin. Bu elementlarning barchasi bir-biri bilan o'zaro ta'sir qiladi - bu o'zaro ta'sir kuchlari deyiladi ichki. Bundan tashqari, tashqi kuchlar tananing bir qator nuqtalariga ta'sir qilishi mumkin.

Nyutonning ikkinchi qonuniga ko‘ra, nuqtaning tezlanishi nolga teng bo‘lishi (va tinch nuqtaning tezlanishi nolga teng bo‘lishi uchun) bu nuqtaga ta’sir etuvchi kuchlarning geometrik yig‘indisi nolga teng bo‘lishi kerak. Agar tana tinch holatda bo'lsa, uning barcha nuqtalari (elementlari) ham dam oladi. Shunday qilib, tananing har qanday nuqtasi uchun biz yozishimiz mumkin:

Bu erda ta'sir qiluvchi barcha tashqi va ichki kuchlarning geometrik yig'indisi i tananing th elementi.

Tenglama jismning muvozanat holatida bo‘lishi uchun ushbu jismning istalgan elementiga ta’sir etuvchi barcha kuchlarning geometrik yig‘indisi nolga teng bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini bildiradi.

Bundan jism (jismlar sistemasi) muvozanatining birinchi shartini olish oson. Buning uchun tananing barcha elementlari uchun tenglamani jamlash kifoya:

.

Nyutonning uchinchi qonuniga ko'ra ikkinchi yig'indi nolga teng: tizimning barcha ichki kuchlarining vektor yig'indisi nolga teng, chunki har qanday ichki kuch kattaligi teng va yo'nalishi bo'yicha qarama-qarshi kuchga mos keladi.

Demak,

.

Qattiq jismning muvozanatining birinchi sharti(tanalar tizimlari) jismga qo'llaniladigan barcha tashqi kuchlarning geometrik yig'indisining nolga tengligi.

Bu shart zarur, ammo etarli emas. Buni geometrik yig'indisi ham nolga teng bo'lgan juft kuchlarning aylanish harakatini eslash orqali tekshirish oson.

Qattiq jismning muvozanatining ikkinchi sharti- jismga ta'sir etuvchi barcha tashqi kuchlar momentlari yig'indisining har qanday o'qqa nisbatan nolga tengligi.

Shunday qilib, ixtiyoriy miqdordagi tashqi kuchlar holatida qattiq jismning muvozanat shartlari quyidagicha ko'rinadi:

.

Men ko'rib chiqaman moddiy nuqta, uning harakati shunday cheklanganki, u faqat bitta erkinlik darajasiga ega.

Bu shuni anglatadiki, uning pozitsiyasi x koordinatasi kabi bitta miqdor yordamida aniqlanishi mumkin. Misol tariqasida, vertikal tekislikda egilgan qo'zg'almas sim bo'ylab ishqalanishsiz sirpanadigan sharni keltirish mumkin (26.1a-rasm).

Yana bir misol - gorizontal yo'riqnomaga ishqalanishsiz sirpanib, prujinaning uchiga biriktirilgan to'p (26.2-rasm, a).

To'pga konservativ kuch ta'sir qiladi: birinchi holatda bu tortishish kuchi, ikkinchi holatda bu deformatsiyalangan kamonning elastik kuchi. Potensial energiya grafiklari rasmda ko'rsatilgan. 26.1, b va 26.2, b.

To'plar sim bo'ylab ishqalanishsiz harakat qilganligi sababli, simning to'pga ta'sir qiladigan kuchi ikkala holatda ham to'pning tezligiga perpendikulyar bo'ladi va shuning uchun to'pda ishlamaydi. Shunday qilib, energiya tejash sodir bo'ladi:

(26.1) dan kelib chiqadiki, kinetik energiya faqat kulgili energiyaning pasayishi tufayli ortishi mumkin. Shuning uchun, agar to'p shunday holatda bo'lsa, uning tezligi nolga teng va potentsial energiya minimal qiymatga ega bo'lsa, u holda tashqi ta'sirsiz u harakat qila olmaydi, ya'ni u muvozanatda bo'ladi.

U ning minimal qiymati grafiklardagi teng qiymatlarga to'g'ri keladi (26.2-rasmda deformatsiyalanmagan otryadning uzunligi ko'rsatilgan) Minimal potentsial energiya sharti shaklga ega.

t (22.4) ga muvofiq (26.2) shart bunga ekvivalentdir

(U faqat bitta o'zgaruvchining funktsiyasi bo'lgan holatda, ). Shunday qilib, minimal potentsial energiyaga mos keladigan pozitsiya tanaga ta'sir qiluvchi kuch nolga teng bo'lgan xususiyatga ega.

Shaklda ko'rsatilgan holatda. 26.1, shartlar (26.2) va (26.3) x ga teng (ya'ni, maksimal U uchun) uchun ham bajariladi. Ushbu qiymat bilan aniqlangan to'pning pozitsiyasi ham muvozanat bo'ladi. Biroq, bu muvozanat, muvozanatdan farqli o'laroq, beqaror bo'ladi: to'pni bu holatdan biroz olib tashlash kifoya qiladi va to'pni pozitsiyadan uzoqlashtiradigan kuch paydo bo'ladi. To'p barqaror muvozanat holatidan siljiganda paydo bo'ladigan kuchlar (buning uchun ) to'pni muvozanat holatiga qaytarishga moyil bo'ladigan tarzda yo'naltiriladi.

Potensial energiyani ifodalovchi t funksiya turini bilib, biz zarracha harakatining tabiati haqida bir qator xulosalar chiqarishimiz mumkin. Keling, buni rasmda ko'rsatilgan grafik yordamida tushuntiramiz. 26.1, b. Agar jami energiya rasmda ko'rsatilgan qiymatga ega bo'lsa, u holda zarracha yoki dan cheksizgacha bo'lgan oraliqda harakatlanishi mumkin. Zarracha hududga kira olmaydi, chunki potentsial energiya umumiy energiyadan kattaroq bo'lolmaydi (agar bu sodir bo'lsa, kinetik energiya manfiy bo'ladi). Shunday qilib, mintaqa potentsial to'siqni ifodalaydi, bu orqali zarracha ma'lum miqdordagi umumiy energiyani hisobga olgan holda o'tolmaydi. Hudud potentsial quduq deb ataladi.

Agar zarracha harakati davomida cheksizlikka uzoqlasha olmasa, harakat chekli deb ataladi. Agar zarracha istalgancha uzoqqa keta olsa, harakat cheksiz deb ataladi. Potensial quduqdagi zarracha cheklangan harakatga uchraydi. Salbiy zarrachaning harakati to'liq energiya jozibador kuchlarning markaziy maydonida (potentsial energiya cheksizlikda yo'qoladi deb taxmin qilinadi).

Ma'lumki, ideal bog'lanishlarga ega bo'lgan tizimning muvozanati uchun zarur va etarli yoki. (7)

Umumlashtirilgan koordinatalarning o'zgarishlari bir-biridan mustaqil bo'lganligi va umuman olganda nolga teng bo'lmaganligi sababli,
,
,…,
.

Golonomik cheklovli, statsionar, ideal cheklovlarga ega tizimning muvozanati uchun tanlangan umumlashtirilgan koordinatalarga mos keladigan barcha umumlashtirilgan kuchlar nolga teng bo'lishi zarur va etarli.

Potentsial kuchlar holati:

Agar tizim potentsial kuch maydonida bo'lsa, u holda

,
,…,

,
,…,

Ya'ni, tizimning muvozanat pozitsiyalari faqat kuch ishlaydigan umumiy koordinatalarning qiymatlari uchun bo'lishi mumkin. U va potentsial energiya P ekstremal qadriyatlarga ega ( maks yoki min).

Muvozanat barqarorligi tushunchasi.

Tizim muvozanatda bo'lishi mumkin bo'lgan pozitsiyalarni aniqlab, bu pozitsiyalarning qaysi biri amalga oshirilishi mumkin va qaysi biri amalga oshirilmasligini aniqlash mumkin, ya'ni qaysi pozitsiya barqaror va qaysi biri beqaror ekanligini aniqlash mumkin.

Umuman olganda, zarur muvozanat barqarorligi belgisi Lyapunovning fikriga ko'ra, quyidagicha ifodalanishi mumkin:

Umumiy koordinatalar va ularning tezligining kichik modul qiymatlarini berish orqali tizimni muvozanat holatidan olib tashlaymiz. Agar tizimni keyingi ko'rib chiqishda umumlashtirilgan koordinatalar va ularning tezliklari kattaligi bo'yicha kichik bo'lib qolsa, ya'ni tizim muvozanat holatidan uzoqlashmasa, unda bunday muvozanat holati barqarordir.

Muvozanat barqarorligi uchun etarli shart tizimi aniqlanadi Lagranj-Diriklet teoremasi :

Agar ideal bog'lanishlarga ega bo'lgan mexanik tizimning muvozanat holatida potentsial energiya minimal qiymatga ega bo'lsa, unda bunday muvozanat holati barqarordir.

,
- barqaror.

§ 107 va (35) yoki (38) tenglamalarini (16) ko'rinishda keltiramiz:

74-§da bayon etilgan qonunlarning natijasi bo'lgan ushbu tenglamalardan statikaning barcha dastlabki natijalari olinganligini ko'rsatamiz.

1. Agar mexanik tizim tinch holatda bo'lsa, u holda uning barcha nuqtalarining tezliklari nolga teng va shuning uchun bu erda O har qanday nuqtadir. Keyin (40) tenglamalar:

Shunday qilib, shartlar (40) har qanday mexanik tizimning muvozanati uchun zarur shartlardir. Ushbu natija, xususan, § 2da ifodalangan qattiqlashuv tamoyilini o'z ichiga oladi.

Ammo har qanday tizim uchun shartlar (40) etarli muvozanat shartlari emasligi aniq. Misol uchun, agar rasmda ko'rsatilgan bo'lsa. 274 nuqta erkin, keyin kuchlar ta'siri ostida ular bir-biriga qarab harakat qilishlari mumkin, garchi bu kuchlar uchun shartlar (40) qondiriladi.

Mexanik tizimning muvozanati uchun zarur va etarli shartlar § 139 va 144-da keltirilgan.

2. Mutlaq qattiq jismga tasir etuvchi kuchlar uchun shartlar (40) nafaqat zaruriy, balki etarli muvozanat shartlari ekanligini isbotlaylik. Tinch holatdagi erkin qattiq jismga (40) shartlarni qanoatlantiradigan kuchlar tizimi ta'sir qila boshlasin, bu erda O har qanday nuqta, ya'ni, xususan, S nuqta. U holda (40) tenglamalar ni beradi va jism dastlab tinch holatda edi, keyin C nuqtada harakatsiz va tana faqat ma'lum bir oniy o'q atrofida c burchak tezligi bilan aylanishi mumkin (60-§ ga qarang). Keyin, (33) formulaga muvofiq, tanaga ega bo'ladi. Ammo vektorning o'qga proyeksiyasi mavjud va shundan beri va qaerdan kelib chiqadi, ya'ni shartlar (40) bajarilganda, tana tinch holatda qoladi.

3. Oldingi natijalardan, xususan, 2-bandda tuzilgan 1 va 2-bandlarning dastlabki qoidalari kelib chiqadi, chunki rasmda tasvirlangan ikkita kuch aniq ko'rinib turibdi. 2, shartlarni (40) qanoatlantiradi va muvozanatlangan va agar biz tanaga ta'sir qiluvchi kuchlarga muvozanatli kuchlar tizimini qo'shsak (yoki ulardan ayirilsa), ya'ni shartlarni (40) qondirsak, na bu shartlar, na tenglamalar ( 40), tananing harakatini aniqlash o'zgarmaydi.