Birinchi hosilaning geometrik va mexanik ma'nosi. Hosilning mexanik ma'nosi Ikkinchi hosilaning fizik yoki mexanik ma'nosi

20-sonli ko'rsatma kartasi

Takyryby/Mavzu: « Ikkinchi hosila va uning jismoniy ma'nosi».

Maqsad / Maqsad:

Tangens tenglamasini, shuningdek, tangensning OX o'qiga og'ish burchagi tangensini topa olish. Funksiyaning tezlanishi bilan bir qatorda o‘zgarish tezligini ham topa olish.

O'rganilgan faktlar va tushunchalarni taqqoslash va tasniflash ko'nikmalarini shakllantirish uchun sharoit yaratish.

Ta’lim ishiga mas’uliyat bilan munosabatda bo‘lishni, tangens tenglamani topishda, shuningdek funksiya va tezlanishning o‘zgarish tezligini topishda yakuniy natijalarga erishish uchun iroda va qat’iyatni tarbiyalash.

Nazariy material:

(Geometrik ma'no olingan)

Funksiya grafigining tangens tenglamasi:

1-misol: Funksiya grafigiga odobsizlik 2 bo‘lgan nuqtadagi teginish tenglamasi topilsin.

Javob: y = 4x-7

Funksiya grafigiga abtsissa x o nuqtadagi teginishning k burchak koeffitsienti f / (x o) ga teng (k= f / (x o)). Berilgan nuqtada funksiya grafigiga teginish burchagi ga teng

arctg k = arctg f / (x o), ya'ni. k= f / (x o)= tg

2-misol: Sinus to'lqin qaysi burchakda x o'qini boshida kesishadi?

Berilgan funksiya grafigi x o‘qini kesishgan burchak f(x) funksiya grafigiga shu nuqtada chizilgan tangensning a qiyaligiga teng. Hosilni topamiz: Hosilning geometrik ma'nosini hisobga olib, bizda: va a = 60°. Javob: =60 0 .

Agar funktsiya o'z ta'rif sohasining har bir nuqtasida hosilaga ega bo'lsa, uning hosilasi ning funktsiyasidir. Funktsiya, o'z navbatida, deb ataladigan hosilaga ega bo'lishi mumkin ikkinchi tartib hosilasi funktsiyalari (yoki ikkinchi hosila) va belgisi bilan belgilanadi.

3-misol: Funktsiyaning ikkinchi hosilasini toping: f(x)=x 3 -4x 2 +2x-7.

Birinchidan, f"(x)=(x 3 -4x 2 +2x-7)’=3x 2 -8x+2 funksiyaning birinchi hosilasini topamiz,

Keyin, olingan birinchi hosilaning ikkinchi hosilasini topamiz

f""x)=(3x 2 -8x+2)’’=6x-8. Javob: f""x) = 6x-8.

(Ikkinchi hosilaning mexanik ma'nosi)

Agar nuqta to'g'ri chiziqli harakat qilsa va uning harakat qonuni berilgan bo'lsa, u holda nuqtaning tezlanishi vaqtga nisbatan yo'lning ikkinchi hosilasiga teng bo'ladi:

Moddiy jismning tezligi yo'lning birinchi hosilasiga teng, ya'ni:

Moddiy jismning tezlanishi tezlikning birinchi hosilasiga teng, ya'ni:

4-misol: Tana s (t) = 3 + 2t + t 2 (m) qonuniga muvofiq to'g'ri chiziqli harakat qiladi. Uning t = 3 s vaqtdagi tezligi va tezlanishini aniqlang. (Masofa metrlarda, vaqt soniyalarda o'lchanadi).
Yechim
v (t) = sn (t) =(3+2t+t 2)’= 2 + 2t
a (t) = vn (t) =(2+2t)’= 2 (m/s 2)
v(3) = 2 + 2∙3 = 8 (m/s). Javob: 8 m/s; 2 m/s 2 .

Amaliy qism:

1 variant	Variant 2	Variant 3	Variant 4	Variant 5
Berilgan M nuqtadan o‘tuvchi tangensning x o‘qiga nishablik burchagi tangensini toping. f funksiya grafigi.
f(x)=x 2 , M(-3;9)	f(x)=x 3 , M(-1;-1)
abtsissa x 0 nuqtada f funksiya grafigiga teginish tenglamasini yozing.
f(x)=x 3 -1, x 0 =2	f(x)=x 2 +1, x 0 =1	f(x)= 2x-x 2, x 0 = -1	f(x)=3sinx, x 0 =	f(x)= x 0 = -1
Abtsissa x 0 bo'lgan nuqtada f funktsiyaga teginish qiyaligini toping.
Funktsiyaning ikkinchi hosilasini toping:
			f(x)= 2cosx-x 2	f(x)= -2sinx+x 3
Jism x (t) qonuniga ko'ra to'g'ri chiziqli harakat qiladi. Hozirgi vaqtda uning tezligi va tezlanishini aniqlang vaqt t. (Silinish metrlarda, vaqt soniyalarda o'lchanadi).
x(t)=t 2 -3t, t=4	x(t)=t 3 +2t, t=1	x(t)=2t 3 -t 2 , t=3	x(t)=t 3 -2t 2 +1,t=2	x(t)=t 4 -0,5t 2 =2, t=0,5

Nazorat savollari:

Siz lotinning jismoniy ma'nosini nima deb hisoblaysiz - bu oniy tezlikmi yoki o'rtacha tezlikmi?

Har qanday nuqta orqali funksiya grafigiga chizilgan tangens bilan hosila tushunchasi o‘rtasida qanday bog‘liqlik bor?

M(x 0 ;f(x 0)) nuqtadagi funksiya grafigiga teginish qanday ta’riflanadi?

Ikkinchi hosilaning mexanik ma'nosi nima?

Hosil(nuqtadagi funksiyalar) - funktsiyaning (ma'lum bir nuqtada) o'zgarish tezligini tavsiflovchi differentsial hisobning asosiy tushunchasi. Bu funktsiya o'sishining uning argumentining o'sishiga nisbati chegarasi sifatida aniqlanadi, chunki agar bunday chegara mavjud bo'lsa, argumentning o'sishi nolga moyil bo'ladi. Cheklangan hosilasi (ba'zi nuqtada) bo'lgan funksiya differensiallanuvchi (o'sha nuqtada) deyiladi.

Hosil. Keling, ba'zi funktsiyalarni ko'rib chiqaylik y = f (x ) ikki nuqtada x 0 va x 0 + : f (x 0) va f (x 0 +). Bu yerda orqali argumentdagi ba'zi kichik o'zgarishlarni bildiradi, deyiladi argument ortishi; Shunga ko'ra, ikkita funktsiya qiymati o'rtasidagi farq: f (x 0 + )  f (x 0 ) deyiladi funktsiyaning o'sishi.Hosil funktsiyalari y = f (x ) nuqtada x 0 chegara deb ataladi:

Agar bu chegara mavjud bo'lsa, u holda funktsiya f (x ) deyiladi farqlanishi mumkin nuqtada x 0 . Funktsiyaning hosilasi f (x ) quyidagicha belgilanadi:

Hosilning geometrik ma'nosi. Funktsiya grafigini ko'rib chiqing y = f (x ):

1-rasmdan ko'rinib turibdiki, funktsiya grafigining istalgan ikkita A va B nuqtalari uchun:

AB sekantining qiyalik burchagi qayerda.

Shunday qilib, farq nisbati sekantning qiyaligiga teng. Agar siz A nuqtani mahkamlab, B nuqtasini unga qarab harakatlantirsangiz, u cheksiz kamayadi va 0 ga yaqinlashadi va AB sekant AC tangensiga yaqinlashadi. Shuning uchun farq nisbatining chegarasi A nuqtadagi tangensning qiyaligiga teng bo'ladi. Funksiyaning nuqtadagi hosilasi bu funksiya grafigiga tegishning shu nuqtadagi qiyaligidir. Bu nima geometrik ma'no hosila.

Tangens tenglamasi. A nuqtadagi funksiya grafigiga teginish tenglamasini chiqaramiz ( x 0 , f (x 0 )). Umuman olganda, qiyalik koeffitsientli to'g'ri chiziq tenglamasi f ’(x 0 ) quyidagi shaklga ega:

y = f ’(x 0 ) · x + b.

Topmoq b, Tangensning A nuqtadan o'tishidan foydalanamiz:

f (x 0 ) = f ’(x 0 ) · x 0 + b ,

bu yerdan, b = f (x 0 ) – f ’(x 0 ) · x 0 , va uning o'rniga bu iborani almashtiring b, olamiz tangens tenglamasi:

y =f (x 0 ) + f ’(x 0 ) · ( x - x 0 ) .

Hosilning mexanik ma'nosi. Eng oddiy holatni ko'rib chiqamiz: moddiy nuqtaning koordinata o'qi bo'ylab harakati va harakat qonuni berilgan: koordinata. x harakatlanuvchi nuqta - ma'lum funktsiya x (t) vaqt t. dan vaqt oralig'ida t 0 gacha t 0 + nuqta masofaga siljiydi: x (t 0 + )  x (t 0) = , va uning o'rtacha tezlik teng: v a =  . 0 da o'rtacha tezlik ma'lum bir qiymatga intiladi, bu deyiladi oniy tezlik v ( t 0 ) vaqtdagi moddiy nuqta t 0 . Ammo lotin ta'rifi bo'yicha bizda:

bu yerdan, v (t 0 ) = x' (t 0 ), ya'ni. tezlik koordinataning hosilasidir tomonidan vaqt. Bu nima mexanik sezgi hosila . Xuddi shunday, tezlanish - tezlikning vaqtga nisbatan hosilasi: a = v' (t).

8. Hosilalar jadvali va differensiallash qoidalari

Biz lotin nima ekanligi haqida "Hosilaning geometrik ma'nosi" maqolasida gaplashdik. Agar funktsiya grafik orqali berilgan bo'lsa, uning har bir nuqtadagi hosilasi funksiya grafigiga teginish tangensiga teng bo'ladi. Va agar funktsiya formula bilan berilgan bo'lsa, hosilalar jadvali va farqlash qoidalari, ya'ni hosilani topish qoidalari yordam beradi.

Samolyotdagi moddiy nuqta berilsin. Uning koordinata o'qi bo'ylab harakatlanish qonuni $ x(t) $ qonuni bilan tavsiflanadi, bu erda $ t $ vaqtni belgilaydi. Keyin $ t_0 $ dan $ t_0 + \Delta t $ gacha bo'lgan vaqt ichida nuqta $ \Delta x = x(t_0+\Delta t) - x(t_0) $ yo'lidan o'tadi. Ma'lum bo'ladiki o'rtacha tezlik bunday nuqta quyidagi formula bilan topiladi: $$ v_(cp) = \frac(\Delta x)(\Delta t) $$

Agar $ \ Delta t $ nolga moyil bo'lsa, u holda o'rtacha tezlikning qiymati deb nomlangan qiymatga moyil bo'ladi. oniy tezlik$t_0$ nuqtasida:

$$ \lim_(\Delta t \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = v(t_0) $$

Limit orqali hosilani aniqlab, biz moddiy nuqta yo'lining tezligi va harakat qonuni o'rtasidagi bog'lanishga erishamiz:

$$ v(t_0) = \lim_(\Delta \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = x"(t_0) $$

Yechimlarga misollar

1-misol

$ t_0 = 1 $ $ x(t) = t^2+3t-1 $ qonun boʻyicha harakatlanuvchi moddiy nuqtaning oniy tezligini hisoblang.

Yechim

Hosilning mexanik ma'nosini aniqlab, biz moddiy nuqtaning tezlik qonunini olamiz: $$ v(t) = x"(t) = (t^2+3t-1)" = 2t + 3 $$ Muammo shartlaridan vaqt momentini $ t_0 = 1 $ bilib, biz ushbu vaqt momentidagi tezlikni topamiz: $$ v(t_0) = 2\cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5 $$ Biz $ t_0 = 1 $ momentidagi nuqtaning oniy tezligi $ v = 5 $ ga teng ekanligini aniqladik. Agar muammoingizni hal qila olmasangiz, uni bizga yuboring. Biz batafsil yechimni taqdim etamiz. Hisoblash jarayonini ko'rishingiz va ma'lumot olishingiz mumkin. Bu sizga o'qituvchingizdan o'z vaqtida baho olishingizga yordam beradi!

Javob

$$ v(t_0) = 5 $$

2-misol

Moddiy nuqtaning harakati $ x(t)=t^2-t+3 $ qonuni bilan berilgan. Vaqtning qaysi nuqtasida $ t_0 $ bu nuqtaning tezligi nolga teng bo'lishini toping.

Yechim

Tezlik harakat yo'li qonunining hosilasi bo'lgani uchun:

Hosilning mexanik ma'nosi

Hosilning mexanik talqini birinchi marta I. Nyuton tomonidan berilgan. Bu quyidagicha: ma'lum bir vaqtning o'zida moddiy nuqtaning harakat tezligi vaqtga nisbatan yo'l hosilasiga teng, ya'ni. Shunday qilib, agar moddiy nuqtaning harakat qonuni tenglama bilan berilgan bo'lsa, u holda vaqtning har qanday aniq momentidagi nuqtaning oniy tezligini topish uchun hosilani topish va unga mos keladigan t qiymatini almashtirish kerak.

Ikkinchi tartibli hosila va uning mexanik ma'nosi

Biz olamiz (Lisichkin V.T. Soloveichik I.L. “matematika” darsligidagi 240-betda qilingan tenglama):

Shunday qilib, jismning ma'lum bir momentdagi to'g'ri chiziqli harakatining tezlashishi ma'lum bir moment uchun hisoblangan vaqtga nisbatan yo'lning ikkinchi hosilasiga teng. Bu ikkinchi hosilaning mexanik ma'nosidir.

Differensialning ta'rifi va geometrik ma'nosi

Ta'rif 4. Funktsiya o'sishning asosiy qismi, funktsiyaning o'sishiga nisbatan chiziqli, mustaqil o'zgaruvchining o'sishiga nisbatan chiziqli deyiladi. differensial funktsiyasi va d bilan belgilanadi, ya'ni. .

Funksiyaning differentsiali geometrik ravishda x va?x ning berilgan qiymatlari uchun M (x; y) nuqtada chizilgan tangens ordinatasining o'sishi bilan ifodalanadi.

Hisoblash differensial - .

Differensialni taxminiy hisoblarda qo'llash - , funktsiya o'sishning taxminiy qiymati uning differentsialiga to'g'ri keladi.

Teorema 1.Agar differensiallanuvchi funksiya berilgan oraliqda ortib ketsa (kamaysa), u holda bu funksiyaning hosilasi bu oraliqda manfiy emas (musbat emas).

Teorema 2.Agar hosila funksiyasi ma'lum oraliqda musbat (salbiy) bo'lsa, u holda bu oraliqdagi funktsiya monoton ravishda ortadi (monotonik ravishda kamayadi).

Endi funksiyaning monotonlik intervallarini topish qoidasini tuzamiz

1. Ushbu funktsiyaning hosilasini hisoblang.

2. U nolga teng yoki mavjud bo‘lmagan nuqtalarni toping. Bu nuqtalar deyiladi tanqidiy funktsiya uchun

3. Topilgan nuqtalardan foydalanib, funktsiyaning aniqlanish sohasi intervallarga bo'linadi, ularning har birida hosila o'z belgisini saqlab qoladi. Bu intervallar monotonlik intervallaridir.

4. Topilgan intervallarning har biridagi belgini tekshiring. Agar ko'rib chiqilayotgan intervalda bo'lsa, u holda bu intervalda u ortadi; bo'lsa, u holda bunday intervalda kamayadi.

Muammoning shartlariga qarab, monotonlik intervallarini topish qoidasini soddalashtirish mumkin.

Ta'rif 5. Agar nuqtaning qaysidir qo'shnisidagi istalgan x uchun tengsizlik bajarilsa, nuqta funksiyaning maksimal (minimal) nuqtasi deyiladi.

Agar funktsiyaning maksimal (minimal) nuqtasi bo'lsa, ular shunday deyishadi (eng kam) nuqtada. Maksimal va minimal funktsiyalar nomni birlashtiradi ekstremum funktsiyalari va maksimal va minimal nuqtalari deyiladi ekstremal nuqtalar (ekstremal nuqtalar).

Teorema 3.(ekstremumning zaruriy belgisi). Agar funktsiyaning ekstremum nuqtasi bo'lsa va hosilasi shu nuqtada mavjud bo'lsa, u nolga teng: .

Teorema 4.(ekstremumning etarli belgisi). Agar x a orqali o'tganda hosila belgisini o'zgartirsa, u holda a funktsiyaning ekstremum nuqtasidir.

Loyqa tadqiqotlarning asosiy nuqtalari:

1. Hosilni toping.

2. Funksiyaning aniqlanish sohasidan barcha kritik nuqtalarni toping.

3. Kritik nuqtalardan o‘tganda funksiya hosilasining belgilarini qo‘ying va ekstremum nuqtalarini yozing.

4. Har bir ekstremal nuqtada funktsiya qiymatlarini hisoblang.

Moddiy nuqtaga yo'l qo'ying M qonunga muvofiq to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanadi S = f (t). Ma'lumki, lotin S t ' nuqtaning ma'lum vaqtdagi tezligiga teng: S t '= V.

Bir lahzada ruxsat bering t nuqtaning tezligi V ga teng va hozirgi vaqtda t +Dt - tezlik hisoblanadi V+DV, ya'ni ma'lum vaqt oralig'ida Dt tezligi miqdori bo'yicha o'zgartirildi D.V..

Nisbat nuqta harakatining vaqt bo'yicha o'rtacha tezlanishini ifodalaydi Dt. Bu nisbatning chegarasi Dt®0 nuqtaning tezlanishi deyiladi M Hozirgi paytda t va harf bilan belgilanadi A: Shunday qilib, yo'lning vaqtga nisbatan ikkinchi hosilasi nuqtaning to'g'ri chiziqli harakati tezlanishining kattaligi; ya'ni .

Yuqori tartibli farqlar

Mayli y=f(x) Differensiallanuvchi funksiya va uning argumenti X- mustaqil o'zgaruvchi. U holda uning birinchi differentsiali ham funktsiyadir X, bu funksiyaning differentsialini topishingiz mumkin.

Funksiya differensialining differensiali uning ikkinchi differensiali (yoki ikkinchi tartibli differensiali) deyiladi va quyidagicha belgilanadi: .

Berilgan funktsiyaning ikkinchi tartibli differentsiali ushbu funktsiyaning ikkinchi darajali ko'paytmasiga mustaqil o'zgaruvchining differentsial kvadratiga teng: .

Differensial hisoblashni qo'llash

Funktsiya chaqiriladi oshirish (kamayish)) intervalda ( a; b), agar har qanday ikkita nuqta uchunx 1 Vax 2 tengsizlikni qanoatlantiruvchi belgilangan oraliqdan tengsizlik qanoatlantiriladi ().

Ko'paytirish (kamaytirish) uchun zarur shart: oraliqda differensiallanadigan funksiya bo'lsa ( a, b) ortadi (kamayadi), u holda bu funktsiyaning hosilasi bu intervalda manfiy emas (musbat emas)() .

Ko'paytirish (kamaytirish) uchun etarli shart:Agar differensiallanuvchi funktsiyaning hosilasi ma'lum oraliqda musbat (salbiy) bo'lsa, bu oraliqda funktsiya ortadi (kamayadi).

Funktsiya f(x) nuqtada x 1 Unda bor maksimal, agar mavjud bo'lsa X f(x 1)>f(x), da x ¹x 1 .

Funktsiya f(x) nuqtada x 1 Unda bor eng kam, agar mavjud bo'lsa X nuqtaning ba'zi qo'shnilaridan quyidagi tengsizlik mavjud: f(x 1) , da x ¹x 1 .

Funksiyaning ekstremumiga mahalliy ekstremum deyiladi, chunki ekstremum tushunchasi faqat x 1 nuqtaning etarlicha kichik qo'shnisi bilan bog'liq. Shunday qilib, bir oraliqda funktsiya bir nechta ekstremallarga ega bo'lishi mumkin va bir nuqtada minimal boshqa nuqtada maksimaldan katta bo'lishi mumkin. Intervalning ma'lum bir nuqtasida maksimal yoki minimalning mavjudligi bu nuqtada funktsiyani anglatmaydi f(x) bu oraliqda eng katta yoki eng kichik qiymatni oladi.

Ekstremum uchun zaruriy shart: Differensiallanuvchi funksiyaning ekstremum nuqtasida uning hosilasi nolga teng.

Ekstremum uchun yetarli shart: Agar differensiallanuvchi funktsiyaning qaysidir nuqtada x 0 hosilasi nolga teng bo'lsa va bu qiymatdan o'tganda o'z belgisini o'zgartirsa, f (x 0) soni funktsiyaning ekstremumidir va agar belgisi ortiqcha dan minusga o'zgaradi, keyin maksimal, agar minusdan ortiqcha bo'lsa, keyin minimal.

Uzluksiz funktsiyaning hosilasi nolga teng yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar kritik deyiladi.

Funksiyani ekstremum uchun tekshirish uning barcha ekstremasini topishni anglatadi. Ekstremum uchun funktsiyani o'rganish qoidasi:

1). Funksiyaning kritik nuqtalarini toping y = f(x) va ulardan faqat funktsiyani aniqlash sohasining ichki nuqtalari bo'lganlarini tanlang;

2). Hosila belgisini o‘rganing f"(x) tanlangan tanqidiy nuqtalarning har birining chap va o'ng tomonida;

3). Ekstremum uchun etarli shartga asoslanib, ekstremum nuqtalarini (agar mavjud bo'lsa) yozing va ulardagi funktsiya qiymatlarini hisoblang.

Topish uchun eng yuqori va eng past qiymat segmentdagi funktsiya bir necha bosqichlarni bajarishi kerak:

1). f’(x)=0 tenglamani yechish orqali funksiyaning kritik toklarini toping.

2). Agar kritik nuqtalar segmentga tushsa, u holda kritik nuqtalarda va interval chegaralarida qiymatlarni topish kerak. Agar tanqidiy nuqtalar segmentga tushmasa (yoki ular mavjud bo'lmasa), u holda funktsiya qiymatlari faqat segment chegaralarida topiladi.

3). Olingan funktsiya qiymatlaridan eng katta va eng kichikni tanlang va javobni, masalan, quyidagi shaklda yozing: ; .

Muammoni hal qilish

2.1-misol. Funktsiyaning differentsialini toping: .

Yechim. Funksiya differensialining 2-xususiyatiga va differentsial ta’rifiga asoslanib, bizda quyidagilar mavjud:

2.2-misol. Funktsiyaning differentsialini toping:

Yechim. Funktsiyani quyidagicha yozish mumkin: , . Keyin bizda:

2.3-misol. Funktsiyaning ikkinchi hosilasini toping:

Yechim. Funktsiyani o'zgartiramiz.

Birinchi hosilani topamiz:

ikkinchi hosilani topamiz:

.

2.4-misol. Funksiyaning ikkinchi tartibli differensialini toping .

Yechim. Hisoblash uchun ifoda asosida ikkinchi tartibli differensial topamiz:

Avval birinchi hosilani topamiz:

; ikkinchi hosilani topamiz: .

2.5-misol. Abtsissa bilan nuqtada chizilgan egri chiziqqa tegishning burchak koeffitsientini toping x=2 .

Yechim. Hosilning geometrik ma'nosiga asoslanib, qiyalikning abscissasi teng bo'lgan nuqtadagi funksiya hosilasiga teng ekanligini tushunamiz. X . Biz topamiz .

Funktsiya grafigiga teginishning burchak koeffitsientini hisoblaymiz.

2.6-misol. Bir vaqtning o'zida bakteriyalar populyatsiyasi t (t soatlarda o'lchanadi) jami shaxslar. Bakteriyalarning o'sish tezligini toping. Bakteriyalarning ma'lum bir vaqtda o'sish tezligini toping t=5 soat.

Yechim. Bakteriya populyatsiyasining o'sish tezligi vaqt bo'yicha birinchi hosiladir t: .

Agar t=5 soat, keyin. Shuning uchun bakteriyalarning o'sish tezligi soatiga 1000 kishini tashkil qiladi.

2.7-misol. Tananing yuborilgan preparatga reaktsiyasi qon bosimining oshishi, tana haroratining pasayishi, yurak urish tezligining o'zgarishi yoki boshqa fiziologik ko'rsatkichlarda ifodalanishi mumkin. Reaktsiya darajasi preparatning belgilangan dozasiga bog'liq. Agar X belgilangan dori dozasini va reaktsiya darajasini ko'rsatadi da funktsiyasi bilan tavsiflanadi . Qanday qiymatda X Reaktsiya maksimalmi?

Yechim. Keling, hosilani topamiz .

Kritik nuqtalarni topamiz: ⇒ . ⇒ Shunday qilib, bizda ikkita muhim nuqta bor: . Qiymat vazifa shartlariga javob bermaydi.

Keling, ikkinchi hosilani topamiz . da ikkinchi hosilaning qiymatini hisoblaymiz. . Bu degani - maksimal javob beradigan doza darajasi.

O'z-o'zini hal qilish uchun misollar

Funktsiyaning differentsialini toping:

1. .

2. .

3. .

4.

Quyidagi funksiyalarning ikkinchi hosilalarini toping:

6. .

Quyidagi funksiyalar uchun ikkinchi tartibli hosilalarni toping va ikkinchi tartibli differentsiallarni yozing:

9. .

11. Ekstremum uchun funktsiyani o'rganing.

12. Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini toping segmentida.

13. Funksiyaning ortish va kamayish oraliqlarini, o‘qlar bilan maksimal va minimal nuqtalarni hamda kesishish nuqtalarini toping:

14. Nuqtaning harakat qonuni shaklga ega . Bu nuqtaning tezlik va tezlanish qonunini aniqlang.

15. Nuqtaning harakat tenglamasi (m) ko'rinishga ega. 1) nuqtaning s va s vaqtlardagi holatini toping; 2) vaqt ichida ushbu nuqtalar orasidagi o'tgan vaqt uchun o'rtacha tezlik; 3) belgilangan vaqtlardagi oniy tezliklar; 4) belgilangan vaqt oralig'idagi o'rtacha tezlashuv; 5) belgilangan vaqtlarda oniy tezlanishlar.

Uyga vazifa.

Amaliyot:

Funktsiyaning differentsialini toping:

1. ;

2. ;

Funktsiyaning ikkinchi tartibli hosilalarini toping:

4.

5.

Ikkinchi tartibli differentsiallarni toping

6. .

7. Nuqta qonunga muvofiq to'g'ri chiziqli harakat qiladi. Vaqti-vaqti bilan tezlik va tezlanishni hisoblang va.

Funksiyalarning ortishi va kamayuvchi oraliqlarini toping:

9. .

10. Glyukoza yuborilganda, uning inson qonidagi tarkibi, tegishli birliklarda ifodalanganidan keyin t soat bo'ladi . a) da qon glyukozasining o'zgarish tezligini toping. t =1 h; b) t =2 h.

Nazariya.

1. “Bir necha argumentlar funksiyalarining hosilalari va differentsiallari” mavzusidagi ma’ruza. Bir nechta argumentlarning differentsial funktsiyasini qo'llash.

2. Ushbu qo'llanmaning 3-darsi.

3. Pavlushkov I.V. va boshqalar 101-113, 118-121-betlar.

Dars 3. Bir nechta argumentlar funksiyasining hosilalari va differentsiallari

Mavzuning dolzarbligi: matematikaning ushbu bo'limi bir qator amaliy masalalarni yechishda keng qo'llaniladi, chunki ko'plab fizik, biologik va kimyoviy hodisalar bir emas, balki bir nechta o'zgaruvchilarga (omillarga) bog'liqlik bilan tavsiflanadi.

Darsning maqsadi: bir nechta o'zgaruvchili funksiyalarning qisman hosilalari va differentsiallarini topishni o'rganish.

Maqsadli vazifalar:

bilish: ikki o‘zgaruvchili funksiya tushunchasini; ikki o‘zgaruvchili funksiyaning qisman hosilalari tushunchasi; bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning to‘liq va qisman differentsiallari tushunchasi;

bajara olish: bir necha o‘zgaruvchili funksiyalarning hosilalari va differentsiallarini topish.

Nazariy kursdan qisqacha ma'lumot

Asosiy tushunchalar

z o'zgaruvchisi x va y ikkita argumentning funktsiyasi deb ataladi, agar ba'zi bir juft qiymatlarga biron bir qoida yoki qonunga muvofiq ma'lum z qiymati berilgan bo'lsa. Ikki argumentning funksiyasi bilan belgilanadi.

Funktsiya kosmosdagi to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi sirt sifatida ko'rsatilgan. Ikki oʻzgaruvchili funksiya grafigi uch oʻlchamli x fazodagi nuqtalar toʻplamidir

Ish deyiladi qisman differentsial funktsiya z=f(x,y) tomonidan X va belgilangan.

To'liq differentsial funktsiya

Funktsiyaning differensialligi - bu funktsiyaning qisman hosilalari mahsuloti yig'indisi va mos keladigan mustaqil o'zgaruvchilarning o'sishi, ya'ni. . Chunki Va keyin biz yozishimiz mumkin: yoki .