To'g'ri piramidaning lateral yuzasi teng. Turli xil piramidalarning lateral yuzasi

Qanday figurani piramida deb ataymiz? Birinchidan, bu ko'pburchak. Ikkinchidan, bu ko'pburchakning negizida ixtiyoriy ko'pburchak mavjud va piramidaning tomonlari (yon yuzlari) majburiy ravishda bitta umumiy cho'qqiga yaqinlashadigan uchburchaklar shakliga ega. Endi atamani tushunib, piramidaning sirt maydonini qanday topishni bilib olaylik.

Ko'rinib turibdiki, bunday geometrik jismning sirt maydoni poydevor va uning butun lateral yuzasi maydonlarining yig'indisidan iborat.

Piramida asosining maydonini hisoblash

Hisoblash formulasini tanlash bizning piramidamiz ostidagi ko'pburchak shakliga bog'liq. Bu muntazam, ya'ni bir xil uzunlikdagi tomonlari yoki tartibsiz bo'lishi mumkin. Keling, ikkala variantni ham ko'rib chiqaylik.

Uning asosi muntazam ko'pburchakdir

Maktab kursidan biz bilamiz:

kvadratning maydoni uning yon tomonining kvadratiga teng bo'ladi;
Teng tomonli uchburchakning maydoni uning tomonining kvadratini 4 ga bo'lingan va uchta kvadrat ildizga ko'paytirganiga teng.

Lekin ham bor umumiy formula, har qanday muntazam ko'pburchakning (Sn) maydonini hisoblash uchun: siz ushbu ko'pburchakning perimetrini (P) unda yozilgan doira radiusiga (r) ko'paytirishingiz kerak va natijani ikkiga bo'lishingiz kerak: Sn = 1/2P*r.

Poydevorda tartibsiz ko'pburchak joylashgan

Uning maydonini topish sxemasi birinchi navbatda butun ko'pburchakni uchburchaklarga bo'lish, ularning har birining maydonini formuladan foydalanib hisoblash: 1/2a * h (bu erda a - uchburchakning asosi, h - pastga tushirilgan balandlik. bu asos), barcha natijalarni qo'shing.

Piramidaning lateral yuzasi

Endi piramidaning lateral yuzasining maydonini hisoblaymiz, ya'ni. uning barcha lateral tomonlari maydonlarining yig'indisi. Bu erda ham 2 ta variant mavjud.

Keling, ixtiyoriy piramidaga ega bo'laylik, ya'ni. asosi tartibsiz ko'pburchakli. Keyin har bir yuzning maydonini alohida hisoblashingiz va natijalarni qo'shishingiz kerak. Piramidaning tomonlari, ta'rifiga ko'ra, faqat uchburchaklar bo'lishi mumkinligi sababli, hisoblash yuqorida ko'rsatilgan formula yordamida amalga oshiriladi: S=1/2a*h.
Bizning piramidamiz to'g'ri bo'lsin, ya'ni. uning poydevorida muntazam ko'pburchak yotadi va piramida tepasining proyeksiyasi uning markazida. Keyin lateral yuzaning maydonini (Sb) hisoblash uchun asosiy ko'pburchak perimetri (P) va yon tomonning balandligi (h) ko'paytmasining yarmini topish kifoya (barcha yuzlar uchun bir xil). ): Sb = 1/2 P*h. Ko'pburchakning perimetri uning barcha tomonlari uzunligini qo'shish orqali aniqlanadi.

Muntazam piramidaning umumiy sirt maydoni uning poydevorining maydonini butun yon yuzasining maydoni bilan yig'ish orqali topiladi.

Misollar

Masalan, bir nechta piramidalarning sirt maydonlarini algebraik hisoblab chiqamiz.

Uchburchak piramidaning sirt maydoni

Bunday piramidaning negizida uchburchak joylashgan. So=1/2a*h formulasidan foydalanib, biz asosning maydonini topamiz. Piramidaning har bir yuzining maydonini topish uchun biz bir xil formuladan foydalanamiz, u ham uchburchak shaklga ega va biz 3 ta maydonni olamiz: S1, S2 va S3. Piramidaning lateral yuzasining maydoni barcha maydonlarning yig'indisiga teng: Sb = S1 + S2 + S3. Yon tomonlari va poydevorining maydonlarini qo'shib, biz kerakli piramidaning umumiy sirtini olamiz: Sp = So+ Sb.

To'rtburchak piramidaning sirt maydoni

Yon yuzaning maydoni 4 ta hadning yig'indisi: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, ularning har biri uchburchakning maydoni formulasi yordamida hisoblanadi. Va to'rtburchak shakliga qarab poydevorning maydonini izlash kerak bo'ladi - muntazam yoki tartibsiz. Piramidaning umumiy sirt maydoni yana asosning maydoni va berilgan piramidaning umumiy sirt maydonini qo'shish orqali olinadi.

ko'p qirrali figura bo'lib, uning asosi ko'pburchak bo'lib, qolgan yuzlar umumiy uchi bo'lgan uchburchaklar bilan ifodalanadi.

Agar asos kvadrat bo'lsa, u holda piramida deyiladi to'rtburchak, agar uchburchak bo'lsa - keyin uchburchak. Piramidaning balandligi uning tepasidan poydevorga perpendikulyar ravishda chizilgan. Shuningdek, maydonni hisoblash uchun ishlatiladi apotema- yon yuzining balandligi, uning tepasidan tushirilgan.
Piramidaning lateral yuzasining maydoni formulasi uning lateral yuzlarining bir-biriga teng bo'lgan maydonlarining yig'indisidir. Biroq, bu hisoblash usuli juda kamdan-kam qo'llaniladi. Asosan, piramidaning maydoni poydevor va apotema perimetri orqali hisoblanadi:

Keling, piramidaning lateral yuzasi maydonini hisoblash misolini ko'rib chiqaylik.

Bizga asosi ABCDE va tepasi F bo'lgan piramida berilsin. AB =BC =CD =DE =EA =3 sm Apotem a = 5 sm.
Keling, perimetrni topamiz. Poydevorning barcha qirralari teng bo'lganligi sababli, beshburchakning perimetri quyidagilarga teng bo'ladi:
Endi siz piramidaning lateral maydonini topishingiz mumkin:

Muntazam uchburchak piramidaning maydoni

Muntazam uchburchak piramida oddiy uchburchak yotadigan poydevor va maydoni teng bo'lgan uchta yon yuzdan iborat.
Oddiy uchburchak piramidaning lateral sirt maydoni uchun formulani turli usullar bilan hisoblash mumkin. Siz perimetr va apotem yordamida odatiy hisoblash formulasini qo'llashingiz mumkin yoki bitta yuzning maydonini topib, uni uchga ko'paytirishingiz mumkin. Piramidaning yuzi uchburchak bo'lganligi sababli, biz uchburchakning maydoni uchun formulani qo'llaymiz. Buning uchun apotem va taglikning uzunligi kerak bo'ladi. Oddiy uchburchak piramidaning lateral sirt maydonini hisoblash misolini ko'rib chiqaylik.

Apotemli a = 4 sm va asosiy yuzi b = 2 sm bo'lgan piramida berilgan bo'lsa, piramidaning lateral yuzasi maydonini toping.
Birinchidan, yon yuzlardan birining maydonini toping. Bu holda shunday bo'ladi:
Qiymatlarni formulaga almashtiring:
Oddiy piramidada barcha tomonlar bir xil bo'lganligi sababli, piramidaning yon yuzasining maydoni uchta yuzning maydonlari yig'indisiga teng bo'ladi. Mos ravishda:

Kesilgan piramidaning maydoni

Kesilgan Piramida - bu piramida va uning kesimi poydevorga parallel bo'lgan ko'pburchak.
Kesilgan piramidaning lateral sirt maydoni uchun formula juda oddiy. Maydoni asoslar va apotema perimetrlari yig'indisining yarmining ko'paytmasiga teng:

Ushbu geometrik shakl va uning xususiyatlari haqidagi savollarni o'rganishdan oldin, ba'zi atamalarni tushunishingiz kerak. Inson piramida haqida eshitsa, Misrdagi ulkan binolarni tasavvur qiladi. Eng oddiylari shunday ko'rinadi. Ammo ular sodir bo'ladi turli xil turlari va shakllar, ya'ni geometrik shakllar uchun hisoblash formulasi boshqacha bo'ladi.

Shakl turlari

Piramida - geometrik shakl , bir nechta yuzlarni bildiruvchi va ifodalovchi. Aslini olganda, bu xuddi shu ko'pburchak bo'lib, uning poydevorida ko'pburchak yotadi va yon tomonlarida bir nuqtada - tepada tutashadigan uchburchaklar mavjud. Rasm ikkita asosiy turga bo'linadi:

to'g'ri;
kesilgan.

Birinchi holda, asos muntazam ko'pburchakdir. Bu erda barcha lateral yuzalar tengdir o'zlari va figuraning o'zi o'rtasida perfektsionistning ko'zini quvontiradi.

Ikkinchi holda, ikkita tayanch mavjud - eng pastki qismida katta va yuqori o'rtasida kichik, asosiyning shaklini takrorlaydi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, kesilgan piramida ko'pburchak bo'lib, kesma asosga parallel ravishda hosil bo'ladi.

Shartlar va belgilar

Asosiy shartlar:

Muntazam (teng tomonli) uchburchak- uchta teng burchak va teng tomonlarga ega bo'lgan figura. Bunday holda, barcha burchaklar 60 daraja. Shakl oddiy ko'pburchaklarning eng oddiyidir. Agar bu raqam poydevorda bo'lsa, unda bunday ko'pburchak muntazam uchburchak deb ataladi. Agar asos kvadrat bo'lsa, piramida oddiy to'rtburchak piramida deb ataladi.
Vertex– qirralarning tutashgan eng yuqori nuqtasi. Cho'qqining balandligi piramidaning cho'qqisidan poydevorigacha cho'zilgan to'g'ri chiziq orqali hosil bo'ladi.
Chet– ko‘pburchak tekisliklaridan biri. U uchburchak piramida holatida uchburchak shaklida yoki kesilgan piramida uchun trapezoid shaklida bo'lishi mumkin.
Bo'lim – tekis shakl, parchalanish natijasida hosil bo'lgan. Uni bo'lim bilan aralashtirib yubormaslik kerak, chunki bo'lim bo'lim orqasida nima borligini ham ko'rsatadi.
Apotema- piramidaning tepasidan poydevorigacha chizilgan segment. Bundan tashqari, ikkinchi balandlik nuqtasi joylashgan yuzning balandligi. Bu ta'rif faqat oddiy ko'pburchak uchun amal qiladi. Misol uchun, agar bu kesilgan piramida bo'lmasa, unda yuz uchburchak bo'ladi. Bunday holda, bu uchburchakning balandligi apothemga aylanadi.

Hudud formulalari

Piramidaning lateral sirt maydonini toping har qanday turdagi bir necha usulda amalga oshirilishi mumkin. Agar raqam nosimmetrik bo'lmasa va turli tomonlari bo'lgan ko'pburchak bo'lsa, unda bu holda umumiy sirt maydonini barcha sirtlarning umumiyligi orqali hisoblash osonroq bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda, siz har bir yuzning maydonini hisoblashingiz va ularni bir-biriga qo'shishingiz kerak.

Qaysi parametrlar ma'lum bo'lganiga qarab, kvadrat, trapezoid, o'zboshimchalik bilan to'rtburchak va boshqalarni hisoblash uchun formulalar talab qilinishi mumkin. Turli holatlarda formulalarning o'zi farqlari ham bo‘ladi.

Oddiy raqam bo'lsa, maydonni topish ancha oson. Faqat bir nechta asosiy parametrlarni bilish kifoya. Ko'pgina hollarda, bunday raqamlar uchun hisob-kitoblar maxsus talab qilinadi. Shuning uchun tegishli formulalar quyida keltirilgan. Aks holda, siz hamma narsani bir necha sahifaga yozishingiz kerak bo'ladi, bu sizni chalkashtirib yuboradi.

Hisoblash uchun asosiy formula Oddiy piramidaning lateral yuzasi quyidagi shaklga ega bo'ladi:

S=½ Pa (P - asosning perimetri va apotema)

Keling, bitta misolni ko'rib chiqaylik. Ko'pburchakning A1, A2, A3, A4, A5 segmentlari bo'lgan asosi bor va ularning barchasi 10 sm ga teng Apotem 5 sm ga teng bo'lsin, avval siz perimetrni topishingiz kerak. Bazaning barcha besh yuzi bir xil bo'lganligi sababli, uni quyidagicha topishingiz mumkin: P = 5 * 10 = 50 sm Keyinchalik, biz asosiy formulani qo'llaymiz: S = ½ * 50 * 5 = 125 sm kvadrat.

Muntazam uchburchak piramidaning lateral yuzasi hisoblash uchun eng oson. Formula quyidagicha ko'rinadi:

S =½* ab *3, bu erda a - apotema, b - asosning yuzi. Bu erda uchta omil taglikning yuzlari sonini anglatadi va birinchi qism - yon yuzaning maydoni. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Apotemli 5 sm va tayanch qirrasi 8 sm bo'lgan raqam berilgan, Biz hisoblaymiz: S = 1/2*5*8*3=60 sm kvadrat.

Kesilgan piramidaning lateral yuzasi Hisoblash biroz qiyinroq. Formula quyidagicha ko'rinadi: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, bu erda p_01 va p_02 asoslarning perimetrlari va apotemdir. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Faraz qilaylik, to'rtburchak shakl uchun asoslar tomonlarining o'lchamlari 3 va 6 sm, apotem 4 sm.

Bu yerda, avvalo, asoslarning perimetrlarini topish kerak: r_01 =3*4=12 sm; r_02=6*4=24 sm qiymatlarni asosiy formulaga almashtirish qoladi va biz quyidagilarni olamiz: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 sm kvadrat.

Shunday qilib, har qanday murakkablikdagi oddiy piramidaning lateral sirt maydonini topishingiz mumkin. Siz ehtiyot bo'lishingiz va chalkashmasligingiz kerak bu hisoblar butun ko'pburchakning umumiy maydoni bilan. Va agar siz hali ham buni qilishingiz kerak bo'lsa, shunchaki ko'pburchakning eng katta poydevorining maydonini hisoblang va uni ko'pburchakning lateral yuzasi maydoniga qo'shing.

Video

Ushbu video sizga turli xil piramidalarning lateral sirtini qanday topish haqida ma'lumotni birlashtirishga yordam beradi.

Oddiy uchburchak piramidada SABC R- qovurg'aning o'rtasi AB, S- yuqori.
Ma'lumki SR = 6, va lateral sirt maydoni teng 36 .
Segment uzunligini toping Miloddan avvalgi.

Keling, rasm chizamiz. Muntazam piramidada yon tomonlari teng yonli uchburchaklardir.

Segment S.R.- median bazaga tushirildi va shuning uchun yon yuzning balandligi.

Muntazam uchburchak piramidaning lateral yuzasi maydonlar yig'indisiga teng
uchta teng yon yuzlar S tomoni = 3 S ABS. Bu yerdan S ABS = 36: 3 = 12- yuzning maydoni.

Uchburchakning maydoni uning poydevori va balandligi ko'paytmasining yarmiga teng
S ABS = 0,5 AB SR. Maydon va balandlikni bilib, biz taglikning yon tomonini topamiz AB = BC.
12 = 0,5 AB 6
12 = 3 AB
AB = 4

Javob: 4

Muammoga boshqa tomondan yondashishingiz mumkin. Asosiy tomoniga yo'l qo'ying AB = BC = a.
Keyin yuzning maydoni S ABS = 0,5 AB SR = 0,5 a 6 = 3a.

Uchta yuzning har birining maydoni teng 3a, uchta yuzning maydoni teng 9a.
Muammoning shartlariga ko'ra, piramidaning lateral yuzasining maydoni 36 ga teng.
S tomoni = 9a = 36.
Bu yerdan a = 4.

Ta'rif. Yon chet- bu uchburchak bo'lib, unda bir burchak piramidaning tepasida joylashgan va qarama-qarshi tomoni poydevor tomoniga (ko'pburchak) to'g'ri keladi.

Ta'rif. Yon qovurg'alar- bu yon yuzlarning umumiy tomonlari. Piramida ko'pburchakning burchaklaridek ko'p qirralarga ega.

Ta'rif. Piramida balandligi- bu piramidaning tepasidan poydevoriga tushirilgan perpendikulyar.

Ta'rif. Apotema- bu piramidaning yon tomoniga perpendikulyar bo'lib, piramidaning tepasidan poydevorning yon tomoniga tushiriladi.

Ta'rif. Diagonal qism- bu piramidaning piramidaning tepasidan va poydevorning diagonalidan o'tadigan tekislik bilan kesmasi.

Ta'rif. To'g'ri piramida piramida bo'lib, uning asosi muntazam ko'pburchak bo'lib, balandligi asosning markaziga tushadi.

Piramidaning hajmi va sirt maydoni

Formula. Piramidaning hajmi tayanch maydoni va balandligi bo'yicha:

Piramidaning xossalari

Agar barcha yon qirralar teng bo'lsa, u holda piramida poydevori atrofida aylana chizish mumkin va poydevorning markazi aylananing markaziga to'g'ri keladi. Bundan tashqari, tepadan tushgan perpendikulyar taglikning markazidan (aylana) o'tadi.

Agar barcha yon qirralar teng bo'lsa, ular bir xil burchak ostida poydevor tekisligiga moyil bo'ladi.

Yon qovurg'alar poydevor tekisligi bilan hosil bo'lganda tengdir teng burchaklar yoki piramida poydevori atrofida aylana tasvirlanishi mumkin bo'lsa.

Agar yon yuzlar poydevor tekisligiga bir xil burchak ostida egilgan bo'lsa, u holda piramida poydevoriga aylana chizilgan bo'lishi mumkin va piramidaning tepasi uning markaziga proyeksiya qilinadi.

Agar yon yuzlar bir xil burchak ostida poydevor tekisligiga moyil bo'lsa, u holda yon yuzlarning apotemlari teng bo'ladi.

Muntazam piramidaning xossalari

1. Piramidaning yuqori qismi poydevorning barcha burchaklaridan bir xil masofada joylashgan.

2. Barcha yon qirralar teng.

3. Barcha yon qovurg'alar asosga teng burchak ostida moyil.

4. Barcha lateral yuzlarning apotemlari tengdir.

5. Barcha yon yuzlarning maydonlari teng.

6. Barcha yuzlar bir xil dihedral (tekis) burchaklarga ega.

7. Piramida atrofida sharni tasvirlash mumkin. Cheklangan sharning markazi qirralarning o'rtasidan o'tadigan perpendikulyarlarning kesishish nuqtasi bo'ladi.

8. Piramidaga sharni sig‘dira olasiz. Yozilgan sharning markazi chekka va poydevor orasidagi burchakdan chiqadigan bissektrisalarning kesishish nuqtasi bo'ladi.

9. Agar chizilgan sharning markazi aylanasi bilan chegaralangan sharning markaziga toʻgʻri kelsa, u holda choʻqqidagi tekislik burchaklarining yigʻindisi p ga teng yoki aksincha, bir burchak p/n ga teng, bunda n sondir. piramida poydevoridagi burchaklar soni.

Piramida va shar o'rtasidagi bog'liqlik

Piramida atrofida sharni tasvirlash mumkin, agar piramidaning tagida ko'pburchak bo'lsa, uning atrofida aylana tasvirlanishi mumkin (zarur va etarli shart). Sfera markazi piramidaning yon qirralarining o'rta nuqtalaridan perpendikulyar o'tadigan tekisliklarning kesishish nuqtasi bo'ladi.

Har qanday uchburchak yoki muntazam piramida atrofida sharni tasvirlash har doim ham mumkin.

Agar piramidaning ichki ikki burchakli burchaklarining bissektrisa tekisliklari bir nuqtada kesishsa (zarur va etarli shart) sharni piramidaga yozish mumkin. Bu nuqta sharning markazi bo'ladi.

Piramidaning konus bilan bog'lanishi

Konusning uchlari bir-biriga to'g'ri kelsa va konusning asosi piramida asosiga chizilgan bo'lsa, konus piramidaga chizilgan deyiladi.

Agar piramidaning apotemalari bir-biriga teng bo'lsa, konusni piramidaga yozish mumkin.

Konus piramida atrofida aylanib o'tilgan deyiladi, agar ularning uchlari mos tushsa va konusning asosi piramida poydevori atrofida aylana bo'lsa.

Agar piramidaning barcha yon qirralari bir-biriga teng bo'lsa, konusni piramida atrofida tasvirlash mumkin.

Piramida va silindr o'rtasidagi bog'liqlik

Agar piramidaning ustki qismi silindrning bir poydevorida yotsa, piramidaning asosi esa silindrning boshqa poydevoriga chizilgan bo'lsa, u silindrga yozilgan deb ataladi.

Silindrni piramida atrofida tasvirlash mumkin, agar piramida poydevori atrofida aylana tasvirlangan bo'lsa.

Ta'rif. Kesilgan piramida (piramidal prizma) piramida asosi va asosga parallel kesma tekisligi o'rtasida joylashgan ko'pburchakdir. Shunday qilib, piramida kattaroq asosga va kattaroqqa o'xshash kichikroq asosga ega. Yon tomonlari trapezoidaldir.

Ta'rif. Uchburchak piramida (tetraedr) bu piramida bo'lib, uning uchta yuzi va asosi ixtiyoriy uchburchaklardir.

Tetraedrning to'rtta yuzi va to'rtta cho'qqisi va oltita qirrasi bor, bu erda har qanday ikkita qirrasi umumiy cho'qqilarga ega emas, lekin tegmaydi.

Har bir cho'qqi hosil bo'lgan uchta yuz va qirralardan iborat uchburchak burchak.

Tetraedrning uchini qarama-qarshi yuzning markazi bilan bog'laydigan segment deyiladi tetraedrning medianasi(GM).

Bimedian tegmaydigan qarama-qarshi qirralarning o'rta nuqtalarini bog'lovchi segment (KL) deb ataladi.

Tetraedrning barcha bimedianlari va medianalari bir nuqtada (S) kesishadi. Bunday holda, bimedianlar yarmiga bo'linadi va medianalar yuqoridan boshlab 3: 1 nisbatda bo'linadi.

Ta'rif. Eğimli piramida piramida boʻlib, uning qirralaridan biri asosi bilan oʻtmas burchak (b) hosil qiladi.

Ta'rif. To'rtburchaklar piramida yon yuzlaridan biri poydevorga perpendikulyar bo'lgan piramidadir.

Ta'rif. O'tkir burchakli piramida- piramida, unda apotem asos tomonining uzunligining yarmidan ko'p.

Ta'rif. To'g'ri piramida- piramida, unda apotem asosning yon tomoni uzunligining yarmidan kam bo'ladi.

Ta'rif. Muntazam tetraedr- to'rtta yuzi teng qirrali uchburchaklar bo'lgan tetraedr. U besh kishidan biri muntazam ko'pburchaklar. IN muntazam tetraedr barcha dihedral burchaklar (yuzlar orasidagi) va uchburchak burchaklar (cho'qqisida) tengdir.

Ta'rif. To'rtburchaklar tetraedr tetraedr deyiladi, unda uch qirrasi o'rtasida to'g'ri burchak mavjud (qirralari perpendikulyar). Uchta yuz hosil bo'ladi to'rtburchaklar uchburchak burchak va qirralari to'g'ri uchburchaklar, asosi esa ixtiyoriy uchburchakdir. Har qanday yuzning apothemi apotem tushadigan poydevorning yarmiga teng.

Ta'rif. Izoedral tetraedr yon yuzlari bir-biriga teng bo'lgan tetraedr deyiladi va asosi muntazam uchburchakdir. Bunday tetraedrning yuzlari teng yonli uchburchaklardir.

Ta'rif. Ortosentrik tetraedr tepadan qarama-qarshi yuzga tushirilgan barcha balandliklar (perpendikulyarlar) bir nuqtada kesishadigan tetraedr deb ataladi.

Ta'rif. Yulduzli piramida asosi yulduz bo'lgan ko'pburchak deyiladi.

Ta'rif. Bipiramida- ikki xil piramidadan tashkil topgan ko'pburchak (piramidalarni kesib tashlash ham mumkin) umumiy asos, va uchlari asos tekisligining qarama-qarshi tomonlarida yotadi.