Ko'pburchaklar. Vizual qoʻllanma (2019)

Ko'pburchakning uchlari va segmentlari ko'pburchakning tomonlari. Ko'pburchakning cho'qqilari - bet No 1/1

Geometriya 8-sinf K.K.Kurginyan-1-qism* (yulduzcha bilan).
Poligon.

Ta'rif: Ko'pburchak - bu o'z-o'zidan kesishmaydigan tekis, yopiq siniq chiziqdan iborat geometrik figura. Singan chiziqning uchlari deyiladi cho'qqilari ko'pburchak va segmentlar partiyalar poligon.

Ko'pburchakning uchlari deyiladi qo'shni, agar ular uning tomonlaridan birining uchlari bo'lsa. Ko'pburchakning qo'shni bo'lmagan uchlarini bog'laydigan chiziq segmentlari deyiladi diagonallar .

Tashqi burchak Berilgan cho'qqidagi qavariq ko'pburchakning bu cho'qqidagi ko'pburchakning ichki burchagiga qo'shni burchak. Umuman olganda, tashqi burchak 180 ° va ichki burchak o'rtasidagi farq bo'lib, u -180 ° dan 180 ° gacha qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Ko‘pburchakning tashqi burchaklarining yig‘indisi 360° ga teng.

Qavariq ko'pburchak.
PoligonQavariq deyiladi, agar:
Ta'rifI - uning ichidagi har qanday ikkita nuqta uchun ularni bog'laydigan segment butunlay unda yotadi.

Ta'rifII - har bir ichki burchak 180 ° dan kam.

Ta'rifIII - uning barcha diagonallari butunlay uning ichida yotadi.

Ta'rifIV – u har bir to'g'ri chiziqning ikkita qo'shni cho'qqisidan o'tuvchi bir tomonida yotadi.
Burchaklar yig'indisi n -gon.
Qavariq n-burchak burchaklarining yig'indisi (n-2)∙180° ga teng.
Qavariq bo'lmagan n-burchak burchaklarining yig'indisi ham (n-2)∙180° ga teng. (Isbot shunga o'xshash, lekin qo'shimcha ravishda har qanday ko'pburchakni diagonal ravishda uchburchaklarga kesish mumkinligi haqidagi lemmadan foydalanadi).
Diagonallar soni n -gon.*

Teorema: Har qanday n-burchakning diagonallari soni n(n-3)2 ga teng.

Isbot: Ko'pburchakning uchlari soni n, mumkin bo'lgan turli diagonallar sonini p hisoblaymiz. Har bir cho'qqi diagonallar orqali boshqa barcha cho'qqilar bilan bog'langan, ikkita qo'shni va, tabiiyki, o'zidan tashqari. Shunday qilib, bir cho'qqidan n-3 diagonallarini chizish mumkin; Keling, buni (n-3)∙n uchlari soniga ko'paytiramiz, lekin biz har bir diagonalni ikki marta hisobladik (har bir uchi uchun bir marta, shuning uchun biz 2 ga bo'lishimiz kerak) - demak, p= n(n-3)2.

Masala*: Qaysi qavariq ko‘pburchak tomonlariga qaraganda 25 ta ko‘proq diagonalga ega?

25+n = nn-32

50 + 2n = n 2 - 3n

n 2 - 5n - 50 = 0

Keling, faktorlarga ajratamiz

n 2 -25-5n -25 = 0

n=-5 qanoatlanmaydi,

chunki u mavjud emas

shunday ko'pburchak

n = 10 qanoatlantiradi

Javob: Dekagon.

Diagonallari teng shakllar.*

Sirtda bilan ikkita muntazam ko'pburchak mavjud barcha diagonallar teng o'zaro - bu kvadrat Va oddiy beshburchak (beshburchak). Kvadrat markazda to'g'ri burchak ostida kesishgan ikkita bir xil diagonalga ega. Oddiy beshburchakda beshta bir xil diagonal mavjud bo'lib, ular birgalikda besh qirrali yulduz (pentagram) naqshini tashkil qiladi.

Kosmosda faqat bitta to'g'ri bor ko'pburchak (poligon emas), qaysi biri barcha diagonallar teng o'zaro - bu muntazam oktaedr (oktaedr). Oktaedrda markazda perpendikulyar ravishda juft bo'lib kesishadigan uchta diagonal. Oktaedrning barcha diagonallari fazoviydir (oktaedrning yuzlari diagonallari yo'q, chunki uning uchburchak yuzlari bor).

Oktaedrdan tashqari yana bir muntazam poliedr mavjud bo'lib, u barcha fazoviy diagonallar teng o'zaro - bu kub (heksahedr), fazoviy bo'lganlardan tashqari, kubda yuzlarning diagonallari mavjud. Kub markazda kesishgan to'rtta bir xil fazoviy diagonallarga ega. Kub diagonallari orasidagi burchak yo arkkos (1/3) ≈ 70,5° (qo‘shni cho‘qqilarga chizilgan bir juft diagonal uchun) yoki arkkos (–1/3) ≈ 109,5° (bo‘lmagan nuqtaga chizilgan diagonallar juftligi uchun) -qo'shni cho'qqilar).

To'rtburchaklar.
Har bir to'rtburchakning to'rtta uchi, to'rt tomoni va ikkita diagonali bor.

Ikki qo'shni bo'lmagan tomonlar qarama-qarshi tomonlar deb ataladi.

Ikki qo'shni bo'lmagan cho'qqilar qarama-qarshi deyiladi.
1.Parallelogramma qarama-qarshi tomonlari juft parallel boʻlgan toʻrtburchakdir.
Paralelogrammaning xossalari:
1) Paralelogrammaning qarama-qarshi tomonlari teng. AB = DC, AD = BC.

2) Paralelogrammaning qarama-qarshi burchaklari teng. A=C, B=D.

3) Paralelogrammaning diagonallari kesishadi va kesishish nuqtasi bilan yarmiga bo'linadi. AO=OC, BO=OD.

4) Bir tomoniga tutashgan burchaklar yig’indisi 180° ga teng. A+D=180, A+B=180, B+C=180, D+C=180.

5) Barcha burchaklarning yig‘indisi 360° ga teng. A+B+C+D=360°.

6)* Paralelogramma diagonallari kvadratlari yig‘indisi uning qo‘shni ikki tomoni kvadratlari yig‘indisining ikki barobariga teng: AC 2 +BD 2 =2∙(AB 2 +AD 2).

Muammo 1*: Bir diagonalning uzunligi AC = 9 sm, tomonlari AD = 7 sm va AB = 4 sm ekanligi ma'lum bo'lsa, parallelogrammning diagonalini toping.

Yechim: Qiymatlarni formulaga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

81+BD 2 =2∙(49+16),

BD 2 =49, shuning uchun ikkinchi diagonali BD = 7 sm.Javob: 7 sm.
Muammo 2*: Bir diagonalning uzunligi BD=10 sm, tomonlari AD=8 sm va AB=2 sm ekanligi ma'lum bo'lsa, parallelogrammaning diagonalini toping.

Yechim: Muammoning shartlari to'g'ri emas, chunki uchburchakning ikki tomonining yig'indisi har doim uchinchi tomondan kattaroqdir. Javob: muammoning yechimlari yo'q (ma'nosi).

Muammo 3*: a) Diagonallarining uzunligi BD = 6 sm, AC = 8 va bir tomoni AB = 5 sm ekanligi ma'lum bo'lsa, parallelogrammning tomonini toping b) Bu parallelogramm qanday nomlanadi.
Muammo 4**: Paralelogramma diagonallari uzunliklari yig'indisi 12 sm va 32 ning ko'paytmasi uning barcha tomonlari kvadratlari yig'indisining qiymatini toping.
Muammo 5**: Diagonallari 6 sm va 8 sm boʻlgan parallelogrammaning eng katta perimetrini toping.

Yechim: Keling, buni isbotlaylik diagonal uzunliklari berilgan barcha parallelogrammalar orasida romb eng katta perimetrga ega .

Haqiqatan ham, ruxsat bering a Va b parallelogrammaning qoʻshni tomonlari uzunliklari va va uning diagonallari uzunliklaridir (2-rasmga qarang). Keyin parallelogrammning perimetri: P = 2(a + b).

Paralelogramma diagonallari kvadratlari yig'indisi haqidagi teoremani ifodalovchi tenglikdan kelib chiqadiki, diagonallari berilgan barcha parallelogrammalar uchun tomonlar kvadratlari yig'indisi doimiy qiymatdir.

O'rtacha arifmetik va o'rtacha kvadrat orasidagi tengsizlikka ko'ra:  , va tenglikka erishiladi t. va t. t., qachon a = b. Demak, perimetri eng katta parallelogramma rombdir. Bu rombning tomonini toping: =5(sm). Javob: 20 sm.

2. To'rtburchak barcha burchaklari toʻgʻri boʻlgan parallelogramma.
Ta'rif 2: Bu barcha to'g'ri burchakli to'rtburchak.

Ta'rif 3: Bu bitta to'g'ri burchakli parallelogramm.

Ta'rif 4: Bu burchaklari teng bo'lgan parallelogramma.
To'rtburchaklar xususiyatlari: +
1) To'rtburchakning diagonallari teng.

2)* Diagonalning kvadrati tomonlar kvadratlarining yig'indisiga teng. AC 2 =AB 2 + DC 2

1-topshiriq: To'rtburchakning eng qisqa tomoni 5 sm, diagonallari 60 ° burchak ostida kesishadi. To'rtburchakning diagonallarini toping.
2-topshiriq: To'rtburchakning eng qisqa tomoni 24 ga teng, diagonallari 120 ° burchak ostida kesishadi. To'rtburchakning diagonallarini va eng uzun tomonini toping.
Muammo 3*: To‘rtburchakning tomoni 3 sm, diagonali 5 sm.To‘rtburchakning ikkinchi tomonini toping.
Muammo 4*: To'rtburchakning yon tomoni 6 sm, diagonali 10 sm. To'rtburchakning maydonini toping.

3.Romb barcha tomonlari teng boʻlgan parallelogramma.
Ta'rif 2: Bu barcha tomonlari teng bo'lgan to'rtburchak.
Rombning xususiyatlari: parallelogramm bilan bir xil xususiyatlarga ega +
1) Rombning diagonallari o'zaro perpendikulyar (AC ⊥ BD).

2) Rombning diagonallari uning burchaklarini yarmiga bo'ladi (ya'ni, romb diagonallari uning burchaklarining bissektrisalari - ∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, ∠BAC = ∠DAC, ∠ADB = ∠ADB = ∠DCA = ∠BCA CDB).

3)*Diagonallar kvadratlari yig‘indisi tomonning kvadratini 4 ga ko‘paytirilganiga teng (parallelogramma identifikatsiyasining natijasi). AC 2 +BD 2 =4 AB 2
1-topshiriq: Rombning diagonallari 6 va 8 sm.Romb tomonini toping.
2-topshiriq: Rombning yon tomoni 10 sm, burchaklaridan biri 60. Rombning kichik diagonalini toping.
4.Kvadrat barcha burchaklari 90 ga teng va barcha tomonlari teng boʻlgan parallelogramma.
Ta'rif 2: Bu barcha burchaklar va tomonlar bir-biriga teng bo'lgan parallelogramma.

Ta'rif 3: Bu to'rtburchak bo'lib, uning barcha burchaklari va tomonlari bir-biriga teng.

Ta'rif 4: Bu bitta to'g'ri burchakli romb.

Ta'rif 5: Bu burchaklari teng bo'lgan rombdir.

Ta'rif 6: Bu barcha tomonlari teng bo'lgan to'rtburchak.
Kvadratning xususiyatlari: parallelogramm bilan bir xil xususiyatlarga ega +
1) Kvadratning diagonallari teng.

2) Kvadratning diagonallari o‘zaro perpendikulyar (AC ⊥ BD).

3) Kvadratning diagonallari uning burchaklarini yarmiga bo'ladi (ya'ni kvadratning diagonallari uning burchaklarining bissektrisalari - ∠DCA = ∠BCA= ∠ABD = ∠CBD= ∠BAC = ∠DAC= ∠ADB = ∠ CDB=45).

4)* Diagonalning kvadrati tomonning ikki barobar kvadratiga teng. AC 2 =2 AB 2

5.Trapezoid ikki tomoni parallel, qolgan ikkitasi parallel bo'lmagan to'rtburchakdir.
Parallel tomonlar asoslar, qolgan ikkitasi esa lateral tomonlar deb ataladi.

Agar tomonlar teng bo'lsa, trapetsiya teng yon tomonli deyiladi.

Agar burchaklaridan biri to'g'ri bo'lsa, trapezoid to'rtburchaklar deyiladi.
Vazifa: Trapetsiya ham toʻrtburchak, ham teng yon tomonli boʻla olmasligini isbotlang.

Ko‘pburchaklarning xossalari

Ko'pburchak - bu geometrik shakl bo'lib, odatda o'z-o'zidan kesishmasdan (oddiy ko'pburchak (1a-rasm)) yopiq siniq chiziq sifatida belgilanadi, lekin ba'zida o'z-o'zini kesishga ruxsat beriladi (keyin ko'pburchak oddiy emas).

Ko'pburchakning uchlari ko'pburchakning uchlari, segmentlari esa ko'pburchakning tomonlari deb ataladi. Ko'pburchakning uchlari, agar ular bir tomonning uchlari bo'lsa, qo'shni deyiladi. Ko'pburchakning qo'shni bo'lmagan uchlarini bog'laydigan segmentlar diagonallar deyiladi.

Qavariq ko‘pburchakning berilgan cho‘qqidagi burchagi (yoki ichki burchagi) uning tomonlari shu cho‘qqiga yaqinlashishi natijasida hosil bo‘lgan burchak bo‘lib, burchak ko‘pburchak tomondan hisoblab chiqiladi. Xususan, agar ko'pburchak qavariq bo'lmasa, burchak 180 ° dan oshishi mumkin.

Qavariq ko'pburchakning ma'lum cho'qqidagi tashqi burchagi bu ko'pburchakning ichki burchagiga qo'shni burchakdir. Umuman olganda, tashqi burchak 180 ° va ichki burchak o'rtasidagi farqdir. > 3 uchun -gonning har bir cho'qqisida 3 ta diagonal bo'ladi, shuning uchun -gon diagonallarining umumiy soni teng bo'ladi.

Uchta uchli ko'pburchak uchburchak deb ataladi, to'rtta - to'rtburchak, beshta - beshburchak va hokazo.

bilan ko'pburchak n cho'qqilar deb ataladi n- kvadrat.

Yassi ko'pburchak - bu ko'pburchak va u bilan chegaralangan maydonning chekli qismidan iborat figura.

Quyidagi (ekvivalent) shartlardan biri bajarilsa, ko‘pburchak qavariq deyiladi:

1. qo‘shni uchlarini tutashtiruvchi har qanday to‘g‘ri chiziqning bir tomonida yotadi. (ya'ni, ko'pburchak tomonlarining kengaytmalari uning boshqa tomonlarini kesib o'tmaydi);
2. bu bir nechta yarim tekisliklarning kesishishi (ya'ni umumiy qismi);
3. ko'pburchakka tegishli nuqtalarda uchlari bo'lgan har qanday segment butunlay unga tegishli.

Qavariq ko'pburchak, agar barcha tomonlar teng bo'lsa va barcha burchaklar teng bo'lsa, muntazam deyiladi, masalan, teng tomonli uchburchak, kvadrat va beshburchak.

Qavariq ko'pburchak, agar uning barcha tomonlari qandaydir doiraga tegsa, aylana atrofida o'ralgan deyiladi

Muntazam ko'pburchak - barcha burchaklari va tomonlari teng bo'lgan ko'pburchak.

Ko'pburchaklarning xossalari:

1 Qavariq -burchakning har bir diagonali, bu erda >3, uni ikkita qavariq ko'pburchakka ajratadi.

2 Qavariq uchburchakning barcha burchaklarining yig'indisi teng.

D-vo: Teoremani matematik induksiya usuli yordamida isbotlaymiz. = 3 da bu aniq. Faraz qilaylik, teorema -gon uchun to'g'ri, bu erda <, va buni -gon uchun isbotlang.

Berilgan ko‘pburchak bo‘lsin. Keling, ushbu ko'pburchakning diagonalini chizamiz. 3-teoremaga ko'ra, ko'pburchak uchburchak va qavariq uchburchakka ajraladi (5-rasm). Induksiya gipotezasiga ko'ra. Boshqa tomondan, . Bu tengliklarni qo'shish va buni hisobga olish (- ichki burchakli nur ) Va (- ichki burchakli nur ), Qachon olamiz: .

3 Har qanday muntazam ko'pburchak atrofida siz aylana va faqat bittasini tasvirlashingiz mumkin.

D-vo: Bu muntazam ko'pburchak bo'lsin va va burchaklarning bissektrisalari bo'lsin va (150-rasm). O'shandan beri, shuning uchun * 180 °< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке HAQIDA. Keling, buni isbotlaylik O = O.A 2 = HAQIDA =… = O.A P . Uchburchak HAQIDA demak, teng yon tomonlar HAQIDA= HAQIDA. Shunday qilib, uchburchaklar tengligining ikkinchi mezoniga ko'ra, HAQIDA = HAQIDA. Xuddi shunday, bu ham isbotlangan HAQIDA = HAQIDA va hokazo. Demak, nuqta HAQIDA ko'pburchakning barcha cho'qqilaridan teng masofada joylashgan, shuning uchun markazi bo'lgan doira HAQIDA radius HAQIDA ko'pburchak atrofida chegaralangan.

Keling, faqat bitta aylana borligini isbotlaylik. Ko'pburchakning uchta uchini ko'rib chiqing, masalan, A 2 , . Bu nuqtalardan faqat bitta doira o'tganligi sababli, ko'pburchak atrofida … Siz bir nechta davrani tasvirlay olmaysiz.

4 Har qanday oddiy ko'pburchak ichiga aylana chizishingiz mumkin va faqat bitta.
5 Muntazam ko‘pburchak ichiga chizilgan aylana ko‘pburchak tomonlariga ularning o‘rta nuqtalarida tegib turadi.
6 Muntazam ko‘pburchak atrofida aylana markazi xuddi shu ko‘pburchak ichiga chizilgan aylana markaziga to‘g‘ri keladi.
7 Simmetriya:

Ular, agar bu raqamni o'ziga aylantiradigan bunday harakat (bir xil emas) bo'lsa, figuraning simmetriyasi (simmetrik) borligini aytishadi.

7.1. Umumiy uchburchakda simmetriya o'qi yoki markazlari yo'q, u assimetrikdir. Teng yonli (lekin teng yonli emas) uchburchakda bitta simmetriya o'qi bor: asosga perpendikulyar bissektrisa.
7.2. Teng tomonli uchburchakda uchta simmetriya o'qi (tomonlarga perpendikulyar bissektrisalar) va markazga nisbatan 120 ° burilish burchagi bilan aylanish simmetriyasi mavjud.

7.3 Har qanday muntazam n-burchakning n ta simmetriya o'qi bor, ularning barchasi uning markazidan o'tadi. Bundan tashqari, aylanish burchagi bilan markazga nisbatan aylanish simmetriyasi mavjud.

Qachon teng n Ba'zi simmetriya o'qlari qarama-qarshi cho'qqilardan, boshqalari qarama-qarshi tomonlarning o'rta nuqtalaridan o'tadi.

G'alati uchun n har bir o'q qarama-qarshi tomonning yuqori va o'rtasidan o'tadi.

Tomonlari juft bo'lgan muntazam ko'pburchakning markazi uning simmetriya markazidir. Tomonlari toq bo'lgan muntazam ko'pburchakda simmetriya markazi bo'lmaydi.

8 O'xshashlik:

O'xshashlik bilan va -gon -gon ichiga kiradi, yarim tekislik yarim tekislikka, shuning uchun qavariq n-burchak konveksga aylanadi n-gon.

Teorema: Qavariq ko‘pburchaklarning tomonlari va burchaklari tenglikni qanoatlantirsa:

podium koeffitsienti qayerda

u holda bu ko'pburchaklar o'xshashdir.

8.1 Ikki o'xshash ko'pburchak perimetrlarining nisbati o'xshashlik koeffitsientiga teng.
8.2. Ikki qavariq o'xshash ko'pburchaklar maydonlarining nisbati o'xshashlik koeffitsientining kvadratiga teng.

ko'pburchak uchburchak perimetri teoremasi

Mavzu: Ko‘pburchaklar - 8-sinf:

Bir xil to'g'ri chiziqda yotmaydigan qo'shni segmentlar chizig'i deyiladi singan chiziq.

Segmentlarning uchlari cho'qqilari.

Har bir segment havola.

Va segmentlar uzunligining barcha yig'indilari umumiy miqdorni tashkil qiladi uzunligi singan chiziq Masalan, AM + ME + EK + KO = singan chiziq uzunligi

Agar segmentlar yopiq bo'lsa, unda bu poligon(yuqoriga qarang) .

Ko'pburchakdagi bog'lanishlar deyiladi partiyalar.

Yon uzunliklar yig'indisi - perimetri poligon.

Bir tomonda joylashgan cho'qqilar qo'shni.

Qo'shni bo'lmagan cho'qqilarni bog'laydigan segment deyiladi diagonal ravishda.

Ko'pburchaklar chaqirdi tomonlar soni bo'yicha: beshburchak, olti burchakli va boshqalar.

Ko'pburchak ichidagi hamma narsa samolyotning ichki qismi, va tashqaridagi hamma narsa - samolyotning tashqi qismi.

Eslatma! Quyidagi rasmda- bu ko'pburchak EMAS, chunki qo'shni bo'lmagan segmentlar uchun bitta to'g'ri chiziqda qo'shimcha umumiy nuqtalar mavjud.

Qavariq ko'pburchak har bir toʻgʻri chiziqning bir tomonida yotadi. Uni aqliy (yoki chizma bilan) aniqlash uchun biz har bir tomonni davom ettiramiz.

Ko'pburchakda tomonlarga teng burchaklar.

Qavariq ko'pburchakda barcha ichki burchaklarning yig'indisi ga teng (n-2)*180°. n - burchaklar soni.

Ko'pburchak deyiladi to'g'ri, agar uning barcha tomonlari va burchaklari teng bo'lsa. Shunday qilib, uning ichki burchaklarini hisoblash formula yordamida amalga oshiriladi (bu erda n - burchaklar soni): 180° * (n-2) / n

Quyida ko'pburchaklar, ularning burchaklarining yig'indisi va qaysi bir burchakka teng ekanligi keltirilgan.

Qavariq ko'pburchaklarning tashqi burchaklari quyidagicha hisoblanadi:

Ko'pburchak deb qaraladigan narsaga turlicha qarashlar mavjud. Maktab geometriya kursida quyidagi ta'riflardan biri qo'llaniladi.

Ta'rif 1

Poligon

segmentlardan tashkil topgan figuradir

Shunday qilib, qo'shni segmentlar(ya'ni, umumiy cho'qqisi bo'lgan qo'shni segmentlar, masalan, A1A2 va A2A3) bir chiziqda yotmang va qo'shni bo'lmagan segmentlarning umumiy nuqtalari yo'q.

Ta'rif 2

Oddiy yopiq ko'pburchak ko'pburchak deyiladi.

Ballar

chaqiriladi ko'pburchakning uchlari, segmentlar

— ko'pburchakning tomonlari.

Barcha tomonlarning uzunliklarining yig'indisi deyiladi ko'pburchak perimetri.

n ta uchi (shuning uchun n ta tomoni) bo'lgan ko'pburchak deyiladi n - kvadrat.

Xuddi shu tekislikda joylashgan ko'pburchak deyiladi tekis. Odamlar ko'pburchak haqida gapirganda, agar boshqacha ko'rsatilmagan bo'lsa, ular tekis ko'pburchakni anglatadi.

Ko'pburchakning bir tomoniga tegishli bo'lgan ikkita cho'qqi deyiladi qo'shni. Masalan, A1 va A2, A5 va A6 qo'shni cho'qqilardir.

Ikki qo'shni bo'lmagan cho'qqilarni bog'laydigan segment deyiladi ko'pburchak diagonali.

Keling, ko'pburchakning nechta diagonali borligini bilib olaylik.

Ko‘pburchakning har bir n ta burchagidan n-3 ta diagonal mavjud

(jami n ta cho‘qqi bor. Biz cho‘qqining o‘zini va bu cho‘qqi bilan diagonal hosil qilmaydigan ikkita qo‘shni cho‘qqini hisoblamaymiz. Masalan, A1 cho‘qqi uchun biz A1ning o‘zi va qo‘shni A2 va qo‘shni cho‘qqilarni hisobga olmaymiz. A3).

Shunday qilib, n ta burchakning har biri n-3 diagonalga mos keladi. Bir diagonal bir vaqtning o'zida ikkita cho'qqiga tegishli bo'lganligi sababli, ko'pburchakning diagonallari sonini topish uchun n(n-3) ko'paytmani yarmiga bo'lish kerak.

Demak, n - uchburchakka ega

diagonallar.

Har qanday ko'pburchak tekislikni ikki qismga - ko'pburchakning ichki va tashqi mintaqalariga ajratadi. Ko'pburchak va uning ichki mintaqasidan tashkil topgan figuraga ko'pburchak ham deyiladi.

Ta'rif

Yuqori burchak

Burchakning cho'qqisi ikki nurning kelib chiqadigan nuqtasidir.

Burchakning cho'qqisi - bu ikki nurning kelib chiqadigan nuqtasi; ikkita segment uchrashadigan joyda; ikkita chiziq kesishgan joyda; bu erda bir nuqtada yaqinlashadigan ikkita (to'g'ri chiziq) "tomon" hosil qiluvchi nurlar, segmentlar va chiziqlarning har qanday birikmasi.

Ko'pburchak ko'pburchak cho'qqisi

Ko'pburchakda, agar ko'pburchakning ichki burchagi p radiandan kichik bo'lsa, cho'qqi "qavariq" deb ataladi (180 ° - ikkita to'g'ri burchak). Aks holda, tepalik "konkav" deb ataladi.

Umuman olganda, ko'pburchakning tepasi qavariq bo'ladi, agar ko'pburchakning markazi bo'lgan etarlicha kichik shar bilan kesishishi qavariq shakl bo'lsa; aks holda cho'qqisi botiq bo'ladi.

Ko‘pburchak cho‘qqilari grafik cho‘qqilari bilan bog‘liq, chunki ko‘pburchak cho‘qqilari ko‘pburchak uchlariga to‘g‘ri keladigan graf bo‘lib, shuning uchun ko‘pburchak grafigini uchlari bo‘lgan bir o‘lchovli sodda kompleks deb hisoblash mumkin. grafikning uchlari. Biroq, grafik nazariyasida cho'qqilar ikkitadan kamroq tushuvchi qirralarga ega bo'lishi mumkin, bu odatda geometrik cho'qqilar uchun ruxsat etilmaydi. Shuningdek, geometrik cho‘qqilar bilan egri chiziq cho‘qqilari, uning egrilik ekstremal nuqtalari o‘rtasida ham bog‘lanish mavjud – ko‘pburchakning uchlari ma’lum ma’noda cheksiz egrilik nuqtalari, agar ko‘pburchak silliq egri chiziq bilan yaqinlashsa, nuqtalar haddan tashqari egrilik ko'pburchak cho'qqilari yaqinida yotadi. Biroq, tekis egri chiziq yordamida ko'pburchakni yaqinlashtirish minimal egrilik nuqtalarida qo'shimcha cho'qqilarni beradi.

Yassi mozaikaning uchlari

"Quloqlar"

"Og'izlar"

Asosiy cho'qqi x i (\displaystyle x_(i)) oddiy ko'pburchak P (\displaystyle P) diagonali bo'lsa, "og'iz" deb ataladi [ x i - 1 , x i + 1 ] (\displaystyle ) tashqarida yotadi P (\displaystyle P).

Ko'pburchakning uchlari soni

Uch o'lchovli qavariq ko'p yuzli har qanday sirt Eyler xarakteristikasiga ega:

V - E + F = 2 , (\displaystyle V-E+F=2,)

Qayerda V (\displaystyle V)- uchlari soni, E (\displaystyle E)- qirralarning soni va F (\displaystyle F)- yuzlar soni. Bu tenglik Eyler tenglamasi deb ataladi. Masalan, kubning 12 ta qirrasi va 6 ta yuzi va shuning uchun 8 ta uchi bor: 8 − 12 + 6 = 2 (\displaystyle 8-12+6=2) .

Kompyuter grafikasidagi eng yuqori cho'qqilar

Kompyuter grafikasida ob'ektlar ko'pincha uchburchak ko'pburchaklar sifatida ifodalanadi, bunda ob'ektning uchlari nafaqat uchta fazoviy koordinatalar bilan, balki ob'ekt tasvirini to'g'ri qurish uchun zarur bo'lgan boshqa grafik ma'lumotlar bilan ham bog'lanadi, masalan, rang, aks ettirish, tekstura va vertex normalari. Ushbu xususiyatlar yordamida tasvirni qurishda foydalaniladi